高考数学第四篇三角函数解三角形第4讲正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用教案理

第4讲 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

【2013年高考会这样考】

1．考查正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换．

2．结合三角恒等变换考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及简单应用．

3．考查y＝sin x到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种变换途径．

【复习指导】

本讲复习时，重点掌握正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的“五点”作图法，图象的三种变换方法，以及利用三角函数的性质解决有关问题．

基础梳理

1．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点

如下表所示

x 0－φω π2－φω π－φω 3π2－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A

0

2．函数y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤

3．当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x∈[0，＋∞))表示一个振动时，A叫做振幅，T＝2πω叫做周期，f＝1T叫做频率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．

4．图象的对称性

函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象是轴对称也是中心对称图形，具体如下：

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝xk(其中 ωxk＋φ＝kπ＋π2，k∈Z)成轴对称图形．

(2)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(xk,0)(其中ωxk＋φ＝kπ，k∈Z)成中心对称图形．

一种方法

在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝M－m2，k＝M＋m2，ω由周期T确定，即由2πω＝T求出，φ由特殊点确定．

一个区别 由y＝sin x的图象变换到y＝Asin (ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．

两个注意

作正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时应注意：

(1)首先要确定函数的定义域；

(2)对于具有周期性的函数，应先求出周期，作图象时只要作出一个周期的图象，就可根据周期性作出整个函数的图象．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)y＝2sin2x－π4 的振幅、频率和初相分别为( )．

A．2，1π，－π4 B．2，12π，－π4

C．2，1π，－π8 D．2，12π，－π8

答案 A

2.已知简谐运动f(x)＝Asin(ωx＋φ)|φ|＜π2的部分图象如图所示，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )．

A．T＝6π，φ＝π6 B．T＝6π，φ＝π3

C．T＝6，φ＝π6 D．T＝6，φ＝π3

解析 由题图象知T＝2(4－1)＝6⇒ω＝π3，由图象过点(1,2)且A＝2，可得sinπ3×1＋φ＝1，又|φ|＜π2，得φ＝π6.

答案 C

3．函数y＝cos x(x∈R)的图象向左平移π2个单位后，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的解析式应为( )．

A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x

解析 由图象的平移得g(x)＝cosx＋π2＝－sin x.

答案 A 4．设ω＞0，函数y＝sinωx＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )．

A.23 B.43 C.32 D．3

解析 y＝sinωx＋π3＋2向右平移4π3个单位后得到y1＝sinωx－4π3＋π3＋2＝sinωx＋π3－4π3ω＋2，又y与y1的图象重合，则－4π3ω＝2kπ(k∈Z)．

∴ω＝－32k.又ω＞0，k∈Z，

∴当k＝－1时，ω取最小值为32，故选C.

答案 C

5．(2011·重庆六校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.

解析 由题意设函数周期为T，则T4＝23π－π3＝π3，故T＝43π.∴ω＝2πT＝32.

答案 32

考向一 作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

【例1】►设函数f(x)＝cos(ωx＋φ)ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且fπ4＝32.

(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象．

[审题视点] (1)由已知条件可求ω，φ；

(2)采用“五点法”作图，应注意定义域[0，π]．

解 (1)周期T＝2πω＝π，∴ω＝2，

∵fπ4＝cos2×π4＋φ＝cosπ2＋φ＝－sin φ＝32，

∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.

(2)由(1)知f(x)＝cos2x－π3，列表如下： 2x－π3 －π3 0 π2 π 32π 53π

x 0 π6 512π 23π 1112π π

f(x) 12 1 0 －1 0 12

图象如图：

(1)“五点法”作图的关键是正确确定五个点，而后列表、描点、连线即可．

(2)变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω来确定平移单位．

【训练1】 已知函数f(x)＝3sin12x－π4，x∈R.

(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；

(2)将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？

解 (1)列表取值：

x π2 32π 52π 72π 92π

12x－π4 0 π2 π 32π 2π

f(x) 0 3

0 －3

0

描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．

(2)先把y＝sin x的图象向右平移π4个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．

考向二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

【例2】►(2011·江苏)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．

[审题视点] 由最高、最低点确定A，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.

解析 由图可知：A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝2kπ＋π，∴φ＝2kπ＋π3，令k＝0，ω＝2πT＝2，又函数图象经过点π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f(x)＝2sin2x＋π3，所以f(0)＝2sinπ3＝62.

答案 62 解决这类题目一般是先根据函数图象的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值．

【训练2】 已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，|φ|＜π2，ω＞0)的图象的一部分如图所示．

(1)求f(x)的表达式；

(2)试写出f(x)的对称轴方程．

解 (1)观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，

即sin φ＝12.

∵|φ|＜π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，

∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.

∴f(x)＝2sin2x＋π6.

(2)设2x＋π6＝B，则函数y＝2sin B的对称轴方程为

B＝π2＋kπ，k∈Z，

即2x＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，

解上式得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，

∴f(x)＝2sin2x＋π6的对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)．

考向三 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的综合应用

【例3】►(2012·西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M2π3，－2.

(1)求f(x)的解析式；

(2)当x∈π12，π2时，求f(x)的值域．

[审题视点] 先由图象上的一个最低点确定A的值，再由相邻两个交点之间的距离确定ω的值，最后由点M在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析式；先由x的范围，求得2x＋π6的范围，再求得f(x)的值域． 解 (1)由最低点为M2π3，－2，得A＝2.

由x轴上相邻的两个交点之间的距离为π2，得T2＝π2，即T＝π，所以ω＝2πT＝2ππ＝2.由点M2π3，－2在图象上，得2sin2×2π3＋φ＝－2，即sin4π3＋φ＝－1.

故4π3＋φ＝2kπ－π2，k∈Z，所以φ＝2kπ－11π6(k∈Z)．

又φ∈0，π2，所以φ＝π6.

故f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.

(2)因为x∈π12，π2，所以2x＋π6∈π3，7π6.

当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；

当2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，f(x)取得最小值－1.

故函数f(x)的值域为[－1,2]．

利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，去求解参数ω的值，利用图象的最低点为三角函数最值点，去求解参数A的值等．在求函数值域时，由定义域转化成ωx＋φ的范围，即把ωx＋φ看作一个整体．

【训练3】 (2011·南京模拟)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象过点Pπ12，0，图象上与点P最近的一个最高点是Qπ3，5.

(1)求函数的解析式；

(2)求函数f(x)的递增区间．

解 (1)依题意得：A＝5，周期T＝4π3－π12＝π，

∴ω＝2ππ＝2.故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点Pπ12，0，

∴5sinπ6＋φ＝0，

由已知可得π6＋φ＝0，∴φ＝－π6

∴y＝5sin2x－π6.