高考数学知识点：两个平面的位置关系知识点_知识点总结

高一数学知识点总结_空间几何体的结构知识点高一数学空间几何体的结构知识点篇1空间几何体的结构知识点1、静态的观点有两个平行的平面，其他的面是曲面;动态的观点：矩形绕其一边旋转形成的面围成的旋转体，象这样的旋转体称为圆柱。

2、定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的的曲面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫圆柱的轴;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面;平行于圆柱轴的边旋转而成的面叫圆柱的侧面，圆柱的侧面又称圆柱的面。

无论转到什么位置，不垂直于轴的边都叫圆柱侧面的母线。

表示：圆柱用表示轴的字母表示。

规定：圆柱和棱柱统称为柱体。

3、静态观点：有一平面，其他的面是曲面;动态的观点：直角三角形绕其一直角旋转形成的面围成的旋转体，像这样的旋转体称为圆锥。

4、定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转而形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。

旋转轴叫圆锥的轴;垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面成为圆锥的底面;不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫圆锥的侧面，圆锥的侧面又称圆锥的面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做圆锥侧面的母线。

表示：圆锥用表示轴的字母表示。

规定：圆锥和棱锥统称为锥体。

5、定义：以半直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆台。

还可以看成用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截面于底面之间的部分。

旋转轴叫圆台的轴。

垂直于旋转轴的边旋转而形成的圆面称为圆台的底面;不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫做圆台的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫圆台侧面的母线。

表示：圆台用表示轴的字母表示。

规定：圆台和棱台统称为台体。

6、定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面，球面所围成的旋转体称为球体，简称为球。

半圆的圆心称为球心，连接球面上任意一点与球心的线段称为球的半径，连接球面上两点并且过球心的线段称为球的直径。

表示：用表示球心的字母表示。

高考数学必考知识点总结_数学知识点总结2022高考数学必考知识点第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二、平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三、数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四、空间向量和立体几何，在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五、概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六、解析几何。

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括：第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法;第二类我们所讲的动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点;第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

第七、押轴题。

考生在备考复习时，应该重点不等式计算的方法，虽然说难度比较大，我建议考生，采取分部得分整个试卷不要留空白。

这是高考所考的七大板块核心的考点。

高考数学立体几何知识要点知识点总结及解题思路方法一、知识提纲（一）空间的直线与平面⒈平面的基本性质⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途．⑵斜二测画法．⒉空间两条直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线．⑴公理四（平行线的传递性）．等角定理．⑵异面直线的判定：判定定理、反证法．⑶异面直线所成的角：定义（求法）、范围．⒊直线和平面平行直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性质．⒋直线和平面垂直⑴直线和平面垂直：定义、判定定理．⑵三垂线定理及逆定理．5.平面和平面平行两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质．6.平面和平面垂直互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．（二）直线与平面的平行和垂直的证明思路（见附图）（三）夹角与距离7.直线和平面所成的角与二面角⑴平面的斜线和平面所成的角：三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平面所成的角、直线和平面所成的角．⑵二面角：①定义、范围、二面角的平面角、直二面角．②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理．8.距离⑴点到平面的距离．⑵直线到与它平行平面的距离．⑶两个平行平面的距离：两个平行平面的公垂线、公垂线段．⑷异面直线的距离：异面直线的公垂线及其性质、公垂线段．（四）简单多面体与球9.棱柱与棱锥⑴多面体．⑵棱柱与它的性质：棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质．⑶平行六面体与长方体：平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、正方体；平行六面体的性质、长方体的性质．⑷棱锥与它的性质：棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质．⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法．10.多面体欧拉定理的发现⑴简单多面体的欧拉公式．⑵正多面体．11.球⑴球和它的性质：球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离． ⑵球的体积公式和表面积公式．二、常用结论、方法和公式1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;c o s c o s c o s 21θθθ=3.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成2θ，设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ；4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；5.直线与平面所成的角斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。

必修1数学知识点第一章、集合与函数概念§1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。

集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。

3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R .4、集合的表示方法：列举法、描述法.§1.1.2、集合间的基本关系1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的子集。

记作B A ⊆.2、 如果集合B A ⊆，但存在元素B x ∈，且A x ∉，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B.3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：∅.并规定：空集合是任何集合的子集.4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集.§1.1.3、集合间的基本运算1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A .2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A .3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈∉且§1.2.1、函数的概念1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作：()A x x f y ∈=,.2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等.§1.2.2、函数的表示法1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.§1.3.1、单调性与最大（小）值1、 注意函数单调性证明的一般格式：解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=…§1.3.2、奇偶性1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数.偶函数图象关于y 轴对称.2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称.第二章、基本初等函数（Ⅰ）§2.1.1、指数与指数幂的运算1、 一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根。

高中数学解析几何知识点总结高中数学解析几何知识点总结笔记空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面。

按是否共面可分为两类：(1)共面：平行、相交(2)异面：异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。

异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。

两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp。

空间向量法。

两异面直线间距离：公垂线段(有且只有一条)esp。

空间向量法。

若从有无公共点的角度看可分为两类：(1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面。

直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行。

①直线在平面内——有无数个公共点②直线和平面相交——有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。

空间向量法(找平面的法向量)规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角;b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角。

由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°]。

最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角。

三垂线定理及逆定理：如果平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。

直线和平面垂直直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直。

直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a 的垂面。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。

直线和平面平行——没有公共点直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。

直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

高中数学知识点总结高考数学知识点总结1一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节主要是考函数和导数，因为这是整个高中阶段中最核心的部分，这部分里还重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析。

二、平面向量和三角函数对于这部分知识重点考察三个方面：是划减与求值，第一，重点掌握公式和五组基本公式;第二，掌握三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质;第三，正弦定理和余弦定理来解三角形，这方面难度并不大。

高考数学知识点总结2三、数列数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

四、空间向量和立体几何在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

五、概率和统计概率和统计主要属于数学应用问题的范畴，需要掌握几个方面：……等可能的概率;……事件;独立事件和独立重复事件发生的概率。

高考数学知识点总结3六、解析几何这部分内容说起来容易做起来难，需要掌握几类问题，第一类直线和曲线的位置关系，要掌握它的通法;第二类动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题;第五类重点问题，这类题往往觉得有思路却没有一个清晰的答案，但需要要掌握比较好的算法，来提高做题的准确度。

七、压轴题同学们在最后的备考复习中，还应该把重点放在不等式计算的方法中，难度虽然很大，但是也切忌在试卷中留空白，平时多做些压轴题真题，争取能解题就解题，能思考就思考。

高考数学直线方程知识点：什么是直线方程从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。

求两条直线的交点，只需把这两个二元一次方程联立求解，当这个联立方程组无解时，两直线平行;有无穷多解时，两直线重合;只有一解时，两直线相交于一点。

常用直线向上方向与 X 轴正向的夹角( 叫直线的倾斜角 )或该角的正切(称直线的斜率)来表示平面上直线(对于X轴)的倾斜程度。

专题32空间点、直线、平面之间的位置关系5题型分类1．基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行．2．“三个”推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．空间中直线与直线的位置关系异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.4．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a ∩α＝A 1个平行a ∥α0个在平面内a ⊂α无数个平面与平面平行α∥β0个相交α∩β＝l 无数个5.等角定理如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把直线a ′与b ′所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．(2)，π2.常用结论1．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．2．分别在两个平行平面内的直线平行或异面．（一）共面、共线、共点问题的证明(1)共面：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)共线：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)共点：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(1)证明E ，F ，G ，H 四点共面；(2)证明GE ，FH ，1BB 相交于一点．1-3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，在正方体(1)求证：1CE D F DA ，，三线交于点(2)在（1）的结论中，G 是D （二）(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)求异面直线所成角的方法方法解读平移法将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解补形法在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解题型2：空间位置关系的判断都相交，则直线A ．2GH EF=C ．直线EF ，GH 是异面直线2-3．【多选】（2024·湖北荆门A ．若l αβ= ，A α∈B ．若A ，B ，C 是平面C ．若A α∈且B α∈，则直线D ．若直线a α⊂，直线2-4．（2024·上海长宁·二模）如图，已知正方体则下列命题中假命题为（A ．存在点P ，使得PQ ⊥B ．存在点P ，使得//PQ AC ．直线PQ 始终与直线CC（1）直线AF 与直线DE 相交；（2）直线CH 与直线DE 平行；（3）直线BG 与直线DE 是异面直线；（4）直线CH 与直线BG 成3-2．（2024高三·全国·课后作业）已知正四面体小为．3-3．（2024高三·河北·学业考试）如图直线1A E 与BF 所成角的大小为3-4．（2024高一下·北京·期末）如图，等腰梯形112BC CD DA AB ====，则直线3-5．（2024高三·全国·对口高考）线段AB 的两端分别在直二面角CD αβ--的两个面αβ、内，且与这两个面都成30︒角，则直线AB 与CD 所成的角等于．（三）空间几何体的切割(截面)问题(1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线．(2)作交线的方法有如下两种：①利用基本事实3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．A ．177B ．134-2．（2024·河南·模拟预测）在正方体确的个数为（）①//MN 平面11AAC C ；②MN①异面直线1D D与AF所成角可以为②当G为中点时，存在点③当E，F为中点时，平面④存在点G，使点C与点则上述结论正确的是（A．①③B．②④4-5．（2024·新疆·二模）已知在直三棱柱BC=，432AC=，如图所示，若过的面积为（）（四）等角定理的应用空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．一、单选题-如图所示，则直线PC（）1．（2024高三·北京·学业考试）四棱锥P ABCDA．与直线AD平行B．与直线AD相交C ．与直线BD 平行D ．与直线BD 是异面直线2．（2024·广东）若直线1l 和2l 是异面直线，1l 在平面α内，2l 在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 与1l ，2l 都相交B ．l 与1l ，2l 都不相交C ．l 至少与1l ，2l 中的一条相交D ．l 至多与1l ，2l 中的一条相交3．（2024高一·全国·课后作业）若直线l 在平面α外，则l 与平面α的公共点个数为（）A ．0B ．0或1C ．1D ．24．（2024·上海·模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点B5．（2024高二上·四川乐山·期末）若直线l 与平面α有两个公共点，则l 与α的位置关系是（）A ．l ⊂αB ．//l αC ．l 与α相交D ．l α∈6．（2024高二上·上海静安·阶段练习）设A B C D 、、、是某长方体四条棱的中点，则直线AB 和直线CD 的位置关系是（）.A ．相交B ．平行C ．异面D ．无法确定7．（2024高三·全国·专题练习）如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线（）A．12对B．24对C．36对D．48对8．（2024高三·全国·专题练习）三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为（）A．18B．21C．24D．279．（2024高一·全国·课后作业）平面α上有三个不共线点到平面β距离相等，则平面α与平面β的位置关系是（）A．相交B．平行C．垂直D．相交或平行10．（2024高一·全国·课前预习）下列命题中正确的是（）A．一个平面内三条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行G N M H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或11．（2024高三·全国·专题练习）如图中,,,,GH MN是异面直线的图形有（）所在棱的中点，则表示直线,A．①③B．②③C．②④D．②③④12．（2024高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l和平面α，若lα∥，Pα∈，则过点P且平行于l的直线（）．A．只有一条，不在平面α内B．只有一条，且在平面α内C．有无数条，一定在平面α内D．有无数条，不一定在平面α内13．（2024高三·全国·专题练习）将图(1)中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图(2)，则在空间四面体ABCD中,AD与BC的位置关系是（）A ．相交且垂直B ．相交但不垂直C ．异面且垂直D ．异面但不垂直14．（2024高三上·吉林长春·期末）如图，在底面为正方形的棱台1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为棱1CC ，1BB ，CF ，AF 的中点，对空间任意两点M 、N ，若线段MN 与线段AE 、1BD 都不相交，则称点M 与点N 可视，下列选项中与点D 可视的为（）A ．1B B ．FC ．HD ．G15．（2024·全国）在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为（）A ．π2B ．π3C ．π4D ．π616．（上海市曹杨中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是线段11A C 上的动点，下列与BP 始终异面的是（）A ．1DDB ．AC C ．1AD D ．1B C17．（2024·福建福州·三模）在底面半径为1的圆柱1OO 中，过旋转轴1OO 作圆柱的轴截面ABCD ，其中母线AB =2，E 是弧BC 的中点，F 是AB 的中点，则（）A ．AE =CF ，AC 与EF 是共面直线B ．AE CF ≠，AC 与EF 是共面直线C ．AE =CF ，AC 与EF 是异面直线D ．AE CF ≠，AC 与EF 是异面直线18．（2024高二下·广西桂林·期中）已知直线m ⊂平面α，则“平面α∥平面β”是“m ∥β”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件19．（2024·新疆阿克苏·一模）已知M ，N ，P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，1AA ，1CC 的中点，则平面MNP 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形20．（2023届上海春季高考练习）如图，P 是正方体1111ABCD A B C D -边11AC 上的动点，下列哪条边与边BP 始终异面（）A ．1DDB ．AC C ．1AD D ．1B C21．（2024高二上·浙江杭州·期末）已知空间三条直线,,l m n ，若l 与m 异面,且l 与n 异面,则（）A ．m 与n 异面B ．m 与n 相交C ．m 与n 平行D ．m 与n 异面、相交、平行均有可能22．（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数为（）①若ABC ∆在平面α外，它的三条边所在的直线分别交α于P Q R 、、，则P Q R 、、三点共线.②若三条直线a b c 、、互相平行且分别交直线l 于、、A B C 三点，则这四条直线共面；③空间中不共面五个点一定能确定10个平面.A ．0B ．1C ．2D ．323．（2024高三·全国·专题练习）下列结论正确的是（）A ．两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线.B ．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.C ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.D ．若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面.24．（2024高三·全国·专题练习）给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是（）A ．①B ．①④C ．②③D ．③④25．（2024·上海浦东新·一模）已知直线l 与平面α相交，则下列命题中，正确的个数为（）①平面α内的所有直线均与直线l 异面；②平面α内存在与直线l 垂直的直线；③平面α内不存在直线与直线l 平行；④平面α内所有直线均与直线l 相交.A ．1B ．2C ．3D ．426．（2024高一·全国·课后作业）直线l 是平面α外的一条直线，下列条件中可推出//l α的是A ．l 与α内的一条直线不相交B ．l 与α内的两条直线不相交C ．l 与αD ．l 与α内的任意一条直线不相交27．（2024高三下·上海·阶段练习）如图所示，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为1，点P 、M 、N 分别为棱1AA 、AB 、11A B 的中点，点Q 为线段MN 上的动点．当点Q 由点N 出发向点M 运动的过程中，以下结论中正确的是（）A ．直线1C Q 与直线CP 可能相交B ．直线1C Q 与直线CP 始终异面C ．直线1C Q 与直线CP 可能垂直D ．直线1C Q 与直线BP 不可能垂直28．（2024高三下·上海浦东新·阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是棱11A D ，11D C ，AB 的中点，Q 是线段MN 上的动点，则下列直线中，始终与直线PQ 异面的是（）A ．1AB B ．1BC C ．1CAD ．1DD 29．（2024高一上·全国·专题练习）M ∈l ，N ∈l ，N ∉α，M ∈α，则有A ．l ∥αB ．l ⊂αC ．l 与α相交D ．以上都有可能30．（2024高三上·重庆沙坪坝·期中）在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点Р是侧面11ADD A 上的点，且点Р到棱1AA 与到棱AD 的距离均为1，用过点Р且与1BD 垂直的平面去截该正方体，则截面在正方体底面ABCD 的投影多边形的面积是（）A ．92B ．5C ．132D ．831．（2024高三下·上海闵行·阶段练习）在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，对于如下命题：①异面直线1DD 与1B F ②点P 为正方形1111D C B A 内一点，当//DP 平面1B EF 时，DP 的最小值为322；③过点1D ，E ，F 的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为1B BEF -的所有顶点都在球O 的表面上时，球O ．则正确的命题个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．432．（2024高三·全国·对口高考）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP x =，则当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为（）A ．36,66⎡⎤⎣⎦B ．6,26⎡⎣C ．(6D ．(0,36二、多选题33．（2024高一下·辽宁营口·阶段练习）有下列命题：①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．其中正确命题是（）A ．①B ．②C ．③D ．④34．（2024高一下·江苏苏州·阶段练习）下列命题中错误的是（）A ．空间三点可以确定一个平面B ．三角形一定是平面图形C ．若A ，B ，C ，D 既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合D ．四条边都相等的四边形是平面图形35．（2024·河北廊坊·模拟预测）我们知道，平面几何中有些正确的结论在空间中不一定成立．下面给出的平面几何中的四个真命题，在空间中仍然成立的有（）A ．平行于同一条直线的两条直线必平行B ．垂直于同一条直线的两条直线必平行C ．一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补D ．一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补36．（2024高一下·陕西西安·期中）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为棱11C D ，1C C 的中点，则下列四个结论正确的是（）A ．直线AM 与1CC 是相交直线B ．直线AM 与BN 是平行直线C ．直线BN 与1MB 是异面直线D ．直线AM 与1DD 是异面直线37．（2024高一·全国·课后作业）下列结论中正确的是（）A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C ．若点A 既在平面α内，又在平面β内，则α与β相交于b ，且点A 在b 上D ．任意两条直线不能确定一个平面38．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，设P ，Q 分别为11A B ，1DD 的中点，则过点P ，Q 的平面α截正方体所得截面的形状可能为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形39．（2024高一下·湖北武汉·期末）当三个平面都平行时，三个平面可将空间分成4个部分，那么三个平面还可将空间分成（）部分．A ．5B ．6C ．7D ．840．（2024高三下·山东日照·阶段练习）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E 、F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（）A ．线段11B D 上存在点E 、F 使得//AE BF B ．//EF 平面ABCDC ．AEF △的面积与BEF △的面积相等D ．三棱锥A -BEF 的体积为定值三、填空题41．（2024高三·全国·专题练习）给出下列四个命题：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②若平面α内的一条直线a 与平面β内的一条直线b 相交，则α与β相交；③若一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面；④若三条直线两两相交，则这三条直线共面.其中真命题的序号是.42．（2024高一下·全国·课后作业）已知直线MN ⊥平面α于N ，直线NP MN ⊥，则NP 与平面α的关系是．43．（2024高一·全国·课后作业）如图，把下列图形的点、线、面的关系，用集合的语言表述：（1）；（2）；（3）．44．（2024高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知空间中两个角α，β，且角α与角β的两边分别平行，若70α=︒，则β=．45．（2024高二下·上海虹口·期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为．46．（2024高三下·重庆渝中·阶段练习）空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是.47．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，（1）直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是；（2）直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是；（3）直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是；（4）直线AB 与直线B 1C 的位置关系是．48．（2024高二上·上海徐汇·阶段练习）设A ∠和B ∠的两边分别平行，若45A ∠=︒，则B ∠的大小为.49．（2024高一·全国·课后作业）“直线l 与平面α没有公共点”是“l α∥”的条件．50．（2024高一下·全国·课后作业）在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有组互相平行的面，与其中一个侧面相交的面共有个.52．（2024高一·全国·单元测试）若直线a 与平面α内无数条直线平行，则a 与α的位置关系是．53．（2024高二上·上海奉贤·阶段练习）如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一小块，八个顶“阿基米德多面体”，则异面直线AB 与CD 所成角的大小是四、解答题54．（2024高一·全国·课后作业）已知：l ⊂α，D α∈，∈A l ，B l ∈，C l ∈，D l ∉．求证：直线,,AD BD CD 共面于α．55．（2024高一·全国·课后作业）如图，ABCD 为空间四边形，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，点G ，H 分别在CD ，AD 上，且13DH AD =，13DG CD =．(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)求证：EH ，FG 必相交且交点在直线BD 上．56．（2024高一下·北京·期末）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且1:1:2CE EC =．(1)试画出过1,,D A E 三点的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面α；(2)证明：平面1D AE 与平面ABCD 相交，并指出它们的交线．57．（2024高一·全国·课后作业）如图所示是一个三棱锥，欲过点P 作一个截面，使得截面与底面平行，该怎样在侧面上画出截线？58．（2024高一·全国·课后作业）59．（2024高一下·全国·课后作业）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1B 1，B 1C 1的中点.求证:平面ACC 1A 1与平面BEF 相交.60．（2024高一上·安徽亳州·期末）如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证：（1）E ，C ，D 1，F 四点共面；（2）CE ，D 1F ，DA 三线共点．61．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别在,,,AB AD BC CD 上，EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线.62．（2024高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是AB 和1AA 的中点，求证：四边形1FECD 为平面图形．63．（2024高一·全国·专题练习）如图所示，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==.求证：(1)E ､F ､G ､H 四点共面；(2)EG 与HF 的交点在直线AC 上.64．（2024高二·上海·专题练习）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中．画出平面11ACC A 与平面1BC D 及平面1ACD 与平面1BDC 的交线．65．（2024高一·全国·专题练习）如图，直升机上一点P 在地面α上的正射影是点A (即PA ⊥α)，从点P 看地平面上一物体B (不同于A )，直线PB 垂直于飞机玻璃窗所在的平面β．求证：平面β必与平面α相交．66．（2024高一·全国·专题练习）如图，已知平面,αβ，且l αβ= ，设在梯形ABCD 中，AD BC ∕∕，且,AB CD αβ⊂⊂.求证：,,AB CD l 共点．67．（2024高一下·河南信阳·期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是1,AB AA 上的点，且12,2A F FA BE AE ==.(1)证明：1,,,E C D F 四点共面；(2)设1D F CE O ⋂=，证明：A ，O ，D 三点共线.68．（2024高一下·陕西西安·期中）（1）已知直线a b ∥，直线l 与a ，b 都相交，求证：过a ，b ，l 有且只有一个平面；（2）如图，在空间四边形ABCD 中，H ，G 分别是AD ，CD 的中点，E ，F 分别是边AB ，BC 上的点，且13CF AE FB EB ==.求证：直线EH ，BD ，FG 相交于一点.。

立体几何与空间向量03 空间点、线、面的位置关系一、具体目标：1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.二、知识概述：1.平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)．(2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线． 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．2. 空间两直线的位置关系直线与直线的位置关系的分类⎩⎨⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ 平行相交异面直线：不同在任何一个平面内直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．3.异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角或直角叫作异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：.4.异面直线的判定方法： ]2,0(π【考点讲解】判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线；反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．5.求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．【温馨提示】平面的基本性质，点、直线、平面之间的位置关系是高考试题主要考查知识点，题型除了选择题或填空题外，往往在大题中结合平行关系、垂直关系或角的计算间接考查．1.【2019年高考全国Ⅲ卷】如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A．BM=EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线【解析】本题主要考查的空间两条直线的位置关系问题，要求会构造三角形，讨论两直线是否共面，并通过相应的计算确定两条直线的大小关系.如图所示，作EO CD⊥于O，连接ON，BD，易得直线BM，EN是三角形EBD的中线，是相交直线.过M作MF OD⊥于F，连接BF，Q平面CDE⊥平面ABCD，,EO CD EO⊥⊂平面CDE，EO∴⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCD，MFB∴△与EON△均为直角三角形．设正方形边长为2，易知12EO ON EN===,，5,2MF BF BM==∴=，BM EN∴≠，故选B．] 2 ,0(π【真题分析】【答案】B2.【2018年高考全国Ⅱ卷理数】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（ ）A ．15 BCD【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得22211111cos 2DB B P DP DB P DB PB +-∠===⋅.故选C.方法二：以D 为坐标原点，DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系，则()()((110,0,0,1,0,0,,D A B D ,所以((11,AD DB =-=u u u u r u u u u r ,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅===u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ， 所以异面直线1AD 与1DB所成角的余弦值为5，故选C. 【答案】C3. 【2018年高考全国Ⅱ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为（ ）A．2 BCD【解析】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD AB ∥，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠，设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以BE =，则tan BE EAB AB ∠===．故选C ．【答案】C4.【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A．2 B．5 C．5D．3 【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -，则所求角为1111,BC D BC BD C D AB ∠=====Q易得22211C D BD BC =+，因此111cos 5BC BC D C D ∠===，故选C ． 【答案】C5.【2017年高考全国Ⅲ卷文数】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【解析】根据三垂线定理的逆定理，可知平面内的线垂直于平面的斜线，则也垂直于斜线在平面内的射影.A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立；D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.【答案】C6.【2019年高考北京卷理数】已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ； ②m ∥α； ③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________．【解析】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题：（1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m ，正确；（2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α，不正确，有可能m 在平面α内；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α，不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.故答案为：如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m.【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m .7.【2017年高考全国Ⅲ卷理数】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°；④直线AB 与a 所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，AB AD ==当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=o ，故BD =Rt BDE △中，2,BE DE =∴=B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知BF DE ==ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=o ，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【答案】②③8.【2016高考浙江文数】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，ADADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD '，直线AC 与BD '所成角的余弦的最大值是______．【解析】设直线AC 与'BD 所成角为θ．设O 是AC 中点，由已知得AC =如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由(0,2A，(2B，(0,2C -，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直，26CD CH CA ===，则3OH =，DH =='(,sin )636D αα-，则'sin )6236BD αα=--uuu r ，与CA uu r 平行的单位向量为(0,1,0)n =r ， 所以cos cos ',BD n θ=<>uuu r r ''BD n BD n⋅=uuu r r uuu r rcos 1α=时，cos θ取最大值9．9.【2017天津，文17】如图，在四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面PDC ，AD BC ∥，PD PB ⊥，1AD =，3BC =，4CD =，2PD =.（I ）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值；（II ）求证：PD ⊥平面PBC ；（Ⅲ）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.【分析】（Ⅰ）异面直线所成的角一般都转化为相交线所成的角，//AD BC ，所以PAD ∠即为所求，根据余弦定理求得，但本题可证明AD PD ⊥，所以cosAD PAD AP ∠=；（Ⅱ）要证明线面垂直，根据判断定理，证明线与平面内的两条相交直线垂直，则线与面垂直，即证明,PD BC PD PB ⊥⊥；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，做//DF AB ，连结PF ,DFP ∠即为所求【解析】（Ⅰ）解：如图，由已知AD //BC ，故DAP ∠或其补角即为异面直线AP 与BC 所成的角.因为AD ⊥平面PDC ，所以AD ⊥PD .在Rt △PDA 中，由已知，得225AP AD PD =+=，故5cos AD DAP AP ∠==. 所以，异面直线AP 与BC C（Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面PDC ，直线PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD .又因为BC //AD ，所以PD ⊥BC ，又PD ⊥PB ，所以PD ⊥平面PB C.10.【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.【解析】方法一：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC ．又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1， 平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ，则A 1E ⊥BC ．又因为A 1F ∥AB ，∠ABC =90°，故BC ⊥A 1F ．所以BC ⊥平面A 1EF ．因此EF ⊥BC ．（2）取BC 中点G ，连接EG ，GF ，则EGFA 1是平行四边形．由于A 1E ⊥平面ABC ，故A 1E ⊥EG ，所以平行四边形EGFA 1为矩形．由（1）得BC ⊥平面EGFA 1，则平面A 1BC ⊥平面EGFA 1，所以EF 在平面A 1BC 上的射影在直线A 1G 上．连接A 1G 交EF 于O ，则∠EOG 是直线EF 与平面A 1BC 所成的角（或其补角）．不妨设AC =4，则在Rt △A 1EG 中，A 1E ，EG O 为A 1G 的中点，故12A G EO OG ===， 所以2223cos 25EO OG EG EOG EO OG +-∠==⋅．因此，直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值是35． 方法二：（1）连接A 1E ，因为A 1A =A 1C ，E 是AC 的中点，所以A 1E ⊥AC .又平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，A 1E ⊂平面A 1ACC 1，平面A 1ACC 1∩平面ABC =AC ，所以，A 1E ⊥平面ABC ．如图，以点E 为原点，分别以射线EC ，EA 1为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系E –xyz ．不妨设AC =4，则A 1（0，0，B 1，0），1B ，3,2F ，C (0，2，0)．因此，3,2EF =u u u r ，(BC =u u u r ．由0EF BC ⋅=u u u r u u u r 得EF BC ⊥． （2）设直线EF 与平面A 1BC 所成角为θ．由（1）可得1=(310)=(0223)BC A C --u u u r u u u u r ，，，，，．设平面A 1BC 的法向量为n ()x y z =，，，由100BC A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r n n，得00y y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 取n (11)=，故||4sin |cos |=5|||EF EF EF θ⋅==⋅u u u r u u u r u u u r ，n n n |， 因此，直线EF 与平面A 1BC 所成的角的余弦值为35．2.【2017课标1，文6】如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直接AB 与平面MNQ 不平行的是（ ） A ． B ．C ．D ．【解析】本题考点是线面平行的判断问题，由题意可知：第二个选项中AB ∥MQ ，在直线AB ∥平面MNQ ，第三个选项同样可得AB ∥MQ ，直线AB ∥平面MNQ ，第四个选项有AB ∥NQ ，直线AB ∥平面MNQ ，只有选项A 不符合要求【答案】A2．空间中，可以确定一个平面的条件是（ ）A ．两条直线B ．一点和一条直线C ．一个三角形D ．三个点【解析】不共线的三点确定一个平面，C 正确；A 选项，只有这两条直线相交或平行才能确定一个平面；B 选项，一条直线和直线外一点才能确定一个平面；D 选项，不共线的三点确定一个平面.【答案】C3.在三棱锥A －BCD 的棱AB 、BC 、CD 、DA 上分别取E 、F 、G 、H 四点，如果EF ∩HG ＝P ，则点P （ ）A .一定在直线BD 上B .一定在直线AC 上 【模拟考场】C .在直线AC 或BD 上 D .不在直线AC 上，也不在直线BD 上【解析】如图所示，∵EF ⊂平面ABC ，HG ⊂平面ACD ，EF ∩HG ＝P ，∴P ∈平面ABC ，P ∈平面ACD .又∵平面ABC ∩平面ACD ＝AC ，∴P ∈AC ，故选B .【答案】B4.已知平面α和直线l ，则在平面α内至少有一条直线与直线l ( )A.平行B.垂直C.相交D.以上都有可能【解析】本题的考点是直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，若直线l 与平面α相交，则在平面α内不存在直线与直线l 平行，故A 错误；若直线l ∥平面α，则在平面α内不存在直线与l 相交，故C 错误；对于直线l 与平面α相交，直线l 与平面α平行，直线l 在平面α内三种位置关系，在平面α内至少有一条直线与直线l 垂直，故选B.【答案】B5.如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为（ ）A ．90︒B ．75︒C ．60︒D ．45︒【解析】设1AD =，则2BC =，过A 作//AE CD 交BC 于E ，则AD CE =，过E 作//EF PB 交PC于F ，则AEF ∠即为为所求，如图所示，过F 作//FG CD 交PD 于G ，连接AG ，则四边形AEFG 是梯形，其中//FG AE ，12EF =G 作//GH EF 交AE 于H ，则GHA AEF ∠=∠，在GHA ∆中，1,,222GH EF AH AE FG AG ===-===则 222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=︒，故选A.【答案】A6.不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少 有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.【解析】直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.【答案】①7.已知A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．【解析】本题考点反证法证明异面直线，异面直线所成的角.(1)证明：假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以直线EF 与EG 所成的角即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，可得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.8.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为3，M ，N 分别是棱AA 1，AB 上的点，且AM ＝AN ＝1.（1）证明：M ，N ，C ，D 1四点共面；（2）平面MNCD 1将此正方体分为两部分，求这两部分的体积之比.【解析】本题考点是多点共面的证明，平面分几何体的体积之比.（1）证明：连接A 1B ，在四边形A 1BCD 1中，A 1D 1∥BC 且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形.所以A 1B ∥D 1C. 在△ABA 1中，AM ＝AN ＝1，AA 1＝AB ＝3，所以1AM AN AA AB， 所以MN ∥A 1B ，所以MN ∥D 1C.所以M ，N ，C ，D 1四点共面.（2）记平面MNCD 1将正方体分成两部分的下部分体积为V 1，上部分体积为V 2，连接D 1A ，D 1N ，DN ，则几何体D 1－AMN ，D 1－ADN ，D 1－CDN 均为三棱锥，所以V 1＝111D AMN D ADN D CDN V V V ---++＝13S △AMN ·D 1A 1＋13S △ADN ·D 1D ＋13S △CDN ·D 1D ＝13×12×3＋13×32×3＋13×92×3＝132. 从而V 2＝1111ABCD A B C D V -－V 1＝27－132＝412，所以121341V V =， 所以平面MNCD 1分此正方体的两部分体积的比为1341.。

2025年高考数学必考知识点一、函数。

1. 函数的概念与性质。

- 定义域、值域的求解。

对于分式函数，要注意分母不为零；对于根式函数，根号下的式子要满足非负条件。

例如，函数y = (1)/(x - 1)的定义域为{xx≠1}，函数y=√(x + 2)的定义域为{xx≥ - 2}。

- 函数的单调性。

可以通过定义法（设x_1，比较f(x_1)与f(x_2)的大小）或者导数法（对于可导函数y = f(x)，f'(x)>0时函数单调递增，f'(x)<0时函数单调递减）来判断。

如y = x^2在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增。

- 函数的奇偶性。

满足f(-x)=f(x)的函数为偶函数，图象关于y轴对称；满足f(-x)= - f(x)的函数为奇函数，图象关于原点对称。

例如y = x^3是奇函数，y = x^2是偶函数。

2. 基本初等函数。

- 一次函数y = kx + b（k≠0），其图象是一条直线，斜率k决定直线的倾斜程度，截距b是直线与y轴的交点纵坐标。

- 二次函数y = ax^2+bx + c（a≠0），图象是抛物线。

对称轴为x =-(b)/(2a)，顶点坐标为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。

当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 指数函数y = a^x（a>0且a≠1），当a > 1时，函数在R上单调递增；当0 < a < 1时，函数在R上单调递减。

- 对数函数y=log_ax（a>0且a≠1），其定义域为(0,+∞)。

当a > 1时，函数在(0,+∞)上单调递增；当0 < a < 1时，函数在(0,+∞)上单调递减。

并且y = a^x与y=log_ax互为反函数，图象关于直线y = x对称。

- 幂函数y = x^α（α∈ R），当α>0时，函数在[0,+∞)上单调递增；当α < 0时，函数在(0,+∞)上单调递减。