2020高考数学知识点：两个平面的位置关系

••＞必过数材美1. 平面的基本性质(1) 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.(2) 公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.(3) 公理3:经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.2. 空间中两直线的位置关系(1) 空间中两直线的位置关系共面直线.异面直线：不同在任何一个平面内(2) 异面直线所成的角①定义：设a, b是两条异面直线，经过空间任一点0,作直线a'// a, b'// b,把a' 与b'所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.②范围：0, n.(3) 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.(4) 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等.［小题体验］1. _________________________________________________ "点P在直线m 上, m在平面a内”可表示为 ____________________________________________________ .解析：点在直线上用，直线在平面上用“？”.答案：P€ m, m? a2.平面aA 3= l，点A € a,点B € a,且C? l, C € 3,又AB A l= R,如图所示，过A,B, C三点确定的平面为Y贝U 3A = _________ .解析：由已知条件可知，C € Y AB n 1= R, AB? Y所以R€ Y又因为C, R€ ®故阳丫 =CR.答案：CR3•以下四个命题中，正确命题的个数是_____________ .①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A, B, C, D共面，点A, B, C, E共面，则A, B, C, D, E共面；③若直线a, b共面，直线a, c共面，则直线b, c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.解析：①显然是正确的，可用反证法证明；②中若A, B, C三点共线，则A, B, C, D , E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图，显然b, c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面•故正确的个数为1.答案：11 •异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交.2 •直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.3•不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.［小题纠偏］1 • （2019南京名校联考）已知直线a和平面a , an 3=l, a? a, a? 且a在a, B内的射影分别为直线b和c ,则直线b和c的位置关系是 ____________ •解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面.答案：相交、平行或异面2. ___________________________________________ 在下列四个命题中，正确命题的个数为•① a , b是异面直线，则存在分别过 a , b的平面a, B,使a// B；② a , b是异面直线，则存在分别过 a , b的平面a, B,使a丄B；③ a , b是异面直线，若直线 c , d分别与a , b都相交，则c, d也是异面直线；④ a , b是异面直线，则存在平面a过a且与b垂直.解析：因为a , b是异面直线，所以可以作出两个平面a, B分别过a , b,并使a// B,所以①正确；因为 a , b是异面直线,所以存在两个互相垂直的平面分别过 a , b,所以②正确；因为a , b是异面直线，若直线c , d与a , b分别都相交，则c , d相交或异面，所以③ 不正确；因为a , b是异面直线，若 a , b垂直，则存在平面a过a且与b垂直，若a , b不垂直，则不存在平面a 过a且与b垂直，④不正确.答案：23•四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有______________ 个.解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定4个平面.答案：4考点一平面的基本性质及应用基础送分型考点——自主练透［题组练透］1如图所示，在正方体ABCD-A i B i C i D i中，E, F分别是AB，AA i的中点•求证:⑴E, C, D i, F四点共面；(2)CE , D i F , DA 三线共点.证明：(i)如图，连结EF , A i B, CD i.因为E, F分别是AB, AA i的中点，所以EF // A i B.又A i B / CD i,所以EF // CD i,所以E, C, D i, F四点共面.(2)因为EF // CD i, EF V CD i,所以CE与D i F必相交，设交点为P,则由P€ CE , CE?平面ABCD , 得P €平面ABCD .同理P€平面ADD i A i.又平面ABCD门平面ADD i A i= DA ,所以P€直线DA.所以CE , D i F , DA三线共点.2.如图，在四边形ABCD中，已知AB // CD,直线AB , BC , AD , DC分别与平面a相交于点E , G , H, F ,求证：E , F , G , H 四点必定共线.证明：因为AB// CD,所以AB , CD确定一个平面3 又因为AB A a= E , AB? 3,所以 E € a, E € B,即E为平面a与B的一个公共点.同理可证F, G, H均为平面a与B的公共点，因为两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线, 所以E，F，G，H四点必定共线.［谨记通法］1.证明点共线问题的常用方法公理法先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，再根据公理这些点都在交线上3证明同一法选择其中两点确疋一条直线，然后证明其余点也在该直线上2. 证明线共点问题的常用方法先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点.3. 证明点、直线共面问题的常用方法纳入平面法先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内辅助平面法先证明有关的点、线确定平面a,再证明其余兀素确定平面面a, B重合B,最后证明平考点二空间两直线的位置关系重点保分型考点一一师生共研［典例引领］如图，在正方体ABCD -A i B i C i D i中，M , N分别为棱CQ i, C i C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC i是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB i是异面直线；④直线AM与DD i是异面直线.其中正确的结论的序号为 _________ .解析：直线AM与CC i是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误.点B, B i, N 在平面BB i C i C中，点M在此平面外，所以BN , MB i是异面直线•同理AM , DD i也是异面直线.1.上面例题中正方体 ABCD-A i B i C i D i 的棱所在直线中与直线________ 条.解析：与AB 异面的有4条：CC i , DD i , A 1D 1, B i C i .答案：42.在图中，G , N , M , H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ,解析：图①中，直线 GH // MN ;图②中，G , H , N 三点共面，但 M ?平面GHN ，因 此直线GH 与MN 异面；图③中，连结MG , GM // HN ,因此GH 与MN 共面；图④中，G , M , N 共面，但 H ?平面GMN ，因此 GH 与MN 异面.所以在图②④中， GH 与MN 异面.答案：②④考点三异面直线的证明重点保分型考点一一师生共研［典例引领］如图，已知不共面的三条直线 a , b , c 相交于点P , A € a , B € a , C € b, D € c ,求证:AD 与BC 是异面直线.证明：法一：（反证法）假设AD 和BC 共面，所确定的平面为 a,那么点P , A , B , C , D 都在平面a 内，答案：③④空间两直线位置关系可构 造几 何模AB 是异面直线的有［由题悟法］方法" ［即时应用］所以直线a, b, c都在平面a内，与已知条件a, b, c不共面矛盾，假设不成立,所以AD和BC是异面直线.法二：(直接证法)因为a n c= P, 所以它们确定一个平面，设为a由已知C?平面a B €平面a, 则BC ?平面a,又AD ?平面a, B?AD ,所以AD和BC是异面直线.［由题悟法］证明直线异面通常用反证法，证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面, 从而可得两直线异面.有时也可以用直接法证明.［即时应用］如图所示，正方体ABCD-A I B I C I D I中，M ,的中点.问：(1) AM和CN是否是异面直线？说明理由；(2) D i B和CC i是否是异面直线？说明理由.解：(1)AM与CN不是异面直线.理由如下：连结MN , A1C1, AC.因为M , N分别是A1B1, B1C1的中点，所以MN // A1C1.又因为A1A // C1C, A1A= C1C,所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1// AC,所以MN // AC,A B所以A, M , N , C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.⑵D1B与CC1是异面直线•证明如下：因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以B, C, C1, D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面a,使D1B ?平面a, CC1?平面a ,所以D1 , B , C , C1 € a,与ABCD-A1B1 G|D 1是正方体矛盾.所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线.一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1.设P 表示一个点，a , b 表示两条直线，其中正确命题的序号是.① P € a , P € a ? a ? a ； ②a n b = P , b ? 3? a ? 3； ③a // b , a ? a, P € b , P € a ? b ? ④ an 3= b , P € a, P € 3? P € b.答案：③④2. （2018高邮期中）给出以下说法： ① 不共面的四点中，任意三点不共线； ② 有三个不同公共点的两个平面重合； ③ 没有公共点的两条直线是异面直线；④ 分别和两条异面直线都相交的两条直线异面；⑤ 一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面. 其中正确结论的序号是 __________ .解析：在①中，不共面的四点中，任意三点不共线是正确命题，可以用反证法证明： 若其中任意三点共线，则四点必共面，故①正确；在②中，有三个不同公共点的两个平面重合或相交，故②错误； 在③中，没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线，故③错误； 在④中，分别和两条异面直线都相交的两条直线异面或共面，故④错误；在⑤中，一条直线和两条异面直线都相交，则由两条相交线能确定一个平面得它们可 以确定两个平面，故⑤正确.答案：①⑤3. _________________________________________________________________________ 若平面a B 相交，在a, B 内各取两点，这四点都不在交线上， 这四点能确定 ___________________ 个平面.解析：如果这四点在同一平面内，那么确定一个平面；如果这四点不共面，则任意三 点可确定一个平面，所以可确定四个.答案：1或4 4.如图，平行六面体 ABCD -A i B i C i D i 中，既与AB 共面又与CC i '共面的棱有 _________ 条.“伤CZI 0 □ 1=1欝雇窗月空躡宓购懺尿鎚a, B 表示两个平面，给出下列四个命题,冲B解析：依题意，与AB和CC i都相交的棱有BC;与AB相交且与CC i平行有棱AA i,BB仁与AB平行且与CC i相交的棱有CD, C1D1.故符合条件的有5 条.答案：55.设a, b, c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若 a // b, b// c,贝U a// c;②若a丄b, b±c,贝U a// c;③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a?平面a, b?平面3,则a, b 一定是异面直线.上述命题中正确的命题是 _____ （写出所有正确命题的序号）.解析：由公理4知①正确；当a丄b, b丄c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a? a, b? 3并不能说明a与b "不同在任何一个平面内”，故④错.答案：①二保咼考，全练题型做到咼考达标1.已知A, B, C, D是空间四点，命题甲：A, B, C, D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的________ 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）.解析：若A, B, C, D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交;若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A, B, C, D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件.答案：充分不必要2. （2019常州一中检测）如图，在长方体ABCD -A i B i C i D i中，点E , F分别为B i O和C i O的中点，长方体的各棱中，与EF平行的有______ 条.解析：•/ EF是厶OB i C i的中位线，••• EF // B i C i.••• B i C i / BC // AD // A i D i,二与EF 平行的棱共有4 条.答案：43. ___________________________________ 下列命题中，真命题的个数为.①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；②两条直线可以确定一个平面；③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；④若M € a, M € 3 aA 3= l，贝U M € l.解析：根据公理3,可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间，相交于同一点的三条直线不一定共面（如墙角），故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题.综上，真命题的个数为 2.答案：24. 已知I, m, n为两两垂直的三条异面直线，过I作平面a与直线m垂直，则直线n与平面a的关系是__________ .解析：因为I? a,且I与n异面，所以n?a,又因为m丄a, n丄m,所以n // a. 答案：n// a5. 如图所示，在空间四边形ABCD中，点E , H分别是边AB ,CF CG 2 …AD的中点，点F , G分别是边BC , CD上的点，且—=—=§,则下列说法正确的是_______ （填序号）.①EF与GH平行；②EF与GH异面;③EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC 上;④EF与GH的交点M —定在直线AC 上.解析：连结EH , FG ,如图所示. 依题意，可得EH // BD, FG// BD , 故EH // FG,所以E, F , G, H共面.1 2因为EH = 2BD , FG = 3BD, 故EH 工FG ,所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上, 故点M在平面ACB上.同理，点M在平面ACD上, 所以点M是平面ACB与平面ACD 的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M —定在直线AC 上.答案：④6. 如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB,CD , EF , GH在原正方体中互为异面直线的对数为___________ 对.解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB , CD , EF和GH在原正方体中，显然AB与CD, EF与GH ,AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.答案：37. 如图是正四面体的平面展开图，G , H , M , N分别为DE ,B H E N CBE , EF , EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是___________ .解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN 成60°角，DE丄MN .答案：②③④8. （2019通州月考）如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，E,F , G, H分别是棱CC1, C1D1, D1D , CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足______________ 时，有MN//平面B1BDD1.解析：•/ HN // DB , FH // D1D,•••平面FHN //平面B1BDD1.•••点M在四边形EFGH及其内部运动，故M € FH .答案：M在线段FH上9. （2018南师附中检测）如图，E, F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1A, C1C的中点•求证：四边形B1EDF是平行四边形.A R证明：设Q是DD1的中点，连结E Q, Q C1,如图.因为E是AA1的中点，Q是DD1的中点，所以E Q綊A1D1.又A1D1 綊B1C1，所以E Q綊B1C1,所以四边形EQC1B1为平行四边形，所以B1E綊6Q又Q, F分别是D1D，C1C的中点，所以Q D綊C1F，所以四边形D Q C1F为平行四边形，所以C1Q綊DF.故B i E 綊DF ，所以四边形 B i EDF 是平行四边形. 10.如图所示，四边形 ABEF 和四边形 ABCD 都是直角梯形, 1 1 / BAD =Z FAB = 90 ° BC // AD , BC = Q AD , BE // FA , BE = ~FA , G , H 分别为FA , FD 的中点. (1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2) C , D , F , E 四点是否共面？为什么？说明理由. 解：⑴证明：因为 G , H 分别为FA , FD 的中点， 1 所以 GH // AD , GH = 2AD. 1 又 BC // AD , BC = Q AD , 所以GH 綊BC ,所以四边形 BCHG 为平行四边形. 1 ⑵四点共面，理由如下：由 BE // FA , BE = Q FA , G 为FA 的中点知，BE // FG , BE =FG , 所以四边形BEFG 为平行四边形，所以 EF // BG. 由(1)知BG // CH ，所以EF // CH ，所以EF 与CH 共面. 又D € FH ，所以C , D , F , E 四点共面. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校时，EH // FG 且EH = FG .当 将□时，EH // FG ,但EH 工FG ,所以①②③正确，只有④错 误. 答案：①②③ 2. 在正方体 ABCD-A i B i C i D i 中，E , F 分别为棱 AA Q , CC i 的中点，则在空间中与三 条直线A i D i , EF , CD 都相交的直线有 ___________ 条.1.如图所示，设 E , F , G , H 依次是空间四边形 ABCD 边AB , AE AH BC , CD , DA 上除端点外的点， —=A D =人CB CD 论中正确的是 (填序号). ①当 入= 卩时, 四边形 EFG H ②当 卩时, 四边形 EFG H ③当 卩时, 四边形 EFG H ④当 入= 卩时， 四边形 EFG H 由AB = AD =入得EH // BD ，且BD =入同理得FG / BD 且BD D 是平行四边形; 是梯形; 定不是平行四边形; 是梯形.解析:CF CG 卩，则下列结解析：如图，在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面a,因为CD与平面a不平行，所以它们相交，设aP CD = Q连结P Q则P Q与EF必然相交, 即P Q为所求直线.由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1, EF , CD都相交.答案：无数3•如图所示，三棱柱ABC -A1B1C1,底面是边长为2的正三角形，侧棱A I A丄底面ABC，点E, F分别是棱CC i, BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC = 2FB = 2.(1)当点M在何位置时，BM //平面AEF?⑵若BM //平面AEF ,判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值.解：⑴法一：如图所示，取AE的中点0,连结OF，过点0作0M丄AC于点M.因为侧棱A I A丄底面ABC ,所以侧面A1ACC1X底面ABC.又因为EC = 2FB = 2,1所以0M // FB // EC 且0M = 2EC = FB ,所以四边形0MBF为矩形，BM // 0F.因为0F ?平面AEF , BM ?平面AEF ,故BM //平面AEF，此时点M为AC的中点.如图所示，取EC的中点P, AC的中点Q,连结P Q, PB, BQ155 -因为EC = 2FB = 2，所以PE綊BF ,所以P Q// AE, PB // EF ,所以P Q//平面AFE , PB //平面AEF , 因为PB P P Q= P, PB, P Q ?平面PB Q 所以平面PBQ//平面AEF .又因为B Q?平面PB Q所以B Q//平面AEF.故点Q即为所求的点M,此时点M为AC的中点.(2)由(1)知，BM与EF异面，/ 0FE (或/ MBP )就是异面直线BM与EF所成的角或其补角.易求AF = EF = 5 , MB = 0F = 3 , 0F 丄AE , 所以cos/ 0FE = 0F=^3=书，所以BM与EF所成的角的余弦值为155 -。

考点30 空间点、直线、平面之间的位置关系空间线面位置关系的判断是高考的必考点，是为空间线面位置关系的证明打基础，必须熟练掌握.必须做到：理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.·公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内.·公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.·公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.·公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.·定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.一、平面的基本性质及应用1．平面的基本性质面α，使a⊂2．等角定理(1)自然语言：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2)符号语言：如图(1)、(2)所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，,OA O A OB O B''''∥∥，则AOB AO B∠=∠'''或180AOB AO B∠+∠'''=︒.图(1) 图(2)二、空间两直线的位置关系1．空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：(1)从有无公共点的角度分类：⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线(2)从是否共面的角度分类：⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线【注意】异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．异面直线所成的角 (1)异面直线所成角的定义如图,已知两异面直线a ,b ,经过空间任一点O ,分别作直线a ′∥a ,b ′∥b ,相交直线a ′，b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).(2)异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是π(0,]2. (3)两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ,b ,记作a ⊥b .三、空间直线与平面、平面与平面的位置关系 1．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 (1)直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类：⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点 ②按是否平行分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内③按直线是否在平面内分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行(2)平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线.2．直线与平面的位置关系的符号表示和图形表示3．常用结论(1)唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．(2)异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．考向一平面的基本性质及应用(1)证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.(2)证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点.(3)证明点或线共面问题，主要有两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.典例1(1)在下列命题中，不是公理的是A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线(2)给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A 、B 、C 、D 共面，点A 、B 、C 、E 共面，则A 、B 、C 、D 、E 共面； ③若直线a 、b 共面，直线a 、c 共面，则直线b 、c 共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面. 其中正确命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】(1)A (2)B【解析】(1)选项A 是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.根据平面的基本性质知，选项B 为公理2，选项C 为公理1，选项D 为公理3. 所以选A.(2)①中，假设存在三点共线，则这四点必共面，与题设矛盾，故①正确； ②中，若A 、B 、C 三点共线，则A 、B 、C 、D 、E 有可能不共面，故②错误； ③中，如图所示正方体的棱中，a 、b 共面，a 、c 共面，而b 、c 异面，故③错误； ④中，空间四边形的四条线段不共面，故④错误. 故选B.1．下列叙述错误的是( )A ．若p ∈α∩β，且α∩β=l ，则p ∈lB ．若直线a ∩b =A ，则直线a 与b 能确定一个平面C ．三点A ，B ，C 确定一个平面D ．若A ∈l ，B ∈l 且A ∈α，B ∈α则l α2．如图，已知,,,E F G H 分别是空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 的中点.(1)求证：,,,E F G H 四点共面；(2)若四边形EFGH 是矩形，求证：AC BD ⊥.考向二 空间线面位置关系的判断两条直线位置关系判断的策略： (1)异面直线的判定方法：①判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过点B 的直线是异面直线．②反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．(2)点、线、面之间的位置关系可借助正方体为模型，以正方体为主线，直观感知并认识空间点、线、面的位置关系，准确判定线线平行、线线垂直、线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直． (3)对于异面直线的条数问题，可以根据异面直线的定义逐一排查.典例2 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线； ②直线AM 与BN 是平行直线； ③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为 A ．③④ B ．①② C ．①③ D ．②④【答案】A【解析】∵A 、M 、C 、C 1 四点不共面，∴直线AM 与CC 1 是异面直线，故①错误； 同理，直线AM 与BN 也是异面直线，故②错误． 同理，直线BN 与MB 1 是异面直线，故③正确； 同理，直线AM 与DD 1 是异面直线，故④正确. 故选A ．3．已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是( ) A ．若//,//,m n αα则//m n B ．若,,αγβγ⊥⊥则//αβ C ．若//,//,m m αβ则//αβD ．若,,m n αα⊥⊥则//m n典例3 如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ,N 分别是A 1B 1,B 1C 1的中点.问:(1)AM 和CN 是否是异面直线?说明理由. (2)D 1B 和CC 1是否是异面直线?说明理由.【解析】(1)AM 和CN 不是异面直线.理由如下： 如图,连接A 1C 1,AC ,MN ,∵M ,N 分别是A 1B 1,B 1C 1的中点,∴MN ∥A 1C 1. 又A 1A C 1C ,∴A 1ACC 1为平行四边形, ∴A 1C 1∥AC ,∴MN ∥AC ,∴A ,M ,N ,C 在同一个平面内,故AM 和CN 不是异面直线. (2)D 1B 和CC 1是异面直线,理由如下:假设D 1B 与CC 1在同一个平面CC 1D 1内,则B ∈平面CC 1D 1,C ∈平面CC 1D 1, ∴BC ⊂平面CC 1D 1,这与ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体相矛盾, ∴假设不成立,故D 1B 和CC 1是异面直线.4．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，,M N 分别是棱111,C D C C 的中点.给出以下四个结论：①直线AM 与直线1C C 相交； ②直线AM 与直线BN 平行； ③直线AM 与直线1DD 异面； ④直线BN 与直线1MB 异面. 其中正确结论的序号为______.(注：把你认为正确的结论序号都填上)考向三 异面直线所成的角求异面直线所成的角的常见策略： (1)求异面直线所成的角常用平移法．平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．(2)求异面直线所成角的步骤①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角； ②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角； ③三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.典例4 如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB △和PAD △都是等边三角形，则异面直线CD 和PB 所成角的大小为A ．90B ．75C ．60D ．45在GHA △中，1223,2,2222GH EF AH AE FG AG ===-=-==， 则222AG GH AH =+，所以90AEF ∠=， 故选A.【方法点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及空间中异面直线所成角的求解，其中根据空间几何体的结构特征，把空间中异面直线CD 和PB 所成的角转化为平面角AEF ∠，放置在三角形中，利用解三角形的知识求解是解答本题的关键，着重考查了转化与化归思想和学生的推理、运算能力，试题属于基础题.5．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E ，F 分别是棱AB ，1BB 的中点，则直线EF 和1BC 的夹角是________.1．下列命题中，正确的是( )A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面2．下列说法中正确的个数是( )①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行；②三个平面最多将空间分为8个部分；③一平面截一正方体，则截面不可能为五边形；④过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直.A．1 B．2C．3 D．43．“空间三个平面α，β，γ两两相交”是“三个平面三条交线互相平行”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是正方形BB1C1C的中心，M为C1D1的中点，过A1M的平面α与直线DE垂直，则平面α截正方体ABCD—A1B1C1D1所得的截面面积为( )A．B．D．3C．55．四个顶点不在同一平面上的四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，如果直线EF，GH交于点P，那么( )A．点P一定在直线AC上B．点P一定在直线BD上C．点P一定在平面ABC外D．点P一定在平面BCD内6．已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是()A ．若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面B ．若直线a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交C ．若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等D ．若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 7．下列命题中，(1)若//OA ME ，//OB MF ，则AOB EMF ∠=∠；(2)空间中，α，β为平面，m ，n 为直线，若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ； (3)空间中，α，β为平面，m ，n 为直线，若αβ⊥，m αβ=，n A α=，n m ⊥，则n β⊥.其中正确的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个8．过正方形1111ABCD A B C D -的顶点A 作直线l ，使得l 与直线1B C ，1C D 所成的角均为60︒，则这样的直线l 的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．49．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，14AA =，2AB =，点E ，F 分别为棱1BB ，1CC 上两点，且114BE BB =，112CF CC =，则( ) A ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 异面 B ．1D E AF ≠，且直线1D E ，AF 相交 C ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 异面 D ．1D E AF =，且直线1D E ，AF 相交10．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 为11A B 的中点，122AB BC BB ===，AC =直线BD 与AC 所成的角为( )A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒11．如图，在四棱锥C ABOD -中，CO ⊥平面,//,ABOD AB OD OB OD ⊥，且212,AB OD ==AD =CD 与AB 所成角为30，点,,,O B C D 都在同一个球面上，则该球的半径为( )A ．B ．C D12．已知四面体ABCD 中，2AB CD ==，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =____. 13．有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成(如图)，AB 与CD 所成的角的大小是_____________14．已知正方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，点P 在线段11A C 上，若直线1BB 与直线CP 所成角的正切值为5，则平面PBD 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面面积为______.15．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，3BAD π∠=，,E M 分别是BC ，1BB 的中点.(1)证明：点D 在平面1A ME 内；(2)已知N 在1CC 上，若1BN A E ⊥，求线段CN 的长.16．如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，侧棱PA 是四棱锥P ABCD -的高，且2PA =，E 是侧棱PA 上的中点.(1)求三棱锥P BCD -的体积； (2)求异面直线EB 与PC 所成的角；1．【2020年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线l ，m ，n ．“l ，m ，n 共面”是“l ，m ，n 两两相交”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线3．【2018新课标全国Ⅱ理科】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15BC D 4．【2017新课标全国Ⅱ理科】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．2B ．5C D 5．【2016新课标全国Ⅰ理科】平面α过正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，α平面ABCD =m ，α平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．2B ．2C D ．136．【2017新课标全国Ⅲ理科】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号) 7．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内． p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ． 则下述命题中所有真命题的序号是__________． ①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝8．【2016上海理科】将边长为1的正方形11AAO O (及其内部)绕1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为2π3，11A B 长为π3，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧.(1)求三棱锥111C O A B -的体积；(2)求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小.1．【答案】C 【解析】 【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可． 【详解】选项A ，点P 在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确； 选项B ，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确； 选项C ，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D ，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内． 故选：C.2．【答案】(1)见解析；(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)根据中位线定理证明//EH BD ，//FG BD ，得到//EH FG ，即可证明四点共面； (2)根据矩形关系有EH GH ⊥，结合中位线关系//EH BD ， //AC GH ，即可证明. 【详解】 (1)在ABD ∆中，,E H 分别是,AB AD 的中点，//EH BD ∴.同理//FG BD ，则//EH FG ，故,,,E F G H 四点共面.(2)由(1)知//EH BD ，同理//AC GH .又∵四边形EFGH 是矩形，EH GH ∴⊥.故AC BD ⊥ 【点睛】此题考查通过平行关系证明四点共面，利用等角定理通过两条直线的平行线垂直，证得已知两条直线垂直. 3．【答案】D 【解析】 【分析】A. 利用空间两直线的位置关系判断；B.利用空间两平面的位置关系判断；C.若利用空间两平面的位置关系判断；D.由线面垂直的性质定理判断.【详解】A. 若//,//,m n αα则,m n 平行，相交或异面，故错误；B.若,,αγβγ⊥⊥则,αβ平行或相交，故错误；C.若//,//,m m αβ则,αβ平行或相交，故错误；D.若,,m n αα⊥⊥由线面垂直的性质定理得//m n ，故正确； 故选：D. 4．【答案】③④ 【解析】 【分析】利用两条直线是异面直线的判断方法来验证①③④的正误，②要证明两条直线平行，从图形上发现这两条直线也是异面直线，得到结论. 【详解】由于直线1C C 在平面11C CD D 上，而M ∈平面11C CD D ，A ∉平面11C CD D ， 直线AM 与直线1C C 异面，故①错；同理，直线AM 与直线BN 异面，故②错；直线AM 与直线1DD 异面，直线BN 与直线1MB 异面，故③④正确. 【点睛】本题考查了空间中两直线的位置关系，考查了学生逻辑推理，空间想象能力，属于中档题. 5．【答案】60° 【解析】 【分析】则可将三棱柱补形为正方体1111ABCD A B C D -，连接1111,,AB AD B D ，可得11B AD ∠即为直线EF 和1BC 的所成角，求出即可.【详解】1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，则可将三棱柱补形为正方体1111ABCD A B C D -，如图，连接1111,,AB AD B D ，可知在正方体中，1111AB A B C D ，∴四边形11ABC D 是平行四边形，11//BC AD ∴，1ABB 中，E ，F 分别是AB ，1BB 的中点，1//EF AB ∴，则11B AD ∠即为直线EF 和1BC 的所成角， 可知11AB D 是等比三角形，1160B AD ∴∠=.故答案为：60. 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，属于基础题.1．【答案】B 【解析】因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B ．点睛：确定平面方法: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．2．【答案】B【解析】【分析】根据空间中线线、线面、面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】①若三个平面两两相交有三条交线，则三交线相互平行，或交于一点(如三棱锥的三个侧面)；故①错；②一块豆腐切三刀，最多可且8块；因此，三个平面最多可将空间分为8个部分；故②正确；③过正方体的一个顶点，作如图所示截面，即可得出截面为五边形，故③错；c a且c与b相交；过直线b，c作平面α；④记直线a，b为空间中两异面直线，则必存在直线c，使得//⊥，则l必分别垂直于直线a，b；由根据线面垂直的性质，过空间中任意一点，有且只有若直线lα一条直线与平面垂直，因此过空间任意一点有且只有一条直线与两异面直线垂直，故④正确；故选：B【点睛】本题主要考查3．【答案】B【解析】【分析】先证明三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行，再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行． 证明如下：已知：设三个平面为α，β，γ，且c αβ=，b αγ=，a βγ=；求证：a 、b 、c 交于一点，或////a b c ． 证明：(1)如图①，若c 与b 交于一点，则设c b P =；由P c ∈，且c β⊂，得P β∈； 又由P b ∈，b γ⊂，得P γ∈； P a βγ∴∈=；∴直线a ，b ，c 交于一点(即P 点)．图①； 图②(2)如图②，若//c b ，则由b γ⊂，且c γ⊂/，//c γ∴； 又由c β⊂，且a βγ=，//c a ∴；////a b c ∴．“空间三个平面α，β，γ两两相交”是“三个平面三条交线互相平行”的必要非充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查空间的直线的位置关系，考查充要条件的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．【答案】B 【解析】 【分析】确定平面1A MCN 即为平面α，四边形1A MCN 是菱形，计算面积得到答案. 【详解】如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，记AB 的中点为N ，连接1,,MC CN NA ， 则平面1A MCN 即为平面α．证明如下： 由正方体的性质可知，1A MNC ，则1A ，,,M C N 四点共面，记1CC 的中点为F ，连接DF ，易证DF MC ⊥． 连接EF ，则EF MC ⊥，EFDF F =，EF DF ⊂，平面DEF ，所以MC ⊥平面DEF ，又DE ⊂平面DEF ，则DE MC ⊥． 同理可证，DE NC ⊥，NC MC C =，则DE ⊥平面1A MCN ， 所以平面1A MCN 即平面α，四边形1A MCN 即平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面． 因为正方体的棱长为2，易知四边形1A MCN 是菱形，其对角线1AC =MN =所以其面积12S =⨯=故选：B【点睛】本题考查了正方体的截面面积，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.5．【答案】A【解析】【分析】由两个面的交点在两个面的交线上，知P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P必在直线AC 上．【详解】解：∵EF在面ABC内，而GH在面ADC内，且EF和GH能相交于点P，∴P在面ABC和面ADC的交线上，∵AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选：A．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6．【答案】C【解析】【分析】利用直线的位置关系判断：A,B,D错误，利用等角定理判断C正确，【详解】对A ,若直线a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 相交、平行或异面；错误 对B ,若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交、平行或异面；错误 对C ,若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等；正确； 对D ,若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c 或异面或相交，错误 故选C 【点睛】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力． 7．【答案】A 【解析】 【分析】(1)由等角定理可得AOB ∠与EMF ∠相等或互补； (2)由面面的位置关系可得//αβ或,αβ相交；(3)由线面的位置关系可得n β⊂或//n β或n 交β于一点. 【详解】(1)若//OA ME ，//OB MF ，由等角定理可得AOB ∠与EMF ∠相等或互补，故错误； (2)若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，由面面的位置关系得//αβ或,αβ相交，故错误； (3)若αβ⊥，m αβ=，n A α=，n m ⊥，则n β⊂或//n β或n 交β于一点，故错误；故选：A 【点睛】本题考查线面，面面的位置关系的判断，考查等角定理，考查分析推理能力，属于基础题. 8．【答案】C 【解析】 【分析】由11//B C A D 将问题转化为过点A 在空间作直线l ，使得l 与直线1A D ，1C D 所成的角均为60︒，1条在平面11AC D 内，2条在平面11AC D 外. 【详解】因为11//B C A D ，所以A 作直线l ，使得l 与直线1B C ，1C D 所成的角均为60︒，即过点A 在空间作直线l ，使得l 与直线1A D ，1C D 所成的角均为60︒.因为1160A DC ∠=，11A DC ∠的外角平分线与11,DA DC 所成的角相等，均为60，所以在平面11AC D 内有一条满足要求.因为11A DC ∠的角平分线与11,DA DC 所成的角相等均为30，将角平分线绕点D 向上转动到与面11AC D 垂直的过程中，存在两条直线与直线11,DA DC 所成的角都等于60. 故符合条件的直线有3条. 故选：C 【点睛】本题考查直线与直线所成的角，属于基础题. 9．【答案】A 【解析】 【分析】作图，通过计算可知D 1E ≠AF ，取点M 为BC 的中点，则AMFD 1共面，显然点E 不在面AMFD 1内，由此直线D 1E ，AF 异面． 【详解】∵11D E AF D E ====≠，如图，取点M 为BC 的中点，则AD 1∥MF ， 故AMFD 1共面，点E 在面AMFD 1面外， 故直线D 1E ，AF 异面． 故选：A ．【点睛】本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题． 10．【答案】C 【解析】 【分析】取11B C 的中点E ，连接BE ，DE ，则11////AC A C DE , BDE ∠即为异面直线BD 与AC 所成的角或其补角，进而可得答案. 【详解】如图，取11B C 的中点E ，连接BE ，DE ， 则11////AC A C DE ,所以BDE ∠即为异面直线BD 与AC 所成的角或其补角，由已知可得BD DE BE ===BDE 为正三角形，所以60BDE ∠=︒，所以异面直线BD 与AC 所成的角为60︒.故选：C【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； (2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； (3)计算：求该角的值，常利用解三角形； (4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角． 11．【答案】C 【解析】由条件可知AB OD ∥ ，所以，CDO ∠ 为异面直线CD 与AB 所成角，故30CDO ∠= ，而6OD =，故tan 3023OC OD =⋅=，在直角梯形ABOD 中，易得6OB = ，以,,OB OC OD 为相邻的三条棱，补成一个长方体，则该长方体的外接球半径R 即为所求的球的半径，由()(222226684R =++= ，故R =.本题选择C 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.12．【答案】1【解析】 【分析】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，推导出EO ＝FO ＝1，πEOF 3∠=，或2πEOF 3∠=，由此能求出EF ．【详解】取BD 中点O ，连结EO 、FO ，∵四面体ABCD 中，AB ＝CD ＝2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为π3，∴EO∥CD，且EO1CD12==，FO∥AB，且FO1AB2==1，∴∠EOF是异面直线AB与CD所成的角或其补角，∴πEOF3∠=，或2πEOF3∠=，当∠EOFπ3=时，△EOF是等边三角形，∴EF＝1．当2πEOF3∠=时，EF==故答案为1【点睛】本题考查异面直线所成角的应用，注意做平行线找到角是关键，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是易错题13．【答案】3π【解析】【分析】【详解】法一：如图因为AB ∥GH ，CD ∥FH ，所以GH 和FH 所成角即为AB 与CD 所成的角， 又因为△GHF 为等边三角形，故GH 和FH 所成角为3π，即AB 与CD 所成的角为3π． 法二：该饰品实际上就是正方体的8个顶角被切掉，切线经过正方体每条棱边的中点，如图 可得AB 与CD 所成的角即为ED 与CD 所成角， 设正方体的棱长为2，在△CDE中，可得CD DE EC ===由余弦定理可得2221cos 22CD DE EC CDE CD DE +-∠==-⨯⨯，故23CDE π∠=， 因为异面直线所成的角是锐角或直角， 所以AB 与CD 所成的角为3π． 14．【答案】2【解析】 【分析】作出截面PBD MNDB ⇒，根据直线1BB 与直线CP 所成的角的正切值求得MN 的长，求得截面等腰梯形MNDB 的高，由此求得截面面积. 【详解】如图，过P 作MN BD ∥，则11MN AC ⊥.直线1BB 与直线CP 所成的角为1PCC ∠，1111tan 5PC PC PCC CC ∠===，1PC =MN =MNDB是等腰梯形，BD =BM =MNDB =积为222=.【点睛】本小题主要考查正方体截面面积的计算，考查根据线线角求边长，属于中档题. 15．【答案】(1)证明见解析；(2)1. 【解析】 【分析】(1)根据题意，直线证明1//ME A D 即可得点D 在平面1A ME 内.(2)连接DE ，通过证明BN ⊥平面1A DEM 得BN ME ⊥，进而得MEB BNC ∠=∠，即可证明Rt Rt BEM BNC ≅△△，所以1CN =.【详解】(1)连接1A D ，1B C .11//A B DC 且11A B DC =∴四边形11A B CD 是平行四边形，11//A D B C ∴又因为,E M 分别为BC ，1BB 中点，1//ME B C ∴1//ME A D ∴M ∴，E ，1A ，D 四点共面，。

2.(2019课标全国Ⅲ,8,5分)如图,点N为正方形ABCD的中心,△ECD为正三角 形,平面ECD⊥平面ABCD,M是线段ED的中点,则 ( B )
A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线 C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线
B.BM≠EN,且直线BM,EN是相交直线 D.BM≠EN,且直线BM,EN是异面直线
考点二 空间平行、垂直关系
命题角度一 平行、垂直关系的证明
(2019天津节选,17,9分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形, △PCD为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3. (1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD; (2)求证:PA⊥平面PCD.
2.(2019天津河西三模)已知平行四边形ABCD中,∠A=60°,AB=2AD=2,平面 AED⊥平面ABCD,三角形AED为等边三角形,EF∥AB,EF=1,M、N分别为线 段AD、AB的中点. (1)求证:平面EMN∥平面BDF; (2)求证:平面BDF⊥平面ABCD; (3)求直线FC与平面BDF所成角的正切值.
所以AF⊂平面AGH,AF∥平面CDE, 即直线HG上任意一点F与A的连线AF均与平面CDE平行.
(2)设点B到平面ACE的距离为h,由(1)及已知得,EO∥平面ABC,
所以点E到平面ABC的距离h1等于点O到平面ABC的距离,等于点D到平面
ABC的距离的 1 ,
2
又平面ABC⊥平面BCD,△BCD是边长为2的等边三角形,
3.(2019福建福州3月质检,6)已知a,b是两条异面直线,直线c与a,b都垂直,则下 列说法正确的是 ( C ) A.若c⊂平面α,则a⊥α B.若c⊥平面α,则a∥α,b∥α C.存在平面α,使得c⊥α,a⊂α,b∥α D.存在平面α,使得c∥α,a⊥α,b⊥α

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【名师点评】 题中是先说明D1、 E、F确定一平面，再说明B在所确定 的平面内，也可证明D1E∥BF，从而 说明四点共面．
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考点四 异面直线的判定
证明两直线为异面直线的方法： 1．定义法(不易操作)． 2．反证法：先假设两条直线不 是异面直线，即两直线平行或相交， 由假设的条件出发，经过严密的推理， 导出矛盾，从而否定假设肯定两条直 线异面．此法在异面直线的判定中经 常用到．
A．A∈l，A∈α，B∈l， B∈α⇒l⊂α
B．A∈α，A∈β，B∈α， B∈β⇒a∩β＝AB
C．l⊄α，A∈l⇒A∉α D．A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A 答案：C
三基能力强化
4.如图所示，在正方体ABCD-
A1B1C1D1中，异面直线AC与B1C1
所成的角为
.
答案：45°
5．三条直线两两相交，可以确 定3进一步反映了平面的延展 性．其作用是：(1)判定两平面相交；(2) 作两平面相交的交线(当知道两个平面 的两个公共点时，这两点的连线就是交 线)；(3)证明多点共线(如果几个点都是 某两个平面的公共点，则这几个点都在 这两个平面的交线上)．
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PQ、CB的延长线交于M，RQ、DB的延
长线交于N，RP、DC的延长线交于K.求
证：M、N、K三点共线．
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【思路点拨】 要证明M、N、K 三点共线，由公理3可知，只要证明M、 N、K都在平面BCD与平面PQR的交 线上即可．
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【证明】
PQ∩CB＝M
RQ∩DB＝N⇒
RP∩DC＝K
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解：选取平面BCF，该 平面有以下两个特点：①该 平面包含直线CF；②该平面 与DE相交于点E.在平面BCF 中，过点E作CF的平行线交 BF于点N，连结ND，可以看 出：EN与ED所成的角即为 异面直线FC与ED所成的角. 10分

主
回 顾
c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．
课 后
对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．
限 时
集
课 堂
对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正
训
考
点 确．
探
究
返 首 页
41
课
前
自
主 回
(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M 课
顾
∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，
探
究 _有__且__只__有__一__条___过该点的公共直线．
返 首 页
5
课
前 自
(4)公理2的三个推论
主
回 顾
推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平 课 后
面．
限 时
集
课 堂
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
训
考
点
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
探
究
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后 限
些点都是这两个平面的公共点，再根据基本公理3证明这些点都在
时 集
课
训
堂 考
交线上；②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点
点
探 也在该直线上．
究
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25
课 前
(2)证明线共点问题：先证两条直线交于一点，再证明第三条直
自
主 线经过该点．
回
课
顾
(3)证明点、直线共面问题：①纳入平面法：先确定一个平面，
探
究
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43
1.下列结论中正确的是 ( )

高考数学知识点：空间点、直线、平面的位置关系知识点总
结
1、平面
(1)平面概念的理解
直观的理解：桌面、黑板面、平静的水面等等都给人以平面的直观的印象，但它们都不是平面，而仅仅是平面的一部分．
抽象的理解：平面是平的，平面是无限延展的，平面没有厚薄．
(2)平面的表示法
①图形表示法：通常用平行四边形来表示平面，有时根据实际需要，也用其他的平面图形来表示平面．
②字母表示：常用等希腊字母表示平面．
(3)涉及本部分内容的符号表示有：
①点A在直线l内，记作；②点A不在直线l内，记作；
③点A在平面内，记作；④点A不在平面内，记作；
⑤直线l在平面内，记作；⑥直线l不在平面内，记作；
注意：符号的使用与集合中这四个符号的使用的区别与联系．
(4)平面的基本性质
公理1：如果一条直线的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．
符号表示为：．
注意：如果直线上所有的点都在一个平面内，我们也说这条直线在这个平面内，或者称平面经过这条直线．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
符号表示为：直线AB存在唯一的平面，使得．
注意：“有且只有”的含义是：“有”表示存在，“只有”表示唯一，不能用“只有”来代替．此公理又可表示为：不共线的三点确定一个平面．。

②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确的命题是()A．①②B．①③C．②D．②④解析：选C.构造正方体ABCD-A1B1C1D1，如图，①，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，BD⊂平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错；②，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内的任意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直，故②正确；③，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错；④，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故④错．故选C.4.(20xx·福建省质量检查)如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，D是圆O上异于A，B的任意一点，以AO为直径的圆与AD的另一个交点为C，P为SD的中点．现给出以下结论：①△SAC为直角三角形；②平面SAD⊥平面SBD；③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行．平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．[对点训练]1．(水浒原创)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上．(1)求证C1D⊥平面A A1B1B；(2)在下列给出的三个条件中选哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．①F为BB1的中点；②AB1＝3；③A A1＝2.解：(1)证明：因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，所以C1D⊥A1B1.因为A A1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，所以A A1⊥C1D，又AA1∩A1B1＝A1，所以C1D⊥平面A A1B1B.(2)选①③能证明AB1⊥平面C1DF.证明如下：连接DF，A1B，所以DF∥A1B，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，则AB＝2，又AA1＝2，则A1B⊥AB1，所以DF⊥AB1，因为C1D⊥平面A A1B1B，AB1⊂平面A A1B1B，所以C1D⊥AB1.因为DF∩C1D＝D，所以AB1⊥平面C1DF.2.如图，已知斜三棱柱ABC-A 1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求ADDC的值．解：(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时A1D1D1C1＝1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，将△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置为D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面体D1ABC的四个面中，有n对平面相互垂直，则n等于()A．2 B．3C．4 D．5解析：选B.如图，设D1在平面ABC上的射影为E，连接D1E，则D1E⊥平面ABC，因为D1E⊂平面ABD1，所以平面ABD1⊥平面ABC.因为D1E⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，所以BC⊥平面ABD1，又BC⊂平面BCD1，所以平面BCD1⊥平面ABD1，因为BC⊥平面ABD1，AD1⊂平面ABD1，所以BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，所以AD1⊥平面BCD1，又AD1⊂平面ACD1，所以平面ACD1⊥平面BCD1.所以共有3对平面互相垂直．故选B.6．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段BC1上运动，则下列判断中正确的是()A ．平面PB 1D ⊥平面ACD 1 B ．A 1P ∥平面ACD 1C ．异面直线A 1P 与AD 1所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π3 D ．三棱锥D 1­APC 的体积不变解析：选ABD.对于A ，根据正方体的性质，有DB 1⊥平面ACD 1，又DB 1⊂平面PB 1D ，则平面PB 1D ⊥平面ACD 1，故A 正确；对于B ，连接A 1B ，A 1C 1，易证明平面BA 1C 1∥平面ACD 1，又A 1P ⊂平面BA 1C 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，故B 正确；对于C ，当P 与线段BC 1的两端点重合时，A 1P 与AD 1所成角取最小值π3，当P 与线段BC 1的中点重合时，A 1P 与AD 1所成角取最大值π2，故A 1P 与AD 1所成角的范围是⎣⎡⎦⎤π3，π2，故C 错误；对于D ，V 三棱锥D 1­APC ＝V 三棱锥C -AD 1P ，因为点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥C -AD 1P 的体积不变，故D 正确．故选ABD.二、填空题7．(20xx·××市质量监测(一))如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下面结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号)答案：539．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝4，AA 1＝2.过点A 1作平面α与AB ，AD 分别交于M ，N 两点，若AA 1与平面α所成的角为45°，则截面A 1MN 面积的最小值是________，此时AM ＝________．解析：如图，过点A 作AE ⊥MN ，连接A 1E ，因为A 1A ⊥平面ABCD ，所以A 1A ⊥MN ，所以MN ⊥平面A 1AE ，所以A 1E ⊥MN ，平面A 1AE ⊥平面A 1MN ，所以∠AA 1E 为AA 1与平面A 1MN 所成的角，所以∠AA 1E ＝45°，在Rt △A 1AE 中，因为AA 1＝2，所以AE ＝2，A 1E ＝22，在Rt △MAN 中，由射影定理得ME ·EN ＝AE 2＝4，由基本不等式得MN ＝ME ＋EN ≥2ME·EN ＝4，当且仅当ME ＝EN ，即E 为MN 的中点时等号成立，所以截面A 1MN 面积的最小值为12×4×22＝42.因为AM 2＋AN 2＝MN 2，所以AM ＝22.答案：42 22 三、解答题10.如图，在三棱锥A -BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F (E 与A 、D 不重合)分别在棱AD 、BD 上，且EF ⊥AD .求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)AD ⊥AC .证明：(1)在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF ⊥AD ， 所以EF ∥AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .(2)因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD ∩平面BCD ＝BD ， BC ⊂平面BCD 且BC ⊥BD ， 所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .又因为AB ⊥AD ，BC ∩AB ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC . 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC .11.如图所示，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．求证：(1)AF ∥平面BCE ； (2)平面BCE ⊥平面CDE .证明：(1)如图，取CE 的中点G ， 连接FG ，BG .因为F 为CD 的中点， 所以GF ∥DE 且GF ＝12DE .因为AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，所以AB ∥DE ， 所以GF ∥AB .又因为AB ＝12DE ，所以GF ＝AB .所以四边形GFAB 为平行四边形，则AF ∥BG . 因为AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ， 所以AF ∥平面BCE .(2)因为△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， 所以AF ⊥CD .因为DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ， 所以DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ， 所以AF ⊥平面CDE .。

第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识整合1．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的□01两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内． 公理2：经过□02不在同一直线上的三点，有且只有一个平面． 公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有□03且只有一条过□04该点的公共直线．2．用集合语言描述点、线、面间的关系 (1)点与平面的位置关系：点A 在平面α内记作□05A ∈α，点A 不在平面α内记作□06A ∉α. (2)点与线的位置关系点A 在直线l 上记作□07A ∈l ，点A 不在直线l 上，记作□08A ∉l . (3)线面的位置关系：直线l 在平面α内记作□09l ⊂α，直线l 不在平面α内记作□10l ⊄α.(4)平面α与平面β相交于直线a ，记作□11α∩β＝a . (5)直线l 与平面α相交于点A ，记作□12l ∩α＝A . (6)直线a 与直线b 相交于点A ，记作□13a ∩b ＝A . 3．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧□14平行.□15相交.异面直线：不同在□16任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的□17锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)． ②范围：□18⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面． 2．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．1．(2019·银川模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m ⊥α，n⊥β，且β⊥α，则下列结论一定正确的是( )A．m⊥n B．m∥nC．m与n相交D．m与n异面答案 A解析若β⊥α，m⊥α，则直线m与平面β的位置关系有两种：m⊂β或m∥β.当m⊂β时，又n⊥β，所以m⊥n；当m∥β时，又n⊥β，所以m⊥n.故选A.2．(2019·福州质检)已知命题p：a，b为异面直线，命题q：直线a，b不相交，则p 是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析若直线a，b不相交，则a，b平行或异面，所以p是q的充分不必要条件，故选A.3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BC答案 D解析A，B，C，D构成的四边形可能为平面四边形，也可能为空间四边形，D不成立．4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( ) A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行答案 C解析由题意易知，c与a，b都可相交，也可只与其中一条相交，故A，B均错误；若c与a，b都不相交，则c与a，b都平行，根据公理4，知a∥b，与a，b异面矛盾，D错误．故选C.5．设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线．上述命题中错误的是________(写出所有错误命题的序号)．答案②③④解析由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错误；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错误；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错误．故填②③④.6．(2019·河南南阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，O为CD上的动点，V P－OAB恒为定值，且△PDC是正三角形，则直线PD与直线AB所成角的大小是________．答案60°解析因为V P－OAB为定值，所以S△ABO为定值，即O到线AB的距离为定值．因为O为CD上的动点，所以CD∥AB.所以∠PDC即为异面直线PD与AB所成角．因为△PDC为等边三角形，所以∠PDC＝60°.所以PD与AB所成角为60°.核心考向突破考向一平面基本性质的应用例1 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1.∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．触类旁通共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上.证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.提醒：点共线、线共点等都是应用公理3，证明点为两平面的公共点，即证明点在交线上.即时训练 1. 如图，空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)设EG 与FH 交于点P . 求证：P ，A ，C 三点共线．证明 (1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴EF ∥BD . 在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH ，∴E ，F ，G ，H 四点共面． (2)由(1)知EF 綊12BD ，GH 綊23BD .∴四边形FEGH 为梯形，∴GE 与HF 交于一点， 设EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ， ∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC . ∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点， 又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ， ∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线． 考向二 空间两条直线的位置关系角度1 两条直线位置关系的判定例2 (1)若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4即不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定 答案 D解析 构造如图所示的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，取l 1为AD ，l 2为AA 1，l 3为A 1B 1，当取l 4为B 1C 1时，l 1∥l 4，当取l 4为BB 1时，l 1⊥l 4，故排除A ，B ，C ，选D.(2)(2019·贵州六盘水模拟)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是( )A．垂直B．相交C．异面D．平行答案 D解析∵α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，m⊄α，n⊂α，A∈m，A∈α，∴n在平面α内，m与平面α相交，A是m和平面α的交点，∴m和n异面或相交(垂直是相交的特殊情况)，一定不平行．故选D.角度2异面直线的判定例3 (2019·许昌模拟)如下图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．答案②④解析①中HG∥MN；③中GM∥HN且GM≠HN，所以直线HG与MN必相交．触类旁通空间两条直线位置关系的判定方法即时训练 2.(2019·太原期末)已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l( )A．平行B．相交C．垂直D．异面答案 C解析直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，∴A错误；l⊂α时，在平面α内不存在与l异面的直线，∴D错误；l∥α时，在平面α内不存在与l 相交的直线，∴B错误．无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C.3．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________(注：把你认为正确的结论序号都填上)．答案③④解析 因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.考向三 异面直线所成的角例4 (1)如图在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为( )A.15B.25 C.35 D.45答案 D解析 连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1或其补角即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，则A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝5＋5－22×5×5＝45.则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.故选D.(2)正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线E 1D 与BC 1所成的角是________．答案 60°解析 如图所示，连接A 1B ，可知A 1B ∥E 1D ，∴∠A 1BC 1是异面直线E 1D 和BC 1所成的角．连接A 1C 1，可求得A 1C 1＝C 1B ＝BA 1＝3， ∴∠A 1BC 1＝60°. 触类旁通用平移法求异面直线所成的角的三步法(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．二证：证明作出的角是异面直线所成的角.三求：解三角形，求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.即时训练 4. 如图，在三棱锥D －ABC 中，AC ＝BD ，且AC ⊥BD ，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，则EF 和AC 所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 B解析 如图所示，取BC 的中点G ，连接FG ，EG .∵E ，F 分别为CD ，AB 的中点， ∴FG ∥AC ，EG ∥BD ， 且FG ＝12AC ，EG ＝12BD .∴∠EFG 为EF 与AC 所成的角． ∵AC ＝BD ，∴FG ＝EG . ∵AC ⊥BD ，∴FG ⊥EG ， ∴∠FGE ＝90°，∴△EFG 为等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°，即EF 与AC 所成的角为45°.故选B.5．在三棱锥S －ACB 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则SC 与AB 所成角的余弦值为________．答案1717解析 如图所示，取BC 的中点E ，分别在平面ABC 内作DE ∥AB ，在平面SBC 内作EF ∥SC ，则异面直线SC 与AB 所成的角为∠FED ，过F 作FG ⊥AB ，连接DG ，则△DFG 为直角三角形．由题知AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29可得DE ＝172，EF ＝2，DF ＝52，在△DEF 中，由余弦定理可得cos ∠FED ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝1717.(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为( )A.32B.155C.105D.33答案 C解析 将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝22＋12－2×2×1×cos60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝ 3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C. 答题启示(1)当异面直线所成的角不易作出或难于计算时，可考虑使用补形法．(2)补形法的目的是平移某一条直线，使之与另一条相交，常见的补形方法是对称补形． 对点训练(2019·银川模拟)如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝12，BC ＝3，AA 1＝4，N 在A 1B 1上，且B 1N ＝4，则异面直线BD 1与C 1N 所成角的余弦值为( )A.25 B.35 C.45 D ．－35答案 B解析 补一个与原长方体相同的，并与原长方体有公共面BC 1的长方体B 1F ， 如图所示．连接C 1E ，NE ，则C 1E ∥BD 1，于是∠NC 1E 即为异面直线BD 1与C 1N 所成角(或其补角)．在△NC 1E 中，根据已知条件可求C 1N ＝5，C 1E ＝13，EN ＝E 1N 2＋EE 21＝417.由余弦定理，得cos ∠NC 1E ＝C 1N 2＋C 1E 2－EN 22C 1N ×C 1E ＝－35.所以BD 1与C 1N 所成角的余弦值为35.。

专题八 立体几何34 空间点、线、面的位置关系1．空间中可以确定一个平面的条件是 A ．三个点 B ．四个点 C ．三角形D ．四边形【答案】C【解析】在A 中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A 错误； 在B 中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B 错误；在C 中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C 正确； 在D 中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D 错误. 2．已知异面直线,a b 分别在平面,αβ内，且c αβ=，那么直线c 一定A ．与a b ，都相交B ．只能与a b ，中的一条相交C ．至少与a b ，中的一条相交D ．与a b ，都平行【答案】C【解析】若 与 ， 都不相交，则 与 ， 都平行. 根据公理4，则 ，与 ， 异面矛盾. 故直线c 一定至少与a b ，中的一条相交.3．已知 ， 是异面直线，直线 平行于直线 ，那么 与 A ．一定是异面直线 B ．一定是相交直线 C ．不可能．．．是相交直线 D ．不可能．．．是平行直线 【答案】D【解析】∵直线a 与b 是异面直线，直线c ∥a ，∴直线b 和c 有可能在同一平面上，也有可能不在同一平面上， 如果b 和c 在同一平面上，二者的位置关系为相交； 如果b 和c 不在同一平面上，二者的位置关系为异面．如果b ∥c ，则a ∥b ，与已知a ，b 是异面直线矛盾，故答案为D. 4．已知直线 和平面 ，若 ， ，则过点 且平行于 的直线 A ．只有一条，不在平面 内 B ．只有一条，且在平面 内 C ．有无数条，一定在平面 内 D ．有无数条，不一定在平面 内【答案】B【解析】假设过点P 且平行于l 的直线有两条m 与n ，则m ∥l 且n ∥l ， 由平行公理得m ∥n ，这与两条直线m 与n 相交于点P 相矛盾， 故过点 且平行于 的直线只有一条，又因为点P 在平面内，所以过点P 且平行于l 的直线只有一条且在平面内． 故选B.5．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是A ．直线AA 1B ．直线A 1B 1C ．直线A 1D 1 D ．直线B 1C 1【答案】D【解析】只有11B C 与EF 在同一平面内，是相交的，其他A ，B ，C 选项中的直线与EF 都是异面直线，故选D ．6．如图所示，平面 平面 ， ， ， ， ，则平面 和平面 的交线是A ．直线B ．直线C ．直线D ．直线ABC D E F A 1B 1C 1D 1【答案】D【解析】∵l α⊂， ，∴ ， 又 ，∴CD α⊂．又 在平面 内，∴ 为平面 与平面 的交线．故选D. 7．设直线l 与平面α平行，直线m 在平面α上，那么 A ．直线l 不平行于直线m B ．直线l 与直线m 异面 C ．直线l 与直线m 没有公共点 D ．直线l 与直线m 不垂直【答案】C【解析】∵直线l 与平面α平行，∴由线面平行的定义可知：直线l 与平面α无公共点， 又直线m 在平面α上， ∴直线l 与直线m 没有公共点， 故选C ．8．在空间四边形 的边 ， ， ， 上分别取 ， ， ， 四点，如果 ， 交于一点 ，则 A ． 一定在直线 上 B ． 一定在直线 上C ． 一定在直线 或 上D ． 既不在直线 上，也不在直线 上 【答案】B【解析】由题意， ， 相交于点 ，则点 ，且 ， 又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，且 平面 ， 则点 必在平面 与平面 的交线上，即点 一定在直线 上． 故选 ．9．空间中A B C D E ，，，，五点不共面，已知A B C D ，，，在同一平面内，B C D E ，，，在同一平面内，那么B C D ，，三点 A ．一定构成三角形 B ．一定共线 C ．不一定共线D ．与AE ，共面 【答案】B【解析】设平面ABCD 为α，平面BCDE 为β，且A B C D E ，，，，不共面，则,BC CD αα⊂⊂，,BC CD ββ⊂⊂，则,αβ必相交于直线l ，且,,B l C l D l ∈∈∈，故B C D ，，三点一定共线且位于平面ABCD 与平面BCDE 的交线上. 故选B.10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为A ．23-B ．53 C ．23D ．255【答案】C【解析】如图，连结BE ，∵在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点， ∴CD AB ∥，∴BAE ∠是异面直线AE 与CD 所成的角（或所成角的补角）， 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 则2AB =，415BE =+=，AB BE ⊥，则22453AE AB BE =+=+=，∴异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为2cos 3AB BAE AE ∠==. 故异面直线AE 与CD 所成角的余弦值为23． 故选C ．11．平面 内有不共线的三点到平面 的距离相等且不为零，则 与 的位置关系为 _____ .【答案】平行或相交【解析】若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行； 若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交． 故 与 的位置关系为平行或相交.12．若直线 和平面 平行,且直线 ,则两直线 和 的位置关系为 _____ . 【答案】平行或异面【解析】由条件可知直线 和 没有公共点,故直线 和 的位置关系为平行或异面.13．若直线l 1与l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A ．l 与l 1,l 2都不相交B ．l 与l 1,l 2都相交C ．l 至多与l 1,l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1,l 2中的一条相交【答案】D【解析】可用反证法. 假设l 与1l ，2l 都不相交，因为l 与1l 都在平面 内，于是1l l ∥，同理2l l ∥，于是12l l ∥，与已知矛盾，故l 至少与1l ，2l 中的一条相交，故选D ．14．已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是A ．若 ， ，则B ．若 ， ，则C ．若 ， ，则D ．若 ， ，则【答案】D【解析】对于A ，若 ，则m ，n 可能相交、平行、异面，A 错； 对于B ，若 ，则 、 可能相交、平行，B 错； 对于C ，若 ，则 、 可能相交、平行，C 错；对于D ，若 ，根据线面垂直的性质定理可得 ，D 正确. 故选D.15．设,a b 是异面直线，则以下四个命题：①存在分别经过直线,a b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线,a b 的两个平行平面；③经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】对于①，可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确；对于②，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确；对于③，当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误；对于④，假设过直线a有两个平面α、β与直线b平行，则平面α、β相交于直线a，过直线b作一平面γ与平面α、β相交于两条直线m、n，则直线m、n相交于一点，且都与直线b平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”矛盾，所以假设不成立，所以④正确.故选C．16．我国古代《九章算术》里，记载了一个例子：今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺，问积几何？”该问题中的羡除是如图所示的五面体，其三个侧面皆为等腰梯形，两个底面为直角三角形，其中尺，尺，尺，间的距离为尺，间的距离为尺，则异面直线与所成角的正弦值为A．9130130B．7130130C．97D．79【答案】B【解析】过点作，如图：根据题意知，所以是异面直线与所成的角，又因为 尺， 尺，且侧面为等腰梯形，则 尺， 间的距离为 尺，故 尺，由勾股定理得 尺， 所以77130sin 130130FDC ∠==. 故选B.17．在长方体1111ABCD A B C D -中，O 是DB 的中点，直线1A C 交平面1C BD 于点M ，则下列结论正确的是①1C 、M 、O 三点共线； ②1C 、M 、A 、C 四点共面； ③1C 、O 、1B 、B 四点共面；④1D 、D 、O 、M 四点共面．A ．①②③B ．①②③④C ．①②D ．③④【答案】C【解析】∵O AC ∈，AC ⊂平面11ACC A ，∴O ∈平面11ACC A ， ∵O BD ∈，BD ⊂平面1C BD ，∴O ∈平面1C BD ， ∴O 是平面11ACC A 和平面1C BD 的公共点；同理可得，点M 和1C 都是平面11ACC A 和平面1C BD 的公共点，根据公理3可得1C 、M ，O 在平面11ACC A 和平面1C BD 的交线上，因此①正确． ∵11AA BB ∥，11BB CC ∥，∴11AA CC ∥,1AA ，1CC 确定一个平面，又1M A C ∈，1AC ⊂平面11ACC A ，∴M ∈平面11ACC A ，故②正确． 根据异面直线的判定定理可得1BB 与1C O 为异面直线，故1C 、O 、1B 、B 四点不共面，故③不正确． 根据异面直线的判定定理可得1DD 与MO 为异面直线， 故1D 、D 、O 、M 四点不共面，故④不正确． 故选C ．18．不在同一条直线上的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，且A ∉α，给出以下三个命题：①△ABC 中至少有一条边平行于α；②△ABC 中至多有两边平行于α；③△ABC 中只可能有一条边与α相交.其中真命题是_____________.（填序号） 【答案】①【解析】如图，三点A 、B 、C 可能在α的同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.19．如图所示，若,,,G H M N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线,GH MN 是异面直线的图形有_____________.（填序号）【答案】②④【解析】①中，GH MN ∥，③中，连接GM ，则GM HN ∥且GM HN ≠，故GH ，MN 必相交，②④符合题意.20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形且23AB BC ==，120ABC ∠=︒，若异面直线1A B 和1AD 所成的角为90︒，则1AA 的长为_____________.【答案】6【解析】如图，连接1CD AC ，.由题意得四棱柱1111ABCD A B C D -中，11∥A D BC ，11A D BC =， ∴四边形11A BCD 是平行四边形，11A B CD ∴∥，1AD C ∴∠（或其补角）为1A B 和1AD 所成的角.∵异面直线1A B 和1AD 所成的角为90︒，190AD C ∴∠=︒.∵四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD 是菱形，1△ACD ∴是等腰直角三角形，122AD AC ∴=.∵底面四边形ABCD 是菱形且23AB BC ==，120ABC ∠=︒，23sin 6026AC ∴=⨯︒⨯=，12322AD AC ==， ()()2222111132236AA AD A D ∴=-=-=.21．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 【答案】B【解析】如图所示，作EO CD ⊥于O ，连接ON ，BD ，易得直线BM ，EN 是三角形EBD 的中线，是相交直线.过M 作MF OD ⊥于F ，连接BF ，平面CDE ⊥平面ABCD ，,EO CD EO ⊥⊂平面CDE ，EO ∴⊥平面ABCD ，MF ⊥平面ABCD ，MFB ∴△与EON △均为直角三角形．设正方形边长为2，易知3,12EO ON EN ===,，35,,722MF BF BM ==∴=，BM EN ∴≠. 故选B ．【名师点睛】本题考查空间想象能力和计算能力，解答本题的关键是构造直角三角形.解答本题时，先利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．22．（2018新课标全国Ⅱ理科）在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B ．56C ．55D ．22【答案】C【解析】用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面， 如图，则11B P AD ∥，连接DP ，易求得1=5DB DP =，12B P =，则1DB P ∠是异面直线1AD 与1DB 所成的角，由余弦定理可得222111115455cos 2545DB B P DP DB P DB PB +-+-∠===⋅. 故选C.23．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．32B ．155 C ．105D ．33【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCD A B C D -， 则所求角为21111,2,21221cos603,5BC D BC BD C D AB ∠==+-⨯⨯⨯︒===，易得22211C D BD BC =+，因此111210cos 55BC BC D C D ∠===. 故选C ．【名师点睛】平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．24．（2015安徽理科）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是A ．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B ．若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行C ．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D ．若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】由A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A 不正确； 由B ，若m ，n 平行于同一平面，则m ，n 可以平行、重合、相交、异面，故B 不正确；由C ，若α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α平面中平行于α，β交线的直线，故C 不正确；由D ，其逆否命题为“若m 与n 垂直于同一平面，则m ，n 平行”是真命题，故D 项正确. 所以选D.25．（2016新课标全国Ⅰ理科）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α//平面CB 1D 1，αI 平面ABCD =m ，αI 平面ABB 1 A 1=n ，则m ，n 所成角的正弦值为A ．32B ．22C ．33D ．13【答案】A【解析】如图，设平面11CB D 平面ABCD ='m ，平面11CB D 平面11ABB A ='n ，因为α∥平面11CB D ，所以','m m n n ∥∥，则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 过1D 作11D E B C ∥，交AD 的延长线于点E ,连接CE ，则CE 为'm . 连接1A B ，过B 1作111B F A B ∥，交1AA 的延长线于点1F ，则11B F 为'n . 连接BD ，则111,BD CE B F A B ∥∥，则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角，为60︒， 故,m n 所成角的正弦值为32， 选A.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成的角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形、解形求角、得钝求补.26．(2017新课标全国Ⅲ理科) a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【解析】设1AC BC ==.由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥，又AC ⊥圆锥底面，所以在底面内可以过点B ，作BD a ∥，交底面圆C 于点D ，如图所示，连接DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴∥，连接AD ，等腰ABD △中，2AB AD ==,当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠=，故2BD =，又在Rt BDE △中，2,2BE DE =∴=，过点B 作BF ∥DE ，交圆C于点F ，连接AF ，由圆的对称性可知2BF DE ==,ABF ∴△为等边三角形，60ABF ∴∠=，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由图可知③正确；很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，则直线AB 与a 所成角的最大值为90°，④错误.故正确的是②③.【名师点睛】（1）平移直线法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是π0,2⎛⎤⎥⎝⎦，可知当求出的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.（2）求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.。

高考数学立体几何知识点梳理关键信息：1、立体几何基本概念与公理点、线、面的位置关系三公理及推论2、直线与平面的位置关系直线与平面平行直线与平面垂直3、平面与平面的位置关系平面与平面平行平面与平面垂直4、空间几何体棱柱棱锥棱台圆柱圆锥圆台球5、空间几何体的表面积与体积表面积公式体积公式6、空间向量在立体几何中的应用空间向量的坐标表示空间向量的数量积利用空间向量证明位置关系利用空间向量求空间角11 立体几何基本概念与公理111 点、线、面的位置关系点是空间中最基本的元素，线是由无数个点组成的，面是由无数条线组成的。

点动成线，线动成面。

直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交。

平面与平面的位置关系有：平行、相交。

112 三公理及推论公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。

推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。

推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。

21 直线与平面的位置关系211 直线与平面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。

212 直线与平面垂直定义：如果一条直线与平面内任意一条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。

判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

31 平面与平面的位置关系311 平面与平面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

312 平面与平面垂直定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。

高中数学必修2知识点总结02点、直线、平面的位置关系点、直线、平面是构成空间几何体基本元素，研究它们之间的性质以及相互之间的位置关系，是研究空间几何体性质的一般方法。

教材要求：理解空间中点、直线、平面的位置关系；学会用数学语言表述有关平行、垂直的判定与性质，并对某些结论进行论证；掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的判定定理；掌握三垂线定理及其逆定理等一、直线与平面位置关系高考考试内容及考试要求：考试内容：1、平面及其基本性质；2、平行直线；对应边分别平行的角；异面直线所成的角；异面直线的公垂线；异面直线的距离；3、直线和平面平行的判定与性质；直线和平面垂直的判定与性质；点到平面的距离；斜线在平面上的射影；直线和平面所成的角；三垂线定理及其逆定理；4、平行平面的判定与性质；平行平面间的距离；二面角及其平面角；两个平面垂直的判定与性质；考试要求：1、掌握平面的基本性质；能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系。

2、掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离；3、掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的判定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理；4、掌握两个平面平行的判定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两个平行平面间的距离的概念，掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理。

二、空间中的平行关系课标要求：1．平面的基本性质与推论借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内；◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

命题点1
[例1]
(1)给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α 、β 、
γ 的三个命题： ①若l与m为异面直线，l⊂α ，m⊂β ，则α∥β； ②若α∥β，l⊂α ，m⊂β ，则l∥m； ③若α∩β＝l，β ∩γ ＝m.γ∩α＝n，l∥γ ，则m∥n. 其中真命题的个数为( C ) A．3 C．1 B．2 D．0
不重合的 平面有 公理3：如果两个____________
一个公共点，那么它们有且只有一条 过该点的公共直线
①证明：三点共线，三 线共点. ②确定两相交平面的交 线 证明：线线平行．
同一条直线 的两条直 公理4：平行于____________
线互相平行 定理：空间中如果一个角的两边与另
分别平行 ，那么这 一个角的两边____________
因为
l∥ α ____________ ， l⊂β ____________ ， α∩β＝b ____________ ，
所以l∥b
知识点4
平面与平面平行的判定定理和性质定理 图形语言 符号语言
文字语言 一个平面内 判 的两条相交 定 直线与另一 定 个平面平
a⊂α，b⊂α ， 因为____________
解析：选C.A选项中的两条直线可能平行，可能异面，也可能相 交；B中一直线可以与两垂直平面所成的角都是 45°；由两平面平行的 性质定理知C正确；D中的两平面也可能相交．
1．共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面，①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一 个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为 两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合． (2)证明点共线，①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这 条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定的直线上． (3)证明线共点，先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过 该点．

方体模型中进行观察.
题型与方法
第二讲
变式训练 1 设 l、m、n 表示三条直线，α、β、γ 表示三个平 面，给出下列四个命题： ①若 l⊥α，m⊥α，则 l∥m；
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②若 m⊂β，n 是 l 在 β 内的射影，m⊥l，则 m⊥n； ③若 m⊂α，m∥n，则 n∥α； ④若 α⊥γ，β⊥γ，则 α⊥β. 其中真命题为 A.①② B.①②③ C.①②③④ D.③④ ( A )
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点．
(1)求证：DE∥平面 PAB； (2)求证：平面 PAB⊥平面 PBC； (3)求四棱锥 P—ABCD 的体积．
题型与方法
证明
第二讲
(1)连接 AC，则 F 是 AC 的中点，E 为 PC 的中点,
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故在△CPA 中，EF∥PA，
又∵PA⊂平面 PAD，EF⊄平面 PAD，
即 PA⊥PD.又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面 PCD.
又∵PA⊂平面 PAB，
∴平面 PAB⊥平面 PCD.
题型与方法
第二讲
题型三
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空间线面关系的综合问题 线面关系的综合问题包括空间位置关系的证明和
则直线 l 与平面 α 内的直线只有相交和异面两种位置关系， 因而只有选项 B 是正确的.
考点与考题
第二讲
3.(2012· 安徽)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m， 直线 a 在平面 α 内， 直线 b 在平面 β 内， b⊥m， 且 则“α⊥β”是“a⊥b” 的
本 讲 栏 目 开 关
( A ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
(3)面面平行的判定定理 b∥α，∴α∥β. (4)面面平行的性质定理 ∴a∥b.

高考数学复习考点知识与题型专题讲解空间点、直线、平面之间的位置关系考试要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．知识梳理 1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 2．空间中直线与直线的位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧ 平行直线相交直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有 公共点3．空间中直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．空间中平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．(√)(3)如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合．(×)(4)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)教材改编题1.如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法不正确的是()A．AB与CD是异面直线B．GH与CD相交C．EF∥CDD．EF与AB异面答案D解析把展开图还原成正方体，如图所示．还原后点G与C重合，点B与F重合，由图可知ABC正确，EF与AB相交，故D错．2．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b()A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线答案D解析α∥β，说明a与b无公共点，∴a与b可能平行也可能是异面直线．3.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ， ∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形， ∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ， ∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .题型一 平面基本性质的应用例1如图所示，已知在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，C 1B 1的中点，AC ∩BD ＝P ，A 1C 1∩EF ＝Q .求证：(1)D ，B ，F ，E 四点共面；(2)若A 1C 交平面DBFE 于R 点，则P ，Q ，R 三点共线． 证明(1)∵EF 是△D 1B 1C 1的中位线， ∴EF ∥B 1D 1.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，B 1D 1∥BD ， ∴EF ∥BD .∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设平面A1ACC1为α，平面BDEF为β.∵Q∈A1C1，∴Q∈α.又Q∈EF，∴Q∈β，则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，∴α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，∴R∈A1C.∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．教师备选如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，AA1的中点，连接D1F，CE.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE ，D 1F ，DA 三线共点．证明(1)如图所示，连接CD 1，EF ，A 1B ， ∵E ，F 分别是AB ，AA 1的中点， ∴EF ∥A 1B ，且EF ＝12A 1B . 又∵A 1D 1∥BC ，A 1D 1＝BC ， ∴四边形A 1BCD 1是平行四边形， ∴A 1B ∥CD 1，∴EF ∥CD 1，∴EF 与CD 1能够确定一个平面ECD 1F ， 即E ，C ，D 1，F 四点共面．(2)由(1)知EF ∥CD 1，且EF ＝12CD 1， ∴四边形CD 1FE 是梯形，∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ， 则P ∈CE ，且P ∈D 1F ，∵CE ⊂平面ABCD ，D 1F ⊂平面A 1ADD 1， ∴P ∈平面ABCD ，且P ∈平面A 1ADD 1.又∵平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．(3)证明共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1(1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的图是()答案D解析对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；同理，B，C图中四点也共面；D中四点不共面．(2)在三棱锥A－BCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG ＝P，则点P()A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.题型二空间位置关系的判断例2(1)下列推断中，错误的是()A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合答案C解析对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由公理3可知M∈l，A对；对于B，A∈α，A∈β，B∈α，B∈β，故直线AB⊂α，AB⊂β，即α∩β＝AB，B对；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D对．(2)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，则下列说法正确的是()A．直线MN与直线A1B是异面直线B．直线MN与直线DD1相交C．直线MN与直线AC1是异面直线D．直线MN与直线A1C平行答案C解析如图，因为M，N分别是长方形A1B1C1D1与长方形BCC1B1的中心，所以M，N分别是A1C1，BC1的中点，所以直线MN与直线A1B平行，所以A错误；因为直线MN经过平面BB1D1D内一点M，且点M不在直线DD1上，所以直线MN与直线DD1是异面直线，所以B错误；因为直线MN经过平面ABC1内一点N，且点N不在直线AC1上，所以直线MN与直线AC1是异面直线，所以C正确；因为直线MN经过平面A1CC1内一点M，且点M不在直线A1C上，所以直线MN与直线A1C是异面直线，所以D错误．教师备选1．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是() A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面答案D2．如图所示，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH与MN是异面直线的图形有________．(填序号)答案②④思维升华(1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型．(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．跟踪训练2(1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD 的位置关系是()A．平行B．异面C．相交或平行D．平行或异面或相交均有可能答案D解析根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，如图可知AB与CD有相交、平行、异面三种情况．(2)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列结论正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交答案D解析如图1，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．图1图2题型三空间几何体的切割(截面)问题例3(1)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝13DD1，NB＝13BB1，那么正方体中过M，N，C1的截面图形是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形答案C解析先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点，再确定截面与几何体的棱的交点．如图，设直线C1M，CD相交于点P，直线C1N，CB相交于点Q，连接PQ交直线AD于点E，交直线AB于点F，则五边形C1MEFN为所求截面图形．(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为______．答案π2解析以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线是以C1为圆心，1为半径的圆与正方形BCC1B1相交的一段弧(圆周的四分之一)，其长度为14×2π×1＝π2.延伸探究将本例(2)中正方体改为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球心，5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．答案2π2解析如图，设B1C1的中点为E，球面与棱BB1，CC1的交点分别为P，Q，连接DB，D1B1，D1P，D1E，EP，EQ，由∠BAD＝60°，AB＝AD，知△ABD为等边三角形，∴D1B1＝DB＝2，∴△D1B1C1为等边三角形，则D1E＝3且D1E⊥平面BCC1B1，∴E为球面截侧面BCC1B1所得截面圆的圆心，设截面圆的半径为r，则r＝R2球－D1E2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP＝EQ＝2，∴球面与侧面BCC1B1的交线为以E为圆心的圆弧PQ.又D1P＝5，∴B1P＝D1P2－D1B21＝1，同理C1Q＝1，∴P，Q分别为BB1，CC1的中点，∴∠PEQ＝π2，知PQ︵的长为π2×2＝2π2，即交线长为2π2.教师备选如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面α经过直线BD且与直线C1E平行，若正方体的棱长为2，则平面α截正方体所得的多边形的面积为________．答案9 2解析如图，过点B作BM∥C1E交B1C1于点M，过点M作BD的平行线，交C1D1于点N，连接DN，则平面BDNM即为符合条件的平面α，由图可知M，N分别为B1C1，C1D1的中点，故BD＝22，MN＝2，且BM＝DN＝5，∴等腰梯形MNDB的高为h ＝(5)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝322，∴梯形MNDB 的面积为 12×(2＋22)×322＝92.思维升华 (1)作截面应遵循的三个原则：①在同一平面上的两点可引直线；②凡是相交的直线都要画出它们的交点；③凡是相交的平面都要画出它们的交线． (2)作交线的方法有如下两种：①利用公理3作交线；②利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及面面平行，然后根据性质作出交线．跟踪训练3(1)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的下半部分，则剩余几何体的正视图是()答案A解析在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过点A，E，C1的平面截去该正方体的下半部分后，剩余部分的直观图如图．则该几何体的正视图为图中粗线部分，故选A.(2)(2022·兰州模拟)如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．答案3 2解析在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a，则ME＝22a，MI＝2a，IH＝22a，HG＝2a，FG＝22a，EF＝2a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝92a，又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3 2.课时精练1．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行．其中正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故③错误．④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交、可平行、可异面，故④错误．2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列判断正确的是() A．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n可能相交或异面B．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n一定平行C．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n一定垂直D．若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n一定平行答案A解析m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则直线m与n相交垂直或异面垂直，故A正确；对于B，若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则直线m与n相交、平行或异面，故B错误；对于C，若m⊥α，n∥β，α⊥β，则直线m与n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若m∥α，n∥β，α∥β，则直线m与n平行或异面，故D错误．3．(2022·营口模拟)已知空间中不过同一点的三条直线a，b，l，则“a，b，l两两相交”是“a，b，l共面”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析空间中不过同一点的三条直线a，b，l，若a，b，l在同一平面，则a，b，l相交或a ，b ，l 有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行． 所以a ，b ，l 在同一平面，则a ，b ，l 两两相交不一定成立； 而若a ，b ，l 两两相交，则a ，b ，l 在同一平面成立．故“a ，b ，l 两两相交”是“a ，b ，l 共面”的充分不必要条件．4.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是平面ADD 1A 1的中心，M ，N ，F 分别是B 1C 1，CC 1，AB 的中点，则下列说法正确的是()A ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 平行 B ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 平行 C ．MN ＝12EF ，且MN 与EF 异面 D ．MN ≠12EF ，且MN 与EF 异面 答案D解析设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2a ，则MN ＝MC 21＋C 1N 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＝2a ， 作点E 在平面ABCD 内的射影点G ，连接EG ，GF ，所以EF ＝EG 2＋GF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22＋(2a )2 ＝3a ，所以MN ≠12EF ，故选项A ，C 错误； 连接DE ，因为E 为平面ADD 1A 1的中心， 所以DE ＝12A 1D ，又因为M ，N 分别为B 1C 1，CC 1的中点， 所以MN ∥B 1C ，又因为B 1C ∥A 1D ，所以MN ∥ED ， 且DE ∩EF ＝E ，所以MN 与EF 异面，故选项B 错误．5.如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是()A．直线AC B．直线ABC．直线CD D．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.6．(2022·厦门模拟)下列说法正确的是()A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面B．和同一条直线异面的两直线一定共面C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交答案C解析两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC 与BD 确定一个平面α，则AC ⊂α，BD ⊂α，所以A ∈α，B ∈α，C ∈α，D ∈α，所以AB ⊂α，CD ⊂α，这与假设矛盾，故C 正确；如图1，AB ∥CD ，而直线AA 1与AB 相交，但与直线CD 不相交，故D 错误．图1图27．已知a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，在下列命题①⎭⎬⎫a ∥αa ∥β⇒α∥β；②⎭⎬⎫a ⊥αa ⊥β⇒α∥β；③ ⎭⎬⎫a ∥αb ∥α⇒a ∥b ；④⎭⎬⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b 中，正确的命题是________(只填序号)． 答案②④解析①与同一条直线平行的两个平面不一定平行，在本题的条件下，两平面可能相交，所以①是假命题；②根据直线与平面的位置关系，由a ⊥α，a ⊥β可得出α∥β，所以②是真命题； ③根据直线与平面的位置关系，可得a 与b 可以是平行或相交或异面，所以③是假命题； ④垂直于同一个平面的两条直线平行，所以④是真命题．8．(2022·渭南模拟)在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号) ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．答案①②④解析对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．9.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠F AB＝90°，BC∥AD且BC＝12AD，BE∥AF且BE＝12AF，G，H分别为F A，FD的中点．(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？(1)证明∵G，H分别是F A，FD的中点，∴GH綉12AD.又BC綉12AD，∴GH綉BC.∴四边形BCHG为平行四边形．(2)解∵BE綉12AF，G是F A的中点，∴BE綉FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綉CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．10.如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的侧棱AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为AA1，CC1的中点，M为AB上一点．(1)若D1E与CM相交于点K，求证D1E，CM，DA三条直线相交于同一点；(2)若AB＝2，AA1＝4，∠BAD＝π3，求点D1到平面FBD的距离．(1)证明∵D1E与CM相交于点K，∴K∈D1E，K∈CM，而D1E⊂平面ADD1A1，CM⊂平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，∴K∈AD，∴D1E，CM，DA三条直线相交于同一点K.(2)解∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∴BC＝CD＝2，而四棱柱的侧棱AA1⊥底面ABCD，∴CC1⊥底面ABCD，又∵F是CC1的中点，CC1＝4，∴CF＝2，∴BF＝DF＝22，又∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝π3， ∴BD ＝AB ＝2， ∴S △FBD ＝12×2×(22)2－1＝7.设点D 1到平面FBD 的距离为h ，点B 到平面DD 1F 的距离为d ， 则d ＝2sin π3＝3， 又∵11D FBD B DD F V V --=，∴13×S △FBD ×h ＝13×1DD F S △×d ， ∴13×7×h ＝13×12×4×2×3， 解得h ＝4217.即点D 1到平面FBD 的距离为4217.11.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案B解析如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝⎝⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．12．(2022·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，下列结论正确的是()A．AP与CM是异面直线B．AP，CM，DD1相交于一点C．MN∥BD1D．MC∥平面BB1D1D答案B解析如图，连接MP，AC，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又平面A1ADD1∩平面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则A不正确，B正确；令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON∥D1M∥CD，ON＝D1M＝12CD，则四边形MNOD1为平行四边形，所以MN∥OD1，因为MN⊄平面BB1D1D，OD1⊂平面BB1D1D，所以MN ∥平面BB 1D 1D ，C 不正确，D 不正确．13．棱长均为1m 的正三棱柱透明封闭容器盛有a m 3水，当侧面AA 1B 1B 水平放置时，液面高为h m(如图1)；当转动容器至截面A 1BC 水平放置时，容器中的水恰好充满三棱锥A －A 1BC (如图2)，则a ＝________，h ＝________.图1图2答案31232－22解析由题意得S △ABC ＝12×1×1×sin60° ＝12×1×1×32＝34， AA 1＝1.∴1A A BC V -＝13S △ABC ·AA 1＝13×34×1＝312＝a . 由1111ABED A B E D V -＝1A A BC V -得S 四边形ABED ·AA 1 ＝13S △ABC ·AA 1， ∴S 四边形ABED ＝13S △ABC ， ∴S △CDE ＝23S △ABC ，∴34DE2＝23×34AB2，∴DEAB＝23＝63.∵DCAC＝DEAB＝63，∴DC＝63，∴AD＝1－63，在等边△ABC中，AB边上的高为32.∵h32＝ADAC＝1－631，∴h＝32－22.14．(2022·盐城模拟)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为棱A1D1，CC1的中点，过P，Q，A作正方体的截面，则截面多边形的周长是________．答案25＋95＋2133解析如图所示，过Q作QM∥AP交BC于M，由A 1P ＝CQ ＝2，tan ∠AP A 1＝2，则tan ∠CMQ ＝2，CM ＝CQ tan ∠CMQ＝1， 延长MQ 交B 1C 1的延长线于E 点，连接PE ，交D 1C 1于N 点，则多边形AMQNP 即为截面，根据平行线性质有C 1E ＝CM ＝1，C 1N ND 1＝C 1E PD 1＝12，则C 1N ＝43，D 1N ＝83，因此NQ ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝2133， NP ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫832＝103， 又AP ＝42＋22＝25，AM ＝42＋32＝5， MQ ＝12＋22＝5， 所以多边形AMQNP 的周长为AM ＋MQ ＋QN ＋NP ＋P A ＝5＋5＋2133＋103＋2 5＝25＋95＋2133.15.(2022·山西康杰中学模拟)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，AA1＝3，E，F分别是AB，BC的中点，过点D1，E，F的平面记为α，则下列说法中错误的是()A．点B到平面α的距离与点A1到平面α的距离之比为1∶2B．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的面积为73 2C．平面α将直四棱柱分割成的上、下两部分的体积之比为47∶25D．平面α截直四棱柱ABCD－A1B1C1D1所得截面的形状为四边形答案D解析对于A，因为平面α过线段AB的中点E，所以点A到平面α的距离与点B到平面α的距离相等．由平面α过A1A的三等分点M可知，点A1到平面α的距离是点A到平面α的距离的2倍，因此，点A1到平面α的距离是点B到平面α的距离的2倍．故选项A正确；延长DA ，DC 交直线EF 的延长线于点P ，Q ，连接D 1P ，D 1Q ，交棱A 1A ，C 1C 于点M ，N .连接ME ，NF ，可得五边形D 1MEFN ，故选项D 错误；由平行线分线段成比例可得AP ＝BF ＝1，故DP ＝DD 1＝3，则△DD 1P 为等腰三角形．由相似三角形可知，AM ＝AP ＝1，A 1M ＝2，则D 1M ＝D 1N ＝22，ME ＝EF ＝FN ＝ 2.连接MN ，则MN ＝22，因此五边形D 1MEFN 可分为等边三角形D 1MN 和等腰梯形MEFN .等腰梯形MEFN 的高h ＝(2)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫22－222＝62， 则等腰梯形MEFN 的面积为22＋22×62＝332.又1D MN S △＝12×22×6＝23，所以五边形D 1MEFN 的面积为332＋23＝732，故选项B 正确；记平面将直四棱柱分割成上、下两部分的体积分别为V 1，V 2，则V 2＝1D DPQ M PAE N CFQ V V V ----- ＝13×12×3×3×3－13×12×1×1×1－13×12×1×1×1＝256，所以V 1＝1111ABCD A B C D V -－V 2＝12－256＝476， V 1∶V 2＝47∶25，故选项C 正确．16．如图1，在边长为4的正三角形ABC 中，D ，F 分别为AB ，AC 的中点，E 为AD 的中点．将△BCD 与△AEF 分别沿CD ，EF 同侧折起，使得二面角A －EF －D 与二面角B －CD －E 的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．图1图2(1)在多面体中，求证：A ，B ，D ，E 四点共面；(2)求多面体的体积．(1)证明因为二面角A －EF －D 的大小等于90°，所以平面AEF ⊥平面DEFC ，又AE ⊥EF ，AE ⊂平面AEF ，平面AEF ∩平面DEFC ＝EF ，所以AE ⊥平面DEFC ， 同理，可得BD ⊥平面DEFC ，所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共面．(2)解因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC，EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，所以AE是四棱锥A－CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，又AE＝DE＝1，CD＝23，EF＝3，BD＝2，所以V＝V A－CDEF＋V A－BCD＝13S梯形CDEF ·AE＋13S△BCD·DE＝736.。

D
(2)如图7-38-4所示,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH与MN是异面直线的图形有 .(填序号)
课堂考点探究
[思路点拨]根据异面直线的概念通过观察或平移判断两条直线是否异面;[解析]在题图①中,GH∥MN;在题图②中,G,H,N共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;在题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此直线GH与MN共面;在题图④中,G,M,N共面,但H∉平面GMN,因此直线GH与MN异面.故填②④.
课前基础巩固
[解析]首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面.
题组二 常错题
索引:对异面直线的概念理解有误致误;判断空间点、线、面位置关系时不全面或不清楚致误.3. α是一个平面,m,n是两条直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是 .(填序号) ①垂直;②相交;③异面;④平行.
(续表)
两个点
课前基础巩固
基本事实
文字语言
图形语言
符号语言
作用
基本事实3
如果两个不重合的平面有_____ 公共点,那么它们有且只有 的公共直线
P∈α,且P∈β⇒ α∩β=l,且P∈l
①确定两平面相交的依据;②判定点在直线上的依据
(续表)
一个
课前基础巩固
基本事实
文字语言
图形语言
符号语言
图7-38-2
课堂考点探究
[思路点拨]设CE,D1F交于点P,再证明直线DA经过点P即可.证明：∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE与D1F必相交,延长CE,D1F,设交点为P,如图所示.由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.同理可得P∈平面ADD1A1.延长DA,又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,∴P∈直线DA,∴CE,D1F,DA三线共点.

2。

3.2 平面与平面垂直的判定知识导图学法指导1。

平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊关系的认识，既可以从平面与平面的夹角为直角的角度讨论,又可以从已有的线面垂直关系出发进行推理论证．2．面面垂直源自线线垂直，这种转化为“低维"垂直的思想方法在解题时非常重要，一方面从条件入手，分析已有的垂直关系,另一方面从结论入手，分析所要证明的垂直关系，从而找到解决问题的途径．3．判定定理中的条件“一个平面经过另一个平面的一条垂线”既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，使用定理时，一定要注意定理的条件．高考导航1.求二面角是高考理科卷的常考内容,常与线面、面面位置关系综合在一起进行考查,以解答题的形式出现，分值5～10分．2．平面与平面垂直的判定定理，一般不会单独考查，通常和平行、夹角等知识综合考查，以选择题或解答题的一问的形式出现，分值5分.知识点一二面角1．二面角二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角．这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面．如图，记作：二面角α－l－β或二面角P－AB －Q或二面角P－l－Q范围0°≤θ≤180°2.文字语言在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫作二面角的平面角图形语言符号语言α∩β＝l,O∈l，OA⊂α，OB⊂β，OA⊥l，OB⊥l ⇒∠AOB为二面角α－l－β的平面角作二面角的平面角的方法方法一(定义法)：在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图①，∠AOB为二面角α －a －β的平面角．方法二（垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如图②，∠AOB为二面角α －l －β的平面角．方法三（垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角．如图③，∠AFE为二面角A －BC －D的平面角．知识点二平面与平面垂直平面与平面垂直定义如果两个平面相交,且它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β画法通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直，如图:判定定理文字表述:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直．符号表示：错误!⇒α⊥β定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．［小试身手]1．判断下列命题是否正确。