基于灰混合策略的灰矩阵博弈模型研究(4)

《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一一、引言灰色系统理论是一种研究信息不完全、数据不精确的系统的理论。

其中，灰色GM（1,1）模型是灰色系统理论中最为常用的一种预测模型。

该模型通过对原始数据进行累加生成，建立微分方程模型，从而进行预测。

然而，传统的灰色GM（1,1）模型在处理复杂问题时，可能存在预测精度不高、稳定性不强等问题。

因此，本文旨在探讨灰色GM（1,1）模型的优化方法及其应用，以提高模型的预测精度和稳定性。

二、灰色GM（1,1）模型概述灰色GM（1,1）模型是一种基于微分方程的预测模型，适用于处理信息不完全、数据不精确的问题。

该模型通过累加生成原始数据序列，建立微分方程模型，从而进行预测。

然而，传统的灰色GM（1,1）模型在处理复杂问题时，可能存在模型参数过多、计算复杂等问题。

三、灰色GM（1,1）模型的优化为了解决传统灰色GM（1,1）模型存在的问题，本文提出以下优化方法：1. 数据预处理：在建立模型前，对原始数据进行预处理，如去除异常值、填补缺失值等，以提高数据的准确性和可靠性。

2. 模型参数优化：通过优化模型参数，减少模型参数的数量和复杂性，从而提高模型的计算效率和预测精度。

具体方法包括采用遗传算法、粒子群算法等优化算法对模型参数进行优化。

3. 引入其他变量：针对某些复杂问题，可以引入其他相关变量，扩展模型的适用范围和提高预测精度。

4. 模型检验与修正：在建立模型后，需要对模型进行检验和修正，以确保模型的稳定性和可靠性。

具体方法包括对模型进行残差分析、后验差比检验等。

四、灰色GM（1,1）模型的应用优化后的灰色GM（1,1）模型可以广泛应用于各种领域，如经济预测、农业预测、医学预测等。

以经济预测为例，可以通过建立灰色GM（1,1）模型，对经济指标进行预测，为政府和企业提供决策支持。

在农业预测方面，可以应用灰色GM（1,1）模型对农作物产量进行预测，为农业生产提供科学依据。

在医学预测方面，可以应用灰色GM（1,1）模型对疾病发病率进行预测，为疾病预防和控制提供参考。

113.3灰混合策略的性质及其灰线性规划模型一、灰混合策略的性质定理13.3.1设灰矩阵博弈(),()A B ⊗⊗满足: ()()ij m n A a ⊗⨯⊗= ()()ij m n B a k ⊗⨯⊗=+,其中k 为任意常数,则(),()A B ⊗⊗的博弈值(),()A B v v ⊗⊗之间的关系满足式13.3.1.()()B A v v k ⊗=⊗+ (13.3.1)且**(,)X Y ⊗⊗为()A ⊗的灰鞍点当且仅当**(,)X Y ⊗⊗为()B ⊗的灰鞍点.证明: (1)证明式13.3.1成立. 由最大最小灰博弈值定理可知，有2211212111111111()max min ()()max min ()max min ()max min ()()mnTB ij i j Y S Y S X S X S i j m n m n ij i j i j Y S X S i j i j m n ij i j Y S X S i j A v X B Y a k x y a x y k x y a x y k v ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗∈∈∈∈==⊗⊗⊗⊗⊗∈∈====⊗⊗⊗∈∈==⊗=⊗=+⎧⎫=+⋅⎨⎬⎩⎭⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭=⊗+∑∑∑∑∑∑∑∑k(13.3.2)(2)的证明从略.定理13.3.2 (1)设()v ⊗为灰矩阵博弈()A ⊗的博弈值,则*X ⊗为局中人1的最优灰混合策略的充要条件是: *2()(,),v E X Y Y S ⊗⊗⊗⊗⊗≤∀∈ 成立; (2) 设()v ⊗为灰矩阵博弈()A ⊗的博弈值,则*Y ⊗为局中人2的最优灰混合策略的充要条件是:*1()(,),v E X Y X S ⊗⊗⊗⊗⊗≤∀∈ 成立.证明: (1)设*X ⊗为局中人1的最优灰混合策略, 由最大最小灰博弈值定理可知，存在局中人2的最优灰混合策略1Y ⊗, 使*1*2(,)()(,),E X Y E X Y Y S ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗≤∀∈成立, 即 *1*2()(,)()(,),v E X Y E X Y Y S ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗≤∀∈ 成立. 反之,设*X ⊗满足, *2()(,),v E X Y Y S ⊗⊗⊗⊗⊗≤∀∈ 成立. 由最大最小灰博弈值定理,存在11(,)X Y ⊗⊗使1111(,)(,)()(,)E X Y E X Y v E X Y ⊗⊗⊗⊗⊗⊗≤=⊗≤2于是: *111*(,)(,)()(,)E X Y E X Y v E X Y ⊗⊗⊗⊗⊗⊗≤=⊗≤ 从而: 111*1*(,)(,)(,)(,)E X Y E X Y E X Y E X Y ⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗≤=≤ 对12,X S Y S ⊗⊗⊗⊗∀∈∈成立,即*X ⊗是局中人1的最优灰混合策略. (2)同理可以证得: 若()v ⊗为灰矩阵博弈()A ⊗的博弈值,则*Y ⊗为局中人2的最优灰混合策略的充要条件是: *1()(,),v E X Y X S ⊗⊗⊗⊗⊗≤∀∈ 成立.定理13.3.3设**(,)X Y ⊗⊗是灰矩阵博弈()A ⊗的灰鞍点,则,**11max (,)min (,)()i j j ni mE Y E X v αβ⊗⊗≤≤≤≤==⊗ (13.3.3)其中:i α是m R 中第i 个分量为1的单位向量,j β是n R 中第j 个分量等于1的单位向量.证明: 由定理13.3.2得,对所有的j ,1j n ≤≤,有: *()(,)j v E X β⊗⊗≤, 于是 *1()min (,)j j nv E Xβ⊗≤≤⊗≤从而 *()(,),1,2,,j v E X j n β⊗⊗≤=*****11()()(,)(,)()n n j j j j j v v y E X y E XY v β⊗⊗⊗⊗⊗==⎛⎫⊗=⊗⋅<⋅==⊗ ⎪⎝⎭∑∑ 这一矛盾表明,必有: *1()min (,)j j nv E Xβ⊗≤≤⊗=同理可证: *1()max (,)i i mv E Yα⊗≤≤⊗=.二、灰矩阵博弈的灰线性规划模型定理13.3.1,13.3.2和13.3.3提供了求解局中人最优灰混合策略的灰线性规划方法.在此基础上,可以构建灰矩阵博弈的灰线性规划模型.定理13.3.4任给灰矩阵博弈)}(~;,{)(~21⊗=⊗A S S G ,若**(,)X Y ⊗⊗是该灰矩阵博弈的最优灰混合策略,则**(,)X Y ⊗⊗可以通过解一个灰线性规划问题求出.证明: 不失一般性,不妨设灰矩阵博弈)}(~;,{)(~21⊗=⊗A S S G ,其中:()()ij m n A a ⊗⨯⊗=.先求局中人1的最优灰混合策略,1,2,,i x i m ⊗=.由定理13.3.1,可设)}(~;,{)(~21⊗=⊗A S S G 的灰博弈值()0v ⊗≥.3不等式组: ,11,1,2,,1,11,1,2,,1()1,2,,01,2,,[1,1]i i i i i i m ij i c c i mi i mi c c i mi a x v j nx i m x γγ⊗⊗=≤≤==⊗⊗=≤≤==⎧≥⊗=⎪⎪⎪≥=⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑ (13.3.4)的解为局中人1的最优策略.作变换: /,1,2,,()i ix xi m v ⊗⊗==⊗. 不等式组13.3.4可变换为:/,11,1,2,,1/1/[1,1]1,2,,1()01,2,,i i i m ij i c c i mi m ii i a x j nx v x i m γ⊗⊗=≤≤==⊗=⊗⎧≥=⎪⎪⎪=⎨⊗⎪⎪≥=⎪⎩∑∑ (13.3.5)其中: 11111()max min (,)max min mj ij ij nj nX S X S i v E X ax β⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗≤≤≤≤∈∈=⊗==∑于是求局中人1的最优灰混合策略可化为求解下列线性规划问题(见式13.3.6).///12/,01,1,2,,1/min{}[1,1]1,2,,..01,2,,i i i m m ij i c c i mi ix x x a x j n s t x i mγ⊗⊗⊗⊗⊗=≤≤==⊗+++⎧≥=⎪⎨⎪≥=⎩∑ (13.3.6) 类似地, 求局中人2的最优灰混合策略可化为求解下列灰线性规划问题,见式13.3.7.///12/,01,1,2,,1/max{}[1,1]1,2,,..01,2,,j j j n n ij j c c j nj jy y y a y i m s t y j nγ⊗⊗⊗⊗⊗=≤≤==⊗+++⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ (13.4.7) 定理13.3.4的证明是构造性的,根据定理13.3.4, 可以将任一灰矩阵博弈)}(~;,{)(~21⊗=⊗A S S G 的最优灰混合策略的求解问题转化为一个灰线性规划问题.。

第一章灰色系统的概念与基本原理1.1 灰色系统理论的产生于发展动态1.1.1 灰色系统理论产生的科学背景1、在系统研究中，由于内外扰动的存在和认识水平的局限，人们得到的信息往往带有某种不确定性。

随着科学技术的发展和人类社会的进步，人们对各类系统不确定性的认识逐步深化，对不确定性系统的研究也日益深入。

邓聚龙于80年代创立的灰色系统理论。

2、中国学者邓聚龙在1982年创立的灰色系统理论，是一种研究少数据、贫信息不确定性问题的新方法。

3、灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未知”的“小样本”、“贫信息”不确定性系统为研究对象，主要通过对“部分”已知信息的生成、开发，提取有价值的信息，实现对系统运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。

1.1.2 灰色系统理论的产生与发展动态1、灰色系统理论的产生——1982年，北荷兰出版公司的《系统与控制通讯》（Systems & Control Letters）杂志刊载了我国学者邓聚龙的第一篇灰色系统系统论文“灰色系统的控制问题”（The control problem of grey systems）；同年，《华中工学院学报》刊载了邓聚龙的第一篇中文灰色系统论文“灰色控制系统”。

这两篇开创性论文的公开发表，标志着灰色系统理论的问世。

1.1.3 不确定性系统的特征与科学的简单性原则1、信息不完全、不准确是不确定性系统的基本特征。

2、系统演化的动态特性、人类认识能力的局限性和经济、技术条件的制约，导致不确定性系统的普遍存在。

3、信息不完全是不确定性系统的基本特征之一。

信息不完全是绝对的，信息完全则是相对的。

4、概率统计中的“大样本”，实际上表达了人们对不完全的容忍程度。

通常情况下，样本量超过30即可视为“大样本”。

5、不确定性系统的另外一个基本特征是数据不准确。

从不准确产生的本质来划分，又可分为概念型、层次型和预测型三类：（1）概念型。

概念型不准确源于人们对某种事物、观念或意愿的表达，如人们通常所说的“大”、“小”、“多”、“少”、“高”、“低”、“胖”、“瘦”、“好”、“差”以及“年轻”、“漂亮”、“一堆”、“一片”、“一群”等，都是没有明确标准的不准确概念，难以用准确的数据表达。

灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。

二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。

一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。

软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。

(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。

我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。

一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。

基于灰关联定权的理想矩阵法及应用夏红卫;文传军【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2012(012)019【摘要】针对理想矩阵法研究中存在的不足,利用灰关联分析方法,提出了指标权重的确定方法.在指标权重确定的基础上,建立了基于灰关联定权的理想矩阵法,并给出了该方法的计算步骤.通过对我国四个沿海省份2005 -2008年期间的交通运输能力评价的实例分析,检验了提出的方法的有效性.%Based on the ideal matrix method of the insufficiency in research, using the gray relation analysis method, the method of determining the index weight is put forward. In determining index weight basis, is established based on Grey ideal matrix method, the calculating steps of the method is given. Through to our country the four coastal provinces 2005-2008 years during the transport capacity evaluation case analysis, the effectiveness of the proposed method is testied.【总页数】5页(P4725-4728,4736)【作者】夏红卫;文传军【作者单位】常州工学院理学院,常州213022;常州工学院理学院,常州213022【正文语种】中文【中图分类】O212.4;O223【相关文献】1.利用灰关联定权组合模型预测城镇给水管道腐蚀速率 [J], 蒋白懿;叶友林;李亚峰;陶翠翠2.基于灰关联定权组合模型的基坑变形预测分析 [J], 石星照;顾胜宇3.基于熵权理论与灰色定权聚类法的企业电力能效评估模型研究与应用 [J], 俆一铭;耿芳远;薛欣科;徐明磊;朱文;郭恩磊;吴杰;;;;;;;4.基于熵权与灰关联度定权的VIKOR多准则综合评价研究 [J], 储冉;王怀秀;王亚慧5.基于熵权赋权法的灰关联技术的视频质量评价体系研究 [J], 王颖;司占军;王佳因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一摘要：本文研究了灰色GM（1,1）模型的优化问题及其在各个领域的应用。

通过对原始模型的详细分析，探讨了模型中存在的问题及不足，并提出了一系列的优化措施。

接着，本文详细阐述了优化后的灰色GM（1,1）模型在多个领域的应用，如经济预测、生态环境监测、医疗卫生等。

最后，通过案例分析，验证了优化后的模型在应用中的可行性和有效性。

一、引言灰色系统理论是一种研究信息不完全、不精确的系统的理论。

其中，灰色GM（1,1）模型是灰色系统理论中最为常用的一种预测模型。

然而，原始的灰色GM（1,1）模型在某些情况下存在预测精度不高、稳定性不足等问题。

因此，对灰色GM（1,1）模型进行优化，提高其预测精度和稳定性，具有非常重要的意义。

二、灰色GM（1,1）模型概述灰色GM（1,1）模型是一种基于灰色理论的时间序列预测模型，适用于信息不完全的、不确定的系统。

该模型通过累加生成序列和微分方程等手段，将原始数据序列转化为微分方程的形式，从而进行预测。

然而，原始的灰色GM（1,1）模型在处理复杂系统时，往往存在预测精度不高、稳定性不足等问题。

三、灰色GM（1,1）模型的优化针对灰色GM（1,1）模型存在的问题，本文提出了一系列的优化措施。

首先，对原始数据进行预处理，包括数据的去噪、平滑等操作，以提高数据的准确性。

其次，改进模型的参数估计方法，采用更为精确的参数估计方法，如最小二乘法、岭回归等。

此外，还可以通过引入其他因素、构建多变量模型等方式，提高模型的适应性和预测精度。

四、优化后的灰色GM（1,1）模型的应用（一）经济预测优化后的灰色GM（1,1）模型可以应用于经济预测领域。

通过对经济数据的分析，建立经济系统的灰色GM（1,1）模型，可以预测未来的经济发展趋势和变化规律。

这有助于政府和企业制定科学的发展战略和决策。

（二）生态环境监测优化后的灰色GM（1,1）模型还可以应用于生态环境监测领域。