柯西不等式与排序不等式及其应用-柯西不等式-柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证

第八讲 几个著名的不等式

在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．这些著名不等式是数学家们长期致力于不等式理论研究的重要成果，它们将成为我们学习数学、研究数学、应用数学的得力工具。下面择要介绍一些著名的不等式．

1.柯西（Cauchy）不等式

定理：设niRbaii2,1,则22211nnbababa2222122221nnbbbaaa

等号成立当且仅当nikabii1.。

[一般形式的证明]

作函数

0)(222222122112222212222211xbbbxbababaxaaabxabxabxaxfnnnnnn

0 此时044121221niiniiniiibaba

niiniiniiibaba121221，得证。

[向量形式的证明]

令,2,1naaaA ,2,1nbbbB

22221222212211cosnnnnbbbaaaBABAbababaBA

1cos1

两边同时平方得：

22211nnbababa2222122221nnbbbaaa，得证。 [柯西不等式的应用]

例1.1设22121111,1naaaaaaniRanni求证

解：由柯西不等式可知，原不等式可化为2222122221111nnaaaaaa22111nn个

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文案大全 经典例题透析

类型一：利用柯西不等式求最值

1．求函数的最大值．

思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。

解析：

法一：∵且，

∴函数的定义域为，且，

当且仅当时，等号成立，

即时函数取最大值，最大值为

法二：∵且，

∴函数的定义域为

由，

得

即，解得

∴时函数取最大值，最大值为.

总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键．

举一反三：

【变式1】（2011辽宁，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。

（I）证明：-3≤f（x）≤3；

（II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。

【答案】 实用文档

文案大全 (Ⅰ)

当时，．

所以．…………5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，

当时，的解集为空集；

当时，的解集为；

当时，的解集为．

综上，不等式的解集为．……10分

【变式2】已知，，求的最值.

【答案】

法一：

由柯西不等式

于是的最大值为，最小值为.

法二：

由柯西不等式

于是的最大值为，最小值为.

【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．

【答案】

根据柯西不等式

， 实用文档

文案大全 故。

当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，

此时，

评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑．

类型二：利用柯西不等式证明不等式

利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。

第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用

本章复习课

1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，会用二维、三维柯西不等式进行简单的证明与求最值.

2.理解并掌握两个或三个正数的算术平均、几何平均数不等式并会应用它们求一些特定函数的最值.

3.了解排序不等式及平均值不等式.

知识结构

知识梳理

1.二维形式的柯西不等式

(1)定理1(二维)：设a1，a2，b1，b2均为实数，则(a21＋a22)·(b21＋b22)≥(a1b1＋a2b2)2，上式等号成立⇔a1b2＝a2b1.

(2)(二维变式)：a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|.

(3)定理2(向量形式)：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当α及β为非零向量时，上式中等号成立⇔向量α与β共线(或平行)⇔存在实数λ≠0，使得α＝λβ.

(4)定理3(三角不等式)：设a1，a2，b1，b2为实数，则

a21＋a22＋b21＋b22≥（a1＋b1）2＋（a2＋b2）2，

等号成立⇔存在非负实数μ及λ，使μa1＝λb1，μa2＝λb2.

(5)三角变式：设a1，a2，b1，b2，c1，c2为实数，则

（a1－b1）2＋（a2－b2）2＋（b1－c1）2＋（b2－c2）2≥（a1－c1）2＋（a2－c2）2，等号成立⇔存在非负实数λ及μ使得μ(a1－b1)＝λ(b1－c1)且μ(a2－b2)＝λ(b2－c2).

(6)三角向量式：设α，β，γ为平面向量，则|α－β|＋|β－γ|≥|α－γ|.

2.三维形式的柯西不等式：(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2.

3.柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，b3，…，bn为实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)12(b21＋b22＋…＋b2n)12≥|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|，其中等号成立⇔a1b1＝a2b2＝…＝anbn.

⾼考数学柯西不等式知识点总结

柯西不等式和排序不等式是两个⾮常重要的不等式，它们在⾼等数学中的应⽤很普遍。下⾯店铺给⼤家带来⾼考数学柯西不等式知识点，希望对你有帮助。

⾼考数学柯西不等式知识点(⼀) 所谓柯西不等式是指:设ai，bi∈R(i=1，2…，n，)，则(a1b1+a2b2+…anbn)2≤(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)，等号当且仅当==…=时成⽴。

柯西不等式证法:

柯西不等式的⼀般证法有以下⼏种：

(1)柯西不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai， bi，则有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai *bi)^2.

我们令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)

则我们知道恒有 f(x) ≥ 0.

⽤⼆次函数⽆实根或只有⼀个实根的条件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.

于是移项得到结论。

(2)⽤向量来证.

m=(a1，a2......an) n=(b1，b2......bn)

mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+......+bn^2)^(1/2)乘以cosX.

因为cosX⼩于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn⼩于等于a1^2+a2^2+......+an^2)^(1/2)乘以(b1^2+b2^2+.....+bn^2)^(1/2)

这就证明了不等式.

柯西不等式还有很多种，这⾥只取两种较常⽤的证法.

柯西不等式应⽤:

可在证明不等式，解三⾓形相关问题，求函数最值，解⽅程等问题的⽅⾯得到应⽤。

巧拆常数：

例：设a、b、c 为正数且各不相等。

求证： 2/(a+b)+2/(b+c)+2/(c+a)>9/(a+b+c)