高考数学：第四章 三角函数与解三角形 第5讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换及三角函数的综合问题

第5讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用

[基础题组练]

1．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是( )

解析：选A.令x＝0，得y＝sin－π3＝－32，排除B，D.令x＝π6，得y＝sin2×π6－π3＝0，排除C.

2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为π2，则fπ6的值是( )

A．－3 B.33

C．1 D．3

解析：选D.由题意可知该函数的周期为π2，所以πω＝π2，ω＝2，f(x)＝tan 2x，所以fπ6＝tanπ3＝3.

3．已知函数f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)与g(x)＝A2cos ωx的部分图象如图所示，则( )

A．A＝1 B．A＝3 C．ω＝π3 D．ω＝3π

解析：选C.由题图可得过点(0，1)的图象对应的函数解析式为g(x)＝A2cos ωx，即A2＝1，A＝2.过原点的图象对应函数f(x)＝Asin ωx.由f(x)的图象可知，T＝2πω＝1.5×4，可得ω＝π3.

4．(2020·福建五校第二次联考)为得到函数y＝cos2x＋π3的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象( )

A．向右平移5π12个单位长度

B．向左平移5π12个单位长度

C．向右平移5π6个单位长度

D．向左平移5π6个单位长度

解析：选B.因为y＝sin 2x＝cosπ2－2x＝cos2x－π2，

y＝cos2x＋π3＝cos2x＋5π12－π2，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移5π12个单位长度可得到函数y＝cos2x＋π3的图象．故选B.

5．(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|

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第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

一、基础知识

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)

(A>0，ω>0) 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

2．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

x －φω π2ω－φω π－φω 3π2ω－φω 2π－φω

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法

(1)两种变换的区别

①先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；②先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度． 2

(2)变换的注意点

无论哪种变换，每一个变换总是针对自变量x而言的，即图象变换要看“自变量x”发生多大变化，而不是看角“ωx＋φ”的变化．

考点一 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

[典例] (1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0

A．f(x)＝2sin12x＋π4

B．f(x)＝2sin12x＋3π4

C．f(x)＝2sin14x＋3π4

D．f(x)＝2sin2x＋π4

(2)(2019·皖南八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点2，－12，则函数f(x)＝________________.

[解析] (1)由题图可知A＝2，T＝2×3π2－－π2＝4π，故2πω＝4π，解得ω＝12.

第四章 三角函数、解三角形

4.44.4 y＝Asin(ωx＋φ)的图像与应用

课内基础通关

1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)

(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示：

x 0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0

3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：

课外知识延伸

1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)y＝sinx－π4的图象是由y＝sinx＋π4的图象向右平移π2个单位得到的．( √ )

(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．( × )

(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( × )

(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝2πω.( × )

(5)把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y＝sin 12x.( × )

(6)若函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ ) 点自查

1．(教材改编)y＝2sin(12x－π3)的振幅，频率和初相分别为( )

1 第三章 三角函数、解三角形 3.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用练习 理

[A组²基础达标练]

1．[2016²九江质检]把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是( )

A．y＝cos2x B．y＝－sin2x

C．y＝sin2x－π4 D．y＝sin2x＋π4

答案 A

解析 由y＝sinx图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin2x，再向左平移π4个单位得y＝sin2x＋π4，即y＝cos2x.

2．[2015²邢台摸底]先把函数f(x)＝sinx－π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y＝g(x)的图象．当x∈π4，3π4时，函数g(x)的值域为( )

A.－32，1 B.－12，1

C.－32，32 D．[－1,0)

答案 A

解析 依题意得g(x)＝sin2x－π3－π6＝sin2x－5π6；当x∈π4，3π4时，2x－5π6∈－π3，2π3，sin2x－5π6∈－32，1，此时g(x)的值域是－32，1，选A.

3．[2015²洛阳期末]把函数y＝sinx＋π6图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为( )

A．x＝－π2

B．x＝－π4

C．x＝π8 D．x＝π4

答案 A

解析 把函数y＝sinx＋π6图象上各点的横坐标缩小到原来的12(纵坐标不变)所得函数图象的解析式为y＝sin2x＋π6，再将图象向右平移π3个单位所得函数图象的解析式为y 2 ＝sin2x－π3＋π6＝sin2x－π2＝－cos2x，即y＝－cos2x，令2x＝kπ，k∈Z，则x＝kπ2，k∈Z，即对称轴方程为x＝kπ2，k∈Z，故选A.