2018年普通高等学校招生全国统一考试上海卷考试手册(数学科)

2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.行列式4125的值为____.解析：行列式4125=4×5﹣2×1=18.答案：182.双曲线2214x y -=的渐近线方程为____. 解析：∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上 而双曲线22221y x a b-＝的渐近线方程为b y x a =± ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±答案：12y x =±3.在(1+x)7的二项展开式中，x 2项的系数为____(结果用数值表示).解析：二项式(1+x)7展开式的通项公式为17rr r T C x +=⋅，令r=2，得展开式中x 2的系数为27C =21.答案：214.设常数a ∈R ，函数f(x)=1og 2(x+a).若f(x)的反函数的图象经过点(3，1)，则a=____. 解析：∵常数a ∈R ，函数f(x)=1og 2(x+a). f(x)的反函数的图象经过点(3，1)，∴函数f(x)=1og 2(x+a)的图象经过点(1，3)， ∴log 2(1+a)=3， 解得a=7. 答案：75.已知复数z 满足(1+i)z=1﹣7i(i 是虚数单位)，则|z|=____. 解析：由(1+i)z=1﹣7i ，得()()()()17117683411i i i i z i i i -------+-＝＝＝＝，则5z =.答案：56.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=0，a 6+a 7=14，则S 7=____. 解析：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=0，a 6+a 7=14，∴111205614a d a d a d +⎧⎨+++⎩＝＝，解得a 1=﹣4，d=2， ∴S 7=7a 1+762d ⨯=﹣28+42=14.答案：147.已知α∈{﹣2，﹣1，1122-，，1，2，3}，若幂函数f(x)=x α为奇函数，且在(0，+∞)上递减，则α=____.解析：∵α∈{﹣2，﹣1，1122-，，1，2，3}， 幂函数f(x)=x α为奇函数，且在(0，+∞)上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1. 答案：﹣18.在平面直角坐标系中，已知点A(﹣1，0)、B(2，0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ⋅的最小值为____.解析：根据题意，设E(0，a)，F(0，b)； ∴2EF a b =-=； ∴a=b+2，或b=a+2；且()()12AE a BF b ==-，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+；当a=b+2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-； ∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE BF ⋅的最小值为﹣3. 答案：﹣39.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是____(结果用最简分数表示). 解析：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个， 从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：35C =10， 这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个， 所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：21105=.答案：1510.设等比数列{a n }的通项公式为a n =qn ﹣1(n ∈N *)，前n 项和为S n .若11lim2nn n S a →∞+=，则q=____.解析：等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N*)，可得a 1=1， 因为11lim2nn n S a →∞+=，所以数列的公比不是1，()111n n a q S q--＝，a n+1=q n. 可得()1111111lim lim lim 1121nn n nn n n n q q q q q q q q q →∞→∞→∞----====---，可得q=3. 答案：311.已知常数a ＞0，函数()22x x f x ax=+的图象经过点P(p ，65)，Q(q ，15-).若2p+q =36pq ，则a=____.解析：函数()22xx f x ax=+的图象经过点P(p ，65)，Q(q ，15-).则：226115522p q pq ap aq +-++＝＝， 整理得：222221222p q p q p qp q p q aq ap aq ap a pq++++++=+++，解得：2p+q=a 2pq ，由于：2p+q=36pq ，所以：a 2=36， 由于a ＞0， 故：a=6. 答案：612.已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，的最大值为____.解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，OA =(x 1，y 1)，OB =(x 2，y 2)，由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12， 可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上， 且OA OB ⋅=1×1×cos ∠AOB=12， 即有∠AOB=60°，即三角形OAB 为等边三角形， AB=1，+的几何意义为点A ，B 两点到直线x+y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x+y=1平行， 可设AB ：x+y+t=0，(t ＞0)， 由圆心O 到直线AB的距离d =，可得2212t -=1，解得t=，1=，二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设P 是椭圆22153y x +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( )A.B.C.D.解析：椭圆22153y x +=的焦点坐标在x 轴，P 是椭圆22153y x +=上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=答案：C14.已知a ∈R ，则“a＞1”是“1a＜1”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件 解析：a ∈R ，则“a＞1”⇒“1a＜1”， “1a＜1”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“1a＜1”的充分非必要条件. 答案：A15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A.4B.8C.12D.16解析：根据正六边形的性质，则D 1﹣A 1ABB 1，D 1﹣A 1AFF 1满足题意，而C 1，E 1，C ，D ，E ，和D 1一样，有2×6=12，当A 1ACC 1为底面矩形，有2个满足题意， 当A 1AEE 1为底面矩形，有2个满足题意， 故有12+2+2=16答案：D16.设D 是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D 上的函数，若f(x)的图象绕原点逆时针旋转π后与原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是( )B.C.D.0解析：设D 是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D 上的函数， 若f(x)的图象绕原点逆时针旋转6π后与原图象重合，故f(1)=cos6π=答案：B三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. (1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设PO=4，OA 、OB 是底面半径，且∠AOB=90°，M 为线段AB 的中点，如图.求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.解析：(1)由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.(2)以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.答案：(1)∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积2211233V r hππ=⨯⨯⨯=⨯⨯=. (2)∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P(0，0，4)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，0)，O(0，0，0)，PM=(1，1，﹣4)，OB=(0，2，0)，设异面直线PM与OB所成的角为θ，则2cos18PM OBPM OBθ⋅===⋅∴θ.∴异面直线PM与OB所成的角的为.18.设常数a∈R，函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数，求a的值；(2)若()14fπ=，求方程f(x)=1[﹣π，π]上的解.解析：(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， (2)先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出.答案：(1)∵f(x)=asin2x+2cos 2x ，∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos 2x ， ∵f(x)为偶函数， ∴f(﹣x)=f(x)，∴﹣asin2x+2cos 2x=asin2x+2cos 2x ， ∴2asin2x=0， ∴a=0； (2)∵()1f π=，∴()2sin2cos 11a a ππ+=+=，∴∴26π)+1， ∵f(x)=1∴2sin(2x+6π)+1=1∴()sin 26x π+=，∴2264x k πππ+=-+，或52264x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x=512k ππ-+，或x=13π+k π，k ∈Z ， ∵x ∈[﹣π，π]， ∴x=512π-或x=712π或x=12π-19.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S 中x%(0＜x ＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x ≤⎧⎪=⎨+-⎪⎩，＜，＜＜(单位：分钟)， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族S 的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义. 解析：(1)由题意知求出f(x)＞40时x 的取值范围即可；(2)分段求出g(x)的解析式，判断g(x)的单调性，再说明其实际意义. 答案：(1)由题意知，当30＜x ＜100时， f(x)=2x+1800x﹣90＞40， 即x 2﹣65x+900＞0， 解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； (2)当0＜x ≤30时， g(x)=30·x%+40(1﹣x%)=40﹣10x ；当30＜x ＜100时，g(x)=(2x+180x ﹣90)·x%+40(1﹣x%)=213585010x x -+；∴()2401013585010x g x x x ⎧-⎪=⎨⎪-+⎩；当0＜x ＜32.5时，g(x)单调递减； 当32.5＜x ＜100时，g(x)单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.20.设常数t ＞2.在平面直角坐标系xOy 中，已知点F(2，0)，直线l ：x=t ，曲线Γ：y 2=8x(0≤x ≤t ，y ≥0).l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B.P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点. (1)用t 表示点B 到点F 的距离；(2)设t=3，|FQ|=2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；(3)设t=8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.解析：(1)方法一：设B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|； 方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|； (2)根据抛物线的性质，求得Q 点坐标，即可求得OD 的中点坐标，即可求得直线PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得P 点坐标，即可求得△AQP 的面积；(3)设P 及E 点坐标，根据直线k PF ·k FQ =﹣1，求得直线QF 的方程，求得Q 点坐标，根据FP FQ FE +=，求得E 点坐标，则222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得P 点坐标. 答案：(1)方法一：由题意可知：设B(t，， 则2BF t ==+，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B(t ，， 由抛物线的性质可知：|BF|=t+2p=t+2，∴|BF|=t+2； (2)F(2，0)，|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴Q(3，设OQ 的中点D ，D(32，2322QF k -==-PF方程：y=﹣2)，联立)228y x y x⎧-⎪⎨⎪⎩＝＝，整理得：3x 2﹣20x+12=0，解得：x=23，x=6(舍去)， ∴△AQP的面积S=1723=(3)存在，设2288y m P y E m ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则2228168162PF FQ y y y k k y y y -===--，， 直线QF 方程为y=2168y y -(x ﹣2)，∴y Q =2168y y -(8﹣2)= 24834y y -，Q(8，24834y y-)，根据FP FQ FE +=，则E(22483684y y y -+，)， ∴222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：y 2=165，∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且P(25).21.给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *，都有|b n ﹣a n |≤1，则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，b n =a n+1+1，n ∈N *，判断数列{b n }是否与{a n}接近，并说明理由；(2)设数列{a n }的前四项为：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M={x|x=b i ，i=1，2，3，4}，求M 中元素的个数m ；(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围. 解析：(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；(2)由新定义可得a n ﹣1≤b n ≤a n +1，求得b i ，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数； (3)运用等差数列的通项公式可得a n ，讨论公差d ＞0，d=0，﹣2＜d ＜0，d ≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围. 答案：(1)数列{b n }与{a n }接近. 理由：{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， 可得a n =112n -，b n =a n+1+1=12n+1，则|b n ﹣a n |=1111111222n n n --+-=-＜1，n ∈N *， 可得数列{b n }与{a n }接近；(2){b n }是一个与{a n }接近的数列， 可得a n ﹣1≤b n ≤a n +1，数列{a n }的前四项为：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，可得b 1∈[0，2]，b 2∈[1，3]，b 3∈[3，5]，b 4∈[7，9]，可能b 1与b 2相等，b 2与b 3相等，但b 1与b 3不相等，b 4与b 3不相等， 集合M={x|x=b i ，i=1，2，3，4}， M 中元素的个数m=3或4；(3){a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近， 可得a n =a 1+(n ﹣1)d ，①若d ＞0，取b n =a n ，可得b n+1﹣b n =a n+1﹣a n =d ＞0，则b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中有200个正数，符合题意； ②若d=0，取b n =a 1﹣1n ，则|b n ﹣a n |=|a 1﹣1n ﹣a 1|=1n＜1，n ∈N *，可得b n+1﹣b n =111n n -+＞0，则b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中有200个正数，符合题意； ③若﹣2＜d ＜0，可令b 2n ﹣1=a 2n ﹣1﹣1，b 2n =a 2n +1， 则b 2n ﹣b 2n ﹣1=a 2n +1﹣(a 2n ﹣1﹣1)=2+d ＞0，则b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中恰有100个正数，符合题意； ④若d ≤﹣2，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近， 即为a n ﹣1≤b n ≤a n +1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1， 可得b n+1﹣b n ≤a n+1+1﹣(a n ﹣1)=2+d ≤0，b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中无正数，不符合题意. 综上可得，d 的范围是(﹣2，+∞).。

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2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷) 数 学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.行列式4125的值为 。

2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。

3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。

（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。

5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。

6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。

7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______ 9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示） 10.设等比数列{错误!未找到引用源。

}的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。

若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q=____________ 11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________ 12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，则2+2的最大值为__________ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）2错误!未找到引用源。

2018年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.行列式4125的值为____.解析：行列式4125=4×5﹣2×1=18.答案：182.双曲线2214x y -=的渐近线方程为____. 解析：∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上 而双曲线22221y x a b-＝的渐近线方程为b y x a =± ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =±答案：12y x =±3.在(1+x)7的二项展开式中，x 2项的系数为____(结果用数值表示).解析：二项式(1+x)7展开式的通项公式为 17r r r T C x +=⋅，令r=2，得展开式中x 2的系数为27C =21.答案：214.设常数a ∈R ，函数f(x)=1og 2(x+a).若f(x)的反函数的图象经过点(3，1)，则a=____. 解析：∵常数a ∈R ，函数f(x)=1og 2(x+a). f(x)的反函数的图象经过点(3，1)，∴函数f(x)=1og 2(x+a)的图象经过点(1，3)， ∴log 2(1+a)=3， 解得a=7. 答案：75.已知复数z 满足(1+i)z=1﹣7i(i 是虚数单位)，则|z|=____. 解析：由(1+i)z=1﹣7i ，得()()()()1711768341211i i i i z i i i i -------++-＝＝＝＝，则5z =.答案：56.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=0，a 6+a 7=14，则S 7=____. 解析：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=0，a 6+a 7=14，∴111205614a d a d a d +⎧⎨+++⎩＝＝，解得a 1=﹣4，d=2， ∴S 7=7a 1+762d⨯=﹣28+42=14. 答案：147.已知α∈{﹣2，﹣1，1122-，，1，2，3}，若幂函数f(x)=x α为奇函数，且在(0，+∞)上递减，则α=____.解析：∵α∈{﹣2，﹣1，1122-，，1，2，3}， 幂函数f(x)=x α为奇函数，且在(0，+∞)上递减， ∴a 是奇数，且a ＜0， ∴a=﹣1. 答案：﹣18.在平面直角坐标系中，已知点A(﹣1，0)、B(2，0)，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =u u u r，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为____.解析：根据题意，设E(0，a)，F(0，b)；∴2EF a b =-=u u u r；∴a=b+2，或b=a+2；且()()12AE a BF b ==-u u u r u u u r ，，，； ∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r；当a=b+2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r ；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-；∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b=a+2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3.答案：﹣39.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是____(结果用最简分数表示). 解析：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个， 从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：35C =10，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个， 所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：21105=.答案：1510.设等比数列{a n }的通项公式为a n =qn ﹣1(n ∈N *)，前n 项和为S n .若11lim2nn n S a →∞+=，则q=____.解析：等比数列{a n }的通项公式为a n =q n-1(n ∈N*)，可得a 1=1， 因为11lim2nn n S a →∞+=，所以数列的公比不是1，()111n n a q S q--＝，a n+1=q n. 可得()1111111lim lim lim 1121nn n nn n n n q q q q q q q q q →∞→∞→∞----====---，可得q=3. 答案：311.已知常数a ＞0，函数()22xx f x ax=+的图象经过点P(p ，65)，Q(q ，15-).若2p+q=36pq ，则a=____.解析：函数()22xx f x ax=+的图象经过点P(p ，65)，Q(q ，15-). 则：226115522p q pq ap aq +-++＝＝， 整理得：222221222p q p q p qp qp q aq ap aq ap a pq++++++=+++， 解得：2p+q=a 2pq ，由于：2p+q=36pq ，所以：a 2=36， 由于a ＞0， 故：a=6. 答案：612.已知实数x 1、x 2、y 1、y 2满足：x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12，+的最大值为____.解析：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，OA u u u r =(x 1，y 1)，OB uuu r=(x 2，y 2)，由x 12+y 12=1，x 22+y 22=1，x 1x 2+y 1y 2=12， 可得A ，B 两点在圆x 2+y 2=1上，且OA OB ⋅u u u r u u u r =1×1×cos ∠AOB=12，即有∠AOB=60°，即三角形OAB 为等边三角形， AB=1，A ，B 两点到直线x+y ﹣1=0的距离d 1与d 2之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线x+y=1平行， 可设AB ：x+y+t=0，(t ＞0)， 由圆心O 到直线AB的距离d =，可得2212t -=1，解得t=，1=， +二、选择题(本大题共有4题，满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设P 是椭圆22153y x +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A.B.C.D.解析：椭圆22153y x +=的焦点坐标在x 轴， P 是椭圆22153y x +=上的动点，由椭圆的定义可知：则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=答案：C14.已知a ∈R ，则“a＞1”是“1a＜1”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件 解析：a ∈R ，则“a＞1”⇒“1a＜1”， “1a＜1”⇒“a＞1或a ＜0”， ∴“a＞1”是“1a＜1”的充分非必要条件.答案：A15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA 1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AA 1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )A.4B.8C.12D.16解析：根据正六边形的性质，则D 1﹣A 1ABB 1，D 1﹣A 1AFF 1满足题意，而C 1，E 1，C ，D ，E ，和D 1一样，有2×6=12，当A 1ACC 1为底面矩形，有2个满足题意， 当A 1AEE 1为底面矩形，有2个满足题意， 故有12+2+2=16答案：D16.设D 是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D 上的函数，若f(x)的图象绕原点逆时针旋转6π后与原图象重合，则在以下各项中，f(1)的可能取值只能是( )B.C.D.0解析：设D 是含数1的有限实数集，f(x)是定义在D 上的函数， 若f(x)的图象绕原点逆时针旋转6π后与原图象重合，故f(1)=cos6π=答案：B三、解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. (1)设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；(2)设PO=4，OA 、OB 是底面半径，且∠AOB=90°，M 为线段AB 的中点，如图.求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.解析：(1)由圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.(2)以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与OB所成的角.答案：(1)∵圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积2211233V r hππ=⨯⨯⨯=⨯⨯=. (2)∵PO=4，OA，OB是底面半径，且∠AOB=90°，M为线段AB的中点，∴以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，P(0，0，4)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，0)，O(0，0，0)，PMu u u u r=(1，1，﹣4)，OBuuu r=(0，2，0)，设异面直线PM与OB所成的角为θ，则cosPM OBPM OBθ⋅===⋅u u u u r u u u ru u u u r u u u r..∴异面直线PM与OB所成的角的为.18.设常数a∈R，函数f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数，求a的值；(2)若()14fπ=，求方程f(x)=1[﹣π，π]上的解.解析：(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出， (2)先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出.答案：(1)∵f(x)=asin2x+2cos 2x ，∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos 2x ， ∵f(x)为偶函数， ∴f(﹣x)=f(x)，∴﹣asin2x+2cos 2x=asin2x+2cos 2x ， ∴2asin2x=0， ∴a=0； (2)∵()14f π=，∴()2sin2cos 1124a a ππ+=+=，∴∴sin2x+2cos 26π)+1， ∵f(x)=1∴2sin(2x+6π)+1=1， ∴()sin 26x π+=∴2264x k πππ+=-+，或52264x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x=512k ππ-+，或x=1312π+kπ，k ∈Z ，∵x ∈[﹣π，π]， ∴x=512π-或x=712π或x=12π-19.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S 中x%(0＜x ＜100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x ≤⎧⎪=⎨+-⎪⎩，＜，＜＜(单位：分钟)， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S 的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义.解析：(1)由题意知求出f(x)＞40时x 的取值范围即可；(2)分段求出g(x)的解析式，判断g(x)的单调性，再说明其实际意义. 答案：(1)由题意知，当30＜x ＜100时， f(x)=2x+1800x﹣90＞40， 即x 2﹣65x+900＞0， 解得x ＜20或x ＞45，∴x ∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； (2)当0＜x ≤30时，g(x)=30·x%+40(1﹣x%)=40﹣10x ； 当30＜x ＜100时，g(x)=(2x+180x ﹣90)·x%+40(1﹣x%)=213585010x x -+； ∴()2401013585010x g x x x ⎧-⎪=⎨⎪-+⎩；当0＜x ＜32.5时，g(x)单调递减； 当32.5＜x ＜100时，g(x)单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.20.设常数t ＞2.在平面直角坐标系xOy 中，已知点F(2，0)，直线l ：x=t ，曲线Γ：y 2=8x(0≤x ≤t ，y ≥0).l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B.P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点. (1)用t 表示点B 到点F 的距离；(2)设t=3，|FQ|=2，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；(3)设t=8，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由.解析：(1)方法一：设B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|； 方法二：根据抛物线的定义，即可求得|BF|； (2)根据抛物线的性质，求得Q 点坐标，即可求得OD 的中点坐标，即可求得直线PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得P 点坐标，即可求得△AQP 的面积；(3)设P 及E 点坐标，根据直线k PF ·k FQ =﹣1，求得直线QF 的方程，求得Q 点坐标，根据FP FQ FE +=u u u r u u u r u u u r ，求得E 点坐标，则222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得P 点坐标. 答案：(1)方法一：由题意可知：设B(t，，则2BF t ==+，∴|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B(t ，， 由抛物线的性质可知：|BF|=t+2p=t+2，∴|BF|=t+2； (2)F(2，0)，|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，∴，∴Q(3)，设OQ 的中点D ，D(32)，2322QF k -==-PF 方程：y=(x ﹣2)，联立)228y x y x⎧--⎪⎨⎪⎩＝＝，整理得：3x 2﹣20x+12=0，解得：x=23，x=6(舍去)，∴△AQP 的面积S=1723=； (3)存在，设2288y m P y E m ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，则22281681628PF FQ y y y k k y y y -===--，， 直线QF 方程为y=2168y y -(x ﹣2)，∴y Q =2168y y -(8﹣2)= 24834y y -，Q(8，24834y y-)，根据FP FQ FE +=u u u r u u u r u u u r ，则E(22483684y y y-+，)， ∴222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：y 2=165，∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且P(25).21.给定无穷数列{a n }，若无穷数列{b n }满足：对任意n ∈N *，都有|b n ﹣a n |≤1，则称{b n }与{a n }“接近”.(1)设{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，b n =a n+1+1，n ∈N *，判断数列{b n }是否与{a n }接近，并说明理由；(2)设数列{a n }的前四项为：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，{b n }是一个与{a n }接近的数列，记集合M={x|x=b i ，i=1，2，3，4}，求M 中元素的个数m ；(3)已知{a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近，且在b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中至少有100个为正数，求d 的取值范围. 解析：(1)运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；(2)由新定义可得a n ﹣1≤b n ≤a n +1，求得b i ，i=1，2，3，4的范围，即可得到所求个数； (3)运用等差数列的通项公式可得a n ，讨论公差d ＞0，d=0，﹣2＜d ＜0，d ≤﹣2，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围. 答案：(1)数列{b n }与{a n }接近. 理由：{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，可得a n =112n -，b n =a n+1+1=12n+1，则|b n ﹣a n |=1111111222n n n --+-=-＜1，n ∈N *，可得数列{b n }与{a n }接近；(2){b n }是一个与{a n }接近的数列， 可得a n ﹣1≤b n ≤a n +1，数列{a n }的前四项为：a 1=1，a 2=2，a 3=4，a 4=8，可得b 1∈[0，2]，b 2∈[1，3]，b 3∈[3，5]，b 4∈[7，9]，可能b 1与b 2相等，b 2与b 3相等，但b 1与b 3不相等，b 4与b 3不相等， 集合M={x|x=b i ，i=1，2，3，4}， M 中元素的个数m=3或4；(3){a n }是公差为d 的等差数列，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近， 可得a n =a 1+(n ﹣1)d ，①若d ＞0，取b n =a n ，可得b n+1﹣b n =a n+1﹣a n =d ＞0，则b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中有200个正数，符合题意； ②若d=0，取b n =a 1﹣1n ，则|b n ﹣a n |=|a 1﹣1n ﹣a 1|=1n＜1，n ∈N *， 可得b n+1﹣b n =111n n -+＞0，则b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中有200个正数，符合题意； ③若﹣2＜d ＜0，可令b 2n ﹣1=a 2n ﹣1﹣1，b 2n =a 2n +1， 则b 2n ﹣b 2n ﹣1=a 2n +1﹣(a 2n ﹣1﹣1)=2+d ＞0，则b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中恰有100个正数，符合题意； ④若d ≤﹣2，若存在数列{b n }满足：{b n }与{a n }接近， 即为a n ﹣1≤b n ≤a n +1，a n+1﹣1≤b n+1≤a n+1+1， 可得b n+1﹣b n ≤a n+1+1﹣(a n ﹣1)=2+d ≤0，b 2﹣b 1，b 3﹣b 2，…，b 201﹣b 200中无正数，不符合题意. 综上可得，d 的范围是(﹣2，+∞).考试考高分的小窍门1、提高课堂注意力2、记好课堂笔记3、做家庭作业4、消除焦虑、精中精力、5、不忙答题，先摸卷情、不要畏惧考试。

【试题级别】高三
【试题地区】上海
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）
15.（2018•上海）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）
A.4
B.8
C.12
D.16
【答案】D
【解析】【解答】以AA1取矩形分别讨论，找到AA1所在矩形个数，并根据每个矩形可做4个阳马的基本位置关系，可得答案为D。

故答案为：D。

【分析】以AA1为底边的直四棱锥，运用线面垂直关系判定的方法分析图形中基本元素及其相互关系解答即可。

【题型】单选题
【考查类型】高考真题
【试题来源】2018年高考数学真题试卷（上海卷）。

上海市2018年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1．【答案】18 【解析】直接利用行列式的定义，计算求解即可．解：行列式4145211825=⨯⨯=-． 故答案为：18．【考点】二阶行列式的定义．2．【答案】12x ± 【考点】双曲线的性质【解析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．解：∵双曲线的2a =，1b =，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b -=的渐近线方程为b y x a =± ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为12y x =± 故答案为：12x ± 【考点】双曲线的性质3．【答案】21【解析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中2x 的系数．解：二项式71x +（）展开式的通项公式为17•r r r T C x +=，令2r =，得展开式中2x 的系数为27C 21=． 故答案为：21．【考点】二项式定理4．【答案】7【解析】由反函数的性质得函数21f x og x a=+（）（）的图象经过点（1,3），由此能求出a ． 解：∵常数a R ∈，函数21f x og x a=+（）（）． f x （）的反函数的图象经过点（3,1）， ∴函数21f x og x a=+（）（）的图象经过点（1,3）， ∴213log a+=（）， 解得7a =．故答案为：7．【考点】反函数5．【答案】5【解析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 解：由(1)17i z i +=-， 得17(17)(1)68341(1)(1)2i i i i z i i i i -----====--++-，则||5z ==．故答案为：5．【考点】复数的模6．【答案】14【解析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出14a =-，2d =，由此能求出7S ．解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，367014a a a =+=,∴111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得14a =-，2d =， ∴717672842142S a d ⨯=+=-+=． 故答案为：14．【考点】等差数列的前n 项和7．【答案】1-【解析】由幂函数f x x α=（）为奇函数，且在(0,)+∞上递减，得到a 是奇数，且0a ＜，由此能求出a 的值． 【解答】解：∵112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭， 幂函数()f x x α=为奇函数，且在（0，+∞）上递减，∴a 是奇数，且0a ＜，∴1a =-．故答案为：1-．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域8．【答案】3-【解析】据题意可设0,E a （），0,F b （），从而得出2a b -=，即2a b =+，或2b a =+，并可求得2AE BF ab ⋅=-+，将2a b =+带入上式即可求出AE BF ⋅的最小值，同理将2b a =+带入，也可求出的最小值．【解答】解：根据题意，设0,0,E a F b (),()；|EF ||a b |2∴=-=∴2a b =+或a 2b =+且(1,)AE a =，(2,)BF b =-∴2AE BF ab ⋅=-+当2a b =+时，22(2)22AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-；∵222b b +-的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅的最小值为3-，同理求出2b a =+时，AE BF ⋅的最小值为3-．故答案为：3-．【考点】平面向量数量积的性质及其运算9．【答案】15【解析】求出所有事件的总数，求出三个砝码的总质量为9克的事件总数，然后求解概率即可． 解：编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，3个数中含有1个2；2个2，没有2，3种情况，所有的事件总数为：3510C =，这三个砝码的总质量为9克的事件只有：5，3，1或5，2，2两个，所以：这三个砝码的总质量为9克的概率是：21=105， 故答案为：15． 【考点】古典概型及其概率计算公式10．【答案】3【解析】利用等比数列的通项公式求出首项，通过数列的极限，列出方程，求解公比即可．解：等比数列{}n a 的通项公式为()1*n n ma q n N -=∈，可得1a 1=， 因为11lim 2n n n S a →∞+=，所以数列的公比不是1， ，1n n a q +=．可得，11111111lim lim lim (1)12n n nn n n n n q q q q q q q q q -→∞→∞→∞----====-- 可得3q =．故答案为：3．【考点】数列的极限11．【答案】6【解析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值． 【解答】解：函数2()2x x f x ax =+的图象经过点61,,,55P p Q q ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 则： p q P q 226112ap 2aq 55+==++， 整理得：222221222p q p q p qp q p q aq ap aq ap a pq++++++=+++， 解得：，22p q a pq += 由于：236p q pq +=，所以：236a =，由于0a ＞，故：6a =．故答案为：6【考点】函数的图象与图象的变换12．【解析】设()11,A x y ，()22,B x y ，()11,OA x y =，()22,OB x y =，由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形OAB 为等边三角形，1AB =的几何意义为点A ，B 两点到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，由两平行线的距离可得所求最大值．【解答】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，()11,OA x y =，()22,OB x y =，由222211221,1x y x y +=+=，121212x x y y +=， 可得A ，B 两点在圆221x y +=上， 且111cos 2OA OB AOB ⋅=⨯⨯∠=， 即有60AOB ∠=，即三角形OAB 为等边三角形， 1AB =，+的几何意义为点A ，B 两点到直线10x y +-=的距离1d 与2d 之和，显然A ，B 在第三象限，AB 所在直线与直线1x y +=平行，可设AB ：0x y t ++=，（0t ＞），由圆心O 到直线AB的距离d =，可得1=，解得2t =，1=【考点】基本不等式及其应用，点到直线的距离公式二、选择题13【答案】C【解析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求出a ，接利用椭圆的定义，转化求解即可．【考点】椭圆的性质．14．【答案】A【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O ：定义法；5L ：简易逻辑．【解析】“1a ＞”⇒“11a <”，“11a<”⇒“1a ＞或0a ＜”，由此能求出结果． 【考点】充分条件，必要条件，充要条件15．【答案】D【解析】根据新定义和正六边形的性质可得答案．【考点】排列、组合的实际应用16．【答案】B【专题】35 ：转化思想；51 ：函数的性质及应用；56 ：三角函数的求值．【解析】由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转6π个单位后与下一个点会重合．我们可以通过代入和赋值的方法当(1)f =0时，此时得到的圆心角为3π，6π，0，然而此时0x =或者1x =时，都有2个y 与之对应，而我们知道函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y ，因此只有当x =6π，此时满足一个x 只会对应一个y ，因此答案就选：B ． 故选：B ．【考点】函数的图象与图象的变换三、解答题17．【答案】（1）∵圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，圆锥的母线长为4，∴圆锥的体积2211233V r h ππ=⨯⨯⨯=⨯⨯=． （2）∵4PO =，OA ，OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，∴以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，(004)P ，，，200A(，，)，(0,2,0)B ， (1,1,0)M ，(0,0,0),O(1,1,4),(0,2,0)PM OB =-=设异面直线PM 与OB 所成的角为θ，则||cos 18||||PM OB PM OB θ⋅===⋅∴arccos 6θ=∴异面直线PM 与OB 所成的角的为．【解析】（1）由圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2，圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积．（2）以O 为原点，OA 为x 轴，OB 为y 轴，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM 与OB 所成的角．【考点】异面直线及其所成的角，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积18．【答案】（1）2()sin 22cos f x a x x =+，2()sin 22cos f x a x x ∴-=-+，f x （）为偶函数， ()()f x f x ∴-=，22sin 22cos sin 22cos a x x a x x ∴-+=+，2sin 20a x ∴=，0a ∴=（2）|14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，2asin 2cos 1124a ππ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭，a ∴=2()22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x π⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭，()1f x =，2sin 2116x π⎛⎫∴++=- ⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 2264x k πππ∴+=-+或522,64x k k Z πππ+=+∈5x k 24πππ∴=-+或 13x k ,k Z 24ππ=+∈ [,]x ππ∈-13x 24π∴=或19x 24π=或5x 24π=-或11x 24π=- 【解析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出.（2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【考点】两角和与差的三角函数，二倍角的三角函数19．【答案】（1）由题意知，当30100x ＜＜时，1800()29040f x x x =+->， 即2659000x x -+＞，解得20x ＜或45x ＞，∴45100x ∈（，）时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030x ＜≤时，()30%40(1%)4010x g x x x =⋅+-=-； 当30100x ＜＜时， 218013()290%40(1%)585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭； ∴24010()13585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩， 当032.5x ＜＜时，g x （）单调递减；当32.5100x ＜＜时，g x （）单调递增； 说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【解析】（1）由题意知求出()40f x >时x 的取值范围即可；（2）分段求出g x （）的解析式，判断g x （）的单调性，再说明其实际意义． 【考点】分段函数的应用20．【答案】（1）由题意可知：设()B t ，则2BF t ==+， ∴2BF t =+；（2）(2,0)F ，2FQ =，3t =，则1FA =，AQ ∴=,Q ∴，设OQ 的中点D ，3D 2⎛ ⎝⎭，2K a 322-⋅==-PF方程：2)y x =-，联立22)8y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得：2320120x x -+=， 解得：23x =，6x =（舍去）， ∴AQP △的面积17236S ==； （3）存在，设2,8y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,8m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则2281628PF y y k y y ==--，2168FQ y k y -=，直线QF 方程为216(2)8y y x y-=-， ∴2216483(82)84Q y y y y y --=-=，24838,4y Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 根据FP FQ FE +=，则22486,84y y E y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， ∴222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：2165y =，∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在τ上，且2lP 5⎛ ⎝⎭．【解析】（1）设B 点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得BF ；（2）根据抛物线的性质，求得Q 点坐标，即可求得OD 的中点坐标，即可求得直线PF 的方程，代入抛物线方程，即可求得P 点坐标，即可求得AQP △的面积；（3）设P 及E 点坐标，根据直线1PF FQ k k ⋅=﹣，求得直线QF 的方程，求得Q 点坐标，根据FP FQ FE +=，求得E 点坐标，则222488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得P 点坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系21．【答案】（1）数列{}n b 与{}n a 接近．理由：{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列， 可得112n n a -=，11112n n nb a +=+=+， 则011111111222n n n n b a ---=+-=-<，*n N ∈， 可得数列{}n b 与{}n a 接近；（2）{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，可得11n n n a b a +-≤≤，数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =， 可得1[0,2]b ∈，2[1,3]b ∈，3[3,5]b ∈，4[7,9]b ∈，可能1b 与2b 相等，2b 与3b 相等，但1b 与3b 不相等，4b 与3b 不相等，集合1234{|,}i M x x b i ===，，，， M 中元素的个数3m =或4；（3）{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，可得11n a a n d =+-（）， ①若0d ＞，取n n b a =，可得110n n n n b b a a d ++-=-=>， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意； ②若0d =，取11n b a n =-，则11111n n b a a a n n -=--=<，*n N ∈， 可得11101n n b b n n +-=->+， 则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中有200个正数，符合题意；③若20d ﹣＜＜，可令21211n n b a --=-，221n n b a =+， 则()2212211120n n n n b b a a d ---=+--=+＞，则21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中恰有100个正数，符合题意； ④若2d -，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，即为11n n n a b a -+，11111n n n a b a +++-+，可得()111120n n n n b b a a d ++-+--=+，21b b -,32b b -，⋯，201200b b -中无正数，不符合题意． 综上可得，d 的范围是(2,)-+∞．【解析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断；（2）由新定义可得11n n n a b a +-≤≤，求得i b ，1,2,3,4i =的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得n a ，讨论公差0d ＞，0d =，20d -＜＜，2d ≤-，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围．【考点】等差数列与等比数列的综合。

2018年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学科目考试说明一、考试性质、目的和对象普通高等学校招生数学科目全国统一考试（上海卷）是为普通高等学校招生提供依据的选拔性考试。

选拔性考试是高利害考试，考试结果应该具有高信度，考试结果的解释和使用应该具有高效度。

考试命题的指导思想是坚持立德树人，有利于促进每一个学生的终身发展，有利于科学选拔和培养人才，有利于维护社会公平、公正。

考试对象是符合2018年上海市高考报名条件的考生。

二、考试目标依据《上海市中小学数学课程标准（试行稿）»及其调整意见和高校人才选拔要求，结合中学教学实际，本考试旨在考查考生的数学素养，包括数学基础知识与基本技能、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力、数学应用与探完能力。

具体为：I .数学基础知识与基本技能I. 1理解或掌握初等数学中有关数与运算、方程与代数、函数与分析、数据整理与概率统计、图形与几何的基础知识。

1,2理解集合、对应、函数、算法、数学建模、极限、概率、统计、化归、数形结合、分类讨论、分解与组合等基本数学思想；掌握比较、分析、类比、归纳、坐标法、参数法、逻辑划分、等价转换等基本数学方法。

I. 3能按照一定的规则和步骤进行计算、作图和推理；掌握数学阅读、表达以及文字语言、图形语言、符号语言之间进行转换的基本技能；会使用函数型计算器进行有关计算。

II. 逻辑推理能力II. 1能正确判断因果关系。

III. 2会进行演绎、归纳和类比推理，并能正确而简明地表述推理过程。

III.运算能力IV. . 1能根据要求处理、解释数据。

ni. 2能根据条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径。

IV.空I砌笳卧3IV. 1 正确地分析图形中的基本元素及其相互关系。

IV. 2能对图形进行分解、组合和变形。

V.数学应用与探究能力V. 1能运用基础知识、基本技能、数学思想方法和适当的解题策略，解决有关数学问题。

V.2能通过建立数学模型，解决有关社会生活、生产实际中的问题，并能解释其实际意义。

2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题（上海卷）一、填空题（本大题共有12题，满分54分第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.行列式4125的值为 。

2.双曲线2214x y -=的渐近线方程为 。

3.在（1+x ）7的二项展开式中，x ²项的系数为 。

（结果用数值表示） 4.设常数a R ∈，函数f x x a =+（）㏒₂（），若f x （）的反函数的图像经过点31（，），则a= 。

5.已知复数z 满足117i z i +=-（）（i 是虚数单位），则∣z ∣= 。

6.记等差数列{} n a 的前几项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 。

7.已知21123α∈---｛，，，，，，｝，若幂函数()n f x x =为奇函数，且在0+∞（，）上速减，则α=_____8.在平面直角坐标系中，已知点A （-1，0），B （2，0），E ，F 是y 轴上的两个动点，且|EF |=2，则AE ·BF 的最小值为______9.有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是______（结果用最简分数表示）10.设等比数列{}的通项公式为a n =q ⁿ+1（n ∈N*），前n 项和为S n 。

若1Sn 1lim 2n n a →∞+=，则q=____________ 11.已知常数a >0，函数222()(2)f x ax =+的图像经过点65p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、15Q q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，若236p q pq +=，则a =__________ 12.已知实数x ₁、x ₂、y ₁、y ₂满足：²²1x y +=₁₁，²²1x y +=₂₂，212x x y y +=₁₂₁，则的最大值为__________二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设P 是椭圆 ²5x + ²3y =1上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ） （A ）2（B ）2（C ）2（D ）414.已知a R ，则“1a﹥”是“1a1﹤”的（ ） （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件 15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设AA ₁是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA ₁为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）（A ）4（B ）8（C ）12（D ）1616.设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是（ ）（A（B（C （D ）0三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO =4，OA ，OB 是底面半径，且∠AOB =90°，M 为线段AB的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+ （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解。

2018年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷2018.06.07一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1、行列式4125的值为 ． 2、双曲线2214x y -=的渐近线方程为 ．3、在()71x +的二项展开式中，2x 项的系数为 ．4、设常数a ∈R ，函数()()2log f x x a =+．若()f x 的反函数的图像经过点()3,1，则a =5、已知复数z 满足()()117i z ii +=-是虚数单位，则z = ．6、记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30a =，6714a a +=，则7S = ．7、已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭．若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,+∞上递减，则α= ．8、在平面直角坐标系中，已知点()1,0A -、()2,0B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF =，则AE BF ⋅的最小值为 ．9、有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个．从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是 ． 10、设等比数列{}n a 的通项公式为()1*1n n a a q n -=∈N ，前n 项和为n S ．若11lim 2n n n S a →∞+=，则q = ．11、已知常数0a >，函数()22x x f x ax =+的图像经过点61,,55P p Q q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、．若236p q pq +=， 则a = ．12、22111x y +=，22221x y +=，12120.5x x y y +=，则+的最大值为 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13、设P 是椭圆22153x y +=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）． （A） （B） （C） （D）14、已知a ∈R ，则“1a >”是“11a<”的（ ）． （A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 15、《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）． （A ）4 （B ）8 （C ）12 （D ）1616、设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数．若()f x 的图像绕原点逆时针旋转6π后与原图像重合，则在以下各项中，()1f 的可能取值只能是（ ）． （A（B（C（D ）0 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17、（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2， （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA OB 、是底面半径，且90AOB ∠=，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小．18、（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）设常数a ∈R ，函数()2sin 22cos f x a x x =+． （1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，求方程()1f x =[],ππ-上的解．A 1AO MPBA19、（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中()%0100x x <<的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为：()()30,0301800290,30100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩单位：分钟， 而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟．试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当x 在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．20、（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）设常数2t >，在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线l ：x t =，曲线Γ：28y x=()0,0x t y ≤≤≥，l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．（1）用t 表示点B 到点F 的距离；（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP 上，求△AQP 的面积；（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意n ∈*N ，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”．（1）设{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列，11n n b a +=+，n ∈*N ，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由；（2）设数列{}n a 的前四项为：11a =，22a =，34a =，48a =，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合{}|,1,2,3,4i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； （3）已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在21b b -，32b b -，…，201200b b -中至少有100个为正数，求d 的取值范围．。