柯西不等式与排序不等式

不等式选讲――柯西不等式与排序不等式（全）

例1 已知12,,naaa都是正数，求证：21212111()()nnaaanaaa

证1：()iaRiN

1212nnnaaanaaa，12121111nnnnaaaaaa

21212111()()nnaaanaaa，当且仅当12naaa时等号成立.

证2：构造两个数组：12,naaa；12111,naaa

利用柯西不等式有22211`111()[()][()]nnniiiiiiiaaaa

即 21111(1)()()nnniiiiiaa21212111()()nnaaanaaa

例2 设(1,2,,)iaRin，且22111()1nniiiiAaan，证明：122Aaa

证明：由柯西不等式，有

2222222212121211()[()](111)[()](1)(2)nninniiiaaaaaaanaaa

221211(1)(2)1niiiAanaaan122Aaa

例3. 设12,,,,kaaa为各不相同的正整数，求证：对任何正整数n，有2111nnkkkakk

证明：2221111111()[()]nnnnkkkkkkkkaakkkaa 不妨设12kaaa，则kak，故11kak

1111nnkkkak2211111()()nnnkkkkakkk，即2111nnkkkakk

例4.已知,0ab，4422222(1)1(1)(1)abfbabab，求证：16f

柯西不等式与排序不等式

一、基本概念：

（一）定理1：二维形式的柯西不等式

若,,,abcd都是实数，则22222()()()abcdacbd，当且仅当adbc时，等号成立.

证明：（一）代数证明：2222222222222acbcbdadacbdabcd

222220bcabcdad2()0bcad当且仅当adbc时，等号成立.

（二）向量证明：构造向量(,),(,)abcd，则有cos

其坐标形式即为2222acbdabcd

当且仅当,共线或0时等号成立，即当且仅当adbc时，等号成立.

推论1：2222abcdacbd（来源于向量证明中）

推论2：2222abcdacbd（将原式中,,,abcd都变为,,,abcd）

定理2：柯西不等式的向量形式

设α,β是两个向量，则αβαβ当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立.

证明：上述向量证明已经说明完毕

定理3：二维形式的三角不等式

设1122,,,xyxyR，那么22222211221212()()xyxyxxyy

证明：2222222222222112211112222222211121222222211121222221212()222()()()xyxyxyxyxyxyxyxxyyxyxyxxyyxyxxyy

即22222211221212()()xyxyxxyy原命题的证

（二）一般形式的柯西不等式

设123123,,,,,,,,,nnaaaabbbb是实数，则222222212121122()()()nnnnaaabbbababab

1 三 排序不等式

知识梳理

1.基本概念

设a1

2.排序原理

设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1,c2, …,cn是b1,b2, …,bn的任一排列，那么,

_______≤_______≤_______.

当且仅当_______或_______时，反序和等于顺序和.

知识导学

排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积和的问题，能构造的和按数组中的某种“搭配”的顺序被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和，对这三种不同的搭配形式只需注重是怎样的“次序”，两种较为简单是“顺与反”，而乱序和也就不按“常理”的顺序了，对于排序定理的记忆，我们只需记住用特殊例子的方法来说大小关系，比如教材上的例子.

对于排序不等式取等号的条件不难理解a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn，但对于我们解决某些问题则非常关键，它是命题成立的一种条件，所以要牢记.

疑难突破

1.对排序不等式的证明的理解

对排序不等式的证明中，用到了“探究——猜想——检验——证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及到的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解.

对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的.

2.排序原理的思想

在解答数学问题时，常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题.因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题.

典题精讲

【例1】 设a,b,c都是正数，求证：cabbcaabc≥a+b+c.

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知识要点：

1、柯西不等式

(1)柯西不等式：设a1，a2，…an和b1，b2…bn是两组实数，则

(a1b1+…+anbn)2 (a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)

等号成立当且仅当存在实数k，使得对所有的1,2,in有iiakb或对所有的1,2,in有iibka.

(2)柯西不等式的向量形式：||||||mnmn,其中等号成立当且仅当//mn.

(3)柯西不等式的几个推论：

①22222211221212||nnnnabababaaabbb.

特殊地有：22221122xyxy222212121122xxyyxyxy

②若bk>0(k=1,2,…,n),则2221111()nnnnaaaabbbb.

特殊地有：若y1,y2都是正数，则22212121212()xxxxyyyy，等号成立当且仅当1212xxyy.

③1122||nnababab(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)

④2221212nnxxxxxxnn

特殊地：2222abab

证明：22222211112222abababab

⑤a2+b2+c2  ab+bc+ca, (a+b+c)2 3(ab+bc+ca),

证明：ab+bc+ca222222222abcbcaabc

(a+b+c)2 = a2+b2+c2 + ab+bc+ca  3(ab+bc+ca),

2、排序不等式

(1)对于两个有序数组1212,nnaaabbb及则

112211221211nniininnnnababababababababab（同序）（乱序）（反序）