高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第4节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数的

第四节 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数的简单应用

[考纲传真] 1.了解函数y＝AsinF(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

(对应学生用书第45页)

[基础知识填充]

1．函数y＝Asin (ωx＋φ)中各量的物理意义

y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相

A T＝2πω f＝1T＝ω2π ωx＋φ φ

2. 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示

x －φω π2－φω π－φω 32π－φω 2π－φω

ωx＋φ 0 π2 π 3π2 2π

y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A

0

3. 由y＝sin x的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图像

先平移后伸缩 先伸缩后平移

⇓ ⇓

[知识拓展]

1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移φω个单位长度，而非φ个单位长度．

2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．( )

(2)将y＝3sin 2x的图像左移π4个单位后所得图像的解析式是y＝3sin2x＋π4.( )

(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．( )

(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )

[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√

2．(2016·四川高考)为了得到函数y＝sinx＋π3的图像，只需把函数y＝sin x的图像上所有的点( )

A．向左平行移动π3个单位长度

B．向右平行移动π3个单位长度

C．向上平行移动π3个单位长度

D．向下平行移动π3个单位长度

A [把函数y＝sin x的图像上所有的点向左平行移动π3个单位长度就得到函数y＝sinx＋π3的图像．]

3．(2017·山东高考)函数y＝3sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( )

A．π2 B．2π3

C．π D．2π

C [y＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6，T＝2π2＝π.

故选C．]

4．将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )

A．3π4 B．π4

C．0 D．－π4

B [把函数y＝sin(2x＋φ)沿x轴向左平移π8个单位后得到函数y＝sin 2x＋φ2＋π8＝sin2x＋φ＋π4为偶函数，则φ的一个可能取值是π4.]

5．(教材改编)电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系式是I＝5sin100πt＋π3，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的初相、周期分别是________．

【导学号：00090097】

π3，150 [由初相和周期的定义，得电流I变化的初相是π3，周期T＝2π100π＝150.]

(对应学生用书第46页)

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换

(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是( )

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线

向右平移π6个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线

向左平移π12个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向

右平移π6个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向

左平移π12个单位长度，得到曲线C2

D [因为y＝sin2x＋2π3＝cos2x＋2π3－π2＝cos2x＋π6，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移π12个单位长度，得到曲线y＝cos 2x＋π12＝cos2x＋π6.

故选D．]

(2)已知函数f(x)＝3sin12x－π4，x∈R.

①画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；

②将函数y＝sin x的图像作怎样的变换可得到f(x)的图像？

[解] ①列表取值：

x π2 32π 52π

72π 92π

12x－π4 0 π2 π 32π 2π

f(x) 0 3 0 －3

0

描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．

②先把y＝sin x的图像向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图像．

[规律方法]

1.变换法作图像的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ωx＋φω确定平移单位．

2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，描点得出图像．如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定．

[变式训练1]

(1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin2x＋π6的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( )

A．y＝2sin2x＋π4 B．y＝2sin2x＋π3

C．y＝2sin2x－π4 D．y＝2sin2x－π3

(2)(2018·长春模拟)要得到函数f(x)＝cos2x＋π3的图像，只需将函数g(x)＝sin2x＋π3的图像( ) 【导学号：00090098】

A．向左平移π2个单位长度

B．向右平移π2个单位长度

C．向左平移π4个单位长度

D．向右平移π4个单位长度

(1)D (2)C [(1)函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图像向右平移14个周期即π4个单位长度，所得图像对应的函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3，故选D．

(2)f(x)＝cos2x＋π3＝sin2x＋5π6，

故把g(x)＝sin2x＋π3的图像向左平移π4个单位，即得函数f(x)＝sin2x＋π4＋π3的图像，即得到函数f(x)＝cos2x＋π3的图像，故选C．]

求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式

(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图3­4­1所示，则( )

图3­4­1

A．y＝2sin2x－π6

B．y＝2sin2x－π3

C．y＝2sinx＋π6

D．y＝2sinx＋π3

(2)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周

期为π2，直线x＝π3是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )

A．y＝4sin4x＋π6

B．y＝2sin2x＋π3＋2

C．y＝2sin4x＋π3＋2

D．y＝2sin4x＋π6＋2

(1)A (2)D [(1)由图像知T2＝π3－－π6＝π2，故T＝π，因此ω＝2ππ＝2.又图像的一个最高点坐标为π3，2，所以A＝2，且2×π3＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，故φ＝2kπ－π6(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin2x－π6.故选A．

(2)由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，得ω＝4.由直线x＝π3是其图像的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，从而φ＝kπ－5π6，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin4x＋π6＋2.]

[规律方法] 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法

(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2；

(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝2πT；

(3)求φ：常用的方法有：

①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图像与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．

②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2；“第五点”时ωx＋φ＝2π.

[变式训练2] (2017·石家庄一模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图像如