选修4-5 第三节 柯西不等式与排序不等式

第三讲 柯西不等式与排序不等式

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知识概要

数学研究中,发现了一些不仅形式优美而且具有重要应用价值的不等式,人们称它为经典不等式.柯西不等式与排序不等式就属于这样的不等式.通过本讲的学习,我们可以领会这些不等式的数学意义,几何背景,证明方法及其应用,感受数学的美妙,提高数学素养.

本讲的主要内容有:

1.柯西不等式的几种不同形式及几何意义.

2.用参数配方法讨论柯西不等式.

3.用向量递归解法讨论排序不等式.

4.利用柯西不等式求一些特殊函数的极值.

学法指导

在学习柯西不等式和排序不等式时,要注意体会它们的推导方法及其中蕴含的数学思想;在使用这两个不等式处理问题时,一要注意前提条件,特别是求极值时要注意“＝”成立的条件;二要注意这两个不等式的结构特点,很多不等式的证明可通过转化写成其中的一种形式,从而获得解决.

教学后记： 板书设计： 第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）

教学要求：1、认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义；

2、并会证明二维柯西不等式及向量形式.

教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.

教学难点：理解几何意义.

教学过程：

一、复习准备：

1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？

答案：(0,0)2ababab及几种变式.

2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd

证法：（比较法）22222()()()abcdacbd=….=2()0adbc

二、讲授新课：

1. 教学柯西不等式：

① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则22222()()()abcdacbd.

→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？

② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？

证法二：（综合法）222222222222()()abcdacadbcbd

222()()()acbdadbcacbd. （要点：展开→配方）

证法三：（向量法）设向量(,)mab，(,)ncd，则22||mab，22||ncd.

∵ mnacbd，且||||cos,mnmnmn，则||||||mnmn. ∴ …..

证法四：（函数法）设22222()()2()fxabxacbdxcd，则

22()()()fxaxcbxd≥0恒成立.

∴ 22222[2()]4()()acbdabcd≤0，即…..

③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？

变式：2222||abcdacbd 或 2222||||abcdacbd

1．若n为大于1的自然数，求证：

n

＋＋…

＋.

nn＋11

21

31

n

证明：右边＝1＋1

＋1＋

＋1＋

＋…＋1＋1

21

31

n

＝2＋

＋＋＋…＋3

24

35

4n＋1

n

≥n

·n2·32·4

3·…·n＋1n

＝n·＝左边．nn＋1

∵2≠≠，故不取等号．324

3

∴不等式

n

＋1＋

＋＋…＋成立．nn＋11

2131

n

2．(1)求证：＋

≥；a2

mb2

na＋b2

m＋n

(2)

求函数y＝

＋，x∈(0，)的最小值．2

x9

1－2x1

2

解析：(1)证明：因为m，n>0，利用柯西不等式，得

(m＋

n)(＋)≥(a＋b)2，a2

mb2

n

所以＋

≥.a2

mb2

na＋b2m＋n

(2)由

(1)，y＝

＋＝＋≥＝25

，2

x9

1－2x22

2x32

1

－2x2＋32

2x＋1－2x

所以函数y＝＋(

x∈ (0

，))的最小值为

25，当且仅当x＝时取得．2

x9

1－2x1

21

5

3．设△ABC的三边长分别为a，b，c，(1)判定b＋c－a，a＋b－c，c＋a－b的符号；

(2)求证：＋＋≥a＋b＋c.a2

b＋c－

ab2

c＋a－

bc2

a＋b－

c

解析：(1)因为a，b，c为三角形的三边，

所以b＋c－a>0，c＋a－b>0，a＋b－c>0.

(2)证明：＋＋a2

b＋c－

ab2

c＋a－

bc2

a＋b－

c

＝(＋＋)·[(b＋c－a)＋(c＋a－b)＋(a＋b－c)]1

a＋b＋

ca2

b＋c－

ab2

c＋a－

bc2

a＋b－

c

≥

(

·

＋

·

＋

·)21

a＋b＋ca2

b＋c－ab＋c－ab2

c＋a－bc＋a－bc2

a＋b－ca＋b－c

＝(a＋b＋c)

2＝a＋b＋c.1

a＋b＋c

4．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时1a2b3c

a，b，c的值．

解析：(

＋＋)(a＋

2b

＋3c

)＝[( )

2＋( )

2＋( )

2][()2＋()

2＋()

2]≥( 1a2

b3c1a2

b3

ca2b3c

·＋·＋·)2＝36.1

aa2b2b3c3c又＋＋＝2，∴a＋2b＋3c≥18，1

1 二 一般形式的柯西不等式

名称 形式 等号成立条件

三维形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a21＋a22＋a23)(b21＋b22＋b23)≥(a1b1＋a2b2＋a3b3)2 当且仅当b1＝b2＝b3＝0或存在一个实数k使得ai＝kbi(i＝1,2,3)

一般形式的柯西不等式 设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)·(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2 当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)

[点睛] 一般形式的柯西不等式是二维形式、三维形式、四维形式的柯西不等式的归纳与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．

利用柯西不等式证明不等式

[例1] 设x1，x2，…，xn都是正数，求证：1x1＋1x2＋…＋1xn≥n2x1＋x2＋…＋xn.

[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．

[证明] ∵(x1＋x2＋…＋xn)1x1＋1x2＋…＋1xn

＝[(x1)2＋(x2)2＋…＋(xn)2]·1x12＋1x22＋…＋1xn2≥

x1·1x1＋x2·1x2＋…＋xn·1xn2＝n2，

∴1x1＋1x2＋…＋1xn≥n2x1＋x2＋…＋xn.

柯西不等式的结构特征可以记为：

(a1＋a2＋…＋an)·(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋

a2b2＋…＋anbn)2.

其中ai，bi∈R＋(i＝1,2，…，n)，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．