二元一次方程的概念及求解

(word 完整版)二元一次方程组的概念和解法-教师版二元一次方程的基本概念1。

含有两个未知数，并且含未知数项的最高次数是1的方程叫二元一次方程。

判定一个方程是二元一次方程必须同时满足三个条件： ①方程两边的代数式都是整式——整式方程； ②含有两个未知数——“二元”;③含有未知数的项的次数为1——“一次”。

2。

二元一次方程的一般形式：0ax by c ++=(0a ≠，0b ≠)3。

二元一次方程的解：使二元一次方程左、右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。

一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。

【例1】 下列各式是二元一次方程的是( ）A 。

30x y z -+=B 。

30xy y x -+=C 。

12023x y -= D 。

210y x+-=【解析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数的个数和次数方面辨别． 【答案】故本题选C ．【巩固】下列方程是二元一次方程的是（ ）A.31x xy -= B 。

2430x x += C.23y += D.3x y =【答案】D ．【例2】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值.【答案】由定义知：321m -=,11n -=，所以：1m =，2n =.【巩固】已知方程11(2)2m n m x y m ---+=是关于x 、y 的二元一次方程，求m 、n 的值。

【答案】根据题意可得：20m -≠,11n -=，11m -=，所以2n =，0m =.二元一次方程组的概念和解法同步练习知识讲解(word 完整版)二元一次方程组的概念和解法-教师版【例3】 若32125m n x y ---=是二元一次方程，则求m 、n 的值。

【答案】由定义知：321m -=，11n -=，所以:1m =，2n =。

【巩固】已知方程11(2)2m n m x y m ---+=是关于x 、y 的二元一次方程,求m 、n 的值。

《二元一次方程和它的解》讲义一、什么是二元一次方程在数学的世界里，二元一次方程是一个非常基础且重要的概念。

那到底什么是二元一次方程呢？简单来说，二元一次方程就是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。

我们可以用一般形式来表示二元一次方程，即：ax ＋ by ＝ c （其中 a、b 都不为 0）。

比如说，像 2x ＋ 3y ＝ 7 、5x 2y ＝ 9 这样的方程，都是二元一次方程。

这里的 x 和 y 就是两个未知数，a 和 b 分别是 x 和 y 的系数，c 是常数项。

需要注意的是，方程中的系数 a、b 以及常数项 c 都是实数。

二、二元一次方程的特点了解了二元一次方程的定义，我们再来看看它有哪些特点。

首先，二元一次方程有两个未知数。

这两个未知数在方程中地位是平等的，没有主次之分。

其次，方程中含未知数的项的次数都是 1。

这意味着 x 和 y 的指数都是 1，不会出现像 x²或者 y³这样的情况。

再者，二元一次方程是整式方程。

也就是说，方程的分母中不含未知数。

比如 2/（x ＋ y) ＝ 3 就不是二元一次方程，因为分母中含有未知数x 和 y 。

三、二元一次方程的解既然有方程，那就必然有解。

那什么是二元一次方程的解呢？对于一个二元一次方程，如果能找到一组未知数的值，使得方程左右两边相等，那么这组未知数的值就叫做这个二元一次方程的一个解。

比如对于方程 2x ＋ 3y ＝ 7 ，如果 x ＝ 1 ，y ＝ 1 ，代入方程左边得到：2×1 ＋ 3×1 ＝ 5 ，不等于右边的 7 ，所以 x ＝ 1 ，y ＝ 1 不是方程的解。

而如果 x ＝ 2 ，y ＝ 1 ，代入方程左边得到：2×2 ＋ 3×1 ＝ 7 ，等于右边的 7 ，所以 x ＝ 2 ，y ＝ 1 就是方程 2x ＋ 3y ＝ 7 的一个解。

一般来说，一个二元一次方程有无数个解。

二元一次方程解的定义1.引言二元一次方程是一种形如ax+b y=c的方程，其中a、b、c是已知的系数，x、y是未知数。

求解二元一次方程意味着找到满足方程的x和y的值。

在本文中，我们将介绍二元一次方程解的定义以及如何求解它们。

2.二元一次方程解的定义二元一次方程的解是能够使方程成立的数值组合，即满足方程的x和y的值。

解的存在与方程系数的选择以及方程本身的性质有关。

解可以分为三种情况：2.1唯一解当方程的系数选择合适时，方程有且只有一个解。

当x和y的值满足方程同时成立时，称该解为二元一次方程的唯一解。

例如，对于方程2x+3y=10，当x=2，y=2时，方程左右两边相等，因此解为唯一解。

2.2无解当方程的系数选择不合适时，方程没有解。

当无论如何选择x和y的值都无法使方程成立时，称该方程为无解的二元一次方程。

例如，对于方程3x+2y=10，无论选择任何实数作为x和y的值，方程左右两边永远不会相等，因此方程无解。

2.3无穷解有些二元一次方程存在无限多个解，这类方程称为有无穷多解。

当任何满足方程的x和y的值都能使方程成立时，称该方程为有无穷多解的二元一次方程。

例如，对于方程x+y=5，当x=2，y=3时，方程左右两边相等；当x=3，y=2时，方程同样成立。

可以看出，无论选择何种x和y的值都满足方程，因此方程有无穷多解。

3.求解二元一次方程对于二元一次方程的求解，我们可以使用代入法、消元法或图像法等方法。

以下将介绍其中两种常用的求解方法。

3.1代入法代入法是一种简单且直观的求解二元一次方程的方法。

具体步骤如下：步骤一：从其中一个方程中解出一个变量，通常选择较为简单的方程。

步骤二：将解出的变量代入另一个方程，得到一个仅含有一个变量的一元方程。

步骤三：解这个一元方程，得到一个变量的值。

步骤四：将这个变量的值代入原方程中求解另一个变量。

步骤五：得到两个变量的值后，即得到二元一次方程的解。

3.2消元法消元法是另一种常用的求解二元一次方程的方法。

初一数学二元一次方程知识点总结一、二元一次方程的概念。

1. 定义。

- 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

例如：x + y=5，其中x、y是未知数，方程中x的次数是1，y的次数也是1，并且整个方程是整式方程。

2. 二元一次方程的一般形式。

- 一般形式为ax + by=c（a、b、c是常数，a≠0，b≠0）。

例如2x - 3y = 8就是这种形式，这里a = 2，b=-3，c = 8。

二、二元一次方程组的概念。

1. 定义。

- 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。

例如x + y=3 2x - y = 1就是一个二元一次方程组。

2. 二元一次方程组的解。

- 二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。

例如对于方程组x + y=3 2x - y = 1，通过求解可得x=(4)/(3)，y=(5)/(3)，((4)/(3),(5)/(3))就是这个方程组的解，即把x=(4)/(3)，y=(5)/(3)代入方程组中的两个方程都成立。

三、二元一次方程组的解法。

1. 代入消元法。

- 步骤：- 从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。

例如对于方程组x + y=3 2x - y = 1，由方程x + y=3可得x = 3 - y。

- 将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。

把x = 3 - y代入2x - y = 1，得到2(3 - y)-y = 1。

- 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值。

解2(3 - y)-y = 1，6-2y -y=1，- 3y=-5，y=(5)/(3)。

- 将求得的这个未知数的值代入变形后的式子，求出另一个未知数的值。

把y=(5)/(3)代入x = 3 - y，得x=(4)/(3)。

2. 加减消元法。

- 步骤：- 当方程组中两个方程的同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程。

《二元一次方程组》知识讲解及例题解析◆知识讲解1．二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2．二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．3．二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．◆例题解析例1 已知21xy=⎧⎨=⎩是方程组2(1)21x m ynx y+-=⎧⎨+=⎩的解，求（m+n）的值．【分析】由方程组的解的定义可知21xy=⎧⎨=⎩，同时满足方程组中的两个方程，将21xy=⎧⎨=⎩代入两个方程，分别解二元一次方程，即得m 和n 的值，从而求出代数式的值．【解答】把x=2，y=1代入方程组2(1)21x m y nx y +-=⎧⎨+=⎩中，得22(1)12211m n ⨯+-⨯=⎧⎨+=⎩ 由①得m=－1，由②得n=0．所以当m=－1，n=0时，（m+n ）=（－1+0）=－1．【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程． 例2 “5．12”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷．•某服装厂原有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用3天时间赶制1000•顶帐篷支援灾区．若启用1条成衣生产线和2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；•若启用2条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶．（1）每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？（2）工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？【解答】（1）设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x ，y 顶，则210523178x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得：x=41；y=32答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶．（2）由3×（4×41+5×32）=972<1000知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务．可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，或者动员其他厂家支援等，想法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献．例3 某商场正在热销2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，•求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元？【分析】本题以图文形式提供了部分信息，主要考查学生运用二元一次方程组解决实际问题的能力．【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元．依题意，得214523280x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得12510x y =⎧⎨=⎩ 故一盒“福娃”玩具的价格为125元，一枚徽章的价格为10元．例4 为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，•丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3，•其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3．（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走600t 土石，运输公司派出A 型，B •型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）【分析】（1）可设甲水厂的日供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3，由三个水厂的日供水量总和为11.8万m 3，可列方程x+3x+12x+1=11.8； （2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，B 型车每辆每次运土石yt ，•依题意可列方程组30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩解方程后可求解．【解答】（1）设甲水厂的供水量是x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3，丙水厂的日供水量是（12x+1）万m 3． 由题意得：x+3x+12x+1=11.8，解得x=2.4． 则3x=7.2，x+1=2.2．答：甲水厂日供水量是2.4万m 3，乙水厂日供水量是7.2万m 3，•丙水厂日供水量是2.2万m 3．（2）设每辆A 型汽车每次运土石xt ，每辆B 型汽车每次运土石yt ，由题意得： 30206001530600x y x y +=⎧⎨+=⎩ ∴1015x y =⎧⎨=⎩答：每辆A型汽车每次运土石10t，每辆B型汽车每次运土石15t．【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法．。

二元一次定义二元一次方程是一个非常重要的数学概念，也是初中数学学习的基础之一。

它定义为一个未知量的二次方和一个一次方系数的代数方程，常常用来解决现实中的各种问题。

下面我们就一步步来了解它的定义。

1. 二元一次方程的表达式二元一次方程的表达式通常可以写成：ax^2 + bx + c = 0。

其中，a,b和c都是已知的实数，而未知量x是一个变量。

a是二次方系数，b是一次方系数，c是常数项。

2. 求解二元一次方程的方法求解二元一次方程的方法有好几种，其中最基本的方法是通过配方法将方程式整理成标准的形式，然后使用平方根式求解方程。

具体分为以下几个步骤：- 将方程式中的系数a通分，使其成为一个完全平方的形式。

例如，若a=2，则通分后变成2(x+b/2a)^2-C/2a=0。

- 将方程式中的常数项c移至方程式的右边，使等式左侧成为一个完全平方的形式。

例如，2(x+b/2a)^2=C/2a。

- 求出等左侧的平方根，这样方程就被转化成+-x=d的形式。

此时就能够解出x的两个根，分别是d和-d。

3. 举例说明如果我们想要解决一个问题，比如“有一个三角形，其中两边长度分别为3和4，而它们之间的夹角是60度，那么第三边长是多少呢？”。

我们可以用二元一次方程来解决它。

设第三边长度为x，那么根据余弦定理，可以得到下面的方程式：3^2 + 4^2 - 2×3×4cos60° = x^2这个方程式就是一个二元一次方程，其中a=1，b=0，c=-7，我们可以将它转化为标准形式：x^2 - 7 = 0然后使用平方根式求解方程，得到：x = ±√7因为x必须是正数，所以最终的答案是：x = √7通过这个例子，我们可以看到二元一次方程在解决实际问题中的重要性和应用广泛性。

它不仅是初中数学学习的基础，也是数学领域里面不可或缺的概念之一。

第4讲 二元一次方程（组）的概念与解法一、知识回顾：一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 特别说明：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧ba＝＝y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩.4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式；②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；转化消元一元一次方程二元一次方程组④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.二、经典例题：知识点一、二元一次方程（组）的概念【例1】若(a −2)x |a−1|−3y =5是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1或2 【例2】下列各组数中，是二元一次方程3x −5y =8的解的是（ ）A ．{x =1y =1B ．{x =−1y =1C ．{x =−1y =−1D ．{x =1y =−1【例3】若{x =−1y =2是关于x ，y 的二元一次方程3x+ay=5的一个解，则a 的值为 【例4】如果{x =1，y =2是关于x ，y 的方程mx +2y =6的解，那么m 的值为（） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【例5】下列方程中：①xy =1 ；②3x +2y =4 ；③2x +3y =0 ；④x 4+y3=7 ，二元一次方程有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【例6】下列方程组是二元一次方程组的是（ ）A ．{mn =2m +n =3 B ．{5m −2n =01m+n =3C ．{m +n =03m +2a =16D ．{m =8m 3−n 2=1知识点二、二元一次方程组的解法【例7】用代入消元法解方程组 {y =x −13x −2y =5正确的化简结果是（ ） A ．3x −2x −2=5 B ．3x −2x +2=5 C ．3x −2x −1=5 D ．3x −2x +1=5【例8】用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（ ）A ．由（1），得x=2−4y 3B ．由（1），得y=2−3x 4C ．由（2），得x=y+52D ．由（2），得y=2x ﹣5【例9】解方程组。

解二元一次方程步骤一、什么是二元一次方程？二元一次方程是指含有两个未知数和一次项的方程。

一般的二元一次方程可以写成如下形式：ax + by = c其中，a、b、c分别是已知的实数，x、y是未知数。

二、求解二元一次方程的步骤1. 将方程化为标准形式我们需要将给定的二元一次方程化为标准形式。

标准形式是指方程中x和y的系数为1的形式，即：x + y = d其中，d为常数。

为了将方程化为标准形式，我们可以进行如下操作：a) 如果方程中x或y的系数不为1，我们可以将方程两边同时除以该系数，使得系数变为1。

b) 如果方程中存在负系数，我们可以将方程两边同时乘以-1，使得系数变为正数。

2. 消元接下来，我们需要通过消元的方法求解方程。

消元的目的是将方程中的一个未知数消去，从而得到只含有一个未知数的方程。

我们可以通过以下两种方法进行消元：a) 直接相减法：将两个方程相减，消去一个未知数。

b) 系数法：将其中一个方程的系数乘以另一个方程的系数，使得两个方程中的未知数的系数相等，然后将两个方程相减，消去一个未知数。

3. 求解未知数消元之后，我们得到一个只含有一个未知数的方程。

我们可以通过解这个方程来求解未知数的值。

解方程的方法有很多种，包括代入法、等价变形法、图解法等。

选择合适的方法，将方程中的未知数表示出来，并求解其值。

4. 检验解在得到未知数的值之后，我们需要将这个值代入原方程中，检验是否满足原方程。

如果代入后等式成立，那么我们得到的解是正确的；如果不成立，那么我们需要重新检查求解过程，找出错误。

三、例题演练为了更好地理解解二元一次方程的步骤，我们来看一个例子：已知方程组：2x + 3y = 74x - y = 1我们按照上述步骤进行求解：1. 将方程化为标准形式：2x + 3y = 74x - y = 12. 消元：我们可以通过直接相减法将y消去：(2x + 3y) - (4x - y) = 7 - 12x + 3y - 4x + y = 6-2x + 4y = 63. 求解未知数：将得到的方程化简：-2x + 4y = 6x - 2y = -3我们选择系数法，将第二个方程的系数乘以2，得到：2(x - 2y) = 2(-3)2x - 4y = -6现在，我们可以将两个方程相加，消去x：(-2x + 4y) + (2x - 4y) = 6 + (-6)0 = 0得到0 = 0，这说明方程组有无穷多解。

二元一次方程组的概念与解法二元一次方程组是初中数学中的重要内容，它由两个未知数和两个方程组成。

本文将介绍二元一次方程组的概念以及解法，帮助读者更深入地理解和掌握这一知识点。

一、概念二元一次方程组由两个未知数和两个一次方程组成。

通常的一种表示形式为：```{ax + by = c (式1){dx + ey = f (式2)```其中，a、b、c、d、e、f都是已知的实数系数，x和y是未知数。

二、解法解二元一次方程组有多种方法，下面将分别介绍三种常用的解法。

1. 代入法代入法是一种较为直观且易于理解的解法。

我们可以将其中一个方程中的一个未知数用另一个方程中的未知数表示，然后代入另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的方程，进而求解。

以下是具体步骤：Step 1：选择一个方程，将其中一个未知数，如x，用另一个方程中的未知数y表示。

Step 2：将代入得到的式子代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程。

Step 3：求解该方程，得到一个未知数的值。

Step 4：将求得的未知数的值代入任意一个原方程，求解另一个未知数。

Step 5：得到方程组的解。

2. 消元法消元法是一种常用的解法，它通过逐步消去一个未知数，从而实现解方程组的目的。

以下是具体步骤：Step 1：通过变换，使得两个方程的系数相等。

Step 2：将两个方程相减（或相加），得到一个只含有一个未知数的方程。

Step 3：求解该方程，得到一个未知数的值。

Step 4：将求得的未知数的值代入任意一个原方程，求解另一个未知数。

Step 5：得到方程组的解。

3. 矩阵法矩阵法是一种更为高级的解法，它将二元一次方程组表示为一个矩阵方程，并通过矩阵的性质进行求解。

以下是具体步骤：Step 1：将方程组的系数和常数构成一个矩阵。

Step 2：求解矩阵的逆矩阵。

Step 3：将逆矩阵与常数向量相乘，得到未知数向量。

Step 4：得到方程组的解。

通过以上三种方法，我们可以解决二元一次方程组的问题。