2012考研数二真题及解析

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2012

数学(二)试题第1页 (共11页) 2012年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题解析

一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

（1）曲线221xxyx渐近线的条数为（）

（A）0

（B）1

（C）2

（D）3

【答案】:C

【解析】:221lim1xxxx,所以1x为垂直的

22lim11xxxx,所以1y为水平的,没有斜渐近线故两条选C

（2）设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen,其中n为正整数,则'(0)f

（A）1(1)(1)!nn

（B）(1)(1)!nn

（C）1(1)!nn

（D）(1)!nn

【答案】:C

【解析】:'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()xxnxxxnxxxnxfxeeeneeeneenen

所以'(0)f1(1)!nn

（3）设an>0(n=1,2,…),Sn=a1+a2+…an,则数列(sn)有界是数列（an）收敛的

(A)充分必要条件. (B)充分非必要条件.

（C）必要非充分条件. （D）即非充分地非必要条件.

【答案】:(B) 2012

数学(二)试题第2页 (共11页) （4）设2kxkeIe sinxdx(k=1,2,3),则有D

（A）I1< I2

【答案】:(D)

【解析】::2sinkxkeIexdx看为以k为自变量的函数,则可知2'sin0,0,kkIekk,即可知2sinkxkeIexdx关于k在0,上为单调增函数,又由于1,2,30,,则123III,故选D

（5）设函数f (x,y) 可微,且对任意x,y 都有(,)fxyx >0,(,)fxyy<0,f(x1,y1)

(x2,y2)成立的一个充分条件是

(A) x1> x2, y1< y2. (B) x1> x2, y1>y1.

【答案】:(D)

【解析】:(,)0fxyx,(,)0fxyy表示函数(,)fxy关于变量x是单调递增的,关于变量y是单调递减的。因此,当1212,xxyy必有1122(,)(,)fxyfxy,故选D

（6）设区域D由曲线,1,2,sinyxxy围成,则)(15dxdyyx

)(2)(2)()(DCBA

【答案】:（D）

【解析】: 由二重积分的区域对称性,

dyyxdxdxdyyxx1sin522511

（7）设1234123400110,1,1,1cccc其中1234,,,cccc为任意常数,则下列向量组线性相关的是（） 2012

数学(二)试题第3页 (共11页) （A）123,, （B）124,,

（C）134,, （D）234,,

【答案】:（C）

【解析】:由于134113401111,,011011cccc,可知134,,线性相关。故选（C）

（8）设A为3阶矩阵,P为3阶可逆矩阵,且1112PAP,123,,P,1223,,Q则1QAQ（）

（A）121 （B）112

（C）212 （D）221

【答案】:（B）

【解析】:100110001QP,则11100110001QP,

故11100100100110011101101101110100100100120012QAQPAP

故选（B）。

二、填空题:914小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸．．．指定位置上.

（9）设()yyx是由方程21yxye所确定的隐函数,则________。

【答案】:1 2012 数学(二)试题第4页 (共11页)

（10）计算22222111lim12xnnnnn…________。

【答案】:4

【解析】:原式11220111limarctan.141nnidxxnxin

（11）设1lnzfxy,其中函数()fu可微,则2zzxyxy________。

【答案】:0.

【解析】:因为211,zzffxxyy,所以20.zzxyxy

（12）微分方程2(3)0ydxxydy满足初始条件|xy=1的解为________。

【答案】:2xy

【解析】:21(3)03dxydxxydyyxdyy13dxxydyy为一阶线性微分方程,所以

112133dydyyyxeyedyCydyCy31()yCy

又因为1y时1x,解得0C,故2xy. 2012

数学(二)试题第5页 (共11页) （13）曲线2(0)yxxx上曲率为22的点的坐标是________。

【答案】:1,0

【解析】:将21,2yxy’”代入曲率计算公式,有

323/222||22(1)21(21)yKyx

整理有2(21)1x,解得01x或,又0x,所以1x,这时0y,

故该点坐标为1,0

（14）设A为3阶矩阵,3A,*A为A的伴随矩阵,若交换A的第一行与第二行得到矩阵B,则*BA________。

【答案】:-27

【解析】:由于12BEA,故**121212||3BAEAAAEE,

所以,*31212|||3|3||27*(1)27BAEE.

三、解答题:15—23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

已知函数11()sin,xfxxx,记0lim()xafx

（1）求a的值

（2）若当0x时,()fxa是kx的同阶无穷小,求k

【解析】:（1）200011sinlim()lim(1)lim11sinxxxxxfxxxx,即1a

（2）,当0x时,由11sin()()1sinsinxxfxafxxxxx

又因为,当0x时,sinxx与316x等价,故1()~6fxax,即1k

（16）（本题满分10分）

求22,2xyfxyxe的极值。 2012

数学(二)试题第6页 (共11页) 【解析】:22,2xyfxyxe,

先求函数的驻点. ,0,,0xyfxyexfxyy,解得函数为驻点为,0e.

又,01,,00,,01xxxyyyAfeBfeCfe,

所以20,0BACA,故,fxy在点,0e处取得极大值21,02fee.

（17）（本题满分10分）

过点（0,1）点作曲线L:xyln的切线,切点为A,又L与x轴交于B点,区域D由L与直线AB及x轴围成,求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

【解析】:

设切点坐标为00,lnAxx,斜率为01x,所以设切线方程为0001lnyxxxx,又因为该切线过(0,1)B,所以20xe,故切线方程为:211yxe

切线与x轴交点为2,0Be

（1）222222001(1)()12yyAeeydyeeyye

（2）

22222222212211221122212ln38ln2ln3842ln238221333eeeeeVeexdxexxxdxeexxdxeee Y=lnx

B （0,1）

x y

A 2012

数学(二)试题第7页 (共11页) （18）（本题满分10分）

计算二重积分Dxyd,其中区域D为曲线0cos1r与极轴围成。

【解析】: Drdrrrdxyd0cos10sincos

04)cos1(cossin41d

22cos)12cos2(2cos2sin16820d

2020911cossin16cossin32tdtttdtt

5838

1516

（19）（本题满分11分）已知函数)(xf满足方程0)(2)()('''xfxfxf及xexfxf2)()('

1）求表达式)(xf

2）求曲线的拐点dttfxfyx022)()(

【解析】:

1）特征方程为022rr,特征根为2,121rr,齐次微分方程()()2()0fxfxfx的通解为xxeCeCxf221)(.再由'()()2xfxfxe得21222xxxCeCee,可知121,0CC。

故()xfxe

2）曲线方程为220xxtyeedt,则220'12xxtyxeedt,2220''2212xxtyxxeedt

令''0y得0x。为了说明0x是''0y唯一的解,我们来讨论''y在0x和0x时的符号。

当0x时,222020,2120xxtxxeedt,可知''0y；当0x时,222020,2120xxtxxeedt,可知''0y。可知0x是''0y唯一的解。

同时,由上述讨论可知曲线dttfxfyx022)()(在0x左右两边的凹凸性相反,可知0,0点是曲线dttfxfyx022)()(唯一的拐点。

（20）（本题满分10分）

2012年考研数学真题(完整版)

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学

1 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.

(1) 曲线221xxyx渐近线的条数 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(2) 设函数2()(1)(2)()xxnxyxeeen,其中n为正整数,则(0)y ( )

(A) 1(1)(1)!nn (B) (1)(1)!nn (C) 1(1)!nn (D) (1)!nn

(3) 如果函数(,)fxy在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )

(A) 若极限00(,)limxyfxyxy存在,则(,)fxy在(0,0)处可微

(B) 若极限2200(,)limxyfxyxy存在,则(,)fxy在(0,0)处可微

(D) 若(,)fxy在(0,0)处可微,则极限2200(,)limxyfxyxy存在

(4)设20sin(1,2,3)kxKexdxkI则有 ( )

(A)123III (B) 321III (C) 231III (D)213III

(5)设1100C,2201C ,3311C ,4411C ,其中1234,,,CCCC为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )

2012年考研数二大纲

11年考研数二大纲：

考试科目：高等数学、线性代数、考试形式和试卷结构

一、试卷满分及考试时间

试卷满分为150分，考试时间为180分钟.

二、答题方式

答题方式为闭卷、笔试.

三、试卷内容结构

高等教学 78%

线性代数 22%

四、试卷题型结构

试卷题型结构为：

单项选择题 8 小题，每小题4 分，共32分

填空题 6 小题，每小题4 分，共24 分

解答题(包括证明题) 9 小题，共94 分

高等数学

一、函数、极限、连续

考试内容

函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：

函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质

考试要求

1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．

2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．

3. 理解复合函数及分段函数的概念了解反函数及隐函数的概念

4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．

5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系．

6. 掌握极限的性质及四则运算法则

7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．

8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．

9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．

2018考研数二真题

凯程考研，就是要你考上研究生！2018数二真题刚刚考完，凯程的电话瞬间变成了热线，学员兴奋地汇报他们的考试情况，提到了数一真题，都是在集训营训练的过的内容。凯程近1-2天发布真题解析视频，凯程艾老师预祝同学们复试顺利。

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分.下面每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.若2120lim()1,xxxeaxbx则A.1,1.2abB.1,1.2abC.1,1.2abD.1,1.2ab2.下列函数中，在0x处不可导的是A.()sin.fxxxB.()sin.fxxxC.()cos.fxxD.()cos.fxx

3.设函数2,1,1,0,()(),10,1,0,,0.axxxfxgxxxxxbx若()()fxgx在R上连线，则

A.3,1.abB.3,2.ab

C.3,1.abD.3,2.ab

4.设函数()fx在[0,1]上二阶可导，且10()0,fxdx则A.当()0fx时，1()0.2fB.当()0fx时，1()0.2f

C.当()0fx时，1()0.2fD.当()0fx时，1()0.2f

5.设2222222222(1)1,,(1cos),1xxxMdxNdxKxdxxe则,,MNK的大小关系

为A..MNKB..MKNC..KMND..KNM6.22021210(1-)(1-)xxxxdxxydydxxydyA.5.3B.5.6凯程考研，就是要你考上研究生！C.7.3D.7.6

7.下列矩阵中，与矩阵110011001相似的为

A.111011.001B.101011.001

C.111010.001D.101010.0018.设,AB为n阶矩阵，记()rX为矩阵X的秩，( )XY表示分块矩阵，则

考研数学二(微分方程)历年真题试卷汇编2.doc

考研数学二（微分方程）历年真题试卷汇编2

(总分：62.00，做题时间：90分钟)

一、选择题(总题数：9，分数：18.00)

1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）

__________________________________________________________________________________________

2.(2010年试题，2)设y 1 ，y 1 是一阶非齐次微分方程y " +p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy

1 +μy 2 是该方程的解，λy 1 一μy 2 是该方程对应的齐次方程的解，则( )．（分数：2.00）

3.(2003年试题，二)已知是微分方程的解，则（分数：2.00）

4.(1998年试题，二)已知函数y=y(x)在任意点x处的增量（分数：2.00）

B.2π

C.π

5.(2011年试题，一)微分方程y " 一λ 2 y=e λx +e -λx (λ>0)的特解形式为( )．（分数：2.00）

A.a(e λx +e -λx )

B.ax(e λx +e一 -λx )

C.x(ae λx +be -λx )

D.x 2 (ae λx +be -λx )

6.(2008年试题，一)在下列微分方程中，以y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是( )．（分数：2.00）

A.y """ +y "" 一4y " -4y=0

B.""" +y "" +4y " +4y=0

C.""" -y "" -4y " -4y=0

D.""" -y "" +4y " -4y=0

7.(2006年试题，二)函数y=C 1 e x +C 2 e -2x +xe x 满足的一个微分方程是( )．（分数：2.00）

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2012考研数二真题及解析

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