高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第4讲 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课时作

word

函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用

课时作业

1．(2019·某某某某二模)将函数y＝sinx＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象的解析式为()

A．y＝sin2x＋5π12 B．y＝sinx2＋5π12

C．y＝sinx2－π12 D．y＝sinx2＋5π24

答案B

解析 将函数y＝sinx＋π6的图象上所有的点向左平移π4个单位长度，可得y＝sinx＋π4＋π6＝sinx＋5π12的图象，再把所得图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，可得y＝sin12x＋5π12的图象，故选B.

2．如图所示，函数y＝3tan2x＋π6的部分图象与坐标轴分别交于点D，E，F，则△DEF的面积为()

A.π4 B．π2

C．π D．2π

答案A

解析 在y＝3tan2x＋π6中，令x＝0可得D(0,1)；令y＝0解得x＝kπ2－π12(k∈Z)，故E－π12，0，F5π12，0.所以△DEF的面积为12×π2×1＝π4.

3．已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝π4和x＝5π4是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝()

A.π4 B．π3

C.π2 D．3π4

答案A

解析 由题意得周期T＝25π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f(x)＝sin(x＋φ)，word

∴fπ4＝sinπ4＋φ＝±1.∵0＜φ＜π，∴π4＜φ＋π4＜5π4，∴φ＋π4＝π2，

∴φ＝π4.

4．(2019·某某某某模拟)将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()

A.3π4 B．π4

C．0 D．－π4

答案B

解析 把函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移π8个单位后，得到的图象的解析式是y＝sin2x＋π4＋φ，该函数是偶函数的充要条件是π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，根据选项检验可知φ的一个可能取值为π4.

5．如图是周期为2π的三角函数y＝f(x) 的图象，那么f(x)可以写成()

A．sin(1＋x)

B．sin(－1－x)

C．sin(x－1)

D．sin(1－x)

答案D

解析 设y＝sin(x＋φ)，∵点(1,0)为五点法作图的第三点，∴sin(1＋φ)＝0⇒1＋φ＝π，φ＝π－1，∴y＝sin(x＋φ)＝sin(1－x)．

6．如图所示，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P(x，y)．若初始位置为P032，12，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()

A．y＝sinπ30t＋π6 B．y＝sin－π60t－π6 word

C．y＝sin－π30t＋π6

D．y＝sin－π30t－π3

答案C

解析 由题意可得，函数的初相位是π6，排除B，D.又函数周期是60秒且秒针按顺时针方向旋转，即T＝2π|ω|＝60，所以|ω|＝π30，所以ω＝－π30，故y＝sin－π30t＋π6.

7．已知函数f(x)＝2sinωx－π6(ω>0)的部分图象如图所示，则ω的值可能为()

A．1 B．2

C．3 D．4

答案B

解析 由图可知T432，把π3，2代入函数表达式得2sinπ3ω－π6＝2，∴π3ω－π6＝2kπ＋π2(k∈Z)，解得ω＝6k＋2(k∈Z)．故选B.

8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ均为正常数)的最小正周期为π，当x＝2π3时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()

A．f(2)

C．f(－2)

答案A

解析 由题意知函数在2π3－π2，2π3，即π6，2π3上单调递减．f(－2)＝f(π－2)，f(0)＝fπ3，而π3f(π－2)>f(2)，即f(0)>f(－2)>f(2)．故选A.

9．(2019·某某质检)已知函数f(x)＝sinωx＋π6(0＜ω＜2)满足条件：f－12＝0，为了得到函数y＝f(x)的图象，可将函数g(x)＝cosωx的图象向右平移m(m＞0)个单位长度，则m的最小值为()

A．1 B．12

C.π6 D．π2 word

答案A

解析 由题意，得sin－12ω＋π6＝0，即－12ω＋π6＝kπ(k∈Z)，则ω＝π3－2kπ(k∈Z)，结合0＜ω＜2，得ω＝π3，所以f(x)＝sinπ3x＋π6＝cosπ2－π3x－π6＝cosπ3(x－1)，所以只需将函数g(x)＝cosπ3x的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y＝f(x)的图象，故选A.

10．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)|φ|

A．－32 B．－12

C.12 D．32

答案A

解析 将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后，得到f(x)＝sin2x＋π3＋φ的图象．再根据所得图象关于原点对称，可得π3＋φ＝kπ(k∈Z)，所以φ＝kπ－π3(k∈Z)．又|φ|

11．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sinωx＋π5(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：

①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；

②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；

③f(x)在0，π10单调递增；

④ω的取值X围是125，2910.

其中所有正确结论的编号是()

A．①④ B．②③

C．①②③ D．①③④

答案D word 解析

已知f(x)＝sinωx＋π5(ω>0)在[0,2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0,2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0,2π]时，ωx＋π5∈π5，2πω＋π5，由f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋π5<6π，得ω的取值X围是125，2910，所以④正确；当x∈0，π10时，π5

12．将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φ0＜φ＜π2个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝π3，则φ＝()

A.5π12 B．π3

C.π4 D．π6

答案D

解析 由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝π3，令2x1＝π2，2x2－2φ＝－π2，此时|x1－x2|＝|π2－φ|＝π3，又0＜φ＜π2，故φ＝π6.选D.

13．(2020·海淀模拟)去年某地的月平均气温y(℃)与月份x(月)近似地满足函数y＝a＋bsinπ6x＋π6(a，b为常数)．若6月份的月平均气温约为22 ℃，12月份的月平均气温约为4 ℃，则该地8月份的月平均气温约为________℃.

答案31

解析 将(6,22)，(12,4)代入函数，解得a＝13，b＝－18，所以y＝13－18sinπ6x＋π6.

当x＝8时，y＝13－18sinπ6×8＋π6＝31.

14．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ

答案9π10

解析

由题图可知ω＝45，当x＝2π时，y＝1，

∴45×2π＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.

∵－π≤φ

15．(2019·某某模拟)已知x∈(0，π]，关于x的方程2sinx＋π3＝a有两个不同的实数解，则实数a的取值X围为________．

答案(3，2)

解析令y1＝2sinx＋π3，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的图象如图所示．

若2sinx＋π3＝a在(0，π]上有两个不同的实数解，则y1与y2的图象应有两个不同的交点，所以3

16．(2019·某某模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，fπ2＝－23，则f－π6＝________.

答案 －23

解析 由题图知T2＝11π12－7π12＝π3，

∴T＝2π3，即ω＝3，当x＝7π12时，f(x)＝0，

即3×7π12＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，

∴φ＝2kπ－9π4，k∈Z，取k＝1，

则φ＝－π4，∴f(x)＝Acos3x－π4.