上海市浦东新区2016年高三综合练习数学卷(三模)

浦东新区2013年高三综合练习（三模）数学试卷（文科）一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．函数()2x x x f -=的定义域为 .2．如果sin α=，α为第三象限角，则3sin()2πα+= ． 3．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足10520S S -=，那么 8a = ． 4．设复数i z 511+=，i m z +=32，i n z z 821+=+),(R n m ∈，则=21z z __________. 5．正方体-ABCD 1111D C B A 中，Q P N M ,,,分别是棱BC A D D C C B ,,,111111的中点，则异面直线MN 与PQ 所成的角等于__________.6．在△ABC 中，C B A 、、的对边分别是c b a ,,，且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项，则角B = .7．若①9≤≤b a ,②9>+b a ,则同时满足①②的正整数b a ,有 组.8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为_________米．9．如图为某几何体的三视图，则其侧面积为 2cm ．10．已知数列}{n a 中,11=a ,)1 *,(271>∈=--n n a a n n nN ，则当n a 取得最小值时n 的值是 ．11．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P到面BCD ACD ,的距离分别为21,d d ，则=+21d d .12．定义在R 上的函数)(x f 同时满足性质：①对任何R x ∈，均有33)]([)(x f x f =成立；②对任何R x x ∈21,，当且仅当21x x =时，有)()(21x f x f =.则)1()0()1(f f f ++-的值为 .13．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式:2213=+ 23135=++ 241357=+++3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律,则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73,则m 的值为 .14．定义：对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”；不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在数列{}n b 与{}n a 不是同一数列，且{}n b 满足下面两个条件： （1）123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；（2）数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”． 给出下面三个数列： ①数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-； ②数列}{n b ：1，2，3，4，5； ③数列}{n c ：1，2，3，4，5，6.具有“P 性质”的为 ；具有“变换P 性质”的为 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．非零向量,，m =||，n =||，若向量21λλ+=，则||的最大值为（ ）A ．n m 21λλ+B ．n m ||||21λλ+C ．||21n m λλ+D ．以上均不对 16．已知数列}{n a 的通项公式为*1()(1)n a n N n n =∈+,其前n 项和910n S =,则双曲线2211x y n n-=+的渐近线方程为 （ ）A ．3y x =±B ．4y x =±C ．10y x =±D ．3y x =±17．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是 （ ）A ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭. B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. C ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭18．在平面斜坐标系xoy 中045=∠xoy ,点P 的斜坐标定义为:“若2010e y e x OP +=(其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为),(00y x ”.若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 满足MF MF =,则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为（ ）A B C D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）已知函数()sin f x m x x = ()0m >的最大值为2． （1）求函数()f x 在[]0π，上的值域；（2）已知ABC ∆外接圆半径3=R，ππ()()sin 44f A f B A B -+-=，角A ，B 所对的边分别是a ，b ，求ba 11+的值．20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a a y 的图像关于点)2,1(A 对称． （1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围．21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD 和曲线段EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG 、MK ，且以MG 、MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK .建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线段EF 的方程是200(540)xy x =≤≤，设点M 的坐标为(,)s t ，记z s t =⋅.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度） （1）求z 的取值范围；（2）试写出三角形观光平台MGK 面积MGK S ∆关于z 的函数解析式，并求出该面积的最小值22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点)2，椭圆C 左右焦点分别为21,F F ，上顶点为E ，21F EF ∆为等边三角形.定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x y N a b. （1）求椭圆C 的方程；（2）求MON ∠tan 的最大值；（3）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,若点A 、B 的“伴随点”分别是P 、Q ,且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .椭圆C 的右顶点为D ，试探究ΔOAB 的面积与ΔODE 的面积的大小关系,并证明.23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分） 已知数列{}n a ，{}n b 满足：()1*n n n b a a n N +=-∈． （1）若11,n a b n ==，求数列{}n a 的通项公式； （2）若()112n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．① 记()611n n c a n -=≥，求证：数列{}n c 为等差数列；② 若数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a 应满足的条件．数学试卷（文科）参考答案及评分细则一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．]1,0[； 2．13； 3．4； 4．i 1812+-； 5．060； 6．3π； 7．25； 8．8； 9．4π； 10．6或7； 11．a 36； 12．0 ； 13．9； 14．①、②二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．B ； 16．C ； 17．C ； 18．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）解：（1）由题意，()f x．………………………2分而0m >，于是m =π()2sin()4f x x =+．…………………………………4分()f x 在]4,0[π上递增．在ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减， 所以函数()f x 在[]0π，上的值域为]2,2[-；…………………………………5分（2）化简ππ()()sin 44f A f B A B -+-=得s i ns i n 6s i n s i n A B A B +=．……………………………………………………7分由正弦定理，得()2R a b +=，……………………………………………9分 因为△ABC 的外接圆半径为3=R．a b +．…………………………11分 所以211=+ba …………………………………………………………………12分 20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设点),(y x P 是函数)(x f 图像上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，………………2分 因为),(y x P '''在函数)(x g 的图像上，所以2|2|24-'-'⋅--='x x a a y ，…4分即x x a ay --⋅--=-244||，x x a a y -⋅+=2||，所以xx a a x f -⋅+=2)(||．……………………………………………………6分（2）令t a x=，因为1>a ，0>x ，所以1>t ，所以方程m x f =)(可化为m tt =+2，…………………………………………8分即关于t 的方程022=+-mt t 有大于1的相异两实数解．作2)(2+-=mt t t h ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>08120)1(2m m h ，………………………………………12分解得322<<m ；所以m 的取值范围是)3,22(．………………………14分21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，得(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上，即220s t +=， 又因为过点M 要分别修建与OA 、OB 平行的栈桥MG 、MK ，所以510s ≤≤；.…………………………………………………………………2分.211(10)(10)50,51022z s t s s s s =⋅=-=--+≤≤；………………………4分 所以z 的取值范围是75502z ≤≤..………………………………………………6分 （2）由题意，得200200(,),(,)K s G t s t ，..…………………………………………8分 所以11200200140000()()(400)222MGK S MG MK s t st t s st∆=⋅⋅=--=+- 则14000075(400),,5022MGK S z z z ∆⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，..……………………………10分 因为函数140000(400)2MGK S z z ∆=+-在75,502z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，..………12分 所以当50z =时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米. ..………14分22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）解：（1）由已知22222331412a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得224,3a b == ,方程为22143x y +=.·······················4分（2）当000=y x 时，显然0tan =∠MON ，由椭圆对称性，只研究0,000>>y x 即可，设k x y k OM ==（>k ），于是32k k ON =···························································5分 =-≤+-=+-=∠32232233232132tan k kk kk MON （当且仅当232=k 时取等号）··············································································8分 （3） 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,22x x P Q ⎛⎛⎝⎝; 1)当直线l 的斜率存在时,设方程为y kx m =+,由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得: 222(34)84(3)0k x kmx m +++-=；有22122212248(34)08344(3)34k m km x x k m x x k ⎧⎪∆=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩①···································································10分由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得: 1212340x x y y +=； 整理得: 221212(34)4()40k x x mk x x m ++++= ② 将①式代入②式得:22342k m +=, ································································· 12分048,0,043222>=∆>∴>+m m k又点O 到直线y kx m =+的距离d =2222222221223414334143433411m m kk m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=所以12OAS A ∆==·············································································14分2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为(22)x m m =-<<联立椭圆方程得: 223(4)4m y -=；代入1212340x x y y +=得223(4)304m m --=； 552±=m ,5152±=y 3212121=-==∆y y m d AB S OAB综上: OAB ∆又ODE ∆的面积也为,所以二者相等. ·························································16分23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）解：（1）当2n ≥时，有()()()21213211121122n n n n n na a a a a a a a ab b b --=+-+-++-=++++=-+．又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2122n n na =-+．…………4分（2）①因为对任意的*n N ∈，有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，所以，1656161661626364111221722n n n n n n n n n n c c a a b b b b b b ++--++++-=-=+++++=+++++=，所以，数列{}n c 为等差数列．……………………………………………………8分 ②设()6*n n i c a n N +=∈（其中i 为常数且{}1,2,3,4,5,6i ∈，所以，1666661626364657n n n i n i n i n i n i n i n i n i c c a a b b b b b b +++++++++++++++-=-=+++++=， 即数列{}6n i a +均为以7为公差的等差数列．…………………………………… 10分 设()677767766666666i i k i ik i k a i a i a a k f k i i k i k i k+++--+====+++++． （其中6,0,n k i k i =+≥为{}1,2,3,4,5,6中一个常数）当76i a i =时，对任意的6n k i =+，有76n a n =；……………………………… 12分当76i a i ≠时，()()()17776666166616i i k k i a i a i f f a i k i k i k i k i +---⎛⎫-=-=- ⎪++++++⎡⎤⎝⎭⎣⎦． （Ⅰ）若76i a i >，则对任意的k N ∈有1k k f f +<，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递减数列；（Ⅱ）若76i a i <，则对任意的k N ∈有1k k f f +>，所以数列66k i a k i +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递增数列．综上所述，集合74111174111,,,,63236263236B ⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．当1a B ∈时，数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中必有某数重复出现无数次；当1a B ∉时，数列()61,2,3,4,5,66k i a i k i +⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．………………………………………………………………………………… 18分。

2016-2017学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={y|y=x2+1}，则A∪∁U B=．2．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）=．3．（5分）x＞1，则函数y=x+的值域是．4．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B=．5．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C 所成的角的正弦值为．6．（5分）已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是．7．（5分）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围．8．（5分）（1+x）7的展开式中x2的系数是．9．（5分）从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为．10．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=．11．（5分）已知f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x），a＞0且a≠1，则使f （x）﹣g（x）＞0成立的x的集合是．12．（5分）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则= +，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则．二、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要14．（5分）如图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条15．（5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（）A．B．C．D．16．（5分）已知三个球的半径R1、R2、R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1、S2、S3满足的等量关系是（）A．S1+2S2=3S3B．+=C．+2=3D．+4=917．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]18．（5分）我们定义渐近线：已知曲线C，如果存在一条直线，当曲线C上任意一点M沿曲线运动时，M可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①y=x；②y=2x﹣1；③y=lg（x﹣1）；④y=；其中有渐近线的函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（共5小题，满分70分）19．（14分）用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离．20．（14分）已知全集U=R，集合A={x|4x﹣9•2x+8＜0}，B={x|}，C={x||x ﹣2|＜4}，求A∪B，C U A∩C．21．（14分）如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．22．（14分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每小时可获得利润是100（5x+1﹣）元．（1）写出生产该产品t（t≥0）小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围．23．（14分）已知函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|；（1）作出函数f（x）的图象；（2）根据（1）所得图象，填写下面的表格：性质定义域值域单调性奇偶性零点f（x）（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．2016-2017学年上海市浦东新区高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设全集U=R，集合A={x|x＜2}，B={y|y=x2+1}，则A∪∁U B=（﹣∞，2）．【解答】解：∵集U=R，集合A={x|x＜2}=（﹣∞，2），B={y|y=x2+1}=[1，+∞），∴∁U B=（﹣∞，1），∴A∪（∁U B）=（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．2．（5分）函数f（x）=x2﹣1（x≥0）的反函数为f﹣1（x），则f﹣1（2）=．【解答】解：根据函数与它的反函数的定义域和值域互换，令函数f（x）=x2﹣1=2，其中x≥0，解得x=；所以f﹣1（2）=．故答案为：．3．（5分）x＞1，则函数y=x+的值域是[3，+∞）．【解答】解：∵x＞1，则，x﹣1＞0，；那么：函数y=x+=x﹣1++1≥=3，当且仅当x=2时取等号．所以函数y的值域是[3，+∞）．4．（5分）已知集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={x|≤4，x∈Z}，则A∩B={0，1，2}．．【解答】解：∵集合A={x||x|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x≤2}，B={x|≤4，x∈Z}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．5．（5分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB=AA1，则AC1与平面BB1C1C 所成的角的正弦值为．【解答】解：取BC的中点E，连接C1E，AE则AE⊥BC，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∴面ABC⊥面BB1C1C，面ABC∩面BB1C1C=BC，∴AE⊥面BB1C1C，∴∠AC1E就是AC1与平面BB1C1C所成的角，在Rt△AC1E中，∵AB=AA1，sin∠AC1E=．故答案为：．6．（5分）已知一组数据7、8、9、x、y的平均数是8，则这组数据的中位数是8．【解答】解：由题意知：（7+8+9+x+y）÷5=8，化简可得又因为该组数据为5个，则中位数对应位置（5+1）÷2=3．①当x=y时，得x=y=8．显然，改组数据中位数为8．②当x≠y时，不妨设x＜y，又因为x+y=16，可以得到x＜8＜y，此时中位数也为8．7．（5分）若不等式|3x﹣b|＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围5＜b＜7．【解答】解：因为，又由已知解集中的整数有且仅有1，2，3，故有．故答案为5＜b＜7．8．（5分）（1+x）7的展开式中x2的系数是21．【解答】解：由题意，二项式（1+x）7的展开式通项是T r=x r+1故展开式中x2的系数是=21故答案为：21．9．（5分）从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为．【解答】解：样本数据：3、7、4、6、5的平均数为：=×（3+7+4+6+5）=5，方差为s2=×[（3﹣5）2+（7﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（5﹣5）2]=2.5，所以标准差为s==．故答案为：．10．（5分）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=﹣1．【解答】解：由题意，y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，所以f（1）+1+f（﹣1）+（﹣1）2=0解得f（﹣1）=﹣3所以g（﹣1）=f（﹣1）+2=﹣3+2=﹣1故答案为：﹣1．11．（5分）已知f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x），a＞0且a≠1，则使f （x）﹣g（x）＞0成立的x的集合是当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1} ．【解答】解：f（x）﹣g（x）＞0，即log a（x+1）﹣log a（1﹣x）＞0，log a（x+1）＞log a（1﹣x）．当0＜a＜1时，上述不等式等价于，解得﹣1＜x＜0；当a＞1时，原不等式等价于，解得0＜x＜1．综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．故答案为：当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．12．（5分）在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则= +，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC上的高为h，则+．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．二、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分）13．（5分）“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：当a＞1时，a﹣1＞0，a x在定义域内为增函数，则f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”成立，即充分性成立，若0＜a＜1，a﹣1＜0，a x在定义域内为减函数，满足f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”，此时a＞1不成立，即必要性不成立，故“a＞1”是“f（x）=（a﹣1）•a x在定义域内为增函数”的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）如图，直线a、b相交于点O且a、b成60°角，过点O与a、b都成60°角的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：在a、b所确定的平面内有一条如图，平面外有两条．如图故选：C．15．（5分）有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，将其随机地并排放到书架的同一层上，基本事件总数n==120，同一科目的书都相邻包含的基本事件个数m==24，∴同一科目的书都相邻的概率为p===．故选：A．16．（5分）已知三个球的半径R1、R2、R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1、S2、S3满足的等量关系是（）A．S1+2S2=3S3B．+=C．+2=3D．+4=9【解答】解：因为S1=4πR12，所以=2，同理：=2，=2，由R1+2R2=3R3，得+2=3．故选：C．17．（5分）已知函数f（x）=，则不等式f（x）≥x2的解集是（）A．[﹣1，1]B．[﹣2，2]C．[﹣2，1]D．[﹣1，2]【解答】解：①当x≤0时；f（x）=x+2，∵f（x）≥x2，∴x+2≥x2，x2﹣x﹣2≤0，解得，﹣1≤x≤2，∴﹣1≤x≤0；②当x＞0时；f（x）=﹣x+2，∴﹣x+2≥x2，解得，﹣2≤x≤1，∴0＜x≤1，综上①②知不等式f（x）≥x2的解集是：﹣1≤x≤1，故选：A．18．（5分）我们定义渐近线：已知曲线C，如果存在一条直线，当曲线C上任意一点M沿曲线运动时，M可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线：下列函数：①y=x；②y=2x﹣1；③y=lg（x﹣1）；④y=；其中有渐近线的函数的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于：①y=x，根据渐近线的定义，不存在渐近线；对于②y=2x+1是由y=2x的图象向上平移1个单位得到，其渐近线方程为y=1；对于③y=log2（x﹣1）是由y=log2x向右平移一个单位得到，其渐近线方程为x=1；对于④y==（1﹣），其渐近线方程为x=，y=；综上，有渐近线的个数为3个故选：C．三、解答题（共5小题，满分70分）19．（14分）用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离．【解答】解：如图所示，设PAB为轴截面，过点A作AD⊥PB，π•AB=10π，解得AB=10，∴△PAB是等边三角形，∴AD=AB•sin60°=10×=5．∴它的最高点到桌面的距离为5cm．20．（14分）已知全集U=R，集合A={x|4x﹣9•2x+8＜0}，B={x|}，C={x||x ﹣2|＜4}，求A∪B，C U A∩C．【解答】解：由1＜2x＜8，得A=（0，3）．（2分）由，得B=（﹣2，3]．（4分）由|x﹣2|＜4⇒﹣2＜x＜6，得C=（﹣2，6）．（6分）所以A∪B=（﹣2，3]，（8分）C U A∩C=（﹣2，0]∪[3，6）．（12分）21．（14分）如图：三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥P﹣ABC的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）因为PA⊥底面ABC，PB与底面ABC所成的角为所以因为AB=2，所以（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则MN∥AC所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角计算可得：，MN=1，异面直线PM与AC所成的角为22．（14分）甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求1≤x ≤10），每小时可获得利润是100（5x+1﹣）元．（1）写出生产该产品t（t≥0）小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2 小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围．【解答】解：（1）设生产该产品t（t≥0）小时可获得利润为f（t），则f（t）=100t （5x+1﹣）元，t≥0，1≤x≤10．（2）由题意可得：100×2×（5x+1﹣）≥3000，化为：5x2﹣14x﹣3≥0，1≤x ≤10．解得3≤x≤10．∴x的取值范围是[3，10]．23．（14分）已知函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|；（1）作出函数f（x）的图象；（2）根据（1）所得图象，填写下面的表格：性质定义域值域单调性奇偶性零点f（x）（3）关于x的方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，求n的取值范围．【解答】解：函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|=，作出函数f（x）的图象如图：（2）由函数的图象得函数的定义域为{x|x≠0}，函数的值域为（0，2]，在（﹣∞，﹣1]和（0，1）上单调递增，在[1，+∞）和（﹣1，0），单调递减，函数关于y轴对称，是偶函数，函数与x轴没有交点，无零点．（3）∵0＜f（x）≤2，且函数f（x）为偶函数，∴令t=f（x），则方程等价为t2+mt+n=0，则由图象可知，当0＜t＜2时，方程t=f（x）有4个不同的根，当t=2时，方程t=f（x）有2个不同的根，当t≤0或t＞2时，方程t=f（x）有0个不同的根，若方程f2（x）+m|f（x）|+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，等价为方程f2（x）+mf（x）+n=0（m，n∈R）恰有6个不同的实数解，即t2+mt+n=0有两个不同的根，其中t1=2，0＜t2＜2，则n=t1t2∈（0，4）．。

浦东新区2015学年度高三综合练习物理试卷（时间120分钟，满分150分) 2016—5说明:1．本试卷考试时间120分钟，满分150分，共33题。

2．全部试题的答案必须写在答题纸上，写在试卷上的答案一律不给分。

一、单项选择题(共16分，每小题2分。

每小题只有一个正确选项。

）1．许多科学家在物理学发展过程中做出了重要贡献，下列表述正确的是（）（A）伽利略发现了单摆的等时性，并给出了单摆的周期公式（B)牛顿根据斜面理想实验,提出力是维持物体运动的原因（C）麦克斯韦根据电磁场理论，提出了光是一种电磁波（D)卢瑟福通过“α粒子散射实验"的研究，发现了原子核是由质子和中子组成的2．一物块在拉力F的作用下沿着水平方向做匀速运动，在撤去拉力F后的瞬间（）（A)物块立刻静止F（B）物块一定减速（C）物块可能继续匀速运动（D）物块对水平面的压力突然增大且大于其重力3．一列简谐横波沿x轴传播,某时刻波形如图所示，此时质点F的运动方向向y轴负方向，则( ）(A)质点E的振幅为零(B)此波向x轴正方向传播（C）质点C此时向y轴负方向运动（D)质点C将比质点B先回到平衡位置4．某质点做匀速圆周运动，线速度大小为v、周期T,则在半个周期T/2时间内，速度改变量大小是（)（A）2v （B)v(C）v/2 （D)05．封闭的箱子放在水平地面上,自重为G，内有一只重为G0的小蜜蜂，在箱子内倾斜向右上方匀速飞行。

则（）（A）箱子对地面的压力大小大于G＋G0(B）箱子对地面的压力大小小于G＋G0（C）箱子对地面没有摩擦力（D）箱子对地面的摩擦力方向向右6．在同一水平直线上的两位置分别沿同方向水平抛出两小球A和B，其运动轨迹如图所示，抛出点距离地面足够高，不计空气阻力.要使两球在空中相遇，则必须（）（A）先抛出A球(B)先抛出B球(C）同时抛出两球（D)使两球质量相等7．两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图所示，c 是两负电荷连线的中点，d 点在正电荷的正上方，c 、d 到正电荷的距离相等，则（ ）（A)a 点的电场强度方向沿两负电荷连线向左（B ）b 点的电势比a 点的高（C ）c 点的电场强度为零（D)d 点的电场强度比c 点的大8．下列关于光的说法中正确的是( ）（A ）在真空中红光波长比绿光波长长（B)红光光子能量比绿光光子能量大(C ）红光和绿光相遇时能产生干涉现象（D ）绿光照射某金属能发生光电效应现象，红光照射该金属时一定能发生光电效应现象二、单项选择题(共24分，每小题3分。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2016届浦东新区综合练习（三模）数学理试题 2016.05一、填空题1、抛物线214y x =-的准线方程是 【答案】1y =【解析】22144y x x y =-⇒=-，则其准线方程为1y =2、计算：2lim123nn C n→∞=++++【答案】1【解析】()()()()2112limlim lim 1112312nn n n n n n n Cn n n n n →∞→∞→∞--===++++++3、已知2a =，3b =，且a ，b 的夹角为3π，则32a b -= 【答案】6【解析】223294123636126cos7236363a b a b ab π-=+-=+-⋅⋅=-=，所以326a b -=4、在复平面内，点()2,1A -对应的复数为z ，则1z += 【答案】2【解析】2z i =-+，12i -+=5、关于x 的方程sin 1014cos x x=的解为【答案】()()1212k k x k Z ππ=+-∈ 【解析】s i n 1104s i n c o s 10s i n 214c o s 2x x x x x =⇒-=⇒=，所以()216k x k ππ=+-⋅，解得()()1212k k x k Z ππ=+-∈ 6、设{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，B A ⊆，则实数a 的取值集合为【答案】10,1,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】易得{}1,3A =-①若B =∅，则0a =，满足题意；②若B ≠∅，则1B x x a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭。

由B A ⊆，则11a =-或13a =，解得1a =-或13a = 7、已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若533S S =，则53aa = 【答案】179【解析】()()53151315333422S S a a a a d a =⇒+=⋅+⇒=，所以5117a a =，319a a =，所以53179a a =8、某校要从2名男生和4名女生中选出4人，担任在迪斯尼举行的某项活动的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女都有的概率为 （结果用数值表示） 【答案】1415【解析】444614115C P C =-=9、圆心是(),0C a ，半径为a 的圆的极坐标方程为 【答案】2cos a ρθ=【解析】设圆上的点(),P ρθ，由图知：2cos a ρθ=10、如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B 作截面111A BC D 后形成的。

绝密★启用前2016届上海普陀区高三三模（理科)数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．在抛物线22y px =上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．12．已知集合2{|0}1x A x x -=<+，{|}B x x a =<，若“1a =”是“B A ⊆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件3．在ABC V 中，π3A =，,[1,2]A m C m =∈u u ur ，若对任意实数t 恒有AB t AC BC -≥u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 面积的最大值是（ ） A ．1B C ．2D ．4．设π(0]2x ∈，，则下列命题：①sin x x ≥；②sin cos x x x ≥；③sin xy x=是单调减函数；④若sin sin kx k x ≥恒成立，则正数k 的取值范围是01k <≤，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．若复数i1iz =-（i 为虚数单位），则Im z =______. 6．若函数12()f x x =，则()f x 的反函数1()f x -的定义域是__________. 7．若函数1()1f x x a =--的图象关于点(3,0)对称，则实数a =_____.8．若关于,x y 的线性方程组211m x m m y m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭有无穷多组解，则实数m 的值是_______.9．若4sin 5α=且α是第二象限的角，则πcot()=42α-_________. 10．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为____________．11．若52345012345(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x =+-+-+-+-+-，则4a =_______.12．在极坐标系中，若0ρ>，则曲线21ρθ=+与1ρθ=的交点到极点的距离为_____. 13．若函数()log (1)(0a af x x a x=+->且1)a ≠的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____.14．设p 、q 均为实数，若sin ,cos αα分别是关于x 的方程20x px q ++=的两个实根，则p q +的最小值为______.15．将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）自左向右开始数，数到最后一个球，如果黑球的个数不小于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为________. 16．已知数列{}n a ，121,2a a ==，前n 项和为n S ，且满足*211()2()2,n n n n S S S S n +++---=∈N ，则{}n a 的通项n a =____17．设点P 是椭圆2214x y +=上异于长轴端点的一个动点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠的平分线上一点，且1F M MP ⊥，则||OM u u u u r的取值范围是______.18．定义函数()f x 如下：对于实数x ，如果存在整数m ，使得12x m -<，则()f x m =，已知等比数列{}n a 的首项11a =，且23()()2f a f a +=，则公比q 的取值范围是_______.…………○…………线考号：___________…………○…………线三、解答题19．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AD =，2CD =，1A D ⊥平面ABCD ，1AA 与底面ABCD 所成角为π(0)2θθ<<，2ADC θ∠=．（1）求证：平行六面体1111ABCD A B C D -的体积24sin V θ=，并求V 的取值范围； （2）若π4θ=，求二面角1A A C D --所成角的大小. 20．在位于城市A 南偏西60︒相距100海里的B 处，一股台风沿着正东方向袭来，风速为120海里/小时，台风影响的半径为(50)r r >海里（1）若70r =，求台风影响城市A 持续的时间（精确到1分钟）？ （2）若台风影响城市A 持续的时间不超过1小时，求r 的取值范围 21．已知函数()f x x x a b =-+，R x ∈.（1）若1a =，函数()f x 在[)0,+∞上有三个零点，求实数b 的取值范围；（2）若常数0b <，且对任何[]0,1x ∈，不等式(2)0xf <恒成立，求实数a 的取值范围.22．在直角坐标系xOy 中，已知定点1(0,F 、2F ，动点P 满足122PF PF -=u u u u ru u u r ，设点P 的曲线为C ，直线:l y kx m =+与C 交于,A B 两点.（1）写出曲线C 的方程，并指出曲线C 的轨迹； （2）当1m =，求实数k 的取值范围；（3）证明：存在直线l ，满足OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r，并求实数,k m 的取值范围.23．若数列n A ：12,(,,2)n a a a n ≥L ，满足10(1,2,,1)k k a a d k n +-=>=-L ，则称n A 为F 数列，并记12()n n S A a a a =+++L .（1）写出所有满足10a =，4()0S A ≤的F 数列4A ；（2）若1a d =-，2016n =，证明：F 数列是递减数列的充要条件是2016n a d =-； （3）对任意给定的正整数(2)n n ≥，且*d ∈N ，是否存在10a =的F 数列n A ，使得()0n S A =？如果存在，求出正整数n 满足的条件；如果不存在，说明理由.参考答案1．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可得452p+=，即可求出答案. 【详解】由题意，抛物线的准线为2p x =-，则452p+=，解得2p =.故选：C. 【点睛】本题考查抛物线的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2．A 【解析】 【分析】化简两个集合，分别讨论充分性和必要性，可选出答案. 【详解】由题意，集合()()2{|0}{|120}{|12}1x A x x x x x x x -=<=+-<=-<<+， 先来判断充分性，若1a =，则{|11}B x x =-<<，满足B A ⊆，即“1a =”是“B A ⊆”的充分条件； 再来判断必要性，若B A ⊆，①集合B =∅，0a ≤，此时符合B A ⊆；②集合B ≠∅，此时21a a a a -<⎧⎪≤⎨⎪-≥-⎩，解得01a <≤.故B A ⊆时，1a ≤，即“1a =”不是“B A ⊆”的必要条件. 所以“1a =”是“B A ⊆”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查不等式的解法，考查集合的包含关系，考查充分性与必要性，考查学生的计算能力与逻辑推理能力，属于基础题.3．D 【解析】 【分析】对任意实数t 恒有AB t AC BC -≥u u u r u u u r u u u r，可知BC AC ⊥，从而可求得ABC V 的面积表达式，求出最大值即可. 【详解】由题意，在直线AC 上任取一点D ，使得AD t AC =u u u r u u u r，则A B t AC D B =-u u u r u u u r u u u r，所以DB BC ≥u u u r u u u r 恒成立，即BC AC ⊥. 则AC m =u u u r ，π3A =，2AB m =u u u r ，所以ABC V 面积为2122S m m =⨯⨯=， 又[1,2]m ∈，所以2S =≤故选：D.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查三角形的性质，考查三角形面积公式的应用，考查推理能力与计算求解能力，属于中档题. 4．D 【解析】 【分析】结合函数的单调性及三角函数的性质，对四个命题逐个分析可选出答案. 【详解】对于①，函数sin y x x =-，π(0]2x ∈，，求导得1cos 0y x '=->，即函数sin y x x =-是π(0]2，上的增函数，则sin 0sin00x x ->-=，所以sin x x >，即sin x x ≥成立； 对于②，sin cos y x x x =-，π(0]2x ∈，，求导得cos cos sin sin 0y x x x x x x '=-+=>，即函数sin cos y x x x =-是π(0]2，上的增函数，则sin cos sin 000y x x x =->-=，所以sin cos x x x >，即sin cos x x x ≥成立；对于③，函数sin x y x =，π(0]2x ∈，，求导得2cos sin x x x y x -'=，令()cos sin g x x x x =-，由②知π(0]2x ∈，时，()cos sin 0g x x x x =-<，所以2cos sin 0x x xy x -'=<，即函数sin xy x =在π(0]2，上单调递减，即命题③正确；对于④，sin sin kx k x ≥恒成立，若1k >，取π2x =，则ππsinsin 122k k k ≥=>，显然不成立，故1k >不符合题意；若01k <≤，则π(0]2kx ∈，，所以不等式sin sin kx k x ≥等价于sin sin kx xkx x≥， 由③知，sin xy x =在π(0]2，上单调递减，则π02π02kx x kx x ⎧⎪≤⎪⎪<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎩，解得01k <≤.即命题④正确.所以真命题的个数是4. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式恒成立问题，考查学生的计算能力和推理论证能力，属于中档题. 5．12【解析】 【分析】 对复数i1iz =-进行化简，求出虚部即可. 【详解】由题意，()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z +===-+--+， 则i1iz =-的虚部为12，即Im z =12.故答案为：12.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查复数的概念，属于基础题. 6．[0,)+∞ 【解析】 【分析】求出函数()f x 的值域，即为1()f x -的定义域. 【详解】因为函数12()f x x =的值域为[0,)+∞，所以()f x 的反函数1()f x -的定义域是[0,)+∞. 故答案为：[0,)+∞. 【点睛】本题考查反函数的性质，考查学生对基础知识的掌握. 7．2 【解析】 【分析】结合反比例函数的对称中心，可求得()f x 的对称中心为(1,0)a +，即可求出答案. 【详解】 函数1()1f x x a =--的图象关于点(1,0)a +对称，则13a +=，即2a =.故答案为：2. 【点睛】本题考查函数的对称中心，考查函数的图象性质，考查学生的推理能力，属于基础题. 8．±1 【解析】 【分析】先求出,,x y D D D ，然后对0D =的m 讨论，可得出结论. 【详解】 由题意，2111m D m m ==-，()23211x m D m m m m m m==-=-，22201y m m D m m m==-=，令21101m D m m==-=，解得1m =±.当1m =±时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解. 故答案为：±1. 【点睛】本题考查线性方程组解的问题，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 9．-3 【解析】 【分析】先求出tan α的值，然后利用二倍角的正切公式求出tan 2α，进而利用两角和与差的正切公式求出πtan()42α-，从而可求出πcot()42α-. 【详解】由题意，22169cos1sin 12525αα=-=-=， ∵α是第二象限的角，∴3cos 5α=-，sin tan s 43co ααα==-， 又22tan42tan 31tan 2ααα==--，解得tan 22α=或1tan 22α=-，∵()π2π2ππ2k k k αZ +<<+?，∴()ππππ422k k k αZ +<<+?， ∴2α是第一、三象限的角， 则tan02α>，即1tan22α=-舍去，tan 22α=符合题意.∴πtantanπ12142tan()π421231tan tan 42ααα---===-++, ∴π1cot()3π42tan()42αα-==--. 故答案为：3-. 【点睛】本题考查了三角函数恒等变换，考查象限角，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 10【解析】试题分析：因为，圆锥的侧面积为，底面积为，所以，22{,rl r ππππ==解得，1,2,r l h ===高213r h π=． 考点：圆锥的几何特征点评：简单题，圆锥之中，要弄清r,h,l 之间的关系，熟练掌握面积、体积计算公式． 11．5 【解析】 【分析】()5511x x =+-⎡⎤⎣⎦，结合二项展开式的通项公式，可求出4a .【详解】由题意，()5511x x =+-⎡⎤⎣⎦，展开式的第5项为445(1)x C -，则4455a C ==. 故答案为：5. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 12．2 【解析】联立211ρθρθ=+=ìïïíïïî，求出ρ的值，即可得到曲线21ρθ=+与1ρθ=的交点到极点的距离. 【详解】由题意，联立211ρθρθ=+=ìïïíïïî，消去θ得220ρρ--=，解得2ρ=或1ρ=-.因为0ρ>，所以只有2ρ=符合题意， 则交点到极点的距离为2. 故答案为：2. 【点睛】本题考查极坐标的含义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 13．104a <≤ 【解析】 【分析】 求出函数1a y x x=+-的值域，只需值域包含()0,+?，即满足()log (1)(0aaf x x a x=+->且1)a ≠的值域为R ，求解即可. 【详解】当0x >时，11ax x +-≥，当且仅当x =当0x <时，()a x x -+≥-当且仅当x =即11ax x+-≤-，即1a y x x=+-的值域为(),11,⎤⎡⎦-⎣∞-+∞U .因为函数()log (1)(0a af x x a x=+->且1)a ≠的值域为R ，所以10≤，解得104a <≤. 故答案为：104a <≤. 【点睛】本题考查对数函数的性质，考查函数的值域，考查学生的计算求解能力，属于中档题. 14．-1【分析】由根与系数关系可得sin cos p αα+=-，sin cos q αα=，从而可得到,p q 的关系式，然后用p 表示q ，可将p q +转化为关于p 的一元二次函数，求最小值即可. 【详解】由题意，sin cos p αα+=-，sin cos q αα=，则()22sin cos 12sin cos 12p q αααα=+=+=+，即21122q p =-， 所以()2211111222p q p p p +=+-=+-， 当1p =-时，p q +取得最小值-1，此时0q =，πsin cos 4p ααα⎛⎫⎡=--=+∈ ⎪⎣⎝⎭，111sin cos sin 2,222q ααα⎡⎤==∈-⎢⎥⎣⎦，且240p q ∆=-≥，显然1p =-，0q =都满足.所以p q +的最小值为-1. 故答案为：-1. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，考查利用二次函数求最值，考查三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 15．14【解析】 【分析】分别求出“有效排列”的总数，所有排列的总数，然后结合古典概型的概率公式可求出答案. 【详解】由题意，“有效排列”有5种，分别为：白白白黑黑黑，白白黑白黑黑，白黑白白黑黑，白白黑黑白黑，白黑白黑白黑.将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，总共有336320C C =种，则出现“有效排列”的概率为51204=. 故答案为：14. 【点睛】本题考查排列组合，考查古典概型的概率计算，考查学生的推理能力与计算能力，属于基础题. 16．*1,(1)22,(2,N )n n n a n n =⎧=⎨-≥∈⎩ 【解析】 【分析】由*211()2()2,n n n n S S S S n +++---=∈N ，可得2122n n a a ++-=，进而可通过构造等比数列，求出n a 的通项公式. 【详解】∵211()2()2n n n n S S S S +++---=，∴2122n n a a ++-=， 即()21222n n a a +++=+，∴数列{}12n a ++是首项为224a +=，公比为2的等比数列， ∴1112422n n n a +-++=⨯=，即1122n n a ++=-，可得()222n n n a =-≥.当1n =时，11a =不满足22nn a =-，故*1,(1)22,(2,N )n n n a n n =⎧=⎨-≥∈⎩. 故答案为：*1,(1)22,(2,N )n n n a n n =⎧=⎨-≥∈⎩.【点睛】本题考查通项公式的求法，考查等比数列的通项公式的应用，考查学生的计算能力与推理论证能力，属于基础题.17．⎡⎣ 【解析】【分析】设点P 在第一象限，延长2PF ，1F M 交于点N ，由MP 是12F PF ∠的平分线，且1F M MP ⊥，可得1PF PN =，1FM MN =，结合OM 是12F F N V 的中位线，可得()2121122OM F N PF PF ==-，结合椭圆的定义，可得到22OM PF =-，然后求出2PF 的取值范围可得到||OM u u u u r的范围.【详解】设点P 在第一象限，延长2PF ，1F M 交于点N ，因为MP 是12F PF ∠的平分线，且1F M MP ⊥，所以1PF PN =，1FM MN =， 则OM 是12F F N V 的中位线，可得()()2212111222OM F N PN PF PF PF ==-=-， 由椭圆的定义知，124PF PF +=，则124PF PF =-, 所以()()12221142222OM PF PF PF PF =-=-=-，因为P 在第一象限，且不在长轴端点，所以2P a c a F -<<，即222PF <<，若点P 在短轴端点，可得22PF =，所以222PF <≤，即202PF ≤-<，即0||OM ≤<u u u u r.根据对称性可知，点P 在异于长轴端点的任意一点，0||OM ≤<u u u u r.故答案为：⎡⎣.【点睛】本题考查椭圆的性质，考查三角形的性质，考查学生的计算能力与推理能力，属于中档题.18．(U 【解析】 【分析】分析函数()f x 与2()f x 的性质，求出方程2()()2f x f x +=的解的取值范围，进而可求得公比q 的取值范围. 【详解】根据函数()f x 的定义，可知()11,22x m m m ⎛⎫∈-++∈ ⎪⎝⎭Z 时，()f x m =，当0m =时，11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，2()()0f x f x ==，此时2()()2f x f x +=无解；当0m >时，22211,44x m m m m ⎛⎫∈+-++⎪⎝⎭，2()f x 的值为区间22,m m m m ⎡⎤-+⎣⎦内的整数，则222()()2f m x f x m m ≤≤++.若2()()2f x f x +=有解，则2222m m m m >⎧⎨≤≤+⎩1m ≤≤，又m ∈Z ，则1m =，13,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭，219,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 此时()1f x =，由2()()2f x f x +=，可知2()1f x =，所以2112112x x -<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得22x <<； 当0m <时，22211,44x m m m m ⎛⎫∈+++- ⎪⎝⎭，2()f x 的值为区间22,m m m m ⎡⎤+-⎣⎦内的整数，则222()(2)f x f m m x m +≤+≤.若2()()2f x f x +=有解，则22022m m m m<⎧⎨+≤≤⎩，解得1m ≤≤又m ∈Z ，则2m =-，53,22x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，2925,44x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，此时()2f x =-，由2()()2f x f x +=，可知2()4f x =，所以2122142x x +<-<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得22x -<<-. 等比数列{}n a 中，设公比为()0q q ≠，则11a =，2a q =，23a q =，2()()2f q f q +=，由函数()f x的性质可知，当((222q ∈--U 时， 方程2()()2f q f q +=有解.综上所述，当((,222q ∈--U 时，符合题意.故答案为：(U . 【点睛】本题考查函数与方程，考查等比数列的性质，考查分类讨论的数学思想的应用，考查推理论证能力，属于难题.19．（1）证明见解析，(0,4)V ∈；（2）2arccos 3. 【解析】 【分析】（1）由1A D ⊥平面ABCD ，可得1ABCD V S A D =⋅，然后用θ表示1,ABCD A D S ，可证明结论，利用θ的取值范围，并结合三角函数的性质，可求得V 的取值范围；（2）证明直线1,,AD DC A D 两两垂直，然后分别以1,,DA DC DA 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出二面角1A A C D --的余弦值，进而可求出答案. 【详解】（1）∵1AD =，2CD =，1A D ⊥平面ABCD ，2ADC θ∠=，∴平行六面体1111ABCD A B C D -的体积11112sin 22sin 22ABCD V S A D AD DC A D A D θθ⎛⎫=⋅=⨯⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭.又1tan tan A D AD θθ=⋅=，则212sin 22tan 2sin cos 4sin V A D θθθθθ=⋅=⋅=，∵π02θ<<，∴20sin 1θ<<，204sin 4θ<<. ∴求V 的取值范围是(0,4). （2）∵π4θ=，∴11A D AD ==，AD CD ⊥，∴直线1,,AD DC A D 两两垂直. 分别以1,,DA DC DA 所在直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则()1,0,0A ，()0,0,0D ，()0,2,0C ，()10,0,1A ，()11,0,1AA =-u u u r ，()1,2,0AC =-u u u r ，设平面1AA C 的法向量为()1111,,n x y z =u r，则1110AA n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u r u u u r u r ，即1111020x z x y -+=⎧⎨-+=⎩，取12x =，可得()12,1,2n =u r ，平面1A CD 的一个法向量为()21,0,0n =u u r，设二面角1A A C D --所成角为θ，则12122cos 3n n n n θ=⋅==⋅u r u u r ur u u r ， 所以二面角1A A C D --所成角的大小为2arccos3.【点睛】本题考查棱柱的体积计算，考查二面角的求法，利用空间向量是解决本题的较好方法，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.20．（1）约49分钟；（2）50r <≤【解析】 【分析】（1）求出台风从开始影响城市A 到影响结束的距离CD ，进而可得到台风持续时间120CD； （2）求出台风影响城市A 的持续时间的表达式，使其小于等于1小时，解不等式即可. 【详解】如下图，100AB =，台风在射线BD 方向移动，在C 处开始影响A 城市，持续到D 处，60EAB ︒∠=，则1502AE AB ==，根据对称性可知AC AD r ==，CE ED =.（1）70r =，则CE ==则台风从开始影响城市A 到影响结束的距离CD =所以台风影响城市A 49分钟；（2）台风从开始影响到影响结束的距离2CE D C ===，则台风影响城市A 1≤，解得50r <≤【点睛】本题考查方位角的应用，考查直角三角形的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 21．（1）104b -<<；（2）当4b <-时，2222b ba +<<-；当41b -≤≤-时，22b a +<<10b -<<时，212ba b +<<-【解析】 【分析】（1）1a =时，方程()10f x x x b =-+=有三个解，即函数1y x x =-与y b =-在[)0,+∞上有三个交点，结合函数的图象，可得出结论；（2）不等式(2)0xf <恒成立，由0b <，可得2222xxx x b b a <<-+，令2x t =，可知[]1,2t ∈，所以b bt a t t t <<-+恒成立，只需max min b b t a t t t ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，分别求出max min,b b t t t t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+，即可得出答案.【详解】（1）1a =时，()1f x x x b =-+，令()0f x =，则1x x b -=-. 令1()g x x x =-，则(1),1()(1),1x x x g x x x x -≥⎧=⎨-<⎩，作出()g x 的图象，如下图： 当12x ≤时，()g x 单调递增；当112x <<时，()g x 单调递减；当1x ≥时，()g x 单调递增，且(0)(1)0g g ==，1124g ⎛⎫=⎪⎝⎭. 方程1x x b -=-在[)0,+∞上有三个解，即函数()g x 与y b =-在[)0,+∞上有三个交点，结合图形可得104b <-<，解得104b -<<.（2）由题意，(2)220x x xf a b =-+<恒成立，由0b <，可得22xx b a -<-，即222x x x b b a <-<-，所以2222x xx xb b a <<-+，令2x t =，由[]0,1x ∈，可知[]1,2t ∈，所以b bt a t t t<<-+恒成立，只需满足max minb b t a t t t ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+. ①因为函数by t t =+在[]1,2t ∈上单调递增，所以max22b b t t ⎛⎫= ⎪⎭+⎝+； ②函数by t t=-在()0,∞+上的单调性为：在(上单调递减，在)+∞上单调递增.2>，即4b <-时，min 22b bt t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当12≤≤，即41b -≤≤-时，minb t t ⎛⎫-== ⎪⎝⎭1<，即10b -<<时，min1b t b t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； 综上，当4b <-时，2222b b a +<<-；当41b -≤≤-时，22ba +<<当10b -<<时，212ba b +<<-. 【点睛】本题考查函数的零点，考查不等式恒成立问题，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想的应用，属于中档题.22．（1）221(1)2x y y -=≥，曲线C 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的上支；（2）0k <<或0k <<；（3）详见解析，k <<，m ∈ 【解析】 【分析】（1）结合双曲线的定义，可知点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点的双曲线的上支，求出轨迹方程即可；（2）将直线与C 的方程联立，消去x ，可得到关于y 的一元二次方程，令1212000y y y y ∆>⎧>>⎪⎨⎪+⎩，求解即可；（3）联立直线与C 的方程，得到关于y 的一元二次方程，由OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r，可得OA OB ⊥u u u r u u u r，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12120x x y y +=，结合根与系数关系，可得到222(1)m k =+，若存在符合题意的直线，还需要满足以下三个条件：①>0∆；②120y y >；③120y y +>，求解即可. 【详解】（1）动点P 满足122PF PF -=u u u u ru u u r，且1(0,F、2F ，所以点P 的轨迹是以1F 、2F为焦点的双曲线的上支，c =，1a =，222312b c a =-=-=，所以曲线C 的方程为221(1)2x y y -=≥；（2）由题意，联立22112y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x ，得222(21)2210k y y k -+--=，()()2222121222(21)02120224212011k k y y y k k k y ⎧∆=---->+->⎪⎪⎪=⎨-->-⎪⎪+=⎪⎩，解得02k -<<或02k <<. 故k的取值范围是02k -<<或02k <<. （3）因为OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r ，所以OA OB ⊥u u u r u u u r，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12120x x y y +=.联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，可得222(21)4220k x kmx m -++-=，2121222224,2121m kmx x x x k k -=+=---， 则()()()2121211222y y x x kx m kx m k km x m x =++=+++=()22222222242121k m k mm k k --+--222221k m k =---，()212122242222121k m m y y k x x m m k k -=++=-+=--+， 所以2222222202121m k m k k ---+=--，整理得222(1)m k =+. 若存在符合题意的直线，还需要满足以下三个条件：①>0∆；②120y y >；③120y y +>.①()()222221602421k k m m ---∆=>，整理得22120m k -+>，又222(1)m k =+，则22212(1)4021k k k -+=+>+，显然恒成立；②221220221k m y y k ---=>，等价于()()2222120k k m -+<， 因为2220k m +>恒成立，所以2210k -<，即2102k ≤<； ③1222021my y k -=-+>，由②知2210k -<，所以0m >.所以k 满足2102k ≤<，即22k -<<.又因为222(1)m k =+，所以223m ≤<，且0m >m ≤<.所以存在直线l ，满足OA OB AB +=u u u r u u u r u u u r ，k 的取值范围为：22k -<<，m的取值范m ≤<. 【点睛】本题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系的应用，考查一元二次方程的根与系数关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于难题.23．（1）0,,2,3d d d ---；0,,2,d d d ---；0,,0,d d -；0,,0,d d --；0,,0,d d -；（2）见解析；（3）存在，4n m =或*41,n m m =+∈N【解析】 【分析】（1）结合数列n A 的性质，列出满足题意的F 数列4A 即可；（2）结合F 数列的性质，分别从充分性和必要性两方面证明结论即可；（3）令1(1,2,,1)k k k c a a k n +=-=-L ，可得k c d =±，1k k k a c a +=+，可求得()n S A 的表达式，112(1)[()(1)()11(1)(2)()]2n n c c c S A d dn n d n n d d -=----+-+-++L ，讨论表达式的奇偶性，可得出结论. 【详解】（1）由题意，满足10a =，4()0S A ≤的F 数列4A 可以是：0,,2,3d d d ---；0,,2,d d d ---；0,,0,d d -；0,,0,d d --；0,,0,d d -.（2）必要性证明：因为数列n A 递减，所以10k k a a +-<，即1k k a a d +-=-，所以n A 是等差数列，通项公式为()1n a d n d nd =---=-，所以2016n =时，2016n a d =-. 充分性证明：由1k k a a d +-=，可得1k k a a d +-=±，即1k k a a d +-≥-，则201213262015a a da a d a a d -≥-⎧⎪-≥-⎪⎨⎪⎪-≥-⎩L ，相加得()()()2132201620152015a a a a a a d -+-+++≥-L ，即20162015a d d +≥-，所以20162016a d ≥-，又因为20162016a d =-，所以10k k a a d +-=-<，即F 数列是递减数列.综上所述，若1a d =-，2016n =，则F 数列是递减数列的充要条件是2016n a d =-. （3）设1(1,2,,1)k k k c a a k n +=-=-L ，则k c d =±， 所以2111a a c c =+=，32212a a c c c =+=+， 331243a c a c c c =+=++， L121n n a c c c -=+++L ，则1221()(1)(2)2n n n S A n c n c c c --=-+-+++L()()()1211231[()(1)()(2)()]n n n n d c d d n c d n c -⎡⎤=-+-+-+++-+--++-⎣-⎦L L 112(1)[()(1)(1)(2))]121(n c c c n n d d n d dd n ---=+-+--+-+L ， 令()0n S A =，则112(1)[()(1)(1)(2)()]0121n d c c c n n n d dn ----+-+-++-=L ， 因为1k c d =±，所以112[()(1)(1)(2)()11]n c c cn d d n d --+-++---L 是偶数，所以(1)2n n -为偶数，即4n m =或*41,n m m =+∈N 时，存在满足题意的F 数列n A ， 当42n m =-或*41,n m m =-∈N 时不存在.综上所述，当4n m =或*41,n m m =+∈N 时，存在满足题意的F 数列n A .【点睛】本题考查新定义，考查数列的性质，考查充分性与必要性，考查转化思想，考查学生的计算求解能力和推理论证能力，属于难题.。

浦东新区高三期中联考数学卷2016.11一. 填空题1. 设全集U R =，集合{|2}A x x =<，2{|1}B y y x ==+，则U AC B =2. 函数2()1f x x =-(0)x ≥的反函数为1()f x -，则1(2)f -=3. 1x >，则函数11y x x =+-的值域是4. 已知集合{|||2,}A x x x R =≤∈，{|4,}B x x Z =≤∈，则A B =5. 正三棱柱111ABC A B C -，1AB AA =，则1AC 与平面11BB C C 所成角正弦值为6. 已知一组数据7、8、9、x 、y 的平均数是8，则这组数据的中位数是7. 若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1、2、3，则b 的取值范围8. 7(1)x +的展开式中2x 的系数是9. 从总体中抽取一个样本：3、7、4、6、5，则总体标准差的点估计值为 10. 已知2()y f x x =+是奇函数，且(1)1f =，若()()2g x f x =+，则(1)g -= 11. 已知()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-，0a >且1a ≠，则使()()0f x g x ->成 立的x 的集合是12. 在Rt ABC ∆中，两直角边分别为a 、b ，设h 为斜边上的高，则222111h a b=+，由此 类比：三棱锥S ABC -中的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，且长度分别为a 、b 、c ，设棱锥底面ABC 上的高为h ，则二. 选择题13.“1a >”是“()(1)xf x a a =-⋅在定义域内为增函数”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 14. 直线a 、b 相交于点O ，a 、b 成60︒角，过点O 与a 、b 都成60︒角的直线有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条15. 有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地并排放到 书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为（ ） A.15 B. 25 C. 14 D. 1616. 已知三个球的半径1R 、2R 、3R 满足12323R R R +=，则它们的表面积1S 、2S 、3S 满足的等量关系是（ ）A. 12323S S S +=B. =C.= D.=17. 已知函数2,0()2,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则不等式2()f x x ≥的解集是（ ）A. [1,1]-B. [2,2]-C. [2,1]-D. [1,2]-18. 我们定义渐近线：已知曲线C ，如果存在一条直线，当曲线C 上任意一点M 沿曲线运 动时，M 可无限趋近于该直线但永远达不到，那么这条直线称为这条曲线的渐近线；下列 函数：①13y x =；②21x y =-；③lg(1)y x =-；④121x y x +=-；其中有渐近线的函数的 个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4三. 解答题19. 用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵 风吹倒，如图所示，求它的最高点到桌面的距离；20. 已知全集U R =，集合{|49280}x x A x =-⋅+<，5{|1}2B x x =≥+， {||2|4}C x x =-<，求A B ，U C A C ；21. 三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与 底面ABC 所成的角为3π，若M 是BC 的中点，求：（1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小； （结果用反三角函数值表示）22. 甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得 利润是3100(51)x x+-元；（1）写出生产该产品t (0)t ≥小时可获得利润的表达式；（2）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；23. 已知函数11()||||f x x x x x=+--； （1）作出函数()f x 的图像；（2）根据（1）所得图像，填写下面的表格：（3）关于x 的方程2()|()|0f x m f x n ++=(,)m n R ∈恰有6个不同的实数解，求n 的取值范围；参考答案一. 填空题1. (,2)-∞2.3. [3,)+∞4. {0,1,2}5.6. 87. (5,7)8. 219. 10. 1- 11. 当01a <<时，{|10}x x -<<；当1a >时，{|01}x x <<； 12. 22221111h a b c =++二. 选择题13. A 14. C 15. A 16. C 17. A 18. C三. 解答题19. ； 20. (2,3]AB =-，(2,0][3,6)UC A C =-；21.（1）2；（2）； 22.（1）3100(51)t x x+-，0t ≥，110x ≤≤；（2）310x ≤≤； （3）生产速度为6千克/小时，可获得最大利润457500元； 23.（1）略；（2）定义域(,0)(0,)-∞+∞，值域(0,2]，在(,1)-∞-和(0,1)上单调递增，在(1,0)-和(1,)+∞上单调递减，偶函数，无零点；（3）(0,4)n ∈；。

建平中学2016年5月高三三模数学试卷及答案一、填空题（本大题满分56分，每小题4分）；本大题共有14小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．已知集合{},1,21|,1,log |2⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭⎫⎝⎛==>==x y y B x x y y A x，则B A ⋂等于1(0,)22．若) )( 2(i b i ++是实数（i 是虚数单位，b 是实数），则=b 2- 3．等差数列{}n a 中，已知112a =-，130S =，使得0n a >的最小正整数n 为_84．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a sin A +c sin Csin C =b sin B ．则B ∠=3π5（文） 一次课程改革交流会上准备交流试点校的5篇论文和非试点校的3篇论文，排列次序可以是任意的，则最先和最后交流的论文不能来自同类校的概率是15285．（理）设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为67，则口袋中白球的个数为36．设2n ≥，若n a 是(1)n x +展开式中含2x 的系数，则23111lim n n a a a →∞⎛⎫+++⎪⎝⎭=_27．（文）若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 则z =2x ＋4y 的最小值是6-7．（理）在极坐标系中，若直线l 的方程是sin(θρ的坐标为(2,)π，则点P 到直线l 的距离=d 28．（文）如图，直三棱柱111B A O OAB -中，90AOB ∠=12AA =，OA =2OB =,则此三棱柱的主视图面积为8．（理）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3cm ，圆心角为23π的扇形，则此圆锥的高为． 9．不等式111a x x <-的解集为{}|12x x x <>或，那么a 的值等于1210. 定义某种运算⊗，a b ⊗x x f ⊗=1)(.()f x 在区间[2,2]-上的最大值为2xOy中，设直线l ：10kx y -+=与圆C ：224x y +=相交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAMB ，若点M 在圆C 上，则实数k =012．（文）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动。

浦东新区 高三综合练习（三模）数学试卷（理科）一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．函数()2x x x f -=的定义域为 .2．如果22sin 3α=-，α为第三象限角，则3sin()2πα+= ． 3．设等差数列{}n a 的前n 项之和n S 满足10520S S -=，那么 8a = ． 4．设复数i z 511+=，i m z +=32，i n z z 821+=+),(R n m ∈，则=21z z __________. 5．正方体-ABCD 1111D C B A 中，Q P N M ,,,分别是棱BC A D D C C B ,,,111111的中点，则异面直线MN 与PQ 所成的角等于__________.6．在△ABC 中，C B A 、、的对边分别是c b a ,,，且B b cos 是A c C a cos ,cos 的等差中项，则角B = .7．若①9≤≤b a ,②9>+b a ,则同时满足①②的正整数b a ,有 组. 8．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面4米时，测得拱桥内水面宽为16米；当水面升高3米后，拱桥内水面的宽度为 _________米．9．已知圆的方程是1)1(22=-+y x ，若以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，则该圆的极坐标方程可写为 ．10．已知数列}{n a 中,11=a ,)1 *,(271>∈=--n n a a n n nN ，则当n a 取得最小值时n 的值是 ．11．设正四面体ABCD 的棱长为a ，P 是棱AB 上的任意一点，且P 到面BCD ACD ,的距离分别为21,d d ，则=+21d d ___ .12．定义在R 上的函数)(x f 同时满足性质：①对任何R x ∈，均有33)]([)(x f x f =成立；②对任何R x x ∈21,，当且仅当21x x =时，有)()(21x f x f =.则)1()0()1(f f f ++-的值为 .13．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式:2213=+ 23135=++ 241357=+++3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律,则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73,则m 的值为 .14．定义：对于各项均为整数的数列{}n a ，如果i a i +(i =1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”；不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在数列{}n b 与{}n a 不是同一数列，且{}n b 满足下面两个条件：（1）123,,,...,n b b b b 是123,,,...,n a a a a 的一个排列；（2）数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”． 给出下面三个数列： ①数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-； ②数列}{n b ：1，2，3，4，5；③数列}{n c ：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11.具有“P 性质”的为 ；具有“变换P 性质”的为 .二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．非零向量,，m =||，n =||，若向量21λλ+=，则||的最大值为（ ）A ．n m 21λλ+B ．n m ||||21λλ+C ．||21n m λλ+D ．以上均不对 16．已知数列}{n a 的通项公式为*1()(1)n a n N n n =∈+,其前n 项和910n S =,则双曲线2211x y n n-=+的渐近线方程为 （ ）A ．3y x =±B ．4y x =±C ．10y x =±D ．3y x =±17．已知ABC △中，AC =2BC =，则角A 的取值范围是 （ ）A ．,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.B ．0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭18．在平面斜坐标系xoy 中045=∠xoy ,点P 的斜坐标定义为:“若2010e y e x +=(其中21,e e 分别为与斜坐标系的x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的坐标为),(00y x ”.若),0,1(),0,1(21F F -且动点),(y x M 满足12MF MF =,则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为 （ ）A ．0x -=B ．0x +=C 0y -=D 0y +=三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）已知函数()sin f x m x x =+ ()0m >的最大值为2． （1）求函数()f x 在[]0π，上的值域；（2）已知ABC ∆外接圆半径3=R ，ππ()()sin 44f A f B A B -+-=，角A ，B 所对的边分别是a ，b ，求ba 11+的值．20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设1>a ，函数)(x f 的图像与函数2|2|24--⋅--=x x a a y 的图像关于点)2,1(A 对称．（1）求函数)(x f 的解析式；（2）若关于x 的方程m x f =)(有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围．21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1，OA ，OB 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段CD 和曲线段EF 分别是湖泊中的一座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥CD 上某点M 分别修建与OA ，OB 平行的栈桥MG 、MK ，且以MG 、MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK .建立如图2所示的直角坐标系，测得线段CD 的方程是220(020)x y x +=≤≤，曲线段EF 的方程是200(540)xy x =≤≤，设点M 的坐标为(,)s t ，记z s t =⋅.（题中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度） （1）求z 的取值范围；（2）试写出三角形观光平台MGK 面积MGK S ∆关于z 的函数解析式，并求出该面积的最小值22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点2，椭圆C 左右焦点分别为21,F F ，上顶点为E ，21F EF ∆为等边三角形.定义椭圆C 上的点00(,)M x y 的“伴随点”为00(,)x yN a b.（1）求椭圆C 的方程；（2）求MON ∠tan 的最大值；（3）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点,若点A 、B 的“伴随点”分别是P 、Q ,且以PQ 为直径的圆经过坐标原点O .椭圆C 的右顶点为D ，试探究ΔOAB 的面积与ΔODE 的面积的大小关系,并证明.23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分） 已知数列{}n a ，{}n b 满足：()1*n n n b a a n N +=-∈． （1）若11,n a b n ==，求数列{}n a 的通项公式； （2）若()112n n n b b b n +-=≥，且121,2b b ==．① 记()611n n c a n -=≥，求证：数列{}n c 为等差数列；② 若数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项1a 应满足的条件．浦东新区 高三综合练习（三模） 数学试卷（理科）参考答案及评分细则一、填空题：（本大题满分56分，每小题4分）本大题共有14小题，考生应在答题纸相应的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．]1,0[； 2．13； 3．4； 4．i 1812+-； 5．060； 6．3π； 7．25； 8．8； 9．2sin ρθ=； 10．6或7； 11．a 36； 12．0 ； 13．9； 14．①、②二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分.15．B ； 16．C ； 17．C ； 18．D ．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．本小题满分12分（第1小题满分5分，第2小题满分7分）解：（1）由题意，()f x ．………………………2分而0m >，于是m π()2sin()4f x x =+．…………………………………4分()f x 在]4,0[π上递增．在ππ4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，递减， 所以函数()f x 在[]0π，上的值域为]2,2[-；…………………………………5分（2）化简ππ()()sin 44f A f B A B -+-=得sin sin sin A B A B +=．……………………………………………………7分由正弦定理，得()2R a b +=，……………………………………………9分因为△ABC 的外接圆半径为3=R ．a b +．…………………………11分所以211=+ba …………………………………………………………………12分20．本题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）设点),(y x P 是函数)(x f 图像上任意一点，P 关于点A 对称的点为),(y x P '''，则12='+x x ，22='+y y ，于是x x -='2，y y -='4，………………2分 因为),(y x P '''在函数)(x g 的图像上，所以2|2|24-'-'⋅--='x x a ay ，…4分 即x x a a y --⋅--=-244||，xx a a y -⋅+=2||，所以xx a a x f -⋅+=2)(||．……………………………………………………6分（2）令t a x=，因为1>a ，0>x ，所以1>t ，所以方程m x f =)(可化为m tt =+2，…………………………………………8分 即关于t 的方程022=+-mt t 有大于1的相异两实数解．作2)(2+-=mt t t h ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>08120)1(2m m h ，………………………………………12分解得322<<m ；所以m 的取值范围是)3,22(．………………………14分21．本小题满分14分（第1小题满分6分，第2小题满分8分）解：（1）由题意，得(,)M s t 在线段CD ：220(020)x y x +=≤≤上，即220s t +=， 又因为过点M 要分别修建与OA 、OB 平行的栈桥MG 、MK ，所以510s ≤≤；.…………………………………………………………………2分. 211(10)(10)50,51022z s t s s s s =⋅=-=--+≤≤；………………………4分 所以z 的取值范围是75502z ≤≤..………………………………………………6分（2）由题意，得200200(,),(,)K s G t s t ，..…………………………………………8分所以11200200140000()()(400)222MGK S MG MK s t st t s st∆=⋅⋅=--=+-则14000075(400),,5022MGK S z z z ∆⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦，..……………………………10分 因为函数140000(400)2MGK S z z ∆=+-在75,502z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，..………12分 所以当50z =时，三角形观光平台的面积取最小值为225平方米. ..………14分22．本小题满分16分（第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分）解：（1）由已知22222331412a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得224,3a b == ,方程为22143x y +=.·······················4分 （2）当000=y x 时，显然0tan =∠MON ，由椭圆对称性，只研究0,000>>y x 即可，设k x y k OM ==（>k ），于是32kk ON =···························································5分=-≤+-=+-=∠32232233232132tan 2k kk kk MON（当且仅当232=k 时取等号）··············································································8分（3） 设1122(,),(,)A x y B x y ,则12,22x x P Q ⎛⎛⎝⎝; 1)当直线l 的斜率存在时,设方程为y kx m =+,由22143y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得: 222(34)84(3)0k x kmx m +++-=；有22122212248(34)08344(3)34k m km x x k m x x k ⎧⎪∆=+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩①···································································10分由以PQ 为直径的圆经过坐标原点O 可得: 1212340x x y y +=；整理得: 221212(34)4()40k x x mk x x m ++++= ②将①式代入②式得:22342k m +=, ································································· 12分048,0,043222>=∆>∴>+m m k又点O 到直线y kx m =+的距离d =2222222221223414334143433411m mk k m kk m k k x x k AB ⋅+=+⋅+=+-++=-+=所以12OAB S AB d ∆==·············································································14分2) 当直线l 的斜率不存在时,设方程为(22)x m m =-<<联立椭圆方程得: 223(4)4m y -=；代入1212340x x y y +=得223(4)304m m --=； 552±=m ,5152±=y 3212121=-==∆y y m d AB S OAB综上: OAB ∆又ODE ∆的面积也为,所以二者相等. ·························································16分23．本小题满分18分（第1小题满分4分，第2小题满分14分）解：（1）当2n ≥时，有()()()21213211121122n n n n n na a a a a a a a ab b b --=+-+-++-=++++=-+．又11a =也满足上式，所以数列{}n a 的通项公式是2122n n na =-+．…………4分（2）①因为对任意的*n N ∈，有5164321n n n n n n n b b b b b b b ++++++====，所以，百度文库- 好好学习，天天向上-111656161661626364111221722 n n n n n n n n n nc c a a b b b b b b++--++++-=-=+++++=+++++=，所以，数列{}n c为等差数列．……………………………………………………8分②设()6*n n ic a n N+=∈（其中i为常数且{}1,2,3,4,5,6i∈，所以，1666661626364657 n n n i n i n i n i n i n i n i n ic c a a b b b b b b+++++++++++++++-=-=+++++=，即数列{}6n ia+均为以7为公差的等差数列．…………………………………… 10分设()677767766666666i ik i iki k a i a ia a kfk i i k i k i k+++--+====+++++．（其中6,0,n k i k i=+≥为{}1,2,3,4,5,6中一个常数）当76ia i=时，对任意的6n k i=+，有76nan=；……………………………… 12分当76ia i≠时，()()()17776666166616i ik k ia i a if f a ik i k i k i k i+---⎛⎫-=-=-⎪++++++⎡⎤⎝⎭⎣⎦．（Ⅰ）若76ia i>，则对任意的k N∈有1k kf f+<，所以数列66k iak i+⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递减数列；（Ⅱ）若76ia i<，则对任意的k N∈有1k kf f+>，所以数列66k iak i+⎧⎫⎨⎬+⎩⎭为递增数列．综上所述，集合74111174111,,,,63236263236B⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭．当1a B∈时，数列nan⎧⎫⎨⎬⎩⎭中必有某数重复出现无数次；当1a B∉时，数列()61,2,3,4,5,66k iaik i+⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多出现一次，所以数列nan⎧⎫⎨⎬⎩⎭任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．………………………………………………………………………………… 18分。

浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷 （含答案）2016.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1．已知集合{}{}=3,2A x x B x x ≤=<，则R A C B =I []2,32．已知向量()2,1,(1,)a b m =-=r r 平行，则m = 12-3．关于,x y 的一元二次方程组23122x y x y +=⎧⎨-=⎩的系数矩阵2312⎛⎫ ⎪-⎝⎭4．计算：1132lim 32n nnn n ++→∞-+ 3 5．若复数z 满足1012ii z=-（i 为虚数单位），则z6．()1021x +的二项展开式中的第八项为 3960x7．某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒方向，与A 相距6.0海里.船由A 向正北方向航行8.1海里达到C 处，这时灯塔B 与船相距_____4.2______海里（精确到0.1海里） 8．已知3cos(),,252ππααπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 310-9．如图，已知正方体1111D C B A ABCD -，21=AA ，E 为棱1CC 的中点，则AE 与平面11B C C B 所成的角为552arctan．（2arcsin 3，（结果用反三角表示）10．已知函数()f x 的图像与()2xg x =的图像关于直线y x =对称，令()(1)h x f x =-，则关于函数()h x 有下列命题：①()h x 的图像关于原点对称； ②()h x 的图像关于y 轴对称； ③()h x 的最大值为0； ④()h x 在区间(1,1)-上单调递增。

其中正确命题的序号为____②③_____（写出所有正确命题的序号）。