福建省厦门双十中学2020届高三上学期第一次月考数学(理)试题 扫描版含答案

福建省厦门市双十中学2020-2021学年高三上学期期中数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}|12,|03,A x x B x x =-<<=<<则AB =（ ） A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3 2．已知11a bi i =-+，其中,a b 是实数，i 是虚数单位，则a bi -=（ ） A ．3 B ．2 CD ．53．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S 等于A ．18B ．36C ．54D ．724．设,a b 是互不垂直的两条异面直线，则下列命题成立的是（ ）A ．存在唯一直线l ，使得l a ⊥，且l b ⊥B ．存在唯一直线l ，使得l a //，且l b ⊥C ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且//b αD ．存在唯一平面α，使得a α⊂，且b α⊥5．设02x π＜＜，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =+=-，则AM =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1 7．化简：︒=（）A ．1 BC D ．2 8．已知函数f （x ）=|lgx|.若0<a<b,且f （a ）=f （b ）,则a+2b 的取值范围是（ ） A．)+∞ B ．)+∞ C ．(3,)+∞ D ．[3,)+∞9．已知函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x 的单调递减区间是（ ） A ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B ．22,263k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ C ．42,233k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ D ．52,21212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 10．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．(43π+ B ．(42π+C D ．(4π+11．已知圆O 的半径为1，,PA PB 为该圆的两条切线，,A B 为两切点，那么PA PB ⋅的最小值为A ．3-+B ．3-C ．4-+D ．42-+ 12．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为1，点M 在线段BC 上点M 异于点B ，C ，点N 在线段1CC 上，且13CN =，若平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形，则线段BM 长的取值范围为（ ）A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题 13．设变量x ，y 满足约束条件0{1030y x y x y ≥-+≥+-≤，则2z x y =+的最大值为 ．14．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则()4log 9f 的值为______.15．已知正项等比数列{}n a 的前n 项积为n ∏，已知11212,2048m m m m a a a -+-⋅=∏=，则m =_______.16．如图所示，在一个坡度一定的山坡AC 的顶上有一高度为25m 的建筑物CD ，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A 处测得15DAC ︒∠=，沿山坡前进50m 到达B 处，又测得45DBC ︒∠=，根据以上数据得cos θ=_________．三、解答题17．在数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且(1)2n n n S +=记n T 为等比数列{}n b 的前n 项和，且2420b b +=，430T =（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记1212n n na a a Hb b b ++⋅⋅⋅+=，是否存在*,m n ∈N ，使得n m H a =，若存在，求出所有满足题意的m ，n 若不存在，请说明理由.18．如图：在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AB =D 在BC 边上，且90DAC ∠=︒，（1）若BD =，求AD 的长；（2）若DC =，求角C19．如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，090ACB ∠=，点1B 在底面内的射影恰好是BC 的中点，且2BC CA ==.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（2）若二面角11B AB C --的余弦值为57-，求斜三棱柱111ABC A B C -的高. 20．已知函数21()sin cos 2f x x x x ax =++，[,]x ππ∈-. （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）当0a >，讨论()f x 的零点个数；21．已知动圆P 与定圆F ：22(1)1x y -+=外切，且与y 轴相切.（1）求动圆圆心P 的轨迹Γ的方程；（2）过(1,0)F 作直线l 与Γ在y 轴右侧的部分相交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .（ⅰ）求直线BD 与x 轴的交点K 的坐标； （ⅱ）若64||9AB =，求ABK ∆的内切圆方程. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C ：12cos {4sin x y θθ==（参数R θ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为3cos()3ρπθ=+，点Q的极坐标为)4π． （1）将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并求出点Q 的直角坐标；（2）设P 为曲线1C 上的点，求PQ 中点M 到曲线2C 上的点的距离的最小值．23．已知a ，b ，c 是ABC ∆的三条边.（1）求证：332251a b a b ab +++≥-；（2）若1abc =，求()()()a b c b c a c a b +-+-+-的最大值.参考答案1．A【详解】因为{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,所以{}|13.AB x x =-<< 故选A.2．C【解析】 试题分析：由题；11a bi i=-+，则(1)1(1)(1)2a i a ai bi i i --==-+-．即；2,1a b ==所以；2a bi i -=-=考点：复数的运算及复数的模.3．D【分析】利用等差数列的性质：下标之和相等的两项的和相等，由451718a a a a +==+,结合等差数列的求和公式可求得8S .【详解】数列{}n a 为等差数列，4518a a +=,∴由等差数列的性质得：451818a a a a +=+= ,又其前n 项和为n S ,()()1884584722a a S a a +∴==+=，故选D .【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式的应用，属于中档题. 解答与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质2p q m n ra a a a a +=+=（2p q m n r +=+=）与前n 项和的关系.4．C【详解】试题分析：过直线a 上任意一点P ，作b 的平行线c ，由,a c 相交确定一个平面α.直线l 只需垂直于平面α，就会与b 垂直，这样的直线有无数条，故A 错误.因为,a b 不一定垂直，根据平面两条直线所成角的定义，排除B.根据线面垂直的概念，排除D.所以选C. 考点：空间点线面位置关系.5．B【分析】由x 的范围得到0sin 1x <＜，则由sin 1x x <能得到2sin sin 1x x x x <<，反之不成立，从而可求得结果.【详解】 02x ＜＜π，∴ 0sin 1x <＜，故2sin sin x x x x <，若“sin 1x x <”，则“2sin 1x x ＜”，若“2sin 1x x ＜”，则11sin ,1sin sin x xx x ，此时sin 1x x <可能不成立， 例如,sin 1,sin 12x x x x π→→>，由此可知，“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x <”的必要不充分条件，故选B.【点睛】判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．C【分析】由||||AB AC AB AC +=-可得0AB AC ⋅=，AB AC ⊥，结合2||16BC =即可得结果.【详解】因为2||16BC =，所以||4BC =，又因为22||||||||0AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC +=-⇒+=-⇒⋅=，所以AB AC ⊥,又因为M 是BC 的中点， 所以1||||22AM BC ==, 故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =. 7．C【分析】根据二倍角公式以及两角差的余弦公式进行化简即可.【详解】 原式22cos 20sin 20cos 25(cos 20sin 20)︒-︒=︒︒-︒02020cos 20sin 20-2522==cos 25cos 25cos 25︒+︒︒+︒︒=︒︒︒（）（45） 25=cos 25︒=︒故选C.【点睛】这个题目考查了二倍角公式的应用，涉及两角差的余弦公式以及特殊角的三角函数值的应用属于基础题.8．C【解析】试题分析：0,()()a b f a f b <<=，01,a b ∴<<<所以()lg ,()lgb f a a lga f b lgb ==-==，所以由()()f a f b =得lg lg a b -=，即lg lg lg()0+==a b ab ，所以1ab =，1b a =，令2()2h a a b a a=+=+，因为函数()h a 在区间(0,1)上是减函数，故()(1)3h a h >=，故选C ．考点：对数函数性质，函数单调性与最值．9．A【分析】根据()f x 在2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，得到T π≥，从而得到2ω≤，根据1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得到1121212T k ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，k Z ∈，从而得到k ω=，k Z ∈，再分别研究1ω=和2ω=的情况，根据1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合T 的值，得到()f x 的最值，判断出1ω=时不成立，再验证2ω=符合要求，从而得到()f x 的单调递减区间，得到答案.【详解】.解：函数()sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在2,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 则22362T πππ≥-=，得到T π≥， 所以2ππω≥，得到2ω≤， 因为1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1121212T k ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，k Z ∈ 而2T πω=，从而得到k ω=，k Z ∈当1ω=，2T π=， 因为1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且111212πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 所以12x π=-和512x π=为相邻的两个零点，所以1151212212x πππ-+==时，()f x 取最大值或最小值， 而已知中()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，52,1263πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以矛盾，故1ω=不成立. 当2ω=，T π=， 因为1101212f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且111212πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 则()f x 在1246x πππ=-+=和1121243x πππ=-=取最值， 而已知条件中恰有()f x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以可得()f x 的单调递减区间是2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，根据正弦函数的周期性求参数的值，求正弦型函数的单调区间，属于中档题. 10．C 【解析】试题分析：由三视图可知几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成，所以体积为211111222332π⋅⋅⋅⋅⋅=. 考点：三视图. 11．A 【详解】 试题分析：如图所示：设()0OP x x =>，则1,2,sin ,PA PB APO APB xααα==∠=∠==()()()4222222222322.cos 2112sin 1133x x PA PB PA PB x x x x x x αα-+⎛⎫⋅==--=--==+-≥ ⎪⎝⎭所以当且仅当2x =“=”，故最小值为3-+考点：向量的数量积的应用 12．D 【分析】易知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，找到平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形的临界位置，得到BM 的长度，从而得到所求的BM 的取值范围. 【详解】因为正方体1111ABCD A B C D -的体积为1， 所以其棱长为1，如图所示，平面AMN 截正方体1111ABCD A B C D -所得的截面为四边形的临界位置 因为平面11AA D D 平面11BB C C 平面AMN 平面111AA D D AD =, 平面AMN平面11BB C C MN =,所以1AD MN ∥， 易得1MNBC所以13CN CM ==， 所以23BM =所以，当203BM ≤<时，截面为四边形，当23BM >时，截面为五边形， 故所求的线段BM 的取值范围为203⎛⎤ ⎥⎝⎦，. 故选：D.【点睛】本题考查截面图形问题，面面平行的性质，属于中档题. 13．6 【详解】根据题意画出约束条件对应的可行域，可知目标函数在点(3,0)处取得最大值，所以带入得6，即答案为6． 14．13- 【分析】利用换底公式得出42log 9log 30=>，先计算出()2log 3f -，然后利用函数()y f x =为奇函数，得出()4log 9f 的值. 【详解】224222log 9log 3log 3log 10==>=，由题意得()221log log 3321log 3223f --===，由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数， 因此，()()()4221log 9log 3log 33f f f ==--=-. 故答案为13-. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，同时也考查利用换底公式化简以及对数的运算，在求函数值时，要注意根据自变量的取值选择合适的解析式进行计算，考查计算能力，属于基础题. 15．6 【详解】试题分析：根据等比数列的性质，有2112m m m m a a a a -+⋅==，解得2m a =，依题意21211121122221220482m m m m m m a a a a a -----∏=⋅⋅⋅⋅====，所以2111,6m m -==.考点：等比数列. 161 【分析】根据题意，得到30BDA ︒∠=，由正弦定理计算BD =，求出sin 1BCD ∠=，进而可求出结果.【详解】∵45DBC ︒∠=，15DAC ︒∠=，∴30BDA ︒∠=， 在ABD △中，由正弦定理有sin sin AB BDADB BAD=∠∠，即50sin 30sin15BD =，即100sin15100BD ===，在BCD 中，由正弦定理有sin sin CD BD DBC BCD =∠∠，即2525sin 45sin BCD=∠，所以sin 1BCD ∠=，因此cos sin()sin 1BCD BCD θπ=-∠=∠=.1. 【点睛】本题主要考查正弦定理的实际应用，熟记正弦定理即可，属于常考题型.17．（1）n a n =，2nn b =（2）存在，1m =，2n =【分析】）（1）利用1n n n a S S -=-，并验证1n =时的情况，得到数列{}n a 的通项，利用等比数列中的基本量计算，得到{}n b 的通项；（2）利用错位相减法求和，得到n H ，判断出n H 的范围，从而得到m 和n 的值. 【详解】解.（1）当1n =时，111a S ==； 当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=， 经验证，11a =满足上式，故数列{}n a 的通项公式n a n =. 设{}n b 的公比为q ，当1q =时，1220b =，1430b =不成立；当1q ≠时，依题意()()21411201301b q q b q q ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩解得：12b =，2q ，所以2nn b =（2）231232222n n nH =++++， 2311122222n n nH +=+++， 两式相减，得23111111222222n n n nH +=++++-，即1111222n n n n H +=-- 所以222n n n H +=-.因为22n n +>0，所以2n H <， 所以222n n m +-=，得2m <且*m N ∈ ∴1m = 即2212nn +-= 解得，2n =，所以满足题意的m ，n 存在，1m =，2n =. 【点睛】本题考查求等差、等比数列的通项，等比数列的基本量计算，错位相减法求和，属于中档题.18．（1）AD =2）20︒【分析】（1）AD x =，利用余弦定理，得到关于x 的方程，解得答案；（2）设C α=，在Rt ADC ∆中，AD α=，再表示出ABD ∠，利用余弦定理，得到()sin 2sin 60αα=︒-，结合α为锐角，得到α的值，即所求角C 的值. 【详解】（1）30BAD ∠=︒在ABD ∆中，设AD x =，由余弦定理得，2222cos BD AB AD ABAD BAD =+-∠ 则2222cos BD AB x x AB BAD =+-⨯∠(2222x x =+-⨯2120x -+=所以x =x =又AB AD >，所以AD =（2）设C α=在Rt ADC ∆中，AD α= 又90BAD α∠=︒+所以()180309060ABD αα∠=︒-︒-︒+=︒-在ABD ∆中，sin sin AD ABABD BDA=∠∠=得()sin 2sin 60αα=︒- ∵α为锐角∴260αα=︒-或218060αα=︒-︒- 得20α=︒或120α=︒（舍） 所以角C 的值为20︒. 【点睛】本题考查正弦定理解三角形，余弦定理解三角形，属于简单题.19．（1）证明见解析；（2. 【详解】试题分析：（1）取BC 中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥平面ACB ，所以1B M AC ⊥，结合AC BC ⊥有AC ⊥平面11B C CB ，从而有平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（2）以CA 为ox 轴，CB 为oy 轴，过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴，建立空间直角坐标系，设1B M t =，利用二面角11B AB C --的余弦值为57-和向量法建立方程，求得t =，即斜三棱柱的高试题解析：(1)取BC 中点M ，连接1B M ，则1B M ⊥平面ACB ∴1B M AC ⊥ 又AC BC ⊥，且1B M BC M AC ⋂=∴⊥平面11B C CB 因为AC ⊂平面11ACC A ,所以平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；(2)以CA 为ox 轴，CB 为oy 轴，过点C 与面ABC 垂直方向为oz 轴，建立空间直角坐标系2CA BC ==,设1B M t =，则11(200),(020),(010),(01,),(0,1,)A B M B t C t -，，，，，，， 即111(21,),(2,2,0),(0,2,0)AB t AB BC =-=-=-， 设面1AB B 法向量111(,,)(1,1,)n x y z n t=∴= 面11AB C 法向量21(,,)(,0,1)2t n x y z n =∴=125cos ,7n n t =-∴=考点：空间向量与立体几何. 20．（1）()f x 单调递减区间为,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据函数奇偶性，只研究()f x 在[]0,π上单调性，利用导数根据其函数值的正负，即可求得函数的单调区间；（2）对参数a 进行分类讨论，根据函数的单调性以及最值，即可求得函数的零点个数. 【详解】∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数，只需先研究[0,]x π∈,()sin cos f x x x x =+,()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=,当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≥，当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0f x '≤， 所以()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减, 所以根据偶函数图象关于y 轴对称， 得()f x 在,2x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦单调递增，在,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π单调递减， 故()f x 单调递减区间为：,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；单调递增区间为：,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）()cos (cos )f x x x ax x x a '=+=+,①1a ≥时，()(cos )0f x x x a '=+≥在[0,]x π∈恒成立, ∴()f x 在[0,]x π∈单调递增又(0)1f =，所以()f x 在[,]x ππ∈-上无零点 ②01a <<时，0(0,)x π∃∈，使得()00cos 0x x a +=，即0cos x a =-. 又cos x 在(0,)π单调递减，所以()00,x x ∈，()0f x '>，()0,x x π∈，()0f x '<所以()00,x x ∈，()f x 单调递增，()0,x x π∈，()f x 单调递减，又(0)1f =，21()12f a ππ=- （i ）21102a π->，即221a π<<时()f x 在[0,]π上无零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上无零点， （ii ）21102a π-≤，即220a π<≤. ()f x 在[0,]π上有1个零点，又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上有2个零点， 综上所述，当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点个数，属综合中档题.21．（1）24(0)y x x =>或0(0)y x =<（2）（ⅰ）(1,0)K -（ⅱ）221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【分析】（1）设(,)P x y ，根据题目要求得到||1||PD x =+||1x =+，整理化简得到P 的轨迹方程；（2）（ⅰ）设直线AB ：1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()11,D x y -，直线与抛物线联立得到12y y +，12y y ，利用两点式表示出直线BD ，令0y =得到x 的值，从而得到K 的坐标；（ⅱ）由64||9AB =结合弦长公式，从而得到t 的值，从而得到直线AB 和BD ，利用内切圆圆心(),0M m 到AB 与BD 的距离相等，得到关于m 的方程，从而解出m ，得到所求的圆的方程. 【详解】解：设(,)P x y 依题意||1||PD x =+||1x =+222(1)(||1)x y x -+=+ 22||2y x x =+所以24(0)y x x =>或0(0)y x =<（2）（ⅰ）依题意：设直线AB ：1x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()11,D x y -，2214404x ty y ty y x=+⎧⇒--=⎨=⎩ ()221616161t t ∆=+=+124y y t +=，124y y =-直线BD ：121121y y y y x x x x ++=-- 即BD ：11214y y x x y y +=-- ()222112114y y y y y y x y -+-=-()2144y y y x --=令0y =，得1x =-，所以(1,0)K - （ⅱ）因为64||9AB =649= 解得279t =，即t =所以AB ：1x y =+，即330x ±-= 直线BD ：413x y =±-，即3430x y ±+= 依题意可知内切圆的圆心M 在x 轴上，设(,0)M m (11)m -<<所以M 到AB 与BD 的距离相等，即|33||33|45m m -+= 得19m =或9m =（舍） 又|33|253m r +==， 所以内切圆方程为：221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查求动点的轨迹方程，直线与抛物线的交点，弦长公式，求内切圆的方程，属于中档题.22．（1）曲线2C的直角坐标方程为60x -=，点Q 的直角坐标为(4,4)．（2）2【分析】（1）根据公式cos ,sin x y ρθρθ==，代入得到曲线2C 的直角坐标方程，(),Q ρθ ，同样根据转化公式，得到点Q 的直角坐标；（2）将两点连线的最小值转化为点M 到直线2C 的距离，所以根据参数方程和中点坐标公式得到点M 的坐标，代入点到直线的距离公式，根据三角函数的有界性求距离的最小值.【详解】试题解析：（1）3cos 3ρπθ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得1cos sin 32ρθρθ=， 故曲线2C的直角坐标方程为60x -=，点Q 的直角坐标为()4,4．（2）设()12cos ,4sin P θθ，故PQ 中点()26cos ,22sin M θθ++，2C的直线方程为60x --=，点M 到2C 的距离3cos 2d θθ==-2226πθ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ PQ 中点M 到曲线2C上的点的距离的最小值是2．23．（1）证明见解析（2）1【分析】（1）利用基本不等式，得到3313a b ab ++≥，222a b ab +≥，从而进行证明；（2）根据基本不等式，得()()a b c b c a +-+-22()()2a b c b c a b +-++-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，同理2()()c b c a c a b ≤+-+-，2()()a a b c c a b ≤+-+-，三式相乘，整理化简后可得所求式子的最大值为1.【详解】（1）只需证：332215a b a b ab ++++≥∵3313a b ab ++≥=222a b ab +≥所以332215a b a b ab ++++≥.当且仅当1a b ==时，等号成立.（2）设()()()S a b c b c a c a b =+-+-+-()()a b c b c a +-+-22()()2a b c b c a b +-++-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭()()b c a c a b +-+-22()()2b c a c a b c +-++-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭()()a b c c a b +-+-22()()2a b c c a b a +-++-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭所以22()1S abc ≤=当且仅当()()()a b c b c a c a b +-=+-=+-即a b c ==时，()()()a b c b c a c a b +-+-+-的最大值为1.【点睛】本题考查利用基本不等式进行证明，利用基本不等式求最大值，属于中档题.。

俯视图高三第一次月考 数学试题（理科）第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．1．在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误．．的是 （ ） A ．→--AB ＝→--DCB ．→--AD ＋→--AB ＝→--ACC ．→--AB －→--AD ＝→--BDD ．→--AD ＋→--CB ＝→0 2．函数y=)23(log 21-x 的定义域是（ ）A ．［1，+∞）B ．（32,+∞）C ．［32，1］D ．（32,1］3．如右图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形，则其体积是 ）ABC D ．83 4．已知向量,a b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则3a b-等于（ ）A B C D ．45．已知条件p ：（x+1）2>4，条件q:x>a,且q p ⌝⌝是的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥-3D ．a ≤-36．设函数⎩⎨⎧<--≥+=1,22,1,12)(2x x x x x x f 若1)(0>x f ，则0x 的取值范围 （ ）A ．),1()1,(+∞--∞B ．[)+∞--∞,1)1,(C ．),1()3,(+∞--∞D ．[)+∞--∞,1)3,( 7．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，异面直线B 1C 和C 1D 所成角的正弦值为（ ）A ．2B ．12C ．—2D ．—128．定义21---=⊗ka ab b a ，则方程x x ⊗=0有唯一解时，实数k 的取值范围是 （ ） A ．}5,5{- B ．]2,1[]1,2[ --C ．]5,5[-D ．]5,1[]1,5[ --9．定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2011）的值为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．210．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若对任意x ∈[a ，b ]，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[a ，b ]上是“密切函数”，区间[a ，b ]称为“密切区间”．若2()34f x x x =-+与()23g x x =-在[a ，b ]上是“密切函数”，则其“密切区间”可以是（ ）A ．[1，4]B ．[2，4]C ．[3，4]D ．[2，3]第Ⅱ卷 （非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡相应位置． 11．函数176221+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 在[]1,3-∈x 上的值域为 ．12．设非零向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 ． 13．已知集合{}20A x x x x =-∈,R ≤，设函数2x f x a -=+()（x A ∈）的值域为B ，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是 ．14．已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间[-1，1]上至少存在一个实数c使f （c ）>0，则实数p 的范围 ．15．已知βα,是平面，n m ,是直线，则下列命题中正确．．的是 ． 若m ∥α⊥m n ,，则α⊥n ○2若m ∥n =⋂βαα,，则m ∥n若⊥m βα⊥m ,，则α∥β ○4若⊥m βα⊂m ,，则⊥αβ16．研究问题：“已知关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为)2,1(，解关于x 的不等式02>+-a bx cx ”，有如下解法：解：由02>+-c bx ax ⇒0)1()1(2>+-xc x b a ，令x y 1=，则)1,21(∈y ， 所以不等式02>+-a bx cx 的解集为)1,21(．参考上述解法，已知关于x 的不等式0<++++cx bx a x k 的解集为)3,2()1,2( --，则关于x 的不等式0111<--+-cx bx ax kx 的解集为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数()),0(2R a x xax x f ∈≠+= （1）判断函数()x f 的奇偶性；（2）若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。

福建省厦门市双十中学2020届高三下第一次月考数 学（理科）本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知{|lg 0}A x x =>{||1|2}B x x =-<，则A B ⋃=（ ）A.{|1x x <-或1}x ≥B.{|13}x x <<C.{|3}x x >D.{|1}x x >-2.已知复数(1)z a a i =+-（i 为虚数单位，a R ∈），则“(0,2)a ∈”是“在复平面内复数z 所对应的点位于第一象限”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 3.如图是一位发烧病人的体温记录折线图，下列说法不正确的是（ ）A.病人在5月13日12时的体温是38℃B.从体温上看，这个病人的病情在逐渐好转C.病人体温在5月14日0时到6时下降最快D.病人体温在5月15日18时开始逐渐稳定4.已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(2,1)Q -的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ ） A.1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C.(1,2)D.(1,2)-5.如图，网格纸上小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.443π+ B.483π+ C.843π+ D.883π+ 6.设612log a =，1214log b =，1515log c =，则（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.c a b <<7.如图Rt ABC V 中，2ABC π∠=，2AC AB =，BAC ∠平分线交ABC V 的外接圆于点D ，设AB a =u u u r r ，AC b =u u u r r，则向量AD =u u u r （ ）A.a b +r rB.12a b +r rC.12a b +r rD.23a b +r r8.图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（ ）A.12 B.13 C.41π- D.42π-9.函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）A.函数()f x 的最小正周期是2πB.函数()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称C.函数()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增 D.函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称10.2019年4月25日-27日，北京召开第二届“一带一路”国际高峰论坛，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这三个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ） A.198 B.268 C.306 D.37811.已知点12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左、右焦点，以2F 为圆心且过点1F 的圆N 与双曲线M 在第一象限的交点为P ，圆N 与x 轴的另一个交点为Q ，若1||a PF b PQ =，则双曲线的离心率为（ ）B.2C.54D.5312.设*n N ∈，函数1()xf x xe =，21()()f x f x '=，32()()f x f x '=，，1()()n n f x f x '+=，曲线()n y f x =的最低点为n P ，12n n n P P P ++V 的面积为n S ，则（ ）A.{}n S 是常数列B.{}n S 不是单调数列C.{}n S 是递增数列D.{}n S 是递减数列 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.非零向量,a b r r 满足：||||a b a -=r r r ，()0a a b ⋅-=r r r ，则a b -r r 与b r夹角的大小为_____.14.设锐角ABC V 三个内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，若cos cos )2sin a B b A c C +=,1b =，则c 的取值范围为_____.15.回收1吨废纸可以生产出0.8吨再生纸，可能节约用水约100吨，节约用煤约1.2吨，回收1吨废铅蓄电池可再生铅约0.6吨，可节约用煤约0.8吨，节约用水约120吨，回收每吨废铅蓄电池的费用约0.9万元，回收吨废纸的费用约为0.2万元。

福建省2020届高三数学上学期第一次月考试题理第Ⅰ卷（共60分） 2019-10-5一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知1sin()23πα-=，[0,]2πα∈，则tan α=（ ）A ．2 B．3 C． D．42.已知ABC △的三边长分别为3,5,7，则最大的内角的余弦值为（ ） A ．1 B ．0 C．．12-3. 在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =（ ）A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +4.已知sin cos αα-=，[0,]απ∈，则cos2α=（ ） A ．1- B．2-C ．0 D．25．已知cos cos()3x x π+-=，则sin()3x π+=（ ） A． C ．13 D ．13-6. 函数 ，命题0:p x R ∃∈，使得0()1f x =-； 命题:q x R ∀∈，()()f x f x π+=，则下列命题中为假命题的是（ ） A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．()p q ⌝∧ D ．()p q⌝∨2()cos cos f x x x x =+7．已知函数21()sin 2f x x =-，若将其图象沿x 轴向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则实数ϕ的最小值为（ ） A. π B.34π C. 2π D. 4π 8．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+满足对x R ∀∈，都有()()3f x f x π=-，且()()π2f f π<，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．π2ππ,π()63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ,π()36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．ππ,π()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ZD ．ππ,π()2k k k ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦Z 9．函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<）的部分图象如图所示，如果1x ，2(,)63x ππ∈-且满足12x x ≠，12()()f x f x =，则12()f x x +=（ ）A ．1B ． 12C ．2D ． 1-10.若函数()sin 2cos()sin f x x x ϕϕ=++（0ϕπ<<）在[,]2ππ为增函数，则ϕ的取值范围是（ ） A. (0,]4πB. [,]42ππC. 3[,]24ππD. 3[,)4ππ 11．已知函数2,()ln ,x a f x x ⎧+=⎨⎩ 00x x <>，若0x R ∃∈，使得00()()f x f x =-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1[ln(2),)2e -+∞ B ．1[ln 2,)2-+∞ C ．1(,ln 2]2-∞- D ．1(,ln(2)]2e -∞-12.在平面四边形ABCD 中，6AB =，BC =，56ABC π∠=，2AD BD =，则BCD ∆面积的最大值是( )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知sin 2cos αα=，则sin cos αα⋅=___________14．已知向量()()()1,1,24,3,,2a a b c x b c x =+==-，若//，则的值为__________ 15．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为___________ 16．对任意的锐角α，都有sin m n αα<<，则n m -的最小值为___________三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019届福建省厦门市双十中学高三上学期第一次月考理科数学试题一、单选题1．若集合{}|23M x x =-<<，{}1|21x N x +=≥，则MN =（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．[1,3)-D ．(2,1]--2．抛物线2(21)x a y =-的准线方程是1y =，则实数a =（ ） A ．52B ．32C ．12D ．32-3．已知命题p ：x R ∀∈，2130x +>，命题q ：“02x <<”是“2log 1x <”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p ⌝B ．p q ∧C ．()p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨4．如图，BC 、DE 是半径为1的圆O 的两条直径， 2BF FO =，则FD FE ⋅=（ ）A ．34-B ．89-C ．14-D ．49-5．已知函数()ln 2x f x x =+，若2(4)2f x -<,则实数x 的取值范围是（ ）. A ．(2,2)-B．C．(2)-D．(2)-(2⋃6．设集合{}2|20170A x x ax =++>，{}2|20180B x x ax =++>，{}2|20170C x x x b =-+>，{}2|20180D x x x b =-+>，其中a ，b R ∈，下列说法正确的是（ ）A ．对a ∀∈R ，A 是B 的子集；对b R ∀∈，C 不是D 的子集 B ．对a ∀∈R ，A 是B 的子集；b R ∃∈，C 是D 的子集 C ．a R ∃∈，A 不是B 的子集；对b R ∀∈，C 不是D 的子集 D ．a R ∃∈，A 不是B 的子集；b R ∃∈，C 是D 的子集7．如图是一个几何体的三视图，若该几何体的表面积为48π，则a 的值为（ ）正视图 侧视图 俯视图A ．1B ．2C ．3D ．48．若213log (35)y x ax =-+在[)1,-+∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ）. A ．(,6)-∞- B ．(6,0)- C ．(8,6]--D ．[]8,6--9．对于任意实数a ，b ，2()a b kab +≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[4,)+∞B ．[]0,4C ．(,4]-∞D ．(,0][4,)-∞⋃+∞10．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( ) A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}11．已知函数2ln ,1()5,14x x f x x x >⎧⎪=⎨-≤⎪⎩，存在1x ，2x ，，n x ，满足()()()1212n nf x f x f x m x x x ====，则当n 最大时，实数m 的取值范围为（ ）A ．31,23e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,24e ⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭12．设函数()f x 在R 上存在导函数()f x '，对于任意的实数x 都有2()4()f x x f x -=-，当(,0]x ∈-∞时，()41f x x '<-，若()()142f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,)-+∞D ．[2,)-+∞二、填空题13．如图甲所示，在直角ABC ∆中，,AC AB AD BC ⊥⊥，D 是垂足，则有2AB BD BC =⋅，该结论称为射影定理.如图乙所示，在三棱锥A BCD-中，AD ⊥平面ABC ，AO ⊥平面BCD ，O 为垂足，且O 在BCD ∆内，类比直角三角形中的射影定理，则有__________．14．若实数a ，b ，c ，d 满足︱b+a 2-3l n a ︱+（c-d+2）2=0,则（a-c ）2+（b-d ）2的最小值为 .15．若x ，y ，z 满足111235x y z⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；①523z x y >>；②325y x z >>；③532z y x >>；④532z y x ==．上述关系中可能成立的序号是________（把符合要求的序号都填上）．16．在四面体S ABC -中，,2AB BC AB BC SA SC ⊥====，二面角S AC B --的余弦值是-则该四面体的外接球的表面积是__________．三、解答题17．ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足tan 21tan A cB b+=．（1）求A 的大小；（2）若ABC 为锐角三角形，求函数22sin 2cos cos y B B C =-的值域．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=，PD ⊥平面ABCD ，2PD AD ==，点E 、F 分别为AB 和PD 的中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求点A 到平面PEC 的距离.19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>和直线l ： 1x y a b -=，椭圆的离心率e =，坐标原点到直线l 的距离为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点()1,0E-，若直线m 过点()0,2P 且与椭圆相交于,C D 两点，试判断是否存在直线m ，使以CD 为直径的圆过点E ？若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由.20．如图所示，四棱锥P ABCD -的侧面PAD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，且//,AB CD AB AD ⊥,12CD PD AD AB ===,E 是PB 中点.（1）求证：CE ⊥平面PAB ；（2）若4CE AB ==，求直线CE 与平面PDC 所成角的大小. 21．已知函数()()1xf x e a x =--有两个零点.（1）求实数a 的取值范围；（2）设1x 、2x 是()f x 的两个零点，证明：1212x x x x <+⋅. 22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），直线:60l x y --=.（1）在曲线C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求出此最小值；（2）过点()1,0M -且与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点，求点M 到,A B 两点的距离之积.参考答案1．C 【解析】由题意得{}{}{}1|21|10|1x N x x x x x +=≥=+≥=≥-，{}|13M N x x ⋂=-≤<，故选C.点睛：研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是不等式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.解指数或对数不等式要注意底数对单调性的影响.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 2．D 【解析】 【分析】根据准线方程可求得1214a-=，则a 可得． 【详解】 解：抛物线2(21)x a y =-的准线方程为1y =，∴1214a-=， 解得32a =-， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置，属于基础题． 3．C 【分析】分别判断出p ，q 的真假，从而判断出复合命题的真假． 【详解】 解：命题:p x R ∀∈，2130x +>，∴命题p 为真，由2log 1x <，解得：02x <<，02x ∴<<是2log 1x <的充分必要条件，∴命题q 为假，所以p ⌝为假，p q ∧为假，()p q ∧⌝为真命题，()p q ⌝∨为假命题.故选：C ． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了对数，指数函数的性质，属于基础题． 4．B 【解析】本题考查向量加法和减法的平行四边形分法则或三角形法则,向量的数量积. 因为圆半径为1BC 是直径，2,BF FO =所以1;3OF =根据向量加法和减法法则知：,FD OD OF FE OE OF =-=-；又DE 是直径，所以,1;OD OE OD OE =-==则 ()()()()FD FE OD OF OE OF OE OF OE OF ⋅=-⋅-=--⋅- ()()OE OF OE OF =-+⋅-故选 B5．D 【解析】21()2ln 20,(1)20412x f x f x x x=+>=∴<-<∴<'<，即实数x 的取值范围是()2- (2⋃，选D.6．B 【分析】运用集合的子集的概念，令m A ∈，推得m B ∈，可得对任意a ，A 是B 的子集；再由22017b =，21009b =，求得集合C ，D ，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误．【详解】解：对于集合{}2|20170A x x ax =++>，{}2|20180B x x ax =++>， 可得当m A ∈，即220170m am ++>，可得2201710m am +++>， 即有m B ∈，可得对任意a ，A 是B 的子集；当22017b =时，{}22|201720170C x x x R =-+>=，{}22|201820170D x x x R =-+>=，可得C 是D 的子集；当21009b =时，{}22|201710090C x x x R =-+>=，{}22|201810090{|1009D x x x x x =-+>=≠且}x R ∈，可得C 不是D 的子集．综上可得，对任意a ，A 是B 的子集，存在b ，使得C 是D 的子集． 故选：B ． 【点睛】本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于中档题． 7．B 【分析】判断几何体的形状，利用三视图的数据转化求解即可． 【详解】解：由三视图可知几何体是一个圆柱的上下底分别挖去一个半球后的几何体，圆柱的母线长为4a ，两个底面的半径为a ，几何体的表面积为：2244S a a a ππ=⨯+ 212a π=，可得21248a ππ=，解得2a =， 故选：B ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的性质是解题的关键，属于中档题． 8．C 【解析】 由题意得21,3506ax ax 且≤--+> 在[)1,-+∞上恒成立，所以3508a a ++>⇒>- 即86a -<≤-，选C.点睛：判断函数单调性的常用方法：(1)定义法和导数法，注意证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；(3)利用函数单调性的基本性质，尤其是复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性. 9．B 【分析】化简可得22(2)a b k ab +-恒成立，从而可得222k -+． 【详解】解：2()a b kab +， 222a b kab ab ∴+-，即22(2)a b k ab +-恒成立， 故222k --，解得04k 故[]0,4k ∈， 故选：B ． 【点睛】本题考查了不等关系的应用及基本不等式的应用，属于基础题． 10．D 【分析】方程()()20mf x nf x p ++=不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项. 【详解】设关于()f x 的方程()()20mfx nf x p ++=有两根，即()1f x t =或()2f x t =.而()2f x ax bx c =++的图象关于2bx a=-对称，因而()1f x t =或()2f x t =的两根也关于2b x a =-对称．而选项D 中41616422++≠.故选D .【点睛】对于形如()0f g x =⎡⎤⎣⎦的方程（常称为复合方程），通过的解法是令()t x g =，从而得到方程组()()0f t g x t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征. 11．D 【分析】由题意可得()f x 和直线y mx =最多4个交点，将1x =代入可得m 的值，考虑直线与y lnx =相切的m 的值，即可得到所求范围． 【详解】解：l x ，2x ，⋯，n x ，为方程1212()()()n nf x f x f x m x x x ==⋯==的n 个解， 即()f x mx =的n 个解，()y f x =和y mx =的图象如下所示，可得()f x 和直线最多4个交点，将1x =代入254x mx -，可得14m ，以下求y lnx =与y mx =相切时的m 值，设切点横坐标为a ，则y lnx =在(,)a lna 处的切线的斜率为1a ，方程为1()y lna x a a-=-， 由题意可得10lna -=，1m a =，解得a e =，1m e=， 结合图象可得m 的范围是11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：D ． 【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查直线的斜率和导数的几何意义，考查运算能力，属于中档题．12．A【分析】利用构造法设2()()2=-g x f x x ，推出()g x 为奇函数，判断()g x 的单调性，然后推出不等式得到结果． 【详解】 解：2()4()f x x f x -=-2()4()f x x f x ∴=--， 22()2()20f x x f x x ∴-+--=，设2()()2=-g x f x x ，则()()0g x g x +-=，∴函数()g x 为奇函数．(,0)x ∈-∞时，()41f x x '<-，()()41g x f x x ∴'='-<-，故函数()g x 在(,0)-∞上是减函数，故函数()g x 在(0,)+∞上也是减函数， 若(1)()42f m f m m +-++， 则22(1)2(1)()2f m m f m m +-+--， 即(1)()g m g m +-，1m m ∴+-，解得12m -，即1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭故选：A ． 【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．13．2C C CD S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅【解析】结论：2C C CD S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅.证明如下在△BCD 内，延长DO 交BC 于E ，连接AE ， ∵AD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥AD ， 同理可得：BC ⊥AO∵AD 、AO 是平面AOD 内的相交直线， ∴BC ⊥平面AOD ∵AE 、DE ⊂平面AOD ∴AE ⊥BC 且DE ⊥BC∵△AED 中，EA ⊥AD ，AO ⊥DE ∴根据题中的已知结论,得AE 2=EO ⋅ED两边都乘以21(),2BC 得2111()222BC AE BC EO BC ED ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵AE 、EO 、ED 分别是△ABC 、△BCO 、△BCD 的边BC 的高线 ∴0111,,222ABCBC BCDSBC AE S BC EO S BC ED =⋅=⋅=⋅ ∴有2C ().ABCSS S BCD ∆B O =⋅故答案为2C C CD S S S ∆AB ∆B O ∆B =⋅.14．8 【解析】∵实数a 、b 、c 、d 满足：（b+a 2-3l n a ）2+（c-d+2）2=0，∴b+a 2-3l n a=0，c-d+2=0，设b=y ，a=x ，则y=3l n x-x 2，设c=x ，d=y ，则y=x+2，∴（a-c ）2+（b-d ）2就是曲线y=3l n x-x 2与直线y=x+2之间的最小距离的平方值.对曲线y=3l n x-x 2求导：y'（x ）=32x x -，与y=x+2平行的切线斜率k=1=32x x-，解得x=1或x=-（舍）把x=1代入y=3l n x-x 2，得y=－1，即切点为（1，-1）切点到直线y=x+2的距离：∴（a-c ）2+（b-d ）2的最小值就是8． 考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．15．①②④ 【分析】令111235x y zm ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⎭，则12log x m =，13log y m =，15log z m =，从而12112212log1log 2m x m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，13113313log1log 3m y m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，15115515log1log 5m z m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，再分1m =，1m ，01m <<三种情况讨论可得； 【详解】解：因为111235x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令111235x y zm ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝=⎭， 则12log x m =，13log y m =，15log z m =，从而12112212log1log 2m x m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，13113313log1log 3m y m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭，15115515log1log 5m z m ⎛⎫ ⎪⎝⎭==⎛⎫ ⎪⎝⎭当1m =时，0x y z ===，532z y x ∴==，故④正确；由于6123111339⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，6132111228⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，113211132⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 101521112232⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，101251115525⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，112511125⎛⎫⎛⎫∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；综上可得11132511101325⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1m 时，111325111log log log 0325m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111325111111log log log 325m m m ∴>>⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭325y x z ∴>>，故②正确；当01m <<时，111325111log log log 0325m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，111325111111log log log 325m m m ∴<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭325y x z ∴<<，故①正确；即正确的有①②④； 故答案为：①②④ 【点睛】本题考查指数与对数的互化，对数的运算及对数函数的性质的应用，属于中档题. 16．6π． 【解析】取AC 中点D ，连接,,SD BD AB BC BD AC ==∴⊥，2,,SA SC SD AC AC ==∴⊥⊥平面,SDB SDB ∴∠为二面角S AC B --，在ABC∆中，,2AB BC AB BC AC ⊥===，取等边SAC ∆的中心E ，作EO ⊥平面SAC ，过D 作DO ⊥平面,ABC O 为外接球球心，3ED ∴=，二面角S AC B --的余弦值是,cos ,332EDO OD -∴∠==，,2BO OA OS OC O ∴====∴点为四面体的64=64πππ⨯，故答案为6π. 17．（1）3A π=；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由正弦定理同角三角函数的基本关系、和角公式可得结果； （2）由倍角公式和辅助角公式把函数化为3sin(2)26y B π=-+的形式，由ABC ∆为锐角三角形，求得62B ππ<<，结合正弦函数的性质求出函数的值域．【详解】 解：（1）由tan 21tan A c B b+=得，sin cos sin()2sin 1cos sin cos sin sin A B A B C A B A B B ++==，2cos sin sin sin sin A B C B C ∴=，sin sin 0≠B C ，1cos 2A ∴=， ()0,A π∈，3A π∴=； （2）因为A B C π++=，3A π=，所以23B C π+=， 则222sin 2cos cos 1cos 22cos cos 3y B B C B B B π⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭221cos 22cos cos cos sin sin 33B B B B ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭11cos 22cos cos 2B B B B ⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭21cos2cos cos B B B B =-+cos211cos222B B B +=-+31cos2222B B =- 3sin 226B π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 又ABC ∆为锐角三角形，022032B B πππ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<-<⎪⎩，所以62B ππ<<，∴72266B πππ<+<所以1sin 2,162B π⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，31sin 2,2262B π⎛⎫⎛⎫∴-+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即1,22y ⎛⎫∈⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查三角函数的值域，三角函数的恒等变换，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 18．（1）见解析；（2）10d =. 【试题分析】(1) 取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ，通过证明四边形AEQF 为平行四边形,得到//AF EQ ,由此证得//AF 平面PEC .(2)利用等体积法,通过A PEC P AEC V V --=建立方程,由此求得点到面的距离. 【详解】（1）取PC 的中点Q ，连结EQ 、FQ ， 由题意，//FQ DC 且12FQ CD =，//AE CD 且12AE CD =， 故//AE FQ 且AE FQ =，所以，四边形AEQF 为平行四边形， 所以，//AF EQ ，又EQ ⊂平面PEC ，AF ⊄平面PEC ， 所以，//AF 平面PEC .（2）设点A 到平面PEC 的距离为d . 由题意知在EBC ∆中，EC ==在PDE ∆中PE ==在PDC ∆中PC ==故EQ PC ⊥，EQ AF ==12PEC S ∆=⨯=，1122AEC S ∆=⨯=所以由A PEC P AEC V V --=1232d =⋅，解得d =.19．（I ）2213x y +=；（II ）0x =或726y x =+. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆中的ce a=，以及222a b c =+ ，和点到直线的距离公式计算求得222.,a b c ；（Ⅱ）分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线为2y kx =+ 与椭圆方程联立，利用根与系数的关系计算0EC ED ⋅= ，从而求得斜率k 和直线方程.试题解析：（Ⅰ）由直线:1x yl a b -==2222433a b a b =+——①又由e =2223c a =，即2223c a =，又∵222a b c =+，∴2213b a =——②将②代入①得，即42443a a =，∴23a =，22b =，21c =， ∴所求椭圆方程是2213x y +=；（Ⅱ）①当直线m 的斜率不存在时，直线m 方程为0x =， 则直线m 与椭圆的交点为()0,1±，又∵()1,0E -， ∴，即以CD 为直径的圆过点E ；②当直线m 的斜率存在时，设直线m 方程为2y kx =+，()11,C x y ，()22,D x y ，由222{13y kx x y =++=，得()22131290kxkx +++=，由()222144491336360k kk∆=-⨯+=->，得1k >或1k <-，∴1221213k x x k -+=+，122913x x k =+， ∴()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∵以CD 为直径的圆过点E ，∴EC ED ⊥，即0EC ED ⋅=， 由()111,EC x y =+，()221,ED x y =+， 得()()1212110x x y y +++=，∴()()()2121212150k x x k x x +++++=，∴()()222911221501313k kk k k +-++⋅+=++，解得716k =>，即7:26m y x =+； 综上所述，当以CD 为直径的圆过定点E 时，直线m 的方程为0x =或726y x =+. 20．（1）证明见解析；（2）π6． 【解析】试题分析：（1）取AP 的中点F ，连结,DF EF ，易得DF AP ⊥，AB DF ⊥，从而得DF ⊥平面PAB ，只需证得//CE DF 即可；（2）设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ，可证得PO ⊥平面ABCD ，故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面PDC 的法向量n ，利用sin cos ,n EC α=即可得解. 试题解析：（1）证明：取AP 的中点F ，连结,DF EF ，如图所示． 因为PD AD =，所以DF AP ⊥．因为侧面PAD ABCD ⊥底面,=PAD ABCD AD ⋂且AB AD ⊥, 所以AB ⊥平面PAD ，又DF ⊂平面PAD ，所以AB DF ⊥． 又因为AP AB A ⋂=，所以DF ⊥平面PAB ． 因为点E 是PB 中点，所以//EF AB ，且2ABEF =． 又因为//AB CD ，且2ABCD =，所以//EF CD ，且EF CD =， 所以四边形EFDC 为平行四边形，所以//CE DF ，所以CE ⊥平面PAB ．（2）设点O ，G 分别为AD ，BC 的中点，连结OG ，则//OG AB ， 因为AB ⊥平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以AB AD ⊥，所以OG AD ⊥．因为EC =，由（Ⅰ）知，DF =又因为4AB =，所以2AD =，所以22,AP AF ==== 所以APD ∆为正三角形，所以PO AD ⊥，因为AB ⊥平面PAD ，PO ⊂平面PAD ，所以AB PO ⊥． 又因为AD AB A ⋂=，所以PO ⊥平面ABCD ．故,,OA OG OP 两两垂直，可以点O 为原点，分别以,,OA OG OP 的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示．(P ，()()1,2,0,1,0,0C D --，1,2,22E ⎛ ⎝⎭，所以(1,0,PD =-，(1,2,PC =-，3,0,2EC ⎛=- ⎝⎭， 设平面PDC 的法向量(),,n x y z =，则0,0,n PD n PC ⎧⨯=⎨⨯=⎩所以0,20,x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩取1z =，则()3,0,1n =-，设EC 与平面PDC 所成的角为α，则1sin cos ,2n EC α===， 因为π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以π6α=，所以EC 与平面PDC所成角的大小为π6． 21．（1）2()e +∞；（2）证明见解析 【分析】（1）求导得到()f x '，利用导数得到()f x 的最小值，从而要使()f x 有两个零点，则()f x 最小值小于0，得到a 的范围，再利用零点存在定理证明所求的a 的范围符合题意；（2）利用分析法，要证1212x x x x <+⋅，将问题转化为证明()()112ln f x f a x <-，设函数()()()2ln g x f a x f x =--，利用导数研究()g x 的单调性，从而进行证明.【详解】函数()()1xf x e a x =--，所以()xf x e a '=-，当0a ≤时，()0f x '>在R 上恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，()f x 至多只有一个零点，不符合题意，当0a >时，由()0f x '=得ln x a =，所以(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 单调递减，()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以ln x a =时()f x 取得极小值，也是最小值，()f x 要有两个零点，则()ln 0f a <，即()2ln 0a a -<，解得2a e >， 所以ln 2a >，当1ln x a =<时，得()10f e =>，当2ln ln x a a =>时，()()22ln 2ln 2ln 1f a a a a a a a a =-+=-+，设()2ln 1a a a ϕ=-+，则()2210a a a aϕ-'=-=> 所以()a ϕ单调递增，则()()22140a eeϕϕ>=+->，所以()()2ln 2ln 10f a a a a =-+>，所以()f x 在区间()1,ln a 上有且只有一个零点，在()ln ,2ln a a 上有且只有一个零点， 所以满足()f x 有两个零点的a 的取值范围为2()e +∞. （2）1x 、2x 是()f x 的两个零点，则()()120f x f x ==， 要证1212x x x x <+⋅，即证()()12111x x --<， 根据()()120f x f x ==， 可知()111xe a x =-，()221x ea x =-，即证()()12122111x x e x x a+--=<， 即证122x x e a +<，即证122ln x x a +<， 即证212ln x a x <-， 设1ln x a <，2ln x a >，由（1）知()f x 在()ln ,a +∞上单调递增， 故只需证明()()212ln f x f a x <-，而()()21f x f x =，所以只需证()()112ln f x f a x <- 令()()()2ln g x f a x f x =--，且ln x a <所以()222ln x x a g x e ax a a e =-+-，ln x a <，()22222x x xx xa a e ae g x e a e e+-'=--+=- ()20x xe a e-=-<所以()g x 在(),ln a -∞上单调递减，所以()()()()ln 2ln ln ln 0g x g a f a a f a >=--=， 所以()()2ln f a x f x ->在(),ln a -∞上恒成立， 所以()()112ln f a x f x ->， 故原命题得证. 【点睛】本题考查根据函数的零点个数求参数的范围，利用导数研究函数的单调性、极值和最值，构造函数证明不等式问题，属于中档题.22．(1) min d =(2) 121MA MB t t ⋅==. 【解析】试题分析：（1）椭圆上的点坐标可以设为参数形式),sin Pαα，表示出点线距求最值即可；（2）考查直线参数方程的定义，12MA MB t t ⋅=联立直线参数方程和椭圆方程，得到关于参数的二次，根据韦达定理得结果． （1）设点),sin Pαα，则点P 到直线l 的距离为d ==， ∴当sin 13πα⎛⎫-=⎪⎝⎭时，31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时min d =（2）曲线C 化为普通方程为：2213x y +=，即2233x y +=，直线1l的参数方程为21,2.2x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2233x y +=化简得：2220t -=，得121t t =-，∴121MA MB t t ⋅==.点睛：第一问考查的是点到面的距离，参数方程的一个很重要的应用就是求函数最值，设出P 点坐标的参数方程形式，最终转化为三角函数的求最值问题；第二问考查是直线参数方程中t的几何意义．答案第19页，总19页。

福建省厦门市双十中学2020届高三数学理科上学期半期考试卷一、选择题：（每小题5分，共60分）1．设U 为全集，非空集合A ，B 满中 ，则下列集合中为空集的是 （ ）A ．B AB ．BC A UC ．B A C UD ．B C A C U U 2．设a > b > 0，则下列不等式成立的是（ ）A ．1|| a bB ．b a 22C ．0lg ba D ．10 ab 3．下列判断正确的是（ ）A ．11012x x x 或B ．命题：“a ，b 都是偶数，则a + b 是偶数”的逆否命题是“若a + b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数”C ．若“p 或q ”为假命题，则“非p 且非q ”是真命题D ．已知a ，b ，c 是实数，关于x 的不等式02 c bx ax 的解集是空集，必有a >0且△≤04．圆y c y x y x 与02422轴交于A 、B 两点，圆必为P ，若∠APB = 120°，则实数c 等于（ ）A ．1B ．－11C ．9D ．115．已知122)(x a x f 是定义在R 上的奇函数，则)53(1 f 的值是（ ） A ．2 B ．53 C ．21 D ．356．已知直线方程分别为l 1：0 b ay x ，l 2：0 d cy x ，它们在直角坐标系中的位置如图，则（ ）A ．c a d b ,0,0B ．c a d b ,0,0C ．c a d b ,0,0D ．c a d b ,0,07．方程R x a x x 在0sin 2sin 2上有解，则a 的取值范围是 （ ）A ． ,1B ．),1(C ．]3,1[D ． 3,18．已知函数]4,3[)0(sin 2)(在区间x f 上的最小值是－2，则 的最小值等于 （ ）A ．32 B ．23 C ．2D ．39．设平面向量.0,,321321 a a a a a a 的和如果同量||2||,,,321i i a b b b b 满足，则i a 顺时针旋转30°后与i b 同向，其中i = 1，2，3，则（ ）A ．321 b b bB ．0321 b b bC ．321 b b bD ．0321 b b b10．下列各图是正方体或正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是 （ ） 11．已知P 是椭圆192522 yx 上的点，Q 、R 分别是圆41)4(22 y x 和圆41)4(22 y x 上的点，则||||PR PQ 的最小值是 （ ）A ．89B ．85C ．10D ．912．已知函数 )0()1()0(12)(x x f x x f x ，则方程x x f )(的解的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 二、填空题：（每小题4分，共16分）13．已知正数x ，y 满足135 yx ，则xy 的最小值是 .14．数列{a n }满足a 1=1，且),(*N n m mn a a a n m n m ，则a n = .15．已知直线l ⊥平面 ，直线 平面 m ，有下面四个命题：① ∥m l ；②l ∥m ；③l ∥m ；④ m l ∥ 其中正确命题的序号是 . 16．设24,cos sin )(21x x x x x f 若，则)()(21x f x f 与的大小关系是 .三、解答题17．（本题12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知：2,32,2tan tan 1c a bcB A ， （1）求C 的大小； （2）求△ABC 的面积S .18．（本题12分）在平面直角坐标上，设不等式组)3(0x n y y x 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为).(*N n a n（1）求}{,,321n a a a a 及的通项公式a n ； （2）求)111(lim 13221n n n a a a a a a19．（本题12分）如图，在长方体．．．ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB = AA 1 = a ，a BC 2，M 是AD 的中点.（1）求证：AD ∥平面A 1BC ；（2）求证：平面A 1MC ⊥平面A 1BD 1； （3）求点A 到平面A 1MC 的距离.20．（本题12分）某市2020年共有1万辆燃油型公交车。