考研数学二真题及解析
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2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.
（1））若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在0x处连续，则（）
(A)12ab (B)12ab (C)0ab (D)2ab
【答案】A
【解析】0011cos12limlim,()2xxxxfxaxaxa在0x处连续11.22baba选A.
（2）设二阶可导函数()fx满足(1)(1)1,(0)1fff且''()0fx，则（）
【答案】B
【解析】
()fx为偶函数时满足题设条件，此时0110()()fxdxfxdx，排除C,D.
取2()21fxx满足条件，则112112()2103fxdxxdx，选B.
（3）设数列nx收敛，则（）
()A当limsin0nnx时，lim0nnx()B当lim()0nnnxx时，lim0nnx
()C当2lim()0nnnxx时，lim0nnx()D当lim(sin)0nnnxx时，lim0nnx
【答案】D
【解析】特值法：（A）取nx，有limsin0,limnnnnxx，A错；
取1nx，排除B,C.所以选D.
（4）微分方程的特解可设为
（A）22(cos2sin2)xxAeeBxCx（B）22(cos2sin2)xxAxeeBxCx
（C）22(cos2sin2)xxAexeBxCx（D）22(cos2sin2)xxAxeeBxCx
【答案】A
【解析】特征方程为：21,248022i
故特解为：***2212(cos2sin2),xxyyyAexeBxCx选C. （5）设(,)fxy具有一阶偏导数，且对任意的(,)xy，都有(,)(,)0,0fxyfxyxy，则
（A）(0,0)(1,1)ff（B）(0,0)(1,1)ff（C）(0,1)(1,0)ff（D）(0,1)(1,0)ff
【答案】C
【解析】(,)(,)0,0,(,)fxyfxyfxyxy是关于x的单调递增函数，是关于y的单调递减函数，
所以有(0,1)(1,1)(1,0)fff，故答案选D.
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线1()vvt（单位：/ms），虚线表示乙的速度曲线2()vvt，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位：s），则（）
（A）010t （B）01520t （C）025t （D）025t
【答案】B
【解析】从0到0t这段时间内甲乙的位移分别为001200(t),(t),ttvdtvdt则乙要追上甲，则
0210(t)v(t)10tvdt，当025t时满足，故选C.
（7）设A为三阶矩阵，123(,,)P为可逆矩阵，使得1012PAP，则123(,,)A（）
（A）12（B）232（C）23（D）122
【答案】B
【解析】
11231232300011(,,)(,,)12222PAPAPPA,
因此B正确。
（8）设矩阵200210100021,020,020001001002ABC,则（）
（A）,ACBC与相似与相似 （B）,ACBC与相似与不相似
（C）,ACBC与不相似与相似 （D）,ACBC与不相似与不相似 【答案】B
【解析】由0EA可知A的特征值为2,2,1,
因为3(2)1rEA，∴A可相似对角化，即100~020002A
由0EB可知B特征值为2,2,1.
因为3(2)2rEB，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴~AC，但B不相似于C.
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.
(9)曲线21arcsinyxx的斜渐近线方程为_______
【答案】2yx
【解析】
(10)设函数()yyx由参数方程sintxteyt确定，则220tdydx______
【答案】18
【解析】
(11)20ln(1)(1)xdxx_______
【答案】1
【解析】
(12)设函数(,)fxy具有一阶连续偏导数，且(,)(1)yydfxyyedxxyedy，(0,0)0f，则(,)______fxy
【答案】yxye
【解析】,(1),(,)(),yyyyxyfyefxyefxyyedxxyecy故
()yyyyyfxexyecyxexye，
因此()0cy，即()cyC，再由(0,0)0f，可得(,).yfxyxye 【答案】
【解析】
（13）110tan______yxdydxx 【答案】lncos1.
【解析】交换积分次序：
11110000tantantanlncos1xyxxdydxdxdyxdxxx.
（14）设矩阵41212311Aa的一个特征向量为112，则_____a
【答案】-1
【解析】设112，由题设知A，故
故1a.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）求极限030limxtxxtedtx
【答案】23
【解析】030limxtxxtedtx，令xtu，则有
（16）（本题满分10分）设函数(,)fuv具有2阶连续偏导数，(,cos)xyfex，求0xdydx，220xdydx
【答案】2'''111200(1,1),(1,1),xxdydyffdxdx
【解析】
结论：
（17）（本题满分10分）求21limln1nnkkknn
【答案】14
【解析】
（18）（本题满分10分）已知函数()yx由方程333320xyxy确定，求()yx的极值
【答案】极大值为(1)1y，极小值为(1)0y
【解析】
两边求导得： 2233'33'0xyyy（1）
令'0y得1x
对（1）式两边关于x求导得2266'3''3''0xyyyyy（2）
将1x代入原题给的等式中，得1110xxoryy，
将1,1xy代入（2）得''(1)10y
将1,0xy代入（2）得''(1)20y
故1x为极大值点，(1)1y；1x为极小值点，(1)0y
（19）（本题满分10分）设函数()fx在区间[0,1]上具有2阶导数，且0()(1)0,lim0xfxfx，证明：
()方程()0fx在区间(0,1)内至少存在一个实根；
()方程2''()()(())0fxfxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
（I）()fx二阶导数，0()(1)0,lim0xfxfx
解：1）由于0()lim0xfxx，根据极限的保号性得
0,(0,)x有()0fxx，即()0fx
进而0(0,)0xf有
又由于()fx二阶可导，所以()fx在[0,1]上必连续
那么()fx在[,1]上连续，由()0,(1)0ff根据零点定理得：
至少存在一点(,1)，使()0f，即得证
（II）由（1）可知(0)0f，(0,1),()0f使，令()()'()Fxfxfx，则(0)()0ff
由罗尔定理(0,),'()0f使，则(0)()()0FFF，
对()Fx在(0,),(,)分别使用罗尔定理：
12(0,),(,)且1212,(0,1),，使得12'()'()0FF，即 2'()()''()'()0Fxfxfxfx在(0,1)至少有两个不同实根。
得证。
（20）（本题满分11分）已知平面区域22,|2,Dxyxyy计算二重积分21Dxdxdy。
【答案】54
【解析】22sin222220051122cos4DDDDxdxdyxdxdyxdxdydxdydrd
（21）（本题满分11分）设()yx是区间30,2内的可导函数，且(1)0y，点P是曲线L:()yyx上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点0,pY，法线与x轴相交于点,0pX，若ppXY，求L上点的坐标,xy满足的方程。
【答案】
【解析】设,()pxyx的切线为()()YyxyxXx，令0X得()()pYyxyxx，法线1()()YyxXxyx,令0Y得()()pXxyxyx。由ppXY得()()yxyxxyyx，即1()1yyyxxx。令yux，则yux，按照齐次微分方程的解法不难解出21ln(1)arctanln||uuxCx,
（22）（本题满分11分）设3阶矩阵123,,A有3个不同的特征值，且3122。
()证明：()2rA
()若123，求方程组Ax的通解。
【答案】（I）略；（II）通解为1121,11kkR
【解析】
（I）证明：由3122可得12320，即123,,线性相关，
因此，1230A，即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
