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目录1毕业论文正文2皖西学院本科毕业论文（设计）任务书3皖西学院本科毕业论文（设计）开题报告4皖西学院本科毕业论文（设计）中期检查表5皖西学院本科毕业论文（设计）指导教师意见表6皖西学院本科毕业论文（设计）评阅教师意见表7皖西学院本科毕业论文（设计）答辩记录表皖西学院本科毕业论文（设计）任务书系别：数理系专业：数学与应用数学皖西学院本科毕业论文（设计）开题报告系别：数理系专业：数学与应用数学皖西学院本科毕业论文（设计）中期检查表系别：数理系专业：数学与应用数学皖西学院本科毕业论文（设计）指导记录表系别：数理系专业：数学与应用数学注：本表由指导教师根据毕业论文（设计）指导工作方案和实际指导情况填写，在指导工作完成后交系保存。
皖西学院本科毕业论文（设计）指导教师意见表系别：数理系专业：数学与应用数学皖西学院本科毕业论文（设计）评阅教师意见表系别：数理系专业：数学与应用数学皖西学院本科毕业论文（设计）评阅教师意见表系别：数理系专业：数学与应用数学皖西学院本科毕业论文（设计）答辩记录表（小组答辩）系别：数理系专业：数学与应用数学问题与解答：1、具体阐述有限覆盖定理的内容?答：闭区间的任一开覆盖都含有一个有限子覆盖, 即H 中可找出有限个开集覆盖。
2、定理的等价性证明顺序性有何要求？答：文章中只是给出了一种证明的顺序，对顺序没有要求，只要能够形成一个环形结构证明即可。
3、用柯西准则判断敛散性的优越性体现在哪里？答：作为判别敛散性的工具，柯西准则较其它判别法具有更多的优点。
其一，条件的充分必要条件决定其适用范围更广、更普遍;其二，柯西准则只利用题目本身的条件，不必借助极限结果。
答辩小组评语：该生基础知识扎实，知识的综合运用能力较强，文章选题实用性较强，内容充实，有一定的创新，质量较高。
答辩小组评定等级良好答辩小组组长签字：年月日。
一、问题提出确界存在定理(定理1.1)揭示了实数的连续性和实数的完备性. 与之等价的还有五大命题，这就是以下的定理1.2至定理1.6．定理1.2 (单调有界定理)任何单调有界数列必定收敛．定理1.3 (区间套定理）设为一区间套：．则存在唯一一点定理1.4 (有限覆盖定理) 设是闭区间的一个无限开覆盖，即中每一点都含于中至少一个开区间内．则在中必存在有限个开区间，它们构成的一个有限开覆盖．定理1.5 (聚点定理) 直线上的任一有界无限点集至少有一个聚点，即在的任意小邻域内都含有中无限多个点（本身可以属于，也可以不属于）．定理1.6 (柯西准则) 数列收敛的充要条件是：，只要恒有．（后者又称为柯西（Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列．）这些定理构成极限理论的基础．我们不仅要正确理解这六大定理的含义，更重要的还要学会怎样用它们去证明别的命题．下面通过证明它们之间的等价性，使大家熟悉使用这些理论工具．下图中有三种不同的箭头，其含义如下：：(1)～(3) 基本要求类：(4)～(7) 阅读参考类：(8)～(10) 习题作业类下面来完成(1)～(7)的证明．二、等价命题证明(1)（用确界定理证明单调有界定理）(2)（用单调有界定理证明区间套定理）(3)（用区间套定理证明确界原理）*(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理）*(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理）*(6)（用聚点定理证明柯西准则）*(7)（用柯西准则证明单调有界定理）(1)（用确界定理证明单调有界定理）〔证毕〕(返回)(2)（用单调有界定理证明区间套定理）设区间套．若另有使，则因．［证毕］[推论]设为一区间套，．则当时，恒有．用区间套定理证明其他命题时，最后常会用到这个推论．(返回)(3) （用区间套定理证明确界原理）证明思想：构造一个区间套，使其公共点即为数集的上确界．设, 有上界．取；，再令如此无限进行下去，得一区间套．可证：因恒为的上界，且，故，必有，这说明是的上界；又因，故，而都不是的上界，因此更不是的上界．所以成立．［证毕］(返回)*(4)（用区间套定理证明有限覆盖定理）设为闭区间的一个无限开覆盖．反证法假设：“不能用中有限个开区间来覆盖”．对采用逐次二等分法构造区间套，的选择法则：取“不能用中有限个开区间来覆盖”的那一半．由区间套定理，．导出矛盾：使记由［推论］，当足够大时，这表示用中一个开区间就能覆盖，与其选择法则相违背．所以必能用中有限个开区间来覆盖．［证毕］［说明］当改为时，或者不是开覆盖时，有限覆盖定理的结论不一定成立．(返回)*(5)（用有限覆盖定理证明聚点定理）设为实轴上的有界无限点集，并设．由反证法假设来构造的一个无限开覆盖：若有聚点，则．现反设中任一点都不是的聚点，即在内至多只有．这样，就是的一个无限开覆盖．用有限覆盖定理导出矛盾：据定理9，存在为的一个有限开覆盖（同时也覆盖了）．由假设，内至多只有所属个邻域内至多只有属于（即只覆盖了中有限个点）．这与覆盖了全部中无限多个点相矛盾．所以，有界无限点集必定至少有一个聚点．［证毕］［推论（致密性定理）］有界数列必有收敛子列．即若为有界数列，则使有．子列的极限称为原数列的一个极限点，或称聚点．(返回)*(6)（用聚点定理证明柯西准则）柯西准则的必要性容易由数列收敛的定义直接证得，这里只证其充分性．已知条件：当时．欲证收敛．．首先证有界．对于当时，有令，则有．．由致密性定理，存在收敛子列，设．．最后证，由条件，当时，有．于是当（同时有）时，就有．［证毕］(返回)*(7)(用柯西准则证明单调有界原理) 设为一递增且有上界M的数列．用反证法（借助柯西准则）可以证明：倘若无极限，则可找到一个子列以为广义极限，从而与有上界相矛盾．现在来构造这样的．对于单调数列，柯西条件可改述为：“当时，满足”．这是因为它同时保证了对一切，恒有．倘若不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：，对一切，，使．依次取把它们相加,得到．故当时，可使，矛盾．所以单调有界数列必定有极限． [ 证毕 ]在以上六个等价命题中，最便于推广至中点集的，当属聚点定理与有限覆盖定理．为加深对聚点概念的认识，下例所讨论的问题是很有意义的．[例]证明“是点集的聚点”的以下三个定义互相等价：(i) 内含有中无限多个点(原始定义)；(ii) 在内含有中至少一个点；(iii) ，时，使．证：(i)(ii) 显然成立．(ii)(iii) 由(ii），取，；再取；……一般取；……由的取法，保证，，．(iii)(i)时，必有，且因各项互不相同，故内含有中无限多个点．[证毕]。
实数完备性定理的等价性证明及其应用一、实数完备性定理的等价性证明：1.柯西收敛准则证明实数完备性：我们假设存在一个无穷序列{an}，满足对于任意的正实数ε，都存在正整数N，使得当m > n > N时，有，am - an，< ε。
由于{an}是有序序列，它必然有上确界和下确界。
我们将上确界记为A，下确界记为B。
首先，我们来证明A和B是相等的。
假设A > B，那么A - B > 0，根据柯西收敛准则，我们可以找到正整数N1，使得当p > q > N1时，有，ap - aq， < A - B。
由于A是上确界，所以存在一个正整数n1，使得an1 > A - (A - B) = B。
同样地，我们可以找到正整数N2，使得当r >s > N2时，有，ar - as， < A - B。
由于A是上确界，所以存在一个正整数n2，使得an2 > A - (A - B) = B。
由于n1和n2是正整数，所以我们可以取N = max{N1, N2}，使得当p > q > N时，有，ap - aq， < A- B。
但是，同时存在正整数n1和n2，使得an1 > B和an2 > B，与前面所述矛盾。
因此，A和B必然相等，记为C。
接下来，我们证明C是这个序列的极限。
假设对于任意的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n > N时，有，an - C，< ε。
我们取ε =ε/2，那么根据柯西收敛准则，必然存在一个正整数N，使得当p > q >N时，有，ap - aq，< ε/2、由于C就是上确界和下确界，所以必然存在正整数n > N，使得，an - C，< ε/2、根据三角不等式，我们有，ap - C，≤ ，ap - aq， + ，aq - C，< ε/2 + ε/2 = ε。
因此，C就是这个序列的极限，这就证明了实数完备性。
关于实数完备性相关定理等价性的研究摘要：实数集的完备性是实数集的一个基本特征，它是微积分学的坚实的理论基础。
可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理。
与之相关的七个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、致密性定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的。
本文主要是讨论证明这七个定理的等价性。
在这里我们首先论证确界存在定理，然后由此出发依次论证实数系的其它六个基本定理，并最终形成一个完美的论证“环”。
关键词：实数集 完备性 基本定理 等价性 证明Research about the equivalence theorems of completeness ofreal numbersAbstract: Completeness of the set of real numbers is its basic character, and it is stable theory background of calculus. It can be described and depicted in different angles, so there are considerable fundamental theorems about it. Fundamental Theorems of seven related about supremum and form a ideal proof “loop”.Key words: set of real numbers ， completeness ， fundamental theorem ，equivalence ， proof.引言：我们知道实数的完备性在理论上有很大的价值，与之相关的七个基本定理从不同的角度描述了实数的基本性质。
并且这七个基本定理是相互等价的，在这里我们先证明出实数的确界存在定理，然后以此为基础顺次证明其他的六个定理最后再回到确界存在定理得到一个完美的“环”状结构的证明。
【毕业论文】实数完备性定理的等价证明及应用【标题】实数完备性定理的等价证明及应用【作者】戴华东【关键词】单调有界定理区间套定理罗尔（Rolle）中值定理Botsko定理Dedekind?分割原理【指导老师】苟清明冯彬【专业】小学教育【正文】1?引言在数学史上,?实数系的逻辑基础――实数理论至19?世纪末叶才建立起来,?而实数理论的建立,?使得分析中注入了严密性。
实数理论是数学分析的理论基础,?而实数系完备性定理又是实数理论中的重要内容之一。
与之相关的六个基本定理（确界存在定理、单调有界定理、区间套定理、聚点定理、闭区间有限覆盖定理以及柯西收敛准则）是彼此等价的，它们从不同的角度刻划了实数系的完备性或连续性，并且它们是论证其它一些重要定理和规则的依据，如一致连续性定理、罗尔（Rolle）中值定理、Botsko定理、Dedekind?分割原理等。
因此在理论上具有重要价值。
2?预备知识定理2.1：确界原理非空有上（下）界的数集，必有上（下）确界。
定理2.2：单调有界定理任何有界的单调数列一定有极限。
定理2.3：区间套定理设?为一列闭区间，满足条件：(n=1,2,?);?,则存在唯一一点且?定理2.4：有限覆盖定理设?是一个闭区间，?为?的一个开覆盖，则在?中必存在有限个开区间，它构成?上的一个开覆盖。
定理2.5：聚点定理直线上的有界无限点集?至少有一个聚点。
定理2.6：Cauchy收敛准则数列?收敛的充要条件是：对任给的正数?，总存在某一个自然数N，使得当 N时，都有?。
定理2.7：Botsko定理?若?是?的一个完全覆盖，则?包含?的一个分划，即存在?，使每个闭区间都属于?。
定理2.8：闭区间上连续函数的整体性质设?在?上连续，则?有如下四个整体性质：１）?（有界性）?在?上有界；?２）?（最值性）?在?上存在最大、小值；3?）（介值性）?若?,?为?内任一数，则?，使?；４）?（一致连续性）?在?上一致连续。
第23卷第3期重庆工商大学学报（自然科学版）2006年6月Vol.23 No.3J Chongqing Technol Business Univ.（Nat Sci Ed ）Jun.2006收稿日期：2005-10-08；修回日期：2005-12-26.基金项目：重庆邮电学院青年教师科技基金项目，项目编号（A2005-20）.作者简介：庄陵（1978-），女，重庆南岸区人，讲师，博士研究生，从事通信与信息系统研究.文章编号：1672-058X （2006）03-0219-05实数系完备性基本定理的循环证明庄 陵1，3，唐贤伦2，王 东3，张金荣3（1.重庆邮电学院通信学院，重庆400065；2.重庆邮电学院自动化学院，重庆400065；3.重庆大学自动化学院，重庆400044）摘 要：在柯西收敛准则的基础上，链式论证了实数系的其他6个基本定理，并最终形成一个完美的论证“环”，体现了数学论证之美；指出了有理数集不具有完备性.关键词：实数；完备性；柯西收敛准则；区间套定理；致密性定理；有限覆盖定理；聚点定理中图分类号：O 141.2 文献标识码：A实数系的完备性是实数的一个重要特征，与之相关的7个基本定理是彼此等价的，并且是论证其他一些重要定理（如一致连续性定理等）的依据，它们从不同的角度刻画了实数系的完备性，因此在理论上具有重要价值.传统的论证方法一般是假定某一定理成立，然后在此基础上论证其他的定理，这种论证本身具有不严谨性和不可靠性；还有论证方法是从Dedekind 切割定理入手，然后论证确界存在定理，但这又带来了一个问题：如何证明戴德金特连续性定理（Dedekind 切割定理，是戴德金特等人在用有理数构造实数的工作中给出的证明，但定理的证明相当繁琐且难懂）.从柯西收敛准则入手，避开了证明戴德金特连续性定理等实变函数的内容，从而使问题得以巧妙解决，论证流程如图1所示.图1 实数完备性论证流程图1 柯西收敛准则到区间套定理的推证区间套定理（Cantor 区间套定理） 设［a n ，b n ］，n =1，2，…是一列有界闭区间，满足（Ⅰ）∀n "N ，有a n ≤a n +1<b n +1<b n ，即［a n +1，b n +1］⊂［a n ，b n ］；（#）lim n →∞（b n -a n ）=0.则∃ξ⊂R 使得lim n →∞b n =lim n →∞a n =ξ，且ξ是一切闭区间的惟一公共点：∩∞i =1［a n ，b n ］=｛ξ｝.满足上述2个条件的闭区间列称为区间套.证明 不妨设｛［a n ，b n ］｝是一列闭区间，满足如下两个条件：（1）［a n+1，b n+1］⊂［a n ，b n ］，n =1，2，…；（2）lim n →∞（b n -a n ）=0.设m >n ，则0≤a m -a n <b n -a n →0（n →∞），所以数列［a n ］是一基本数列.从而由柯西收敛准则得：lim n →∞a n =ξ⇒lim n →∞b n =lim n →∞（b n -a n +a n ）=lim n →∞（b n -a n ）+lim n →∞a n =ξ.由于数列［a n ］单调增加，数列｛b n ｝单调减少，可知ξ是属于所有闭区间［a n ，b n ］（n =1，2，…）的惟一实数，从而区间套定理得证.下面证明闭区间套的公共点是惟一的.若∃ζ（ξ≠ζ）也属于所有的闭区间［a n ，b n ］，则0<|ξ-ζ|<b n -a n ，当n <∞时，lim n →∞（b n -a n ）>|ξ-ζ|>0，这与条件（#）矛盾，即区间套的公共点是惟一的.区间套定理由一个闭区间套来确定惟一的点ξ，其核心思想是把整体的性质收缩到局部（某点的邻域）.当把区间套定理中的无限闭区间序列｛［an ，bn］｝换成开区间序列｛（an，bn）｝，或者是无限闭区间的序列｛［an，+∞］｝时，所有区间的公共点ξ就不能保证一定存在，如数列［（0，1/n）］就找不到满足条件要求的ξ.利用ヘ2（ヘ2是无理数）的不足近值序列1.4，1.41，1.414，…和过剩近似值序列可以验证有理数集不满足闭区间套定理.2 区间套定理到确界存在定理的推证上确界的定义：S的最小上界称为数集S的上确界，记作ξ=sup s.上确界的等价定义1：ξ需满足（Ⅰ）∀x"S，x<ξ；（#）∀ε>0，∃a=a（ε）"S，使得a>ξ-ε.上确界的等价定义2：ξ需满足（Ⅰ）∀x"S，x<ξ；（#）∀a<ξ，∃x"S，使得x>a.有上述类似的方法可定义下确界.确界存在定理有上（下）界的非空实数子集必有上（下）确界.对于无上界（或下界）的数集S，一般规定其上下确界分别为+∞和-∞，即sup S=+∞，inf S=-∞.证明不妨设S是非空的有上界的实数集，T是由S的所有上界组成的集合.下面证T中含有最小数，即S有上确界.由于集合S非空，故可取a1"T，b1"T，此时，由前提假设知，必有a1<b1，然后按以下的规则构造闭区间列：［a2，b2］=［a1，a1+b12］，ifa1+b12"T，［a1+b12，b1］，ifa1+b12∉T{；［a3，b3］=［a2，a2+b22］，if a2+b22"T，［a2+b22，b2］，ifa2+b22∉T{；由此可得一闭区间套｛［an ，bn］｝，满足an"T，b n∉T，n=1，2，….由闭区间套定理知，∃ξ=∩∞i=1［ai，b i ］，且limn→∞an=limn→∞bn=ξ，下面证明ξ是T中的最小数，也就是集合S的上确界.若ξ∉T，即ξ不是集合S的上界，则∃x"S，使得ξ<x.由limn→∞bn=ξ知，当n充分大时，bn<x，这与bn∉T矛盾，所以ξ"T.若∃η"T，使得η<ξ，则由limn→∞an=ξ知，当n充分大时，有η<an.因为an"T，于是∃y"S，使得η<an<y，这与η"T矛盾，从而知ξ是S的上确界.同理可证“有下界的非空实数子集必有下确界”.确界定理反映了实数系完备性这一基本性质，从几何意义上讲就是实数全体分布在数轴上，并且没有“空隙”，否则若有“空隙”，则“空隙”的左边没有上确界，而“空隙”的右边没有下确界，而有理数集在数轴上是有“空隙”的，因此它不满足确界存在定理，也就是说Q内有上界的集合S未必在Q内有它的上确界，如：T=｛x|x"Q，0<x2|2｝，可以证明它在Q内没有上确界.简证如下：不妨设T在Q内有上确界，记sup T=nm（m，n"N+并且m，n互素），则有1<（nm）2<3，而ヘ2是无理数，故只可能是以下2种情况：（1）若1<（nm）2<2，记t=2-n2m2，从而有0<t<1，令r=n6mt，显然有nm+r>nm+r"Q.因为r2=n236m2<118t及2nmr=n23m2t<23t，所以（nm+r）2-2=r2+2nm-t<118t+23t-t=-518t<0.从而说明nm+r"T，这与nm是T的上确界矛盾.（2）若2<（nm）2<3，记t=n2m2-2，同样有0<t<1，令r=n6mt，显然有nm-r>0，nm-r"Q，由于2nmr=n23m2t<t，可得（nm-r）2-2=r2-2nmr+t>r2-t+t=r2>0，这说明nm-r也是T的上界，与n m 是T的上确界矛盾.综合（1）（2）知，T在Q中无上确界.022重庆工商大学学报（自然科学版）第23卷3 确界存在定理到单调有界定理的推证单调有界定理 单调有界实数列必有极限.单调有界定理还可描述为：若［x n ］⊂R 是单调增加的有界数列，则必有极限，且lim n →∞x n =sup ｛x n ｝.若［x n ］⊂R 是单调减少的有界数列，则必有极限，且lim n →∞x n =inf ｛x n ｝.若［x n ］⊂R 是一单调增加的无界数列，规定lim n →∞x n =+∞，否则若［x n ］⊂R 是一单调减少的无界数列，则规定lim n →∞x n =-∞.证明 设数列｛x n ｝单调增加，即x 1≤x 2≤…≤x n ≤…，且∃M 使得x i ≤M ，i =1，2，….因为｛x n ｝是非空的有界实数集，由确界存在定理知，｛x n ｝有上确界，记为α：α=sup n ⊂N +｛x n ｝.由上确界的等价定义1知，∀x i !｛x i ｝，i =1，2，…，有x i ≤α成立；并且对∀ε>0，∃N ，使得α-ε<x N ，故当n >N 时，由｛x n ｝的单增性知：α-ε<x N ≤x n ，所以α-ε<x N ≤x n ≤α<α+ε，即|x n -α|<ε，由极限的定义得：lim n →∞x n =α=sup n ⊂N+｛x n ｝.若｛x n ｝是单调下降的，可用上述类似的方法证明.单调有界定理是数列收敛的充分条件，即只有数列｛x n ｝同时满足有界和单调这两个条件，｛x n ｝才收敛，若只满足其中一个条件，则不一定收敛.反之，若｛x n ｝收敛，则必有界（收敛数列必有界），但｛x n ｝不一定单调，如数列｛（-1）n n｝收敛而不单调.同样，单调有界定理在有理数域内是不一定成立的.如｛1+（1n ）n ｝是由有理数构成的单增有界数列，但lim n →∞（1+1n）n =e ，而e 是无理数.4 单调有界定理到致密性定理的推证定义1 设｛x n ｝一个数列，而n 1<n 2<…<n k <n k -1<…是一列严格单调增加的自然数，则x n 1，x n 2，…，x n k ，x n k +1，…也形成一个数列，称为数列｛x n ｝的子列，记作｛x n k ｝.致密性定理 任何有界数列必有收敛的子序列.引理1 任何数列｛x n ｝必有单调子列.证明 若数列｛x n ｝存在递增子列，则结论已成立.若｛x n ｝不存在递增子列，则∃n 1!N +，∀n >n 1，有x n <x n 1.再考虑数列｛x n ｝n >n 1，也不存在递增子列，故∃n 2>n 1，∀n >n 2，有x n <x n 2<x n 1<…依次类推，即可得｛x n ｝的一个（严格）递减的子列｛x n k ｝，从而问题得证.致密性定理证明 不妨设｛x n ｝为一有界数列，由引理1知其必存在一单调子列｛x n k ｝，显然｛x n k ｝也是有界的，由单调有界定理知，｛x n k ｝收敛.致密性定理又叫做波尔查诺-维尔斯特拉斯（Bolzano -Weierstrass ）定理，它同有限覆盖定理一样，都反映了闭区间的紧性，因此也叫做紧性定理.同样可以用ヘ2（ヘ2是无理数）的不足近值序列1.4，1.41，1.414，来验证致密性定理在有理数集Q 内不成立.5 致密性定理到聚点定理的推证定义2 设点集S ⊂R ，ξ⊂R ，如果ξ的任何邻域中都含有S 中异于ξ的点，则称ξ为点集S 的聚点.点ξ是点集S 的聚点的3个等价定义：（"）在ξ的任何邻域内含有S 中的无穷多个点；（#）在ξ的任何空心邻域内至少含有S 中的一个点；（$）存在两两不相同的点列｛x n ｝，且lim n →∞x n =ξ.聚点定理 有界无穷点集至少有一个聚点.证明 不妨设S 为有界无穷点集，取x 1!S ，记S 1=S ｛x 1｝，则S 1仍为无穷点集，取x 2!S 1，记S 2=S 1 ｛x 2｝；再从S 2中取出x 3，…，这样就从S 中取出了互不相同的点列｛x n ｝.由于S 有界，故｛x n ｝有界，由致密性定理知，存在收敛子列｛x n k ｝.按上述的聚点等价定义3知，｛x n k ｝的极限即为S 的一个聚点.同样可以利用ヘ2（ヘ2是无理数）的不足近值序列1.4，1.41，1.414，…，来验证聚点定理在有理数集Q 122第3期 庄 陵，等：实数系完备性基本定理的循环证明内不成立.6 聚点定理到有限覆盖定理的推证有限覆盖定理 任何闭区间的任何开覆盖中都存在有限子覆盖.有限覆盖定理的另一种描述：设［a ，b ］是有界闭区间，｛（a λ，b λ）：λ!∧｝是一族开区间，使得U λ!∧（a λ，b λ）⊃（a ，b ）（这个开区间族一般称为是［a ，b ］的一个开覆盖），则可从中选出有限个开区间（a λ，b λ），n =1，2，…，n ，使得U ni =1（a λi ，b λi ）⊃［a ，b ］（这有限个开区间称为原来开覆盖的有限子覆盖）.证明 令E =｛（a λ，b λ）：λ!∧｝，反设｛a ，b ｝⊄U n i =1（a λi ，b λi ），即［a ，b ］不能被E 中的有限个区间所覆盖，现等分［a ，b ］为2个子区间［a ，a +b 2］和［a +b 2，b ］，则其中至少有一个子区间不能被E 的任何子覆盖所覆盖，否则将导致［a ，b ］也能被E 的有限个子区间所覆盖.若［a ，a +b 2］不能被E 中的有限个子区间所覆盖，则令a 1=a ，b 1=a +b 2，否则若［a +b 2，b ］不能被E 中有限个子区间所覆盖，则a 1=a +b 2，b 1=b .若两个区间都不能被E 中有限个区间所覆盖，则可任选其中之一作为［a 1，b 1］，于是得闭区间［a 1，b 1］，按同样的方法把区间［a 1，b 1］二等分，把不能被E 中有限个区间所覆盖的那个区间记作［a 2，b 2］.按上述步骤无限进行下去，于是得一闭区间列｛［a n ，b n ］｝，n =1，2，….并且满足条件：（1）［a ，b ］⊃［a 1，b 1］⊃［a 2，b 2］⊃…⊃［a n ，b n ］⊃…；（2）lim n →∞（b n -a n ）=lim n →∞b -a 2n -1=0；（3）任一［a n ，b n ］都不能被E 中的有限个区间所覆盖，因为｛a n ｝是无穷点集，并且有上界b 1，故由聚点定理知，必存在聚点，不妨设为ξ，可以证明ξ即是数列｛a n ｝的极限点，即lim n →∞a n =ξ，再由条件（2）知，lim n →∞b n =lim n →∞（b n -a n +a n ）=lim n →∞（b n -a n ）+lim n →∞（a n ）=0+ξ=ξ.因为E 覆盖［a ，b ］，而ξ!［a ，b ］，所以∃［α，β］!E ，即α<ξ<β.令ε=min ｛ξ-α，β-ξ｝.因为lim n →∞a n =lim n →∞b n =ξ，由数列极限的定义知∃N 1，N 2，使得n >N 1时，有|a n -ξ|<ε；n >N 2时，有|b n -ξ|<ε.令N =max ｛N 1，N 2｝，于是当n >N 时，有α≤ξ-ε<a n ≤ξ≤b n <ξ+ε≤β，得［a n ，b n ］⊂（α，β），即E 中有一个区间可覆盖所有形如［a n ，b n ］（n >N ）的区间，这与条件（3）矛盾，因此假设不成立，故得证.有限覆盖定理又叫海涅-波雷尔（Heine -Borel ）定理，它把某点n 邻域中的“局部”性质扩充到整个区间上，其重要性在于把有限转化为无限，从而具有重大的理论价值.对闭区间成立的有限覆盖在开区间和半开半闭区间中是不成立的，如开区间集合｛（0，n n +1）|n !N +｝是开区间（0，1）的一个开覆盖，但从中不能取出（0，1）的有限子覆盖.由此可见，有限覆盖定理反映了闭区间的一种特性：紧性，故有时也称有限覆盖定理为紧性定理.下面举例说明有限覆盖定理在有理数集Q 内不成立.把［1，2］中的所有有理数集合记作［1，2］q ，构造［1，2］q 的一个开覆盖，使其任何有限开覆盖都不能盖住［1，2］q .∀x !［1，2］q ，存在有理数q x ，使ヘ2∉（x -q n ，x +q x ），这样就得到了［1，2］q 的一个开覆盖｛O a ｝，任取｛O a ｝的一个有限开覆盖，设为（x 1-q x 1，x 1+q x 1），…（x n -q x n ，x n +q x n ），由于这些开区间都不含ヘ2，且其2n 个端点都是有理数，故若设这2n 个有理数与ヘ2最靠近的是q ，则在q 与ヘ2之间的所有有理数都在上述n 个开区间之外，从而说明了｛O α｝的任一有限开覆盖都不能盖住［1，2］q .7 有限覆盖定理到柯西收敛准则的推证柯西收敛准则（充分性部分） 若实数列｛x n ｝满足：∀ε<0，∃N !N +，∀n ，m >N ，有|x n -x m |<ε，则｛x n ｝收敛.证明 ∀ε>0，∃N !N +，∀n >N ，有|x n -x N+1|<ε⇒|x n |=|x n -x N+1+x N+1||x n -x N+1|+|x N+1|<ε+|x N +1|，其中n =N +1，N +2⇒｛x n ｝是有界的，设｛x n ｝⊂［a ，b ］，若对∀x !［a ，b ］，x 都不是｛x n ｝的极222重庆工商大学学报（自然科学版） 第23卷限，则∃ε0>0，对∀N !N +，有|x n -x |≥ε0.则在U （x ；ε02）内仅含有｛x n ｝的有限项，令H =｛U （x ；ε2）|x !［a ，b ］｝，则H 是闭区间［a ，b ］的一个开覆盖，由有限覆盖定理知：其必存在有限子覆盖，不妨设存在U （x 1，ε12），U （x 2，ε22），U （x n ，εn 2）是它的一个子覆盖，即U n i =1U （x i ，εi 2）⊃［a ，b ］，而U （x i ，εi 2）（i =1，2，…，n ）只含有限个点，从而它们的并也只含有限个点，从而得出［a ，b ］也只含有限个点，这与［a ，b ］是无限点集矛盾，从而假设不成立，问题得证.柯西收敛准则（必要性部分） 若实数列｛x n ｝收敛，则｛x n ｝满足：∀ε>0，∃N ∈N +，∀n ，m >N 时，有|x n -x m |<ε成立.证明 设｛x n ｝收敛于α，按照收敛的定义，∀ε>0；∃N ，∀n ，m >N 时，有|x n -α|<ε2，|x m -α|<ε2，于是|x n -x m |=|（x n -α）-（x m -α）|≤|x n -α|+|x m -α|<ε2+ε2=ε.综上所述，实数系的7个基本定理是彼此等价的，从理论上讲，从其中的任何一个均可推导出其余6个，此处仅是其中的一种证法；同时需要特别强调的是有理数集并不具有完备性.参考文献：［1］CONWAYR J B.A course in functional analysis ［M ］.Springer -Verlag ，New York.，1985［2］BOTSKO M W.A unified trestment of various theorems in elementary analysis ，Amer ［J ］.Math.Monthly ，1987（94）：450-452［3］POLGA G ，SZEGO G.Problems and Theorems in Analysis ［M ］.Spring -Verlag -Berlin ，1972［4］盖盈.关于实数完备性基本定理的统一处理方法［J ］.天津师大学报：自然科学版，1999，19（4）：23-28［5］A.H.柯尔莫果洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步［M ］.郑洪深，等译.北京：高等教育出版社，1992［6］波利亚.数学分析中的问题和定理（第1卷）［M ］.张奠宙，等译.上海：上海科学技术出版社，1981［7］孙本旺，汪浩.数学分析中的典型例题和解题方法［M ］.长沙：湖南科学技术出版社，1983［8］张筑生.数学分析新讲［M ］.北京：北京大学出版社，2005［9］B.A.波尔戈夫.吉米多维奇数学5000题［M ］.米天林，等译.长沙：湖南科学技术出版社，1986［10］徐森林.实变函数论［M ］.合肥：中国科学技术大学出版社，2003［11］葛显良.应用泛函分析［M ］.杭州：浙江大学出版社，2002A circulating proof for solving the problem in fundamental theorems ofcompleteness of real numberZHuANG Ling 1，TANG Xian -Iun 2，WANG Dong 3，ZHANG Jin -rong 3（1.College of Telecommunications and Information Engineering ，Chongqing University of Posts &Telecommunications ，Chongqing 400065；2.College of Computer ，Chongqing University of Posts &Telecommunications ，Chongqing 400065；3.College of Automation ，Chongqing University ，Chongqing 400065，China ）Abstract ：In this paper ，based on the cauchy convergence theorem ，catenulation proof of other fundamental theorems of real series is presented ，and a circulating proof loop to display the beauty of mathematical proof is formed.The author also points out and validates that the rational number does not have a completeness.Key words ：real number ；completeness ；Cauchy Convergence Rule ；Interval Sequence Theorem ；Bolzano -Weierstrass Theorem ；Heine -Borel Theorem ；Convergence Point Theorem责任编辑：李翠薇322第3期 庄 陵，等：实数系完备性基本定理的循环证明。
实数系完备性基本定理的循环证明实数系的完备性基本定理是指实数系是一个完备的数系，即实数系中的有界非空集合必有上确界或下确界。
为了证明实数系的完备性基本定理，我们可以采用循环证明的方法。
循环证明的思想是通过引入一个递归过程，构造一个序列，然后使用序列的性质来证明定理的正确性。
让我们来进行详细的证明：首先，我们定义一个数集合A是非空的有下界的实数集合。
设A的下界为m。
1.构造序列a₁,a₂,a₃,...。
首先，在A中选择出一个数a₁，使得a₁>m。
这一步可以保证序列的递增性质。
然后，在A中选择出一个数a₂，使得a₂>a₁。
同样，这个数的选择可以保证序列的递增性质。
接着，继续在A中选择出一个数a₃，使得a₃>a₂。
同样的，这一步也可以保证递增性质。
以此类推，通过不断选择A中的元素，我们可以构造出一个序列a₁,a₂,a₃,...。
2.证明序列的有上界性质。
我们可以通过数学归纳法来证明序列a₁,a₂,a₃,...有上界的性质。
首先，由于m是A的下界，所以a₁>m。
因此，m是序列的一个上界。
然后，假设aₙ是序列的最大值，即aₙ>aₙ₋₁。
由于A是一个有上界的非空集合，所以存在一个实数M，使得M是A的上界。
我们可以证明aₙ≤M。
假设不成立，即aₙ>M，则存在一个数β，使得M<β<aₙ。
但是由于aₙ是序列中的最大值，不存在一个元素大于aₙ，因此β不可能属于集合A。
综上所述，M是序列的一个上界。
3.构造序列的上确界。
根据实数中的确界原理，非空的有上界的实数集合必有上确界。
因此，我们可以构造一个上确界L，使得L是序列a₁,a₂,a₃,...的上确界。
4.证明L是A的上确界。
首先，根据序列的定义，对于任意的正实数ε，存在一个正整数N，使得当n>N时，有aₙ>L-ε。
其次，由于aₙ是序列的一个元素，所以有aₙ≤L。
因此，L-ε<aₙ≤L。
综上所述，对于任意的正实数ε，存在一个元素aₙ满足L-ε<aₙ≤L。
密级公开本科生毕业（学位）论文有关实数完备性基本定理的循环证明指导教师姓名：职称：副教授单位：数学系专业名称：数学与应用数学论文提交日期：2010年月日论文答辩日期：2010年月日学位授予单位：黔南民族师范学院答辩委员会主席:论文评阅人:2010 年月日有关实数完备性基本定理的循环证明蒋长征(2006051135)(黔南民族师范学院数学系贵州.都匀 558000)摘要：本文阐述了实数集上六个基本定理及其相关内容，并在用十进位小数定义证明确界原理的基础上通过六个循环从不同的角度证明了它们的等价性。
关键词：实数集；完备性；确界原理；单调有界定理；区间套定理；有限覆盖定理；聚点定理；Cauchy收敛准则The Circulating Testification on the Basic Axioms of Real NumberCompletenessJiang Chang-zheng(2006051135)(Department of Math ,Qiannan Normal College for Nationalities,Duyun,Guizhou,55800) Abstract :This paper elaborates six fundamental theorems on a set of real numbers and its related content.Based on the result which use decimal number definitions to prove sector principle this paper prove their equivalent from different angle.Key words:Real Number Collection; Completeness; True Principle; Has the theorem monotonously; Nested interval theorem; Finite covering theorem; Limiting point theorem; Cauchy Restraining criterion1 实数完备性基本定理及其有关内容1.1 有关概念定义我们知道，极限的存在性问题是极限理论的首要问题。
第23卷第3期重庆工商大学学报（自然科学版）2006年6月Vol.23 No.3J Chongqing Technol Business Univ.（Nat Sci Ed ）Jun.2006收稿日期：2005-10-08；修回日期：2005-12-26.基金项目：重庆邮电学院青年教师科技基金项目，项目编号（A2005-20）.作者简介：庄陵（1978-），女，重庆南岸区人，讲师，博士研究生，从事通信与信息系统研究.文章编号：1672-058X （2006）03-0219-05实数系完备性基本定理的循环证明庄 陵1，3，唐贤伦2，王 东3，张金荣3（1.重庆邮电学院通信学院，重庆400065；2.重庆邮电学院自动化学院，重庆400065；3.重庆大学自动化学院，重庆400044）摘 要：在柯西收敛准则的基础上，链式论证了实数系的其他6个基本定理，并最终形成一个完美的论证“环”，体现了数学论证之美；指出了有理数集不具有完备性.关键词：实数；完备性；柯西收敛准则；区间套定理；致密性定理；有限覆盖定理；聚点定理中图分类号：O 141.2 文献标识码：A实数系的完备性是实数的一个重要特征，与之相关的7个基本定理是彼此等价的，并且是论证其他一些重要定理（如一致连续性定理等）的依据，它们从不同的角度刻画了实数系的完备性，因此在理论上具有重要价值.传统的论证方法一般是假定某一定理成立，然后在此基础上论证其他的定理，这种论证本身具有不严谨性和不可靠性；还有论证方法是从Dedekind 切割定理入手，然后论证确界存在定理，但这又带来了一个问题：如何证明戴德金特连续性定理（Dedekind 切割定理，是戴德金特等人在用有理数构造实数的工作中给出的证明，但定理的证明相当繁琐且难懂）.从柯西收敛准则入手，避开了证明戴德金特连续性定理等实变函数的内容，从而使问题得以巧妙解决，论证流程如图1所示.图1 实数完备性论证流程图1 柯西收敛准则到区间套定理的推证区间套定理（Cantor 区间套定理） 设［a n ，b n ］，n =1，2，…是一列有界闭区间，满足（Ⅰ）∀n "N ，有a n ≤a n +1<b n +1<b n ，即［a n +1，b n +1］⊂［a n ，b n ］；（#）lim n →∞（b n -a n ）=0.则∃ξ⊂R 使得lim n →∞b n =lim n →∞a n =ξ，且ξ是一切闭区间的惟一公共点：∩∞i =1［a n ，b n ］=｛ξ｝.满足上述2个条件的闭区间列称为区间套.证明 不妨设｛［a n ，b n ］｝是一列闭区间，满足如下两个条件：（1）［a n+1，b n+1］⊂［a n ，b n ］，n =1，2，…；（2）lim n →∞（b n -a n ）=0.设m >n ，则0≤a m -a n <b n -a n →0（n →∞），所以数列［a n ］是一基本数列.从而由柯西收敛准则得：lim n →∞a n =ξ⇒lim n →∞b n =lim n →∞（b n -a n +a n ）=lim n →∞（b n -a n ）+lim n →∞a n =ξ.由于数列［a n ］单调增加，数列｛b n ｝单调减少，可知ξ是属于所有闭区间［a n ，b n ］（n =1，2，…）的惟一实数，从而区间套定理得证.下面证明闭区间套的公共点是惟一的.若∃ζ（ξ≠ζ）也属于所有的闭区间［a n ，b n ］，则0<|ξ-ζ|<b n -a n ，当n <∞时，lim n →∞（b n -a n ）>|ξ-ζ|>0，这与条件（#）矛盾，即区间套的公共点是惟一的.区间套定理由一个闭区间套来确定惟一的点ξ，其核心思想是把整体的性质收缩到局部（某点的邻域）.当把区间套定理中的无限闭区间序列｛［an ，bn］｝换成开区间序列｛（an，bn）｝，或者是无限闭区间的序列｛［an，+∞］｝时，所有区间的公共点ξ就不能保证一定存在，如数列［（0，1/n）］就找不到满足条件要求的ξ.利用ヘ2（ヘ2是无理数）的不足近值序列1.4，1.41，1.414，…和过剩近似值序列可以验证有理数集不满足闭区间套定理.2 区间套定理到确界存在定理的推证上确界的定义：S的最小上界称为数集S的上确界，记作ξ=sup s.上确界的等价定义1：ξ需满足（Ⅰ）∀x"S，x<ξ；（#）∀ε>0，∃a=a（ε）"S，使得a>ξ-ε.上确界的等价定义2：ξ需满足（Ⅰ）∀x"S，x<ξ；（#）∀a<ξ，∃x"S，使得x>a.有上述类似的方法可定义下确界.确界存在定理有上（下）界的非空实数子集必有上（下）确界.对于无上界（或下界）的数集S，一般规定其上下确界分别为+∞和-∞，即sup S=+∞，inf S=-∞.证明不妨设S是非空的有上界的实数集，T是由S的所有上界组成的集合.下面证T中含有最小数，即S有上确界.由于集合S非空，故可取a1"T，b1"T，此时，由前提假设知，必有a1<b1，然后按以下的规则构造闭区间列：［a2，b2］=［a1，a1+b12］，ifa1+b12"T，［a1+b12，b1］，ifa1+b12∉T{；［a3，b3］=［a2，a2+b22］，if a2+b22"T，［a2+b22，b2］，ifa2+b22∉T{；由此可得一闭区间套｛［an ，bn］｝，满足an"T，b n∉T，n=1，2，….由闭区间套定理知，∃ξ=∩∞i=1［ai，b i ］，且limn→∞an=limn→∞bn=ξ，下面证明ξ是T中的最小数，也就是集合S的上确界.若ξ∉T，即ξ不是集合S的上界，则∃x"S，使得ξ<x.由limn→∞bn=ξ知，当n充分大时，bn<x，这与bn∉T矛盾，所以ξ"T.若∃η"T，使得η<ξ，则由limn→∞an=ξ知，当n充分大时，有η<an.因为an"T，于是∃y"S，使得η<an<y，这与η"T矛盾，从而知ξ是S的上确界.同理可证“有下界的非空实数子集必有下确界”.确界定理反映了实数系完备性这一基本性质，从几何意义上讲就是实数全体分布在数轴上，并且没有“空隙”，否则若有“空隙”，则“空隙”的左边没有上确界，而“空隙”的右边没有下确界，而有理数集在数轴上是有“空隙”的，因此它不满足确界存在定理，也就是说Q内有上界的集合S未必在Q内有它的上确界，如：T=｛x|x"Q，0<x2|2｝，可以证明它在Q内没有上确界.简证如下：不妨设T在Q内有上确界，记sup T=nm（m，n"N+并且m，n互素），则有1<（nm）2<3，而ヘ2是无理数，故只可能是以下2种情况：（1）若1<（nm）2<2，记t=2-n2m2，从而有0<t<1，令r=n6mt，显然有nm+r>nm+r"Q.因为r2=n236m2<118t及2nmr=n23m2t<23t，所以（nm+r）2-2=r2+2nm-t<118t+23t-t=-518t<0.从而说明nm+r"T，这与nm是T的上确界矛盾.（2）若2<（nm）2<3，记t=n2m2-2，同样有0<t<1，令r=n6mt，显然有nm-r>0，nm-r"Q，由于2nmr=n23m2t<t，可得（nm-r）2-2=r2-2nmr+t>r2-t+t=r2>0，这说明nm-r也是T的上界，与n m 是T的上确界矛盾.综合（1）（2）知，T在Q中无上确界.022重庆工商大学学报（自然科学版）第23卷3 确界存在定理到单调有界定理的推证单调有界定理 单调有界实数列必有极限.单调有界定理还可描述为：若［x n ］⊂R 是单调增加的有界数列，则必有极限，且lim n →∞x n =sup ｛x n ｝.若［x n ］⊂R 是单调减少的有界数列，则必有极限，且lim n →∞x n =inf ｛x n ｝.若［x n ］⊂R 是一单调增加的无界数列，规定lim n →∞x n =+∞，否则若［x n ］⊂R 是一单调减少的无界数列，则规定lim n →∞x n =-∞.证明 设数列｛x n ｝单调增加，即x 1≤x 2≤…≤x n ≤…，且∃M 使得x i ≤M ，i =1，2，….因为｛x n ｝是非空的有界实数集，由确界存在定理知，｛x n ｝有上确界，记为α：α=sup n ⊂N +｛x n ｝.由上确界的等价定义1知，∀x i !｛x i ｝，i =1，2，…，有x i ≤α成立；并且对∀ε>0，∃N ，使得α-ε<x N ，故当n >N 时，由｛x n ｝的单增性知：α-ε<x N ≤x n ，所以α-ε<x N ≤x n ≤α<α+ε，即|x n -α|<ε，由极限的定义得：lim n →∞x n =α=sup n ⊂N+｛x n ｝.若｛x n ｝是单调下降的，可用上述类似的方法证明.单调有界定理是数列收敛的充分条件，即只有数列｛x n ｝同时满足有界和单调这两个条件，｛x n ｝才收敛，若只满足其中一个条件，则不一定收敛.反之，若｛x n ｝收敛，则必有界（收敛数列必有界），但｛x n ｝不一定单调，如数列｛（-1）n n｝收敛而不单调.同样，单调有界定理在有理数域内是不一定成立的.如｛1+（1n ）n ｝是由有理数构成的单增有界数列，但lim n →∞（1+1n）n =e ，而e 是无理数.4 单调有界定理到致密性定理的推证定义1 设｛x n ｝一个数列，而n 1<n 2<…<n k <n k -1<…是一列严格单调增加的自然数，则x n 1，x n 2，…，x n k ，x n k +1，…也形成一个数列，称为数列｛x n ｝的子列，记作｛x n k ｝.致密性定理 任何有界数列必有收敛的子序列.引理1 任何数列｛x n ｝必有单调子列.证明 若数列｛x n ｝存在递增子列，则结论已成立.若｛x n ｝不存在递增子列，则∃n 1!N +，∀n >n 1，有x n <x n 1.再考虑数列｛x n ｝n >n 1，也不存在递增子列，故∃n 2>n 1，∀n >n 2，有x n <x n 2<x n 1<…依次类推，即可得｛x n ｝的一个（严格）递减的子列｛x n k ｝，从而问题得证.致密性定理证明 不妨设｛x n ｝为一有界数列，由引理1知其必存在一单调子列｛x n k ｝，显然｛x n k ｝也是有界的，由单调有界定理知，｛x n k ｝收敛.致密性定理又叫做波尔查诺-维尔斯特拉斯（Bolzano -Weierstrass ）定理，它同有限覆盖定理一样，都反映了闭区间的紧性，因此也叫做紧性定理.同样可以用ヘ2（ヘ2是无理数）的不足近值序列1.4，1.41，1.414，来验证致密性定理在有理数集Q 内不成立.5 致密性定理到聚点定理的推证定义2 设点集S ⊂R ，ξ⊂R ，如果ξ的任何邻域中都含有S 中异于ξ的点，则称ξ为点集S 的聚点.点ξ是点集S 的聚点的3个等价定义：（"）在ξ的任何邻域内含有S 中的无穷多个点；（#）在ξ的任何空心邻域内至少含有S 中的一个点；（$）存在两两不相同的点列｛x n ｝，且lim n →∞x n =ξ.聚点定理 有界无穷点集至少有一个聚点.证明 不妨设S 为有界无穷点集，取x 1!S ，记S 1=S ｛x 1｝，则S 1仍为无穷点集，取x 2!S 1，记S 2=S 1 ｛x 2｝；再从S 2中取出x 3，…，这样就从S 中取出了互不相同的点列｛x n ｝.由于S 有界，故｛x n ｝有界，由致密性定理知，存在收敛子列｛x n k ｝.按上述的聚点等价定义3知，｛x n k ｝的极限即为S 的一个聚点.同样可以利用ヘ2（ヘ2是无理数）的不足近值序列1.4，1.41，1.414，…，来验证聚点定理在有理数集Q 122第3期 庄 陵，等：实数系完备性基本定理的循环证明内不成立.6 聚点定理到有限覆盖定理的推证有限覆盖定理 任何闭区间的任何开覆盖中都存在有限子覆盖.有限覆盖定理的另一种描述：设［a ，b ］是有界闭区间，｛（a λ，b λ）：λ!∧｝是一族开区间，使得U λ!∧（a λ，b λ）⊃（a ，b ）（这个开区间族一般称为是［a ，b ］的一个开覆盖），则可从中选出有限个开区间（a λ，b λ），n =1，2，…，n ，使得U ni =1（a λi ，b λi ）⊃［a ，b ］（这有限个开区间称为原来开覆盖的有限子覆盖）.证明 令E =｛（a λ，b λ）：λ!∧｝，反设｛a ，b ｝⊄U n i =1（a λi ，b λi ），即［a ，b ］不能被E 中的有限个区间所覆盖，现等分［a ，b ］为2个子区间［a ，a +b 2］和［a +b 2，b ］，则其中至少有一个子区间不能被E 的任何子覆盖所覆盖，否则将导致［a ，b ］也能被E 的有限个子区间所覆盖.若［a ，a +b 2］不能被E 中的有限个子区间所覆盖，则令a 1=a ，b 1=a +b 2，否则若［a +b 2，b ］不能被E 中有限个子区间所覆盖，则a 1=a +b 2，b 1=b .若两个区间都不能被E 中有限个区间所覆盖，则可任选其中之一作为［a 1，b 1］，于是得闭区间［a 1，b 1］，按同样的方法把区间［a 1，b 1］二等分，把不能被E 中有限个区间所覆盖的那个区间记作［a 2，b 2］.按上述步骤无限进行下去，于是得一闭区间列｛［a n ，b n ］｝，n =1，2，….并且满足条件：（1）［a ，b ］⊃［a 1，b 1］⊃［a 2，b 2］⊃…⊃［a n ，b n ］⊃…；（2）lim n →∞（b n -a n ）=lim n →∞b -a 2n -1=0；（3）任一［a n ，b n ］都不能被E 中的有限个区间所覆盖，因为｛a n ｝是无穷点集，并且有上界b 1，故由聚点定理知，必存在聚点，不妨设为ξ，可以证明ξ即是数列｛a n ｝的极限点，即lim n →∞a n =ξ，再由条件（2）知，lim n →∞b n =lim n →∞（b n -a n +a n ）=lim n →∞（b n -a n ）+lim n →∞（a n ）=0+ξ=ξ.因为E 覆盖［a ，b ］，而ξ!［a ，b ］，所以∃［α，β］!E ，即α<ξ<β.令ε=min ｛ξ-α，β-ξ｝.因为lim n →∞a n =lim n →∞b n =ξ，由数列极限的定义知∃N 1，N 2，使得n >N 1时，有|a n -ξ|<ε；n >N 2时，有|b n -ξ|<ε.令N =max ｛N 1，N 2｝，于是当n >N 时，有α≤ξ-ε<a n ≤ξ≤b n <ξ+ε≤β，得［a n ，b n ］⊂（α，β），即E 中有一个区间可覆盖所有形如［a n ，b n ］（n >N ）的区间，这与条件（3）矛盾，因此假设不成立，故得证.有限覆盖定理又叫海涅-波雷尔（Heine -Borel ）定理，它把某点n 邻域中的“局部”性质扩充到整个区间上，其重要性在于把有限转化为无限，从而具有重大的理论价值.对闭区间成立的有限覆盖在开区间和半开半闭区间中是不成立的，如开区间集合｛（0，n n +1）|n !N +｝是开区间（0，1）的一个开覆盖，但从中不能取出（0，1）的有限子覆盖.由此可见，有限覆盖定理反映了闭区间的一种特性：紧性，故有时也称有限覆盖定理为紧性定理.下面举例说明有限覆盖定理在有理数集Q 内不成立.把［1，2］中的所有有理数集合记作［1，2］q ，构造［1，2］q 的一个开覆盖，使其任何有限开覆盖都不能盖住［1，2］q .∀x !［1，2］q ，存在有理数q x ，使ヘ2∉（x -q n ，x +q x ），这样就得到了［1，2］q 的一个开覆盖｛O a ｝，任取｛O a ｝的一个有限开覆盖，设为（x 1-q x 1，x 1+q x 1），…（x n -q x n ，x n +q x n ），由于这些开区间都不含ヘ2，且其2n 个端点都是有理数，故若设这2n 个有理数与ヘ2最靠近的是q ，则在q 与ヘ2之间的所有有理数都在上述n 个开区间之外，从而说明了｛O α｝的任一有限开覆盖都不能盖住［1，2］q .7 有限覆盖定理到柯西收敛准则的推证柯西收敛准则（充分性部分） 若实数列｛x n ｝满足：∀ε<0，∃N !N +，∀n ，m >N ，有|x n -x m |<ε，则｛x n ｝收敛.证明 ∀ε>0，∃N !N +，∀n >N ，有|x n -x N+1|<ε⇒|x n |=|x n -x N+1+x N+1||x n -x N+1|+|x N+1|<ε+|x N +1|，其中n =N +1，N +2⇒｛x n ｝是有界的，设｛x n ｝⊂［a ，b ］，若对∀x !［a ，b ］，x 都不是｛x n ｝的极222重庆工商大学学报（自然科学版） 第23卷限，则∃ε0>0，对∀N !N +，有|x n -x |≥ε0.则在U （x ；ε02）内仅含有｛x n ｝的有限项，令H =｛U （x ；ε2）|x !［a ，b ］｝，则H 是闭区间［a ，b ］的一个开覆盖，由有限覆盖定理知：其必存在有限子覆盖，不妨设存在U （x 1，ε12），U （x 2，ε22），U （x n ，εn 2）是它的一个子覆盖，即U n i =1U （x i ，εi 2）⊃［a ，b ］，而U （x i ，εi 2）（i =1，2，…，n ）只含有限个点，从而它们的并也只含有限个点，从而得出［a ，b ］也只含有限个点，这与［a ，b ］是无限点集矛盾，从而假设不成立，问题得证.柯西收敛准则（必要性部分） 若实数列｛x n ｝收敛，则｛x n ｝满足：∀ε>0，∃N ∈N +，∀n ，m >N 时，有|x n -x m |<ε成立.证明 设｛x n ｝收敛于α，按照收敛的定义，∀ε>0；∃N ，∀n ，m >N 时，有|x n -α|<ε2，|x m -α|<ε2，于是|x n -x m |=|（x n -α）-（x m -α）|≤|x n -α|+|x m -α|<ε2+ε2=ε.综上所述，实数系的7个基本定理是彼此等价的，从理论上讲，从其中的任何一个均可推导出其余6个，此处仅是其中的一种证法；同时需要特别强调的是有理数集并不具有完备性.参考文献：［1］CONWAYR J B.A course in functional analysis ［M ］.Springer -Verlag ，New York.，1985［2］BOTSKO M W.A unified trestment of various theorems in elementary analysis ，Amer ［J ］.Math.Monthly ，1987（94）：450-452［3］POLGA G ，SZEGO G.Problems and Theorems in Analysis ［M ］.Spring -Verlag -Berlin ，1972［4］盖盈.关于实数完备性基本定理的统一处理方法［J ］.天津师大学报：自然科学版，1999，19（4）：23-28［5］A.H.柯尔莫果洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步［M ］.郑洪深，等译.北京：高等教育出版社，1992［6］波利亚.数学分析中的问题和定理（第1卷）［M ］.张奠宙，等译.上海：上海科学技术出版社，1981［7］孙本旺，汪浩.数学分析中的典型例题和解题方法［M ］.长沙：湖南科学技术出版社，1983［8］张筑生.数学分析新讲［M ］.北京：北京大学出版社，2005［9］B.A.波尔戈夫.吉米多维奇数学5000题［M ］.米天林，等译.长沙：湖南科学技术出版社，1986［10］徐森林.实变函数论［M ］.合肥：中国科学技术大学出版社，2003［11］葛显良.应用泛函分析［M ］.杭州：浙江大学出版社，2002A circulating proof for solving the problem in fundamental theorems ofcompleteness of real numberZHuANG Ling 1，TANG Xian -Iun 2，WANG Dong 3，ZHANG Jin -rong 3（1.College of Telecommunications and Information Engineering ，Chongqing University of Posts &Telecommunications ，Chongqing 400065；2.College of Computer ，Chongqing University of Posts &Telecommunications ，Chongqing 400065；3.College of Automation ，Chongqing University ，Chongqing 400065，China ）Abstract ：In this paper ，based on the cauchy convergence theorem ，catenulation proof of other fundamental theorems of real series is presented ，and a circulating proof loop to display the beauty of mathematical proof is formed.The author also points out and validates that the rational number does not have a completeness.Key words ：real number ；completeness ；Cauchy Convergence Rule ；Interval Sequence Theorem ；Bolzano -Weierstrass Theorem ；Heine -Borel Theorem ；Convergence Point Theorem责任编辑：李翠薇322第3期 庄 陵，等：实数系完备性基本定理的循环证明。
