柯西不等式和排序不等式

柯西不等式

设1a，2a„na及1b，2b„nb为任意实数，则有不等式

222111nnniiiiiiiabab

成立，其中当且仅当1b=2b„=nb=0或iiakb（1,2,,in）等号成立。

这就是著名的柯西（Cauchy）不等式。

柯西不等式的证明

利用二次函数证明柯西不等式

构造二次函数

2222211)(nnbxabxabxaxf

=22222121122122nnnnnnaaaxabababxbbb

22120nnaaa 且0fx恒成立

2222211221212440nnnnnnabababaaabbb

即 2222211221212nnnnnnabababaaabbb

其中当且仅当01,2iiabkin即 1212=nnaaakbbb时等号成立。

利用不等式的基本性质证明柯西不等式 根据高中所学习的基本不等式，实数0,0abababab

所以，要证明 222111nnniiiiiiiabab，只需证

22210nnniiiiiiiiabab

证明： 2221nnniiiiiiiiabab

=221111nnnnijiijjijijababab

=221111nnnnijiijjijijababab

=2222111111122nnnnnnijiijjjiijijijabababab

=222211122nnijiijjjiijabababab

=211102nnijjiijabab

故 222111nnniiiiiiiabab

当且仅当0ijjiabab(1,2,,)ijn、iiakb(k为常数，1,2,,in)时，上式等号成立。

利用数学归纳法证明

（1）当2n时，有22221212aabb =2211221221()abababab

21122abab

当且仅当12210abab，即iiakb（k为常数，1,2i）时，上式等号成立。

（2）假设当nk时，命题成立。

（3）当1nk时，有112211kkiiiiab

=22211kikiaa22211kikibb

2221111kkiikkiiabab

2111kiikkiabab（）

2+11211kkiiiiiiabab（）

当且仅当211121kiikkkiiaabb，1212kkaaabbb，所有的(1,2,,1)iiabik同号。

即iiakb（k为常数，1,2,,1ik）时，等号成立。

由数学归纳法命题成立。 由算术平均数推导得出柯西不等式

如果,,xyR那么222xyxy（当且仅当xy时取“=”号）。将算术平均数变形可得： 2212xyxy

对210niia且210niib，设21iinjjaxa，21iinjjbyb（1,2,1ik）

由不等式2212xyxy，有

222222111112iiiinnnnjjjjjjjjabababab

将n个不等式相加得

2212211221111112niinniiinnnniijjjjjjjjabababab

故 222111nnniiiiiiiabab

则有

222111nnniiiiiiiabab 当且仅当2211=iinnjjjjabab且所有的iiab同号，即iiakb（k为常数，1,2,,in）时，上式等号成立。

利用向量的内积证明柯西不等式

设两个向量a=12,naaa,b=12,nbbb，内积由,ab=1niiiab所给出，则有21,niiaaa，21,niibbb

由2,,,xyxxyy （CauchySchwarz不等式） 有

2,,,abaabb

即 222111nnniiiiiiiabab

故 222111nnniiiiiiiabab

当且仅当0ijjiabab(1,2,,)ijn、即iiakb(k为常数，1,2,,in)时，上式等号成立。

利用Jensen不等式证明柯西不等式

关于函数2xx，（0x）,'2xx,''2x0,故2xx是0，上的凸函数，由Jensen不等式 221111nnkkkkkknnkkkkPxPxPP（其中0kP,1,2,,kn）

即 22111nnnkkkkkkkkPxpPx

令2,kkkkkaPbxb，则有

222111nnnkkkkiiiabab

即 222111nnnkkkkiiiabab

故原不等式成立。

利用二次型正定性证明柯西不等式

由完全平方公式：对任意数,ab 2222abaabb

2222212121220iiiiiiatbtatbtabtt（1,2,,in）

将n个不等式相加得

2222121211120nnniiiiiiiatbtabtt

设二次型 2222121212111,()20nnniiiiiiifttatbtabtt

故f为半正定，必有二次型矩阵 211211nniiiiinniiiiiaabAabb正定

则 0A,

即 2221110nnniiiiiiiabab

 222111nnniiiiiiiabab

当且仅当1212nnaaabbb时等号成立，故原不等式成立。

柯西不等式的变形

在中学数学中，常常运用的是柯西不等式的变形，这里我们给出四种柯西不等式的变形公式

变形1 iaR,有2211nniiiinaa，等号成立当且仅当12naaa

变形2 iaR，有2111nniiiiana，等号成立当且仅当12naaa

变形3 ,iiabR，有22111niniiniiiiaabb，等号成立的充分必要条件是iiakb（1,2,,in） 变形4 ,iiabR，有2111nnniiiiiiiiaabab，等号成立的充分必要条件是12nbbb。

4 柯西不等式的推广

定理4.1 设,mnN且2m，ijaR,（1,2,3,i，m,1,2,3,,jn）,

则2112111222212()mmnnmnaaaaaaaaa12111nnnmmmjjmjjjjaaa

即 1111mmmnnmijijjjiiaa

当且仅当11211::maaa=12222::maaa=„=12::nnmnaaa时等号成立。

证明 （由数学归纳法证明）

（1） 当2m时，由柯西不等式知定理成立

（2） 假设当mk时，不等式成立

即 1111kkknnkijijjjiiaa

（3） 则当1mk时，由归纳假设 111kknkijjia= 111111kkkkkknnkkijijjjiiaa=111knkijjia

(1)

当且仅当11211::kaaa=12222::kaaa=„=12::nnknaaa时等号成立12111kkkkkijkjjiaa11111kkknkijjia

=11kknkkijja=1111111kknnkijkjjjiaa (2)

当且仅当1111112111112111===kkkkkknkkkiiimiiiaaaaaa时等号成立

将（1），（2）两式相乘，得

12111kkkkkijkjjiaa111kknkijjia111knkijjia11111kkknkijjia