2016年高考试题：理科数学(上海卷)_中小学教育网

2016年上海高考数学(理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4)【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4)2。

设32iiz +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________【答案】3-【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =-3。

1l ：210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________25【解析】22112521d +==+4。

某次体检,6位同学的身高（单位：米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77,则这组数据的中位数是___ (米） 【答案】1.765. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x -【解析】319a +=，故2a =,()12x f x =+∴2log (1)x y =-∴12()log (1)f x x -=-6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3， 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】2【解析】32BD = 12223DD BD =⋅=7. 方程3sin 1cos2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________【答案】π5π,66x =【解析】23sin 22sin x x =-，即22sin 3sin 20x x +-=∴(2sin 1)(sin 2)0x x -+=∴1sin 2x =∴π5π,66x =8。

2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米）5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________8、在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________9、已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11ax y x by +=⎧⎨+=⎩无解，则b a +的取值范围是____________11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为.12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ⋅的取值范围是.13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=⎪⎭⎫⎝⎛-sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心，()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P落在第一象限的概率是.二、选择题（5×4=20）15.设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 16.下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ） （A ）θρcos 56+= （B ）θρin s 56+= （C ）θρcos 56-= （D ）θρin s 56-=17.已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞→lim .下列条件中，使得()*∈<N n S S n 2恒成立的是（ ）（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a18、设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数，下列判断正确的是（ ）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19.将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。

2016年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学一．填空题：本大题共14小题，每小题4分，共计56分。

1．设R x ∈，则不等式1|3|<-x 的解集为_____________。

2．设()i z 23+=，其中i 为虚数单位，则=z Im _____________。

3．直线1l ：012=-+y x ，2l ：012=++y x ，则21,l l 的距离为_____________。

4．某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为77.1,69.1,80.1,75.1,78.1,72.1，则这组数据的中位数是_____________（米）。

5．已知点()9,3在函数()x a x f +=1的图像上，则()x f 的反函数()=-x f1_____________。

6．如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan3，则该正四棱柱的高等于_____________。

7．方程x x 2cos 1sin 3+=在区间[]π2,0上的解为_____________。

8．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_______。

9．已知ABC ∆的三边长为7,5,3，则该三角形的外接圆半径等于_____________。

10．设0,0>>b a ，若关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=+=+11by x y ax 无解，则b a +的取值范围是_____________。

11．无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意+∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为_____________。

12．在平面直角坐标系中，已知()0,1A ，()1,0-B ，P 是曲线21x y -=上一个动点，则BP BA ⋅的取值范围是_____________。

2016年上海高考数学（理科）试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分） 1．计算：ii+-13= （i 为虚数单位）. 2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A = .3．函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是 .4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7．已知函数||)(a x ex f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM =，则⋅的取值范围是 . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）（A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b . 16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定.17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则（ ）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD . （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设251sin πn n n a =，n na a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是 （ ） （A ）25. （B ）50. （C ）75.（D ）100. 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）ABCDABCPE21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（822．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证： OP ⊥OQ ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ， 求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分）23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P .（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分）（3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通 项公式.（8分）2016年上海高考数学（理科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii+-13= 1-2i （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A =)3,(21- . 3．函数1sin cos 2)(-=xx x f 的值域是],[2325-- .4．若)1,2(-=n 是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 arctan2 （结果用反三角函数值表示）. 5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 -160 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 78 .7．已知函数||)(a x ex f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 (-∞, 1] .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为π33 .9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g -1 .10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线l6πα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则=)(θf )sin(16θπ- . 11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有 两人选择的项目完全相同的概率是32（结果用最简分数表示）. 12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD ||||CD CN BC BM =，则⋅的取值范围是 [2, 5] . 13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为45. 14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是12232--c a c . 二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则 （ B ） （A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b .16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是 （ C ） （A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定.ABCD17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值221x x +、232x x +、243x x +、254x x +、215x x +的概率也为0.2.若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则（ A ）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD . （D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设251sin πn n n a =，n na a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是 （ D ） （A ）25. （B ）50. （C ）75. （D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形， P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，P A=2.求： （1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分） [解]（1）因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面P AD ， 从而CD ⊥PD . ……3分 因为PD=32)22(222=+，CD =2，所以三角形PCD 的面积为3232221=⨯⨯. （2）[解法一]如图所示，建立空间直角坐标系， 则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2, 1)，)1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . ……8 设AE 与的夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分 [解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2知AEF ∆是等腰直角三角形， 所以∠AEF =4π.因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x .由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x . ……6分 （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分AB CD PE yAB CDP EF由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=，所以所求反函数是xy 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海 里A 处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线 24912x y =；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救 援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程y =中，得P 的纵坐标y P =3. 由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan ∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度. ……6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立，所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分 22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；（4分） （2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证： OP ⊥OQ ；（6分） （3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ， 求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分） [解]（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(22-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……2分所以所求三角形的面积1为8221||||==y OA S . ……4分（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切，故12||=b ，即22=b . ……6分由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x . 又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ . ……10分（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM . ……13分 设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+， 所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33.综上，O 到直线MN 的距离是定值. ……16分 23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P . 例如}2,1,1{-=X 具有性质P . （1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分） （3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通 项公式.（8分）[解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. ……2分 所以x =2b ，从而x =4. ……4分 （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a .由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X . ……7分 假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ， 则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1. ……10分（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……12分记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n . 先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ； 当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P. ……15分现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n .当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ；当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s 与t中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以kk q x =+1. 综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……18分[解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于 原点对称. ……14分注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数， 所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x 注意到12111x x x x x x n n >>>- ，所以12211x x x x x x n n n n ===--- ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x xk q x x ，k =1, 2, …, n . ……18分。

2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．（4分）（2016?上海）设x∈R，则不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．【分析】由含绝对值的性质得﹣1＜x﹣3＜1，由此能求出不等式|x﹣3|＜1的解集．【解答】解：∵x∈R，不等式|x﹣3|＜1，∴﹣1＜x﹣3＜1，解得2＜x＜4．∴不等式|x﹣3|＜1的解集为（2，4）．故答案为：（2，4）．2．（4分）（2016?上海）设z=，其中i为虚数单位，则Imz=﹣3．【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则，先求出复数z的最简形式，由此能求出Imz．【解答】解：∵Z====2﹣3i，∴Imz=﹣3．故答案为：﹣3．3．（4分）（2016?上海）已知平行直线l：2x+y﹣1=0，l：2x+y+1=0，则l，l2211的距离．【分析】直接利用平行线之间的距离公式求解即可．．=l，l的距离：1=0，1=0l：2x+y+，则+l【解答】解：平行直线：2xy ﹣2211．故答案为：，位同学的身高（单位：米）分别为1.72（2016?上海）某次体检，644．（分）1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是1.76（米）．【分析】先把这组数据按从小到大排列，求出位于中间的两个数值的平均数，得到这组数据的中位数．【解答】解：∵6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80，位于中间的两个数值为1.75，1.77，∴这组数据的中位数是：=1.76（米）．故答案为：1.76．x的图象上，则f（x）（x）=1+a．（4分）（2016?上海）已知点（3，9）在函数f51﹣（x）=log（x﹣1的反函数f）（x＞1）．2x3，解得a=2．可得9=1+a（）在函数fx）=1+a可的图象上，【分析】由于点（3，9xx=y，解得x=log（y﹣1），（y＞1）．把x与得f（x）=1+2y，由1+2互换即可21﹣（x）x）的反函数f．得出f（x3，解得a=2．的图象上，∴9=1+f（x）=1+aa【解答】解：∵点（3，9）在函数xx=y，解得x=log（y﹣1），（y＞1∴f（x）=1+2，由1+2）．21﹣（x）=log（x﹣1）．f 把x与y互换可得：f（x）的反函数2故答案为：log（x﹣1），（x＞1）．26．（4分）（2016?上海）在正四棱柱ABCD﹣ABCD中，底面ABCD的边长为3，1111BD与底面所成角的大小为arctan，则该正四棱柱的高等于2．1【分析】根据正四棱柱ABCD﹣ABCD的侧棱DD⊥底面ABCD，判断∠DBD为111111直线BD与底面ABCD所成的角，即可求出正四棱柱的高．1【解答】解：∵正四棱柱ABCD﹣ABCD的侧棱DD⊥底面ABCD，11111∴∠DBD为直线BD与底面ABCD所成的角，11∴tan∠DBD=，1∵正四棱柱ABCD﹣ABCD中，底面ABCD的边长为3，1111∴BD=3，∴正四棱柱的高=3×=2，故答案为：2．．或]上的解为方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π7．（4分）（2016?上海）利用二倍角公式化简方程为正弦函数的形式，然后求解即可．【分析】2，x，可得3sinx=2﹣2sin【解答】解：方程3sinx=1+cos2x2]，2π∈[0，sinx=﹣2（舍去）sinx=，即2sinxx+3sinx﹣2=0．可得．x=或解得．故答案为：或n的二项式中，所有的二项式系数之和为）上海）在（﹣．（4分）（2016?8．，则常数项等于112256n．在展开式n=8，求得【分析】根据展开式中所有二项式系数的和等于2=256的值，即可求得展开式中的常数r0，求得的通项公式中，令x的幂指数等于项．n，256）解：∵在（的二项式中，所有的二项式系数之和为﹣【解答】n，，解得2∴n=8=2568，=∴（﹣）T中，=1r+2．=112）（﹣=时，常数项为，即∴当=0r=2T23．112故答案为：，则该三角形的外的三边长分别为上海）已知△（4．9（分）2016?ABC3，57，．接圆半径等于，由，a=3的三边分别为可设△【分析】ABCb=5，运用余弦定理可得c=7，cosC，再由正弦定理可得该三角形的外接圆半径为，同角的平方关系可得sinC代入计算即可得到所求值．【解答】解：可设△ABC的三边分别为a=3，b=5，c=7，由余弦定理可得，cosC===﹣，==可得sinC=，．=可得该三角形的外接圆半径为=．故答案为：10．（4分）（2016?上海）设a＞0，b＞0，若关于x，y的方程组无解，则a+b的取值范围为（2，+∞）．【分析】根据方程组无解，得到两直线平行，建立a，b的方程关系，利用转化法，利用基本不等式的性质进行求解即可．【解答】解：∵关于x，y的方程组无解，∴直线ax+y=1与x+by=1平行，∵a＞0，b＞0，≠∴，，，则b=1，且ab=1a≠1，b≠即由基本不等式有：，不满a≠1的范围为a＞+b=a+≥20且=2，当且仅当a=1时取等，而aa足取等条件，∴a+b＞2，故答案为：（2，+∞）．11．（4分）（2016?上海）无穷数列{a}由k个不同的数组成，S为{a}的前n项nnn*，S∈{2，3}，则k的最大值为4和，若对任意n∈N．n*，S∈{2，3}，列举出n=1，【分析】对任意n∈N2，3，4的情况，归纳可得n n＞4后都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4．*，S∈{2，解：对任意n∈N3}，可得【解答】n当n=1时，a=S=2或3；11若n=2，由S，3；或0，3；或1，2；或0，2，可得数列的前两项为}3，2{∈2．﹣1；若n=3，由S∈{2，3}，可得数列的前三项为2，0，0；或2，0，1；3或2，1，0；或2，1，﹣1；或3，0，0；或3，0，﹣1；或3，1，0；或3，1，﹣1；若n=4，由S∈{2，3}，可得数列的前四项为2，0，0，0；或2，0，0，1；3或2，0，1，0；或2，0，1，﹣1；或2，1，0，0；或2，1，0，﹣1；或2，1，﹣1，0；或2，1，﹣1，1；或3，0，0，0；或3，0，0，﹣1；或3，0，﹣1，0；或3，0，﹣1，1；或3，﹣1，0，0；或3，﹣1，0，1；或3，﹣1，1，0；或3，﹣1，1，﹣1；…即有n＞4后一项都为0或1或﹣1，则k的最大个数为4，不同的四个数均为2，0，1，﹣1．故答案为：4．12．（4分）（2016?上海）在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，﹣1），．] ，1+上一个动点，则P是曲线y=?的取值范围是 [0，）sinα=（cosα，+1π0，]，则=（1，1），sinα【分析】设P（cosα，），α∈[的取值范围．?由此能求出，）0，﹣1，【解答】解：∵在平面直角坐标系中，A（10），B（上一个动点，P是曲线y=，π]∈cosα，sinα），α[0，P∴设（，1+）（cosα，sinα，∴=（1，1）=，1==cosα+sinα+．0[，1+]∴?的取值范围是．]0，1+故答案为：[2sinx都有，[02π），若对于任意实数cb2016?（13．4分）（上海）设a，∈R，∈．4的组数为cba则满足条件的有序实数组）+（）3x（﹣=asinbxc，（，，）根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．【分析】【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），∴必有|a|=2，若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时C=，若b=﹣3，则C=，若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），共有4组，故答案为：4．14．（4分）（2016?上海）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形AA…A812，则点+=0）任取不同的两点A，A，点P满足+（的中心，A1，ji1．落在第一象限的概率是P的八个顶点中任取两个的事件A…A【分析】利用组合数公式求出从正八边形A821的终点+P落在第一象限，则需向量=总数，满足++，且点落在第三象限，列出事件数，再利用古典概型概率计算公式求得答案．．【解答】解：基本事件总数为A…A的八个顶点中任取两个，从正八边形A812，为：AA，落在第一象限，对应的=+满足+，且点P ji种取法．A，（）A，（）A，（）A，（A，A，A，AA，A（），）共57576658574．∴点P落在第一象限的概率是，故答案为：．二、选择题（5&#215;4=20分）2＞1”的（是“a）2016?上海）设a∈R，则“a＞1”15．（5分）（A．充分非必要条件B．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件C．充要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．2＞1得a＞1或【解答】解：由aa＜﹣1，2＞1”的充分不必要条件，1”是“a即“a＞故选：A．16．（5分）（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（）5sinθ﹣D．ρ=65sinθC．ρ=6﹣5cosθA．ρ=6+5cosθB．ρ=6+取得最大值，即可判断出结论．ρ时，【分析】由图形可知：取得最大值，ρ时，【解答】解：由图形可知：满足上述条件．D只有．D故选：（2016?上海）已知无穷等比数列a}17．nn*），且项和为S的公比为q，前n{（5分）N）恒成立的是（，下列条件中，使得2S＜S（n∈=S n0.7q＜0＞，0.6＜A．＜B．a＜0，﹣0.7q＜﹣0.6a110.8＜＜0.70.8＜D．a0，﹣＜q＜﹣，0.7qC．a＞011＞，由此利用排除法能求出结果．【分析】由已知推导出，1＜＜，﹣，【解答】解：∵S==1q2S＜S，n＞，∴＞，故A与，则C不可能成立；若a＞01n＜，qa＜0，则若1在B中，a＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6故B成立；12不成立．，D0.7，此时q＞＜0，﹣0.8＜q＜﹣在D中，a1故选：B．18．（5分）（2016?上海）设f（x）、g（x）、h（x）是定义域为R的三个函数，对于命题：①f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均为增函数，则f（x）、g（x）、h（x）中至少有一个增函数；②若f（x）+g（x）、f（x）+h（x）、g（x）+h（x）均是以T为周期的函数，则f（x）、g（x）、h（x）均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题D．①为真命题，②为假命题．①为假命题，②为真命题C，，，＜＜，h）=（x）（fx）=．g（x①不成立．【分析】可举反例：，＞，，=．，＞②由题意可得：f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），f （x）=f（x+T），即可判断出真假．，，，＜＜，（x）=可举反例：（fx）=．g解：【解答】①不成立．，＞，，h（x）=．，＞②∵f（x）+g（x）=f（x+T）+g（x+T），f（x）+h（x）=f（x+T）+h（x+T），h（x）+g（x）=h（x+T）+g（x+T），前两式作差可得：g（x）﹣h（x）=g（x+T）﹣h（x+T），结合第三式可得：g（x）=g（x+T），h（x）=h（x+T），同理可得：f（x）=f（x+T），因此②正确．故选：D．三、解答题（74分）19．（12分）（2016?上海）将边长为1的正方形AAOO（及其内部）绕OO旋111OO 与C在平面AA长为，转一周形成圆柱，如图，其中B长为π，111的同侧．（1）求三棱锥C﹣OAB的体积；111（2）求异面直线BC与AA所成的角的大小．11，由此=为正三角形，从而AB1）连结OB，推导出△O【分析】（11111的体积．B﹣OA能求出三棱锥C111为直线C，∠BB，则，连结BBBB∥AA（2）设点B在下底面圆周的射影为B11111所成角大小．AAC与与AA所成角（或补角），由此能求出直线BBC1111，=∠AOB）连结1OB，则∠OAB=【解答】解：（11111111为正三角形，OAB∴△111，=∴．==，AA，则B，连结BBBB∥在下底面圆周的射影为2（）设点B1111，所成角（或补角）C与AABBB∴∠C为直线111，=AA=1BB11，、、连结BCBOOC ∠AOB=∠AOB=，，∴∠BOC=，111∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BBC=1，1∴直线BC与AA所成角大小为45°．11所在直线是一条小河，收获，EFGHEH分）（2016?上海）有一块正方形20．（14SS，其中F点或河边运走．于是，菜地分别为两个区域S和的蔬菜可送到112的分界和SF点较近，而菜地内S中的蔬菜运到中的蔬菜运到河边较近，S212O现建立平面直角坐标系，其中原点上的点到河边与到F点的距离相等，线C，如图）1，0为EF的中点，点F的坐标为（的方程；C（1）求菜地内的分界线面积的经验SS面积的两倍，由此得到（2）菜农从蔬菜运量估计出S面积是112MEH 为一边，另一边过点C上纵坐标为1的点，请计算以值为．设M是经“并判断哪一个更接近于S面积的的面积，的矩形的面积，及五边形EOMGH1．”验值，根据条件建立方程关系进行求解）x1）设分界线上任意一点为（，y【分析】（即可．的面积，五边形，=1则）y，（设2（）Mx，y分别求出对应矩形面积，FOMGH000进行比较即可．得，）x，y，由题意得|x+1|=【解答】解：（1）设分界线上任意一点为（，）x≤1，（0≤y=2，=1，则y（x，y）（2）设M000，=x=∴0∴设所表述的矩形面积为S，则S=2×（+1）=2×=，33=，+×1﹣S+S=﹣×=S设五边形EMOGH的面积为S，则S MGNOMP443△△=，S﹣S=S=﹣=＜，S﹣1134∴五边形EMOGH的面积更接近S的面积．12，的左、右焦点分别为F，F上海）双曲线x﹣=1（b＞0）1421．（分）（2016?21两点．且与双曲线交于AB，直线l过F2是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；FAB）直线l的倾斜角为，△（11的斜率．l=0+，求b=（2）设，若l）?的斜率存在，且（，bAB，利用三角形是正三角形，求解【分析】（1）利用直线的倾斜角，求出即可得到双曲线方程．坐标，利用向量的数量积BA、（2）求出左焦点的坐标，设出直线方程，推出，即可求值直线的斜率．为02=1（b＞0）的左、右焦点分别为F，F﹣（【解答】解：1）双曲线x，a=1，2122，b+c=1两点，直线，且与双曲线交于AFl过B2是等边三角形，l直线ABF，△的倾斜角为12，，可得：可得：A（c，b）242，）+3bb=4（a42﹣4=0，﹣4b即3b2=2b．＞0，解得b2，x﹣=1所求双曲线方程为：．x其渐近线方程为y=±2=1，可得F（﹣2﹣x，0），F（2，0）（2）b=．，双曲线21设A （x，y），B（x，y），直线的斜率为：k=，2112，2）﹣l的方程为：y=k（x直线2222﹣3=04k+4k，可得：由题意可得：（3﹣kx）x﹣，消去y22≠0k，0且3△=36（1+k﹣）＞，=x可得+x21．）=﹣4+x﹣4）=k（+则yy=k（x2211，y）+=（x2，11，）=（x+2，y22可得：（x+x+）?=04，y+y）?（x ﹣x，y﹣y）=0，（+22211211可得x+x+4+（y+y）k=0，2211?k=0+得+42，k=可得：．k=±解得．l的斜率为：±22．（16分）（2016?上海）已知a∈R，函数f （x）=log（+a）．2（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log的解集中恰好有一个元=0]5﹣2a+x）4﹣a（[2．素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【分析】（1）当a=5时，解导数不等式即可．（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．（3）根据条件得到f（t）﹣f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．，）（+5f（x）=log【解答】解：（1）当a=5时，2，）＞0；得log（+5由f（x）＞02，x＜﹣x＞0或，则1＞﹣4，则+4=＞0，即即+5＞．}x＞0或＜﹣即不等式的解集为{x|x2a+4）xa）﹣log[（a﹣（（a ﹣4）x+2a﹣5]=0得log+[（2）由f（x）﹣log222．=0﹣5]，5]4）x+2a﹣[即log（+a）=log（a﹣22，①0+2a﹣5＞即+a=（a﹣4）x2，5）x﹣a﹣4）x1=0+（a﹣则（，②，=01]x）[（a﹣4）﹣1即（x+，代入①，成立1x=﹣当a=4时，方程②的解为，代入①，成立﹣1a=3当时，方程②的解为x=，x=3时，方程②的解为﹣1或x=a当≠4且a≠若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a2的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log（+a）﹣log（+a）≤1，22即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，=，+≥∴r，∴==．≥∴实数a的取值范围是a*），必有∈N（p，q（2016?上海）若无穷数列{a}满足：只要a=a23．（18分）qpn a=a，则称{a}具有性质P．n1qp1++（1）若{a}具有性质P，且a=1，a=2，a=3，a=2，a+a+a=21，求a；3164n2578（2）若无穷数列{b}是等差数列，无穷数列{c}是公比为正数的等比数列，nn b=c=1；b=c=81，a=b+c，判断{a}是否具有性质P，并说明理由；nn511n5n*），求证：“对任意a，{a+是无穷数列，已知a=bsina（n∈N}}（3）设{b nnnn1n1+都具有性质P”的充要条件为“{b}是常数列”．n【分析】（1）利用已知条件通过a=a=2，推出a=a，a=a，转化求解a即可．3423576（2）设无穷数列{b}的公差为：d，无穷数列{c}的公比为q，则q＞0，利用条nn件求出，d与q，求出b，c得到a的表达式，推出a≠a，说明{a}不具有nn2n6n性质P．（3）充分性：若{b}是常数列，设b=C，通过a=C+sina，证明a=a，得1nqpn1n1n+++到{a}具有性质P．n必要性：若对于任意a，{a}具有性质P，得到a=b+sina，设函数f（x）=x﹣11n21b，g（x）=sinx，说明b=b，即可说明{b}是常数列．nnn11+【解答】解：（1）∵a=a=2，∴a=a，6235a=a=3，∴a=a=2，a=21﹣a﹣a=16，∴a=16．35747868（2）设无穷数列{b}的公差为：d，无穷数列{c}的公比为q，则q＞0，nn b﹣b=4d=80，154 c=﹣19，=q=，∴q=，∴=20n∴d=20，∴b nn．=b+c=20n﹣19+∴a nnn∵a=a=82，51而a=21+27=48，a=101=．a=a，但是a≠a，{a}不具有性质P．n652216（3）充分性：若{b}是常数列，n设b=C，则a=C+sina，nn1n+若存在p，q使得a=a，则a=C+sina=C+sina=a，1qqqpp1p++故{a}具有性质P．n必要性：若对于任意a，{a}具有性质P，n1则a=b+sina，112设函数f（x）=x﹣b，g（x）=sinx，1由f（x），g（x）图象可得，对于任意的b，二者图象必有一个交点，1∴一定能找到一个a，使得a﹣b=sina，1111∴a=b+sina=a，∴a=a，11n121n+故b=a﹣sina=a﹣sina=b，n1nn121nnn++++∴{b}是常数列．n。

2016年普通高等学校招生全国统一考试 上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 【答案】（2,4） 【解析】试题分析：由题意得：1x 31-<-<，解得2x 4<<. 考点：绝对值不等式的基本解法. 2、设iiZ 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 【答案】-3 【解析】 试题分析：32i23,Imz=-3.iz i +==- 考点：1.复数的运算；2.复数的概念.3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________【答案】5【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5===考点：主要考查两平行线间距离公式.4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为,,,,,则这组数据的中位数是_________（米） 【答案】【解析】试题分析：将这6位同学的身高按照从矮到高排列为：,,，,，，这六个数的中位数是与的平均数，显然为.考点：主要考查了中位数的概念.5、已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x fx f 的反函数【答案】2log (x 1)- 【解析】试题分析：将点（3，9）带入函数()xf x 1a =+的解析式得a 2=，所以()xf x 12=+，用y 表示x 得2x log (y 1)=-，所以()12log (f x x 1)-=-.考点：反函数的概念以及指对数式的转化.6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为32arctan ，则该正四棱柱的高等于____________【答案】【解析】试题分析：由题意得11122tan 33DD DBD DD BD ∠===⇒=。

2016年上海高考数学（理科）真题一、解答题（本大题共有14题，满分56分）1. 设，则不等式的解集为________________【答案】【解析】，即，故解集为2. 设，其中为虚数单位，则_________________【答案】【解析】，故3. :, :, 则的距离为__________________【答案】【解析】4. 某次体检，位同学的身高（单位:米）分别为，则这组数据的中位数是___（米）【答案】5. 已知点在函数的图像上，则的反函数____________【答案】【解析】，故，∴∴6. 如图，在正四棱柱中，底面的边长为，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于____________________【答案】【解析】,7. 方程在区间上的解为________________【答案】【解析】，即∴∴∴8. 在的二项式中，所有项的二项式系数之和为，则常数项等于_______________【答案】【解析】，通项取常数项为9. 已知的三边长为，则该三角形的外接圆半径等于________________【答案】【解析】，∴∴10. 设，若关于的方程组无解，则的取值范围是_____________【答案】【解析】由已知，，且，∴11. 无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大值为___________【答案】12. 在平面直角坐标系中，已知, , 是曲线上一个动点，则的取值范围是____________【答案】【解析】设, ，,13. 设, ，若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为______________【答案】【解析】(i)若若，则；若，则(ii)若，若，则；若，则共组14. 如图，在平面直角坐标系中，为正八边形的中心，，任取不同的两点，点满足，则点落在第一象限的概率是_______________【答案】【解析】二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15. 设，则“”是“”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】A16. 下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】时，达到最大17. 已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】B【解析】, ,，即若，则，不可能成立若，则，B成立18. 设是定义域为的三个函数，对于命题:①若，，均为增函数，则中至少有一个为增函数；②若，，均是以为周期的函数，则均是以为周期的函数，下列判断正确的是( )A. ①和②均为真命题B. ①和②均为假命题C. ①为真命题，②为假命题D. ①为假命题，②为真命题【答案】D【解析】①不成立，可举反例, ,②前两式作差，可得结合第三式，可得,也有∴②正确故选D三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19. （本题满分12分）将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧(1) 求三棱锥的体积(2) 求异面直线与所成角的大小【解析】(1) 连，则∴为正三角形∴∴(2) 设点在下底面圆周的射影为，连，则∴为直线与所成角（或补角）连,∴∴∴为正三角形∴∴∴∴直线与所成角大小为20．（本题满分14分）有一块正方形菜地, 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走。

2016年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.（4分）设xGR,则不等式x-3<1的解集为.2.（4分）设z=3+?i,其中i为虚数单位，贝I]lmz=.3.（4分）已知平行直线k：2x+y-1=0,l2：2x+y+l=0,则I】，板的距离.4.（4分）某次体检,6位同学的身高（单位:米）分别为1.72, 1.78, 1.75, 1.80,1.69, 1.77,则这组数据的中位数是（米）.5.（4分）已知点（3,9）在函数f（x）=l+a x的图象上，贝J f（x）的反函数厂】（x）=.6.（4分）在正四棱柱ABCD-AiBiGDi中，底面ABCD的边长为3,BD】与底面所成角的大小为a retard,则该正四棱柱的高等于37.（4分）方程3sinx=l+cos2x在区间[0,2兀]上的解为.8.（4分）在（扳-Z）口的二项式中，所有的二项式系数之和为256,则常数项等于.9.（4分）已知AABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于.10.（4分）设a>0,b>0,若关于x,y的方程组J ax+y=1无解，贝I]a+b的取值Ix+by=l范围为•11.（4分）无穷数列&｝由k个不同的数组成，Sn为｛an｝的前n项和，若对任意nGN*,S n e｛2,3｝,则k的最大值为.12.（4分）在平面直角坐标系中，已知A（1,0）,B（0,-1）,P是曲线y=J]_x2上一个动点，则面•瓦的取值范围是.13.（4分）设a,bGR,cG[0,2兀），若对于任意实数x都有2sin（3x-2L）3 =asin（bx+c）,则满足条件的有序实数组（a,b,c）的组数为.14.（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形A i A2...A8的中心，Ai（1,0）任取不同的两点A”Aj,点P满足0F^oa；+0a；=°’则点P落在第一象限的概率是二、选择题(5X4=20分)15.(5分)设aGR,则"a>T是的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件16.(5分)下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是()/6—VA.p=6+5cos6B.p=6+5sin6C.p=6-5cos0D.p=6-5sin017.(5分)已知无穷等比数列｛a」的公比为q,前n项和为S®且lim SjS，下列条件中，使得2S n<S(nGN*)恒成立的是()A.ai>0,0.6<q<0.7B.ai<0,-0.7<q<-0.6C.ai>0,0.7<q<0.8D.ai<0,-0.8<q<-0.718.(5分)设f(x)、g(x)、h(x)是定义域为R的三个函数，对于命题：①f(x)+g(X)、f(x)+h(X)、g(x)+h(x)均为增函数，则f(X)、g(X)、h(x)中至少有一个增函数；②若f(x)+g(x)、f(x)+h(X)、g(x)+h(x)均是以T为周期的函数，则f(x)、g(x)、h(x)均是以T为周期的函数，下列判断正确的是()A.①和②均为真命题C.①为真命题，②为假命题B.①和②均为假命题D.①为假命题，②为真命题三、解答题（74分）19.（12分）将边长为1的正方形AAiOiO（及其内部）绕001旋转一周形成圆柱，如图，k长为珏，疝?长为2L,其中B1与C在平面AA1010的同侧.33（1）求三棱锥C-OiAiBi的体积；（2）求异面直线BiC与AAi所成的角的大小.20.（14分）有一块正方形EFGH,EH所在直线是一条小河，收获的蔬菜可送到F点或河边运走.于是，菜地分别为两个区域&和S2,其中&中的蔬菜运到河边较近，S2中的蔬菜运到F点较近，而菜地内&和S2的分界线C上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点。