2016上海春季高考数学真题及解析

2016年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______.【答案】(2,4)【解析】试题分析：由题意得：131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)考点：绝对值不等式的基本解法.【名师点睛】解绝对值不等式，关键是去掉绝对值符号，进一步求解，本题也可利用两边平方的方法.本题较为容易.2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =____________.【答案】3-【解析】试题分析：i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________.【答案】5【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得25d 5===考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即,x y 的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）.【答案】1.76【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.考点：中位数的概念.【名师点睛】本题主要考查中位数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，涉及统计的题目，往往不难，主要考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.5、若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______.【答案】3±【解析】试题分析：)sin(16)(2ϕ++=x a x f ，其中4tan a =ϕ，故函数)(x f 的最大值为216a +，由已知，5162=+a ，解得3±=a .考点：三角函数sin()y A x ωϕ=+的图象和性质.【名师点睛】三角函数性质研究问题，基本思路是通过化简，得到sin()y A x ωϕ=+，结合角的范围求解..本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.6、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数.【答案】2log (x 1)-【解析】试题分析：将点39（，）带入函数()xf x 1a =+的解析式得a 2=，所以()xf x 12=+，用y 表示x 得2x log (y 1)=-，所以()12log (f x x 1)-=-.考点：1.反函数的概念；2.指数函数的图象和性质.【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数，求反函数的基本步骤是：一解、二换、三注..本题较为容易.7、若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-【解析】试题分析：由不等式组画出可行域，如图，令y x z 2-=，当直线z x y 2121-=经过点)1,0(P时，z 取得最大值，且为2-.考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性规划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等，考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.8.方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________.【答案】566ππ或【解析】试题分析：3sinx 1cos 2x =+，即23sinx 22sin x =-，所以22sin x 3sinx 20+-=，解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去），所以在区间[]π2,0上的解为566ππ或.考点：1.二倍角公式；2.已知三角函数值求角.【名师点睛】已知三角函数值求角，基本思路是通过化简，得到角的某种三角函数值，结合角的范围求解..本题难度不大，能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.9、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________.【答案】112【解析】试题分析：因为二项式所有项的二项系数之和为n2，所以n 2256=，所以n 8=，二项式展开式的通项为84r r 8rr r r 33r 1882T C ()(2)C x x -+=-=-，令84r 033-=，得r 2=，所以3T 112=.考点：1.二项式定理；2.二项展开式的系数.【名师点睛】根据二项式展开式的通项，确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项，是二项式定理问题中的基本问题，往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解.本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.10、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.OxyP【答案】3【解析】试题分析：由已知3,5,7a b c ===，∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴sin C =，∴2sin c R C ==考点：1.正弦定理；2.余弦定理.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题，往往要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到解题目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易，主要考查考生的基本运算求解能力等.11、某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.【答案】16【解析】试题分析：将4种水果每两种分为一组，有24C 6=种方法，则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16.考点：.古典概型【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题，关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题能较好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,−1),P 是曲线y =OP BA ×uu u r uu r的取值范围是.【答案】[-【解析】试题分析：由题意，设(cos ,sin )P αα,[0,π]α∈，则(cos ,sin )OP αα= ，又(1,1)BA =,所以cos sin )[4OP BA αααπ⋅=+=+∈- .考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想.【名师点睛】本题解答利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到OP BA ×uu u r uu r的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.13.设a >0,b >0.若关于x ,y 的方程组1,1ax y x by ì+=ïïíï+=ïî无解，则a b +的取值范围是.【答案】(2,)+∞【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行，所以1ab =且1a b ≠≠.又a ，b为正数，所以2a b +>=（1a b ≠≠），即a b +取值范围是(2,)+∞.考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.【名师点睛】根据方程表示直线，探讨得到方程组无解的条件，进一步应用基本不等式达到解题目的.易错点在于忽视得到a b ≠.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想等.14.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.【答案】4【解析】试题分析：当1n =时，12a =或13a =；当2n 时，若2n S =，则12n S -=，于是0n a =，若3n S =，则13n S -=，于是0n a =.从而存在N k *∈，当n k 时，0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件，所以max 4k =.考点：数列的求和.【名师点睛】从研究n S 与n a 的关系入手，推断数列的构成特点，解题时应特别注意“数列{}n a 由k 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（）（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件【答案】A【解析】试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或，所以是充分非必要条件，选A.考点：充要条件【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等.16.如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（）(A)直线AA 1(B)直线A 1B 1(C)直线A 1D 1(D)直线B 1C 1【答案】D 【解析】试题分析：只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A，B，C 中直线与EF 都是异面直线，故选D．考点：1.正方体的几何特征；2.直线与直线的位置关系.【名师点睛】本题以正方体为载体，研究直线与直线的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，题目不难，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等.17.设a ÎR ，[0,2π]b Î.若对任意实数x 都有πsin(3)3x ax b -+，则满足条件的有序实数对(a ,b )的对数为（）(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3sin(32)sin(3333πππx x πx -=-+=+，5(,)(3,3πa b =，又4sin(3sin[(3sin(3333πππx πx x -=--=-+，4(,)(3,)3πa b =-，注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B．考点：1.三角函数的诱导公式；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题【答案】D 【解析】试题分析：①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩,03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩,0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于灵活选择方法，如结合选项应用“排除法”，通过举反例应用“排除法”等.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.三、解答题（74分）19.（本题满分12分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为56π， 11A B 长为3π，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.【答案】（1）312；（2）2π．【解析】试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高1h =，底面半径1r =．计算体积与侧面积即得.（2）由11//O B OB 得C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角，计算C ∠OB 即得．试题解析：（1）由题意可知，圆柱的母线长1l =，底面半径1r =．圆柱的体积22V 11r l =π=π⨯⨯=π，圆柱的侧面积22112S rl =π=π⨯⨯=π．（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ，则11//O B OB ，所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角．由 11A B 长为3π，可知1113π∠AOB =∠A O B =，由 C A 长为56π，可知5C 6π∠AO =，C C 2π∠OB =∠AO -∠AOB =，所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为2π．考点：1.几何体的体积；2.空间的角.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等.20.（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分. 1、设x ∈R ,则不等式31x -<的解集为_______. 【答案】(2,4) 【解析】 试题分析：由题意得：131x -<-<,即24x <<,故解集为(2,4) 考点：绝对值不等式的基本解法.【名师点睛】解绝对值不等式,关键是去掉绝对值符号,进一步求解,本题也可利用两边平方的方法.本题较为容易. 2、设iiZ 23+=,期中i 为虚数单位,则Im z =____________. 【答案】3- 【解析】 试题分析：i(32i)23i z =-+=-,故Im 3z =-考点：1.复数的运算；2.复数的概念.【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念,是一道基础题目.从历年高考题目看,复数题目往往不难,有时运算与概念、复数的几何意义综合考查,也是考生必定得分的题目之一.3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ,则21,l l 的距离_______________.25【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得12222225d 5a b 21===++考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离,关键是注意应用公式的条件,即,x y 的系数应该分别相同,本题较为容易,主要考查考生的基本运算能力.4、某次体检,6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）. 【答案】1.76 【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75,1.77,1.78,1.80,这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数,显然为1.76. 学优高考网 考点：中位数的概念.【名师点睛】本题主要考查中位数的概念,是一道基础题目.从历年高考题目看,涉及统计的题目,往往不难,主要考查考生的视图、用图能力,以及应用数学解决实际问题的能力. 5、若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5,则常数a =______. 【答案】3±【解析】试题分析：)sin(16)(2ϕ++=x a x f ,其中4tan a=ϕ,故函数)(x f 的最大值为216a +,由已知,5162=+a ,解得3±=a .考点：三角函数sin()y A x ωϕ=+ 的图象和性质.【名师点睛】三角函数性质研究问题,基本思路是通过化简 ,得到sin()y A x ωϕ=+,结合角的范围求解.. 本题难度不大,能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等. 6、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上,则________)()(1=-x f x f 的反函数.【答案】2log (x 1)- 【解析】 试题分析：将点39（，）带入函数()xf x 1a =+的解析式得a 2=,所以()xf x 12=+,用y 表示x 得2x log (y 1)=-,所以()12log (f x x 1)-=-.考点：1.反函数的概念；2.指数函数的图象和性质.【名师点睛】指数函数与对数函数互为反函数,求反函数的基本步骤是：一解、二换、三注..本题较为容易.7、若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥⎧⎪≥⎨⎪≥+⎩则2x y -的最大值为_______.【答案】2-【解析】试题分析：由不等式组画出可行域,如图,令y x z 2-=,当直线z x y 2121-=经过点)1,0(P 时,z 取得最大值,且为2-.考点：简单线性规划【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用,是一道基础题目.从历年高考题目看,简单线性规划问题,是不等式中的基本问题,往往围绕目标函数最值的确定,涉及直线的斜率、两点间距离等,考查考生的绘图、用图能力,以及应用数学解决实际问题的能力. 8.方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ . 学优高考网 【答案】566ππ或 【解析】 试题分析：3sinx 1cos 2x =+,即23sinx 22sin x =-,所以22sin x 3sinx 20+-=,解得1sinx 2=或sinx 2=-（舍去）,所以在区间[]π2,0上的解为566ππ或.考点：1.二倍角公式；2.已知三角函数值求角.【名师点睛】已知三角函数值求角,基本思路是通过化简 ,得到角的某种三角函数值,结合角的范围求解.. 本题难度不大,能较好地考查考生的逻辑推理能力、基本计算能力等.9、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中,所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于_________.【答案】112OxyP【解析】 试题分析：因为二项式所有项的二项系数之和为n 2,所以n2256=,所以n 8=, 二项式展开式的通项为84r r 8rr r r 333r 1882T C (x ()(2)C x x --+=-=-,令84r 033-=,得r 2=,所以3T 112=.考点：1.二项式定理；2.二项展开式的系数.【名师点睛】根据二项式展开式的通项,确定二项式系数或确定二项展开式中的指定项,是二项式定理问题中的基本问题,往往要综合运用二项展开式的系数的性质、二项式展开式的通项求解. 本题能较好地考查考生的思维能力、基本计算能力等.10、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_________. 73【解析】 试题分析：由已知3,5,7a b c ===,∴2221cos 22a b c C ab +-==-, ∴3sin C =,∴732sin c R C ==学优高考网 考点：1.正弦定理；2.余弦定理.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答本题,往往要利用三角公式化简三角恒等式,利用正弦定理实现边角转化,达到解题目的；三角形中的求角问题,往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题较易,主要考查考生的基本运算求解能力等.11、某食堂规定,每份午餐可以在四种水果中任选两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______. 【答案】16【解析】试题分析：将4种水果每两种分为一组,有24C 6=种方法,则甲、乙两位同学各自所选的两种水果相同的概率为16.考点：.古典概型【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题,关键在于能准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数,利用概率的计算公式求解.本题能较好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.12.如图,已知点O(0,0),A(1.0),B(0,−1),P 是曲线21y x 上一个动点,则OP BA 的取值范围是 .【答案】[2]-【解析】试题分析：由题意,设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈,则(cos ,sin )OP αα=,又(1,1)BA =, 所以cos sin 2)[2]4OP BA αααπ⋅=+=+∈-.考点：1.平面向量的数量积；2.三角函数的图象和性质；3.数形结合的思想.【名师点睛】本题解答利用数形结合思想,将问题转化到单位圆中,从而转化成平面向量的坐标运算,利用三角函数的图象和性质,得到OP BA 的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等. 13.设a>0,b>0. 若关于x,y 的方程组1,1ax y x by 无解,则a b 的取值范围是 .【答案】(2,)+∞ 【解析】试题分析：方程组无解等价于直线1ax y +=与直线1x by +=平行,所以1ab =且1a b ≠≠.又a ,b 为正数,所以22a b ab +>=（1a b ≠≠）,即a b +取值范围是(2,)+∞.学优高考网考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.【名师点睛】根据方程表示直线,探讨得到方程组无解的条件,进一步应用基本不等式达到解题目的.易错点在于忽视得到a b ≠.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想等.14.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成,n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ,{}3,2∈n S ,则k 的最大值为________. 【答案】4 【解析】试题分析：当1n =时,12a =或13a =；当2n 时,若2n S =,则12n S -=,于是0n a =,若3n S =,则13n S -=,于是0n a =.从而存在N k *∈,当n k 时,0k a =.其中数列{}n a ：2,1,1,0,0,0,-⋅⋅⋅满足条件,所以max 4k =.考点：数列的求和.【名师点睛】从研究n S 与n a 的关系入手,推断数列的构成特点,解题时应特别注意“数列{}n a 由k 个不同的数组成”的不同和“k 的最大值”.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力等.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈,则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：2211,111a a a a a >⇒>>⇒><-或,所以是充分非必要条件,选A.考点：充要条件【名师点睛】充要条件的判定问题,是高考常考题目之一,其综合性较强,易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系,突出体现了高考试题的基础性,能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、逻辑推理能力等.16.如图,在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为BC 、BB 1的中点,则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）(A)直线AA 1(B)直线A 1B 1(C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1【答案】D 【解析】 试题分析：只有11B C 与EF 在同一平面内,是相交的,其他A,B,C 中直线与EF 都是异面直线,故选D ． 考点：1.正方体的几何特征；2.直线与直线的位置关系.【名师点睛】本题以正方体为载体,研究直线与直线的位置关系,突出体现了高考试题的基础性,题目不难,能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、空间想象能力等. 17.设aR ,[0,2π]b .若对任意实数x 都有πsin(3)=sin()3xax b ,则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333πππx x πx -=-+=+,5(,)(3,)3πa b =, 又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333πππx πx x -=--=-+,4(,)(3,)3πa b =-,注意到[0,2)b π∈,只有这两组．故选B ．考点：1.三角函数的诱导公式；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式,利用分类讨论的方法,确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数,对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数,则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数,则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数,下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题,②为假命题D 、①为假命题,②为真命题 学优高考网【答案】D 【解析】试题分析：①不成立,可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.【名师点睛】本题主要考查抽象函数下函数的单调性与周期性,是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题,关键在于灵活选择方法,如结合选项应用“排除法”,通过举反例应用“排除法”等.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. 三、解答题（74分） 19. （本题满分12分）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱,如图,AC 长为56π,11A B 长为3π,其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧. （1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O 1B 1与OC 所成的角的大小.【答案】（13（2）2π． 【解析】试题分析：（1）由题意可知,圆柱的高1h =,底面半径1r =．计算体积与侧面积即得. （2）由11//O B OB 得C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角,计算C ∠OB 即得． 试题解析：（1）由题意可知,圆柱的母线长1l =,底面半径1r =． 圆柱的体积22V 11r l =π=π⨯⨯=π, 圆柱的侧面积22112S rl =π=π⨯⨯=π．（2）设过点1B 的母线与下底面交于点B ,则11//O B OB , 所以C ∠OB 或其补角为11O B 与C O 所成的角．由11A B 长为3π,可知1113π∠AOB =∠A O B =, 由C A 长为56π,可知5C 6π∠AO =,C C 2π∠OB =∠AO -∠AOB =,所以异面直线11O B 与C O 所成的角的大小为2π．考点：1.几何体的体积；2.空间的角.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题,关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,将空间问题转化成平面问题.立体几何中的角与距离的计算问题,往往可以利用几何法、空间向量方法求解,应根据题目条件,灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等. 20.（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河,收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

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保持平常心，顺其自然2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________25【解析】22112521d +==+4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3， 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】2【解析】32BD =12223DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________【答案】112【解析】2256n =， 8n =通项88433882()(2)r rr r r r C x C x x--⋅⋅-=-⋅取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC V 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________ 【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =则BP BA ⋅u u u r u u u r的取值范围 是____________【答案】[0,1+【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA =u u u r , (cos ,sin 1)BP αα=+u u u rπcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=+++∈+u u u r u u u r13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组(,,)a b c 的组数为______________ 【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c =(ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c =共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A L 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=u u u r u u u r u u u u r r，则点P 落在第一象限的概率是_______________ 【答案】528 【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )A. 65cos ρθ=+B. 65sin ρθ=+C. 65cos ρθ=-D. 65sin ρθ=- 【答案】D【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且lim n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<- 【答案】B【解析】1(1)1n n a q S q -=-, 11a S q =-, 11q -<<2n S S <，即1(21)0n a q -> 若10a >，则12nq >，不可能成立若10a <，则12nq <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( ) A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩ ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++ ()()()()f x h x f x T h x T +=+++ ()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+ 结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+ 也有()()f x f x T =+ ∴②正确 故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，»AC 长为23π，¼11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则¼111113AO A B B π∠==∴111O A B V 为正三角形∴1113O A B S =V ∴1111111133C O A B O A B V OO S -=⋅=V(2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角） 111BB AA == 连,,BC BO OC»¼113AB A B π==, »23AC π= ∴»3BCπ=∴3BOC π∠=∴BOC V 为正三角形 ∴1BC BO ==∴11tan 1BCBB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

xx2016年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项：1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分。

满分120分，考试时间120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。

卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）1.已知集合，，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因为,,所以.2.已知集合A，B，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】又，“”是“”的必要不充分条件.3.不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，即不等式的解集为.4.若奇函数在上的图像如图所示，则该函数在上的图像可能是（）第4题图GD21GD22GD23GD24GD25【答案】D【解析】因为已知是奇函数，根据奇函数的性质是关于原点对称，根据选项只能选D.5.若实数a>0，则下列等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】Axx，Bxx，Cxx，故D选项正确.6.已知数列是等比数列，其中，，则该数列的公比q等于（）A.B.4D.8【答案】 B【解析】，，，则q=2.7.某职业学校的一个数学兴趣小组有4名男生和3名女生，若从这7名学生中任选3名参加数学竞赛，要求既有男生又有女生，则不同选法的种数是（）A.60B.30 D.10【答案】C【解析】由题知，有两种选法①两名男生一名女生种，②两名女生一名男生种，所以一共有种.8.下列说法正确的是( )A.函数的图像经过点（a,b）B.函数（a>0且a≠1）的图像经过点（1,0）C.函数（a>0且a≠1）的图像经过点（0,1）D.函数（）的图像经过点（1,1）【答案】D【解析】Axx，函数的图像经过点（-a,b）；Bxx，函数（a>0且a≠1）的图像经过点（0,1）；Cxx，函数（a>0且a≠1）的图像经过点（1,0）；Dxx，把点代入，可知图象必经过点.9.如图所示，在平行四边形OABCxx，点A（1，－2），C（3,1），则向量的坐标是（）第9题图GD26A.（4，－1）B.（4,1）C.（1，－4）D.（1,4）【答案】A【解析】A（1，－2），C（3,1），，又，.10.过点P（1,2）与圆相切的直线方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】将点代入圆方程，可知点在圆上，又因为将点代入C,D等式不成立，可排除C,D，又因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，又圆心为（0,0），半径为，即圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，则只有B符合.11.表中数据是我国各种能源消费量占当年能源消费总量的百分率，由表可知，从2011年到2014年，消费量占比增长率最大的能源是（）A.天然气B.核能C.水利发电D.再生能源表我国各种能源消费的百分率【答案】D【解析】根据表1可知，从2011年到2014年，天然气：，核能：，水力发电：，再生能源：，则消费量占比增长率最大的能源是再生能源.12.若角的终边过点，则角的终边与圆的交点坐标是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，所以xx为，设交点为，又因为圆的半径为，因此有，，又因为终边在第二象限，所以选A.13.关于x，y的方程和在同一坐标系中的图象大致是（）GD27GD28GD29GD30【答案】D【解析】当的图象为椭圆时，，则的图象单调递增，且与y轴的截距大于0，A、B均不符；当的图象为双曲线时，当时，双曲线的焦点在y轴上，的图象单调递减，且与y轴的截距大于0；当时，双曲线的焦点在x轴上，的图象单调递增，且与y轴的截距小于0，综上所述，选项D正确.14.已知的二项xx有7项，则xx中二项式系数最大的项的系数是（）A.－280B.－.160D.560【答案】B【解析】的二项xx有7项，，，又xx中二项式系数最大的项为第4项，则，则其系数为.15.若有7名同学排成一排照相，恰好甲、乙两名同学相邻，并且丙、xx两名同学不相邻的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】先利用捆绑法将甲乙进行捆绑并全排列，有种排列方法，将甲乙作为一个整体，除去丙丁将其他人进行全排列，有种排列方法，再利用插空法将丙丁进行插空，有种排列方法；总共有种排列方法，所以概率为.16.函数在一个周期内的图像可能是（）GD31GD34GD32GD33【答案】A【解析】B选项中当，C选项中当时，，D选项中，当.17.在xx，若,则等于（）A.B.C.－2D.2【答案】C【解析】因为，所以是等边三角形，所以各个角均为，.18.如图所示，若满足约束条件则目标函数的最大值是（）第18题图 GD35A.7B.3D.1【答案】B【解析】由图可知，目标函数在点（2,2）处取得最大值，即.19.已知表示平面，表示直线，下列结论正确的是（）A.若则B.若C.若D.若16.D【解析】A,B,C选项,直线l与m相交、平行、异面都有可能；D选项，∵，∴存在一个平面，使得且，∵∴，.20.已知椭圆的焦点分别是,点在椭圆上，如果,那么点到轴的距离是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】椭圆，即，设点的坐标为，又，点又在以原点为圆心，半径为2的圆上，圆方程为，即①，又②，联立①②得，点到轴的距离是.卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.已知，则的值是.【答案】【解析】分式上下同除以得，把代入得原式=2.22.若表面积为6的正方体内接于球，则该球的表面积等于.【答案】【解析】设正方体的边长为，，则边长为，所以正方体上下两个面的斜线长为，则圆的直径为，.23.如果抛物线上的点M到y轴的距离是3，那么点M到该抛物线焦点F的距离是.【答案】【解析】因为抛物线上的点M到y轴的距离是3，所以点的横坐标为3，再将代入得到，所以点，又因为，准线，则点M到该抛物线焦点F的距离是5.24.某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有350名，若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.32.现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出名.【答案】33【解析】恰好选到二年级学生的概率是0.32，恰好选到一年级学生的概率是0.35，则选到三年级学生的概率是1-0.35-0.32=0.33，那么需要从三年级抽取100×0.33=33人.25.设命题p；函数在上是减函数；命题q：.若是真命题，是假命题，则实数a的取值范围是.【答案】或【解析】是真命题，是假命题，pq同为真或pq同为假，当pq同为真时，函数在上是减函数，函数的对称轴为，即，，即xx成立，设，即，则；同理，当pq同为假时，或，综上所述得，实数a的取值范围为或.三、解答题（本大题5小题，共40分）26.（本小题6分）已知某xx2015年底的人口总数为200万，假设此后该xx人口的年增长率为1%（不考虑其他因素）.（1）若经过x年该xx人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式；（2）如果该xx人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年（精确到1年）？【解】（1）由题意可得；（2）如果该xx人口总数达到210万，则，那么至少需要经过5年.27.（本小题8分）已知数列的前n项和.求：（1）第二项；（2）通项公式.【解】（1）因为，所以，，，所以.（ 2 ），.28.（本小题8分）如图所示，已知四边形ABCD是圆柱的轴截面，是下底面圆周上不与点重合的点.（1）求证：平面DMB平面DAM；（2）若是等腰三角形，求该圆柱与三棱锥D-AMB体积的比值.GD36第28题图【解】（1）∵是下底面圆周上不与点重合的点,∴在一个平面上，又∵四边形是圆柱的轴截面，∴边过圆心，平面,,根据定理以直径为斜边的三角形为直角三角形，所以,∵平面,且,∴平面,又∵平面，∴平面平面.（2）设底面圆的半径为，圆柱的高为，又∵是等腰直角三角形，所以两个直角边长为，所以，所以，所以.29.（本小题8分）如图所示，要测量xx两岸P，Q两点之间的距离，在与点P同侧的岸边选取了A,B两点（A,B,P,Q四点在同一平面内），并测得AP=，BP=，，，.试求P，Q两点之间的距离.SH17第29题图【解】连接AB，又，AP=，BP=，则，则，又，，，在xx，由正弦定理得，，即，在中，由余弦定理得，，，P，Q两点之间的距离为米.30.（本小题10分）如图所示，已知双曲线的中心在坐标原点O，焦点分别是，且双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2.（1）求该双曲线的标准方程、离心率及渐近线方程；（2）若直线l经过双曲线的右焦点，并与双曲线交于M,N两点，向量是直线l的法向量，点P是双曲线左支上的一个动点.求面积的最小值.GD39第30题图【解】（1）根据题意设双曲线的标准方程为，双曲线上的任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于2，，即，则该双曲线的标准方程为，离心率，渐近线方程为；（2）向量是直线l的法向量，直线的斜率，又直线l经过双曲线的右焦点，即直线l的方程为，设，又双曲线的方程为，即，，则，要使面积的最小值，即点P到直线l的距离最小，则点P坐标为，，则.。

绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学(文史类)考生注意：1. 本试卷共6页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2. 本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______.2. 设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于_______.3. 已知平行直线1210l x y +-=：，2210l x y ++=：，则1l 与2l 的距离是_______. 4. 某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是_______（米）.5. 若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =_______.6. 已知点3,9（）在函数()1x f x a =+的图象上，则()f x 的反函数1()f x -=_______.7. 若x ，y 满足0,0,1,x y y x ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≥则2x y -的最大值为_______.8. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为_______.9.在2)n x的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______.10. 已知ABC △的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于_______. 11. 某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为_______.12. 如图，已知点()0,0O ，()1.0A ，1(0,)B -，P是曲线y OP BA uu u r uu rg 的取值范围是 .13. 设0a >，0b >.若关于x ,y 的方程组1,1,ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是 . 14. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意的*n ∈N ，{23}n S ∈，则k 的最大值为 .二、选择题（本大题共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 设a ∈R ,则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件16. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为BC ，1BB的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是( )A. 直线1AAB. 直线11A BC. 直线11A DD. 直线11B C17. 设a ∈R ，[0,2π)b ∈.若对任意实数x 都有πsin(3)=3x -sin()ax b +，则满足条件的有序实数对(),a b 的对数为( )A. 1B. 2C. 3D. 418. 设()f x ，()g x ，()h x 是定义域为R 的三个函数.对于命题：①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是增函数，则()f x ，()g x ，()h x 均是增函数；②若()()f x g x +，()f x +()h x ，()g x +()h x 均是以T 为周期的函数，则()f x ，()g x ，()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共有5小题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为56π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧. （Ⅰ）求圆柱的体积与侧面积；（Ⅱ）求异面直线11O B 与OC 所成的角的大小.-----------在-------------------此-------------------卷-------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效------------姓名________________ 准考证号_____________20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.有一块正方形菜地EFGH ，EH 所在直线是一条小河.收获的蔬菜可送到F 点或河边运走.于是，菜地分为两个区域1S 和2S ，其中1S 中的蔬菜运到河边较近，2S 中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内1S 和2S 的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等.现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为10（,），如图.（Ⅰ）求菜地内的分界线C 的方程；（Ⅱ）菜农从蔬菜运量估计出1S 面积是2S 面积的两倍，由此得到1S 面积的“经验值”为83.设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边、另有一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判别哪一个更接近于1S 面积的“经验值”.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=＞的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线交于A ，B 两点.（Ⅰ）若l 的倾斜角为2π，1F AB △是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；（Ⅱ）设b 若l 的斜率存在，且||4AB =，求l 的斜率.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.对于无穷数列{}n a 与{}n b ，记*{|=}n A xx a n =∈N ，，*{|=}n B x x b n =∈N ，，若同时满足条件：①{}n a ，{}n b 均单调递增；②A B =∅且*AB =N ，则称{}n a 与{}n b 是无穷互补数列.（Ⅰ）若=21n a n -，=42n b n -，判断{}n a 与{}n b 是否为无穷互补数列，并说明理由； （Ⅱ）若2nn a =且{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，求数列{}n b 的前16项的和； （III ）若{}n a 与{}n b 是无穷互补数列，{}n a 为等差数列且16=36a ，求{}n a 与{}n b 的通项公式.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知a ∈R ，函数21()log ()f x a x=+. （Ⅰ）当1a =时，解不等式()1f x >；（Ⅱ）若关于x 的方程22()log )0(f x x +=的解集中恰有一个元素，求a 的值；（III ）设0a >，若对任意1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.，则(cos OP =，又(1,1)BA =所以cos 2]OP BA α=.【提示】先利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，再利用三角函数的图象和性质，得到OP BA 的取值范围,0,0，从而可看出)][x T hA B，从而。

2016年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷2016.1一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是 ； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为 ； 4.函数()f x =的定义域为 ；5. 三阶行列式135400121--中，元素5的代数余子式的值为 ； 6. 函数1()f x a x=+的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ︒=，45B ︒=，BC =AC = ；8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示）9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为13，则{}n a 的各项和为 ； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程250x ax ++=的一个虚根，则a = ；11. 函数221y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围 是 ；12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆22650x y x +-+=上的两个动点，且满足||AB =||OA OB +的最小值为 ；二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（ ） A. π B.43π C. 2π D. 4π 15. 在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ ） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20 16. 幂函数2y x -=的大致图像是（ ）A. B. C. D.17. 已知向量(1,0)a =，(1,2)b =，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A. 1 B. 2 C. (1,0) D. (0,2) 18. 设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（ ） A. 直线l 平行于直线m B. 直线l 与直线m 异面 C. 直线l 与直线m 没有公共点 D. 直线l 与直线m 不垂直19. 用数学归纳法证明等式2123...22n n n ++++=+*()n N ∈的第（ii ）步中，假设n k = 时原等式成立，那么在1n k =+时，需要证明的等式为（ ） A. 22123...22(1)22(1)(1)k k k k k k ++++++=+++++ B. 2123...22(1)2(1)(1)k k k k ++++++=+++C. 22123...2(21)2(1)22(1)(1)k k k k k k k ++++++++=+++++ D. 2123...2(21)2(1)2(1)(1)k k k k k ++++++++=+++20. 关于双曲线221164x y -=与221164y x -=的焦距和渐近线，下列说法正确的是（ ） A. 焦距相等，渐近线相同 B. 焦距相等，渐近线不相同 C. 焦距不相等，渐近线相同 D. 焦距不相等，渐近线不相同21. 设函数()y f x =的定义域为R ，则“(0)0f =”是“()y f x =为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件22. 下列关于实数a 、b 的不等式中，不恒成立的是（ ）A. 222a b ab +≥B. 222a b ab +≥-C. 2()2a b ab +≥D. 2()2a b ab +≥-23. 设单位向量1e 与2e 既不平行也不垂直，对非零向量1112a x e y e =+，2122b x e y e =+， 有结论：① 若12210x y x y -=，则a ∥b ；② 若12120x x y y +=，则a b ⊥；关于以上两个结论，正确的判断是（ ）A. ①成立，②不成立B. ①不成立，②成立C. ①成立，②成立D. ①不成立，②不成立24. 对于椭圆22(,)22:1a b x y C a b +=(,0,)a b a b >≠，若点00(,)x y 满足2200221x y a b+<，则称该点在椭圆(,)a b C 内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点(2,1)的任意椭圆(,)a b C 内或椭圆(,)a b C 上，则满足条件的点A 构成的图形为（ ）A. 三角形及其内部B. 矩形及其内部C. 圆及其内部D. 椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为，底面边长为3，求异面直线1BC 与AC 所成的角的大小；26. 已知函数()sin f x x x =+，求()f x 的最小正周期及最大值，并指出()f x 取得 最大值时x 的值；27. 如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的 轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处，已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射 镜的顶点O 的距离；28. 已知数列{}n a 是公差为2的等差数列； （1）若1a 、3a 、4a 成等比数列，求1a 的值；（2）设119a =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足11b =，11()2n n n b b +-=，记12n n n n c S b -=+⋅()n N *∈，求数列{}n c 的最小值0n c ；（即0n n c c ≤对任意n N *∈成立）29. 对于函数()f x 与()g x ，记集合{|()()}f g D x f x g x >=>； （1）设()2||f x x =，()3g x x =+，求f g D >；（2）设1()1f x x =-，21()()313x x f x a =+⋅+，()0h x =，如果12f h f h D D R >>=，求实数a 的取值范围；附加题一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）1. 若函数()sin()f x x ϕ=+是偶函数，则ϕ的一个值是（ ） A. 0 B.2πC. πD. 2π 2. 在复平面上，满足|1|4z -=的复数z 所对应的点的轨迹是（ ） A. 两个点 B. 一条线段 C. 两条直线 D. 一个圆3. 已知函数()f x 的图像是折线段ABCDE ，如图，其中(1,2)A 、(2,1)B 、(3,2)C 、(4,1)D 、(5,2)E ，若直线y kx b =+(,)k b R ∈与()f x 的图像恰有4个不同的公共点，则k 的取值范围是（ ）A. (1,0)(0,1)- B. 11(,)33-C. (0,1]D. 1[0,]3二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）4. 椭圆221259x y +=的长半轴的长为 ； 5. 已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为 ； 6. 小明用数列{}n a 记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天 下过雨时，记1k a =，当第k 天没下过雨时，记1k a =-(131)k ≤≤；他用数列{}n b 记录该 地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记1k b =，当预报第k 天 没有雨时，记1k b =-(131)k ≤≤；记录完毕后，小明计算出1122333131...a b a b a b a b ++++25=，那么该月气象台预报准确的总天数为 ；三. 解答题（本大题12分）7. 对于数列{}n a 与{}n b ，若对数列{}n c 的每一项k c ，均有k k c a =或k k c b =，则称数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”；（1）设数列{}n a 与{}n b 的前三项分别为11a =，23a =，35a =，11b =，22b =，33b =， 若数列{}n c 是{}n a 与{}n b 的一个“并数列”，求所有可能的有序数组123(,,)c c c ； （2）已知数列{}n a 、{}n c 均为等差数列，{}n a 的公差为1，首项为正整数t ，{}n c 的前 10项和为30-，前20项和为260-，若存在唯一的数列{}n b ，使得{}n c 是{}n a 与{}n b 的 一个“并数列”，求t 的值所构成的集合；WORD 完整版----可编辑----教育资料分享参考答案一. 填空题1. 3；2. 7；3.4π； 4. [2,)+∞；5. 8；6. 1；7.8. 24；9. 3； 10. 4-； 11. [1,2]； 12. 4；二. 选择题13. B ； 14. D ； 15. C ； 16. C ； 17. A ； 18. C ；WORD 完整版----可编辑----教育资料分享19. D ； 20. B ； 21. B ； 22. D ； 23. A ； 24. B ；三. 解答题25. 34arccos 10h θ=⇒=； 26. 2T π=，当26x k ππ=+()k Z ∈时，有max 2y =；27. 214.4|| 3.6y x OF cm =⇒=；28.（1）18a =-；（2）22021nn c n n =-+-，min 449c c ==-；29.（1）(,1)(3,)f g D >=-∞-+∞；（2）49a >-；附加题1. B ；2. D ；3. B ；4. 5；5. 50π；6. 28；7.（1）(1,3,5)，(1,3,3)，(1,2,5)，(1,2,3)； （2）*{|3,6,}t t t t N ≠≠∈；。

2016上海春考数学试卷(含答案解析)2016年上海市春季高考数学试卷一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i 为虚数单位）的实部是．2．若log 2（x+1）=3，则x= ．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为4．函数的定义域为．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为6．函数的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=．7．在△ABC 中，若A=30°，B=45°，，则AC=8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为（结果用数值表示）． 9．无穷等比数列{an }的首项为2，公比为，则{an }的各项的和为． 10．若2+i（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m ]上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆x 2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为．二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sin α＞0，且tan α＜0，则角α的终边位于（）A ．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．半径为1的球的表面积为（）A ．πB ．C ．2πD ．4π15．在（1+x）6的二项展开式中，x 2项的系数为（）A ．2B ．6C ．15D ．2016．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A ．B ．C ． D．17．已知向量，，则向量在向量方向上的投影为（） A ．1 B ．2C ．（1，0）D ．（0，2）18．设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（）A ．直线l 平行于直线mB ．直线l 与直线m 异面C ．直线l 与直线m 没有公共点 D．直线l 与直线m 不垂直19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n ∈N *）的第（ii ）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A ．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B ．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C ．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D ．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（） A ．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C ．焦距不相等，渐近线相同D ．焦距不相等，渐近线不相同21．设函数y=f（x ）的定义域为R ，则“f （0）=0”是“函数f （x ）为奇函数”的（） A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C ．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件22．下列关于实数a ，b 的不等式中，不恒成立的是（）A ．a 2+b2≥2abB ．a 2+b2≥﹣2abC ．D ．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、有结论：①若x 1y 2﹣x 2y 1=0，则②若x 1x 2+y1y 2=0，则；．关于以上两个结论，正确的判断是（）A ．①成立，②不成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立24．对于椭圆y 0）．若点（x 0，满足．则称该点在椭圆C （a ，b ）内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则满足条件的点A 构成的图形为（）A ．三角形及其内部B ．矩形及其内部C ．圆及其内部D ．椭圆及其内部三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）25．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．26．已知函数，求f （x ）的最小正周期及最大值，并指出f （x ）取得最大值时x 的值．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处．已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离．28．已知数列{an }是公差为2的等差数列．（1）a 1，a 3，a 4成等比数列，求a 1的值；（2）设a 1=﹣19，数列{an }的前n 项和为S n ．数列{bn }满足记（n ∈N *），求数列{cn }的最小项（即，对任意n ∈N *成立）．29．对于函数f （x ），g （x ），记集合D f ＞g ={x|f（x ）＞g（x ）}．（1）设f （x ）=2|x|，g （x ）=x+3，求D f ＞g ；（2）设f 1（x ）=x﹣1，，h （x ）=0，如果．求实数a 的取值范围．二卷一. 选择题：30．若函数f （x ）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（）A ．0B ．C ．πD ．2π31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z 的所对应的轨迹是（）A ．两个点B ．一条线段 C．两条直线 D．一个圆32．已知函数y=f（x ）的图象是折线ABCDE ，如图，其中A （1，2），B （2，1），C （3，2），D （4，1），E （5，2），若直线y=kx+b与y=f（x ）的图象恰有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（）A ．（﹣1，0）∪（0，1）B ．二. 填空题：33．椭圆 C ．（0，1] D ．的长半轴的长为．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为35．小明用数列{an }记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k =1，当第k 天没下过雨时，记a k =﹣1（1≤k ≤31），他用数列{bn }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b n =1，当预报第k 天没有雨时，记b n =﹣1记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a2b 2+a3b 3+…+a31b 31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为．三. 解答题：36．对于数列{an }与{bn }，若对数列{cn }的每一项c n ，均有c k =ak 或c k =bk ，则称数列{cn }是{an }与{bn }的一个“并数列”．（1）设数列{an }与{bn }的前三项分别为a 1=1，a 2=3，a 3=5，b 1=1，b 2=2，b 3=3，若{cn }是{an }与{bn }一个“并数列”求所有可能的有序数组（c 1，c 2，c 3）；（2）已知数列{an }，{cn }均为等差数列，{an }的公差为1，首项为正整数t ；{cn }的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{bn }，使得{cn }是{an }与{bn }的一个“并数列”，求t 的值所构成的集合．2016年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）1．复数3+4i（i 为虚数单位）的实部是3．【考点】复数的基本概念．【分析】根据复数的定义判断即可．【解答】解：复数3+4i（i 为虚数单位）的实部是3，故答案为：3．2．若log 2（x+1）=3，则x= 7 ．【考点】对数的运算性质；函数的零点．【分析】直接利用对数运算法则化简求解即可．【解答】解：log 2（x+1）=3，可得x+1=8，解得x=7．故答案为：7．3．直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为．【考点】两直线的夹角与到角问题．【分析】由题意可得直线的斜率，可得倾斜角，进而可得直线的夹角．【解答】解：∵直线y=x﹣1的斜率为1，故倾斜角为又∵直线y=2的倾斜角为0，故直线y=x﹣1与直线y=2的夹角为故答案为：4．函数的定义域为[2+．．，，【考点】函数的定义域及其求法．【分析】直接由根式内部的代数式大于等于0求解即可．【解答】解：由x ﹣2≥0得，x ≥2．∴原函数的定义域为[2，+∞）．故答案为[2，+∞）．5．三阶行列式中，元素5的代数余子式的值为8．【考点】高阶矩阵．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第1行第3列后所余下的2阶行列式带上符号（﹣1）i+j，求出其表达式的值即可．【解答】解：元素5的代数余子式为：（﹣1）1+3|∴元素5的代数余子式的值为8．故答案为：8．6．函数【考点】反函数．【分析】由于函数经过点（1，2），即可得出．【解答】解：∵函数∴函数的反函数的图象经过点（2，1），的反函数的图象经过点（2，1），可得函数的图象的反函数的图象经过点（2，1），则实数a=1． |=（4×2+1×0）=8．的图象经过点（1，2），∴2=+a，解得a=1．故答案为：1．7．在△ABC 中，若A=30°，B=45°，【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理即可计算求解．【解答】解：∵A=30°，B=45°，，，则AC=．∴由正弦定理，可得：AC===2．故答案为：2．8．4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为24（结果用数值表示）．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，由排列数公式直接计算即可．【解答】解：4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为A 44=24种，故答案为：24．9．无穷等比数列{an }的首项为2，公比为，则{an }的各项的和为3．【考点】等比数列的前n 项和．【分析】{an }的各项的和=，即可得出．【解答】解：{an }的各项的和为： ==3．故答案为：3．10．若2+i（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，则a=﹣4 ．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】2+i（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax+5=0的一个虚根，则2﹣i （i 为虚数单位）也是关于x 的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵2+i（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程x2+ax+5=0的一个虚根，∴2﹣i （i 为虚数单位）也是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax+5=0的一个虚根，∴2+i+（2﹣i ）=﹣a ，解得a=﹣4．则a=﹣4．故答案为：﹣4．11．函数y=x2﹣2x+1在区间[0，m ]上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围是．【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】根据二次函数的性质得出【解答】解：∵f （x ）=x2﹣2x+1=（x ﹣1）2，∴对称轴x=1，∴f （1）=0，f （2）=1，f （0）=1，∵f （x ）=x2﹣2x+2在区间[0，m ]上的最大值为1，最小值为0，∴，，求解即可．∴1≤m ≤2，故答案为：1≤m ≤2．12．在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 是圆x 2+y2﹣6x+5=0上的两个动点，且满足，则的最小值为 4 ．【考点】直线与圆的位置关系；向量的三角形法则．【分析】本题可利用AB 中点M 去研究，先通过坐标关系，将转化为，用根据AB=2，得到M 点的轨迹，由图形的几何特征，求出模的最小值，得到本题答案．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），AB 中点M （x ′，y ′）．∵x ′=，y ′=，∴=（x 1+x2，y 1+y2）=2，∵圆C ：x 2+y2﹣6x+5=0，∴（x ﹣3）2+y2=4，圆心C （3，0），半径CA=2．∵点A ，B 在圆C 上，AB=2，∴CA 2﹣CM 2=（AB ）2，即CM=1．点M 在以C 为圆心，半径r=1的圆上．∴OM ≥OC ﹣r=3﹣1=2．≥4，∴||≥2，∴∴的最小值为4．故答案为：4．二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分）13．若sin α＞0，且tan α＜0，则角α的终边位于（）A ．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】象限角、轴线角．【分析】由sin α＞0，则角α的终边位于一二象限，由tan α＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．【解答】解：∵sin α＞0，则角α的终边位于一二象限，∵由tan α＜0，∴角α的终边位于二四象限，∴角α的终边位于第二象限．故选择B ．14．半径为1的球的表面积为（）A ．πB ．C ．2πD ．4π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用球的表面积公式S=4πR 2解答即可求得答案．【解答】解：半径为1的球的表面积为4π×12=4π，故选：D ．15．在（1+x）6的二项展开式中，x 2项的系数为（）A ．2B ．6C ．15D ．20【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项展开式的通项公式求出展开式的特定项即可．【解答】解：（1+x）6的二项展开式中，通项公式为：T r+1=•16﹣r •x r ，令r=2，得展开式中x 2的系数为：=15．故选：C ．16．幂函数y=x﹣2的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】利用负指数幂的定义转换函数，根据函数定义域，利用排除法得出选项．【解答】解：幂函数y=x﹣2=可排除A ，B ；值域为（0，+∞）可排除D ，故选：C ．17．已知向量A ．1B ．2 ，，则向量在向量方向上的投影为（），定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），C ．（1，0）D ．（0，2）【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的投影公式计算．=1， =1，||=，【解答】解：∴向量在向量方向上的投影=1．故选：A ．18．设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么（）A ．直线l 平行于直线mB ．直线l 与直线m 异面C ．直线l 与直线m 没有公共点 D．直线l 与直线m 不垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】由已知中直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，可得直线l 与直线m 异面或平行，进而得到答案．【解答】解：∵直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，∴直线l 与直线m 异面或平行，即直线l 与直线m 没有公共点，故选：C ．19．在用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n（n ∈N *）的第（ii ）步中，假设n=k时原等式成立，那么在n=k+1时需要证明的等式为（）A ．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）B ．1+2+3+…+2k+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）C ．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2k2+k+2（k+1）2+（k+1）D ．1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）【考点】数学归纳法．【分析】由数学归纳法可知n=k时，1+2+3+…+2k=2k2+k，到n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），从而可得答案．【解答】解：∵用数学归纳法证明等式1+2+3+…+2n=2n2+n时，当n=1左边所得的项是1+2；假设n=k时，命题成立，1+2+3+…+2k=2k2+k，则当n=k+1时，左端为1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1），∴从“k→k+1”需增添的项是2k+1+2（k+1），∴1+2+3+…+2k+2k+1+2（k+1）=2（k+1）2+（k+1）．故选：D ．20．关于双曲线与的焦距和渐近线，下列说法正确的是（）A ．焦距相等，渐近线相同 B．焦距相等，渐近线不相同C ．焦距不相等，渐近线相同D ．焦距不相等，渐近线不相同【考点】双曲线的简单性质．【分析】分别求得双曲线的焦点的位置，求得焦点坐标和渐近线方程，即可判断它们焦距相等，但渐近线不同．【解答】解：双曲线可得焦点为（±的焦点在x 轴上，，0），即为（±2，0），渐近线方程为y=±x ；的焦点在y 轴上，可得焦点为（0，±2），渐近线方程为y=±2x ．可得两双曲线具有相等的焦距，但渐近线不同．故选：B ．21．设函数y=f（x ）的定义域为R ，则“f （0）=0”是“函数f （x ）为奇函数”的（） A ．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数y=f（x ）的定义域为R ，若函数f （x ）为奇函数，则f （0）=0，反之不成立，例如f （x ）=x2．即可判断出结论．【解答】解：函数y=f（x ）的定义域为R ，若函数f （x ）为奇函数，则f （0）=0，反之不成立，例如f （x ）=x2．∴“f （0）=0”是“函数f （x ）为奇函数”的必要不充分条件．故选：B ．22．下列关于实数a ，b 的不等式中，不恒成立的是（） A ．a2+b2≥2a b B ．a 2+b2≥﹣2ab C ．【考点】不等式的基本性质．【分析】根据级别不等式的性质分别判断即可．【解答】解：对于A ：a 2+b2﹣2ab=（a ﹣b ）2≥0，故A 恒成立；对于B ：a 2+b2+2ab=（a+b）2≥0，故B 恒成立；对于C ：故选：D ．23．设单位向量与既不平行也不垂直，对非零向量、﹣ab=≥0，故C 恒成立；D 不恒成立；D ．有结论：①若x 1y 2﹣x 2y 1=0，则②若x 1x 2+y1y 2=0，则；．关于以上两个结论，正确的判断是（）A ．①成立，②不成立B ．①不成立，②成立C ．①成立，②成立D ．①不成立，②不成立【考点】向量的线性运算性质及几何意义．①假设存在实数λ使得=【分析】与，则=λ，由于向量既不平行也不垂直，可得x 1=λx 2，y 1=λy 2，即可判断出结论．=（，无法得到）•=0，因此，则=x1x 2+y1y 2+（x 2y 1+x1y 2）不一定正确． =λ，∵向量②若x 1x 2+y1y 2=0，则=（x 2y 1+x1y 2）【解答】解：①假设存在实数λ使得=与既不平行也不垂直，∴x 1=λx 2，y 1=λy 2，．满足x 1y 2﹣x 2y 1=0，因此②若x 1x 2+y1y 2=0，则=（，无法得到）•=0，因此=x1x 2+y1y 2+（x 2y 1+x1y 2）不一定正确．=（x 2y 1+x1y 2）故选：A ．24．对于椭圆y 0）．若点（x 0，满足．则称该点在椭圆C （a ，b ）内，在平面直角坐标系中，若点A 在过点（2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则满足条件的点A 构成的图形为（） A ．三角形及其内部 B ．矩形及其内部 C ．圆及其内部 D ．椭圆及其内部【考点】椭圆的简单性质．y 0）1）【分析】点A （x 0，在过点P （2，的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，可得=1，+≤1．由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，即可得出．【解答】解：设点A （x 0，y 0）在过点P （2，1）的任意椭圆C （a ，b ）内或椭圆C （a ，b ）上，则=1，+≤1．∴+≤=1，由椭圆的对称性可知：点B （﹣2，1），点C （﹣2，﹣1），点D （2，﹣1），都在任意椭圆上，可知：满足条件的点A 构成的图形为矩形PBCD 及其内部．故选：B ．三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分） 25．如图，已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，求异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积求出高，由A 1C 1与AC 平行，得∠BC 1A 1是异面直线BC 1与AC 所成的角，由此利用余弦定理能求出异面直线BC 1与AC 所成的角的大小．【解答】解：∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积为，底面边长为3，∴，解得h=4，∵A 1C 1与AC 平行，∴∠BC 1A 1是异面直线BC 1与AC 所成的角，在△A 1BC 1中，A 1C 1=3，BC 1=BA1=5，∴cos ∠BC 1A 1=∴∠BC 1A 1=arccos ．．=．∴异面直线BC 1与AC 所成的角的大小为arccos26．已知函数最大值时x 的值．，求f （x ）的最小正周期及最大值，并指出f （x ）取得【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的图象．【分析】由条件利用两角和的正弦公式化简f （x ）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最大值，得出结论．【解答】解：∵函数的最大值为2，且函数取得最大值时，x+，∴函数的周期为T=2π， =2kπ+，即x=2kπ+，k ∈Z ．27．如图，汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点F 处．已知灯口直径是24cm ，灯深10cm ，求灯泡与反射镜的顶点O 的距离．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先设出抛物线的标准方程y 2=2px（p ＞0），点（10，12）代入抛物线方程求得p ，进而求得，即灯泡与反光镜的顶点的距离．【解答】解：建立平面直角坐标系，以O 为坐标原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴，如图所示：则：设抛物线方程为y 2=2px（p ＞0），点（10，12）在抛物线y 2=2px 上，∴144=2p×10．∴=3.6．∴灯泡与反射镜的顶点O 的距离3.6cm ．28．已知数列{an }是公差为2的等差数列．（1）a 1，a 3，a 4成等比数列，求a 1的值；（2）设a 1=﹣19，数列{an }的前n 项和为S n ．数列{bn }满足记（n ∈N *），求数列{cn }的最小项（即，对任意n ∈N *成立）．【考点】等差数列的前n 项和；等比数列的通项公式．【分析】（1）利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出首项a 1的值．（2）由已知利用累加法能求出b n =2﹣（）n ﹣1．从而能求出c n ﹣c n ﹣1=2n﹣19+2n ，由此能求出数列{cn }的最小项．【解答】解：（1）∵数列{an }是公差为2的等差数列．a 1，a 3，a 4成等比数列，∴．解得d=2，a 1=﹣8（2）b n =b1+（b 2﹣b 1）+（b 3﹣b 2）+…+（b n ﹣b n ﹣1） =1+ ==2﹣（）n ﹣1．，，=2n﹣19+2n由题意n ≥9，上式大于零，即c 9＜c 10＜…＜c n ，进一步，2n+2n 是关于n 的增函数，∵2×4+24=24＞19，2×3+23=14＜19，∴c 1＞c 2＞c 3＞c 4＜c 5＜…＜c 9＜c 10＜…＜c n ，∴29．对于函数f （x ），g （x ），记集合D f ＞g ={x|f（x ）＞g（x ）}．（1）设f （x ）=2|x|，g （x ）=x+3，求D f ＞g ；（2）设f 1（x ）=x﹣1，实数a 的取值范围．【考点】其他不等式的解法；集合的表示法．【分析】（1）直接根据新定义解不等式即可，（2）方法一：由题意可得则在R 上恒成立，分类讨论，即可求出a 的，h （x ）=0，如果．求取值范围，方法二：够造函数，求出函数的最值，即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）由2|x|＞x+3，得D f ＞g ={x|x＜﹣1或x ＞3}；（2）方法一：由则令∴a ≥0时成立．以下只讨论a ＜0的情况对于，=t＞0，t 2+t+a＞0，解得t ＜或t ＞，（a ＜0）在R 上恒成立，，a ＞﹣t 2﹣t ，，，，，又t ＞0，所以，∴=综上所述：方法二（2）由，，a ≥0．显然恒成立，即x ∈Ra ＜0时，令所以综上所述：，在x ≤1上恒成立，，二卷一. 选择题：30．若函数f （x ）=sin（x+φ）是偶函数，则ϕ的一个值是（） A ．0B ．C ．πD ．2π【考点】正弦函数的图象．【分析】由函数的奇偶性可得φ的取值范围，结合选项验证可得．【解答】解：∵函数f （x ）=sin（x+φ）是偶函数，∴f （﹣x ）=f（x ），即sin （﹣x+φ）=sin（x+φ），∴（﹣x+φ）=x+φ+2kπ或﹣x+φ+x+φ=π+2kπ，k∈Z ，当（﹣x+φ）=x+φ+2kπ时，可得x=﹣k π，不满足函数定义；当﹣x+φ+x+φ=π+2kπ时，φ=kπ+，k ∈Z ，结合选项可得B 为正确答案．故选：B ．31．在复平面上，满足|z﹣1|=4的复数z 的所对应的轨迹是（） A ．两个点 B ．一条线段 C．两条直线 D．一个圆【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】设z=x+yi，得到|x+yi﹣1|=【解答】解：设z=x+yi，则|x+yi﹣1|=∴（x ﹣1）2+y2=16，=4，从而求出其运动轨迹．=4，∴运动轨迹是圆，故选：D ．32．已知函数y=f（x ）的图象是折线ABCDE ，如图，其中A （1，2），B （2，1），C （3，2），D （4，1），E （5，2），若直线y=kx+b与y=f（x ）的图象恰有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（）A ．（﹣1，0）∪（0，1）B ．C ．（0，1]D ．【考点】函数的图象．【分析】根据图象使用特殊值验证，使用排除法得出答案．【解答】解；当k=0，1＜b ＜2时，显然直线y=b与f （x ）图象交于四点，故k 可以取0，排除A ，C ；作直线BE ，则k BE =，直线BE 与f （x ）图象交于三点，平行移动直线BD 可发现直线与f （x ）图象最多交于三点，即直线y=故选B ．与f （x ）图象最多交于三点，∴k ≠．排除D ．二. 填空题： 33．椭圆的长半轴的长为5【考点】椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆性质求解．【解答】解：椭圆中，a=5，∴椭圆的长半轴长a=5．故答案为：5．34．已知圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥的侧面积为50π．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据勾股定理得出圆锥的底面半径，代入侧面积公式计算．【解答】解：∵圆锥的母线长为10，母线与轴的夹角为30°，∴圆锥的底面半径为5，∴圆锥的侧面积为π×5×10=50π．故答案为：50π．35．小明用数列{an }记录某地区2015年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k =1，当第k 天没下过雨时，记a k =﹣1（1≤k ≤31），他用数列{bn }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b n =1，当预报第k 天没有雨时，记b n =﹣1记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a2b 2+a3b 3+…+a31b 31=25，那么该月气象台预报准确的总天数为 28 ．【考点】数列的应用．【分析】由题意，气象台预报准确时a k b k =1，不准确时a k b k =﹣1，根据a 1b 1+a2b 2+a3b 3+…+a31b 31=25=28﹣3，即可得出结论．【解答】解：由题意，气象台预报准确时a k b k =1，不准确时a k b k =﹣1，∵a 1b 1+a2b 2+a3b 3+…+a31b 31=25=28﹣3，∴该月气象台预报准确的总天数为28．故答案为：28．三. 解答题：36．对于数列{an }与{bn }，若对数列{cn }的每一项c n ，均有c k =ak 或c k =bk ，则称数列{cn }是{an }与{bn }的一个“并数列”．（1）设数列{an }与{bn }的前三项分别为a 1=1，a 2=3，a 3=5，b 1=1，b 2=2，b 3=3，若{cn }是{an }与{bn }一个“并数列”求所有可能的有序数组（c 1，c 2，c 3）；（2）已知数列{an }，{cn }均为等差数列，{an }的公差为1，首项为正整数t ；{cn }的前10项和为﹣30，前20项的和为﹣260，若存在唯一的数列{bn }，使得{cn }是{an }与{bn }的一个“并数列”，求t 的值所构成的集合．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（1）利用“并数列”的定义即可得出．（2）利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式可得a n ，公差d ，c n ，通过分类讨论即可得出．【解答】解：（1）（1，2，3），（1，2，5），（1，3，3），（1，3，5）；（2）a n =t+n﹣1，设{cn }的前10项和为T n ，T 10=﹣30，T 20=﹣260，得d=﹣2，c 1=6，所以c n =8﹣2n ；c k =ak 或c k =bk ．∴k=1，t=6；或k=2，t=3，所以k ≥3．k ∈N *时，c k =bk ，∵数列{bn }唯一，所以只要b 1，b 2唯一确定即可．显然，t=6，或t=3时，b 1，b 2不唯一，．，2016年7月25日第21页（共21页）。

2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2. 设32i iz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________ 【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________【解析】d ==4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米）【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________【答案】2log (1)x - 【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3， 则该正四棱柱的高等于____________________【答案】【解析】BD =, 123DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+= ∴1sin 2x = ∴π5π,66x =8. 在2nx ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______________ 【答案】112【解析】2256n =， 8n = 通项88433882()(2)r r r r r r C x C x x--⋅⋅-=-⋅ 取2r =常数项为228(2)112C -=9. 已知ABC 的三边长为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于________________【解析】3,5,7a b c ===，2221cos 22a b c C ab +-==-∴sin C =∴2sin c R C ==10. 设0,0a b >>，若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则a b +的取值范围是_____________ 【答案】(2,)+∞【解析】由已知，1ab =，且a b ≠，∴2a b +>=11. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n ∈N ，{2,3}n S ∈，则k 的最大值为___________【答案】412. 在平面直角坐标系中，已知(1,0)A , (0,1)B -, P 是曲线y =则BP BA ⋅ 的取值范围是____________【答案】[0,1 【解析】设(cos ,sin )P αα, [0,π]α∈，(1,1)BA = , (cos ,sin 1)BP αα=+πcos [0,1sin 1)14BP BA ααα⋅=++=+∈+13. 设,,a b ∈R , [0,2π)c ∈，若对任意实数x 都有π2sin(3)sin()3x a bx c -=+，则满足条件的有序实数组 (,,)a b c 的组数为______________【答案】4【解析】(i)若2a =若3b =，则5π3c =； 若3b =-，则4π3c = (ii)若2a =-，若3b =-，则π3c =；若3b =，则2π3c = 共4组14. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A 的中心，1(1,0)A ，任取不同的两点,i j A A ，点P 满足0i j OP OA OA ++= ，则点P 落在第一象限的概率是_______________ 【答案】528【解析】285528C =二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设a ∈R ，则“1a >”是“21a >”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )A. 65cos ρθ=+B. 65sin ρθ=+C. 65cos ρθ=-D. 65sin ρθ=-【答案】D 【解析】π2θ=-时，ρ达到最大17. 已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且l i m n n S S →∞=，下列条件中，使得*2()n S S n <∈N 恒成立的是( )A. 10a >, 0.60.7q <<B. 10a <, 0.70.6q -<<-C. 10a >, 0.70.8q <<D. 10a <, 0.80.7q -<<-【答案】B 【解析】1(1)1n n a q S q -=-, 11a S q =-, 11q -<< 2n S S <，即1(21)0n a q ->若10a >，则12n q >，不可能成立 若10a <，则12n q <，B 成立18. 设(),(),()f x g x h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题:①若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均为增函数，则(),(),()f x g x h x 中至少有一个为增函数；②若()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则(),(),()f x g x h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例2,1)1(3,x x f x x x ≤-+>⎧=⎨⎩, 03,023,21()1,x x x x x x g x ≤-+<+⎧≥=<⎪⎨⎪⎩, 0(0)2,,x h x x x x -=≤>⎧⎨⎩ ②()()()()f x g x f x T g x T +=+++()()()()f x h x f x T h x T +=+++()()()()g x h x g x T h x T +=+++前两式作差，可得()()()()g x h x g x T h x T -=+-+结合第三式，可得()()g x g x T =+, ()()h x h x T =+也有()()f x f x T =+∴②正确故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分）将边长为1的正方形11AA O O （及其内部）绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图， AC 长为23π， 11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AA O O 的同侧 (1) 求三棱锥111C O A B -的体积(2) 求异面直线1B C 与1AA 所成角的大小【解析】(1) 连11O B ，则 111113AO A B B π∠== ∴111O A B 为正三角形∴111O A B S =∴111111113C O A B O A B V OO S -=⋅= (2) 设点1B 在下底面圆周的射影为B ，连1BB ，则11BB AA ∥∴1BB C ∠为直线1B C 与1AA 所成角（或补角）111BB AA ==连,,BC BO OC113AB A B π==, 23AC π= ∴ 3BC π= ∴3BOC π∠= ∴BOC 为正三角形∴1BC BO == ∴11tan 1BC BB C BB ∠== ∴145BB C ∠=︒∴直线1B C 与1AA 所成角大小为45︒20．（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH , EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。

2016年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 【答案】（2,4） 【解析】试题分析：由题意得：1x 31-<-<，解得2x 4<<. 考点：绝对值不等式的基本解法. 2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 【答案】-3 【解析】 试题分析：32i23,Imz=-3.iz i +==- 考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5===考点：主要考查两平行线间距离公式.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 【答案】1.76 【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76. 考点：主要考查了中位数的概念.5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数【答案】2log (x 1)- 【解析】试题分析：将点（3，9）带入函数()xf x 1a =+的解析式得a 2=，所以()xf x 12=+，用y 表示x 得2x log (y 1)=-，所以()12log (f x x 1)-=-.考点：反函数的概念以及指对数式的转化.6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________【答案】【解析】试题分析：由题意得11122tan 33DD DBD DD BD ∠===⇒=。

上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷一•填空题(本大题满分36分)本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。

1.函数y = log2(x + 2)的定义域是 _________________2.方程2v = 8的解是_________________3.抛物线/=8x的准线方程是___________________4.函数y = 2sin x的最小正周期是_________________5.已知向量5 = (1, k),方= (9M —6)。

若万〃方，则实数k= _______________6.函数j = 4sinx + 3cosx的最大值是__________________7.复数2 + 3/ (d是虚数单位)的模是__________________8.在AABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c ,若a = 5,/? = & 3 = 60°,贝ijb二—9.在如图所示的正方体ABCD_A、B\C\D\中，异面直线A/与所成角的大小为 ____________________________ 110.从4名男同学和6名女同学屮随机选取3人参加某社团活动，选岀的3人屮男女同学都有的概率为________ (结果用数值表示)。

11.若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前"项和»二_________________ o12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22X32,所以36的所有正约数之和为(1+3+32)+(2+2X3+2X32)+(22+22X3+22X32)=(1+2+22)(1+3+32)=91参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________________________________二.选择题(本大题满分36分)本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。

2016年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷（文史类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.考点：主要考查两平行线间距离公式.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）【答案】1.76【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，这六个数的中位数是1.75与1.77的平均数，显然为1.76.考点：主要考查了中位数的概念.【解析】试题分析：考点：正弦、余弦定理.11、某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______.【答案】1/6【解析】试题分析：考点：方程组的思想以及基本不等式的应用.【答案】4考点：充要条件16.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为BC、BB1的中点，则下列直线中与直线EF相交的是（）(A)直线AA1(B)直线A1B1(C)直线A1D1(D)直线B1C1【答案】D【解析】试题分析：不一定为增函数，因此①不一定.选D.函数性质考点：1.抽象函数；2.函数的单调性；3.函数的周期性.三、解答题（74分）19.（本题满分12分）将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为5π/6 ，A1B1长为π/3，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小.考点：1.几何体的体积；2.空间的角.20.（本题满分14分）有一块正方形菜地EFGH,EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。

于是，菜地分为两个区域S1和S2，其中S1中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内S1和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O为EF的中点，点F的坐标为（1,0），如图求菜地内的分界线C的方程菜农从蔬菜运量估计出S1面积是S2面积的两倍，由此得到S1面积的“经验值”为8/3。

○…………订…………○班级：___________考号：___________○…………订…………○2016年高考理数真题试卷（上海卷）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题）A.ρ=6+5cosθB.ρ=6+5sinθC.ρ=6﹣5cosθD.ρ=6﹣5sinθ2.已知无穷等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ， 且 lim n→∞S n =S ，下列条件中，使得2S n ＜S （n∈N *）恒成立的是（ ） A.a 1＞0，0.6＜q ＜0.7 B.a 1＜0，﹣0.7＜q ＜﹣0.6 C.a 1＞0，0.7＜q ＜0.8 D.a 1＜0，﹣0.8＜q ＜﹣0.7第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）|x ﹣3|＜1的解集为 ． 4.设Z=3+2ii，其中i 为虚数单位，则Imz= ．5.已知平行直线l 1：2x+y ﹣1=0，l 2：2x+y+1=0，则l 1 ， l 2的距离 ．6.已知点（3，9）在函数f （x ）=1+a x 的图象上，则f （x ）的反函数f ﹣1（x ）= ．7.在正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3，BD 1与底面所成角的大小为arctan23，则该正四棱柱的高等于 ．8.在（ √x 3−2x ）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256，则常数项等于 ．答案第2页，总11页…○…………装…………○……订…………○………※※请※※不※※要※※在※※装※※线※※内※※答※※题※※……○…………装…………○……订…………○………10.设a ＞0，b ＞0，若关于x ，y 的方程组 {ax +y =1x +by =1无解，则a+b 的取值范围为 ．11.无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和，若对任意n∈N * ， S n ∈{2，3}，则k 的最大值为 ．12.在平面直角坐标系中，已知A （1，0），B （0，﹣1），P 是曲线y= √1−x 2 上一个动点，则 BP →• BA →的取值范围是 ．13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形A 1A 2…A 8的中心，A 1（1，0）任取不同的两点A i ， A j ， 点P 满足 OP →+ OA i →+ OA j →= 0→，则点P 落在第一象限的概率是 ．三、解答题（题型注释）14.将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为 23 π，A 1B 1长为 π3 ，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．（1）求三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．15.有一块正方形EFGH ，EH 所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F 点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S 1和S 2 ， 其中S 1中的蔬菜运到河边较近，S 2中的蔬菜运到F 点较近，而菜地内S 1和S 2的分界线C 上的点到河边与到F 点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点O 为EF 的中点，点F 的坐标为（1，0），如图…○…………线…………○…____…○…………线…………○…（1）求菜地内的分界线C 的方程；（2）菜农从蔬菜运量估计出S 1面积是S 2面积的两倍，由此得到S 1面积的经验值为 83 ．设M 是C 上纵坐标为1的点，请计算以EH 为一边，另一边过点M 的矩形的面积，及五边形EOMGH 的面积，并判断哪一个更接近于S 1面积的经验值．16.双曲线x 2﹣ y 2b2 =1（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点．（1）直线l 的倾斜角为 π2 ，△F 1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2）设b= √3 ，若l 的斜率存在，且（ F 1A →+F 1B →）• AB →=0，求l 的斜率． 17.若无穷数列{a n }满足：只要a p =a q （p ，q∈N *），必有a p+1=a q+1 ， 则称{a n }具有性质P ． （1）若{a n }具有性质P ，且a 1=1，a 2=2，a 4=3，a 5=2，a 6+a 7+a 8=21，求a 3； （2）若无穷数列{b n }是等差数列，无穷数列{c n }是公比为正数的等比数列，b 1=c 5=1；b 5=c 1=81，a n =b n +c n ， 判断{a n }是否具有性质P ，并说明理由；（3）设{b n }是无穷数列，已知a n+1=b n +sina n （n∈N *），求证：“对任意a 1 ， {a n }都具有性质P”的充要条件为“{b n }是常数列”．答案第4页，总11页外…………○…………………订…………○…※※请※※不※※※线※※内※※答※※题※※内…………○…………………订…………○…参数答案1.D【解析】1.解：由图形可知：θ=−π2 时，ρ取得最大值，只有D 满足上述条件． 故选：D ． 2.B【解析】2.解：∵S n =a 1(1−q n )1−q ，S= lim n→∞S n =a 11−q ，﹣1＜q ＜1，2S n ＜S ， ∴a 1(2q n -1)>0 ，若a 1＞0，则 q n >12 ，故A 与C 不可能成立；若a 1＜0，则q n <12，故B 成立，D 不成立．故选：B ． 【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的前n 项和公式的相关知识，掌握前项和公式：．3.（2，4）【解析】3.解：∵x∈R，不等式|x ﹣3|＜1， ∴﹣1＜x ﹣3＜1， 解得2＜x ＜4．∴不等式|x ﹣3|＜1的解集为（2，4）． 所以答案是：（2，4）． 4.-3【解析】4.解：∵Z= 3+2i i =3i+2i 2i2 =3i−2−1 =2﹣3i ，∴Imz=﹣3．所以答案是：﹣3．【考点精析】根据题目的已知条件，利用复数的乘法与除法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握设则；．5.2√55外…………○…………装…………○…………………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：________内…………○…………装…………○…………………线…………○…【解析】5.平行直线l 1：2x+y ﹣1=0，l 2：2x+y+1=0，则l 1 ， l 2的距离=||√22+12=2√55． 所以答案是：2√55． 【考点精析】解答此题的关键在于理解两平行线的距离的相关知识，掌握已知两条平行线直线和的一般式方程为：，，则与的距离为．6.log 2（x ﹣1）（x ＞1）【解析】6.解：∵点（3，9）在函数f （x ）=1+a x 的图象上，∴9=1+a 3 ， 解得a=2． ∴f（x ）=1+2x ， 由1+2x =y ，解得x=log 2（y ﹣1），（y ＞1）． 把x 与y 互换可得：f （x ）的反函数f ﹣1（x ）=log 2（x ﹣1）． 所以答案是：log 2（x ﹣1），（x ＞1）． 7.2√2【解析】7.解：∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的侧棱D 1D⊥底面ABCD ， ∴∠D 1BD 为直线BD 1与底面ABCD 所成的角， ∴tan∠D 1BD= 23 ，∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的边长为3， ∴BD=3 √2 ，∴正四棱柱的高=3 √2 × 23 =2 √2 ， 所以答案是：2 √2 ．【考点精析】通过灵活运用棱柱的结构特征，掌握两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形即可以解答此题． 8.112【解析】8.解：∵在（ √x 3﹣ 2x ）n 的二项式中，所有的二项式系数之和为256， ∴2n =256，解得n=8，答案第6页，总11页……外…………○…………装…………○………订…………○……线…………○※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※※※内※※答※※题※※……内…………○…………装…………○………订…………○……线…………○∴（ √x 3﹣ 2x ）8中，T r+1= = ，∴当=0，即r=2时，常数项为T 3=（﹣2）2C 82=112．所以答案是：112． 9.7√33【解析】9.解：可设△ABC 的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣ ，可得sinC== √1−14 = √32 ，可得该三角形的外接圆半径为 c2sinC =2×√32= 7√33 ．所以答案是： 7√33． 10.（2，+∞）【解析】10.解：∵关于x ，y 的方程组{ax +y =1x +by =1无解，∴直线ax+y=1与x+by=1平行， ∵a＞0，b ＞0，∴ a1=1b ≠ 1 ，即a≠1，b≠1，且ab=1，则b= 1a ，则a+b=a+ 1a ，则设f （a ）=a+ 1a ，（a ＞0且a≠1），则函数的导数f′（a ）=1﹣ 1a 2 = a 2−1a 2 ，当0＜a ＜1时，f′（a ）= a 2−1a 2＜0，此时函数为减函数，此时f （a ）＞f （1）=2，当a ＞1时，f′（a ）= a 2−1a 2＞0，此时函数为增函数，f （a ）＞f （1）=2， 综上f （a ）＞2，即a+b 的取值范围是（2，+∞）， 所以答案是：（2，+∞）．【考点精析】掌握基本不等式是解答本题的根本，需要知道基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：．11.4【解析】11.解：对任意n∈N * ， S n ∈{2，3}，可得 当n=1时，a 1=S 1=2或3；若n=2，由S 2∈{2，3}，可得数列的前两项为2，0；或2，1；或3，0；或3，﹣1； 若n=3，由S 3∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1； 若n=4，由S 3∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1； 或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1； 或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1； 或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1； 或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1； …即有n ＞4后一项都为0或1或﹣1，则k 的最大个数为4， 不同的四个数均为2，0，1，﹣1，或3，0，1，﹣1． 所以答案是：4． 12.[0，1+ √2 ]【解析】12.解：∵在平面直角坐标系中，A （1，0），B （0，﹣1），P 是曲线y= √1−x 2 上一个动点，∴设P （cosα，sinα），α∈[0，π]，∴ BA → =（1，1）， BP → =（cosα，sinα+1），BP →·BA →=cosα+sinα+1=√2sin (α+π4)+1 ， ∴ BP →• BA →的取值范围是[0，1+ √2 ]． 所以答案是：[0，1+ √2 ]． 13.528【解析】13.解：从正八边形A 1A 2…A 8的八个顶点中任取两个，基本事件总数为 C 82=28 ． 满足 OP → + OA i → + OA j → = 0→，且点P 落在第一象限，对应的A i ， A j ， 为：（A 4 ， A 7），（A 5 ， A 8），（A 5 ， A 6），（A 6 ， A 7），（A 5 ， A 7）共5种取法．∴点P 落在第一象限的概率是 P= 528，所以答案是： 528 ． 14. （1）解：连结O 1B 1，则∠O 1A 1B 1=∠A 1O 1B 1= π3 ， ∴△O 1A 1B 1为正三角形， ∴ S △O 1A 1B 1 = √34 ，V C−O 1A 1B 1 = 13×OO 1×S △O 1A 1B 1 = √312答案第8页，总11页………装…………○……………线…………请※※不※※要※※在※※装※※订※※………装…………○……………线…………解：设点B 1在下底面圆周的射影为B ，连结BB 1，则BB 1∥AA 1， ∴∠BB 1C 为直线B 1C 与AA 1所成角（或补角）， BB 1=AA 1=1，连结BC 、BO 、OC ，∠AOB=∠A 1O 1B 1= π3 ， ∠AOC =2π3，∴∠BOC= π3 ，∴△BOC 为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB 1C=45°，∴直线B 1C 与AA 1所成角大小为45°．【解析】14.（1）连结O 1B 1 ， 推导出△O 1A 1B 1为正三角形，从而= √34 ，由此能求出三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积．（2）设点B 1在下底面圆周的射影为B ，连结BB 1 ， 则BB 1∥AA 1 ， ∠BB 1C 为直线B 1C 与AA 1所成角（或补角），由此能求出直线B 1C 与AA 1所成角大小．本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．【考点精析】本题主要考查了异面直线及其所成的角的相关知识点，需要掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能正确解答此题． 15. （1）解：设分界线上任意一点为（x ，y ），由题意得|x+1|= √(x −1)2+y 2 ，得y=2 √x ，（0≤x≤1），（2） 解：………线…………○…………线…………○…设M （x 0，y 0），则y 0=1，∴x 0=y 024= 14 ，∴设所表述的矩形面积为S 3，则S 3=2×（ 14 +1）=2× 54 = 52 ，设五边形EMOGH 的面积为S 4，则S 4=S 3﹣S △OMP +S △MGN = 52 ﹣ 12 × 14 ×1+ 12×34×1 = 114 ， S 1﹣S 3= 83−52 = 16 ，S 4﹣S 1= 114 ﹣ 83 = 112 ＜ 16 ，∴五边形EMOGH 的面积更接近S 1的面积．【解析】15.（1）设分界线上任意一点为（x ，y ），根据条件建立方程关系进行求解即可． （2）设M （x 0 ， y 0），则y 0=1，分别求出对应矩形面积，五边形FOMGH 的面积，进行比较即可．本题主要考查圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大． 16. （1）解：双曲线x 2﹣ y 2b2 =1（b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，a=1，c 2=1+b 2，直线l 过F 2且与双曲线交于A ，B 两点， 直线l 的倾斜角为 π2 ，△F 1AB 是等边三角形， 可得：A （c ，b 2），可得： √32×2b 2=2c ， 3b 4=4a 2+b 2，即3b 4﹣b 2﹣4=0， b ＞0，解得b 2= 43 ． 所求双曲线方程为：x 2﹣ 3y 24 =1（2）解：b= √3 ，双曲线x 2﹣ y 23 =1，可得F 1（﹣2，0），F 2（2，0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），直线的斜率为：k= y 2−y1x −x ，答案第10页，总11页直线l 的方程为：y=k （x ﹣2）， 由题意可得： {y =kx −2k x 2−y 23=1，消去y 可得：（3﹣k 2）x 2+4k 2x ﹣4k 2﹣3=0，可得x 1+x 2=﹣4k 23−k 2，则y 1+y 2=k （x 1+x 2﹣4）= k(4k 23−k +4) ．F 1A →=（x 1+2，y 1）， F 1B →=（x 2+2，y 2），（ F 1A →+F 1B →）• AB →=0可得：（x 1+x 2+4，y 1+y 2）•（x 1﹣x 2，y 1﹣y 2）=0， 可得： −x 1+x 2+4y 1+y 2=y 2−y 1x 2−x 1=k ，−−4k 23−k 2+4k(4k 23−k 2−4) ， 可得：k 2=1， 解得k=±1． l 的斜率为：±1【解析】16.（1）利用直线的倾斜角，求出AB ，利用三角形是正三角形，求解b ，即可得到双曲线方程．（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出A 、B 坐标，利用向量的数量积为0，即可求值直线的斜率．本题考查双曲线与直线的位置关系的综合应用，平方差法以及直线与双曲线方程联立求解方法，考查计算能力，转化思想的应用． 17. （1）解：∵a 2=a 5=2，∴a 3=a 6，a 4=a 7=3，∴a 5=a 8=2，a 6=21﹣a 7﹣a 8=16，∴a 3=16（2）解：设无穷数列{b n }的公差为：d ，无穷数列{c n }的公比为q ，则q ＞0， b 5﹣b 1=4d=80，∴d=20，∴b n =20n ﹣19， c 5c 1 =q 4= 181 ，∴q= 13 ，∴c n = (13)n−5∴a n =b n +c n =20n ﹣19+ (13)n−5．∵a 1=a 5=82，而a 2=21+27=48，a 6=101 +13 =3043．a 1=a 5，但是a 2≠a 6，{a n }不具有性质P第11页，总11页（3）解：充分性：若{b n }是常数列， 设b n =C ，则a n+1=C+sina n ，若存在p ，q 使得a p =a q ，则a p+1=C+sina p =C+sina q =a q+1， 故{a n }具有性质P ．必要性：若对于任意a 1，{a n }具有性质P ， 则a 2=b 1+sina 1，设函数f （x ）=x ﹣b 1，g （x ）=sinx ，由f （x ），g （x ）图象可得，对于任意的b 1，二者图象必有一个交点， ∴一定能找到一个a 1，使得a 1﹣b 1=sina 1， ∴a 2=b 1+sina 1=a 1，∴a n =a n+1，故b n+1=a n+2﹣sina n+1=a n+1﹣sina n =b n ， ∴{b n }是常数列．【解析】17.（1）利用已知条件通过a 2=a 5=2，推出a 3=a 6 ， a 4=a 7 ， 转化求解a 3即可． （2）设无穷数列{b n }的公差为：d ，无穷数列{c n }的公比为q ，则q ＞0，利用条件求出，d 与q ，求出b n ， c n 得到a n 的表达式，推出a 2≠a 6 ， 说明{a n }不具有性质P ．（3）充分性：若{b n }是常数列，设b n =C ，通过a n+1=C+sina n ， 证明a p+1=a q+1 ， 得到{a n }具有性质P ．必要性：若对于任意a 1 ， {a n }具有性质P ，得到a 2=b 1+sina 1 ， 设函数f （x ）=x ﹣b 1 ， g （x ）=sinx ，说明b n+1=b n ， 即可说明{b n }是常数列．本题考查等差数列与等比数列的综合应用，充要条件的应用，考查分析问题解决问题的能力，逻辑思维能力，难度比较大．。

2016年上海市普通高中学业水平考试（2016年上海市普通高校春季招生统一考试）语文I卷考生注意：1．本试卷满分120分，考试时间120分钟。

2．试题分选择题和非选择题两种类型。

3．本考试分设试卷和答题纸。

答题前，务必在答题纸上填写姓名、报名号（春考考生填写春考报名号）、考场号和座位号，并将核对后的条形码贴在指定位置。

4．作答必须涂或写在答题纸上。

在试卷上作答一律不得分。

选择题的作答必须涂在答题纸上相应的区域，非选择题的作答必须写在答题纸上与试卷题号对应的位置。

一现代文阅读（30分）（一）阅读下文，完成第1－4题。

（9分）①汉代艺术还不懂后代讲求的以虚当实、计白当黑之类的规律，它铺天盖地，满幅而来。

画面塞得满满的，几乎．．不留空白。

这也似乎“笨拙．”。

然而，它却给予人们以后代更使人感到饱满和实在。

与后代的巧、细、轻相比，它确乎显得分外的拙、粗、重。

然而，它不华丽却单纯，它无细部而洗练。

②汉代艺术由于不以自身形象为自足目的，就反而显得开放而不封闭。

它由于以简化的轮廓为形象，就使粗犷．的气势不受束缚而更带有非写实的浪漫风味。

但它又根本不同于后世文人浪漫艺术的“写意”。

它是因为气势与古拙的结合，充满了整体性的运动、力量感而具有浪漫风貌的，并不同于后世艺术中个人情感的浪漫抒发。

（节选自李泽厚《美的历程》）1．为下列加点字选择正确的注音。

（2分）（1）笨拙．（）A．zhuōB．zhuóＣ．zuōＤ．zuó（2）粗犷．（）A．kuàng B．guǎngＣ．kuángＤ．guàng上海市教育考试院保留版权高中学业考试（春考）2016 语文I卷第1页（共6页）2）。

（2分）Ａ．精致Ｂ．精深Ｃ．精准Ｄ．精密3．分析第①段中“几乎”一词在表达上的作用。

（2分）4．概括第②段的主要内容。

（3分）（二）阅读下文，完成第5－8题。

（12分）①人类除现实生活的世界外还能通过自己的创造物认识世界。