《创新设计》高考数学人教A版(理)一轮复习：第八篇 第5讲 直线、平面垂直的判定及其性质

第 5 讲直线、平面垂直的判断及其性质A 级基础操练(时间： 30 分钟满分：55分)一、选择题 (每题 5 分，共 20 分)1．已知平面α与平面β订交，直线 m⊥α，则()．A．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直B．β内不必定存在直线与m 平行，不必定存在直线与m 垂直C．β内不必定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直D．β内必存在直线与m 平行，不必定存在直线与m 垂直分析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线 a 平行，则有 m 与之垂直．但却不必定在β内有与 m 平行的直线，只有当α⊥β时才存在．答案 C2．已知直线 l 垂直于直线 AB 和 AC，直线 m 垂直于直线 BC 和 AC，则直线 l ，m的地点关系是A．平行B．异面C．订交(D．垂直)．分析由于直线 l 垂直于直线 AB 和 AC，所以 l 垂直于平面 ABC，同理，直线m 垂直于平面 ABC，依据线面垂直的性质定理得l∥m.答案A3．已知P 为△ ABC 所在平面外的一点，则点P 在此三角形所在平面上的射影是△ABC 垂心的充足必需条件是()．A．PA＝ PB＝ PCB．PA⊥ BC， PB⊥ ACC．点 P 到△ ABC 三边所在直线的距离相等D．平面 PAB、平面 PBC、平面 PAC 与△ ABC 所在的平面所成的角相等分析条件 A 为外心的充足必需条件，条件C、D 为心里的必需条件，应选B.答案B4．设α，β为不重合的平面， m，n 为不重合的直线，则以下命题正确的选项是( )．A．若α⊥β，α∩β＝ n， m⊥ n，则 m⊥αB．若 m? α， n? β， m⊥n，则 n⊥αC．若 n⊥α， n⊥β，m⊥β，则 m⊥αD．若 m∥α，n∥β， m⊥n，则α⊥β分析与α、β两垂直订交平面的交线垂直的直线 m，可与α平行或订交，故 A 错；对 B，存在 n∥α状况，故 B 错；对 D，存在α∥β状况，故 D 错．由 n ⊥α，n⊥β，可知α∥β，又 m⊥β，所以 m⊥α，故 C 正确，选 C. 答案 C二、填空题 (每题 5 分，共 10 分)5.如图，拿一张矩形的纸对折后稍微睁开，直立在桌面上，折痕与桌面的地点关系是 ________．分析折痕与矩形在桌面内的两条订交直线垂直，所以折痕与桌面垂直．答案垂直6．(2012 ·石家庄一模 )已知直线 l ⊥平面α，直线 m? 平面β.给出以下命题：①α∥β? l⊥ m；②α⊥β? l ∥m；③ l ∥m? α⊥β；④ l⊥m? α∥β.此中正确命题的序是 ________．分析由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；由于 l ⊥α，α⊥β? l ∥β或 l? β，所以 l ，m 平行、订交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判断定理可知③正确；由于l⊥α，l ⊥m? m? α或 m∥α，又 m? β，所以α，β可能平行或订交，故④错误．答案①③三、解答题 (共 25 分)7．(12 分)如图，已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面， M，N 分别是 AB，PC 的中点．(1)求证： MN⊥CD；(2)若∠ PDA＝ 45°，求证： MN⊥平面 PCD.证明(1)如图，连结 AC，AN，BN，∵ PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥ AC，在 Rt△PAC 中， N 为 PC 中点，1∴AN＝2PC.∵PA⊥平面 ABCD，∴PA⊥ BC，又 BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面 PAB，∴ BC⊥PB，进而在 Rt△ PBC 中， BN 为斜边 PC 上的中线，1∴BN＝2PC.∴AN＝BN，∴△ ABN 为等腰三角形，又 M 为底边的中点，∴ MN⊥ AB，又∵AB∥CD，∴ MN⊥CD.(2)连结 PM、MC，∵∠ PDA＝45°，PA⊥AD，∴ AP＝AD.∵四边形 ABCD 为矩形，∴AD＝BC，∴ PA＝BC.又∵M 为 AB 的中点，∴ AM＝BM.而∠ PAM＝∠ CBM＝ 90°，∴ PM＝CM.又 N 为 PC 的中点，∴ MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面 PCD.8．(13 分)(2013 泉·州模拟 )如下图，在直四棱柱 ABCD －A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点 M 是棱 BB1上一点．(1)求证： B1D1∥平面 A1BD；(2)求证： MD ⊥ AC；(3)试确立点M 的地点，使得平面DMC 1⊥平面CC1D1D.(1)证明由直四棱柱，得BB1∥DD 1，又∵ BB1＝ DD 1，∴ BB1D1D 是平行四边形，∴B1D1∥BD.而 BD? 平面 A1 BD， B1D1?平面 A1BD，∴B1D1∥平面 A1BD.(2)证明∵BB1⊥平面 ABCD， AC? 平面 ABCD，∴BB1⊥AC.又∵ BD⊥AC，且 BD∩BB1＝B，∴ AC⊥平面 BB1 D.而 MD? 平面 BB1D，∴MD⊥AC.(3)解当点 M 为棱 BB1的中点时，平面 DMC 1⊥平面 CC1D1 D.取 DC 的中点 N，D1C1的中点 N1，连结 NN1交 DC1于 O，连结 OM，如下图．∵N是 DC 的中点， BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵ DC 是平面 ABCD 与平面 DCC1D1的交线，而平面 ABCD⊥平面 DCC1D1，∴BN⊥平面 DCC1D1.又可证得 O 是 NN1的中点，∴BM∥ON 且 BM＝ON，即 BMON 是平行四边形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面 CC1D1D.∵OM? 平面 DMC 1，∴平面 DMC1⊥平面 CC1D1D.B 级能力打破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题 (每题 5 分，共 10 分 )1．如图 (a)，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 BC、CD 的中点， G 是 EF 的中点，此刻沿 AE、AF 及 EF 把这个正方形折成一个四周体，使 B、C、D 三点重合，重合后的点记为H，如图 (b)所示，那么，在四周体 A－ EFH 中必有()．A ．AH⊥△ EFH 所在平面C．HF ⊥△ AEF 所在平面B．AG⊥△EFHD． HG⊥△ AEF所在平面所在平面分析折成的四周体有AH⊥ EH， AH⊥ FH ，∴AH⊥面 HEF.答案 A2.如图，在斜三棱柱1 1 1 中，∠BAC＝90°，ABC－A B CBC1⊥AC，则 C1在底面 ABC 上的射影 H 必在()．A．直线 AB 上B．直线 BC 上C．直线 AC 上D．△ ABC 内部分析由 BC1⊥AC，又 BA⊥ AC，则 AC⊥平面 ABC1，所以平面 ABC⊥平面ABC1，所以 C1在底面 ABC 上的射影 H 在直线 AB 上．答案 A二、填空题 (每题 5 分，共 10 分 )3.如图，在四棱锥 P－ ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，且底面各边都相等， M 是 PC 上的一动点，当点 M 知足 ________时，平面MBD ⊥平面PCD.(只需填写一个你以为正确的条件即可)分析∵PC 在底面 ABCD 上的射影为 AC，且 AC⊥BD，∴ BD⊥ PC.∴当 DM ⊥PC(或 BM⊥PC)时，即有 PC⊥平面 MBD，而 PC? 平面 PCD，∴平面 MBD ⊥平面 PCD.答案DM⊥PC(或 BM⊥PC)4.如图， PA⊥圆 O 所在的平面， AB 是圆 O 的直径， C 是圆 O上的一点， E、F 分别是点 A 在 PB、PC 上的正投影，给出以下结论：①AF⊥PB；② EF⊥PB；③ AF⊥BC；④ AE⊥平面 PBC.此中正确结论的序是 ________．分析由题意知 PA⊥平面 ABC，∴ PA⊥BC.又 AC⊥ BC， PA∩AC＝A，∴ BC⊥平面 PAC.∴BC⊥AF.∵ AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面 PBC，∴ AF⊥PB，AF⊥BC.又 AE⊥ PB， AE∩ AF＝ A，∴ PB⊥平面 AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．答案①②③三、解答题 (共 25 分 )5．(12 分)(2013 汕·头模拟 )如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直 ) 被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中， M 是 BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，相关数据如下图．(1)若 N 是 BC 的中点，证明：AN∥平面 CME；(2)证明：平面 BDE⊥平面 BCD.(3)求三棱锥 D－BCE 的体积．(1)证明连结MN，则MN∥CD，AE∥CD，1又 MN＝AE＝2CD，∴四边形 ANME 为平行四边形，∴AN∥EM.∵AN?平面 CME，EM? 平面 CME，∴AN ∥平面 CME.(2)证明∵ AC ＝ AB ， N 是 BC 的中点， AN ⊥ BC ，又平面 ABC ⊥平面 BCD ，∴AN ⊥平面 BCD.由(1)，知 AN ∥EM ，∴EM ⊥平面 BCD.又 EM? 平面 BDE ，∴平面 BDE ⊥平面 BCD.1(3)解 V D －BCE ＝ V E －BCD ＝3S △BCD ·|EM|1 2 2×4 2＝ 8＝3× 2 × 3.6． (13 分 )(2013 合·肥模拟 )如图，在多面体 ABC －A 1B 1C 1 中，AA 1⊥平面 ABC ，AA 1 綉 BB 1，AB ＝ AC21＝ AA 1 ＝ 2 BC ， B 1C 1 綉2BC.(1)求证： A 1B 1⊥平面 AA 1C ；(2)若 D 是 BC 的中点，求证： B 1D ∥平面 A 1C 1C.(3)若 BC ＝2，求几何体 ABC －A 1B 1C 1 的体积．(1)证明∵ AB ＝ AC ＝22 2 22 BC ，AB ＋AC ＝BC ，∴AB ⊥AC ，又 AA 1⊥平面 ABC ， AB? 平面 ABC ，∴AA 1⊥ AB ， AA 1∩AC ＝A ，∴AB ⊥平面 AA 1C ，又∵ AA 1 綉 BB 1，∴四边形 ABB 1A 1 为平行四边形．∴A 1B 1∥AB ，∴ A 1B 1⊥平面 AA 1C.(2)证明 ∵B 1C 1 1 BC ，且 D 是 BC 的中点，綉2∴CD 綉 C 1 1，∴四边形 C 1 CDB 1 为平行四边形，B∴B 1D ∥1 ， 1平面 1 1 C 且 1 平面1 1 ，CC BD?A CC C?A C C∴B 1D ∥平面11ACC.(3)解连结 AD ，DC 1，＝V 三棱柱 1 1 1－ABD＋V四棱锥C－AA1 1V A B C C D 1152＝2×1×1×2＋3×( 2×1)×1＝ 6 .特别提示：教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各样电子资源见《创新设计·高考总复习》光盘中内容.。

第5讲直线平面垂直的刘定及其性质【2014年高考会这样考】1.以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定.考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力.2.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题.01二抓住2土考点必考必记夯基固本考点梳理1.直线与平面垂直(1)定义：若直线Z与平面。

内的垒亶一条直线都垂直，则直线Z与平面。

垂貳(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条施瞠直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直今线面垂直).即:ac.a9 bug l_\_a3I 丄b. “Clb=P=> /丄Q •(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线士即:a_La, a//b . 2.平面与平面垂直(1) 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2) 判定定理：一个平面过另一个平面的垦1,则这两个平面垂直.即：aca,"丄0— a丄0 ・(3) 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于玄线_的直线与另一个平面迹上L・即：以丄P，a<=«, aC\fi=b, a丄方今。

丄0 .【助学•微博】_个转化垂直问题的转化关系判定判定 判定 “线线垂直 ■ -线面垂直. -面面垂直性质 性质性质四种方法证明线面垂直的方法：判定定理、平行线垂直平面的传递性（a〃方,方丄丄。

）、面面垂直的性质定理、面面平行的性质（a丄a , a〃0=垃丄0）・考点自测1・已知直线/丄血直线m//^下列命题中正确的是（）.A. a丄pdl丄加 C. 2丄m=^a//p解析 由/〃加f Z±a=>m丄a又加#〃“ ■:・m—定平行于“内的一条直线弘*.bA_a ,丄0・答案D2・m、兀是空间中两条不同直线，a 、0是两个不同平面，下面有四个命题:①仇丄a, n//pj a//丄兀；②m丄rt, a//fl9加丄a=^n//fl；③m丄兀,a//py m 〃adnlp；④加丄a, miln、a//fl^nA^p.其中真命题的是（）.A.①③B.①④C.②③ D.②④解析 ①中/由n//p f a//p^n//as&ncia ,又加丄a .：・m丄〃f故①正确；②中,可能,故②错误；③中< 直线〃可能与平面/斜交或平行，也可能在平画?内 <故③错；④中，由m//n , m^a f可得〃丄（Z f又久〃"可得〃丄“ r故④正确•答案B3. （2012-安徽）设平面a与平面0相交于直线加，直线°在平面a内,直线b在平面0内，且b丄加，则他丄”"是“°丄ZT的（）.A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 丄0 ,又= , bu/i , b丄fn , 根据两个平面垂直的性质定理可潯丄。

2021年高考数学大一轮总复习 8.5 直线、平面垂直的判定及其性质高效作业理新人教A版一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是( )A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β解析：由m⊥α，m∥n⇒n⊥α，又n∥β，则n平行于β内某一直线n′，此时n′∥m，于是α⊥β.答案：D2．(xx·石家庄诊断)教室内任意放一支笔直的铅笔，则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线( )A．平行B．相交C．异面D．垂直解析：这支铅笔与地面存在三种位置关系，若在地面内，则C排除；若与地面平行则B 排除；若与地面相交，则A排除，选D.答案：D3．(教材改编题)设P是△ABC所在平面外一点，P到△ABC各顶点的距离相等，而且P 到△ABC各边的距离也相等，那么△ABC( )A．是非等腰的直角三角形B．是等腰的直角三角形C．是等边三角形D．不是A、B、C所述的三角形解析：设O是点P在平面ABC内的射影，因为P到△ABC各顶点的距离相等，所以O是三角形的外心，又P到△ABC各边的距离也相等，所以O是三角形的内心，故△ABC是等边三角形，选C.答案：C4．(xx·徐州模拟)如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面互相垂直，则这两个二面角的大小是( )A．相等B．互补C．相等或互补D．无法确定解析：如图一个二面角α－BC－δ与另一个二面角γ－BA－β的两个半平面分别垂直，即α⊥γ且δ⊥β，其中α⊥β，当δ面绕BC转动时，α－CB－δ的角度变化，∴这两个二面角的大小无法确定. 故选D.答案：D5．(xx·泉州二模)把等腰直角△ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B－AD－C，则BD 与平面ABC所成角的正切值为( )A. 2B.2 2C．1 D.3 3解析：如图，在面ADC中，过D作DE⊥AC，交AC于点E.连接BE，因为二面角B－AD －C为直二面角，所以BD⊥平面ADC，故BD⊥AC.由以上可知，AC⊥平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC，故∠DBE就是BD与平面ABC所成角，在Rt△DBE中，易求tan∠DBE＝22，故选B.答案：B6．(理)(xx·山西大学附中)三棱锥P —ABC 的两侧面PAB 、PBC 都是边长为2a 的正三角形，AC ＝3a ，则二面角A —PB —C 的大小为( )A ．90°B ．30°C ．45°D ．60°解析：取PB 的中点M ，连结AM 、CM ，则AM ⊥PB ，CM ⊥PB ，所以∠AMC 为二面角A —PB —C 的平面角．易得AM ＝CM ＝3a ，则△AMC 为正△，所以∠AMC ＝60°.答案：D(文)(xx·山东)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：如图所示，由点P 向面ABC 作垂线，其垂足M 为△ABC 的中心，连接PA ，AM ，则∠PAM 即为PA 与面ABC 所成的角．设棱柱的高为h ，则V ＝34(3)2h ＝94，故h ＝3，∴PM ＝3，又AM ＝1，故在Rt △PMA 中可知tan ∠PAM ＝3，∴∠PAM ＝π3.答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上) 7．(xx·泰州模拟)正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，高为2，E 是边BC 的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE ⊥AC ，则动点P 的轨迹的周长为________．解析：如图，取CD 的中点F 、SC 的中点G ，连接EF ，EG ，FG ，EF 交AC 于点H ，易知AC ⊥EF ，又GH ∥SO ，∴GH ⊥平面ABCD ，∴AC ⊥GH ，∴AC ⊥平面EFG ， 故点P 的轨迹是△EFG ， 其周长为2＋ 6. 答案：2＋ 68．(xx·天门模拟)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点F 在线段AA 1上，当AF ＝________时，CF ⊥平面B 1DF .解析：由题意易知，B 1D ⊥平面ACC 1A 1，所以B 1D ⊥CF . 要使CF ⊥平面B 1DF ， 只需CF ⊥DF 即可．令CF ⊥DF ，设AF ＝x ，则A 1F ＝3a －x . 由Rt △CAF ∽Rt △FA 1D ，得AC A 1F ＝AF A 1D， 即2a 3a －x ＝xa， 整理得x 2－3ax ＋2a 2＝0， 解得x ＝a 或x ＝2a . 答案：a 或2a9．(xx·卫辉月考)设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊄α，则n ∥α； ②若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β； ③若m ⊥β，α⊥β，则m ∥α或m ⊂α； ④ 若m ⊥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α⊥β. 则其中正确命题的序号为________．解析：①③④正确．②中，可能有m ∥β或m ⊂β，故②不正确． 答案：①③④10．(xx·豫北六校精英联考)a 、b 表示直线α、β、γ表示平面． ①若α∩β＝a ，b ⊂α，a ⊥b ，则α⊥β；②若a ⊂α，a 垂直于β内任意一条直线，则α⊥β； ③若α⊥β，α∩β＝a ，α∩γ＝b ，则a ⊥b④若a 不垂直于平面α，则a 不可能垂直于平面α内的无数条直线； ⑤若a ⊥α，b ⊥β，a ∥b ，则α∥β.上述五个命题中，正确命题的序号是________．解析：对①可举反例如图，需b⊥β才能推出α⊥β.对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可得到a，b不垂直；对④只需垂直于α内一条直线便可以垂直α内无数条与之平行的直线．所以只有②⑤是正确的．答案：②⑤三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．(xx·江西上饶中学二模)如图，在等腰梯形ABCD中，CD＝2，AB＝4，AD＝BC＝2，E、F分别为CD、AB中点，沿EF将梯形AFED折起，使得∠AFB＝60°，点G为FB的中点．(1)求证：AG⊥平面BCEF；(2)求DG的长度．解：(1)证明：因为AF＝BF，∠AFB＝60°，则△AFB为等边三角形，又G为FB的中点，所以AG⊥FB.在等腰梯形ABCD中，因为E、F分别是CD、AB中点，所以EF⊥AB，于是EF ⊥AF，EF⊥BF，则EF⊥平面ABF，所以AG⊥EF.又EF与FB交于一点F，所以AG⊥平面BCEF.(2)取EC的中点M，连结DM、GM、CG，易得平面ABF∥平面DCE，DM∥AG，因为AG⊥BCEF，则DM⊥BCEF，则DM⊥MG.知EC＝FG＝BG＝1，从而CG∥EF.在Rt△CGB中，CG⊥BG，BG＝1，BC＝2，则CG＝1，则在Rt△CGM中，GM＝GC2＋CM2＝52.又易知DM＝32.那么在Rt△DGM中，DG＝GM2＋DM2＝ 2.12．(理)(xx·四川)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．(Ⅰ)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD1A1；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．解：(Ⅰ)如图，在平面ABC 内，过点P 作直线l ∥BC ，因为l 在平面A 1BC 外，BC 在平面A 1BC 内，由直线与平面平行的判定定理可知，l ∥平面A 1BC .由已知，AB ＝AC ，D 是BC 的中点， 所以，BC ⊥AD ，则直线l ⊥AD . 因为AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥直线l .又因为AD ，AA 1在平面ADD 1A 1内，且AD 与AA 1相交． 所以直线l ⊥平面ADD 1A 1.(Ⅱ)解法一：连接A 1P ，过A 作AE ⊥A 1P 于E ，过E 作EF ⊥A 1M 于F ，连接AF . 由(Ⅰ)知，MN ⊥平面AEA 1，所以平面AEA 1⊥平面A 1MN . 所以AE ⊥平面A 1MN ，则A 1M ⊥AE . 所以A 1M ⊥平面AEF ，则A 1M ⊥AF .故∠AFE 为二面角A －A 1M －N 的平面角(设为θ)．设AA 1＝1，则由AB ＝AC ＝2AA 1，∠BAC ＝120°，有∠BAD ＝60°，AB ＝2，AD ＝1. 又P 为AD 的中点，所以M 为AB 中点，且AP ＝12，AM ＝1.所以，在Rt △AA 1P 中，A 1P ＝52；在Rt △A 1AM 中，A 1M ＝ 2. 从而AE ＝AA 1·AP A 1P ＝15，AF ＝AA 1·AM A 1M ＝12， 所以sin θ＝AE AF ＝25. 所以cos θ＝1－sin 2θ＝1－252＝155. 故二面角A －A 1M －N 的余弦值为155. 解法二：设A 1A ＝1.如图，过A 1作A 1E 平行于B 1C 1，以A 1为坐标原点，分别以A 1E →，A 1D 1→，A 1A →的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点A 1重合)．则A 1(0,0,0)，A (0,0,1)，B (3，1,1)，C (－3，1,1)． 因为P 为AD 的中点，所以M ，N 分别为AB ，AC 的中点， 故M (32，12，1)，N (－32，12，1)． 所以A 1M →＝(32，12，1)，A 1A →＝(0,0,1)，MN →＝(－3，0,0)．设平面AA 1M 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则 ⎩⎨⎧n 1⊥A 1M →，n 1⊥A 1A →，即⎩⎨⎧n 1·A 1M →＝0，n 1·A 1A →＝0.故有⎩⎪⎨⎪⎧x 1，y 1，z 1·32，12，1＝0，x 1，y 1，z 1·0，0，1＝0，从而⎩⎪⎨⎪⎧32x 1＋12y 1＋z 1＝0，z 1＝0.取x 1＝1，则y 1＝－3，所以n 1＝(1，－3，0)． 设平面A 1MN 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧n 2⊥A 1M →，n 2⊥MN →，即⎩⎨⎧n 2·A 1M →＝0，n 2·NM →＝0，故有⎩⎪⎨⎪⎧x 2，y 2，z 2·32，12，1＝0，x 2，y 2，z 2·－3，0，0＝0.从而⎩⎪⎨⎪⎧32x 2＋12y 2＋z 2＝0，3x 2＝0.取y 2＝2，则z 2＝－1，所以n 2＝(0,2，－1)．设二面角A－A1M－N的平面角为θ，又θ为锐角，则cosθ＝|n1·n2|n1|·|n2||＝|1，－3，0·0，2，－12·5|＝155.故二面角A－A1M－N的余弦值为15 5.(文)(xx·四川)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．(Ⅰ)在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l ⊥平面ADD1A1；(Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．(锥体体积公式：V＝1 3Sh，其中S为底面面积，h为高)解：(Ⅰ)如图，在平面ABC内，过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.由已知，AB＝AC，D是BC的中点，所以，BC⊥AD，则直线l⊥AD.因为AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥直线l.又因为AD，AA1在平面ADD1A1内，且AD与AA1相交，所以直线l⊥平面ADD1A1.(Ⅱ)过D作DE⊥AC于E.因为AA1⊥平面ABC，所以DE⊥AA1.又因为AC，AA1在平面AA1C1C内，且AC与AA1相交，所以DE⊥平面AA1C1C，由AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，有AD＝1，∠DAC＝60°，所以在△ACD中，DE＝32AD＝32.又S△A 1QC 1＝12A 1C 1·AA 1＝1.所以VA 1－QC 1D ＝VD －A 1QC 1＝13DE ·S △A 1QC 1＝13×32×1＝36.因此三棱锥A 1－QC 1D 的体积是36.13．(理)(xx·北京)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(Ⅰ)求证：AA 1⊥平面ABC ；(Ⅱ)求二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值；(Ⅲ)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .并求BDBC 1的值． 解：(Ⅰ)因为AA 1C 1C 为正方形，所以AA 1⊥AC .因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ， 所以AA 1⊥平面ABC .(Ⅱ)由(Ⅰ)知AA 1⊥AC ，AA 1⊥AB . 由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4， 所以AB ⊥AC .如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ， 则B (0,3,0)，A 1(0,0,4)，B 1(0,3,4)，C 1(4,0,4)． 设平面A 1BC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎨⎧n ·A 1B →＝0，n ·A 1C 1→＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3y －4z ＝0，4x ＝0.令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)． 同理可得，平面B 1BC 1的法向量为m ＝(3,4,0)． 所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝1625. 由题知二面角A 1－BC 1－B 1为锐角， 所以二面角A 1－BC 1－B 1的余弦值为1625.(Ⅲ)设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→. 所以(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)． 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. 所以AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)． 由AD →·A 1B →＝0，即9－25λ＝0， 解得λ＝925.因为925∈[0,1]，所以在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B .此时，BD BC 1＝λ＝925.(文)(xx·北京)如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点．求证：(Ⅰ)PA ⊥底面ABCD ； (Ⅱ)BE ∥平面PAD ； (Ⅲ)平面BEF ⊥平面PCD .证明：(Ⅰ)因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且PA 垂直于这两个平面的交线AD ，所以PA ⊥底面ABCD .精品文档(Ⅱ)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形．所以BE∥AD.又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD.(Ⅲ)因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(Ⅰ)知PA⊥底面ABCD.所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.B33836 842C 萬36431 8E4F 蹏22227 56D3 囓25353 6309 按32581 7F45 罅 |23036 59FC 姼36877 900D 逍 36069 8CE5 賥_31604 7B74 筴实用文档。

第5讲直线、平面垂直的判定及其性质【2014年高考会这样考】1．以锥体、柱体为载体考查线面垂直的判定．考查空间想象能力、逻辑思维能力，考查转化与化归思想的应用能力．2．能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，运用公理、定理和已获得的结论，证明一些有关空间中线面垂直的有关性质和判定定理的简单命题．对应学生117考点梳理1．直线与平面垂直(1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l ⊥α.(3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 2．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.(3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β.【助学·微博】一个转化垂直问题的转化关系四种方法证明线面垂直的方法：判定定理、平行线垂直平面的传递性(a∥b，b⊥α⇒a ⊥α)、面面垂直的性质定理、面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．考点自测1．已知直线l⊥α，直线m∥β，下列命题中正确的是()．A．α⊥β⇒l⊥m B．α⊥β⇒l∥mC．l⊥m⇒α∥βD．l∥m⇒α⊥β解析由l∥m，l⊥α⇒m⊥α，又m∥β，∴m一定平行于β内的一条直线b.∴b ⊥α，∴α⊥β.答案 D2．m、n是空间中两条不同直线，α、β是两个不同平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中真命题的是()．A．①③B．①④C．②③D．②④解析①中，由n∥β，α∥β得n∥α或n⊂α，又m⊥α，∴m⊥n，故①正确；②中，可能n⊂β，故②错误；③中，直线n可能与平面β斜交或平行，也可能在平面β内，故③错；④中，由m∥n，m⊥α，可得n⊥α，又α∥β可得n ⊥β，故④正确．答案 B3．(2012·安徽)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b 在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析若α⊥β，又α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又因为a⊂α，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，即不能推出α⊥β.答案 A4．(2012·浙江)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝ 2.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()．A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析对于AB⊥CD，因为BC⊥CD，可得CD⊥平面ACB，因此有CD⊥AC.因为AB＝1，BC＝2，CD＝1，所以AC＝1，所以存在某个位置，使得AB ⊥CD.答案 B5.如图，已知P A⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析由线面垂直知，图中直角三角形为4个．答案 4对应学生118考向一直线与平面垂直的判定与性质【例1】►(2012·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面P AD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝12AB，PH为△P AD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；(3)证明：EF⊥平面P AB.[审题视点] (1)由PH⊥AD及AB⊥平面P AD可证；(2)以AD为△BCF的高，而点E到平面BCF的距离可借助PH垂直底面ABCD求得；(3)取P A的中点M，可证DM綉FE，且DM⊥平面P AB，从而得证．(1)证明因为AB⊥平面P AD，PH⊂平面P AD，所以PH⊥AB.因为PH为△P AD中AD边上的高，所以PH⊥AD.又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以PH⊥平面ABCD.(2)解如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG.因为E是PB的中点，所以EG∥PH，且EG＝12PH＝12.因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD.因为AB⊥平面P AD，AD⊂平面P AD，所以AB⊥AD，所以底面ABCD为直角梯形，从而△BCF以CF为底边的高为AD，所以V E－BCF ＝13S△BCF·EG＝13·12·FC·AD·EG＝212.(3)证明取P A中点M，连接MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綉12AB.又因为DF綉12AB，所以ME綉DF，所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥P A.因为AB⊥平面P AD，所以MD⊥AB.因为P A∩AB＝A，所以MD⊥平面P AB，所以EF⊥平面P AB.线面垂直的判定定理实质是由线线垂直推证线面垂直，途径是找到一条直线与平面内的两条相交直线垂直．推证线线垂直时注意分析几何图形，寻找隐含条件．三角形全等、等腰梯形底边上的中线、高、勾股定理等都是找线线垂直的方法．【训练1】如图，已知BD⊥平面ABC，AC＝BC，N是棱AB的中点．求证：CN⊥AD. 证明∵BD⊥平面ABC，CN⊂平面ABC，∴BD⊥CN.又∵AC＝BC，N是AB的中点．∴CN⊥AB.又∵BD∩AB＝B，∴CN⊥平面ABD.而AD⊂平面ABD，∴CN⊥AD.考向二平面与平面垂直的判定与性质【例2】►如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．证明：平面ABM⊥平面A1B1M.[审题视点] 考虑先证明直线BM⊥平面A1B1M，则由面面垂直的判定定理可得平面ABM⊥A1B1M.证明由长方体的性质可知A1B1⊥平面BCC1B1，又BM⊂平面BCC1B1，所以A1B1⊥BM.又CC1＝2，M为CC1的中点，所以C1M＝CM＝1.在Rt△B1C1M中，B1M＝B1C21＋MC21＝2，同理BM＝BC2＋CM2＝2，又B1B＝2，所以B1M2＋BM2＝B1B2，从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M＝B1，所以BM⊥平面A1B1M，因为BM⊂平面ABM，所以平面ABM⊥平面A1B1M.证明面面垂直的方法有：一是定义法，即证明两个平面的二面角为直二面角；二是用判定定理，即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线，也就是把“面面垂直”问题转化为“线面垂直”问题，又将“线面垂直”问题进一步转化为“线线垂直”问题．【训练2】在如图所示的几何体中，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，M为AF的中点，BN⊥CE.(1)求证：CF∥平面MBD；(2)求证：CF⊥平面BDN.证明(1)连接AC交BD于点O，连接OM.因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点．因为M为AF的中点，所以FC∥MO.又因为MO⊂平面MBD，FC⊄平面MBD，所以FC∥平面MBD.(2)因为正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直，所以AF⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD，所以AF⊥BD.又因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.因为AC∩AF＝A，所以BD⊥平面ACF，因为FC⊂平面ACF，所以FC⊥BD.因为AB⊥BC，AB⊥BE，BC∩BE＝B，所以AB⊥平面BCE.因为BN⊂平面BCE，所以AB⊥BN.易知EF∥AB，所以EF⊥BN.又因为EC⊥BN，EF∩EC＝E，所以BN⊥平面CEF.因为FC⊂平面CEF，所以BN⊥CF.因为BD∩BN＝B，所以CF⊥平面BDN.考向三垂直关系的综合应用【例3】►如图所示，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥DC，△P AD是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ；(2)求四棱锥P －ABCD 的体积．[审题视点] (1)因为两平面垂直与M 点位置无关，所以在平面MBD 内一定有一条直线垂直于平面P AD ，考虑证明BD ⊥平面P AD .(2)四棱锥底面为一梯形，高为P 到面ABCD 的距离．(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45，∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD . 又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD .又BD ⊂面BDM ，∴面MBD ⊥面P AD .(2)解过P 作PO ⊥AD 于O ，∵面P AD ⊥面ABCD ，∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P －ABCD 的高．又△P AD 是边长为4的等边三角形，∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形，在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高．∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P －ABCD ＝13×24×23＝16 3.(1)对于三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)对于垂直与体积结合的问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积．【训练3】(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE.对应学生119规范解答13——垂直关系综合问题的规范解答【命题研究】 通过分析近几年各省市的高考试题可以看出，高考对线面垂直、面面垂直的判定和性质的考查每年都有，主要以解答题形式出现，考查线面位置关系的相互转化，难度适中．【真题探究】► (本小题满分12分)(2011·辽宁)如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .(1)证明：PQ ⊥平面DCQ ；(2)求棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值．[教你审题] (1)证明PQ ⊥DC ，PQ ⊥QD ，进而可得PQ ⊥平面DCQ ；(2)设出正方形的边长为a ，分别计算两个棱锥的体积，再求体积的比值．[规范解答](1)证明 由条件知四边形PDAQ 为直角梯形，因为QA ⊥平面ABCD ，QA ⊂平面PDAQ ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD .又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，(2分)又PQ ⊂平面PDAQ ，所以PQ ⊥DC .在直角梯形PDAQ 中可得DQ ＝PQ ＝22PD ，则PQ ⊥QD .(5分)又DC ∩QD ＝D ，所以PQ ⊥平面DCQ .(6分)(2)解 设AB ＝a .由题设知AQ 为棱锥Q －ABCD 的高，所以棱锥Q －ABCD 的体积V 1＝13a 3.(8分)由(1)知PQ 为棱锥P －DCQ 的高， 而PQ ＝2a ，△DCQ 的面积为22a 2， 所以棱锥P －DCQ 的体积V 2＝13a 3.(11分)故棱锥Q －ABCD 的体积与棱锥P －DCQ 的体积的比值为1.(12分) [阅卷老师手记] 解答此类问题，以下几点易造成失分： (1)解题时忽视各种垂直间的转化，从而造成思路受阻； (2)缺乏空间想象能力，找不出应该垂直的线和面；(3)答题过程书写不规范，如在证明线面垂直时忽视了对“平面内两条相交直线”的叙述，因此，在复习中要重视对基础知识的积累、解题过程的规范，并且要善于使用数学符号进行表达．证明线面垂直问题的答题模板第一步：作(找)出所证线面垂直中的平面内的两条相交直线； 第二步：证明线线垂直；第三步：根据线面垂直的判定定理证明线面垂直； 第四步：反思回顾，检查解题过程是否规范． 【试一试】 (2013·烟台一模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，CF ＝1. (1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 所成二面角的平面角为θ(θ≤90°)，试求cos θ的取值范围．(1)证明 在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠ABC ＝60°， ∴AB ＝2，AC ＝ 3.∴AB 2＝AC 2＋BC 2.∴BC ⊥AC .∵平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ∩平面ABCD ＝AC ，BC ⊂平面ABCD ，∴BC ⊥平面ACFE . (2)解由(1)可建立分别以直线CA ，CB ，CF 为x 轴，y 轴，z 轴的如图所示空间直角坐标系，令FM ＝λ(0≤λ≤3)，则C (0,0,0)，A (3，0,0)，B (0，1,0)，M (λ，0,1)．∴AB→＝(－3，1,0)，BM →＝(λ，－1,1)． 设n 1＝(x ，y ，z )为平面MAB 的一个法向量， 由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB →＝0，n 1·BM →＝0得⎩⎨⎧－3x ＋y ＝0，λx －y ＋z ＝0.取x ＝1，则n 1＝(1，3，3－λ)． ∵n 2＝(1,0,0)是平面FCB 的一个法向量， ∴cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝11＋3＋(3－λ)2×1＝1(λ－3)2＋4∵0≤λ≤3，∴当λ＝0时，cos θ有最小值77； 当λ＝3时，cos θ有最大值12.∴cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤77，12.对应学生299A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则()．A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直C．β内不一定存在直线与m平行，但必存在直线与m垂直D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直解析如图，在平面β内的直线若与α，β的交线a平行，则有m与之垂直．但却不一定在β内有与m平行的直线，只有当α⊥β时才存在．答案 C2．已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，m的位置关系是()．A．平行B．异面C．相交D．垂直解析因为直线l垂直于直线AB和AC，所以l垂直于平面ABC，同理，直线m垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质定理得l∥m.答案 A3．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是()．A．P A＝PB＝PCB．P A⊥BC，PB⊥ACC．点P到△ABC三边所在直线的距离相等D．平面P AB、平面PBC、平面P AC与△ABC所在的平面所成的角相等解析条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.答案 B4．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是()．A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥αB．若m⊂α，n⊂β，m⊥n，则n⊥αC．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥αD．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β解析与α、β两垂直相交平面的交线垂直的直线m，可与α平行或相交，故A错；对B，存在n∥α情况，故B错；对D，存在α∥β情况，故D错．由n ⊥α，n⊥β，可知α∥β，又m⊥β，所以m⊥α，故C正确，选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．解析折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．答案垂直6．(2012·石家庄一模)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．解析由面面平行的性质和线面垂直的定义可知①正确；因为l⊥α，α⊥β⇒l ∥β或l⊂β，所以l，m平行、相交、异面都有可能，故②错误；由线面垂直的定义和面面垂直的判定定理可知③正确；因为l⊥α，l⊥m⇒m⊂α或m∥α，又m⊂β，所以α，β可能平行或相交，故④错误．答案①③三、解答题(共25分)7．(12分)如图，已知P A⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.证明(1)如图，连接AC，AN，BN，∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥AC，在Rt△P AC中，N为PC中点，∴AN＝12PC.∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BC，又BC⊥AB，P A∩AB＝A，∴BC⊥平面P AB，∴BC⊥PB，从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，∴BN＝12PC.∴AN＝BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，∴MN⊥AB，又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.(2)连接PM、MC，∵∠PDA＝45°，P A⊥AD，∴AP＝AD.∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴P A＝BC.又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.而∠P AM＝∠CBM＝90°，∴PM＝CM.又N为PC的中点，∴MN⊥PC.由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.8．(13分)(2013·泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD －A1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.(1)证明由直四棱柱，得BB1∥DD1，又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.而BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD，∴B1D1∥平面A1BD.(2)证明∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC.(3)解当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD⊥平面DCC1D1，∴BN⊥平面DCC1D1.又可证得O是NN1的中点，∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.∵OM⊂平面DMC1，∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.B级能力突破(时间：30分钟满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．如图(a)，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图(b)所示，那么，在四面体A－EFH中必有()．A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面解析折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥面HEF.答案 A2.如图，在斜三棱柱ABC－A 1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()．A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析由BC1⊥AC，又BA⊥AC，则AC⊥平面ABC1，因此平面ABC⊥平面ABC1，因此C1在底面ABC上的射影H在直线AB上．答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3.如图，在四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为正确的条件即可)解析∵PC在底面ABCD上的射影为AC，且AC⊥BD，∴BD⊥PC.∴当DM ⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD，而PC⊂平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案DM⊥PC(或BM⊥PC)4.如图，P A⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是点A在PB、PC上的正投影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确结论的序号是________．解析由题意知P A⊥平面ABC，∴P A⊥BC.又AC⊥BC，P A∩AC＝A，∴BC⊥平面P AC.∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB，AF⊥BC.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.∴PB⊥EF.故①②③正确．答案①②③三、解答题(共25分)5．(12分)(2013·汕头模拟)如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示．(1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；(2)证明：平面BDE⊥平面BCD.(3)求三棱锥D－BCE的体积．(1)证明连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，又MN＝AE＝12CD，∴四边形ANME 为平行四边形，∴AN ∥EM .∵AN ⊄平面CME ，EM ⊂平面CME ， ∴AN ∥平面CME .(2)证明 ∵AC ＝AB ，N 是BC 的中点，AN ⊥BC ， 又平面ABC ⊥平面BCD ， ∴AN ⊥平面BCD . 由(1)，知AN ∥EM ， ∴EM ⊥平面BCD .又EM ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面BCD . (3)解 V D －BCE ＝V E －BCD ＝13S △BCD ·|EM | ＝13×22×42×2＝83.6．(13分)(2013·合肥模拟)如图，在多面体ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1綉BB 1，AB ＝AC ＝AA 1＝22BC ，B 1C 1綉12BC . (1)求证：A 1B 1⊥平面AA 1C ；(2)若D 是BC 的中点，求证：B 1D ∥平面A 1C 1C . (3)若BC ＝2，求几何体ABC －A 1B 1C 1的体积． (1)证明 ∵AB ＝AC ＝22BC ，AB 2＋AC 2＝BC 2，∴AB ⊥AC ，又AA 1⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴AA 1⊥AB ，AA 1∩AC ＝A ， ∴AB ⊥平面AA 1C ，又∵AA 1綉BB 1，∴四边形ABB 1A 1为平行四边形． ∴A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1⊥平面AA 1C .(2)证明 ∵B 1C 1綉12BC ，且D 是BC 的中点，∴CD綉C1B1，∴四边形C1CDB1为平行四边形，∴B1D∥C1C，B1D⊄平面A1C1C且C1C⊂平面A1C1C，∴B1D∥平面A1C1C.(3)解连接AD，DC1，V＝V三棱柱A1B1C1－ABD＋V四棱锥C－AA1C1D＝12×1×1×2＋13×(2×1)×1＝526.。