(中年级 老师用)第九讲：图形计数

图形计数
三升四第9讲
知识提要
1.学会观察图形的特征和变化规律；
2.学会按照一定的顺序计数，做到不重复不遗漏；
3.掌握分类计数的思想和方法；
4.能灵活运用计数原理简化计数过程
基础练习题
1.数一数下列图形中，直线、射线、线段各有多少条？
2.将10厘米的线段五等分后，所有线段的长度和是多少厘米？
3.（1）数一右图中有多个锐角？
（2）右图中有三角形
4.数一数图中有多少条线段？多少个矩形？
能力拓展题
5.数一数图中有多少条线段？多少个矩形？
6.右图中共有个梯形
7.下图中共有个正方形
8.平面上五条直线最多有多少个交点？把平面最多分成多少个部分？
9.三个同样的正方形框架，摆放在适当的位置，最多可以数出多少个正方形来？
10.求所有长方形面积的和是多少？
思考题
右图中有个矩形
课后作业
1.数一数下列图形中，直线、射线、线段各有多少条？
2.数一数图形中有多少条线段、多少个正方形？
3.数一数图形中有多少三角形？
4.直线上各部分长度如图所示，那么所有线段的长度之和是多少厘米？
5.右图中共有个长方形？。

《数图形的学问》讲义在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要数图形的情况。

比如，数一数一个几何图形中有多少个三角形、多少个正方形等等。

这看似简单的任务，其实蕴含着不少学问。

今天，就让我们一起来深入探讨数图形的方法和技巧。

一、数线段我们先从最简单的线段开始。

假设有一条直线上有若干个点，要数出共有多少条线段。

例如，直线上有 A、B、C、D 四个点。

我们可以从第一个点 A 开始，依次与后面的点连接，得到线段 AB、AC、AD；接着从第二个点B 开始，与后面的点连接，得到线段BC、BD；再从第三个点C 开始，与后面的点连接，得到线段 CD。

这样，我们一共数出了 6 条线段。

通过这个例子，我们可以总结出数线段的规律：如果直线上有 n 个点，那么线段的总数就是 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋（n 1) 。

二、数角接下来看看角的数量怎么数。

例如，有一个顶点 O，引出了若干条射线。

我们可以先固定一条射线 OA，然后依次与其他射线组成角，有∠AOB、∠AOC、∠AOD……；再固定射线 OB，与后面的射线组成角，有∠BOC、∠BOD……以此类推。

总结数角的规律和数线段类似，如果有 n 条射线，角的总数也是 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋（n 1) 。

三、数三角形再复杂一点，我们来数三角形。

比如，有一个大三角形被若干条线段分割成了多个小三角形。

我们可以先数单独的小三角形个数，然后再数由两个小三角形组成的较大三角形个数，接着数由三个小三角形组成的更大三角形个数……以此类推，最后把所有的个数相加。

还有一种方法是，如果大三角形的底边被分成了 n 段，那么三角形的总数就是 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋… ＋ n 。

四、数长方形在一个大长方形中，有许多小长方形。

我们可以先数一行有多少个小长方形，再数有多少行，然后将两者相乘。

或者，先数单个的小长方形个数，再数由两个小长方形组成的长方形个数，然后是由三个小长方形组成的长方形个数……最后相加。

数线段的5种方法和拓展例1数一数图中共有多少条线段？方法一：基本线段法（把图中单个的线段看作一个基本图形）由一个基本线段组成的线段有__4___条由二个基本线段组成的线段有__3___条由三个基本线段组成的线段有__2_由四个基本线段组成的线段有___1__条所以，图中一共有线段____4+3+2+1=10_______________条方法二：端点法加法（线段都是有两个端点组成，一个起点，一个终点）以A为起点的线段有__4___条以B为起点的线段有__3___条以C为起点的线段有__2___条以D为起点的线段有__1___条所以，图中一共有线段______4+3+2+1=10_____________条方法三：端点法乘法（线段都是有两个端点组成，一个起点，一个终点）端点数×间隔÷2=总条数5×4÷2=10方法四：标数法（基本线段法的简化版，可以快速得到结果）方法五：组合法（取两个点就可以组成一条线段）10124525=⨯⨯=C上面的五种方法都适应于所有的数线段的题，其中方法二和方法三可以延伸到握手问题，线段上端点数比较多可以用方法三，方法五可以解决不在一条直线上线段数握手问题1、有5个人，每两个人都需要握手一次，请问一共需要握手多少次？2、三年级有6个班，每两个班比赛拔河一次，这样一共要组织多少场比赛？3、有红、黄、蓝、白四只气球，如果每两只气球扎成一束，共有多少种不同的扎法？端点比较多不在一条直线上1. 平面上有12个点，任意三点都不在同一直线上，这些点可以连成多少条直线？1 2 4 3 A C 1 … C 2C 102 B …… 1 2 3 4 99 100。

图形计数教案及评课稿标题：图形计数教案及评课稿教案概述：本教案旨在帮助学生通过图形计数活动，提高他们的数学技能和观察力。

通过使用各种图形，学生将学会识别、计数和比较不同形状的对象。

此外，教案还将通过互动活动和小组讨论，鼓励学生积极参与，培养他们的合作和沟通能力。

教学目标：1. 识别和命名不同的图形，如圆形、正方形、三角形等。

2. 能够准确地计数图形中的对象，并将结果表达出来。

3. 比较不同图形中的数量，能够判断哪个图形拥有更多或更少的对象。

4. 培养学生的观察力和集中注意力，通过观察图形来解决问题。

5. 培养学生的合作和沟通能力，通过小组活动和讨论来分享和解释他们的观察结果。

教学准备：1. 图形卡片：圆形、正方形、三角形等。

2. 计数工具：计数棒、计数卡片等。

3. 活动工作表：包含图形计数练习的工作表。

4. 小组活动材料：小组讨论问题卡片。

教学步骤：引入活动：1. 使用图形卡片介绍不同的图形，让学生逐个命名它们，并讨论图形的特征和区别。

活动一：图形计数1. 准备一些包含不同图形的图像，如动物、水果等，让学生观察并计数每个图形中的对象。

2. 学生使用计数工具，如计数棒或计数卡片，准确地计数每个图形中的对象，并将结果写在工作表上。

3. 学生将自己的观察结果与同桌分享，并比较不同图形中的数量。

活动二：图形比较1. 准备一些包含不同图形的图像，每个图形中的对象数量不同。

2. 学生观察每个图形中的对象数量，并判断哪个图形拥有更多或更少的对象。

3. 学生用口头或书面的方式表达他们的观察结果，并与小组成员讨论和比较。

活动三：小组讨论1. 将学生分成小组，每个小组分配一张小组讨论问题卡片。

2. 学生讨论和回答问题，并确保每个小组成员都参与讨论。

3. 每个小组派出一名代表，分享小组的观察结果和讨论结论。

评估：1. 教师观察学生在活动中的参与度和表现，并记录他们的观察结果和解决问题的能力。

2. 教师评估学生在小组讨论中的合作和沟通能力。

图 形 计 数
达成目标：
本讲内容重点突出对长方形和中方形图形计数的研究，通过学习和训练，使学生掌握有序计数组合图形中所包含的基本图形（长方形或正方形）个数的方法。

培养学生的观察能力，引导学生运用分类思想、转化思想和排列组合的思想解题。

练习一：下图中有多少个长方形？
例题二：下图中有多少个长方形？
练习二：下图中有多少个长方形？
例题三：数出下图中有多少个正方形？（每个小方格为边长1cm 的正方形。

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练习三：数出下图中有多少个正方形？（每个小方格为边长1cm 的正方形。

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数学数图形教案数学数图形教案（精选12篇）数学数图形教案 1中班数学：图形找家设计意图：在角色游戏和猜想活动中复习几何图形的结合分类，以及复习10以内序数的加法，巩固三维特征的概括。

同时发展思维的敏捷性及培养幼儿的合作能力。

活动目标：1.学习按照物体的.不同形状特征进行分类活动。

2.学习辨认圆形、三角形、正方形。

活动准备：1.不同大小、不同颜色的圆形、三角形、正方形若干，常见的圆形、三角形、正方形的。

2.物品若干件，“家”三个(家门分别为圆形、三角形、正方形)。

活动过程：1.教师提问引起幼儿兴趣。

小朋友你们都有自己的家吗？你们认识自己的家吗？2.出示圆形、三角形、正方形、长方形图形。

可是今天有几个小宝宝不认识自己的家了，他们正着急地哭呢？小朋友我们来看看是谁？原来是这些图形宝宝不认识是自己的家了，小朋友我们应怎么办呢？（帮他们找到家、把他们送回家）3.做游戏：送图形回家。

出示图形宝宝的房子，让幼儿观察4座房子的不同点：门不一样，有圆形、三角形、正方形、长方形。

请幼儿选一个自己喜欢的图形，说出是什么图形，把它送回自己的家。

教师和幼儿一起检查有没有小朋友把图形宝宝送错了家的。

4.出示挂图《找图形》，让幼儿观察，启发幼儿说出每种物品是有那几种图形宝宝变成的。

5.做《找朋友》的游戏，引导幼儿能按两种不同因素进行分类。

每个幼儿的胸前都贴有一个图形宝宝的胸卡，教师引导幼儿找相同的图形宝宝做朋友。

交流为什么们在一起做朋友（引导幼儿说出我们的颜色一样、形状一样或我们的形状一样、大小也一样。

活动延伸：在日常生活中组织小朋友做图形分类活动。

数学数图形教案 2教学内容：义务教育课程标准实验教材数学第六册56—61页内容教学资源分析：本教材从学生熟悉的生活入手，结合实例，通过观察、操作等形式多样的活动，让学生初步感知生活中的对称现象，认识简单的轴对称图形，为今后进一步探索简单图形的轴对称特性，把握简单图形之间的轴对称关系，以及利用轴对称方法进行变换或设计图案打好基础。

第九讲 抽屉原理1、 典型抽屉原理的巩固和提高。

2、 熟练掌握最不利原则的应用。

3、 学会利用枚举、排列组合、图形计数构造抽屉解决问题。

抽屉原理有时也被称为鸽巢原理，它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原则。

它是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，应用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用，因为许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.在每年的希望杯考试和小升初中抽屉原理的题目常常以填空题和口算题的形式出现，同学们一定要打好基础掌握好这一类经典题型。

那么，这一讲我就来巩固学习抽屉原则以及它的典型应用。

抽屉原理推广到一般情形有以下两种表现形式。

抽屉原理1：将多于n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。

例：有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。

抽屉原理2：将多于m×n 件的物品任意放到n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。

例：如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。

道理很简单。

如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。

剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。

分析：把两种颜色看成两个“抽屉”根据抽屉原理2可知，至少有三个面被涂上相同的颜色.知识说明专题精讲教学目标想挑战吗？给正方形涂上红色或蓝色的油漆，试证：正方形至少有三个面被涂上相同的颜色.Ⅰ、抽屉原理的典型应用解题思路：做抽屉问题关键是确定“抽屉”和“苹果”，当题目中出现多个对象时，通常数量较多者为“苹果”，数量较少者为“抽屉”。

苹果÷抽屉＝商……余数，得到的结论为：至少有一个抽屉里有（商＋1）个苹果。

【例1】（★★★）证明：（1）任意28个人中，至少有3个人的属相相同。

（2）要想保证至少4个人的属相相同，至少有几个人？（3）要想保证至少5个人的属相相同，但不能保证有6个人的属相相同，那么总人数应该在什么范围内？分析：（1）把12种属相看作12个抽屉，28÷12＝2……4，根据抽屉原理，至少有3个人的属相相同。

图形计数知识要点：1、图形计数：主要是指对满足一定条件的某种几何图形进行观察，把该图形中所包含的某一种（或几种）几何图形的个数逐一地数出来，或用某一带规律的方法直接计算出来的数学问题。

2、图形计数的方法：（1）进一步掌握各种平面图形的特征，学会有条理、有次序地数图形的方法。

（2）根据图形能较熟练地对该图形中所包含的某一种（或几种）图形进行计数。

（3）培养做事有条理、有秩序的号习惯。

一、课前一练1、数一数下列图形各有几条线段2、数一数下图共有几个角3、数一数下图共有几个三角形二、思维拓展例题1.数出下面图中有多少条线段？分析：以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。

所以，图中共有线段3+2+1=6（条）[小窍门]我们可以采用以线段左端点分类数的方法一次数出来。

练一练下图共有几条线段？例题2.数出右图中总共有多少个角分析：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1 个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个角。

练一练：数一数右图中总共有多少个角？例题3数一数共有多少个三角形？分析：以AB、AC、AD、分别为三角形的一边可数出共有三角形3+2+1=6（个）解：以AB为边的三角形有：△ABC、△ABD、△ABE 3个；以AC为边的三角形有：△ACD、△ACE 2个；以AD为边的三角形有：△ADE 1个。

所以图中共有三角形3+2+1=6（个）。

【小窍门】数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。

第九讲图形计数1、掌握数线段、角、三角形、正方形和长方形的计数方法；2、学会对复杂图形的计数时，要做到不重复、不遗漏；3、培养学员有条理地做事情的能力。

主要知识点：1、几何形体计数的基本方法：分类计数法。

2、线段、角、三角形、正方形和长方形的计数方法。

3、一些特殊图形的计数方式。

能正确计算形体的个数，应做到计数时不重不漏，有条理有次序地计数。

计算个数常用的计数法有逐个计数法、分类计数法、直接计数法、间隔计数法和标数法等。

用排列组合的思想解决图形计数的问题。

数一数共有多少个三角形？【解析】用排列组合的思想解决问题，我们在数三角形的时候，只要确定最底下的一条边即可，譬如，确定了线段BD，就能确定三角形ABD。

而BC上一共有25C＝5×4÷（1×2）＝10条线段，就有10个三角形。

解答：共有3×25C＝30个三角形。

在一块画有4×4方格网木板上钉了25颗铁钉(如图)，如果用线绳围正方形，最多可以围出多少个？【解析】此类问题一般用分类方法计数。

对正方形的边长分八类计数如下:边长为AB的正方形有16个；边长为AC的正方形有9个；边长为AD的正方形有4个；边长为AE的正方形有1个；边长为DF的正方形讲演者：得分：讲演者：得分：有9个；边长为CF的正方形有8个；边长为BF的正方形有2个；边长为CG的正方形有1个。

解答：最多可围出50个正方形。

下图的图形中一共有多少个三角形?【解析】①单个三角形有6个；②两个图形组成的有4个；③三个图形组成的有1个；④四个图形组成的有2个；⑤八个图形组成的有1个。

解答：一共有 6＋4＋1＋2＋1＝14个。

数一数图中一共有多少个三角形？【解析】分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：第一步：大矩形ABCD可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的。

第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的。