人教版高中数学全套试题第三章 概率 3.2.2

第2课时零点的存在性及其近似值的求法必备知识基础练进阶训练第一层知识点一二分法的概念1.下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是( )2．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]上的零点时，需要的条件是( )①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)f(b)<0；③f(a)f(b)>0；④f(a)f(b)≥0.A．①③ B．①②C．①④ D．②3．已知函数f(x)的图像如图所示，其中零点的个数及可以用二分法求近似解的零点的个数分别为( )A．4,4 B．3,4C．5,4 D．4,3知识点二判断函数零点所在的区间4.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4f(x)6m －4－6－6－4n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)5．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内6．已知，函数f(x)，g(x)的图像在[－1,3]上都是连续不断的．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是( )x －1012 3f(x)－0.677 3.011 5.432 5.9807.651g(x)－0.530 3.451 4.890 5.241 6.892A.(－1,0) B．(0,1)C．(1,2) D．(2,3)知识点三用二分法求函数零点的近似值7.用“二分法”可求近似解，对于精确度ε说法正确的是( )A．ε越大，零点的精确度越高B．ε越大，零点的精确度越低C．重复计算次数就是εD．重复计算次数与ε无关8．用二分法研究函数f(x)＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为( )A．(0,0.5)，f(0.125) B．(0.5,1)，f(0.875)C．(0.5,1)，f(0.75) D．(0,0.5)，f(0.25)9．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：f(1)＝－2f(1.5)＝0.625f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260f(1.437 5) ＝0.162f(1.406 25) ＝－0.054 那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为________．关键能力综合练进阶训练第二层C ．函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫a16，a 内无零点 D ．函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16或⎝ ⎛⎭⎪⎫a 16，a 8内有零点，或零点是a16二、填空题7．已知函数f (x )＝mx 2＋2x －1有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值X 围是________．8．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )，当x >0时，y ＝f (x )是单调递增的，且f (1)f (2)<0，则函数f (x )的零点个数是________．9．已知图像连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________________________________________________________________________．三、解答题10．(探究题)已知函数f (x )＝|x 2－2x |－a ， (1)若函数f (x )没有零点，某某数a 的取值X 围； (2)若函数f (x )有两个零点，某某数a 的取值X 围； (3)若函数f (x )有三个零点，某某数a 的取值X 围； (4)若函数f (x )有四个零点，某某数a 的取值X 围．学科素养升级练 进阶训练第三层1．(多选)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是( ) A ．a <1B ．若x 1x 2≠0，则1x 1＋1x 2＝2aC ．f (－1)＝f (3)D ．函数有y ＝f (|x |)四个零点2．(学科素养—数学抽象)若函数f (x )的图像是连续不断的，且f (0)>0，f (1)f (2)f (4)<0，则下列命题正确的是________．①函数f (x )在区间(0,1)内有零点；②函数f(x)在区间(1,2)内有零点；③函数f(x)在区间(0,2)内有零点；④函数f(x)在区间(0,4)内有零点．3．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，某某数a的取值X围．(1)零点均大于1；(2)一个零点大于1，一个零点小于1；(3)一个零点在(0,1)内，另一个零点在(6,8)内．第2课时零点的存在性及其近似值的求法必备知识基础练1．解析：按定义，f(x)在区间[a，b]上是不间断的，且f(a)f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图像可得B，C，D 满足条件，而A不满足，在A中，函数图像经过零点时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A.答案：A2．解析：由二分法的定义知①②正确．故选B.答案：B3．解析：由图像知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足函数值异号，因此不能用二分法求零点近似解，而其余3个均可使用二分法求零点近似解．答案：D4．解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2,4)内必有根．答案：A5．解析：∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a －c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵a<b<c，∴f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．答案：A6．解析：令F(x)＝f(x)－g(x)，因为F(－1)＝f(－1)－g(－1)＝－0.677－(－0.530)＝－0.147<0，F(0)＝f(0)－g(0)＝3.011－3.451＝－0.44<0，F(1)＝f(1)－g(1)＝5.432－4.890＝0.542>0，F(2)＝f(2)－g(2)＝5.980－5.241＝0.739>0，F(3)＝f(3)－g(3)＝7.651－6.892＝0.759>0，于是有F(0)·F(1)<0.所以F(x)在(0,1)内有零点，即f(x)＝g(x)在(0,1)内有实数解．故选B.答案：B7．解析：依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精确度越低．答案：B8．解析：∵f(x)＝x5＋8x3－1，f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)·f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，第二次应计算的函数值应为f(0.25)，故选D.答案：D9．解析：根据题意知函数的零点在区间[1.375,1.5]内时，|1.5－1.375|＝0.125<2×0.1，故方程的一个近似根为1.437 5.答案：1.437 5关键能力综合练1．解析：由题意得，f (x )在(2 019,2 020)内可能存在零点，在(2 020，2 021)内至少存在一个变号零点．答案：A2．解析：∵f (－2)＝－28<0，f (4)＝38>0，f (1)＝－4<0，f (2.5)＝4.625>0， f (1.75)＝－1.515 625<0.∴f (x )在[－2,4]上的零点必定属于[1.75,2.5]．故选C. 答案：C3．解析：利用特殖值法和数形结合的思想验证．如：①令c ＝1，则f (x )＝x 2＋1，f (2)＝f (－2)＝5>0，在(－2,2)内无零点；②令c ＝0，则f (x )＝x 2，f (2)＝f (－2)＝4>0，在(－2,2)内有一个零点；③令c ＝－1，则f (x )＝x 2－1，f (2)＝f (－2)＝3>0，在(－2,2)内有两个零点．因此只有A 正确．答案：A4．解析：∵f (2)＝8>0，f (3)＝－2<0，f (4)＝2>0，f (6)＝3>0，f (7)＝－2<0，f (8)＝－1<0，f (9)＝8>0，∴f (2)·f (3)<0，f (3)·f (4)<0，f (6)·f (7)<0，f (8)·f (9)<0，∴在(2,3)，(3,4)，(6,7)，(8,9)上都至少各有一个零点， ∴至少有4个零点，故选B. 答案：B5．解析：∵f (0.72)>0，f (0.68)<0，∴f (0.72)×f (0.68)<0，∴存在x 0∈(0.68,0.72)使x 0为函数的零点，而0.7∈(0.68,0.72)．故选B.答案：B6．解析：根据二分法，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，零点应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 16或⎝⎛⎭⎪⎫a 16，a 8内，或零点是a 16.答案：D7．解析：当m ＝0时，零点为x ＝12，满足题意．当m ≠0时，Δ＝4＋4m ≥0，解得m >0或－1≤m <0， 设x 1，x 2是函数的两个零点，则x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝－1m.若m ＝－1，函数只有一个零点1，满足题意； 若－1<m <0，则x 1，x 2均为正数，不符合题意，舍去； 若m >0，则x 1，x 2一正一负，满足题意． 综上，实数m 的取值X 围是{－1}∪[0，＋∞)． 答案：{－1}∪[0，＋∞)8．解析：由已知可知，存在x 0∈(1,2)，使f (x 0)＝0，又函数f (x )为偶函数，所以存在x 0′∈(－2，－1)，使f (x 0′)＝0，且x 0′＝－x 0.故函数f (x )的零点个数是2.答案：29．解析：设等分的最少次数为n ，则由0.12n <0.01，得2n>10，∴n 的最小值为4.所以至少等分4次即可．答案：4 10．解析：令|x 2－2x |－a ＝0，则|x 2－2x |＝a ，构造函数g (x )＝|x 2－2x |，y ＝a ，作出函数g (x )＝|x 2－2x |的图像，如图所示，由图像可知： (1)当a <0时，a ≠|x 2－2x |，此时函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像没有交点． 即函数f (x )没有零点．(2)当a ＝0或a >1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有两个交点，即f (x )有两个零点． (3)当a ＝1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有三个交点，即f (x )有三个零点． (4)当0<a <1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有四个交点，即f (x )有四个零点．学科素养升级练1．解析：根据题意，函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，即方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的根，为x 1，x 2，据此分析选项：对于A ，若方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的根，则有(－2)2－4a >0，解可得a <1，故A 正确；对于B ，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的根，为x 1，x 2，则有x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，则1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a，B 正确；对于C ，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，其对称轴为x ＝1，则有f (－1)＝f (3)，故C 正确；对于D ，当a ＝0时，y ＝f (|x |)＝x 2－2|x |，有3个零点，故D 错误．答案：ABC2．解析：∵f (0)>0，f (1)f (2)f (4)<0，则f (1)，f (2)，f (4)恰有一负两正或三个都是负的．函数的图像与x 轴相交有4种可能，如图所示：∴函数f (x )必在区间(0,4)内有零点．故选④. 答案：④3．解析：(1)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的两根均大于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2－16≥0，f 1＝5－2a ＞0，a ＞1，解得2≤a ＜52.即a 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52.(2)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根大于1，一个根小于1，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得f (1)＝5－2a ＜0，解得a ＞52.即a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞. (3)因为方程x 2－2ax ＋4＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，结合二次函数的单调性与零点存在性定理得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝4＞0，f1＝5－2a ＜0，f6＝40－12a ＜0，f8＝68－16a ＞0，解得103＜a ＜174.即a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174.。

3．22 (整数值)随机数(rand nubers)的产生1．了解整数随机数的产生．2．会用模拟方法(包括计算器产生随机数进行模拟)估计概率．1．整数随机数的产生计算器或计算机产生的整数随机数是依照确定的算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数的性质，不是真正的随机数，称为．即使是这样，由于计算器或计算机省时省力，并且速度非常快，我们还是把计算器或计算机产生的伪随机数近似地看成随机数．常见产生随机数的方法比较【做一做1】用计算器产生1～21之间的取整数值的随机数．2．整数随机数的应用利用计算器或计算机产生的做模拟试验，通过模拟试验得到的估计概率，这种用计算器或计算机模拟试验的方法称为方法或方法．用频率估计概率时，需要做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验还无法进行，因而常用随机模拟试验代替试验．产生整数随机数的方法不仅是用计算器或计算机，还可以用试验产生整数随机数．【做一做2－1】用随机模拟方法估计概率时，其准确程度决定于( )A．产生的随机数的大小B．产生的随机数的个数．随机数对应的结果D．产生随机数的方法【做一做2－2】用随机模拟方法得到的频率( )A．大于概率B．小于概率．等于概率D．是概率的近似值答案：1．伪随机数【做一做1】解：具体操作如下：反复按ENTER键，就可以不断地产生(1,21)之间的随机数．2．随机数频率随机模拟蒙特卡罗【做一做2－1】 B【做一做2－2】 D1．用试验方法产生整数随机数剖析：结合实例总结产生的步骤．例如试验方法从0,1,2，…，9共10个整数中产生一个整数随机数．其产生的步骤是：(1)制作10个号签，在上面分别写上0,1,2，…，9；[](2)将这10个号签放入一个不透明的容器内，搅拌均匀；(3)从容器中逐个有放回的抽取号签，并记下号签上的整数的大小，则这个整数就是用简单随机抽样中的抽签法产生的整数随机数．这种方法产生的随机数能够保证每个随机数的产生都是等可能的，是真正的随机数．但是这种方法费时费力，花费的时间较多．[]由此可知，用试验方法产生整数随机数的步骤是：(这里仅介绍用简单随机抽样中的抽签法产生的随机数)(1)明确产生的整数随机数的范围和个数；(2)制作号签，号签上的整数所在的范围是产生的整数随机数的范围，号签的个数等于产生的整数随机数的范围内所含整数的个数；(3)将制作的全部号签放入一个不透明的容器内，搅拌均匀；(4)从容器中逐个有放回的抽取号签，并记下号签上的整数的大小，直至抽取的号签个数等于要产生的整数随机数的个数．则抽取出的号签上的整数就是所要产生的整数随机数．2．利用计算机产生随机数的操作程序剖析：每个具有统计功能的软件都有随机函数，以Ecel软件为例，打开Ecel软件，执行下面的步骤：(1)选定A1格，键入“＝RANDBE TWEEN(0,1)”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的0或1(2)选定A1格，按trl＋快捷键，然后选定要随机产生0,1的格，比如A2至A100，按trl＋V快捷键，则在A2到A100的数均为随机产生的0或1，这样我们很快就得到了100个随机产生的0,1，相当于做了100次随机试验．(3)选定1格，键入频数函数“＝FREQUENY(A1∶A100,05)”，按Enter键，则此格中的数是统计A1到A100中，比05小的数的个数，即0出现的频数．(4)选定D1格，键入“＝1－1/100”，按Enter键，在此格中的数是这100次试验中出现1的频率．题型一估计古典概型的概率【例题1】盒中有除颜色外其他均相同的5只白球和2只黑球，用随机模拟法求下列事件的概率：(1)任取一球，得到白球；(2)任取三球，都是白球．分析：将这7个球编号，产生1到7之间的整数值的随机数若干个；(1)一个随机数看成一组即代表一次试验；(2)每三个随机数看成一组即代表一次试验．统计组数和事件发生的次数即可．反思：用整数随机模拟试验估计古典概型的概率时，首先要确定整数随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果．可以从以下方面考虑：(1)试验的基本事件是等可能时，基本事件总数就是产生随机数的范围，每个随机数字代表一个基本事件．(2)按比例确定表示各个结果的数字个数及总个数．(3)产生的整数随机数的组数n越大，估计的概率准确性越高．题型二n次重复试验恰好发生次的概率[]【例题2】种植某种树苗，成活率为09，若种植这种树苗5棵，求恰好成活4棵的概率．分析：这里试验的可能结果(即基本事件)虽然很多但只有有限个，然而每个结果的出现不是等可能的，故不能应用古典概型的概率公式计算，我们采用随机模拟的方法．反思：如果事件A在每次试验中发生的概率都相等，那么可以用随机模拟方法估计n次重复试验中事件A恰好发生次的概率，其步骤是：(1)按事件A的概率确定表示各个结果的数字个数及总个数．[§§§§§](2)利用计算机或计算器产生整数随机数，然后n个整数随机数作为一组分组．每组第1个数表示第 1次试验，第2个数表示第2次试验，第3个数表示第3次试验，…，第n个数表示第n次试验．n 个随机数作为一组共组成N组数．(3)统计这N组数中恰有个数字在表示试验发生的数组中的组数则n次重复试验中事件A恰好发生次的概率近似为N 答案：【例题1】解：用1,2,3,4,5表示白球，6,7表示黑球．(1)步骤：①利用计算器或计算机产生从1到7的整数随机数，每一个数一组，统计组数n；②统计这n组数中小于6的组数；③则任取一球，得到白球的概率近似为n(2)步骤：①利用计算器或计算机产生从1到7的整数随机数，每三个数一组，统计组数n；②统计这n组数中，每个数字均小于6的组数；③则任取三球，都是白球的概率近似为n【例题2】解：利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，我们用0代表不成活，1至9的数字代表成活，这样可以体现成活率是09，因为是种植5棵，所以每5个随机数作为一组，可产生30组随机数．69801 66097 77124 22961 74235 31516 2974724945 57558 65258 74130 23224 37445 4434433315 27120 21782 58555 61017 45241 4413492201 70362 83005 94976 56173 34783 1662430344 01117这就相当于做了30次试验，在这些数组中，如果恰有一个0，则表示恰有4棵成活，其中有9组这样的数，于是我们得到种植5棵这样的树苗，恰有4棵成活的概率为930＝30%1．抛掷一枚均匀的正方体骰子两次，用随机模拟方法估计朝上面的点数和为7的概率，共进行了两次试验，第一次产生了60组随机数，第二次产生了200组随机数，那么这两次估计的结果相比较，第次准确．2．抛掷两枚均匀的正方体骰子，用随机模拟方法估计朝上面的点数的和是6的倍数的概率时，用1,2,3,4,5,6分别表示朝上面的点数是1,2,3,4,5,6用计算器或计算机分别产生1到6的两组整数随机数各60个，每组第i个数组成一组，共组成60组数，其中有一组是16，这组数表示的结果是否满足朝上面的点数的和是6的倍数：(填“是”或“否”)3．利用计算器产生10个1～100之间的取整数值的随机数．4．某校高一全年级共20个班1 200人，期中考试时如何把生分配到40个考场中去．5．天气预报说，在今后五天中，每一天下雨的概率均为30%，则这五天中恰有两天下雨的概率大概是多少？请设计一种用计算机或计算器模拟试验的方法．答案：1．二用随机模拟方法估计概率时，产生的随机数越多，估计的结果越准确，所以第二次比第一次准确．2．否16表示第一枚骰子向上的点数是1，第二枚骰子向上的点数是6，则朝上面的点数的和是1＋6＝7，不表示和是6的倍数．3．解：具体操作如下：反复按10次即可得．4．解：(1)按班级、号顺序把生档案输入计算机．(2)用随机函数RANDBETWEEN(1,1 200)按顺序给每个生一个随机数(每人的都不同)．(3)使用计算机的排序功能按随机数从小到大排列，即可得到考试号从1到1 200人的考试序号．(注：1号应为0 001,2号应为0 002，用0补足位数．前面再加上有关信息号码即可)5．解：(1)利用计算器或计算机产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3表示下雨，用4,5,6,7,8,9,0表示不下雨，这样就可以体现下雨的概率是30%因为有5天，所以每5个随机数为一组．(2)统计试验总组数N和恰有两个数在1,2,3中的组数n，即为所求概率的近似值．(3)计算频率f＝nN。

新课程高中数学单元题组ABC（数学3必修）第三章 概率 3．2古典概型三、解答题1．从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：（１）甲被选中的概率（２）丁没被选中的概率2．现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．3．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，①求所选3人都是男生的概率；②求所选3人恰有1名女生的概率；③求所选3人中至少有1名女生的概率．4．连续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．（1）写出这个试验的基本事件；（2）“至少有两枚正面向上”这一事件的概率？（3）“恰有一枚正面向上”这一事件的概率？1．4个不同的球任意投入4个不同的盒子内，每盒投入的球数不限，计算（l ）无空盒的概率2）恰好有一空盒的概率．2．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，①求所选3人都是男生的概率；②求所选3人恰有1名女生的概率；③求所选3人中至少有1名女生的概率．3．连续抛掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．（1）写出这个试验的基本事件；（2）求“至少有两枚正面向上”这一事件的概率；（3）求“恰有一枚正面向上”这一事件的概率．4．现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品：（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率．C 组1．袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次，求：①3只全是红球的概率；②3只颜色全相同的概率；③ 3只颜色不全相同的概率．2．抛掷2颗质地均匀的骰子，求点数和为8的概率．3．现有10本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，能取出数学书的概率有多大？4．同时掷四枚均匀硬币，求：（1）恰有两枚“正面向上”的概率；（2）至少有两枚“正面向上”的概率．三、解答题1．解：（1）记甲被选中为事件A ，则132431()62C P A C ===； （2）记丁被选中为事件B ，则11()1()122P B P B =-=-=． 2． 解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序(,,)x y z 记录结果，则,,x y z 都有10种可能，所以试验结果有310101010⨯⨯=种；设事件A 为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有38888⨯⨯=种，因此，338()0.51210P A ==； （2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(,,)x y z ，则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，所以试验的所有结果为1098720⨯⨯=种．设事件B 为“3件都是正品”，则事件B 包含的基本事件总数为876⨯⨯, 所以 336()720P B =．3．解：基本事件的总数为3620C =， ①所选3人都是男生的事件数为34414,205C P === ； ②所选3人恰有1女生的事件数为214212312,205C C P ⨯=== ； ③所选3人恰有2女生的事件数为1242414,205C C P ⨯===；所选3人中至少有1名女生的概率为314555+=． 4．解：（1）这个试验的基本事件为：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）；（2）基本事件总数为8： “至少有两枚正面向上”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为4，所以41()82P A ==； （3）“恰有一枚正面向上”为事件B ，则事件A 所包含的基本事件数为3，所以3()8P B =． 1．解：本题是等可能事件的概率问题，4个不同的小球投入四个盆子的所有不同的结果总数为：4444256⨯⨯⨯=，（l ）无空盒的结果总数为4424A =， 所以无空盒的概率为32425632÷=；（2）恰有一个空盒，则必有一盒有2球，另有两盒各1球，其所有可能结果总数为：22434144C A ⨯⨯=． 所以恰有一空盒的概率为：914425616÷=． 2．解：基本事件的总数为3620C = ①所选3人都是男生的事件数为34414,205C P === ②所选3人恰有1女生的事件数为214212312,205C C P ⨯=== ③所选3人恰有2女生的事件数为1242414,205C C P ⨯===所选3人中至少有1名女生的概率为314555+=． 3．解：（1）这个试验的基本事件为：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）；（2）基本事件总数为8，记“至少有两枚正面向上”为事件A ，则事件A所包含的基本事件数为4，所以41()82P A ==； （3）记“恰有一枚正面向上”为事件B ，则事件A 所包含的基本事件数为3 所以3()8P B =． 4．解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序(,,)x y z 记录结果，则,,x y z 都有10种可能，所以试验结果有310101010⨯⨯=种；设事件A 为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有38888⨯⨯=种，因此338()0.51210P A ==； （2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(,,)x y z ，则x 10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，所以试验的所有结果为1098720⨯⨯=种．设事件B 为“3件都是正品”，则事件B 包含的基本事件总数为876⨯⨯, 所以 336()720P B =． C 组1．解：①每次抽到红球的概率为11111,22228P =⨯⨯=； ②每次抽到红球或黄球111884P =+=； ③颜色不全相同是全相同的对立，13144P =-=． 2．解：在抛掷2颗骰子的试验中，每颗骰子均可出现1点，2点，…，6点6种不同的结果，我们把两颗骰子标上记号1,2以便区分，因此同时掷两颗骰子的结果共有6636⨯=，在上面的所有结果中，向上的点数之和为8的结果有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，共5种，所以，所求事件的概率为365． 3．解：基本事件的总数为：21266C =，“能取出数学书”这个事件所包含的基本事件个数分两种情况：（1）“恰好取出1本数学书”所包含的基本事件个数为：10220⨯=（2）“取出2本都是数学书”所包含的基本事件个数为：1 所以“能取出数学书”这个事件所包含的基本事件个数为：21 因此，P （“能取出数学书”）＝227． 4．解：同时投掷四枚硬币，正面、反面向上的不同结果总数为：222216⨯⨯⨯=种，（1）恰有两枚正面向上的结果总数为246C =，所以恰有两枚正面向上的概率为63168=． （2）至少有两枚正面向上的结果总数为：23444411C C C ++=种． 所以至少两枚正面向上的概率为1116．。

选修2-3概率-高考题 (3)一、选择题1.下列说法中，正确的是A ．不可能事件发生的概率为B ．随机事件发生的概率为21C ．概率很小的事件不可能发生D ．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数一定为50次【答案】A【逐步提示】本题考查了概率的意义和事件发生的概率，根据概率的意义和事件发生的概率，依次判断各个选项是否正确．【详细解答】解： A.不可能事件发生的概率为0，所以A 选项正确；B.随机事件发生的概率在0与1之间，所以B 选项错误；C.概率很小的事件不是不可能发生，而是发生的机会较小，所以C 选项错误；D.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数可能为50次，所以D 选项错误，故选择 A. 【解后反思】概率的意义：一般地，在大量重复实验中，如果事件A 发生的频率会稳定在某个常数p 附近，那么这个常数p 就叫做事件A 的概率，记为P （A ）=p ；概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．必然发生的事件的概率P （A ）=1；不可能发生事件的概率P （A ）=0．【关键词】不可能事件；随机事件；概率的意义；2.（2016甘肃省天水市，3，4分）下列事件中，必然事件是（）A ．抛掷1枚骰子，出现6点向上B ．两条直线被第三条直线所截，同位角相等C ．366人中至少有2个人的生日相同D ．实数的绝对值是非负数【答案】D【逐步提示】本题考查事件的分类，解题的关键是认识到在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，只有分清各种事件才能做出正确的判断.【详细解答】解：抛掷1枚骰子，可能出现6点向上，也可能出现其它点数向上，所以A 中事件是随机事件．只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才一定相等，所以B 中事件是随机事件．由于闰年有366天，有可能出现这366人的生日一人占一天的情况，所以C 中事件不是必然事件．对于D ，由于正实数的绝对值是正数，0的绝对值是0，负实数的绝对值是正数，所以实数的绝对值一定是非负数，属于必然事件．故选择D ．【解后反思】对于B 中事件，由于阅读不细致、认真，易受思维定势的影响误认为是两条平行直线被第三条直线所截，从而认定同位角必定相等而错误地判断为必然事件．另外，本题难点在于对C 中事件的认识，可以按照“一个萝卜一个坑”的现实原理加强理解．【关键词】必然事件；随机事件．3.（2016广东省广州市，4，3分）某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是0－9这十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全相同时，才能将锁打开，如果仅忘记了所设密码的最后那个数字，那么一次就能打开该密码锁的概率是（）A ．101B ．91C ．31D ．21【答案】A【逐步提示】所设密码最后那个数字是0－9这十个数字中的一个，即共有10种可能，密码数字只有1种，据此可根据概率的计算公式求解结果．【详细解答】解：根据题意可知，密码锁所设密码的最后那个数字是0－9这十个数字中的一个，因此，一次就能打开该密码锁的概率是101，故选择A ．【解后反思】（1）一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率nm A P )(．（2）求较复杂随机事件的概率时，常用画树状图或列表法不重不漏地列出所有等可能结果．【关键词】概率的计算公式4.（2016广东茂名，4，3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．两条线段可以组成一个三角形B．400人中有两个人的生日在同一天C．早上的太阳从西方升起D．打开电视机，它正在播放动画片【答案】B【逐步提示】本题考查了必然事件的概念，解题的关键是正确区分必然事件与不可能事件、随机事件．事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件.事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．而不确定事件（即随机事件）是在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．【详细解答】解：三角形是由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的，两条线段不能组成一个三角形，选项A中的事件属于不可能事件；一年有365天或366天，由于400>365，400＞366，因此400人中必有两个人的生日在同一天，选项B中的事件属于必然事件；根据自然规律，早上的太阳从东方升起，选项C中的事件属于不可能事件；打开电视机，它不一定正在播放动画片，选项D中的事件属于随机事件. 故选择 B .【解后反思】事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）＝1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）＝0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．【关键词】不可能事件；必然事件；随机事件5.（2016湖北宜昌，6，3分）在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法来估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次，50次，100次，200次，其中实验相对科学的是（）A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组【答案】D【逐步提示】本题考查了用频率估计概率，解题的关键是根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详细解答】解：甲组实验了10次，乙组实验了50次，丙组实验了100次，丁组实验了200次，实验次数多的频率往往接近事件发生的概率，故选择 D .【解后反思】在一次试验中，若共有n次等可能的结果，其中事件A包含m个等可能的结果，则事件A的概率为P(A)=mn．随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小．为了说明这种规律，我们把这个常数称为这个随机事件的概率．它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地作为这个事件的概率．【关键词】概率公式；用频率估计概率6（2016湖南常德，5，3分）下列说法正确的是A．袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机取出一个球，一定是红球．B．天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨．C．某地发行一种福利彩票，中奖概率是千分之一．那么，买这种彩票1000张，一定会中奖．D．连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上．【答案】D【逐步提示】本题考查的是概率的含义．概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能．【详细解答】解：选项A、“取到红球”是随机事件，且可能性较大，但不是必然事件，所以从中随机取出一个球，不一定是红球，所以A选项错误；选项B、“明天降水概率10%”，是指下雨的可能性为10%，而不是10%的时间会下雨，所以B选项错误；选项C、“中奖概率是千分之一”是指这批彩票总体平均每1000张有一张中奖，而不是买这种彩票1000张，一定会中奖，所以C选项错误；选项D、“投掷一枚质地均匀的硬币正面朝上”是随机事件，所以第六次仍然可能正面朝上，所以D选项正确．故选D．【解后反思】事件分为确定事件和不确定事件，确定事件分为必然事件和不可能事件；也就是说一定发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件；可能发生，也可能不发生的事件是不确定事件；必然事件发生的概率是1，不可能发生的事件发生的概率是0，不确定事件发生的概率大于零小于1，偶然事件0到1之间【关键词】概率的含义；随机事件；7.（2016湖南湘西，15，4分）在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其它差别，从这个袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为A ．43B ．41C ．21D ．1【答案】A【逐步提示】本题考查了概率的定义，熟悉定义是解题的关键.口袋中共8个球，其中有6个红球，根据概率定义解题即可．【详细解答】解：P(摸到红球)=86=43，故答案为43.故选择 A .【解后反思】一般地，在试验中，如果各种结果发生的可能性都相同，那么一个事件A 发生的概率计算公式为P(A)=A 事件可能发生的结果数所有等可能结果的总数．【关键词】摸球；简单事件的概率二、填空题1.（2016福建福州，15，4分）已知四个点的坐标分别是（－1，1），（2，2），（32，23），（－5，－51），从中随机选取一个点，在反比例函数y ＝x1图象上的概率是．【答案】12【逐步提示】本题考查了概率的计算和反比例函数的性质，解题的关键是掌握等可能事件概率的计算公式．先判断四个点的坐标是否在反比例函数y ＝x1图象上，再用在反比例函数y ＝x1图象上点的个数除以点的总数即为在反比例函数y ＝x1图象上的概率．【详细解答】解：∵﹣1×1=﹣1，2×2=4，×=1，（﹣5）×（﹣）=1，∴2个点的坐标在反比例函数y ＝x1图象上，∴在反比例函数y ＝x1图象上的概率是2÷4=12，故答案为12.【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能正确判断所关注事件可能出现的结果数，以及所有等可能出现的结果数．等可能性事件的概率的计算公式：P(A)＝n m，其中m 是总的结果数，n 是该事件成立包含的结果数．【关键词】反比函数的图像；概率的计算公式；2.（2016贵州省毕节市，18，5分）掷两枚质地均匀的骰子，其点数之和大于10的概率为_________．【答案】112【逐步提示】本题考查了求简单随机事件的概率，解题的关键掌握用列表法或画树状图的方法进行计算．本题用列表法更方便，表中也可只用两种符号来表示点数之和大于10和不大于10，这样能一目了然，不易出错．【详细解答】解：设点数之和小于或等于10用○表示，大于10用√表示不，列表如下：1 2 3 4 5 6 1 ○○○○○○2 ○○○○○○3 ○○○○○○4 ○○○○○○5 ○○○○○√6○○○○√√由表可知，掷两枚骰子，共有36种等可能的情况出现，其中点数之和大于10的结果共有3种，所以P （点数之和大于10）＝336＝112，故答案为112.【解后反思】此类问题的易错点是没有列表或画树状图，只凭想象列举出所有可能的结果，造成丢掉一些情况，如把（1，2）和（2，1）当作一种情况，从而致错．【关键词】求概率的方法；3.（2016河南省，12，3分）在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，则该班小明和小亮被分在同一组的概率是_________.【答案】41【逐步提示】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是合理选择方法求概率．思路：选择树状图或列表法解题，通过分析看出，小明和小亮任意分在各组的可能情况为16种，两次抽出卡片所标数字不同占4种，则利用公式可求出事件的概率．【详细解答】解：列表得：设分A 、B 、C 、D 四个组AB C D A （A ，A ）（A ，B ）（A ，C ）（A ，D ）B （B ，A ）（B ，B ）（B ，C ）（B ，D ）C （C ，A ）（C ，B ）（C ，C ）（C ，D ）D（D ，A ）（D ，B ）（D ，C ）（D ，D ）所有等可能的情况有16种，其中小明和小亮分在同一组的情况有4种，则P=41164，故答案为41.【解后反思】此类问题容易出错的地方是抽象不出基本概型，事件发生的可能情况列举不出来．一般方法规律是用数值来刻画事件发生的可能性大小，这个数值就是概率．一般地，如果一个实验有n 个等可能的结果，而事件A 包含其中m 个结果，我们可计算概率P(A)=m n=A 事件包含的可能结果数所有可能结果数．运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率的能力，有利于提高学生的数学意识、应用数学的能力和数学素养．【关键词】求概率方法——树状图法和列表法4.（2016湖南省郴州市，13，3分）同时掷两枚均匀的硬币，则两枚都出现反面朝上的概率是．【答案】14【逐步提示】本题考查的是概率问题，解题的关键是弄清事件发生的所有可能的情况，然后看事件发生的概率．抛两枚硬币有四种情况：即（正正）（正反）（反反）（反正），然后判断两个反面朝上的概率就可以了．【详细解答】解：设两枚硬币分别为甲、乙：共有四种结果：（正正）（正反）（反正）（反反）∴14P 两个反面朝上＝．反面硬币甲硬币乙开始正面反面正面正面反面【解后反思】此类问题容易出错的地方是列举所有可能性事件时重复或遗漏．(1)运用公式P(A)=nm 求简单事件发生的概率，在确定各种事件等可能性的基础上，关键是求事件所有可能的结果种数n 和使事件A 发生的结果种数m.(2)求简单随机事件的概率有两种方法．①在做了大量试验的基础上，可以用频率的近似地估计概率；②可以用列表或画树状图，列举出所有可能事件，再求概率．(3)列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．【关键词】概率；树状图；.6（2016湖南省怀化市，14，4分）一个不透明的袋子，装了除颜色不同，其它没有任何区别的红色球3个，绿色球4个，黑色球7个，黄色球2个，从袋子中随机摸出一个球，摸到黑色球的概率是______________.【答案】716【逐步提示】在等可能的条件下，袋共有球3＋4＋7＋2＝16个，其中黑色球7个，从袋子中随机摸出一个球，摸到黑色球的概率是黑色球数：总球数.【详细解答】解：P黑色球＝73472＝716，故答案为716.【解后反思】此题考查概率，难度不大，解题的关键是掌握概率的计算公式.【关键词】概率的计算公式7.（2016湖南省湘潭市，12，3分）从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船——湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观.听说这个好消息，小张同学准备星期天去参观其中一个馆，假设参观者选择每一个馆参观的机会均等，则小张同学选择参观博物馆的概率为.【答案】13【逐步提示】本题考查了概率的计算，解题的关键是知道某事件发生的概率等于该事件出现的可能次数与所有可能次数之间的比．因此先确定参观博物馆的可能次数和参观三个馆总数，再根据概率公式计算即可．【详细解答】解：∵共有3个馆，参观博物馆的可能性为1，∴小张同学选择参观博物馆的概率为13，故答案为13.【解后反思】掌握此类问题，需熟练掌握以下知识：（1）公式法：P(A)=nm，其中n 为所有事件的总数，m 为事件A 发生的总次数；（2）列举（列表或画树状图）法的一般步骤为：①判断使用列表或画树状图方法：列表法一般适用于两步计算；画树状图法适合于两步及两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n 及所求事件A 出现的结果m ；④用公式P(A)=nm ，求事件A 发生的概率．【关键词】概率初步8.（2016年湖南省湘潭市，12，3分）从2015年12月26日起，一艘载满湘潭历史和文化的“航船——湘潭市规划展示馆、博物馆和党史馆（以下简称‘三馆’）”正式起航，市民可以免费到三馆参观。

高中数学人教新课标A版必修3 第三章概率 3.2古典概型（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2016高二下·南城期中) 甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）A . 1B .C .D .2. （2分）盒中有1个黑球，9个白球，它们除颜色不同外，其他方面没什么差别，现由10人依次摸出1个球后放回，设第1个人摸出黑球的概率是P1 ，第10个人摸出黑球的概率是P10 ，则（）A . P10= P1B . P10= P1C . P10=0D . P10=P13. （2分）将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）A .B .C .D .4. （2分） (2018高二下·泸县期末) 有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高三上·清远期末) 从1名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（）A . 0.3B . 0.4C . 0.5D . 0.66. （2分） (2016高一下·新乡期末) 从甲、乙、丙、丁四人任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（）A .B .C .D .7. （2分）(2017·孝义模拟) 现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻着1点至6点．甲、乙二人各掷骰子一次，则甲掷得的向上的点数比乙大的概率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分） (2018高二上·张家口月考) 书架上有2本不同的语文书，1本数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是语文书的概率为________．10. （1分） (2019高三上·杨浦期中) 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个不同的数，中位数为4的取法有________种.（用数值表示）11. （1分）从1，2，3，4，5这五个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为________．三、解答题 (共3题；共25分)12. （10分）(2020·达县模拟) 我国已进入新时代中国特色社会主义时期，人民生活水平不断提高．某市随机统计了城区若干户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出增加量（记为P元）的情况，并根据统计数据制成如图频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估算P的平均值；（2）若该市城区有4户市民十月人均生活支出比九月人均生活支出分别增加了42元，50元，52元，60元，从这4户中随机抽取2户，求这2户P值的和超过100元的概率．13. （10分）在一个不透明的箱子里装有5个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4、5．甲先从箱子中摸出一个小球，记下球上所标数字后，将该小球放回箱子中摇匀后，乙再从该箱子中摸出一个小球．（1）若甲、乙两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（数字相同为平局），求甲获胜的概率；（2）规定：两人摸到的球上所标数字之和小于6，则甲获胜，否则乙获胜，这样规定公平吗？14. （5分） (2020高二上·黄陵期末) 某企业共有3200名职工，青、老年职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个样本容易为400的样本，应采用哪些抽样方法更合理？中、青、老年职工应分别抽取多少人？参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共25分)12-1、12-2、13-1、13-2、14-1、。

人教版高一数学必修3第三章概率测试题(附答案)高中数学必修3第三章 概率单元检测一、选择题1．任取两个不同的1位正整数，它们的和是8的概率是( ).A ． 241B ．61C ．83D ．1212．在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π ，－上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ). A ．31 B ．π2C ．21D ．323．从集合{1，2，3，4，5}中，选出由3个数组成子集，使得这3个数中任何两个数的和不等于6，则取出这样的子集的概率为( ).A ．103B ．107C ．53D ．524．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( ).A ．103B ．51C ．101D ．1215．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为( ).A ．12513B ．12516C ．12518D ．125196．若在圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16内任取一点P ，则点P 落在单位圆x 2＋y 2＝1内的概率为( ).A ．21B ．31C ．41 D ．161 7．已知直线y ＝x ＋b ，b ∈[－2，3]，则该直线在y 轴上的截距大于1的概率是( ).A ．51B ．52C ．53D ．548．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O －ABCD (O 为正方体体对角线的交点)内的概率是( ).A ．61B ．31C ．21D ．32 9．抛掷一骰子，观察出现的点数，设事件A 为“出现1点”，事件B 为“出现2点”．已知P (A )＝P (B )＝61，则“出现1点或2点”的概率为( ).A ．21B ．31C ．61D ．121 二、填空题10．某人午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台报时，假定电台每小时报时一次，则他等待的时间短于10分钟的概率为___________．11．有A ，B ，C 三台机床，一个工人一分钟内可照看其中任意两台，在一分钟内A 未被照看的概率是 ．12．抛掷一枚均匀的骰子(每面分别有1～6点)，设事件A 为“出现1点”，事件B 为“出现2点”，则“出现的点数大于2”的概率为 ．13．已知函数f (x )＝log 2x ， x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡221 ，上任取一点x 0，使f (x 0)≥0的概率为 ．14．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是．15．一颗骰子抛掷2次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．则a＋b能被3整除的概率为．三、解答题16．射手张强在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别是0.24、0.28、0.19、0.16、0.13．计算这个射手在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率；(3)射中环数小于8环的概率．17．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1 h，乙船停泊时间为2 h，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．18．同时抛掷两枚相同的骰子(每个面上分别刻有1～6个点数，抛掷后，以向上一面的点数为准)，试计算出现两个点数之和为6点、7点、8点的概率分别是多少？19．从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．参考答案一、选择题 1．D解析：1位正整数是从1到9共9个数，其中任意两个不同的正整数求和有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1=36种情况，和是8的共有3种情况，即（1，7），（2，6），（3，5），所以和是8的概率是121.2．A解析： 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π－ ，上随机取一个数x ，即x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2π2π－ ，时，要使cos x 的值介于0到21之间，需使－2π≤x ≤－3π或3π≤x ≤2π，两区间长度之和为3π，由几何概型知cos x 的值介于0到21之间的概率为π3π＝31．故选A. 3．D解析：从5个数中选出3个数的选法种数有10种，列举出各种情形后可发现，和等于6的两个数有1和5，2和4两种情况，故选出的3个数中任何两个数的和不等于6的选法有(10－3×2)种，故所求概率为104＝52．4．A解析：从五个球中任取两个共有10种情形，而取出的小球标注的数字之和为3或6的只有3种情况：即1＋2＝3，2＋4＝6，1＋5＝6，，故取出的小球标注的数字之和为3或6的概率为3．105．D解析：由于一个三位数，各位数字之和等于9，9是一个奇数，因此这三个数必然是“三个奇数”或“一个奇数两个偶数”．又由于每位数字从1，2，3，4，5中抽取，且允许重复，因此，三个奇数的情况有两种：(1)由1，3，5组成的三位数，共有6种；(2)由三个3组成的三位数，共有1种．一个奇数两个偶数有两种：(1)由1，4，4组成的三位数，共有3种；(2)由3，2，4组成的三位数，共有6种；(3)由5，2，2组成的三位数，共有3种．再将以上各种情况组成的三位数的个数加起来，得到各位数字之和等于9的三位数，共有19种．又知从数字1，2，3，4，5，中，随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数共有53＝125种．因此，所求概率为19．125 6．D解析：所求概率为224π1π⨯⨯ ＝161．7．B 解析：区域Ω为区间[-2，3]，子区域A 为区间(1，3]，而两个区间的长度分别为5，2．8．A解析：所求概率即为四棱锥O －ABCD 与正方体的体积之比．9．B解析：A ，B 为互斥事件，故采用概率的加法公式P (A ＋B )＝P (A )＋(B )＝61＋61＝31． 二、填空题10．61． 解析：因为电台每小时报时一次，我们自然认为这个人打开收音机时处于两次报时之间，例如(13∶00，14∶00)，而且取各点的可能性一样，要遇到等待时间短于10分钟，只有当他打开收音机的时间正好处于13∶50至14∶00之间才有可能，相应的概率是6010＝61． 11．31． 解析：基本事件有A ，B ；A ，C ；B ，C 共3个，A 未被照看的事件是B ，C ，所以A 未被照看的概率为31.12．32． 解析：A ，B 为互斥事件，故采用概率的加法公式得P (A ＋B )＝31，1－P (A ＋B )＝32． 13．32． 解析：因为f (x )≥0，即log 2 x 0≥0，得x 0≥1，故使f (x )≥0的x 0的区域为[1，2]．14．34． 解析：从长度为2，3，4，5的四条线段中任意取出3条共有4种不同的取法，其中可构成三角形的有(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)三种，故所求概率P ＝43． 15．13． 解析：把一颗骰子抛掷2次，共有36个基本事件．设“a ＋b 能被3整除”为事件A ，有(1，2)，(2，1)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)，(6，6)，共12个．P (A )＝13． 三、解答题16．解：设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A ，B ，C ，D ，E ，则(1)P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.24＋0.28＝0.52．所以，射中10环或9环的概率为0.52．(2)P (A ∪B ∪C ∪D )= P (A )＋P (B )＋P (C )＋P (D )＝0.24＋0.28＋0.19＋0.16＝0.87．所以，至少射中7环的概率为0.87．(3)P (D ∪E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.13＝0.29．所以，射中环数小于8环的概率为0.29．17．解：这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24，0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1h 以上或乙比甲早到达2h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2．故所求事件构成集合A ＝{(x ，y )| y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0，24]，2322y ∈[0，24]}．A 对应图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形．由几何概型定义，所求概率为P (A )＝的面积的面积ΩA ＝22224212－24211－24⨯⨯+)()(＝5765.506＝0.879 34．18．解：将两只骰子编号为1号、2号，同时抛掷，则可能出现的情况有6×6＝36种，即n ＝36．出现6点的情况有(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)．∴m 1＝5，∴概率为P 1＝n m 1＝365． 出现7点的情况有(1，6)，(6，1)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)．∴m 2＝6，∴概率为P 2＝n m 2＝366＝61． 出现8点的情况有(2，6)，(6，2)，(3，5)，(5，3)，(4，4)．∴m 3＝5， ∴概率为P 3＝n m 3＝365． 19．解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)。

3.2.2 （整数值）随机数（random numbers）的产生[课时作业][A组学业水平达标]1．用计算机随机模拟掷骰子的试验，估计出现2点的概率，则下列步骤中不正确的是() A．用计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生6个不同的1 到6之间的取整数值的随机数x，如果x＝2，我们认为出现2点B．我们通常用计算器n记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m记录其中有多少次出现2点，置n＝0，m＝0C．出现2点，则m的值加1，即m＝m＋1；否则m的值保持不变mD．程序结束，出现2点的频率作为概率的近似值n解析：计算器的随机函数RANDI(1,7)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,7)产生的是1到7 之间的整数(包括1,7)，共7个整数．答案：A2．小明同学的QQ密码是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中不同的6个数字组成的六位数字，由于长时间未登录QQ，小明忘记了密码的最后一个数字，如果小明登录QQ时密码的最后一个数字随意选取，则恰好能登录的概率是()1 1A. B.105 1041 1C. D.100 10解析：从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一个数字有10个基本事件，恰巧是密码最后一位数字1有1个基本事件，则恰好能登录的概率为.10答案：D3．掷两枚骰子，用随机模拟方法估计出现点数之和为9的概率时，产生的整数值随机数中，每几个数字为一组()A．1 B．2C．9 D．12解析：由于掷两枚骰子，所以产生的整数值随机数中，每2个数字为一组．答案：B4．甲、乙两人一起去游“2016西安世园会”，他们约定，各自独立地从1号到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是()1 1A. B.36 915 1C. D.36 6解析：甲、乙最后一小时他们所在的景点共有6×6＝36种情况，甲、乙最后一小时他们同在一个景点共有6种情况．由古典概型的概率公式知最后一小时他们同在一个景点的概率是P＝6 1＝.36 6答案：D5．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683 431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．0.35 B．0.25C．0.20 D．0.15解析：因为指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，所以该运动员三次投篮恰有两次命中即在某组数据中恰好含有两个大于0且小于5的数．由随机数可得，这20组随机数中满足条件的只有5组，故估计该运动员三次投篮恰有两次命5中的概率为＝0.25.20答案：B6．抛掷一枚均匀的正方体骰子两次，用随机模拟方法估计朝上面的点数和为7的概率，共进行了两次试验，第一次产生了60组随机数，第二次产生了200组随机数，那么这两次估计的结果相比较，第________次准确．解析：用随机模拟方法估计概率时，产生的随机数越多，估计的结果越准确，所以第二次比第一次准确．答案：二7．在用随机数(整数)模拟“有4个男生和5个女生，从中取4个，求选出2个男生2个女生”的概率时，可让计算机产生1～9的随机整数，并用1～4代表男生，用5～9代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．若得到的一组随机数为“4678”，则它代表的含义是________．解析：用1～4代表男生，用5～9代表女生，4678表示一男三女．答案：选出的4个人中，只有1个男生8．盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的2概率是__________．解析：设3只白球为a，b，c，黑球为d，则从中随机地摸出两只球，不同的结果有：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共6种，而两只球颜色不同包含：(a，d)，(b，d)，(c，d)，共3种．3 1所以所求事件的概率为＝.6 2答案：1 29．小明与同学都想知道每6个人中有2个人生肖相同的概率，他们想设计一个模拟试验来估计6个人中恰有两个人生肖相同的概率，你能帮他们设计这个模拟方案吗？解析：用12个完全相同的小球分别编上号码1～12，代表12个生肖，放入一个不透明的袋中摇匀后，从中随机抽取一球，记下号码后放回，再摇匀后取出一球记下号码……连续取出6个球为一次试验，重复上述试验过程多次，统计每次试验中出现相同号码的次数除以总的试验次数，得到的试验频率可估计每6个人中有两个人生肖相同的概率．10．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生建设工程和产业1 1 1 建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的，，.现有3名工人互不干扰地从2 3 6中任选一个项目参与建设，求三名工人中有两名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的概率．解析：由于3名工人互不干扰地从三个建设项目中任选一个项目参与建设，所以对任何一个工人来说，事件A：“选择基础设施工程”和事件B：“选择产业建设工程”是互斥的．且事件C：“工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程”为A＋B，C＝A＋B，所以P(C)＝P(A1 1 2＋B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.2 6 3利用计算器或计算机可以产生0、1、2三个整数值的随机数，我们用0和1代表工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程，2代表工人选择的项目不属于基础设施工程或产业建设2工程，这样可以体现工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的概率是.3因为是三名工人进行选择，所以每3个随机数作为一组．例如产生30组随机数：120022212212210212002222000201022121021212210111202212022221222111011121202022120212200121这就相当于做了30次试验．在这些数组中，如果至少有两个是0或1的数组表示三名工人中有两名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程，共有13组，于是我们得到三名工人中有两名工人选择的项目属313 于基础设施工程或产业建设工程的概率近似为≈43%.30[B组应考能力提升]1．从2,4,6,8,10这5个数中随机选3个，则这三个数能成为三角形三边的概率是()2 7A. B.5 103 3C. D.10 5解析：基本事件有10个：(2,4,6)、(2,4,8)、(2,4,10)、(4,6,8)、(4,6,10)、(4,8,10)、(2,6,8)、(2, 6,10)、(2,8,10)、(6,8,10)，其中能成为三角形三边的有(4,6,8)、(4,8,10)、3(6,8,10)三种，所求概率为.10答案：C2．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石B．169石C．338石D．1 365 石28 x解析：设这批米内夹谷的石数为x，则由题意并结合简单随机抽样可知，＝，解得x＝254 1 53428×1534≈169.254答案：B3．有100张卡片(从1号到100号)，从中任取1张，取到的卡号是7的倍数的概率为________．解析：设k∈Z，则7k表示7的倍数．1 2令1≤7k≤100，则≤k≤14.7 7∴k＝1,2,3，…，14，即在1～100中共有14个7的倍数．即“从100张卡片中任取1张”14 有100种等可能的结果，而“取到的卡号是7的倍数”这一事件含有14种结果．∴P＝＝1007.507答案：504．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是________．解析：随机选取的a，b组成实数对(a，b)，有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共15种．其中b>a的43 1有(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3种，所以b>a的概率为＝.15 51答案：55．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，试用随机模拟的方法求乙获胜的概率．解析：利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5，表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数(可借助教材103页的随机数表)．034743738636964736614698637162332616804560111410959774246762428114572042533237322707360751就相当于做了30次试验．如果恰有2个或3个数在6,7,8,9中，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707.共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的11 概率约为≈0.367.305。

3.2.2概率的一般加法公式(选学)1．事件A 概率满足A ． P(A)=0B ． P(A)=1C ． 0≤P(A)≤1D ． P(A)<0或P(A)>12．下列说法：⑴频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；⑵做n 次随机试验，事件A 发生次，则事件A 发生的频率nm 就是事件的概率；⑶频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑷频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值．其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．43．下列命题中错误的是A ．对立事件一定互斥B ．互斥事件不一定对立C ．对立事件概率之和为1D ．互斥事件一定对立4．已知事件M “3粒种子全部发芽”，事件N “3粒种子都不发芽”，那么事件M 和N 是A ．等可能事件B ．不互斥事件C ．互斥但不是对立事件D ．对立事件5．一箱产品中有正品4件，次品3件，从中任取2件，其中事件：⑴恰有1件次品和恰有2件次品；⑵至少有1件次品或全是次品；⑶至少有1件正品和至少1件次品；⑷至少有1件次品和全是正品．四组中有互斥事件的组数是A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．袋中装有白球和黑球各3个，从中任取2球，在下列事件中是对立事件的是A ．恰有1个白球和恰有2个黑球B ．至少有1个白球和全是白球C ．至少有1白球和至少有1个黑球D ．至少有1个白球和全是黑球7．掷一颗色子，色子落地时向上的数是3的倍数的概率是__________．8．现在有语文、数学、英语、物理、化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为_________．9．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0．42，摸出白球的概率是0．28，那么摸出黑球的概率是________．10从一批乒乓球产品中任取1个，如果其质量小于2．45g 的概率是0．22，质量不小于0．50g 的概率是0．20，那么质量在［2．45，2．50］g 范围内的概率是多少？课外作业1．“某彩票的中奖概率为10001”意味着 A ．买100张彩票就一定能中奖B ．买1000张彩票中一次奖C ．买1000张彩票一次奖也不中D ．购买彩票中奖的可能性是10001 2．下列说法不正确的是A ．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1B ．某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的概率是0．8C ．“直线y=k(x+1)过定点（-1，0）”是必然事件D ．先后抛掷两枚均匀硬币，两次都出现反面的概率是31 3．设某厂产品的次品率为2%，估算该厂8000件产品中合格品的件数可能为A ．160件B ．7840件C ．7998件D ．7800件4．一人在打靶中连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．两次都不中靶D ．只有一次中靶5．若书架上放有中文书a 本，英文书b 本，日文书c 本，则从中抽取1本外文书的概率是A a -1B ．c b +C ．c b a +-1D ． cb ac b +++ 6．在5件产品中，有3件一级品和2件二级品，从中任取2件，则概率为107的事件是 A ．都不是一级品 B ．恰有一件一级品C ．至少一件一级品D ．至多一件一级品7．做所有的两位数（10~99）中，任取一个数恰好能被2或3整除的概率是A ．65B ． 54C ． 32D ． 21 8．从1~9这9个数中任取2个数，其中⑴恰有1个是奇数，恰有1个是偶数；⑵至少有1个是奇数，两个都是奇数；⑶至少有1个是奇数，两个都是偶数；⑷至少有1个是奇数，至少有1个是偶数．其中是对立事件的有A ．⑴B ．⑵⑷C ．⑶D ．⑴⑶9．甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，乙胜的概率是31，则乙不输的概率是___． 10某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0．03，丙级品的概率为0．01，则对产品抽查一件，抽得正品的概率为_________．11．在10000张有奖储蓄的奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中买一张奖券，中奖的概率是__________．12．若事件A、B满足A∩B=￠，A+B=Ω，且P（A）=0．3,则P（B）=________．13．1个盒内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球，2个绿球，1个黄球，从中任取一个球，求：⑴得到红球的概率；⑵得到红球或绿球的概率；⑶得到黄球的概率．14．某射手在一次射击中击中10环、9环、8环的概率分别为0．24，0．28，0．19．计算这个射手在一次射击中：⑴射中10环或9环的概率；⑵不够8环的概率．15．同时掷两个色子，试求：⑴点数和不大于3的概率；⑵点数和恰为9的概率。