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解析几何中的椭圆椭圆是解析几何中的一种重要的曲线，具有许多独特的性质和应用。
本文将对椭圆的定义、性质以及在实际问题中的应用进行详细的解析，并探讨椭圆在数学和科学领域中的重要性。
一、椭圆的定义和性质椭圆可以由一个固定点F（称为焦点）和到两个固定点L1、L2（称为焦点的两个测地点）的距离之和为常数2a定义。
这个常数2a称为椭圆的长轴，2b为短轴，且a>b。
可以表示为F1P+F2P=2a。
椭圆的离心率定义为e=c/a，其中c为焦点到圆心的距离。
对于椭圆，离心率小于1，且离心率越小，椭圆形状越接近于圆形。
椭圆的对称轴是连接两个焦点并垂直于长轴的线段。
椭圆还具有如下性质：1. 椭圆的离心率小于1，且趋近于0时，椭圆呈现接近于圆的形状。
2. 椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于2a，是一个常数。
3. 椭圆的周长可以通过公式C=4a∫(1-e^2sin^2θ)^(1/2)来计算，其中θ为椭圆图形上的任意一点与圆心连线与长轴的夹角。
二、椭圆的应用1. 天体运动：椭圆在天体运动的描述中具有重要应用。
开普勒的第一定律指出，行星绕太阳运动的轨迹是一个椭圆。
椭圆的长轴对应着行星的远日点和近日点，短轴对应着行星在轨道上的最大和最小距离。
2. 光学：椭圆镜是一种常用的光学器件，可以将入射光线聚焦到一个点或者形成平行光线。
椭圆镜的焦点和直径的选择可以用来控制光线的聚焦和形状，广泛应用于望远镜、激光设备等光学仪器。
3. 密码学：椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数学问题的密码学方法。
通过椭圆曲线的加密和解密算法，可以实现安全的数据传输和签名验证，广泛应用于现代密码学中。
4. 形状分析：椭圆在计算机图像处理和计算机视觉中有广泛的应用。
通过拟合目标的轮廓为椭圆，可以对目标的形状和旋转进行测量和分析，用于物体识别、目标跟踪等领域。
总结：椭圆作为解析几何中的一种曲线，具有独特的性质和应用。
了解椭圆的定义、性质和应用，对于深入理解解析几何和相关应用非常重要。
圆锥曲线第1讲椭圆【知识要点】一、椭圆的定义1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点FI、F2的距离之和等于定长2a( 2a FIF2)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1 :在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和(记作2a)大于这两个定点之间的距离FIF2(记作2c)，否则点的轨迹就不是一个椭圆。
具体情形如下:(i)当2a 2c时，点的轨迹是椭圆；(ii)当2a 2c时，点的轨迹是线段FIF2;(iii)当2a 2c时，点的轨迹不存在。
注2 :若用M表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为MFI MF2 2a( 2a 2c,F1F2 2c)即MF i MF2 F1F2注3:凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条,,, MF1 MF2 2a 工―r宀、r件： 1 2千万不可忘记。
2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数椭圆。
、椭圆的标准方程(1) 焦点在X轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是(2) 焦点在y轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是e( 0 e 1)的点的轨迹叫做Xb2b 0);2注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在X 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。
长半轴跟X 走，椭圆的焦点在 X 轴；长半轴跟y走，椭圆的焦点在 y轴。
（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。
若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设2 2 2 2X y Iy X I其方程为^b（a b 0）或（a b 0）;若题目未指明椭圆的焦2 2 λ点究竟是在 X 轴上还是y轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为 mX ny 1(m 0，n O ,且 m n )三、椭圆的性质2X-2以标准方程a对称性：关于X 轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称;长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c；(1) 范围：a）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
专题九 解析几何第二十五讲 椭圆一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：22214x ya+=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C 2D 32．(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12P F P F ⊥，且2160P F F ∠=︒，则C的离心率为A ．12-B ．2-C 2D 13．(2018上海)设P 是椭圆22153xy+=上的动点，则P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为A ．B ．C ．D ．4．（2017浙江）椭圆22194xy+=的离心率是A ．3B 3C ．23 D ．595．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20b x a y a b -+=相切，则C 的离心率为A ．3B ．3C ．3D ．136．（2017新课标Ⅰ）设A 、B 是椭圆C ：2213xym+=长轴的两个端点，若C 上存在点M满足A M B ∠ =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．(0,[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞ D ．(0,[4,)+∞7．（2016年全国I 卷）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．348．（2016年全国III 卷）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且P F x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段P F 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为A ．13B ．12C ．23D ．349．（2015新课标1）已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28yx =的焦点重合，A B 、是C 的准线与E 的两个交点，则A B =A ．3B ．6C ．9D ．12 10．（2015广东）已知椭圆222125xy m+=（0m >）的左焦点为()14,0F -，则m =A ．2B ．3C ．4D ．9 11．（2015福建）已知椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4A F B F +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是A ．(0,2B ．3(0,]4C ．2D ．3[,1)412．(2014福建)设Q P ,分别为()2622=-+y x 和椭圆11022=+yx上的点，则Q P ,两点间的最大距离是A ．25B ．246+C ．27+D ．2613．（2013新课标1）已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为 A ．x 245＋y 236＝1B ．x 236＋y 227＝1C ．x 227＋y 218＝1D ．x 218＋y 29＝114．（2013广东）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是 A ．14322=+yxB ．13422=+yxC ．12422=+yxD ．13422=+yx15．(2012新课标)设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by ax 的左、右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ∆ 是底角为o30的等腰三角形，则E 的离心率为 A 、21B 、32 C 、43 D 、54二、填空题16．(2018浙江)已知点(0,1)P ，椭圆224xym +=(1m >)上两点A ，B 满足2A P P B =，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大． 17．（2015浙江）椭圆22221x y ab+=（0a b >>）的右焦点(),0F c 关于直线b y x c=的对称点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．18．（2014江西）过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>相交于,A B 两点，若M 是线段A B 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ．19．（2014辽宁）已知椭圆C ：22194xy+=，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段M N 的中点在C 上，则||||A N B N += ．20．（2014江西）设椭圆()01:2222>>=+b a by ax C 的左右焦点为21F F ，，作2F 作x 轴的垂线与C 交于B A ，两点，B F 1与y 轴相交于点D ，若B F AD 1⊥，则椭圆C 的离心率等于________．21．（2014安徽）设21,F F 分别是椭圆)10(1:222<<=+b by x E 的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于B A ,两点，若x AF BF AF ⊥=211,3轴，则椭圆E 的方程为____．22．（2013福建）椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by ax 的左、右焦点分别为21,F F ，焦距为c 2．若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212F MF F MF ∠=∠，则该椭圆的离心率等于 ． 23．（2012江西）椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右顶点分别是,A B ，左、右焦点分别是12,F F ．若1121||,||,||A F F F F B 成等比数列，则此椭圆的离心率为_________．24．（2011浙江）设12,F F 分别为椭圆2213xy+=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =；则点A 的坐标是 ．三、解答题25．（2018江苏）如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭圆C 过点1,)2，焦点12(0),0)F F ，圆O 的直径为12F F ．(1)求椭圆C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若O A B △7，求直线l 的方程．26．（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143xyC +=：交于A ，B 两点．线段A B 的中点为(1,)(0)M m m >．(1)证明：12k <-；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且F P F A F B ++=0．证明：2||||||F P F A F B =+．27．（2018北京）已知椭圆2222:1(0)x y M a b ab+=>>的离心率为3，焦距为率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ． (1)求椭圆M 的方程；(2)若1k =，求||A B 的最大值；(3)设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线P B 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点71(,)42Q -共线，求k ． 28．（2018天津）设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为3，||A B =(1)求椭圆的方程；(2)设直线:(0)l y k x k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线A B 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若B P M △的面积是B P Q △面积的2倍，求k 的值．29．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212xy+=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足N P M =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1O P P Q ⋅=．证明：过点P 且垂直于O Q 的直线l 过C 的左焦点F ．30．（2017天津）已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E的坐标为(0,)c ，E F A △的面积为22b．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设点Q 在线段A E 上，3||2F Q c =，延长线段F Q 与椭圆交于点P ，点M ，N在x 轴上，P M Q N ∥，且直线P M 与直线Q N 间的距离为c ，四边形P Q N M 的面积为3c ．（i ）求直线F P 的斜率； （ii ）求椭圆的方程．31．（2017山东）在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C :22221x y ab+=(0)a b >>的离心率为2，椭圆C 截直线1y =所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l ：(0)y kx m m =+≠交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M ．点N 是M 关于O 的对称点，N 的半径为||N O ． 设D 为A B 的中点，D E ，D F 与N 分别相切于点E ，F ，求E D F ∠的最小值．x32．（2017北京）已知椭圆C 的两个顶点分别为(2,0)A -，(2,0)B ，焦点在x 轴上，离心2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作A M 的垂线交B N 于点E ．求证：B D E ∆与B D N ∆的面积之比为4:5． 33．（2017江苏）如图，在平面直角坐标系x O y 中，椭圆E ：22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1P F 的垂线1l ，过点2F 作直线2P F 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．34．（2016年北京）已知椭圆C ：22221x y ab+=过(2,0)A ，(0,1)B 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及离心率；（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线P A 与y 轴交于点M ，直线P B 与x轴交于点N ，求证：四边形A B N M 的面积为定值．35．（2016年全国II 卷）已知A 是椭圆E ：22143xy+=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M 两点，点N 在E 上，M A N A ⊥. （Ⅰ）当A M A N =时，求A M N ∆的面积；（Ⅱ）当A M A N =2k <<.36．（2016年山东）已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的长轴长为4，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B ．(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明k k'为定值；(ii)求直线AB 的斜率的最小值．37．（2016年天津）设椭圆13222=+yax （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MAO MOA ∠=∠，求直线的l 斜率.38．（2015新课标2）已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>2，点(2在C 上．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段A B 的中点为M ．证明：直线O M 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．39．（2015天津）已知椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的上顶点为B ，左焦点为F ，离心率为5（Ⅰ）求直线B F 的斜率；（Ⅱ）设直线B F 与椭圆交于点P （P 异于点B ），故点B 且垂直于B P 的直线与椭圆交于点Q （Q 异于点B ）直线P Q 与y 轴交于点M ，||=||P M M Q λ． （i ）求λ的值；（ii ）若||s in =9P M B Q P ∠，求椭圆的方程．40．（2015陕西）如图，椭圆E （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点,P Q （均异于点A ），证明：直线A P 与A Q 的斜率之和为2．41．(2015重庆)直线交椭圆于,P Q 两点，且P Q ⊥1P F ．42． (2014新课标1) 已知点A (0,2)-，椭圆E ：22221(0)x y a b ab+=>>2，F 是椭圆E 的右焦点，直线A F的斜率为3，O 为坐标原点．（Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当O P Q ∆的面积最大时，求l 的方程．43．(2014浙江)如图，设椭圆(),01:2222>>=+b a by ax C 动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用k b a ,,表示点P 的坐标；（Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 的距离的最大值为b a -．44．（2014新课标2）设1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210y xa b a b+=>>的左，右焦点，M是C 上一点且2M F 与x 轴垂直，直线1M F 与C 的另一个交点为N ． （Ⅰ）若直线M N 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线M N 在y 轴上的截距为2，且15M N F N =，求,a b ．45．（2014安徽）设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点，过点1F的直线交椭圆E 于,A B 两点，11||3||A F B F = （Ⅰ）若2||4,A B A B F =∆的周长为16，求2||A F ；（Ⅱ）若23c o s 5A FB ∠=，求椭圆E 的离心率．46．（2014山东）在平面直角坐标系x O y 中，椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>2，直线y x =被椭圆C 5．（Ｉ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A ，B 两点（A ，B 不是椭圆C 的顶点）．点D 在椭圆C 上，且A D A B ⊥，直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M ，N 两点． (ⅰ)设直线BD ，AM 的斜率分别为12,k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=，并求出λ的值；(ⅱ)求O M N ∆面积的最大值．47．（2014湖南）如图5，O 为坐标原点，双曲线221112211:1(0,0)xy C a b a b -=>>和椭圆222222222:1(0)xy C a b a b +=>>均过点(,1)3P ，且以1C 的两个顶点和2C 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形． （Ｉ）求12,C C 的方程；（Ⅱ）是否存在直线l ，使得l 与1C 交于,A B 两点，与2C 只有一个公共点，且||||O A O B A B +=？证明你的结论．48．（2014四川）已知椭圆C ：22221x y ab+=（0a b >>）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线3x =-上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q ．（i ）证明：OT 平分线段PQ （其中O 为坐标原点）； （ii ）当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标．49．（2013安徽）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的焦距为4，且过点P .1C 2C O M N x 短轴长分别为2m ，2()nm n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记m nλ=，△BDM 和△A B N 的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．51． (2013天津)设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左焦点为F ， 3， 过点F 且与x3(Ⅰ) 求椭圆的方程；(Ⅱ) 设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点， 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D两点．若··8A C D BA D CB +=， 求k 的值．52．（2013山东）椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的左、右焦点分别是12,F F ，离心率为2，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，连接12,P F P F ．设12F P F ∠的角平分线P M 交C 的长轴于点(),0M m ，求m 的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P 作斜率为k 的直线l ，使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点．设直线12,P F P F 的斜率分别为12,k k ，若0k ≠，试证明1211k k k k +为定值，并求出这个定值．53．（2012北京）已知椭圆C :22221(0)x y a b ab+=>>的一个顶点为(2,0)A ，离心率为2.直线(1y k x =-）与椭圆C 交于不同的两点M ,N . （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当△AMN得面积为3时，求k 的值.54．（2013安徽）如图，21,F F 分别是椭圆C ：22ax +22by =1（0>>b a ）的左、右焦点，A是椭圆C 的顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1F ∠A 2F =60°．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知△A B F 1的面积为403，求a , b 的值． 55．（2012广东）在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的离心率e =C 上的点到(0,2)Q 的距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(,)M m n 使得直线l ：1m x n y +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点,A B ，且O A B ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及相对应的O A B ∆的面积；若不存在，请说明理由．56．（2011陕西）设椭圆C : ()222210x y a b ab+=>>过点(0，4)，离心率为35．（Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）求过点(3，0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．57．（2011山东）在平面直角坐标系x O y 中，已知椭圆22:13xC y+=．如图所示，斜率为(0)k k ＞且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段A B 的中点为E ，射线O E交椭圆C 于点G ，交直线3x =-于点(3,)D m -． （Ⅰ）求22m k +的最小值； （Ⅱ）若2O GO D =∙O E ，（i ）求证：直线l 过定点；（ii ）试问点B ，G 能否关于x 轴对称？若能，求出此时A B G 的外接圆方程；若不能，请说明理由．58．（2010新课标）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2x +22y b=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且2A F ，A B ，2B F 成等差数列． （Ⅰ）求A B ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值． 59．（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b ab+=>>的左焦点为F ，过点F的直线与椭圆C相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ，2A F F B =． （Ⅰ）求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）如果||A B =154，求椭圆C 的方程．。
