博弈论混合策略纳什均衡

博弈论混合策略纳什均衡
§剪刀、石头、布的游戏
• 每个同学跟后面一排对应的同学玩剪刀、石头、布的游戏. • 玩二十次,将结果记下来 • 赢了十次以上同学举起手来 • 告诉我你有什么秘决 • 怎么样才能赢得多？
§剪刀、石头、布的游戏
• 我们知道—— • 如果博弈只进行一次，我们无法明确预测博弈的结果，不管是哪个博弈方，也不管他们的选择
寻找工作
游闲
政府和流浪汉的博弈
• 思考：政府会采用纯策略吗？流浪汉呢？这个博弈有没有纯策略的纳什均衡？ • ——跟你玩剪子石头布游戏一样，你会一直采用纯策略吗？ • 那么政府和流浪汉最有可能采用什么策略？ • ——使自己的预期支付最大化。 • ——若能够猜的对方的策略，就可以采用针对性的策略，使自己的支付增加。
是哪个策略，都不能保证得到较好的结果。根据我们上一章所学的方法，这个博弈没有纳什均 衡。 • 那么是不是意味着这样的博弈中，你可以随意选择，结果都一样呢？
§剪刀、石头、布的游戏
• 答案是否定的。 • 事实上，局中人的选择仍然是很有讲究的，策略选择的好坏对局中人的利益仍然有很大的影响。 • 在这个零和博弈里，无论双方采用哪种策略组合，结果都是一方输一方赢，而输的一方又总是
对上述效用函数求微分，得到政府最优化的一阶条件为：
v G 5 1 0 0 .2
就是说，从政府的最优化条件找到流浪汉混合策略——流浪汉以0.2的概率选择寻找工作，0 .8的概率 选择游闲。
• 解一:支付最大化 • 流浪汉的期望效用函数为：
L
2 1 0
0.5
• 政府选择救济策略
n
• 证明过程省略，主要根据是布鲁威尔和角谷i 的不动点定理。
• 纳什均衡的普遍存在性正是纳什均衡成为非合作博弈分析核心概念的根本原因之一。
§扑克牌对色游戏
• 甲乙玩扑克牌对色游戏，每人都有红黑两张扑克牌，约定如果出牌颜色一样，甲输乙赢，如果 出牌颜色不一样，则甲赢乙输。
• 找到这个博弈的纳什均衡。
vL1,13vL0, 0.5
政府和流浪汉的博弈
• 如果政府救济的概率小于0.5； • 则流浪汉的最优选择是寻找工作； • 如果政府救济的概率大于0.5； • 则流浪汉的最优选择是游闲等待救济。 • 如果政府救济的概率正好等于0.5； • 流浪汉的选择无差异。
讨论
• 上面的均衡要求每个参与人以特定的概率选择纯策略。也就是说，一个参与人选择不同策略 的概率不是由他自己的支付决定的，而是由他的对手的支付决定的。
求解混合策略纳什均衡
1、假定政府采用混合策略：
G,1 即政府 的以 概率选1择 的 救概 济率 ，选择不
2、流浪汉的混合策略为：
L,1 即流浪 的汉 概以 率选择 1寻 的找 概工 率作 选， 择
解一:支付最大化 那么，政府的期望效用函数为：
v G G , L 3 1 1 1 0 1 5 1
• 经济学上的监督博弈也是这样一个例子。如税收检查、质量检查、惩治犯罪、雇主监督雇员 等都可以看成猜谜博弈。
纳什均衡的存在性
纳什定理：在一个由n个博弈方的博弈
中，如果n是有限的，且 都是有限集
S G {S, S;u, u} (对
)，则该博弈至少存在一个纳什均衡，但可能包含混合策i略。1 1,nn 1
解二:支付等值法 • 政府选择不救济策略
1
期望效用
0 期望效用
vG1, 3 11 vG0, 1 01
4 1
如果一个混合策略是流浪汉的最优选择，那一定意味着政府在救济与不救济之间是无差异的，即：
v G 1 ,4 1 v G 0 , 0 .2
• 解二:支付等值法
如果一个混合策略是政府的最优选择，那一定意味着流浪汉在寻找工作与游闲之间是无差异 的，即：
红 甲
黑
红 -1， 1 1， -1
乙 黑
1， -1 -1， 1
Baidu Nhomakorabea
§ 反应函数法
• 假设甲、乙均采用混和策略,随机地以p的概率出红牌和以(1-p)的概率出黑牌,而乙则随机地以 q的概率出红牌和以(1-q)的概率出黑牌。
可以通过单独改变策略而反输为赢。如果哪个局中人能找到对手方的规律或者偏好，他就能猜 测到对手的策略而采用针对性策略从而保证赢。
§剪刀、石头、布的游戏
• 因此，秘决在于—— • 自己的策略选择不能预先被对手方知道或猜测到，在该博弈的多次重复中，博弈方一定要避免
自己的选择具有规律性； • 观察对手方策略选择是否具有规律或者偏好，预先猜测对手策略，从而采用针对性策略赢得这
• 正是由于这个原因，许多人认为混合策略纳什均衡是一个难以令人满意的概念。 • 事实上，正是因为它在几个（或全部）策略之间是无差异的，他的行为才难以预测，混合策
略纳什均衡才会存在。
讨论
• 尽管混合策略不像纯策略那样直观，但它确实是一些博弈中参与人的合理行为方式。扑克比 赛、垒球比赛、划拳就是这样的例子，在这一类博弈中，参与比赛的总是随机行动以使自己 的行为不被对方所预测。
§ 期望支付 • 与混合策略(mixed strategies)相伴随的一个问题,是局中人支付的不确定性(uncertainty).可
用期望支付(expected payoff)来描述——有个n可能的取值X1,X2…,Xn ，并且这些取值发生 的概率分别为p1,p2,…,pn，那么我们可以将这个数量指标的期望值定义为发生概率作为权 重的所有可能取值的加权平均，也就是
个博弈。
§ 第三章 混合策略纳什均衡
• 纯策略(pure strategies)：如果一个策略规定参与人在一个给定的信息情况下只选择一种特定 的行动。
• 混合策略(mixed strategies)：如果一个策略规定参与人在给定的信息情况下，以某种概率分 布随机地选择不同的行动。
• 在静态博弈里，纯策略等价于特定的行动，混合策略是不同行动之间的随机选择。
E A U p 1 X 1 p 2 X 2 . .p .n X n
政府和流浪汉的博弈
• 政府想帮助流浪汉，但前提是后者必须试图寻找工作，否则，不予帮助；而流浪汉若知道政府采用 救济策略的话，他就不会寻找工作。他们只有在得不到政府救济时才会寻找工作。他们获得的支付 如图所示：
政府
救济 不救济
流浪汉