2003考研数二真题及解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

(1) 若0x时，1)1(412ax 与xxsin是等价无穷小，则a= .

(2) 设函数()yfx由方程4ln2yxxy所确定，则曲线()yfx在点(1,1)处的切线方程是 .

(3) xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是 .

(4) 设曲线的极坐标方程为)0(aea ，则该曲线上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .

(5) 设为3维列向量，T是的转置. 若111111111T，则

T= .

(6) 设三阶方阵,AB满足EBABA2，其中E为三阶单位矩阵，若

102020101A，则B .

二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

(1) 设}{},{},{nnncba均为非负数列，且0limnna,1limnnb,nnclim,则必有( )

(A) nnba对任意n成立. (B) nncb对任意n成立.

(C) 极限nnncalim不存在. (D) 极限nnncblim不存在.

(2) 设dxxxannnnn123101, 则极限nnnalim等于( )

(A) 1)1(23e. (B) 1)1(231e.

(C) 1)1(231e. (D) 1)1(23e. (3) 已知xxyln是微分方程)(yxxyy的解，则)(yx的表达式为( )

(A) .22xy (B) .22xy (C) .22yx (D) .22yx

(4 ) 设函数()fx在),(内连续，其导函数的图形如图所示，

则()fx有( )

(A)一个极小值点和两个极大值点.

(B)两个极小值点和一个极大值点.

(C)两个极小值点和两个极大值点.

(D)三个极小值点和一个极大值点.

(5) 设401tandxxxI,dxxxI402tan, 则( )

(A) .121II (B) .121II

(C) .112II (D) .112II

(6)设向量组I：r,,,21可由向量组II：s,,,21线性表示，则( )

(A) 当sr时，向量组II必线性相关. (B) 当sr时，向量组II必线性相关.

(C) 当sr时，向量组I必线性相关. (D) 当sr时，向量组I必线性相关.

三 、(本题满分10分)

设函数 32ln(1),0arcsin()6,01,0sin4axaxxxxfxxexaxxxx

问a为何值时，()fx在0x处连续；a为何值时，0x是()fx的可去间断点？

四 、(本题满分9分) y

x 设函数()yyx由参数方程212ln112,(1)utxtteyduu所确定，求.922xdxyd

五 、(本题满分9分)

计算不定积分 .)1(232arctandxxxex

六、(本题满分12分)

设函数()yyx)在),(内具有二阶导数，且)(,0yxxy是()yyx的反函数.

(1) 试将()xxy所满足的微分方程0))(sin(322dydxxydyxd变换为()yyx满足的微分方程；

(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(yy的解.

七 、(本题满分12分)

讨论曲线kxyln4与xxy4ln4的交点个数.

八 、(本题满分12分)

设位于第一象限的曲线()yfx过点)21,22(，其上任一点(,)Pxy处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.

(1) 求曲线 ()yfx的方程；

(2) 已知曲线sinyx在],0[上的弧长为l，试用l表示曲线()yfx的弧长s.

九 、(本题满分10分)

有一平底容器，其内侧壁是由曲线

)0)((yyx绕y轴旋转而成的旋转曲面

(如图)，容器的底面圆的半径为2m. 根据设

计要求，当以min/33m的速率向容器内注入

液体时，液面的面积将以2/minm的速率均 -2 O 2 x y

y x=φ(y) 匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).

(1) 根据t时刻液面的面积，写出t与)(y之间的关系式；

(2) 求曲线)(yx的方程.

(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)

十 、(本题满分10分)

设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，在开区间(,)ab内可导，且.0)(xf

若极限axaxfax)2(lim存在，证明：

(1) 在(,)ab内()0fx;

(2) 在(,)ab内存在点，使)(2)(22fdxxfabba；

(3) 在(,)ab内存在与(2)中相异的点，使badxxfaabf.)(2))((22

十 一、(本题满分10分)

若矩阵60028022aA相似于对角阵，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P使.1APP

十二 、(本题满分8分)

已知平面上三条不同直线的方程分别为

1:230laxbyc，2:230lbxcya，3:230lcxayb.

试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0cba

2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析

一、填空题

(1)【答案】4

【详解】 当0x时，11(1)1~nxxn，sin~xx，则241241~1)1(axax，2~sinxxx

由题设已知，当0x时，124(1)1ax与sinxx是等价无穷小，

所以 12242001(1)141limlimsin4xxaxaxaxxx，

从而 4a．

(2)【答案】0xy

【分析】为了求曲线在点(1,1)处的切线方程，首先需要求出函数在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可．

【详解】对所给方程两边对x求导数，将其中的y视为x的函数，有

yyxyxy342

将1,1xy代入上式，得.1)1(y 故函数在点(1,1)处的导数为1，即点(1,1)处切线的斜率为1，再利用点斜式得，过点(1,1)处的切线方程为

)1(11xy，即.0yx

(3)【答案】!)2(lnnn

【详解】()yfx带佩亚诺余项的麦克劳林公式：

()2(0)(0)()(0)(0)()2!!nnnfffxffxxxxn

求()yfx的麦克劳林公式中nx项的系数相当于先求()yfx在点0x处的n阶导数值)0()(nf，()(0)!nfn就是麦克劳林公式中nx项的系数.

2ln2xy；2)2(ln2xy；()2(ln2)nxny (归纳法及求导公式)

于是有nny)2(ln)0()(，故xy2的麦克劳林公式中nx项的系数是.!)2(ln!)0()(nnynn

(4)【答案】)1(414aea

【详解】

方法1：用定积分计算. 极坐标下平面图形的面积公式：dS)(212，则

dedSa20220221)(21=20241aea)1(414aea．

方法2：用二重积分计算. D表示该图形所占的区域，在极坐标下，利用二重积分面积公式：

Ddd

所以 22200012aeaDSddrdred=)1(414aea．

(5)【答案】3

【分析】本题的可由矩阵T的秩为1，把其分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行(或任一非零行)，列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成．也可设TA求出，或利用2A或设123[]Txxx，定出等．

【详解】方法1：观察得A的三个行向量成比列，其比为1:1:1, 故

111111111TA=111111，

知111，于是.3111111T

方法2：TA， 2()()(1)TTTTTAA

而 21111113331111113333(2)111111333AA

比较(1)，(2)式，得3T．

方法3：设123[]Txxx211213221223231323111111111TxxxxxAxxxxxxxxxx 故 122212321233()Txxxxxxxxx(A的主对角元之和)

(6)【答案】21

【分析】 先化简分解出矩阵B，再计算行列式B或者将已知等式变形成含有因子B的矩阵乘积形式，而其余因子的行列式都可以求出即可．

【详解】方法1：由EBABA2，知EABEA)(2，即EABEAEA))((，

易知矩阵AE可逆，于是有 .)(EBEA

再两边取行列式，得 1BEA，

因为2002010100EA, 所以B 21 ．

方法2：由EBABA2，得

EABEAEA))((

等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式=行列式的乘积，得

AEAEBAE

约去0AE，得 112BAE．

二、选择题

(1)【答案】()D

【详解】方法1：推理法

由题设lim1nnb，假设limnnnbc存在并记为A，则limlimnnnnnnbccAb,这与limnnc矛盾，故假设不成立，limnnnbc不存在． 所以选项()D正确．

方法2：排除法

取1nan，1nnbn，满足0limnna,1limnnb, 而11111,0,abab，()A不正确；