§13.2 分波振面干涉
一、杨氏双缝干涉实验
在19世纪初,英国科学家杨(T.Young)首先用实验方法研究了光的干涉现象,从而证实了光具有波动性.如图13.5(a)所示,在单色平行光的前方放有一狭缝s,在s前又放有两条狭缝S1和S2,均与s平行且等距.这时S1和S2构成一对相干光源.从s出发的光波波振面到达S1和S2处,再从S1和S2发出的光就是从同一波振面分出的两束相干光.它们在空间叠加,将发生干涉现象.这是采用分波振面法得到相干光束的.如果在和前放一屏EE',屏幕上将出现一系列稳定的明暗相间的条纹,称为干涉条纹.如图13.5(b)所示,这些条纹都与狭缝平行,条纹间的距离彼此相等.
下面我们来确定屏幕上干涉条纹的分布规律.如图13.6所示,设相干光源S1和S2 之间的距离为d,到屏幕的距离为D,在屏上出现干涉条纹的区域内,观察任意一点p,它距屏中心P0的距离为x , p到S1和S2的距离分别为r1和r2, S1S2的中垂线OP0与OP的夹角θ,称为 p点的角位置.考虑到 D >>d , PO、PS1 、PS2可看作近似平行,则S1和S2到达p点的光程差为
sindrr12
p点光强为极大、极小的条件为
LS1S2S0P1P1P(a) 双缝干涉 (b) 双缝干涉条纹
图13.5 杨氏双缝干涉实验
Dxd1S2S2r1r0PθθPO图13.6 杨氏双缝的计算 极小极大212210/)(),,,(sinkkkd (13.8)
我们可直接观察和测量到的是屏上的线位置x,给出线位置所满足的关系,会使这一公式用起来更方便.由图13.6可得角位置θ与线位置x的关系为Dx/tg, 实际可观察到的角范围很小,可取tgsin,代入式(13. 8),可得杨氏双缝干涉明暗条纹满足的条件为
)tan(sin)(),,,(DxdDkkdDkx暗纹中心明纹中心212210
数学物理方程教案3
教学内容 行波法
教学重点 一维达朗贝尔行波解、三维泊松公式和推迟势
教学难点 平均值法和推迟势
教学安排 4学时
主要内容：
1、掌握行波解求解思路和一般步骤。
2、掌握有源化无源的冲量原理法和三维化一维的平均值法和求解步骤。
3、理解推迟势的物理意义。
第二章 行波法
上一章已经学习了建立数学物理方程和定解条件的基本方法，即确定了定解问题，那么从本章开始，我们将重点学习各种求解数学物理方程的方法，主要包括：行波法、分离变量法、积分变换法和格林函数法等。
我们知道，求解常微分方程时，一般是先求方程的通解，再用初始条件来确定通解中的任意常数，从而得到特解。那么这种思想能否用于求解偏微分方程的定解问题呢？也就是说先求出偏微分方程的通解，再用定解条件确定通解中的任意常数或函数。通过研究可以发现，由于偏微分方程定解问题本身的特殊性，很难定义通解的概念，即使对某些方程可以定义并求出通解，但要通过定解条件来确定通解中的任意函数也是相当困难的。因此，一般情况下我们是不能够使用类似于常微分方程的求解过程来求解偏微分方程的，但是，对于某些特殊的偏微分方程的定解问题，尤其在求解无界区域上的齐次波动方程等类型的定解问题时，可以考虑这种先求通解再确定特解的方法。另外，从物理学上看，对于齐次波动方程反映了媒质被扰动后在区域里不再受到外力时的振动传播规律，如果问题的区域是整个空间时，由初始扰动所引起的振动就会一直向前传播出去，形成行波，而这类问题可以得到通解，我们把这种主要适用于求解行波问题的方法称为行波法，本章将讨论这种方法的求解思路、方法和应用。
2.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
2.1.1 达朗贝尔（D`Alembert）公式的导出
对于无限长的弦的自由振动、无限长的杆的纵向自由振动以及无限长理想传输线上的电流和电压均满足相同的波动方程的定解问题
泛定方程： 2ttxxuau，（,0xt） (2.1)
大学物理波动的知识点总结
一、波动的基本概念
1.波动的定义
波动是一种可以在介质中传播的能量或者信息的方式。波动既可以是物质的波动，比如水波、声波等，也可以是场的波动，比如电磁波等。根据波的传播方式和规律，波动可以分为机械波和电磁波。
2.波动的特点
波动具有传播性、干涉性、衍射性和波粒二象性等特点。波动的传播性表明波动能够沿着介质传播，干涉性指波动能够互相叠加，并产生干涉现象，衍射性说明波动能够弯曲传播并产生衍射现象，波粒二象性则是指波动既具有波动特征，也具有粒子特征。
3.波的基本要素
波的基本要素包括振幅、频率、波长、波速等。振幅是波动能量的大小，频率是波动的振动周期，波长是波动在空间中占据的长度，波速是波动在介质中的传播速度。
二、波动方程
1.一维波动方程
一维波动方程描述了一维波动在空间和时间上的变化规律。一维波动方程的基本形式为：
∂²u/∂t²=v²∂²u/∂x²
其中u(x,t)表示波动的位移，v表示波速，t表示时间，x表示空间坐标。
2.二维波动方程
二维波动方程描述了二维波动在空间和时间上的变化规律。二维波动方程的基本形式为：
∂²u/∂t²=v²(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²)
其中u(x,y,t)表示波动的位移，v表示波速，t表示时间，x和y表示空间坐标。
3.波动方程的解
波动方程一般是偏微分方程，其解一般通过分离变量、叠加原理、傅里叶变换等方法求解。对于特定的边界条件和初始条件，可以得到波动方程的具体解。
三、波动的性质
1.反射和折射 波动在介质表面的反射和折射是波动的基本性质之一。反射是波动从介质边界反射回来的现象，折射是波动通过介质界面时改变传播方向的现象。
2.干涉和衍射
干涉是波动相遇并相互叠加的现象，衍射是波动通过小孔或者障碍物后产生的弯曲传播的现象。干涉和衍射都是波动的波动性质。
3.驻波
驻波是两个同频率的波在同一介质内相遇并形成固定位置上振幅不断变化的现象。驻波是波动的一种特有现象，有固定位置的波节和波腹。
波动方程或称波方程（英语：wave equation）是一种重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各种的波动现象，包括横波和纵波，例如声波、光波、无线电波和水波。波动方程抽象自声学、物理光学、电磁学、电动力学、流体力学等领域。
历史上许多科学家，如达朗贝尔、欧拉、丹尼尔·伯努利和拉格朗日等在研究乐器等物体中的弦振动问题时，都对波动方程理论作出过重要贡献。
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x
和时间t 的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足：
这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。在常压、20°C的空气中c为343米/秒（参见音速）。在弦振动问题中，c 依不同弦的密度大小和轴向张力不同可能相差非常大。而在半环螺旋弹簧（一种玩具，英文商标为 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。
在针对实际问题的波动方程中，一般都将波速表示成可随波的频率变化的量，这种处理对应真实物理世界中的色散现象。此时，c 应该用波的相速度代替：
实际问题中对标准波动方程的另一修正是考虑波速随振幅的变化，修正后的方程变成下面的非线性波动方程：
另需注意的是物体中的波可能是叠加在其他运动（譬如介质的平动，以气流中传播的声波为例）上的。这种情况下，标量u 的表达式将包含一个马赫因子（对沿流动方向传播的波为正，对反射波为负）。
三维波动方程描述了波在均匀各向同性弹性体中的传播。绝大多数固体都是弹性体，所以波动方程对地球内部的地震波和用于检测固体材料中缺陷的超声波的传播能给出满意的描述。在只考虑线性行为时，三维波动方程的形式比前面更为复杂，它必须同时考虑固体中的纵波和横波:
式中： • 和 被称为弹性体的拉梅常数（也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants
或 Lamé moduli），是描述各向同性固体弹性性质的参数；
• 表示密度；
• 是源函数（即外界施加的激振力）；
• 表示位移；
