大学物理第二章行波波动方程.ppt

波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域。

历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。

波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x

和时间t 的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：

这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c 依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。

在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。此时，c 应该用波的相速度代替：

实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程：

另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量u 的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。

三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波:

式中： • 和 被称为弹性体的拉梅常数（也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants

或 Lamé moduli），是描述各向同性固体弹性性质的参数；

• 表示密度；

• 是源函数（即外界施加的激振力）；

• 表示位移；

波动方程或波动方程是重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种波动现象，包括横波和纵波，如声波，光波，无线电波和水波。波动方程是从声学，物理光学，电磁学，电动力学，流体力学和其他领域中抽象出来的。

历史上许多科学家，例如D'Alembert，Euler，daniel bernoulli和Lagrange，在研究乐器和其他物体中的弦振动时对波动方程理论做出了重要贡献。 1746年，达朗伯（D'Alembert）发现了一维波动方程，而欧拉（Euler）在接下来的10年中发现了三维波动方程。

一维波动方程可以推导如下：一系列质量为m的小颗粒，相邻颗粒通过长度为h的弹簧连接。弹簧的弹性系数（也称为“顽固系数”）为k：

从上面的形式可以看出，如果F和G是任意函数，则它们以以下形式组合必须满足原始方程式。上述两项分别对应于两行行波（“线”和“动作”中的谐音器）-F表示通过该点（点X）的右行波，G表示通过该点的左行波。为了完全确定f和g的最终形式，应考虑以下初始条件：波动方程的著名D'Alembert行波解，也称为D'Alembert公式，是通过进行以下运算获得的：在古典意义上，如果然后。但是，行波函数f和g也可以是广义函数，例如Diracδ函数。在这种情况下，行波解应视为左行或右行中的脉冲。

基本波方程是线性微分方程，也就是说，同时受到两个波的点的振幅是两个波的振幅之和。这意味着可以通过将一系列波动分解为其解决方案来有效地解决该问题。另外，可以通过分离每个分量来分析波，例如，傅立叶变换可以将波分解为正弦分量。

学习文档 仅供参考 振 动 学 基 础

内容提要

一、振动的基本概念

1、振动 某物理量随时间变化，如果其数值总在一有限范围内变动，就说该物理量在振动；

2、周期振动 如果物理量在振动时，每隔一定的时间间隔其数值就重复一次，称为周期振动；

3、机械振动 物体在一定的位置附近作往复运动称为机械振动；

4、简谐振动 如果物体振动的位移随时间按余(正)弦函数规律变化，即：

0costAx

这样振动称为简谐振动；

5、周期T 物体进行一次完全振动所需的时间称为周期，单位：秒。一次完全振动指物体由某一位置出发连续两次经过平衡位置又回到原来的状态。

6、振动频率 单位时间内振动的次数，单位：次秒，称为赫兹〔Ｈz〕；

7、振动圆频率 振动频率的2倍，单位是弧度秒〔rads〕，即

T22

8、振幅A 物体离开平衡位置〔0x〕的最大位移的绝对值；

9、相位 0t称为相位或相，单位：弧rad。它是时间的单值增函数，每经历一个周期T，相位增加2，完成一次振动；

10、初相位0 开始计时时刻的相位；

11、振动速度v 表示振动物体位移快慢的物理量，即： 学习文档 仅供参考 2cossin00tAtAdtdxv

说明速度的相位比位移的相位超前2；

12、振动加速度a 表示振动物体速度变化快慢的物理量，即：

020222coscostAtAdtxddtdva

加速度的相位比速度的相位超前2，比位移的相位超前；

13、初始条件 在0t时刻的运动状态〔位移和速度〕称为初始条件，它决定振动的振幅和初位相，即：

000000sincosAvvAxxtt 则可求得：

数学物理方程教案3

教学内容 行波法

教学重点 一维达朗贝尔行波解、三维泊松公式和推迟势

教学难点 平均值法和推迟势

教学安排 4学时

主要内容：

1、掌握行波解求解思路和一般步骤。

2、掌握有源化无源的冲量原理法和三维化一维的平均值法和求解步骤。

3、理解推迟势的物理意义。

第二章 行波法

上一章已经学习了建立数学物理方程和定解条件的基本方法，即确定了定解问题，那么从本章开始，我们将重点学习各种求解数学物理方程的方法，主要包括：行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法等。

我们知道，求解常微分方程时，一般是先求方程的通解，再用初始条件来确定通解中的任意常数，从而得到特解。那么这种思想能否用于求解偏微分方程的定解问题呢？也就是说先求出偏微分方程的通解，再用定解条件确定通解中的任意常数或函数。通过研究可以发现，由于偏微分方程定解问题本身的特殊性，很难定义通解的概念，即使对某些方程可以定义并求出通解，但要通过定解条件来确定通解中的任意函数也是相当困难的。因此，一般情况下我们是不能够使用类似于常微分方程的求解过程来求解偏微分方程的，但是，对于某些特殊的偏微分方程的定解问题，尤其在求解无界区域上的齐次波动方程等类型的定解问题时，可以考虑这种先求通解再确定特解的方法。另外，从物理学上看，对于齐次波动方程反映了媒质被扰动后在区域里不再受到外力时的振动传播规律，如果问题的区域是整个空间时，由初始扰动所引起的振动就会一直向前传播出去，形成行波，而这类问题可以得到通解，我们把这种主要适用于求解行波问题的方法称为行波法，本章将讨论这种方法的求解思路、方法和应用。

2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式

2.1.1 达朗贝尔（D`Alembert）公式的导出

对于无限长的弦的自由振动、无限长的杆的纵向自由振动以及无限长理想传输线上的电流和电压均满足相同的波动方程的定解问题

泛定方程： 2ttxxuau，（,0xt） (2.1)