浙江省金华市孝顺高级中学高二数学6月月考试题新人教A版

浙江省金华市数学高二下学期理数第二次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·湖南模拟) 已知复数，复数，给出下列命题：① ；② ；③复数与其共轭复数在复平面内的点关于实轴对称；④复数的虚部为0.其中真命题的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 42. （2分）的展开式中x6y2项的系数是（）A . 56B . -56C . 28D . -283. （2分） (2017高二下·太和期中) 已知“三段论”中的三段：① 可化为y=Acos（ωx+φ）；②y=Acos（ωx+φ）是周期函数；③ 是周期函数，其中为小前提的是（）A . ①B . ②C . ③D . ①和②4. （2分） (2017高三上·湖南月考) 若，则函数在区间内单调递增的概率是（）A .B .C .D .5. （2分） (2016高二下·通榆期中) 已知随机变量X满足D（X）=1，则D（2X+3）=（）A . 2B . 4C . 6D . 86. （2分）若复数z= （a∈R，i是虚数单位），且z是纯虚数，则|a+2i|等于（）A .B . 2C . 2D . 407. （2分） (2018高二下·中山月考) 已知下列等式：，，，，…， ,则推测（）A .B .C .D .8. （2分）某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有（）A . 24种B . 36种C . 38种D . 108种9. （2分） (2019高三上·广东月考) 已知函数在处取得极值，若，则的最小值为（）A .B .C . 0D . 210. （2分） (2016高二下·三亚期末) 在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是，那么在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）已知（+1）n展开式中有连续三项之比为1：2：3，且展开式的倒数第二项为28，则x的值为（）A . 2B .C . -2D . 或212. （2分）(2020·淮南模拟) 己知与的图象有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·普陀模拟) 设是虚数单位，若是实数，则实数 ________14. （1分）(2020·许昌模拟) 在我市的高二期末考试中，理科学生的数学成绩，已知，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为________．15. （1分） (2019高二下·四川月考) 已知函数（e为自然对数的底数），那么曲线在点（0，1）处的切线方程为________。

2022学年第二学期高二6月月考数学试题卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}2Z 30A x x x =∈->，则满足{}1,2,3,4A B = 的集合B 的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．62．已知实数,a b 满足()lg lg lg 2a b a b +=+，则2a b +的最小值是（）A ．5B ．9C ．13D ．183．若2023220230122023(12)x a a x a x a x -=++++ ，则20231222023222a a a +++ 的值为（）A ．-1B ．0C ．12D ．14．“sin 20α>”是“tan 0α>”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()2(1),0,lg ,0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若函数()()g x f x b =-有四个不同的零点，则实数b 的取值范围为（）A ．(]0,1B ．[]0,1C ．()0,1D ．()1,+∞6．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满80元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有5名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是（）A ．140243B ．40243C ．2081D ．40817．已知sin1a =，3πb =，31log πc =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a c b>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．b a c>>8．已知底面边长为a 的正四棱柱1111ABCD A B C D -内接于半径为3的球内，E ，F 分别为11B C ，11C D 的中点，G ，H 分别为线段1AC ，EF 上的动点，M 为线段1AB 的中点，当正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积最大时，GH GM +的最小值为（）A ．2B ．322C ．2D ．12+二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．某学校组建了辩论､英文剧场､民族舞､无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和数学建模社团的人数相等，下列说法正确的是（）A ．高一年级学生人数为120人B ．无人机社团的学生人数为17人C ．若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人D ．若甲､乙､丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法10．已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，若ππ33f x fx ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且直线1y =与函数()f x 的交点之间的最短距离为π，则（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 在ππ,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 的图象关于直线π12x =-对称D ．()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为偶函数11．已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，()()2f x f x +=-，()()4f x f x -+=-，且当01x <≤时，()33f x x x =-，则（）A ．()32f =-B ．()()πe f f >C ．3322f f ⎛⎫⎛⎫''=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．702f ⎛⎫'> ⎪⎝⎭12．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AD =，1AB AP PD ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PC 上运动（不含端点），则（）A ．存在点M 使得BD AM⊥B ．四棱锥P ABCD -外接球的表面积为3πC ．直线PC 与直线AD 所成角为π3D ．当动点M 到直线BD 的距离最小时，过点A ，D ，M 作截面交PB 于点N ，则四棱锥P ADMN -的体积是18第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若函数()22xxaf x =+是偶函数，则()1f =___________．14．已知tan cos αα=，则111sin sin αα-=-________．15．山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A 与其附近一建筑物楼顶B 之间的距离，无人机在点C 测得点A 和点B 的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D ，此时测得点A 和点B 的俯角分别为45°和60°（A ，B ，C ，D 在同一铅垂面内），则A ，B 两点之间的距离为______米.16．函数()()sin e sin 1a xf x a x a =-<-．若0x ∃∈R ，使得()3013ln f x a a ⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭成立，则整数a 的最大值为________．（参考数据：ln 20.7=，ln 3 1.1=，ln 5 1.6=）四、解答题：本题共6小题，70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数π()sin cos cos 26f x a x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且π142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求a 的值和()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在[0,π]上的单调递增区间．18．综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A ，B ，C ，D 四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A 等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B 等级的学生有14的概率提升为A 等级：原获C 等级的学生有15的概率提升为B 等级：原获D 等级的学生有16的概率提升为C 等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．(1)若初评中甲获得B 等级，乙、丙获得C 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B 等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；(2)从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C 等级的概率．19．设函数()ln ,mf x x m x=+∈R (1)讨论函数的单调性(2)若函数()()3xg x f x '=-有且只有一个零点时，实数m 的取值范围．20．2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.月份t1234订单数量y （万件）5.25.35.75.8附：相关系数，12211()()()()niii n niii i x x yy r x x yy ===--=--∑∑∑回归方程ˆˆy abx =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为121()()ˆ()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑，ˆay bx =- ， 1.3 1.14≈.(1)试根据样本相关系数r 的值判断订单数量y 与月份t 的线性相关性强弱（0.75||1r ≤≤，则认为y 与t 的线性相关性较强，||0.75r <，则认为y 与t 的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）(2)建立y 关于t 的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，212AB BC ==，23AD CD AC ===，E ，F 分别为AC ，CD 的中点，点G 在PF 上，且G 为三角形PCD 的重心.(1)证明：//GE 平面PBC ；(2)若PA PC =，PA CD ⊥，四棱锥P ABCD -的体积为33，求直线GE 与平面PCD 所成角的正弦值.22．已知函数()1e ln xf x x x ax-=+-.(1)若1a =，求()f x 的极值；(2)若()f x 有三个极值点123,,x x x ，123x x x <<，且132ln 2x x ≤，求a 的最小值.1．C【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，依题意3B ∈且4B ∈，再列举出符合条件的集合B ，即可判断.【详解】由230x x ->，即()30x x -<，解得03x <<，所以{}{}{}2Z 30Z 031,2A x x x x x =∈->=∈<<=，因为{}1,2,3,4A B = ，所以3B ∈且4B ∈，所以符合条件的集合B 有{}3,4或{}1,3,4或{}2,3,4或{}1,2,3,4共4个.故选：C 2．B【分析】根据对数的运算法则，求得211a b +=，且0,0a b >>，利用2(221())a b a b a b+++=，结合基本不等式，即可求解.【详解】由()lg lg lg 2a b a b +=+，可得()lg lg 2ab a b =+，所以2ab a b =+，即211a b+=，且0,0a b >>，则2122222(2)()5529b a b aa b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=，当且仅当22b a a b=，即3a b ==时，等号成立，所以2a b +的最小值为9.故选：B.3．A【分析】利用赋值法可得：令0x =可得01a =；令12x =可得：2023120220230222a a a a ++++= ，即可得出结果.【详解】因为2023220230122023(12)x a a x a x a x -=++++ ，令0x =可得01a =；令12x =可得：202320231202202311202222a a a a ⎛⎫++++=-⨯= ⎪⎝⎭；故20231202202301222a a a a +++=-=-L .故选：A 4．C【分析】根据角度的范围依次判断充分性和必要性，判断得到答案.【详解】sin 20222tan 02k k k k παπαπππαπα>∴<<+∴<<+∴>，充分性；tan 0222k k παπαπ>∴<<+或3222k k πππαπ+<<+222k k παππ∴<<+或42243k k ππαππ+<<+，故sin 20α>，必要性.故选C【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断能力.5．A【分析】将函数()()g x f x b =-有四个不同的零点，转化为函数()y f x =与y b =图象由四个交点，再数形结合即可解答.【详解】依题意，函数()()g x f x b =-有四个不同的零点，即()f x b =有四个解，转化为函数()y f x =与y b =图象由四个交点，由函数函数()y f x =可知，当(),1x ∈-∞-时，函数为单调递减函数，[)0,y ∈+∞；当(]1,0x ∈-时，函数为单调递增函数，(]0,1y ∈；当()0,1x ∈时，函数为单调递减函数，()0,y ∞∈+；当[)1,x ∞∈+时，函数为单调递增函数，[)0,y ∈+∞；结合图象，可知实数b 的取值范围为(]0,1.故选：A 6．D【分析】先由组合及分步计数原理求出恰有3人领取的礼品种类相同的情况，再求出总情况，由古典概型求解即可.【详解】先考虑恰有3人领取的礼品种类相同的，先从5人中选取3人有35C 10=种，再从三类礼品中领取一件有13C 3=，另外2人从剩下的2类礼品中任意选择有224⨯=种，按照分步乘法计数原理可得1034120⨯⨯=种，又总情况有53243=种，故恰有3人领取的礼品种类相同的概率是1204024381=.故选：D.7．B【分析】令()3sin πf x x x =-，利用其单调性比较,a b 大小，令()ln x g x x =，利用其单调性比较,b c 大小.【详解】令()3sin πf x x x =-，则()3cos πf x x '=-，当ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2cos 0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，且π23042πf ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以当ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()3π231sin10π424f f ⎛⎫=-<=-< ⎪⎝⎭，即3sin1π<，则a b <.令()ln x g x x =，则()21ln xg x x -'=，当()e,x ∈+∞，1ln 1ln e 0x -<-=，所以()0g x '<在()e,+∞上恒成立，所以()g x 在()e,+∞上单调递减，所以ln3lnπ3π>，即313log ππ>，所以c b >.综上c b a >>，故选：B.【点睛】方法点睛：对于不同类型的数值比较大小问题，我们可以先把数值进行等价变形化同构，再构造相应的函数，求导研究函数的单调性，最后利用函数的单调性比较大小.8．B【分析】求出正四棱柱的高h ，表示出体积，用导数求得最大值，得正四棱柱为正方体，GH 的最小值就是点G 到EF 的距离，H 为EF 的中点（即EF 与11A C 的交点）时，GH EF ⊥，然后两个11Rt AC A △，11Rt AC B △沿1AC 展开翻折至共面．如图，当M ，G ，H 三点共线时，GH GM +最小，由此计算可得．【详解】正四棱柱的高2232a h =-．222232a V a h a==-，令()()()2421220V a a f a a =-=>，则()()()53312481222f a a a a a a '=-+=-+-，所以()f a 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，所以当2a =时，()f a 的最大值为()264f =．当2a =时，2h =，此时正四棱柱为正方体．GH 的最小值就是点G 到EF 的距离，由正方体的性质知，1111B D A C ⊥，111AA B D ⊥（因为正方体的棱1AA 与底面1111D C B A 垂直，因此1AA 与底面内的直线11B D 垂直），1AA 与11A C 是平面11AA C 内两相交直线，因此11B D ⊥平面11AA C ，而E ，F 分别为11B C ，11C D 的中点，因此11//EF B D ，所以EF ⊥平面11AA C ，易知当H 为EF 的中点时，11H A C ∈，GH Ì平面11AA C ，所以GH EF ⊥，动线段GH ，GM 分别在11Rt AC A △，11Rt AC B △内，将两个平面沿1AC 展开翻折至共面．如图，当M ，G ，H 三点共线时，GH GM +最小，可得1111242HC AC ==，又因为M 为线段1AB 的中点，所以()min322GH GM HM +==．故选：B.【点睛】方法点睛：求空间线段之和的最小值问题，常用方法是把两条线段所在平面剪开摊平到一个平面，利用平面上两点间线段最小的性质求解，这里动点一般在两个平面的交线上，沿此交线摊平两个平面是基本思路．9．AC【分析】根据图表所给出的数据，分别计算出5个社团的具体人数和占高一年级总人数的比例，再逐项求解.【详解】由题目所给的数据可知：民族舞的人数为12，占高一年级总人数的比例为10%，所以高一年级的总人数为1210%120÷=，英文剧场的人数12035%42=⨯=，辩论的人数=30，无人机=数学建模=()120423012218---÷=，占高一年级人数的比例是18100%15%120⨯=，故A 正确，B 错误，分层抽样20人，无人机应派出2015%3⨯=（人），C 正确，甲乙丙三人报名参加社团，每人有5种选法，共有35125=种报名方法，D 错误；故选：AC.10．AB【分析】根据正弦函数的图象和性质逐项进行检验即可求解.【详解】由题知直线1y =与函数()f x 的交点之间的最短距离为π，所以πT =，故A 正确；由A 可知，2π2πω==，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又由ππ33f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以2ππ,3k k ϕ+=∈Z ，即2ππ3k ϕ=-，k ∈Z ，又因为π02ϕ<<，所以当1k =时，π3ϕ=，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,62x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π2π4π2,333x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，2π4π,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ π3π,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故B 正确；因为πππ1sin 2sin 112362⎡⎤⎛⎫⨯-+==≠± ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 错误；函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数()ππsin 2sin263g x x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦为奇函数，故D 错误．故选：AB ．11．BC【分析】本题根据函数对称性，周期性与导数与单调性相关知识可得结果.【详解】因()()2f x f x +=-，则()f x 关于1x =对称，又因()()4f x f x -=-，则()f x 关于()2,0对称，所以()f x 的周期为4，A ：因()()4f x f x -=-，所以()()130f f +=，当01x <≤时，()33f x x x =-，所以()1132f =-=-，∴()32f =，故A 错．B ：当01x <≤时()2330f x x '=-<，∴()f x 在(]0,1上单调递减，()()π4πf f =--，()()()()e 4e 22e e 2f f f f =--=-+-=--，因0e 24π1<-<-<，所以()()e -24πf f >-，即()()e -24πf f -<--，所以()()πe f f >，故B 正确.C ：()f x 关于1x =对称且关于()2,0对称，所以()f x 关于()0,0对称，即()f x 为奇函数，()f x '∴为偶函数，故C 正确.D ：因()f x 在(]0,1上单调递减，()f x 关于()0,0对称，所以()f x 在[)1,0-上单调递减，因()f x 的周期为4，所以()f x 在[)3,4上单调递减，所以702f ⎛⎫'< ⎪⎝⎭，D 错误.故选：BC.12．BCD【分析】取AD 的中点G ，证明BD ⊥平面PGC ，然后由线面垂直的性质定理判断A ，把四棱锥P ABCD -补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断BC ，由BD ⊥平面PGC ，当动点M 到直线BD 的距离最小时HM PC ⊥，从而得M 为PC 的中点，N 为QA 的中点，再由体积公式计算后判断D ．【详解】如图1，取AD 的中点G ，连接GC ，PG ，BD ，GC BD H = ,则PG AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PG ⊂平面PAD ，所以PG ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，则PG BD ⊥．又因为tan tan 1AB CDADB DGC AD GD∠∠=⋅=，所以GC BD ⊥，又PG GC G = ，,PG GC ⊂平面PGC ，所以BD ⊥平面PGC ．因为M ∈平面PGC ，A ∉平面PGC ，所以BD AM ⊥不成立，A 错误．因为△APD 为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面APD 作为底面一部分，补成棱长为1的正方体．如图2，则四棱锥P ABCD -的外接球即为正方体的外接球，其半径32R =，即四棱锥P ABCD -外接球的表面积为3π，B 正确．如图2，直线PC 与直线AD 所成角即为直线PC 与直线BC 所成角，为π3，C 正确．如图1，因为BD ⊥平面PGC ，当动点M 到直线BD 的距离最小时HM PC ⊥，由上推导知PG GC ⊥，22261()22GC =+=，16cos 362DC DCG CG ∠===，6cos 3CH DC DCH =∠=，66GH GC CH =-=，22222266[1()]()263PH PG GH =+=-+=，PH CH =，因此M 为PC 的中点．如图3，由M 为PC 的中点，即为QD 中点,平面ADM 即平面ADQ 与BP 的交点也即为QA 与BP 的交点,可知N 为QA 的中点，故3331144468P ADMN P AQD Q APD V V V ---===⨯=，D 正确．故选：BCD ．【点睛】方法点睛：空间几何体的外接球问题，（1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与该面垂直的直线上，（2）对特殊的几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体或正方体，它们的外接球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径，由此易得球的半径或球心位置．13．52##2.5【分析】利用偶函数的性质求解a ，代入1x =求解即可.【详解】解：因为函数()22xx a f x =+是偶函数，故()()f x f x -=，即1222222x x xx x xa a a --+=+⋅=+，解得1a =.故1()22xx f x =+，则15(1)222f =+=.故答案为：52.14．1【分析】切化弦得2sin cos αα=，从而得()()sin 1sin 1sin ααα=-+，进而得11sin 1sin sin ααα+=-，代入即可求解.【详解】由tan cos αα=，得sin cos cos ααα=，即2sin cos αα=，则()()sin 1sin 1sin ααα=-+，即11sin 1sin sin ααα+=-，所以111sin 111sin sin sin sin ααααα+-=-=-．故答案为：115．10015【分析】根据已知角的关系，在三角形中，利用正余弦定理求解即可.【详解】由题意，30,60DCB CDB ∠=∠= ，所以90CBD ∠= ，所以在Rt CBD △中，13002BD CD ==，330032BC CD ==，又75,45DCA CDA ∠=∠= ，所以60CAD ∠=o ，在ACD 中，由正弦定理得，sin 45sin 60AC CD = ，所以60022006232AC =⨯=，在ABC 中，753045ACB ACD BCD ∠=∠-∠=-= ，由余弦定理得，2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅⋅∠222(2006)(3003)2200630031500002=+-⨯⨯⨯=，所以10015AB =.故答案为：1001516．5-【分析】根据题意，构造函数()()e e 20x xx x x ϕ-=--<，利用导数与函数的单调性得到3πe 2a f a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为函数()f x 的最大值．将问题等价转化为()()33e ln e ln a a a a --->---，再次构造函数()ln g x x x =-和()()3ln 1h t t t t =->，利用导数与函数的单调性即可求解.【详解】()sin esin a xf x a x =-，易知()f x 是周期为2π的周期函数．()()sin cos e 1a x f x a x '=-，当[]0,2πx ∈时，()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递減，3ππ,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递減，又π3πe e 222a a f f a -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且a<0．构造函数()()e e 20x x x x x ϕ-=--<，求得()e e 2x xx ϕ-'=+-，由基本不等式可得，当0x <时，()0x ϕ'>恒成立，所以函数()x ϕ在(),0∞-单调递增，且()00ϕ=，故()0x ϕ<，所以有π3π022f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3πe 2af a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为函数()f x 的最大值．若0x ∃∈R ，使得()3013ln f x a a ⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭成立，即()33max 113ln e 3ln a f x a a a a a -⎛⎫⎛⎫+>⇔++> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，亦即()()()()()3333e ln e ln e ln a a a a a a a a ----->---⇔->---，构造函数()ln g x x x =-，可知()g x 在()0,1x ∈单调递减，在()1,x ∈+∞单调递增．又1a <-，所以e 1a ->，()31a ->，所以()()3e 3ln a a a a ->-⇔->-，令t a =-，则1t >，构造函数()()3ln 1h t t t t =->，可知()h t 在()1,3t ∈单调递减，在()3,t ∈+∞单调递增．又()333ln30h =-<，()223ln 20h =-<，()443ln 40h =-<，()553ln 50h =->，所以满足条件的整数5a -≥，故整数5a ≤-，所以整数a 的最大值为5-．故答案为：5-.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.17．(1)2a =，πT =(2)π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据π142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入求出a ，再利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数的性质计算可得；（2）由正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为π()sin cos cos 26f x a x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且π142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以πππππ2211sin cos cos 2444462222f a a ⎛⎫⎛⎫=+⨯+=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2a =，所以π()2sin cos cos 26f x x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππsin 2cos 2cos sin 2sin66x x x =+-3131πsin 2cos 2sin 2cos 2sin 2sin 222223x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，即()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==；（2）由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，解得5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈，所以()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为5πππ,π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣++⎦-，Z k ∈，当0k =时()f x 的单调递增区间为,12125ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1k =时()f x 的单调递增区间为7π13π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在[0,π]上的单调递增区间为π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.18．(1)分布列见解析，2320(2)18113【分析】（1）求出ξ的所有可能取值及其对应的概率，即可求出ξ的分布列，再由期望公式求出ξ的数学期望；（2）记事件A 为“该学生复评晋级”，事件B 为“该学生初评是C ”，由条件概率公式代入求解即可.【详解】（1）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()1444045525P ξ==⨯⨯=，()12344114141C 45545525P ξ==⨯⨯+⨯⋅⨯=，()1231411112C 4554554P ξ==⨯⋅⨯+⨯⨯=，()31133455100P ξ==⨯⨯=，∴ξ的分布列如下：ξ0123P4251425143100()14191152325210010020E ξ=++==．（2）记事件A 为“该学生复评晋级”，事件B 为“该学生初评是C ”，()()()10.151851111130.60.150.05456P AB P B A P A ⨯===⨯+⨯+⨯．19．(1)见详解(2){|0m m ≤或2}3m =【分析】（1）求导，分0m ≤和0m >讨论可得；（2）将问题转化为3()3,(0)h x x x x =->与3y m =-有且只有一个交点，利用导数讨论()h x 的单调性，结合图象可解.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，()221m x mf x x x x-'=-=，当0m ≤时，()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞单调递增，当0m >时，令20x m x ->解得x >m ，令20x mx-<解得0x m <<，所以，函数()f x 在(,)m +∞单调递增，在(0,)m 上单调递减，综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞单调递增，当0m >时，函数()f x 在(,)m +∞单调递增，在(0,)m 上单调递减.（2）由（1）可得，()()32233333x x m x x x mg x f x x x --+-=-=-='令323303x x mx-+-=，得333m x x -=-，记3()3,(0)h x x x x =->，因为函数()()3xg x f x '=-有且只有一个零，所以函数()h x 与3y m =-有且只有一个交点，令2()330h x x -'=>，得1x >，函数()h x 单调递增，令2()330h x x -'=<，得01x <<，函数()h x 单调递减，又3(1)132h =-=-，于是可得()h x 的图象如图，由图可知，32m -=-或30m -≥，即23m =或0m ≤，所以实数m 的取值范围为{|0m m ≤或2}3m =20．(1)0.96，订单数量y 与月份t 的线性相关性较强(2) 0.22 4.95y t =+，6.05万件【分析】（1）根据公式求出r ，即可得出结论；（2）利用最小二乘法求出回归方程，再令5t =，即可得解.【详解】（1）1234 2.54t +++==，1(5.2 5.3 5.7 5.8) 5.54y =+++=，41()()(1.5)(0.3)(0.5)(0.2)0.50.2 1.50.3 1.1iii t t y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯=∑，4222221()(1.5)(0.5)0.5 1.55i i t t =-=-+-++=∑，4222221()(0.3)(0.2)0.20.30.26ii y y =-=-+-++=∑，∴41442211()()1.11.10.960.751.141.3()()ii i iii i tt y y r tt y y ===--==≈≈>--∑∑∑，∴订单数量y 与月份t 的线性相关性较强；（2） 41421()()1.1ˆ0.225()iii ii t t y y bt t ==--===-∑∑，∴ˆˆ 5.50.22 2.5 4.95a y bt=-=-⨯=，∴线性回归方程为 0.22 4.95y t =+，令5t =， 0.225 4.95 6.05y =⨯+=（万件），即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.21．(1)证明见解析(2)9115115【分析】（1）连接BD ，连接DG 并延长交PC 于点M ，连接BM ，首先说明2DE BE =，由重心的性质得到2DG GM =，即可证明//EG BM ，从而得证；（2）连接PE ，即可得到AC ⊥平面PBD ，连接AF 交DE 于点Q ，即可证明CD ⊥平面PAF ，再连接PQ 即可得到PQ ⊥平面ABCD ，根据锥体的体积求出PQ ，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）证明：连接BD ，因为AB BC =，AD CD =，所以AC BD ⊥，且BD AC E ⋂=，由23AD CD AC ===，得3AE =，3DE =，则2232BE AB AE =-=，所以2DE BE =.连接DG 并延长交PC 于点M ，如图，因为G 为PCD 的重心，所以2DG GM =.连接BM ，因为DE DGBE GM=，所以//EG BM .又EG ⊄平面PBC ，BM ⊂平面PBC ，故//GE 平面PBC .（2）连接PE ，因为PA PC =，所以AC PE ⊥，又AC BD ⊥，BD ，PE ⊂平面PBD ，BD PE E ⋂=，所以AC ⊥平面PBD .连接AF 交DE 于点Q ，则113EQ DE ==，AF CD ⊥.又PA CD ⊥，PA ，AF ⊂平面PAF ，PA AF A ⋂=，所以CD ⊥平面PAF .连接PQ ，PQ ⊂平面PAF ，则CD PQ ⊥，因为AC ⊥平面PBD ，PQ ⊂平面PBD ，所以AC PQ ⊥，因为AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ABCD ，所以PQ ⊥平面ABCD .易得四边形ABCD 的面积为1193222AC BE AC DE ⨯+⨯=，由四棱锥P ABCD -的体积为33得，1933332PQ ⨯⨯=，所以2PQ =.以E 为坐标原点，以EC ，ED 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，则()0,0,0E ，30,,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()3,0,0C，()0,3,0D ，()0,1,2P ，()3,3,0CD =- ，()0,2,2PD =-.设平面PCD 的法向量为(),,m x y z = ，则00m CD m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ,即330220x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩,取3x =，可得()3,1,1m =u r，由（1）可知，M 为PC 的中点，则31,,122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以3,2,12BM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知，//EG BM ，所以直线GE 与平面PCD 所成的角等于直线BM 与平面PCD 所成的角，设为θ，所以991152sin cos ,1152354m BM m BM m BMθ⋅====⨯，故直线GE 与平面PCD 所成角的正弦值为9115115.22．(1)()f x 的极小值为()10f =，无极大值(2)2e ln 2【分析】（1）根据极值的定义，利用导数可求出结果；（2）当1a ≤时，利用导数可知，函数()f x 只有一个极值点，不符合题意；当1a >时，利用导数以及零点存在性定理可知，12301ln 1x x a x <<=<+<，设()311,x t x =∈+∞，推出13ln ln ,11t t t x x t t ==--，13ln 1t t x x t =-，由132ln 2x x ≤推出2t ≥，由1ln 1tx t =-推出10ln 2x <≤，由111e x a x -=推出a 的范围即可得解.【详解】（1）依题意，1a =时，()()1e ln 0xf x x x x x-=+->，所以()()()()11221e 1e 11x x x x x f x x x x -----'=+-=，记()1ex q x x -=-，则()1e 1x q x -'=-，当01x <<时，()0q x '<，()q x 单调递减；当1x >时，()0q x '>，()q x 单调递增；所以()()10q x q ≥=，当且仅当1x =取等号，即1e 0x x --≥，所以()(),,x f x f x '变化情况如下：x()0,11()1,+∞()f x '-+()f x 单调递减极小值单调递增所以()f x 的极小值为()10f =，无极大值.（2）()()()()11221e e 111x x x ax x f x ax x ax -----'=+-=，①当1a ≤时，由（1）可知，1e 0x x --≥，当且仅当1x =取等号，所以当0x >时，11e e 0x x ax x ---≥-≥，所以当01x <<时，()0f x '≤，()f x 单调递减，当1x >时，()0f x '≥，()f x 单调递增；所以()f x 只有一个极值点，舍去.②当1a >时，记()()11e,e x x r x ax r x a --'=-=-，所以当0ln 1x a <<+时，()0r x '<，()r x 单调递减；当ln 1x a >+时，()0r x '>，()r x 单调递增；()()()()min 1ln 1ln 0,00,110er x r a a a r r a =+=-<=>=-<，由零点存在性定理知存在唯一()10,1x ∈，使得()10r x =，即111e x ax -=，由（1）有1ex x -≥，所以当2x >时，有12e2x x ->，所以222e e 2x x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，取{}max 2,e m a =，则()121e 0e e m m r m am m am m a -⎛⎫=->-=-≥ ⎪⎝⎭，由零点存在性定理知存在唯一()3ln 1,x a m ∈+，使得()31330,e x r x ax -==由以上推理知1301ln 1x a x <<<+<，且有当10x x <<或3x x >时，()0r x >；当13x x x <<时，()0r x <，所以()(),,x f x f x '变化情况如下：x()10,x 1x ()1,1x 1()31,x 3x ()3,x +∞()f x '-+-+()f x 单调递减极小值单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以()f x 有三个极值点13,1,x x （其中21x =），此时131113e e x x ax ax --⎧=⎨=⎩，两式相除得1331ex x x x -=，①设()311,x t x =∈+∞，②由①②可得13ln ln ,11t t t x x t t ==--，所以13ln 1t tx x t =-，记()()ln 11t t g t t t =>-，则()()()()()2211ln 1ln 2112ln 1121t t t t t t t t g t t t t t t ⎛⎫+-- ⎪⎛⎫-+⎝⎭'==-- ⎪+--⎝⎭，设()()()221ln 11t r t t t t -=->+，则()()()222101t r t t t -'=≥+，所以()()2210r t r >=，从而()0g t '<，所以()g t 在()1,+∞上单调递减，又因为132ln 2x x ≤，即()()2g t g ≤，所以2t ≥，此时1ln 1t x t =-，记()()3ln 21t r t t t =≥-，()()3211ln 1t t r t t --'=-，由（1）有1e x x -≥，所以当0t >时有111e t t-≥，111ln t t -≥，所以11ln 0t t --≤，所以()30r t '≤，()3r t 在[)2,+∞单调递减，所以()()1332ln 2x r t r =≤=，故10ln 2x <≤，此时111e x a x -=，记()()14e 0ln 2x r x x x -=<≤，()()142e 10x x r x x --'=<，所以()()4142ln 2e ln 2a r x r =≥=，故a 的最小值为2e ln 2.【点睛】关键点点睛：求a 的最大值的关键是用极值点1x 表示a ，再利用1x 的范围求出a 的范围.根据1()0f x '=可得111e x a x -=，根据131113e e x x ax ax --⎧=⎨=⎩以及132ln 2x x ≤可得10ln 2x <≤.。

2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：108 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1. 直线与轴交于点，把 绕点顺时针旋转得直线，的倾斜角为，则（ ）A.B.C.D.2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围为( )A.B.C.D.3. 如图，已知，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是( )A.B.C.l :x −y +2=03–√x A l A 45∘m m αcos α=−+6–√2–√4−2–√6–√4+6–√2–√4−6–√2–√4+k =2x 2y 2y k (0,+∞)(0,2)(1,+∞)(0,1)A(4,0)B(0,4)P(2,0)AB OB OB P 25–√33–√6210−−√D.4. 设集合，，当时，的取值范围是（ ）A.B.C.D.5. 平面内已知点，，若动点满足，则点的轨迹是（ ）A.线段B.双曲线C.抛物线D.椭圆6. 过双曲线：的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交另外一条渐近线于点，若，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.7. 过点且垂直于直线的直线方程为( )A.B.C.D.8. 在正四面体中，，分别是棱，的中点，，分别是直线，上的动点，且满足，是的中点，则点的轨迹围成的区域的面积是( )210−−√M ={(x,y)|+≤4}x 2y 2N ={(x,y)|(x −1+(y −1≤(r >0)})2)2r 2M ∩N =N r [0,−1]2–√[0,1](0,2−]2–√(0,2)A (−3，0)B (3，0)P |PA|+|PB|=6PC −=1x 2a 2y 2b 2F y =x b a A B |FB|=3|FA|C 2–√3–√22–√342–√3P(−1,3)x −2y +3=02x +y −1=02x +y −5=0x +2y −5=0x −2y +7=0ABCD P Q AB CD E F AB CD |PE|+|QF|=a M EF M 2A.B.C.D.9. 已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于，两点，且弦被点平分，则直线的方程为（ ）A.B.C.D.10. 已知半径为的动圆与定圆＝相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）A.＝B.＝或＝C.＝D.＝或＝11. 设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是( )A.B.C.D.12. 已知椭圆的右焦点为，点为椭圆内一点．若椭圆上存在一点，使得，则的取值范围是（ ）A.B.a 24a 22πa 24πa 22C :+=1y 29x 2P(，)1212C A B AB P AB 9x −y −4=09x +y −5=04x +2y −3=04x −2y −1=01(x −5+(y +7)2)216(x −5+(y +7)2)225(x −5+(y +7)2)23(x −5+(y +7)2)215(x −5+(y +7)2)29(x −5+(y +7)2)225(x −5+(y +7)2)29M (,1)x 0O :+=1x 2y 2N ∠OMN =60∘x 0[−,]3–√33–√3[−1,1][−,]2–√2–√[−,]3–√3–√C :+=1(m >4)x 2m y 2m −4F A(−2,2)C C P |PA|+|PF|=8m (6+,25]5–√[9,25](6+2,20]–√C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）13. 空间直角坐标系中的点与之间的距离是________．14. 三条直线，，不能围成三角形，则的取值集合是________．15. 已知双曲线经过点，它的一条渐近线方程为．则双曲线的标准方程是________．16. 已知点，是椭圆 的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若椭圆的离心率为，且，则椭圆的方程为________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17. 已知直线，求直线的方程，使得：与平行，且过点；与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为 18. 在平面直角坐标系中，点的坐标为；以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，点的极坐标为，曲线的极坐标方程为．若点为曲线上的动点，求线段的中点的轨迹的直角坐标方程；在的条件下，若过点的直线与曲线相交于，两点，求的值．19. 先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，．求直线与圆相切的概率；将，，的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．20. 已知双曲线：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为．求双曲线的方程；过点作两条相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点，求点到直线距离的最大值．21. 已知，直线.(6+2,20]5–√[3,5]A(2,3,5)B(3,1,4)x +y +1=02x −y +8=0ax +3y −5=0a C C(1,1)y =x 3–√C F 1F 2C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2F 1F 1F 2P C 23=S △PF 1F 215−−√C :2x +3y +6=0l 1l 2(1)l 2l 1(2,−1)(2)l 2l 1l 2 3.xOy P (1,0)O x M (2,)2–√3π4C 1ρ=4cos θ(1)N C 1MN T C 2(2)(1)P l C 2A B |PA|⋅|PB|2a b (1)ax +by +5=0+=1x 2y 2(2)a b 5Γ−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2P(2,1)F 1(1)Γ(2)P PA PB ΓA B P AB ⊙C :+−2x −4y −20=0x 2y 2l :(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0(1)l ⊙C求证：直线与恒有两个交点；若直线与的两个不同交点分别为，．求线段中点的轨迹方程，并求弦的最小值．22. 已知椭圆：的左、右焦点分别为．直线与交于，两点，，为椭圆上任意一点，且 的最大值为求椭圆的方程；过椭圆的上顶点作两条不同的直线，分别交椭圆于另一点和（异于），若直线，的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标.(1)l ⊙C (2)l ⊙C A B AB P AB C +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2,F 1F 2y =3b 5C A B ∠A B =F 290∘M C |M |⋅|M |F 1F 216.(1)C (2)C N C P Q N NP NQ 6PQ参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】设的倾斜角为，则，∴由题意知∴故选：．2.【答案】D【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】利用椭圆的定义求解．【解答】解：∵表示焦点在轴上的椭圆，把转化为椭圆的标准方程，得，∴，解得．∴实数的取值范围是．故选．1θtan θ=3–√θ=60∘α=θ−=−45∘60∘45∘cos α=cos(−)=cos cos +sin sin sin 60∘45∘60∘45∘60∘45∘45∘=×+×=+122–√23–√22–√22–√44–√C +k =2x 2y 2y +k =2x 2y 2+=1x 22y 22k>22k 0<k <1k (0,1)D3.【答案】D【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】设点关于轴的对称点，点关于直线的对称点″，由对称特点可求和″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程″．【解答】解：点关于轴的对称点坐标是.设点关于直线的对称点.∴解得∴光线所经过的路程.故选．4.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】由题意可得、分别表示两个圆面，且这两个圆相内含或内切，，即，由此求得的取值范围．【解答】解：集合表示以原点为圆心、半径等于的圆面（圆及圆的内部），集合表示以为圆心、半径等于的圆面（圆及圆的内部）．当时，圆内含或内切与圆，故有，即，∴，故选．5.【答案】AP y P'P AB :x +y −4=0P P'P |P'P |P y P ′(−2,0)P AB :x +y −4=0P ′′(a,b) ×(−1)=−1，b −0a −2+−4=0，a +22b +02{a =4，b =2，|P ′P ′′|=210−−√D M N |CO |≤2−r ≤2−r 2–√r M O(0,0)2N C(1,1)r M ∩N =N C O |CO |≤2−r ≤2−r 2–√0<r ≤2−2–√C【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】B【考点】双曲线的离心率双曲线的渐近线【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，因为直线经过右焦点且与渐近线垂直，所以直线的方程为，与方程联立，解得，AB F :y =x l 1b a AB y =−(x −c)a b y =x b a A (,)a 2c ab c (,)−322因为，所以求得，再将点的坐标代入到方程当中，解得．故选．7.【答案】A【考点】直线的点斜式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】根据题意，易得直线的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过定点坐标，由点斜式得所求直线方程．【解答】解：根据题意，易得直线的斜率为，由直线垂直的斜率关系，可得所求直线的斜率为，又知其过点，由点斜式得所求直线方程为．故选.8.【答案】B【考点】轨迹方程【解析】【解答】解： 如图，取，，，中点为，，，，|FB|=3|FA|B (,)−3c 2b 2c 3ab c B y =−x b a e =3–√B x −2y +3=012−2x −2y +3=012−2P(−1,3)2x +y −1=0A BC BD AC AD G H K L因为，是定点，所以的中点为定点，由对称性可知，，中点在中裁面上运动， ，.①又在正四面体中，对棱垂直，，以所在直线在平面上的投影为轴，所在直线在平面上的投影为轴，点在平面上的投影为，点在平面上的投影为，设点，，，由.②由①可得，即，，代入②式可得，画出点的轨迹为对角线长为的正方形，则点的轨迹围成的区域的面积是.故选.9.【答案】B【考点】P Q PQ O PQ EF GHLK ∵=++=++OM −→−OP −→−PE −→−EM −→−OQ −→−QF −→−FM −→−∴=(+)OM −→−12PE −→−QF −→−∴PE ⊥QF AB GHLK x CD GHLK y E GHLK E ′F GHLK F ′M(x,y)(,0)E ′x E ′(0,)F ′y F ′|PE|+|QF|=||+||=a x E ′y F ′=(+)OM −→−12OE ′−→−OF ′−→−x =12x E ′y =12y F ′|x|+|y|=a 2E a M a 22B与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】设出、的坐标利用中点坐标建立方程组，求出直线的斜率，进一步利用点斜式求得直线方程．【解答】解：已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于，两点，设，，则 ①， ②，联立成方程组，①②得：③.∵是，的中点，则，，代入③得，，则直线的方程为，整理得：.故选.10.【答案】D【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】由圆的方程找出圆心坐标和半径，又已知圆的半径，分两种情况考虑，当圆与圆内切时，动点的运动轨迹是以为圆心，半径为的圆；当圆与圆外切时，动点的轨迹是以为圆心，半径为上网圆，分别根据圆心坐标和求出的圆的半径写出圆的标准方程即可．【解答】由圆：＝，得到的坐标为，半径＝，且圆的半径＝，根据图象可知：当圆与圆内切时，圆心的轨迹是以为圆心，半径等于＝＝的圆，则圆的方程为：＝；当圆与圆外切时，圆心的轨迹是以为圆心，半径等于＝＝的圆，则圆的方程为：＝．综上，动圆圆心的轨迹方程为：＝或＝．11.【答案】A B +=1y 29x 2P(，)1212A B A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=1y 219x 21+=1y 229x 22−+(+)(−)=0(+)(−)y 1y 2y 1y 29x 1x 2x 1x 2P(,)1212A B +=1x 1x 2+=1y 1y 2k ==−9−y 1y 2−x 1x 2AB y −=−9(x −)12129x +y −5=0B A R B r B A B A R −r B A B A R +r A (x −5+(y +7)2)216A (5,−7)R 4B r 1B A B A R −r 4−13B (x −5+(y +7)2)29B A B A R +r 4+15B (x −5+(y +7)2)225(x −5+(y +7)2)225(x −5+(y +7)2)29直线与圆的位置关系【解析】利用直线与圆的位置关系，结合图象即可得到答案.【解答】解：已知点，要使圆存在点，使得，则的最大值大于或等于时一定存在点，使得，因为点在直线动，而当与圆相切时取得最大值，此时 ，，只有时，才能找到符合条件的点，因为，所以的取值范围是.故选.12.【答案】A【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）M (,1)x 0O :+=1x 2y 2N ∠OMN =60∘∠OMN 60∘N ∠OMN =60∘M y =1MN ∠OMN ON =1|MN|==|ON|tan 60∘3–√3|MN|≤3–√3M (,1)x 0||=|MN|x 0x 0[−,]3–√33–√3A【考点】空间两点间的距离公式【解析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：空间直角坐标系中的点与之间的距离：．故答案为：．14.【答案】【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】根据三条直线不能构成三角形的条件，即可求出的取值集合．【解答】解：依题意，当三条直线中有两条平行或重合，或三条直线交于一点时，三条直线不能构成三角形，∵直线与相交于点，当直线经过点时，，解得．直线，，的斜率分别为，，，当直线与平行，得，解得．当直线与平行，得，解得．故答案为：15.6–√A(2,3,5)B(3,1,4)=(2−3+(3−1+(5−4)2)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√6–√6–√{，3，−6}13a x +y +1=02x −y +8=0(−3,2)ax +3y −5=0(−3,2)−3a +6−5=0a =13x +y +1=02x −y +8=0ax +3y −5=0−12−a 3x +y +1=0ax +3y −5=0−=−1a 3a =32x −y +8=0ax +3y −5=0−=2a 3a =−6{，3，−6}13【答案】【考点】双曲线的标准方程【解析】根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可将双曲线的方程设为，将点坐标代入可得的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可设双曲线的方程为，将点代入可得，．故答案为：．16.【答案】【考点】椭圆的离心率三角形的面积公式解三角形椭圆的标准方程椭圆的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，，由椭圆的定义可得，所以，从而，−=13x 22y 22C y =x 3–√−3=λ(λ≠0)y 2x 2C λC y =x 3–√−3=λ(λ≠0)y 2x 2C(1,1)λ=−2−=13x 22y 22−=13x 22y 22+=1x 29y 25|P |=||=2c F 1F 1F 2|P |=2a −2c F 2cos ∠P ===(−1)=F 2F 1|P |F 22||F 1F 2a −c 2c 121e 14sin ∠P =F 2F 115−−√42因为椭圆的离心率为，所以，又，解得，所以，，故椭圆的方程为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ）17.【答案】解：设，∵过点，∴，解得，∴的方程为： .设，设与轴交于点，与轴交于点），∴，∴，，∴的方程为：或.【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】解：（）设，∵过点，∴，解得所以的方程为： 解：（2）设，设与（轴交于点，与少轴交于点）∴，∴所以的方程为：或【解答】解：设，∵过点，∴，解得，∴的方程为： .设，设与轴交于点，与轴交于点），∴，∴，，∴的方程为：或.=c a 23=⋅|P |⋅||sin ∠P S △PF 1F 212F 2F 1F 2F 2F 1=c(a −c)=15−−√215−−√4c 2=S △PF 1F 215−−√=4c 2=9a 2=5b 2C +=1x 29y 25+=1x 29y 25(1):2x +3y +m =0l 2l 2(2,−1)4−3+m =0m =−1l 22x +3y −1=0(2):3x −2y +p =0l 2l 2x M (−,0)p 3y H(0,p 2=|(−)⋅|=3S △MOH 12p 3p 2=36p 2∴p =±6l 23x −2y +6=03x −2y −6=01:2x +3y +m =0l 2l 2(2,−1)4−3+m =0m =−1l 22x +3y −1=0:3x −2y +p =0l 2l 2M (−,0)p 3H(0,p 2=[−)⋅|=3S △MOH 12p 3p 2=36p 2∴p =±6I 23x −2y +6=03x −2y −6=0(1):2x +3y +m =0l 2l 2(2,−1)4−3+m =0m =−1l 22x +3y −1=0(2):3x −2y +p =0l 2l 2x M (−,0)p 3y H(0,p 2=|(−)⋅|=3S △MOH 12p 3p 2=36p 2∴p =±6l 23x −2y +6=03x −2y −6=018.【答案】解：点的直角坐标方程为，将，，代入曲线的极坐标方程，所以曲线的直角坐标方程为，整理为．设点的坐标为，点的坐标为，则，由为的中点，有 得 代入，得，整理得，故线段的中点的轨迹的直角坐标方程为；设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），，对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程后整理为，得，，所以．所以的值为．【考点】点的极坐标和直角坐标的互化参数方程的优越性圆的极坐标方程直线与圆相交的性质轨迹方程【解析】左侧图片未给出解析【解答】解：点的直角坐标方程为，将，，代入曲线的极坐标方程，所以曲线的直角坐标方程为，整理为．设点的坐标为，点的坐标为，则，由为的中点，有 得 代入，得，整理得，故线段的中点的轨迹的直角坐标方程为；设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数），，对应的参数分别为，，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程后整理为，得，，所以．(1)M (−2,2)ρ=+x 2y 2−−−−−−√x =ρcos θy =ρsin θC 1C 1+−4x =0x 2y 2+=4(x −2)2y 2T (x,y)N (m,n)+=4(m −2)2n 2T MN {2x =m −2,2y =n +2,{m =2x +2,n =2y −2,+=4(m −2)2n 24+=4x 2(2y −2)2+=1x 2(y −1)2MN T C 2+=1x 2(y −1)2(2)l θl {x =1+t cos θ,y =t sin θ,t A B t 1t 2l C 2+2(cos θ−sin θ)t +1=0t 2+=−2(cos θ−sin θ)t 1t 2⋅=1t 1t 2|PA|⋅|PB|=||=1t 1t 2|PA|⋅|PB|1(1)M (−2,2)ρ=+x 2y 2−−−−−−√x =ρcos θy =ρsin θC 1C 1+−4x =0x 2y 2+=4(x −2)2y 2T (x,y)N (m,n)+=4(m −2)2n 2T MN {2x =m −2,2y =n +2,{m =2x +2,n =2y −2,+=4(m −2)2n 24+=4x 2(2y −2)2+=1x 2(y −1)2MN T C 2+=1x 2(y −1)2(2)l θl {x =1+t cos θ,y =t sin θ,t A B t 1t 2l C 2+2(cos θ−sin θ)t +1=0t 2+=−2(cos θ−sin θ)t 1t 2⋅=1t 1t 2|PA|⋅|PB|=||=1t 1t 2|PA|⋅|PB|所以的值为．19.【答案】解：先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，，则事件总数为．∵直线与圆相切的充要条件是：，即：.由于，，∴满足条件的情况只有，或，，两种情况．∴直线与圆相切的概率是.先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，，事件总数为．∵三角形的一边长为，∴时，，∴时，，∴时，或，∴时，或，∴时，或或或或或，∴时，或，∴这三条线段能构成等腰三角形的共有(种)．而所有的情况共有(种)，故三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】本题考查的知识点是古典概型，我们要列出一枚骰子连掷两次先后出现的点数所有的情况个数（1）再根求出满足条件直线与圆的事件个数，然后代入古典概型公式即可求解；（2）再根求出满足条件，，的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的事件个数，然后代入古典概型公式即可求解．【解答】解：先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，，则事件总数为．∵直线与圆相切的充要条件是：，即：.由于，，∴满足条件的情况只有，或，，两种情况．|PA|⋅|PB|1(1)2a b 6×6=36ax +by +5=0+=1x 2y 2=15+a 2b2−−−−−−√+=25a 2b 2a b ∈{1,2,3,4,5,6}a =3b =4a =4b =3ax +by +5=0+=1x 2y 2=236118(2)2a b 6×6=365a =1b =5a =2b =5a =3b =35a =4b =45a =5b =123456a =6b =561+1+2+2+6+2=146×6=36=1436718ax +by +5=0+=1x 2y 2a b 5(1)2a b 6×6=36ax +by +5=0+=1x 2y 2=15+a 2b 2−−−−−−√+=25a 2b 2a b ∈{1,2,3,4,5,6}a =3b =4a =4b =321∴直线与圆相切的概率是.先后次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为，，事件总数为．∵三角形的一边长为，∴时，，∴时，，∴时，或，∴时，或，∴时，或或或或或，∴时，或，∴这三条线段能构成等腰三角形的共有(种)．而所有的情况共有(种)，故三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为．20.【答案】解：将的坐标代入双曲线的方程，可得，由焦点到一条渐近线的距离为，可得，解得，即有双曲线的方程为；①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去，得，设，可得，解得，，∴点的坐标为，同理算出的坐标为，因此，直线的方程为，化简得即,ax +by +5=0+=1x 2y 2=236118(2)2a b 6×6=365a =1b =5a =2b =5a =3b =35a =4b =45a =5b =123456a =6b =561+1+2+2+6+2=146×6=36=1436718(1)P −=14a 21b 2F(c,0)y =x b a 1d ==b =1|bc|+a 2b 2−−−−−−√a =2–√Γ−=1x 22y 2(2)PA PA y −1=k(x −2){y =kx +1−2k ，−2=2，x 2y 2y (1−2)−4k(1−2k)x −2(4−4k +2)=0k 2x 2k 2A(m,n)2m =2(4−4k +2)k 22−1k 2m =4−4k +2k 22−1k 2n =−2+4k −1k 22−1k 2A (,)4−4k +2k 22−1k 2−2+4k −1k 22−1k 2B (,)2+4k +4k 22−k 2−−4k −2k 22−k 2AB =y −−2+4k −1k 22−1k 2−−−4k −2k 22−k 2−2+4k −1k 22−1k 2x −4−4k +2k 22−1k 2−2+4k +4k 22−k 24−4k +2k 22−1k 2(−)(y −)2+4k +4k 22−k 24−4k +2k 22−1k 2−2+4k −1k 22−1k 2=(−)(x −)−−4k −2k 22−k 2−2+4k −1k 22−1k 22+4k +4k 22−k 2(y +)8+4+4k −8k 4k 3(2−)(2−1)k 2k 22−4k +1k 22−1k 2=(x −)−4−4−4k −4k 4k 3(2−)(2−1)k 2k 24−4k +2k 22−1k 22++k −2)(y +)2−4k +12即.取，化简得直线方程为；取，化简得直线方程为．∵直线与直线交于点，∴猜想所有的直线经过点，∵将代入直线方程，得左右两边相等，∴直线恒经过定点．②当直线的斜率不存在时，可得，，此时直线的方程为，得直线经过上述的点．综上所述，可得直线恒经过定点，其坐标为．当时，到直线的距离最大，且为．【考点】直线与双曲线结合的最值问题双曲线的标准方程点到直线的距离公式【解析】（1）将的坐标代入双曲线的方程，再由点到直线的距离公式，可得，解得，进而得到双曲线的方程；（2）若直线的斜率存在，设方程为，将其与双曲线方程联解得到点关于的坐标形式，同理得到点关于的坐标形式．由直线方程的两点式列式得到直线含有参数的形式，化简后取特殊的值找到可能经过的定点为，再代入方程加以检验可得所有的直线都经过点．在直线的斜率不存在时，易得的方程为，直线也经过上述的点．由此即可得到直线恒经过定点，其坐标为．当垂直于时，取得最大值．【解答】解：将的坐标代入双曲线的方程，可得，由焦点到一条渐近线的距离为，可得，解得，即有双曲线的方程为；①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去，得，(2++k −2)(y +)k 4k 32−4k +1k 22−1k 2=(−−−k +1)(x −)k 4k 34−4k +2k 22−1k 2k =1AB y =−x +3k =2AB y =−x +5834y =−x +3y =−x +5834P(6,−3)AB P(6,−3)P(6,−3)AB P(6,−3)PA A(2,−1)B(−2,1)AB y =−x 12P AB M (6,−3)PM ⊥AB P AB =4(2−6+(1+3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√2–√P b =1a PA y −1=k(x −2)A k B k AB k k P(6,−3)AB P PA AB y =−x 12P AB M (6,−3)PM AB (1)P −=14a 21b 2F(c,0)y =x b a 1d ==b =1|bc|+a 2b 2−−−−−−√a =2–√Γ−=1x 22y 2(2)PA PA y −1=k(x −2){y =kx +1−2k ，−2=2，x 2y 2y (1−2)−4k(1−2k)x −2(4−4k +2)=0k 2x 2k 2m =2(4−4k +2)2设，可得，解得，，∴点的坐标为，同理算出的坐标为，因此，直线的方程为，化简得即,即.取，化简得直线方程为；取，化简得直线方程为．∵直线与直线交于点，∴猜想所有的直线经过点，∵将代入直线方程，得左右两边相等，∴直线恒经过定点．②当直线的斜率不存在时，可得，，此时直线的方程为，得直线经过上述的点．综上所述，可得直线恒经过定点，其坐标为．当时，到直线的距离最大，且为．21.【答案】证明：，即，圆心，半径.又直线，化为，由解得所以直线恒过定点，由，A(m,n)2m =2(4−4k +2)k 22−1k 2m =4−4k +2k 22−1k 2n =−2+4k −1k 22−1k 2A (,)4−4k +2k 22−1k 2−2+4k −1k 22−1k 2B (,)2+4k +4k 22−k 2−−4k −2k 22−k 2AB =y −−2+4k −1k 22−1k 2−−−4k −2k 22−k 2−2+4k −1k 22−1k 2x −4−4k +2k 22−1k 2−2+4k +4k 22−k 24−4k +2k 22−1k 2(−)(y −)2+4k +4k 22−k 24−4k +2k 22−1k 2−2+4k −1k 22−1k 2=(−)(x −)−−4k −2k 22−k 2−2+4k −1k 22−1k 22+4k +4k 22−k 2(y +)8+4+4k −8k 4k 3(2−)(2−1)k 2k 22−4k +1k 22−1k 2=(x −)−4−4−4k −4k 4k 3(2−)(2−1)k 2k 24−4k +2k 22−1k 2(2++k −2)(y +)k 4k 32−4k +1k 22−1k 2=(−−−k +1)(x −)k 4k 34−4k +2k 22−1k 2k =1AB y =−x +3k =2AB y =−x +5834y =−x +3y =−x +5834P(6,−3)AB P(6,−3)P(6,−3)AB P(6,−3)PA A(2,−1)B(−2,1)AB y =−x 12P AB M (6,−3)PM ⊥AB P AB =4(2−6+(1+3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−√2–√(1)⊙C :+−2x −4y −20=0x 2y 2+=25(x −1)2(y −2)2C (1,2)r =5l :(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0m(2x +y −7)+(x +y −4)=0{2x +y −7=0,x +y −4=0,{x =3,y =1,l Q (3,1)|CQ|==<5+(3−1)2(1−2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√Q C l ⊙C可得在圆内，则直线与恒有两个交点．解：由题意知，设点为弦的中点，由可知，所以点的轨迹方程是以为直径的圆，线段的中点为，，则线段中点的轨迹方程为.由圆的几何性质可知，当是弦的中点时，最小．弦心距，的半径为，可得.【考点】直线与圆的位置关系直线恒过定点圆的标准方程与一般方程的转化轨迹方程【解析】【解答】证明：，即，圆心，半径.又直线，化为，由解得所以直线恒过定点，由，可得在圆内，则直线与恒有两个交点．解：由题意知，设点为弦的中点，由可知，所以点的轨迹方程是以为直径的圆，线段的中点为，，则线段中点的轨迹方程为.由圆的几何性质可知，当是弦的中点时，最小．弦心距，的半径为，可得.22.【答案】Q C l ⊙C (2)P (x,y)AB (1)CP ⊥PQ P CQ CQ (2,)32|CQ|=5–√AB P +=(x −2)2(y −)32254Q (3,1)AB |AB|d =|CQ|=5–√⊙C 5|AB =2=4|max −52()5–√2−−−−−−−−−√5–√(1)⊙C :+−2x −4y −20=0x 2y 2+=25(x −1)2(y −2)2C (1,2)r =5l :(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0m(2x +y −7)+(x +y −4)=0{2x +y −7=0,x +y −4=0,{x =3,y =1,l Q (3,1)|CQ|==<5+(3−1)2(1−2)2−−−−−−−−−−−−−−−√5–√Q C l ⊙C (2)P (x,y)AB (1)CP ⊥PQ P CQ CQ (2,)32|CQ|=5–√AB P +=(x −2)2(y −)32254Q (3,1)AB |AB|d =|CQ|=5–√⊙C 5|AB =2=4|max −52()5–√2−−−−−−−−−√5–√ =1,22解：联立方程组解得或不妨设，则．因为，所以，所以，即．因为，所以．故椭圆的方程为．证明：当直线的斜率存在时，显然斜率不为，否则直线，的斜率之和为，不合题意．设直线的方程为，，．联立得，由，得，则．①由，得，②将①代入②，整理得，所以即所以直线恒过定点．当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，其中，即由，得所以.故当直线的斜率不存在时，直线也过定点.综上所述，直线恒过定点．【考点】(1) +=1,x 2a 2y 2b 2y =b,35x =−,4a 5y =b,35x =,4a 5y = b.35A (−a,b),B (a,b)45354535=(−c −,),=(−c +,)A F 2−→−4a 53b 5B F 2−→−4a 53b 5∠A B =F 290∘⋅=−+=0A F 2−→−B F 2−→−c 21625a 2925b 29=16a 2b 23a =4b |M |⋅|M |≤==16F 1F 2()|M |+|M |F 1F 222a 2a =4,b =3C +=1x 216y 29(2)PQ 0NP NQ 0PQ y =kx +m(k ≠0,m ≠3)P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2{y =kx +m,9+16=144,x 2y 2(9+16)+32kmx +16−144=0k 2x 2m 2Δ>0<16+9m 2k 2+=−,=x 1x 232km 9+16k 2x 1x 216−144m 29+16k 2+=6k NP k NQ +k +m −3x 1x 1k +m −3x 2x 2=2k +(m −3)×=6+x 1x 2x 1x 2m =k −3y =kx +k −3y +3=k (x +1)PQ (−1,−3)PQ PQ x =,P (,),Q (,)x 0x 0y 1x 0y 2=−y 2y 1+=0.y 1y 2+=6k NP k NQ +−3y 1x 0−3y 2x 0===6.+−6y 1y 2x 0−6x 0=−1x 0PQ PQ (−1,−3)PQ (−1,−3)圆锥曲线中的定点与定值问题直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】无无【解答】解：联立方程组解得或不妨设，则．因为，所以，所以，即．因为，所以．故椭圆的方程为．证明：当直线的斜率存在时，显然斜率不为，否则直线，的斜率之和为，不合题意．设直线的方程为，，．联立得，由，得，则．①由，得，②将①代入②，整理得，所以即所以直线恒过定点．当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，其中，即由，得所以.(1) +=1,x 2a 2y 2b 2y =b,35 x =−,4a 5y =b,35 x =,4a 5y = b.35A (−a,b),B (a,b)45354535=(−c −,),=(−c +,)A F 2−→−4a 53b 5B F 2−→−4a 53b 5∠A B =F 290∘⋅=−+=0A F 2−→−B F 2−→−c 21625a 2925b 29=16a 2b 23a =4b |M |⋅|M |≤==16F 1F 2()|M |+|M |F 1F 222a 2a =4,b =3C +=1x 216y 29(2)PQ 0NP NQ 0PQ y =kx +m(k ≠0,m ≠3)P(,)x 1y 1Q(,)x 2y 2{y =kx +m,9+16=144,x 2y 2(9+16)+32kmx +16−144=0k 2x 2m 2Δ>0<16+9m 2k 2+=−,=x 1x 232km 9+16k 2x 1x 216−144m 29+16k 2+=6k NP k NQ +k +m −3x 1x 1k +m −3x 2x 2=2k +(m −3)×=6+x 1x 2x 1x 2m =k −3y =kx +k −3y +3=k (x +1)PQ (−1,−3)PQ PQ x =,P (,),Q (,)x 0x 0y 1x 0y 2=−y 2y 1+=0.y 1y 2+=6k NP k NQ +−3y 1x 0−3y 2x 0===6.+−6y 1y 2x 0−6x 0=−1x 0PQ PQ (−1,−3)故当直线的斜率不存在时，直线也过定点.综上所述，直线恒过定点．PQ PQ (−1,−3)PQ (−1,−3)。

2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1. 命题“中，若，则是钝角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是A.B.C.D.2. 现有名同学去听同时进行的个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( )A.B.C.D.3. 已知命题：函数的导函数为；：函数的导函数为，则下列命题中为真命题的是（ ）A.B.C.D.4. 若命题“如果，那么”为真，则（ ）A.B.非非C.非非D.非5. 设，则随机变量的分布列如图，则当在内增大时( )A.增大B.减小△ABC A +B <A B 2C 2C 2△ABC ( )12343606481360p y =sin x y =cos x q y =cos x y =sin x p ∧q(¬p)∧(¬q)(¬p)∧qp ∧(¬q)p q q ⇒pp ⇒qq ⇒pq ⇒p0<a <1x a (0，1)D(X)D(X)D(X)C.先增大后减小D.先减小后增大6. 下列命题正确的是（ ）A.单位向量都相等B.若，则C.若与是单位向量，则D.若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量7. 如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则向量等于（ ）A.B.C.D.8. 已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率是（ ）（附：随机变量服从正态分布，则＝，＝，）A.B.C.D.9. 已知向量，满足，且，则( )A.B.C.D.D(X)D(X)|+|=|−|a →b →a →b →⋅=0a →b →a 0→b 0→⋅=1a →0b →0a →b →b →c →a →c →ABCD −A 1B 1C 1D 1O AC BD =A 1B 1−→−−a →=A 1D 1−→−−b →=AA 1−→−c →O B 1−→−++12a →12b →c →−+12a →12b →c →−++12a →12b →c →−−+12a →12b →c →N(0,)42(4,8)ξN(μ,)σ2P(μ−σ<ξ≤μ+σ)68.26%P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)95.44%4.56%13.59%27.18%31.74%a →b →|−|=2||=2a →b →a →2–√⋅=0a →b →||=b →2–√6–√2410. 已知，，则，最大值为（ ）A.B.C.D.11. 已知且），则在定义域内为增函数的充分不必要条件是( )A.B.C.D.12. 如图，圆锥的底面直径，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 在人民大会堂北大厅，有一条从北门通向万人大会堂的通道．每年两会，媒体们常在这里“围堵部长”打响“新闻大战”，而部长们也在此传达重要讯息，“部长通道”逐渐成为两会最受瞩目的环节之一，年全国两会期间某天的“部长通道”上，中国教育报等家新闻媒体“围堵”住教育部陈宝生部长在内的位部长．且拟定每位部长接受家媒体采访，每家媒体只能采访一位部长，同时指定中国教育报记者采访陈宝生部长，则不同的采访方式共有________种（用数字作答）.14. 甲、乙、丙三人的投篮命中率分别为，，，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命=(1,1,1)a →=(0,y,1)(0≤y ≤1)b →cos <a →>b →3–√32–√33–√26–√3f(x)=x(a >0log a a ≠1y =f (x)2<a <3a >10<a <1<a <1312AB =2AD =3–√AD BC 03–√33–√42–√220219330.80.70.6中的概率为________ .15. 的展开式中的系数是________.16. 已知有男女共名记者参加年的两会新闻报道，现从中选取人分配到，两个组，每个组人，其中组的人中，要求女性的人数多于男性，组的人中，要求至少有名女性，则不同的分配方法数为________.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和．求：两个人都译出密码的概率；恰有个人译出密码的概率；若要达到译出密码的概率为，至少需要像乙这样的人多少个？（附：，）18. 如图所示，在平行六面体中，，分别在和上，且，．（1）证明：、、、四点共面．（2）若，求． 19. 实施乡村振兴战略，优先发展教育事业．教育既承载着传播知识、塑造文明乡风的功能，更为乡村建设提供了人才支撑．为了补齐落后地区教育发展的短板，解决落后地区优秀教师资源匮乏的问题，某教育局从名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分批次进行，每次支教需要同时派送名教师，且每次派送人员均从人中随机抽选．求名优秀教师中的“甲”在这批次活动中有且只有一次被抽选到的概率；某接受支教学校需要名教师完成一项特殊教学任务，每次只能派一个人，且每个人只派一次，如果前一位教师在一定时间内不能完成教学任务，则再派另一位教师，且无论第三位教师能否完成任务，均不再指派教师．现只有本校教师与支教教师，三人可派，他们各自完成任务的概率分别为，，，假设，且三人能否完成任务相互独立．若教师因个人原因要求第一个被派出，之后按某种指定顺序派人，试分析以怎样的顺序派出教师，可使所需派出教师的人员数目的数学期望达到最小 .20. 如图，在三棱柱中，，分别是、的中点，＝，＝＝，＝，．Ⅰ证明：平面；Ⅱ求二面角的平面角的正弦值．21. 已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为，，．现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行睡眠时间的调查．应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？若抽出的人中有人睡眠不足，人睡眠充足，现从这人中随机抽取人做进一步的身体检查．用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，求随机变量的数学期望和方差；设为事件“抽取的人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件发生的概率．(1+)x 2(1+x)6x 4551020218A B 4A 4B 411314(1)(2)1(3)99%lg2=0.3010log3=0.4771ABCD −A 1B 1C 1D 1E F BB 1DD 1BE =B 13B 1DF =D 23D 1AE C 1F =x +y +z EF −→−AB −→−AD −→−AA 1−→−x +y +z 6326(1)63(2)3A B C p 1p 2p 3<<<1p 3p 2p 1A ABC −A 1B 1C 1D E B 1C 1BC ∠BAC 90∘AB AC 2A A 14E =A 114−−√()D ⊥A 1BC A 1()A −BD −B 13248327(1)(2)73473(ⅰ)X 3X (ⅱ)A 3A ABCD −A B C D A B B C22. 如图，在棱长为的正方体中，，分别是和的中点．求点到平面的距离；求与平面所成的角的余弦值．4ABCD −A 1B 1C 1D 1E F A 1B 1B 1C 1(1)D BEF (2)BD BEF参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）1.【答案】C【考点】四种命题的真假关系【解析】【解答】解：因为原命题是真命题，所以逆否命题是真命题.其逆命题为“若是钝角三角形，则”，这是一个假命题，于是否命题也是假命题，因此真命题的个数是．故选 .2.【答案】C【考点】分步乘法计数原理【解析】名同学去听同时进行的个课外知识讲座，实际上是有个人选择座位，且每人有种选择方法，根据分步计数原理得到结果．【解答】解：∵每位同学均有种讲座可选择，∴位同学共有种.故选．3.【答案】D【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】略4.△ABC A +B <A B 2C 2C 22C 4343343×3×3×3=81CC【考点】命题的真假判断与应用四种命题的真假关系【解析】根据逆否命题的等价性即可得到结论．【解答】解：若命题“如果，那么”为真，则成立，根据逆否命题的等价性可知：非非成立．故选：．5.【答案】D【考点】离散型随机变量的期望与方差【解析】此题暂无解析【解答】解：由表格数据可得：，由可知：，∴为关于的二次函数，其图象开口向上，对称轴为.故当在内增大时，先减小后增大.故选.6.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用向量的共线定理p q p ⇒q q ⇒p C E(X)=×0+×a +×1=(a +1)13131313D(X)=E{[X −E(X)}]2D(X)=[0−(a +1)+[a −(a +1)+[1−(a +1)1313]21313]21313]2=(−a +1)29a 2D(X)a a =12a (0，1)D(X)D向量的模【解析】由单位向量与向量相等的定义，判断是错误的；由零向量与任意向量方向相同，若是零向量时，不一定成立；由，推出，判断是正确的；由单位向量与数量积的定义，判断是错误的．【解答】解：对于，单位向量是模长为的向量，它们的方向是任意的，∴单位向量不一定相等，错误；对于，若，则，∴，即，∴正确；对于，与是单位向量，且夹角为，∴，∴错误．对于，∵零向量与任意向量方向相同，都共线，若是零向量，则与不一定共线，∴错误.故选．7.【答案】C【考点】空间向量的加减法【解析】要表示向量，只需要用给出的基底，，表示出来即可，要充分利用图形的直观性，熟练利用向量加法的三角形法则进行运算．【解答】解：故答案选：8.【答案】B【考点】正态分布的密度曲线A b →B |+|=|−|a →b →a →b →⋅=0a →b →CD A 1A B |+|=|−|a →b →a →b →+2⋅+=−2⋅+a →2a →b →b →2a →2a →b →b →24⋅=0a →b →⋅=0a →b →B C a 0→b 0→θ⋅=1×1×cos θ=cos θ≤1a →0b →0C D b →a →c →D B O B 1−→−a →b →c →=+O B 1−→−B B 1−→−BO −→−=+A A 1−→−12BD −→−=+A A 1−→−12B 1D 1−→−−=+(−)c →12A 1D 1−→−−A 1B 1−→−−=+(−)c →12b →a →=−++12a →12b →c →C【解析】由题意＝，＝，可得．【解答】由题意＝，＝，∴＝即从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率是．9.【答案】B【考点】空间向量的数量积运算向量的模【解析】此题暂无解析【解答】解：由，得，且，，得，∴.故选.10.【答案】D【考点】空间向量的夹角与距离求解公式【解析】根据两向量的数量积求出夹角的余弦值，，再利用换元法求出它的最大值即可．【解答】解：∵，，∴，，，∴，；P(−4<ξ<4)0.6826P(−8<ξ<8)0.9544P(4<ξ<8)=(0.9544−0.6826)12P(−4<ξ<4)0.6826P(−8<ξ<8)0.9544P(4<ξ<8)=(0.9544−0.6826)120.13(59)(4,8)13.59%|−|=2a →b →2–√−2⋅+=8a →2a →b →b →2||=a →2–√⋅=0a →b →=6b →2||=b →6–√B cos <a →>b →=(1,1,1)a →=(0,y,1)(0≤y ≤1)b →⋅=y +1a →b →||=a →3–√||=b →+1y 2−−−−−√cos <a →>==b →||×||a →b →˙y +1⋅3–√+1y 2−−−−−√t =+12−−−−−√−1=22设，则，∴，∴；设，则，即，∴，∴当时，取得最大值为．故选：．11.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断对数函数的单调性与特殊点【解析】若在定义域内为增函数，则，利用集合的包含关系，结合充分必要条件定义求解即可.【解答】解：且），若在定义域内为增函数，则，由于，∴在定义域内为增函数的充分不必要条件可以是.故选.12.【答案】C【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】此题暂无解析【解答】命题意图本题考查圆锥的结构特征以及异面直线所成的角．解析如图，延长交圆于，连接，，易知为异面直线与所成的角．因为圆锥侧面展开图为半圆，所以，所以，在中，，由余弦定理得二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】t =+1y 2−−−−−√−1=t 2y 2y =(1≤t ≤)−1t 2−−−−−√2–√f(t)=⋅=(+)13–√+1−1t 2−−−−−√t 13–√1−1t 2−−−−−−√1t sin α=1t 1≥sin α≥2–√2≤α≤π4π2g(α)=(+sin α)13–√1−αsin 2−−−−−−−−√=(cos α+sin α)13–√=sin(α+)2–√3–√π4α=π4g(α)=2–√3–√6–√3D y =f (x)a >1f(x)=x(a >0log a a ≠1y =f (x)a >1(2,3) (1,+∞)y =f (x)(2,3)A D0E BE CE AD =BE =,AD//BE,∠EBC 3–√AD BC BC ×π=2πBC =2△BEC BC =CE =2,BE =3–√cos ∠EBC ==+−22()3–√2222×2×3–√3–√4排列、组合及简单计数问题分步乘法计数原理【解析】根据题意，分步进行分析：①在其余家媒体中任选个，安排他们与中国教育报记者一起采访陈宝生部长，②将剩下的家新闻媒体分成组，对应采访其余的位部长，由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分步进行分析：①在其余家媒体中任选个，与中国教育报记者一起采访陈宝生部长，有种情况；②将剩下的家新闻媒体分成组，对应采访其余的位部长，有种情况，则一共有种采访方式.故答案为：.14.【答案】【考点】对立事件的概率公式及运用相互独立事件的概率乘法公式【解析】由相互独立事件的概率求解.【解答】解：至少一人命中的对立事件为：无人命中，无人命中的概率为.故至少一人命中的概率为：.故答案为：.15.【答案】【考点】二项式系数的性质二项展开式的特定项与特定系数【解析】由题意，得到二项式展开式的通项公式，进而即可得到的展开式中的项，再求解即可.【解答】解：已知二项式展开式的通项公式为，所以的展开式中的项为，则的展开式中的系数为.故答案为：.282622282=28C 28622×=20C 36C 33A 22A 2228×20=5605600.9760.2×0.3×0.4=0.0241−0.024=0.9760.97630(1+x)6(1+)(1+x x 2)6x 4(1+x)6=T r+1C r 6x r (1+)(1+x x 2)6x 41⋅+⋅=(+)C 46x 4x 2C 26x 2x 4C 46C 26(1+)(1+x x 2)6x 4+=30C 46C 2630【考点】排列、组合及简单计数问题分类加法计数原理【解析】此题暂无解析【解答】解：组分配女男，组分配女男的方法数为，组分配女男，组分配女男的方法数为，组分配女，组分配女男的方法数为，所以不同的分配方法数为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，，为相互独立事件，且，．两个人都译出密码的概率为：．恰有个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有个人译出密码的概率为：.假设有个像乙这样的人分别独立地破译密码，要译出密码相当于至少有个译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码，故能译出密码的概率为：，即，故，，即至少有像乙这样的人名，才能使译出密码的概率达到 ．【考点】对立事件的概率公式及运用相互独立事件的概率乘法公式互斥事件的概率加法公式【解析】750A 31B 13=400C 35C 15C 12C 34A 31B 22=300C 35C 15C 24A 4B 13=50C 45C 35750750(1)A B A B P (A)=13P (B)=14P (AB)=P (A)×P (B)=×=1314112(2)11P(A +B)=P(A )+P(B)B ¯¯¯¯A ¯¯¯¯B ¯¯¯¯A ¯¯¯¯=P(A)P()+P()P(B)B ¯¯¯¯A ¯¯¯¯=×(1−)+(1−)×=131********(3)n 11−=1−(P ())B ¯¯¯¯n()34n1−≥0.99()34n≤0.01()34n n ≥0.01==16.01log 3422lg2−lg31799%解：记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，，为相互独立事件，且，．两个人都译出密码的概率为：．恰有个人译出密码可以分为两类：甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有个人译出密码的概率为：.假设有个像乙这样的人分别独立地破译密码，要译出密码相当于至少有个译出密码，其对立事件为所有人都未译出密码，故能译出密码的概率为：，即，故，，即至少有像乙这样的人名，才能使译出密码的概率达到 ．18.【答案】证明：∵平行六面体中，，，∴，，，，且平面平面，，∴，…∴，同理，故为平行四边形，∴、、、四点共面．…（2）解：如图所示：，即，，，∴【考点】空间向量的加减法空间向量的基本定理及其意义平面的基本性质及推论【解析】（1）由，，，，且平面平面，，知，进而，同理，故为平行四边形，由此能够证明、、、四点共面．（2）结合图形和向量的加法和减法运算进行求解．(1)A B A B P (A)=13P (B)=14P (AB)=P (A)×P (B)=×=1314112(2)11P(A +B)=P(A )+P(B)B ¯¯¯¯A ¯¯¯¯B ¯¯¯¯A ¯¯¯¯=P(A)P()+P()P(B)B ¯¯¯¯A ¯¯¯¯=×(1−)+(1−)×=131********(3)n 11−=1−(P ())B ¯¯¯¯n()34n1−≥0.99()34n≤0.01()34n n ≥0.01==16.01log 3422lg2−lg31799%ABCD −A 1B 1C 1D 1BE =B 13B 1DF =D 23D 1AB //C 1D 1AB =C 1D 1BE //F D 1BE =F D 1ABE //F C 1D 1∠ABE =∠F C 1D 1△ABE ≅△F C 1D 1AE =F C 1AF =E C 1AE F C 1A E C 1F =+=++=++−=−+−=−+EF −→−EB 1−→−F B 1−→−EB 1−→−B 1D 1−→−−F D 1−→−23BB 1−→−B 1A 1−→−−B 1C 1−→−−13DD 1−→−−23AA 1−→−AB −→−AD −→−13AA 1−→−AB −→−AD −→−+=x +y +z 13AA 1−→−AB −→−AD −→−AA 1−→−x =−a y =1z =13x +y +z =13AB //C 1D 1AB =C 1D 1BE //F D 1BE =F D 1ABE //F C 1D 1∠ABE =∠F C 1D 1△ABE ≅△F C 1D 1AE =F C 1AF =E C 1AE F C 1A E C 1F【解答】证明：∵平行六面体中，，，∴，，，，且平面平面，，∴，…∴，同理，故为平行四边形，∴、、、四点共面．…（2）解：如图所示：，即，，，∴19.【答案】解：依题意，名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中被抽取到概率为，则三次抽取中“甲”恰有一次被抽取到的概率为．设表示先后再完成任务所需人员数目，则，设表示先后再完成任务所需人员数目，则，又，故按照先后再的顺序派出所需人数期望最小．【考点】古典概型及其概率计算公式离散型随机变量的期望与方差【解析】无无【解答】解：依题意，名优秀教师中的“甲”在每轮抽取中被抽取到概率为，则三次抽取中“甲”恰有一次被抽取到的概率为．设表示先后再完成任务所需人员数目，则，设表示先后再完成任务所需人员数目，则，又，ABCD −A 1B 1C 1D 1BE =B 13B 1DF =D 23D 1AB //C 1D 1AB =C 1D 1BE //F D 1BE =F D 1ABE //F C 1D 1∠ABE =∠F C 1D 1△ABE ≅△F C 1D 1AE =F C 1AF =E C 1AE F C 1A E C 1F =+=++=++−=−+−=−+EF −→−EB 1−→−F B 1−→−EB 1−→−B 1D 1−→−−F D 1−→−23BB 1−→−B 1A 1−→−−B 1C 1−→−−13DD 1−→−−23AA 1−→−AB −→−AD −→−13AA 1−→−AB −→−AD −→−+=x +y +z 13AA 1−→−AB −→−AD −→−AA 1−→−x =−a y =1z =13x +y +z =13(1)6=C 15C 2613P ==C 1313()23249(2)X A B C X 123P p 1(1−)p 1p 2(1−)(1−)p 1p 2E(X)=+2(1−)+3(1−)(1−)=−2−+3p 1p 1p 2p 1p 2p 1p 2p 1p 2Y A C B Y 123P p 1(1−)p 1p 3(1−)(1−)p 1p 3E(Y )=+2(1−)+3(1−)(1−)=−2−+3p 1p 1p 3p 1p 3p 1p 3p 1p 3E(Y )−E(X)=(−1)(−)>0p 1p 3p 2A B C (1)6=C 15C 2613P ==C 1313()23249(2)X A B C X 123P p 1(1−)p 1p 2(1−)(1−)p 1p 2E(X)=+2(1−)+3(1−)(1−)=−2−+3p 1p 1p 2p 1p 2p 1p 2p 1p 2Y A C B Y 123P p 1(1−)p 1p 3(1−)(1−)p 1p 3E(Y )=+2(1−)+3(1−)(1−)=−2−+3p 1p 1p 3p 1p 3p 1p 3p 1p 3E(Y )−E(X)=(−1)(−)>0p 1p 3p 2AC故按照先后再的顺序派出所需人数期望最小．20.【答案】证明：Ⅰ∵在三棱柱中，，分别是、的中点，＝，＝＝，∴，，＝，∵＝，．∴，∴，∵＝，∴平面，∵，∴平面．（2）由Ⅰ得，，，两两垂直．如图，以中点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系．易知，，，，，，设平面的法向量为，由，可取．设平面的法向量为，由，可取．又∵该二面角为钝角，∴二面角的平面角的余弦值为．【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面垂直的判定【解析】（1）先证平面，再证即可‘’（2）所求值即为平面的法向量与平面的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】证明：Ⅰ∵在三棱柱中，，分别是、的中点，＝，＝＝，∴，，＝，∵＝，．∴，∴，∵＝，∴平面，∵，∴平面．（2）由Ⅰ得，，，两两垂直．如图，以中点为坐标原点，以、、所在直线分别为、、轴建系．易知，，，，，，设平面的法向量为，由，可取．A B C ()ABC −A 1B 1C 1D E B 1C 1BC ∠BAC 90∘AB AC 2D //AE A 1AE ⊥BC AE BE =2–√A A 14E =A 114−−√+A =A A 1E 2E 2A 12AE ⊥E A 1E ∩BC A 1E AE ⊥BC A 1D //AE A 1D ⊥A 1BC A 1()EA EB EA 1BC O OB OA OA 1x y z (0,0,)A 114−−√B(,0,0)2–√C(−,0,0)2–√A(0,,0)2–√D(0,−,)2–√14−−√(,−,)B 12–√2–√14−−√BD A 1=(x,y,z)m⋅=−y =0m D A 1→2–√⋅=−x −y +z =0m BD →2–√2–√14−−√=(,0,1)m 7–√BD B 1=(x,y,z)n ⋅=−x −y +z =0n D B 1→2–√2–√14−−√⋅=−x =0n BD →2–√=(0,,1)n 7–√cos ,==m n 12×22–√2–√18−BD −A 1B 1−18AE ⊥BC A 1D //AE A 1BD A 1BD B 1()ABC −A 1B 1C 1D E B 1C 1BC ∠BAC 90∘AB AC 2D //AE A 1AE ⊥BC AE BE =2–√A A 14E =A 114−−√+A =A A 1E 2E 2A 12AE ⊥E A 1E ∩BC A 1E AE ⊥BC A 1D //AE A 1D ⊥A 1BC A 1()EA EB EA 1BC O OB OA OA 1x y z (0,0,)A 114−−√B(,0,0)2–√C(−,0,0)2–√A(0,,0)2–√D(0,−,)2–√14−−√(,−,)B 12–√2–√14−−√BD A 1=(x,y,z)m⋅=−y =0m D A 1→2–√⋅=−x −y +z =0m BD →2–√2–√14−−√=(,0,1)m 7–√=(x,y,z)设平面的法向量为，由，可取．又∵该二面角为钝角，∴二面角的平面角的余弦值为．21.【答案】解：三个部门的员工总人数为，甲部门抽取的员工：，乙部门抽取的员工：，丙部门抽取的员工：，所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取，，人.用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，则，，，，；；；.所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望：；随机变量的方差：.从人中抽取的人，有种可能的结果，其中事件有种结果，所以.【考点】BD B 1=(x,y,z)n⋅=−x −y +z =0n D B 1→2–√2–√14−−√⋅=−x =0n BD →2–√=(0,,1)n 7–√cos ,==m n 12×22–√2–√18−BD −A 1B 1−18(1)48+32+32=112(人)7×=232112(人)7×=348112(人)7×=232112(人)232(2)(ⅰ)X 3X =0123P(X =0)==C 34C 37435P(X =1)==C 13C 24C 371835P(X =2)==C 23C 14C 371235P(X =3)==C 33C 37135X X 0123P43518351235135X E(X)=0×+1×+2×+3×=4351835123513597X D(X)=×+×(−0)972435(−1)9721835+×+×(−2)9721235(−3)972135=2449(ⅱ)73C 37A +C 13C 24C 23C 14P(A)===+C 13C 24C 23C 14C 37303567离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列分层抽样方法【解析】（1）利用分层抽样，通过抽样比求解应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取人数；（2）若用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，的可能值，求出概率，得到随机变量的分布列，然后求解数学期望；利用互斥事件的概率求解即可．【解答】解：三个部门的员工总人数为，甲部门抽取的员工：，乙部门抽取的员工：，丙部门抽取的员工：，所以应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取，，人.用表示抽取的人中睡眠不足的员工人数，则，，，，；；；.所以随机变量的分布列为： 所以随机变量的数学期望：；随机变量的方差：.从人中抽取的人，有种可能的结果，其中事件有种结果，所以.22.【答案】解：如图所示，以点为原点建立如图空间直角坐标系，(I)X 3X (II)(1)48+32+32=112(人)7×=232112(人)7×=348112(人)7×=232112(人)232(2)(ⅰ)X 3X =0123P(X =0)==C 34C 37435P(X =1)==C 13C 24C 371835P(X =2)==C 23C 14C 371235P(X =3)==C 33C 37135X X 0123P43518351235135X E(X)=0×+1×+2×+3×=4351835123513597X D(X)=×+×(−0)972435(−1)9721835+×+×(−2)9721235(−3)972135=2449(ⅱ)73C 37A +C 13C 24C 23C 14P(A)===+C 13C 24C 23C 14C 37303567(1)A A −xyz依题意，得，，，，则，，设平面的法向量为，则，，则，即，由此取，可得平面的一个法向量为，又由，所以点到平面的距离为．设与平面所成角为，则，且，所以与平面所成角的余弦值为．【考点】点、线、面间的距离计算用空间向量求直线与平面的夹角【解析】无无【解答】解：如图所示，以点为原点建立如图空间直角坐标系，依题意，得，，，，则，，设平面的法向量为，则，，则，即，由此取，可得平面的一个法向量为，B (4,0,0)D (0,4,0)E (2,0,4)F (4,2,4)=(−2,0,4)BE −→−=(0,2,4)BF −→−BEF =(x,y,z)n →⊥n →BE −→−⊥n →BF −→−⋅=−2x +4z =0n →BE −→−⋅=2y +4z =0n →BF −→−{x =2z y =−2z z =1BEF =(2,−2,1)n →=(4,−4,0)DB −→−D BEF d =|⋅|DB −→−n →||n →=4×2+(−4)×(−2)+0×1++22(−2)212−−−−−−−−−−−−−√=163(2)BD BEF θθ∈(0,)π2sin θ=|cos , |DB −→−n →=|⋅|DB −→−n →||⋅||DB −→−n →=d ||DB −→−=163+42(−4)2−−−−−−−−−√=22–√3BD BEF cos θ=1−θsin 2−−−−−−−−√=)1−(22–√3)2−−−−−−−−−−√=13(1)A A −xyz B (4,0,0)D (0,4,0)E (2,0,4)F (4,2,4)=(−2,0,4)BE −→−=(0,2,4)BF −→−BEF =(x,y,z)n →⊥n →BE −→−⊥n →BF −→−⋅=−2x +4z =0n →BE −→−⋅=2y +4z =0n →BF −→−{x =2z y =−2zz =1BEF =(2,−2,1)n →(4,−4,0)−→−又由，所以点到平面的距离为．设与平面所成角为，则，且，所以与平面所成角的余弦值为．=(4,−4,0)DB −→−D BEF d =|⋅|DB −→−n →||n →=4×2+(−4)×(−2)+0×1++22(−2)212−−−−−−−−−−−−−√=163(2)BD BEF θθ∈(0,)π2sin θ=|cos , |DB −→−n →=|⋅|DB −→−n →||⋅||DB −→−n →=d ||DB −→−=163+42(−4)2−−−−−−−−−√=22–√3BD BEF cos θ=1−θsin 2−−−−−−−−√=)1−(22–√3)2−−−−−−−−−−√=13。

2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 过两点，的直线的倾斜角是，则等于( )A.B.C.D.2. 过椭圆：的上顶点与右焦点的直线方程为，则椭圆的标准方程为( )A.B.C.D.3. 如图所示，和分别是双曲的两个焦点，和是以为圆心以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A(4,y)B(2,−3)135∘y 15−1−5C +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 22x +3y −6=0C +=1x 213y 24+=1x 29y 24+=1x 25y 24+=1x 23y 22F 1F 2−=1(a >0,b >0)x 2d 2y 2b A B O OF 1△AB F 21A.B.C.D.4. 设直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则直线与平面的位置关系是（ ）A.垂直B.平行C.直线在平面内D.直线在平面内或平行5. 如图，空间直角坐标系中中，有一棱长为的正方体，点为线段的中点，点为线段的中点，则的长为（ ）A.B.C.D.6. 直线，分别过点，，它们分别绕，旋转，但始终保持平行，则，之间的距离的取值范围为( )A.B.C.D.7. 能够把圆的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称之为圆的“和谐函123–√21+3–√3–√l =(6,2,3)d α=(−1,3,0)n l αl αl αD −xyz 2ABCD −A ′B ′C ′D ′E C A ′F AB EF 22–√2–√2–√21l 1l 2P(−1,3)Q(2,−1)P Q l 1l 2d (0,+∞)(0,5](0,5)(0,)17−−√O :+=(r >0)x 2y 2r 2O O数”，下列函数不是圆的“和谐函数”的是（ ）A.B.C.D.8. 若直线、始终平分圆的周长，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 已知向量，，，下列等式中正确的是( )A.B.C.D.10. 在平面直角坐标系中，圆： ，若直线上有且仅有一点满足：过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且使得四边形为正方形，则的值可以为（ ）A.B.C.D.11. 已知圆与双曲线的四个交点构成的四边形的面积为，若O f(x)=4+xx 3f(x)=ln5−x5+xf(x)=tan x 2f(x)=+e x e −xmx +2ny −4=0(m n ∈R,m ≠n)+−4x −2y −4=0x 2y 2mn (0,1)(−1,0)(−∞,1)(−∞,−1)⋅=⋅=⋅a →b →b →c →a →c →=(3,0,−1)b →=(−1,5,−3)c →(⋅)=⋅a →b →c →b →c →(+)⋅=⋅(+)a →b →c →a →b →c →(++=++a →b →c →)2a →2b →2c→2|++|=|−−|a →b →c →a →b →c →xOy C +=4(x −1)2y 2l :x +y +m =0A A C AP AQ P Q APCQ m −5−137+=2x 2y 2−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 24=−−√为圆与双曲线在第一象限内的交点，为双曲线的右焦点，且（为坐标原点），则( )A.点坐标为B.的面积等于C.双曲线的离心率为D.双曲线的渐近线方程为12. 已知椭圆，关于椭圆下述正确的是（ ）A.椭圆的长轴长为B.椭圆的两个焦点分别为和C.椭圆的离心率等于D.若过椭圆的焦点且与长轴垂直的直线与椭圆交于，，则卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，若为棱上一点，满足，则________.14. 直线与圆相交于，两点，若，则的取值范围是________．15. 若点在椭圆：上，，两点也在椭圆上，且直线与直线关于直线对称，则直线的斜率为________.A F ⋅=OA −→−OF −→−21−−√6O A (1,1)△OAF 21−−√621−−√3y =±x 3–√2C :16+25=400x 2y 2C C 10C (0,−3)(0,3)C 35C l C P Q |PQ|=325P −ABCD PA ⊥ABCD AD ⊥AB AB//DC AD =DC =AP =2AB =1B PC BE ⊥AC =PE ECy =kx +3(x −2+(y −3=4)2)2M N |MN |≥23–√k P (3,1)E +=1x 212y 24A B AP BP y =1AB16. 已知点，分别为正方体的棱与的中点，平面与平面的交线记为，则与所成角的大小为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知向量，．（1）求；（2）设向量，若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．18. 已知圆的方程：．求的取值范围；若圆与直线相交于，两点，且，求的值；若中的圆与直线相交于，两点，且（为坐标原点），求的值．19. 已知圆：内有一点，过点作直线交圆于、两点．（1）当经过圆心时，求直线的方程； （写一般式）（2）当直线的倾斜角为时，求弦的长．20. 在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程.设为平面上的点，满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，求所有满足条件的点的坐标． 21. 已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆在第一象限内的交点是，点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，椭圆的另一个焦点是，且.求椭圆的方程；已知圆，动圆的圆心在椭圆上并且与圆外切，直线是圆和圆的外公切线，直线与椭圆交于，两点，当圆的半径最长时，求三角形的面积． 22. 如图，在直三棱柱中，已知，，且，是的中点．（1）求证：平面；M N ABCD −A 1B 1C 1D 1A 1B 1AA 1DMN ABCD l l M C 1=(1,2)a →=(1,−1)b →|2−|a →b →=x +c →a →x 2b →b →c →x C +−2x −4y +m =0x 2y 2(1)m (2)C l :x +2y −4=0M N |MN |=45–√5m (3)(1)x +2y −4=0M N OM ⊥ON O m C (x −1+=9)2y 2P(2,2)P l C A B l C l l 45∘AB xoy C 1(x +3+(y −1=)2)24C 2(x −4+(y −5=)2)24(1)l A(4,0)C 123–√l (2)P P l 1l 2C 1C 2l 1C 1l 2C 2P C y =x 32C M M x C F 2C F 1⋅=MF 1−→−−MF 2−→−−94(1)C (2):+=1F 1(x +1)2y 2P P C F 1l P F 1l C A B P AB F 2ABC −A 1B 1C 1A =2A 1AC =BC =1AC ⊥BC M A 1B 1C //B 1A M C 1AC A M C θsin θ（2）设与平面的夹角为，求．AC A M C 1θsin θ参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】D【考点】直线的倾斜角【解析】利用斜率计算公式即可得出．【解答】解：∵过点，的直线的倾斜角为，∴，解得．故选．2.【答案】A【考点】椭圆的标准方程【解析】根据题意，分析椭圆的焦点位置，求出直线与坐标轴的交点坐标，即可得椭圆的上顶点和右焦点的坐标，可得、的值，求出的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆：的上顶点与右焦点的直线方程为，令，得，令，得，即直线与轴交点为，直线与轴交点为，所以椭圆的上顶点坐标为，A(4,y)B(2,−3)135∘tan ==−1135∘y +34−2y =−5D 2x +3y −6=0b c a C +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 22x +3y −6=0x =0y =2y =0x =3y (0,2)x (3,0)(0,2)(3,0)椭圆的右焦点为，即，，则，所以椭圆的标准方程为.故选．3.【答案】C【考点】双曲线的定义双曲线的标准方程双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】D【考点】平面的法向量【解析】由于，可得．即可判断出位置关系．【解答】∵＝，∴．∴直线与平面的位置关系是直线在平面内或平行．5.【答案】B【考点】(3,0)b =2c =3=+=13a 2b 2c 2C +=1x 213y 24A ⋅=0d n ⊥d n ⋅=−6+2×3+0d n 0⊥d n l αl α点、线、面间的距离计算【解析】本题考查空间直角坐标系中的点、线、面的距离计算．【解答】解：由题意可知，，，所以，，即的长为.故选．6.【答案】B【考点】两条平行直线间的距离【解析】由题意可知，当直线，均和垂直时，二者的距离最大，求出两点的距离；已知平行就是不能重合，所以最小值大于，可得结果．【解答】解：当直线，均和垂直时，二者的距离最大，最大为：.又，保持平行，即不能重合，∴二者距离又始终大于零．∴的取值范围为：.故选.7.【答案】D【考点】圆的标准方程【解析】由题意可得，“和谐函数”的图象经过圆心，结合所给的选项，得出结论．【解答】解：由题意可得，“和谐函数”的图象经过圆心，E(1,1,1)F(2,1,0)=(1,0,−1)EF −→−||=EF −→−2–√EF 2–√B L 1L 2PQ 0l 1l 2PQ |PQ |==5(2+1+(−1−3)2)2−−−−−−−−−−−−−−−−√l 1l 2d 0<d ≤5B (0,0)(0,0)f(x)=+x −x结合所给的选项，只有中的函数的图象不经过原点，故选：．8.【答案】C【考点】直线和圆的方程的应用基本不等式在最值问题中的应用【解析】求出圆心坐标代入直线方程得到，的关系；利用基本不等式求解的范围即可．【解答】解：因为直线平分圆，所以直线过圆心，圆心坐标为．∴，∴、∴的取值范围为．故选：．二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】空间向量的数量积运算空间向量的数乘运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由题，所以，，不相等，所以选项错误；D f(x)=+e x e −xD m n m +n =2mn (2,1)m +n =2mn <(=1(m m +n 2)2n ∈R,m ≠n)mn (−∞,1)C ⋅=−3+0+3=0b →c →⋅=⋅=⋅=0a →b →b →c →a →c →(⋅)=a →b →c →0→⋅=0b →c →A +)⋅−⋅(+)→→所以，所以选项正确；，所以选项正确；即，即，所以选项正确．故选.10.【答案】A,C【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式两点间的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：圆的圆心，半径．设，则，由四边形为正方形，可得，即为，由题意可得直线与圆相切，则圆心到直线的距离为，可得，解得或．故选．11.【答案】A,C【考点】双曲线的渐近线(+)⋅−⋅(+)a →b →c →a →b →c →=⋅+⋅−⋅a →c →b →c →a →b →−⋅=0,a →c →(+)⋅=⋅(+)a →b →c →a →b →c →B =+++2⋅+2⋅(++)a →b →c →2a →2b →2c →2a →b →b →c→+2⋅=++a →c →a →2b →2c →2C (−−)a →b →c →2=++−2⋅+2⋅−2⋅a →2b →2c →2a →b →b →c →a →c→=++,a →2b →2c →2=(++)a →b →c →2(−−)a →b →c →2|++|=|−−|a →b →c →a →b →c →D BCD C :+=4(x −1)2y 2C (1,0)r =2A (,)x 0y 0++x 0y 0m =0APCQ |AC|=22–√+=8(−1)x 02y 20l +=8(x −1)2y 2(1,0)x +y +m =022–√=2|1+0+m|2–√2–√m =3−5AC双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】【解答】解：设四边形的边长为，，则，且，得，所以．设，则有解得的面积．双曲线的离心率为．双曲线的渐近线方程为．综上，，项正确．故选．12.【答案】A,C,D【考点】椭圆的离心率椭圆的标准方程【解析】将椭圆方程化为标准式，即可求得基础量，逐项验证即可.【解答】解：将椭圆方程化为标准式可得：，可得，，，∴长轴长为，故正确；椭圆的两个焦点分别为和，故错误；椭圆的离心率为，故正确；当时，代入，解得,2m 2n 4mn =4+=2m 2n 2m =n =1A (1,1)F (c,0) −=1,1a 21b 2=+,c 2a 2b 2c =,21−−√6 a =,12b =,3–√3△OAF S =|OF|×||12y A =××11221−−√6=21−−√12=c a 21−−√3y =±x =±x b a 23–√3A C AC +=1x 225y 216a =5b =4c ==3−a 2b 2−−−−−−√2a =10A (−3,0)(3,0)B e ==c a 35C x =3+=1x 225y 216y =±165PQ|=32∴,故正确.故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】空间向量运算的坐标表示空间向量的数量积运算【解析】此题暂无解析【解答】解：底面，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：由，得，，，，设，则，|PQ|=325D ACD 13∵PA ⊥ABCD AD ⊥AB ∴A AB AD AP x y z AD =DC =AP =2,AB =1A(0,0,0)B(1,0,0)C(2,2,0)P(0,0,2)=λPE EC =PE PC λλ+1∴==×(2,2,−2)PE −→−λλ+1PC −→−λλ+1(,,−)2λ2λ2λ，.，由得，解得.故答案为：.14.【答案】【考点】直线与圆相交的性质【解析】由圆的方程找出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线的距离，利用垂径定理及勾股定理表示出弦长，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．【解答】解：由圆的方程得：圆心，半径，∵圆心到直线的距离，，∴，变形得：，即，=(,,−)2λλ+12λλ+12λλ+1∴=+BE −→−BP −→−PE−→−=(−1,0,2)+(,,)2λλ+12λλ+1−2λλ+1=(,,)λ−1λ+12λλ+12λ+1=(2,2,0)AC −→−BE ⊥AC ⋅=+BE −→−AC −→−2λ−2λ+14λλ+1==06λ−2λ+1λ=1313[−,]3–√33–√3r d |MN |k k (2,3)r =2y =kx +3d =|2k +3−3|+1k 2−−−−−√|MN |≥23–√2=2≥2−r 2d 2−−−−−−√4−4k 2+1k 2−−−−−−−−−√3–√4−≥34k 2+1k 24+4−4≥3+3k 2k 2k 2≤k ≤–√–√解得：，则的取值范围是．故答案为：15.【答案】【考点】直线的斜率【解析】（1）根据题目所给信息进行求解即可.【解答】解：已知点在椭圆：上，，两点也在椭圆上，设，又直线与直线关于直线对称，设直线的方程为，将其打入椭圆方程中，将用含的式子表示出来，同理可得，进而解得,16.【答案】【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：（1）∵，，−≤k ≤3–√33–√3k [−,]3–√33–√3[−,]3–√33–√31P (3,1)E +=1x 212y 24A B A(,),B(,)x 1y 1x 2y 2AP BP y =1PA y =k(x −1)+3,x 1y 1k ,x 2y 2=1k AB =(1,2)a →=(1,−1)b →−=(2,4)−(1,−1)=(1,5)→∴，∴；（2）可得，由与的夹角为钝角可得，解方程可得，若向量反向则，解得，此时向量为，不满足题意，∴实数的取值范围为．【考点】数量积表示两个向量的夹角向量的模【解析】（1）由题意可得的坐标，由模长公式可得；（2）可得向量的坐标，由与的夹角为钝角可得，解不等式排除向量反向可得．【解答】解：（1）∵，，∴，∴；（2）可得，由与的夹角为钝角可得，解方程可得，若向量反向则，解得，此时向量为，不满足题意，∴实数的取值范围为．18.【答案】解：方程，可化为，∵此方程表示圆，∴，即．圆的方程化为，圆心，半径，则圆心到直线的距离为，由于，则，有，2−=(2,4)−(1,−1)=(1,5)a →b →|2−|==a →b →+1252−−−−−−√26−−√=x +=(x +,2x −)c →a →x 2b →x 2x 2b →c →⋅=(x +)−(2x −)<0b →c →x 2x 20<x <12x ++2x −=0x 2x 2x =0c →0→x (0,)122−a →b →c →b →c →⋅<0b →c →=(1,2)a →=(1,−1)b →2−=(2,4)−(1,−1)=(1,5)a →b →|2−|==a →b →+1252−−−−−−√26−−√=x +=(x +,2x −)c →a →x 2b →x 2x 2b →c →⋅=(x +)−(2x −)<0b →c →x 2x 20<x <12x ++2x −=0x 2x 2x =0c →0→x (0,)12(1)+−2x −4y +m =0x 2y 2(x −1+(y −2=5−m )2)25−m >0m <5(2)(x −1+(y −2=5−m )2)2C(1,2)r =5−m −−−−−√C(1,2)l :x +2y −4=0d ==|1+2×2−4|+1222−−−−−−√15–√|MN |=45–√|MN |=1225–√=+(|MN |r 2d 212)2−m =(+(12∴，解得．联立消去得，化简得.设，，则①，②，由得，即，∴．将①②两式代入上式得，解得.【考点】根与系数的关系直线和圆的方程的应用二元二次方程表示圆的条件圆的一般方程点到直线的距离公式直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】（1）由方程配方为．由于此方程表示圆，可得，解出即可；（2）设，．与圆的方程联立可得及根与系数关系，再利得，即可解出．【解答】解：方程，可化为，∵此方程表示圆，∴，即．圆的方程化为，圆心，半径，则圆心到直线的距离为 ，由于，则，有，∴，解得．5−m =(+(15–√)225–√)2m =4(3){+−2x −4y +m =0，x 2y 2x +2y −4=0，x (4−2y +−2×(4−2y)−4y +m =0)2y 25−16y +m +8=0y 2M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2+=y 1y 2165=y 1y 2m +85OM ⊥ON +=0y 1y 2x 1x 2+(4−2)(4−2)=0y 1y 2y 1y 216−8(+)+5=0y 1y 2y 1y 216−8×+5×=0165m +85m =85+−2x −4y +m =0x 2y 2(x −1+(y −2=5−m )2)25−m >0M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2△>0OM ⊥ON +=0y 1y 2x 1x 2m (1)+−2x −4y +m =0x 2y 2(x −1+(y −2=5−m )2)25−m >0m <5(2)(x −1+(y −2=5−m )2)2C(1,2)r =5−m −−−−−√C(1,2)l :x +2y −4=0d ==|1+2×2−4|+1222−−−−−−√15–√|MN |=45–√|MN |=1225–√=+(|MN |r 2d 212)25−m =(+(15–√)225–√)2m =4+−2x −4y +m =0，22联立消去得，化简得.设，，则①，②，由得，即，∴．将①②两式代入上式得，解得.19.【答案】解：（1）圆：的圆心为，因直线过点、，所以直线的斜率为，直线的方程为，即．（2）当直线的倾斜角为时，斜率为，直线的方程为，即圆心到直线的距离为，圆的半径为，弦的长为．【考点】直线与圆相交的性质【解析】（1）先求出圆的圆心坐标，从而可求得直线的斜率，再由点斜式方程可得到直线的方程，最后化简为一般式即可．（2）先根据点斜式方程求出方程，再由点到线的距离公式求出圆心到直线的距离，进而根据勾股定理可求出弦长．【解答】解：（1）圆：的圆心为，因直线过点、，所以直线的斜率为，直线的方程为，即．（2）当直线的倾斜角为时，斜率为，直线的方程为，即圆心到直线的距离为，圆的半径为，弦的长为．20.【答案】解：由于直线与圆不相交，∴直线的斜率存在，设方程为：设圆的圆心到直线的距离为，∵被截得的弦长为.(3){+−2x −4y +m =0，x 2y 2x +2y −4=0，x (4−2y +−2×(4−2y)−4y +m =0)2y 25−16y +m +8=0y 2M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2+=y 1y 2165=y 1y 2m +85OM ⊥ON +=0y 1y 2x 1x 2+(4−2)(4−2)=0y 1y 2y 1y 216−8(+)+5=0y 1y 2y 1y 216−8×+5×=0165m +85m =85C (x −1+=9)2y 2C(1,0)P C l 2l y =2(x −1)2x −y −2=0l 45∘1l y −2=x −2x −y =0C l 12–√3AB 34−−√l l l C (x −1+=9)2y 2C(1,0)P C l 2l y =2(x −1)2x −y −2=0l 45∘1l y −2=x −2x −y =0C l 12–√3AB 34−−√(1)x =4C 1l l y =k(x −4)，C 1l d l ⊙C 123–√==1−−−−−−−−−∴，∴，从而即或，∴直线的方程为：或设点满足条件，由题意分析可得直线、的斜率均存在且不为，不妨设直线的方程为，，则直线方程为：，∵和的半径相等，及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，∴的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等，即，整理得∴，即或，因的取值有无穷多个，所以或解得或这样的点只可能是点或点.【考点】直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式【解析】（1）因为直线过点，故可以设出直线的点斜式方程，又由直线被圆截得的弦长为，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率的方程，解方程求出值，代入即得直线的方程．（2）与（1）相同，我们可以设出过点的直线与的点斜式方程，由于两直线斜率为，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，故我们可以得到一个关于直线斜率的方程，解方程求出值，代入即得直线与的方程．【解答】解：由于直线与圆不相交，∴直线的斜率存在，设方程为：设圆的圆心到直线的距离为，∵被截得的弦长为.∴，d ==1−22()3–√2−−−−−−−−−√d =|−1−7k |1+k 2−−−−−√k(24k +7)=0k =0k =−724l y =07x +24y −28=0.(2)P(a,b)l 1l 20l 1y −b =k(x −a)k ≠0l 2y −b =−(x −a)1k ⊙C 1⊙C 2l 1C 1l 2C 2⊙C 1l 1C 2l 2=|1−k(−3−a)−b |1+k 2−−−−−√|5+(4−a)−b |1k 1+1k 2−−−−−−√|1+3k +ak −b |=|5k +4−a −bk |1+3k +ak −b =±(5k +4−a −bk)(a +b −2)k =b −a +3(a −b +8)k =a +b −5k { a +b −2=0，b −a +3=0，{ a −b +8=0，a +b −5=0， a =，52b =−，12 a =−，32b =，132(,−)P 15212(−,)P 232132l A(4,0)l C 123–√k k l P l 1l 21l 1C 1l 2C 2k k l 1l 2(1)x =4C 1l l y =k(x −4)，C 1l d l ⊙C 123–√d ==1−22()3–√2−−−−−−−−−√=|−1−7k |∴，从而即或，∴直线的方程为：或设点满足条件，由题意分析可得直线、的斜率均存在且不为，不妨设直线的方程为，，则直线方程为：，∵和的半径相等，及直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，∴的圆心到直线的距离和圆的圆心到直线的距离相等，即，整理得∴，即或，因的取值有无穷多个，所以或解得或这样的点只可能是点或点.21.【答案】解：设椭圆方程，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则点，因为，即，所以，所以，又解得所以椭圆的方程为．设动圆的半径为，点的坐标为，，，d =|−1−7k |1+k2−−−−−√k(24k +7)=0k =0k =−724l y =07x +24y −28=0.(2)P(a,b)l 1l 20l 1y −b =k(x −a)k ≠0l 2y −b =−(x −a)1k ⊙C 1⊙C 2l 1C 1l 2C 2⊙C 1l 1C 2l 2=|1−k(−3−a)−b |1+k 2−−−−−√|5+(4−a)−b |1k 1+1k 2−−−−−−√|1+3k +ak −b |=|5k +4−a −bk |1+3k +ak −b =±(5k +4−a −bk)(a +b −2)k =b −a +3(a −b +8)k =a +b −5k { a +b −2=0，b −a +3=0，{ a −b +8=0，a +b −5=0， a =，52b =−，12 a =−，32b =，132(,−)P 15212(−,)P 232132(1)+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2M y =x 32M x C (c,0)F 2M (c,)3c 2⋅=(−2c,−)⋅(0,−)=MF 1−→−−MF 2−→−−3c 23c 294=9c 2494c =1M (1,)32+=1,1a 294b 2=+1,a 2b 2{=4,a 2=3,b 2C +=1x 24y 23(2)P R P (x,y)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2|P |=1+R,由已知得，当且仅当圆的圆心为时，，所以当圆的半径最长时，其方程为，因为直线是圆和圆的外公切线，所以直线的倾斜角不为且不平行于轴，设与轴的交点为，则，可求得，设：，由与圆相切得，解得，当时，将代入并整理得，，解得，所以，当时，由图形的对称性可知，又点到直线的距离，所以三角形的面积为．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】解：设椭圆方程，点在直线上，且点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则点，因为，即，所以，{|P |=1+R,F 1|P |+|P |=4,F 1F 2R =3−|P |≤3−(2−1)=2F 2P (2,0)R =2P (x −2+=4)2y 2l P F 1l 90∘x l x Q ==|QP||Q |F 1R r 21Q(−4,0)l y =k(x +4)l F 1=1|3k|1+k 2−−−−−√k =±2–√4k =2–√4y =x +2–√42–√+=1x 24y 237+8x −8=0x 2=x 1,2−4±62–√7|AB|=|−|=1+()2–√42−−−−−−−−−−√x 1x 2187k =−2–√4|AB|=187F 2l d =53AB F 2S =|AB|d =××=121218753157(1)+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2M y =x 32M x C (c,0)F 2M (c,)3c 2⋅=(−2c,−)⋅(0,−)=MF 1−→−−MF 2−→−−3c 23c 294=9c 2494c =1(1,)3所以，又解得所以椭圆的方程为．设动圆的半径为，点的坐标为，，，由已知得，当且仅当圆的圆心为时，，所以当圆的半径最长时，其方程为，因为直线是圆和圆的外公切线，所以直线的倾斜角不为且不平行于轴，设与轴的交点为，则，可求得，设：，由与圆相切得，解得，当时，将代入并整理得，，解得，所以，当时，由图形的对称性可知，又点到直线的距离，所以三角形的面积为．22.【答案】解：（1）因为、、两两互相垂直，所以分别以、、为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示则，，，，，∵是的中点，∴由此可得，，，，∴，可得平面∵平面，∴平面；（2）设向量为平面的一个法向量M (1,)32+=1,1a 294b 2=+1,a 2b 2{=4,a 2=3,b 2C +=1x 24y 23(2)P R P (x,y)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2{|P |=1+R,F 1|P |+|P |=4,F 1F 2R =3−|P |≤3−(2−1)=2F 2P (2,0)R =2P (x −2+=4)2y 2l P F 1l 90∘x l x Q ==|QP||Q |F 1R r 21Q(−4,0)l y =k(x +4)l F 1=1|3k|1+k 2−−−−−√k =±2–√4k =2–√4y =x +2–√42–√+=1x 24y 237+8x −8=0x 2=x 1,2−4±62–√7|AB|=|−|=1+()2–√42−−−−−−−−−−√x 1x 2187k =−2–√4|AB|=187F 2l d =53AB F 2S =|AB|d =××=121218753157CA CB CC 1CA CB CC 1x y z C −xyz C(0,0,0)(0,0,2)C 1A(1,0,0)(0,1,2)B 1(1,0,2)A 1M A 1B 1M(,,2)1212=(−,,2)AM −→−1212=(,,0)M C 1−→−−1212=(0,1,2)CB 1−→−=+CB 1−→−AM −→−M C 1−→−−//CB 1−→−A MC 1C ⊂B 1A M C 1C //B 1A M C 1=(x,y,z)n →A M C 1˙则，取，得，，∴为平面的一个法向量∵，∴，∵与平面的夹角为，∴，【考点】用空间向量求直线与平面的夹角直线与平面所成的角直线与平面平行的判定【解析】（1）分别以、、为、、轴，建立空间直角坐标系，可得、、、、各点的坐标，从而算出、和的坐标，证出，结合平面，即可证出平面；（2）利用垂直向量数量积为零的方法，建立方程组解出向量为平面的一个法向量，根据空间向量的夹角公式算出与夹角的余弦，结合直线与平面所成角的性质即可得出，．【解答】解：（1）因为、、两两互相垂直，所以分别以、、为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示则，，，，，∵是的中点，∴由此可得，，，，∴，可得平面∵平面，∴平面；（2）设向量为平面的一个法向量则，取，得，，∴为平面的一个法向量∵，∴，∵与平面的夹角为，∴，{⋅=−x +y +2z =0n →AM −→−1212˙z =1x =2y =−2=(2,−2,1)n →A M C 1=(−1,0,0)AC −→−cos <n →>==AC −→−2×(−1)+(−2)×0+1×0⋅23AC A M C 1θsin θ=|cos <n →>|=AC −→−23CA CB CC 1x y z C −xyz C C 1A B 1A 1AM −→−M C 1−→−−CB 1−→−=+CB 1−→−AM −→−M C 1−→−−C ⊂B 1A M C 1C //B 1A M C 1=(2,−2,1)n →A M C 1n →AC −→−sin θ=|cos <n →>|=AC −→−23CA CB CC 1CA CB CC 1x y z C −xyz C(0,0,0)(0,0,2)C 1A(1,0,0)(0,1,2)B 1(1,0,2)A 1M A 1B 1M(,,2)1212=(−,,2)AM −→−1212=(,,0)M C 1−→−−1212=(0,1,2)CB 1−→−=+CB 1−→−AM −→−M C 1−→−−//CB 1−→−A MC 1C ⊂B 1A M C 1C //B 1A M C 1=(x,y,z)n →A M C 1{⋅=−x +y +2z =0n →AM −→−1212˙z =1x =2y =−2=(2,−2,1)n →A M C 1=(−1,0,0)AC −→−cos <n →>==AC −→−2×(−1)+(−2)×0+1×0⋅23AC A M C 1θsin θ=|cos <n →>|=AC −→−23。

2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 集合，，则为（ ）A.B.C.D.2. 设，则 A.B.C.D.3. 设为双曲线或的离心率，则“”是 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件A ={1,2,4,8}B ={y|y =x,x ∈A}log 2A ∩B {1,2,4,8}{1,2}{1,2,3}{0,3,4,8}z =1−i2+3i |z |=()13−−√1326−−√13213−−√13226−−√13e −=1x 2a 2y 2b 2−=1(a >0,b >0)y 2a 2x 2b 2a =b e =2–√，则 A.B.C.D.5. 复兴号动车组列车，是中国标准动车组的中文命名，由中国铁路总公司牵头组织研制、具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．年月日，智能复兴号动车组在京张高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小，我们用声强（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，已知时，．若要将某列车的声强级降低，则该列车的声强应变为原声强的( )A.倍B.倍C.倍D.倍6. 设为椭圆的左焦点，为椭圆的右顶点，为椭圆短轴上的一个顶点，当时，该椭圆的离心率为.将此结论类比到双曲线，得到的正确结论为 A.设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为.B.设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为.C.设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为.D.设为双曲线的左焦点，为双曲线的右顶点，为双曲线虚轴上的一个顶点，当时，该双曲线的离心率为.7. 两个球的表面积之差为 ，它们的大圆周长之和为 ，则这两个球的半径之差为（ ）A.|+|=CA −→−CB −→−13−−√|AB |=()23−−√23−−√22420191230CR400BF −C 350km I W/m 2L dB I L =10lg(aI)I =W/1013m 2L =10dB 30dB 10−510−410−310−2F A B |AB|=|FB|7–√212()F A B |AB|=|FB|7–√22F A B |AB|=|FB|7–√24F A B |FB|=|AB|7–√22F A B |FB|=|AB|7–√2448π12π1C.D.8. 已知分别是椭圆：的左、右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且点为线段的中点，则（其中为椭圆的离心率）的最小值为（ ）A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 年春节后，因受疫情影响，某高中为学生导学助学开展网课，为了解网课教学效果，该校为学生举行了一次网上阶段匿名测试．已知测试成绩整理后被分成，，，，五组绘制成如图所示的频率分布直方图，且成绩在内的学生共有人，不及格（低于分）的人数为，则( )A.B.C.若用分层抽样的方法从成绩在内的学生中选取人，则在内应选人D.参加测试的学生共有人10. 设函数向左平移个单位长度得到函数，已知在上有且只有个零点，则下列结论正确的是 34,F 1F 2C +=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2P C PF 2x 2+=y 2b 2Q Q PF 2+a 2e 2b e C 6–√36–√45–√35–√42020[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100][70,80）24060m a =0.004m =40[60,80)14[60,70)8800g(x)=sin ωx (ω>0)π5ωf (x)f (x)[0,2π]5()B.在上有且只有个最大值点，有且只有个最小值点C.在上单调递增D.的取值范围是）11. 如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论正确的有（ ）A.三棱锥的体积不变B.与平面所成的角大小不变C.D.12. 定义：表示函数在上的最大值，已知奇函数满足，且当时，，正数满足，则( )A.B.C.的取值范围为D.的取值范围为卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知向量，，若向量在方向上的投影为，则实数________．14. （理）若，为上在轴两侧的点，则过，点的切线与轴围成的三角形的面积的最小值为________．f (x)(0,2π)32f (x)(0,)π10ω[,1252910P ABCD −A 1B 1C 1D 1BC 1A −PC D 1P A 1ACD 1DP ⊥BC 1D ⊥PB 1A 1M I y =f (x)I f (x)f (x +4)=f (4−x)x ∈(0,4]f (x)=x a ≥2M [0,a]M [a,2a]=2M [0,a]=4M [0,a]a [4,9]a [6,9]=(2,x)a →=(1,1)b →a →b →22–√x =P Q y =1−x 2y P Q x16. 已知为抛物线＝的焦点，点，在抛物线上，且分别位于轴的上、下两侧，若的面积是（为坐标原点），且＝，则直线的斜率是________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 的内角，，的对边分别为，，，已知．求；若，的面积为，求的周长． 18. 已知函数，且恒过定点．求实数的值；设函数，函数的图象恒在函数的上方，求实数的取值范围．19. 在平面直角坐标系中，曲线,直线的参数方程为 (为参数），其中 ,以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.求曲线的极坐标方程和直线的普通方程；设,的极坐标方程 ,分别为直线与曲线异于原点的公共点，当时，求直线的斜率. 20. 如图，在空间直角坐标系中，，，分别在，，轴的正半轴上，在平面内．F C :y 2x A B x △BFO O 12AB △ABC A B C a b c 2cos C(a cos B +b cos A)=c (1)C (2)c =7–√△ABC 33–√2△ABC f(x)=(x −a)+1log a (a >0a ≠1)(3,1)(1)a (2)h(x)=+1a x F(x)=[h(x)+2]2G(x)=h(2x)+m +2m xOy :+−4x =0C 1x 2y 2l {x =t cos α，y =t sin α，t α∈(0,)π6O x (1)C 1l (2)M (4,0)C 2ρ=4sin θ,A 3–√B l ,C 1C 2∠AMB =30∘l O −xyz A D B x y z C BOD已知，，的坐标为，求与平面所成角的正弦值．21. 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有个红球、个白球的甲箱和装有个红球、个白球的乙箱中，各随机摸出个球，在摸出的个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．求：求顾客抽奖次能获奖的概率；若某顾客有次抽奖机会，记该顾客在次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望．22. 已知为坐标原点，椭圆：的离心率为，，分别是椭圆的左、右焦点，过焦点且不与轴重合的直线和椭圆相交于，两点，的周长为.求椭圆的标准方程；若，，求四边形的面积．(2)OA =OD =3OB =2C (0,2,4)BC ACD 4655121(1)1(2)33X X O C +=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 212F 1F 2C F 2x l C A B △AB F 18(1)C (2)+=OA −→−OB −→−OM −→−⋅=−2OA −→−OB −→−OAMB S参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】1111【解答】1122222.【答案】B【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数满足，则，故选．3.z z ===1−i 2+3i (2−3i)(1−i)(2−3i)⋅(2+3i)−1−5i 13|z |==+(−)1132(−)5132−−−−−−−−−−−−−−−−−√26−−√13B必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】A【考点】直线与圆相交的性质【解析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求得到的距离，再由弦长公式求得弦长的值．【解答】解：设圆：与轴交于，两点，取线段的中点，则由弦的性质可得，且，故的长度即为圆心到弦的距离．∴圆心到的距离为，由于圆的半径为，故，故选：：．5.【答案】C【考点】函数模型的选择与应用对数及其运算C AB d |AB |C (x −m +(y −n =9)2)2y A B ABD CD ⊥AB =CD −→−+CA −→−CB −→−2CD C AB C AB d =||=+CA −→−CB −→−213−−√2r =3AB =2=9−134−−−−−−√23−−√A解：由已知得，解得，故．设某列车原来的声强级为，声强为，该列车的声强级降低后的声强级为，声强为，则，所以，解得．故选．6.【答案】C【考点】双曲线的离心率双曲线的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：对于双曲线而言，，排除，.由，得.故选.7.【答案】B10=10lg(a ×)1013a =10−12L =10lg(×I)=10(−12+lgI)10−12L 1I 130dB L 2I 2−L 1L 2=10(−12+lg )−10(−12+lg )I 1I 2=10(lg −lg )I 1I 2=101g =30I 1I 2lg =3I 1I 2=I 2I 110−3C |FB|>|AB|A B |FB|=|AB|7–√2=c ⇒−=+b 2c 2−−−−−−√7–√2c 2a 234c 2⇒==4⇒e =2e 2c 2a 2C球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：设两球半径分别为，且，则 ，所以．故选．8.【答案】C【考点】椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，连接，，由为的中位线可得，又易知，∴．由椭圆的定义可得，则，又，∴，∴，即 ，可得，即，，R 1R 2>R 1R 24π(−)=R 21R 2248π，2π(+)=12πR 1R 2−=2R 1R 2B PF 1OQ OQ ΔPF 1F 2OQ//PF 1|OQ|=|P |12F 1|OQ|=b |P |=2b F 1|P |+F 1|P |=2a F 2|P |=2a −2b F 2OQ ⊥PF 2P ⊥P F 1F 2+=(2b)2(2a −2b)2(2c)2+−2ab +==−b 2a 2b 2c 2a 2b 22a =3b b =a 2322−−−−−−5–√∴，则，当且仅当，即时，取得最小值，∴的最小值为故选.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】B,C,D【考点】频率分布直方图【解析】【解答】解：设参加测试的学生共有名，根据，可得.因为成绩落在内的学生的频率为，所以，所以．由图知，成绩在内与内的人数之比为，若用分层抽样的方法从成绩在内的学生中选取人，则在内应选的人数为．故选．10.【答案】C,D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性e ==c a 5–√3==(a +)≥×+a 2e 23b +a 2592a 1259a 122=a ×59a −−−−−−√5–√3a =59a a =5–√3+a 2e 23b 5–√3+a 2e 2b .5–√C n (2a +0.02+0.03+0.04)×10=1a =0.005[70,80)0.03×10=0.3=240n n =800m =0.005×10×800=40[60,70)[70,80)0.04:0.03=4:3[60,80)14[60,70)14×=844+3BCD正弦函数的单调性函数y=Asin （ωx+φ）的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：函数向左平移个单位长度，可得到函数的图象，已知在上有且只有个零点，当时，，∴，∴，故正确；因此只有满足，，的是在上的最大值点，共三个，只有满足，的是在上的最小值点，但当接近时，，也是一个最小值点，这时有三个最小值点，故错误；当时，，，∴，不一定能取到最小值或最大值，所以不一定是对称轴，故错误；由，可得到在单调递增，选项正确.故选．11.【答案】A,B,D【考点】直线与平面平行的判定棱柱的结构特征平面与平面垂直的判定【解析】g(x)=sin ω(ω>0)π5ωf (x)=sin(ωx +)π5f (x)[0,2π]5x ∈[0,2π]ωx +∈[,2ωπ+)π5π5π52ωπ+∈[5π,6π)π5ω∈[,)1252910D ωx +=π5π25π29π2x f (x)(0,2π)ωx +=π53π27π2x f (x)(0,2π)ω2910ωx +=<6ππ511π2B x =π2f ()=sin(ω+)π2π2π5∵ω∈[,)1252910ω+∈[,)π2π57π533π20f ()π2x =π2A −=ππ2π5310f(x)(0,)π10C CD【解答】解：正方体中，则有平面，∴到平面的距离不变，面积不变，因此三棱锥的体积不变，正确；同理平面，从而可得平面平面，∴可得平面，与平面所成的角大小始终为，正确；当与重合时，与所成的角为，不垂直，错；由正方体中，，得平面，可得，同理，从而可证平面，必有，正确.故选．12.【答案】B,D【考点】函数恒成立问题函数的周期性抽象函数及其应用函数奇偶性的性质【解析】【解答】解：由已知画出函数的图象，如图所示．当时，，显然正数不满足，所以，故 .B //AC 1D 1B //C 1A C D 1P A C D 1△A C D 1A −PC D 1A B//A 1A C D 1B //A 1C 1A C D 1P//A 1ACD 1P A 1ACD 10B P C 1DP BC 160∘C ⊥A 1C 1B 1D 1⊥B A 1C 1B 1⊥A 1C 1B D B 1D 1⊥D A 1C 1B 1B ⊥D A 1B 1D ⊥B 1B A 1C 1D ⊥P B 1A 1D ABD f (x)a <4=a M [0，a]a ≥2M [0，a]M [a ，2a]a ≥4=4M [0，a]因为，所以即在上的最大值不大于，故所以故选.三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】向量的投影【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答14.【答案】【考点】圆锥曲线的综合问题【解析】由，为上在轴两侧的点，设，，，曲线在处的切线为，曲线在处的切线为，所求图形为，其面积，由此能求出所求面积最小值．【解答】解：∵，为上在轴两侧的点，∴设，，，又曲线在点的切线斜率为，∴曲线在处的切线为，即，曲线在处的切线为，即，直线与轴的交点为点，直线与轴的交点为点，≥2M [0，a]M [a ，2a]2≥，M [a ，2a]y =f (x)[a,2a]2{a ≥6,2a ≤18，6≤a ≤9.BD 893–√P Q y =1−x 2y P(a,1−)a 2Q(b,1−)b 2(a >0>b)y =1−x 2P(a,1−)a 2:y =−2ax ++1l 1a 2y =1−x 2Q(b,1−)b 2:y =−2bx ++1l 2b 2△EFG =(a −b)(2−ab −)S △EFG 141ab P Q y =1−x 2y P(a,1−)a 2Q(b,1−)b 2(a >0>b)y =1−x 2(x,y)y'=−2x y =1−x 2P(a,1−)a 2:y =−2a(x −a)+1−l 1a 2y =−2ax ++1a 2y =1−x 2Q(b,1−)b 2:y =−2b(x −b)+1−l 2b 2y =−2bx ++1b 2l 1x E(,0)+1a 22a l 2x F(,0)+1b 22b(,1−ab)a +b直线与的交点为点，∴所求图形为，其面积，化简得：，令，假设时，才能取得最小值，则令，则，令，得：，得，即，时，取得最小值，即时，才能取得最小值，则令，则，令，得：，得，∴，，，解得，，，∴所求面积最小值为．15.【答案】【考点】两角和与差的正切公式同角三角函数基本关系的运用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.l 1l 2G(,1−ab)a +b 2△EFG =(−)⋅S △EFG +1a 22a +1b 22b 1−ab 2=(a −b)(2−ab −)S △EFG 141ab f(a,b)==(a −b)(2−ab −)S △EFG 141ab b =<0b 0f(a,b)f(a)=(a −)(2−a −)14b 0b 01ab 0f'(a)=−2+2a −+b 0b 201a 2f'()=0a 0−2+2−+a 0b 0b 201a 20f(a =f()=(−)(2−−))min a 014a 0b 0a 0b 01a 0b 0a =a 0b =b 0f(a,b)f(a,b =f(,)=(−)(2−−))min a 0b 014a 0b 0a 0b 01a 0b 0a =>0a 0f(a,b)f(b)=(−b)(2−b −)14a 0a 01b a 0f'(b)=−2+2b −+a 0a 201b 2f'()=0b 0−2+2−+a 0b 0a 201b 20f(a =f()=(−)(2−−))min a 014a 0b 0a 0b 01a 0b 0−2+2−+a 0b 0b 201a20−2+2−+=0a 0b 0a 201b20(>0>)a 0b 0=a 03–√3=−b 03–√3f(a,b =f(,)=)min a 0b 083–√9(=S △EFG )min83–√91【答案】-【考点】直线与抛物线的位置关系抛物线的性质【解析】设直线的方程为：＝，点，，代入抛物线方程，运用韦达定理和三角形的面积，计算可得所求值．【解答】设直线的方程为：＝，点，，＝代入＝，可得＝，根据韦达定理有＝，∵＝，∴＝，从而＝，∵点，位于轴的两侧，∴＝，故＝．不妨令点在轴上方，则，又（，，的面积是，可得＝，即有＝，＝，＝，＝，直线的斜率是：．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解：已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：.∵，，∴.又，∴.由余弦定理得，，∴.∵，∴，AB x ty +m A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2AB x ty +m A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2x ty +m y 2x −ty −m y 20⋅y 1y 2−m 12⋅+⋅x 1x 2y 1y 212(⋅+⋅−12y 1y 2)2y 1y 20A B x ⋅y 1y 2−4m 4A x >0y 1F 0)△BFO ×(−)y 2y 11y 2−4x 11x 216AB (1)2cos C(sin A cos B +sin B cos A)=sin C2cos C sin(A +B)=sin C sin C ≠0sin(A +B)=sin C cos C =120<C <πC =π3(2)7=+−2ab ⋅a 2b 212(a +b −3ab =7)2S =ab sin C =ab =123–√433–√2ab =6(a +b −18=7)2∴，∴，∴的周长为．【考点】正弦定理余弦定理三角形的面积公式【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据不为求出的值，即可确定出出的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，即可求的周长．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：.∵，，∴.又，∴.由余弦定理得，，∴.∵，∴，∴，∴，∴的周长为．18.【答案】解：∵，且恒过定点．∴，即，解得，解得；∵函数的图象恒在函数的上方∴恒成立，即，即，整理得，而，所以的取值范围为：.(a +b −18=7)2a +b =5△ABC 5+7–√sin C 0cos C C a +b △ABC (1)2cos C(sin A cos B +sin B cos A)=sin C2cos C sin(A +B)=sin C sin C ≠0sin(A +B)=sin C cos C =120<C <πC =π3(2)7=+−2ab ⋅a 2b 212(a +b −3ab =7)2S =ab sin C =ab =123–√433–√2ab =6(a +b −18=7)2a +b =5△ABC 5+7–√(1)f(x)=(x −a)+1log a (a >0a ≠1)(3,1)f(3)=(3−a)+1=1log a (3−a)=0log a 3−a =1a =2(2)F(x)=[h(x)+2]2G(x)=h(2x)+m +2F(x)>G(x)[h(x)+2>h(2x)+m +2]2(+3>+1+m +22x )222x m <6⋅+62x 6⋅+6>62x m (−∞,6]【考点】函数恒成立问题对数函数的单调性与特殊点【解析】（1）根据函数过定点，代入解对数方程即可得到结论．（2）根据函数的图象恒在函数的上方，转化为不等式恒成立，即可得到结论．【解答】解：∵，且恒过定点．∴，即，解得，解得；∵函数的图象恒在函数的上方∴恒成立，即，即，整理得，而，所以的取值范围为：.19.【答案】解：由曲线,易得曲线的极坐标方程为，由直线的参数方程为可得，则直线的普通方程为.由已知可得，则，，∵，，得直线的斜率.【考点】参数方程与普通方程的互化圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化直线与圆的位置关系直线的斜率【解析】F(x)G(x)F(x)>G(x)(1)f(x)=(x −a)+1log a (a >0a ≠1)(3,1)f(3)=(3−a)+1=1log a (3−a)=0log a 3−a =1a =2(2)F(x)=[h(x)+2]2G(x)=h(2x)+m +2F(x)>G(x)[h(x)+2>h(2x)+m +2]2(+3>+1+m +22x )222x m <6⋅+62x 6⋅+6>62x m (−∞,6](1):+−4x =0C 1x 2y 2C 1ρ=4cos θl {x =t cos α，y =t sin α，=x cos αysin αl y =tan α⋅x,α∈(0,)π6(2)θ=α|OA|==4cos α,|OB|==4sin αρ1ρ23–√|AB|=4cos α−4sin α,|AM|=tan α=4sin α3–√ρ1|AM|=|AB|3–√∴4sin α=(4cos α−4sin α)3–√3–√l k =tan α=3–√4此题暂无解析【解答】解：由曲线,易得曲线的极坐标方程为，由直线的参数方程为可得，则直线的普通方程为.由已知可得，则，，∵，，得直线的斜率.20.【答案】证明：依题意可知平面，因为平面，所以．因为，，所以平面．又平面，所以．解：依题意可得，，，，则，，设平面的法向量为，则，即，令，得．设与平面所成角为，因为，所以，故平面所成角的正弦值为．【考点】两条直线垂直的判定直线与平面所成的角【解析】答案未提供解析．答案未提供解析．【解答】(1):+−4x =0C 1x 2y 2C 1ρ=4cos θl {x =t cos α，y =t sin α，=x cos αysin αl y =tan α⋅x,α∈(0,)π6(2)θ=α|OA|==4cos α,|OB|==4sin αρ1ρ23–√|AB|=4cos α−4sin α,|AM|=tan α=4sin α3–√ρ1|AM|=|AB|3–√∴4sin α=(4cos α−4sin α)3–√3–√l k =tan α=3–√4(1)OA ⊥BOD CD ⊂BOD OA ⊥CD OE ⊥CD OE ∩OA =O CD ⊥AOE AE ⊂AOE CD ⊥AE (2)A(3,0,0)B(0,0,2)C(0,2,4)D(0,3,0)=(−3,2,4)AC −→−=(−3,3,0)AD −→−ACD =(x,y,z)n →⋅=⋅=0n →AC −→−n →AD −→−−3x +2y +4z =−3x +3y =0z =1=(4,4,1)n →BC ACD θ=(0,2,2)BC −→−sin θ=|cos <,>|===BC −→−n →|⋅|BC −→−n →||||BC −→−n →102×2–√33−−√566−−√66BC ACD 566−−√66(1)(2)(1)OA ⊥BOD证明：依题意可知平面，因为平面，所以．因为，，所以平面．又平面，所以．解：依题意可得，，，，则，，设平面的法向量为，则，即，令，得．设与平面所成角为，因为，所以，故平面所成角的正弦值为．21.【答案】解：记事件从甲箱中摸出一个球是红球，事件从乙箱中摸出一个球是红球，事件顾客抽奖次获一等奖，事件顾客抽奖次获二等奖，事件顾客抽奖次能获奖，由题意，相互独立，，互斥，，互斥，且，，，因为，，所以，，，故所求概率为：．由可知，顾客抽奖次获一等奖的概率为：所以，．于是，，，，．故的分布列为：(1)OA ⊥BOD CD ⊂BOD OA ⊥CD OE ⊥CD OE ∩OA =O CD ⊥AOE AE ⊂AOE CD ⊥AE (2)A(3,0,0)B(0,0,2)C(0,2,4)D(0,3,0)=(−3,2,4)AC −→−=(−3,3,0)AD −→−ACD =(x,y,z)n →⋅=⋅=0n →AC −→−n →AD −→−−3x +2y +4z =−3x +3y =0z =1=(4,4,1)n →BC ACD θ=(0,2,2)BC −→−sin θ=|cos <,>|===BC −→−n →|⋅|BC −→−n →||||BC −→−n →102×2–√33−−√566−−√66BC ACD 566−−√66(1)={A 1}={A 2}={B 11}={B 21}C ={1}A 1A 2A 1A 2¯¯¯¯¯¯A 2A 1¯¯¯¯¯¯B 1B 2=B 1A 1A 2=+B 2A 1A 2¯¯¯¯¯¯A 2A 1¯¯¯¯¯¯C =+B 1B 2P()==A 141025P()==A 251012P()=P()P()=×=B 1A 1A 2251215P()=P()+P()B 2A 1A 2¯¯¯¯¯¯A 2A 1¯¯¯¯¯¯=P()P()+P()P()A 1A 2¯¯¯¯¯¯A 1¯¯¯¯¯¯A 2=×(1−)+(1−)×=2512251212P(C)=P(+)=P()+P()=+=B 1B 2B 1B 21512710(2)(1)1,15X ∼B(3,)15P(X =0)=((=C 0315)045)364125P(X =1)=((=C 1315)145)248125P(X =2)=((=C 2315)245)112125P(X =3)=((=C 3315)345)01125X的数学期望为.【考点】相互独立事件的概率乘法公式条件概率与独立事件离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】（1）记事件，事件，事件，事件，事件，利用，相互独立，，互斥，，互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖次可视为次独立重复试验，判断．求出概率，得到的分布列，然后求解期望．【解答】解：记事件从甲箱中摸出一个球是红球，事件从乙箱中摸出一个球是红球，事件顾客抽奖次获一等奖，事件顾客抽奖次获二等奖，事件顾客抽奖次能获奖，由题意，相互独立，，互斥，，互斥，且，，，因为，，所以，，，故所求概率为：．由可知，顾客抽奖次获一等奖的概率为：所以，．于是，，X0123P 6412548125121251125X E(X)=3×=1535={从甲箱中摸出一个球是红球}A 1={从乙箱中摸出一个球是红球}A 2={顾客抽奖1次获一等奖}B 1={顾客抽奖1次获二等奖}A 2C ={顾客抽奖1次能获奖}A 1A 2A 1A 2¯¯¯¯¯¯A 2A 1¯¯¯¯¯¯B 1B 213X ∼B(3,)15X (1)={A 1}={A 2}={B 11}={B 21}C ={1}A 1A 2A 1A 2¯¯¯¯¯¯A 2A 1¯¯¯¯¯¯B 1B 2=B 1A 1A 2=+B 2A 1A 2¯¯¯¯¯¯A 2A 1¯¯¯¯¯¯C =+B 1B 2P()==A 141025P()==A 251012P()=P()P()=×=B 1A 1A 2251215P()=P()+P()B 2A 1A 2¯¯¯¯¯¯A 2A 1¯¯¯¯¯¯=P()P()+P()P()A 1A 2¯¯¯¯¯¯A 1¯¯¯¯¯¯A 2=×(1−)+(1−)×=2512251212P(C)=P(+)=P()+P()=+=B 1B 2B 1B 21512710(2)(1)1,15X ∼B(3,)15P(X =0)=((=C 0315)045)364125(X =1)=((=1448，，．故的分布列为：的数学期望为.22.【答案】解：设椭圆的焦距为．由的周长为可得，，解得 .又因为椭圆的离心率为，所以， .椭圆的标准方程为 . 由知四边形为平行四边形，且，因为，所以设直线的方程为，， . 直线方程与椭圆方程联立得 ，且 .所以，. . 解得 . ，点到直线的距离 . 四边形的面积 . 【考点】椭圆的标准方程P(X =1)=((=C 1315)145)248125P(X =2)=((=C 2315)245)112125P(X =3)=((=C 3315)345)01125X X0123P 6412548125121251125X E(X)=3×=1535(1)2c △AB F 184a =8a =212c =1=−=3b 2a 2c 2+=1x 24y 23(2)+=OA −→−OB −→−OM −→−OAMB S =2S △OAB (1,0)F 2l x =my +1A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2(3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+4×9(3+4)>0m 2m 2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2⋅OA −→−OB −→−=+x 1x 2y 1y 2=(m +1)(m +1)+y 1y 2y 1y 2=(+1)+m(+)+1m 2y 1y 2y 1y 2=(+1)++1m 2−93+4m 2−6m 23+4m 2=−12−5m 23+4m 2=−2=m 212|AB|===1+m 2−−−−−−√Δ−−√3+4m 212(1+)m 23+4m 23611O AB d ==1+1m 2−−−−−−√6–√3OAMB S =2=|AB|⋅d S △OAB =126–√11圆锥曲线的综合问题【解析】此题暂无解析【解答】解：设椭圆的焦距为．由的周长为可得，，解得 .又因为椭圆的离心率为，所以， .椭圆的标准方程为 . 由知四边形为平行四边形，且，因为，所以设直线的方程为，， . 直线方程与椭圆方程联立得 ，且 .所以，. . 解得 . ，点到直线的距离 . 四边形的面积 . (1)2c △AB F 184a =8a =212c =1=−=3b 2a 2c 2+=1x 24y 23(2)+=OA −→−OB −→−OM −→−OAMB S =2S △OAB (1,0)F 2l x =my +1A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2(3+4)+6my −9=0m 2y 2Δ=36+4×9(3+4)>0m 2m 2+=−y 1y 26m 3+4m 2=−y 1y 293+4m 2⋅OA −→−OB −→−=+x 1x 2y 1y 2=(m +1)(m +1)+y 1y 2y 1y 2=(+1)+m(+)+1m 2y 1y 2y 1y 2=(+1)++1m 2−93+4m 2−6m 23+4m 2=−12−5m 23+4m 2=−2=m 212|AB|===1+m 2−−−−−−√Δ−−√3+4m 212(1+)m 23+4m 23611O AB d ==1+1m 2−−−−−−√6–√3OAMB S =2=|AB|⋅d S △OAB =126–√11。

2022-2023学年高中高二下数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 已知集合， ，则等于( )A.B.C.D.2. 若，则“”是“”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数越小，消费结构越完善，生活水平越高.某学校社会调查小组得到如下数据：若与之间具有线性相关关系，且由最小二乘法求得关于的线性回归方程为 ，则的值为 A.B.C.D.M ={x|−3x −4<0}x 2N ={x|>0}13−xM ∩N {x|−4<x <3}{x|−1<x <3}{x|3<x <4}{x|1<x <3}a ∈R a >2|a|>2y z y x =−y^0.42x +a ^a ^()1.21.34−1.340.98−→−4. 已知的重心为，则向量（ ）A.B.C.D.5. 某车间有男工人人，女工人人，从中选一位工人参加技能培训，则不同选法的种数为（ ）A.B.C.D.6. 已知函数若函数 有且只有个零点，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.7. 曲线在点处的切线方程为( )A.B.C.D.△ABC O =BO −→−+23AB −→−13AC −→−+13AB −→−23AC −→−−+23AB −→−13AC −→−−+13AB −→−23AC −→−2015253540300f (x)= +2x ，x ≤0，x 2，x >0．2x −4xF (x)=f (x)−|kx −1|3x (0,)916(,+∞)916(0,)12(−,0)∪(0,)116916y =−2x x 4P (1,−1)2x +y −1=0x −y −2=02x −y −3=0x −y +1=08. 在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了个小球，其中个是白球，个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在箱中各任意摸出一个小球；方法二：在箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为和，则( )A.B.C.D.以上三种情况都有可能二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列函数既是偶函数，又在上单调递增的是( )A.B.C.D.10. 甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是 A.如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种C.甲乙不相邻的排法种数为种D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种11. 若函数两条对称轴之间的最小距离为，则下列说法正确的是 A.函数的最小正周期为B.函数在上单调递减C.将函数图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称D.若，则12. 如图，在正方体中，平面，垂足为，则下面结论正确的是10912010p 1p 2=p 1p 2<p 1p 2>p 1p 2(0,+∞)y =+1x 2y =−2xy =3|x|y =x −√()24427220()ABCD −A 1B 1C 1D 1H ⊥A 1AB 1D 1H（ ）A.直线与该正方体各棱所成角相等B.直线与该正方体各面所成角相等C.垂直于直线的平面截该正方体，所得截面可能为五边形D.过直线的平面截该正方体所得截面为平行四边形卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 设，，若，则________．14. 的展开式共有________项，其中含的项的系数是________．（用数字作答）15. 正方体中，，分别是棱，上的点，如果，那么________．16. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，则_______.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知集合，.求集合，；若集合，且，求实数的取值范围.18. 已知，则________.19. 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在平前，一方连续发球次后，对方再连续发球次，依次轮换．每次发球，胜方得分，负方得分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得分的概率为，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．求开始第次发球时，甲、乙的比分为比的概率；H A 1H A 1H A 1H A 1=(1,5,−1)a →=(−2,3,5)b →(k +)//(−3)a →b →a →b →k =(x −2y +z)8x 3y 3x 2AC 1S T AA 1A 1B 1∠TSC =90∘∠TSB =R f (x)f (−x)=−f (x)f (x +1)=f (1−x)x ∈[0,1]f (x)=(x +1)log 2f (31)=A ={x|≤≤128}142x−1B ={y|y =x,x ∈[，32]}log 218(1)A B (2)C ={x|m +1≤x ≤2m −1}C ⊆(A ∩B)m (2x −1=)5a 5++++x +x 5a 4x 4a 3x 3a 2x 2a 1a 0||+||+||+||+||+||=a 5a 4a 3a 2a 1a 010221010.6(1)412(2)ξξ表示开始第次发球时乙的得分，求的期望．20. 在四棱锥中， 底面，底面是边长为的菱形， ，是的中点．求证：平面平面；直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．21. 年双当天，某购物平台的销售业绩高达亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出次成功交易，并对其评价进行统计；对商品的好评率为，对服务的好评率为 ，其中对商品和服务都做出好评的交易为次．（1）请完成下表，并判断是否可以在犯错误概率不超过的前提下，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计（2）若针对服务的好评率，采用分层抽样的方式从这次交易中取出次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．附：，其．22. 已知函数，其中．当时，求的极值点的个数；当时，证明：不等式在上恒成立．(2)ξ4ξP −ABCD PD ⊥ABCD ABCD 2∠DAB =60∘E AD (1)PBE ⊥PAD (2)PB PAD 45∘C −PE −D 20181121352000.90.751400.5%140102002004=K 2n(ad −bc ))2(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)n =a +b +c +d P(K 2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.072 2.7063.8415.0246.6357.87910.828f (x)=x −ax +1e x−1a ∈R (1)a =2f (x)(2)a =0x ln x −≥0f (x)−2f (x)(0,+∞)参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二下数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】B【考点】分式不等式的解法一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：集合,集合,所以.故选.2.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】（1）根据题目所给信息进行解题即可.【解答】解：已知 ，解得或，则“”是“”的充分不必要条件.故选.3.M ={x|−3x −4<0}x 2={x|−1<x <4}N ={x|>0}13−x={x|x <3}M ∩N ={x|−1<x <3}B |a|>2a <−2a >2a >2|a|>2A【考点】求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】解：，，由过点，代入可求得.故选.4.【答案】C【考点】向量的三角形法则向量加减混合运算及其几何意义【解析】由重心性质得，进行求解即可.【解答】解：取中点，连接，∵为的重心，∴，，三点共线，由重心性质得，∴.故选．5.==2x¯¯¯1+1.5+2+2.5+35==0.5y¯¯¯0.9+0.75+0.5+0.25+0.15=−y ^0.42x +a ^(2,0.5)=1.34a ^B ++=OA −→−OB −→−OC −→−0→AC D OD O △ABC B O D ++=OA −→−OB −→−OC −→−0→=+BO −→−OA −→−OC −→−=2OD−→−=2×13BD−→−=×(+)2312BA −→−BC −→−=−+(−)13AB −→−13AC −→−AB −→−=−+23AB −→−13AC −→−C【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据分类加法计数原理，选法共有20＋15＝35（种）.【解答】B 6.【答案】D【考点】分段函数的应用函数的零点与方程根的关系函数的零点【解析】利用形数结合画出和图像，分析和,利用临界求出和，再利用斜率得出取值范围．【解答】解：由题得，即，有个交点，画出图像．当时，若有个交点满足临界条件，有唯一解，在时，得，=f(x)y 1=|kx −1|y 2k >0k <0k =916k =−116f(x)=|kx −1|=f(x)y 1=|kx −1|y 23f(x)k >03kx −1=2x −4x x >0k =916<k <9有三个交点．当时，，若有唯一解，在时，得，.综上得．故选．7.【答案】C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：由得，所以曲线在点处的切线的斜率，所以曲线在点处的切线方程为：，即.故选．8.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式概率的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：方法一：每箱中的黑球被选中的概率为，∴0<k <916k <0=|kx −1|=y 1 −kx +1,x >1k kx −1,x ≤1k−kx +1=2x −4xx >0k =−116∴−<k <0116k ∈(−,0)∪(0,)116916D y =−2x x 4=4−2y ′x 3y =−2x x 4P (1,−1)k =4×−2=213y =−2x x 4P (1,−1)y +1=2(x −1)2x −y −3=0C 1101−20所以至少摸出一个黑球的概率 . 方法二：每箱中的黑球被选中的概率为，所以至少摸出一个黑球的概率，，则 . 故选 .二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9.【答案】A,C【考点】函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断【解析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：， 是偶函数，且在上单调递增，符合题意；， ，是奇函数，在上单调递增，不符合题意；，偶函数，当时，，在上单调递增，符合题意；，的定义域为，为非奇非偶函数，不符合题意.故选.10.【答案】A,B,C,D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】此题暂无解析【解答】=1−p 1()91020=C 19C 21015=1−p 2()4510−=−p 1p 2()4510()91020=−<0()4510()8110010<p 1p 2B A y =+1x 2(0,+∞)B y =−2x(0,+∞)C y =3|x|x >0y =3x (0,+∞)D y =x −√[0,+∞)AC A解：．甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确；．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，故正确；．甲乙不相邻的排法种数为种，故正确；．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故正确．故选．11.【答案】A,C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换命题的真假判断与应用【解析】根据题意可得，即可求得周期和根据余弦函数的单调性可判断；求出平移后的解析式可判断；由可得．，代入可求解【解答】两条对称轴之间的最小距离为，则，即，故正确；当时，，根据余弦函数的单调性，可得当，即时，单调递增，故错误；将函数图象向右平移个单位长度后得关于！轴对称，故正确；由可得则则，故错误故选：．12.【答案】A,B,D【考点】A =24A 44AB +=42C 13A 33A 44B C =72A 33A 24CD =20A 55A 33D ABCD T =12π2ωB C f ()=f ()=0x 1x 2=+,=+x 1π12πk 12x 2π12k 22h,∈Z k 2f (+)x 1x 2f (x)=cos(ωx +)π3π2T =T =π12π2ω==22πT f (x)=cos(2x +)π3A x ∈[0,]π22x +∈[,]π3π34π32x +∈[π,]π34π3x ∈[,]π3π2f (x)B f (x)π6y =cos[2(x −)+]=cos 2x π6π3C cos(2x +)=0π3=+,=+,∈Z x 1π12πk 12x 2π12k 22k 12+=+=+,k ∈Z x 1x 2π6(+)πk 1k 22π6kπ2f (+)=cos[2(+)+]=cos(+kπ)=±x 1x 2π6kπ2π32π312D AC棱柱的结构特征平面的基本性质及推论【解析】结合线线角与线面角的定义判断选项，，由垂直于直线的平面与平面平行判断选项，由四边形为矩形判断选项．【解答】对于，因为直线与该正方体各面所成角相等，均为与该正方体各面所成角相等，故选项正确（1）对于，垂直于直线的平面与平面平行，截正方体所得截面为三角形或六边形，故选项错误（2）对于，过直线的平面截该正方体所得截面为为矩形，即过直线的平面截该正方体所得截面为平行四边形，故选项正确．故选：．三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13.【答案】【考点】空间向量运算的坐标表示共线向量与共面向量【解析】利用向量的坐标运算和向量平行的性质求解．【解答】解：∵，，∴，，∵，A B H A 1AB 1D 1C AC A 1C 1D B C A 5arctan H 8B C H A 1AB 1D 5ABCD −A 1B 1C 5D 1C D C A 1AC A 8C 1H A 1D ABD −13=(1,5,−1)a →=(−2,3,5)b →k +=(k −2,5k +3,−k +5)a →b →−3=(7,−4,−16)a →b →(k +)//(−3)a →b →a →b →=k −25k +3−k +5∴，解得．故答案为：．14.【答案】,【考点】二项式定理的应用二项展开式的特定项与特定系数【解析】本题中是三项和的次方，先把看作整体进行展开，再把含的项展开即可．【解答】解：，所以展开式中总共项，其中含的项是 项．所以的系数是故答案为：，15.【答案】【考点】用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】根据题意，可知，，所以平面，从而可知．【解答】==k −275k +3−4−k +5−16k =−13−1345−4480(x −2y +z)8x −2y x −2y =+z +(x −2y +z)8(x −2y)8C 18(x −2y)7C 28(x −2y)6z 2++C 38(x −2y)5z 3⋯++C 78(x −2y)1z 7z 89+8+7+⋯+2+1==459(9+1)2x 3y 3z 2=28C 28(x −2y)6z 2(x −2y)6z 2x 3y 3z 228×=−4480.C 36(−2)345−4480.90∘BC ⊥ST ST ⊥SC ST ⊥SBC ∠TSB =90∘BC ⊥BA解：由题意，平面，∵，分别是棱，上的点，∴∵，∴∵∴平面∴∴，故答案为：16.【答案】【考点】函数的求值函数的周期性【解析】根据函数奇偶性和条件求出函数是周期为的周期函数，利用函数周期性和奇偶性的关系进行转化即可得到结论．【解答】解：由题意得，奇函数满足，∴，即有，则，即函数是周期为的函数.∵当时，，∴.故答案为：.四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17.【答案】解： ∵，即，∴，解得：，故；∵，∴，即，解得：，故；BC ⊥B A 1S T AA 1A 1B 1BC ⊥ST∠TSC =90∘ST ⊥SCBC ∩SC =CST ⊥SBCST ⊥SB∠TSB =90∘90∘−14f (x)f (x +1)=f (1−x)f (x +1)=f (1−x)=−f (x −1)f (x +2)=−f (x)f (x +4)=−f (x +2)=f (x)f (x)4x ∈[0,1]f (x)=(x +1)log 2f (31)=f (32−1)=f (−1)=−f (1)=−2=−1log 2−1(1)≤≤128142x−1≤≤2−22x−127−2≤x −1≤7−1≤x ≤8A =[−1,8]y =x ，x ∈[,32]log 218≤y ≤32log 218log 2≤y ≤log 22−3log 225−3≤y ≤5B =[−3,5](2)(1)A =[−1,8]，B =[−3,5]由知，∴，①若，则，解得；②若，则解得.综上：.【考点】集合关系中的参数取值问题对数函数的值域与最值指数函数单调性的应用交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解： ∵，即，∴，解得：，故；∵，∴，即，解得：，故；由知，∴，①若，则，解得；②若，则解得.综上：.18.(2)(1)A =[−1,8]，B =[−3,5]A ∩B ={x|−1≤x ≤5}C =∅m +1>2m −1m <2C ≠∅ m +1≤2m −1，m +1≥−1，2m −1≤5，2≤m ≤3m ≤3(1)≤≤128142x−1≤≤2−22x−127−2≤x −1≤7−1≤x ≤8A =[−1,8]y =x ，x ∈[,32]log 218≤y ≤32log 218log 2≤y ≤log 22−3log 225−3≤y ≤5B =[−3,5](2)(1)A =[−1,8]，B =[−3,5]A ∩B ={x|−1≤x ≤5}C =∅m +1>2m −1m <2C ≠∅ m +1≤2m −1，m +1≥−1，2m −1≤5，2≤m ≤3m ≤3【答案】【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】，即展开的各项系数和．在的展开式中，令，可得结论．【解答】解： 已知，故，即展开式的各项系数和．在的展开式中，令，可得展开式的各项系数和为．故答案为：．19.【答案】解：记表示事件：第次和第次这两次发球，甲共得分，，，；表示事件：第次发球，甲得分；表示事件：开始第次发球，甲、乙的比分为比，则，∵，，，∴.，表示开始第次发球时乙的得分，可取，，，，，，，，∴的期望．【考点】相互独立事件的概率乘法公式离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）记表示事件：第次和第次这两次发球，甲共得分，，，；表示事件：第次发球，甲得分；表示事件：开始第次发球，甲、乙的比分为比，则，根据，，，即可求得结论；（2），表示开始第次发球时乙的得分，可取，，，，计算相应的概率，即可求得的期望．【解答】243||+||+||+||+||+||a 5a 4a 3a 2a 1a 0(2x +1)5(2x +1)5x =1∵(2x −1=++++x +)5a 5x 5a 4x 4a 3x 3a 2x 2a 1a 0||+||+||+||+||+||a 5a 4a 3a 2a 1a 0(2x +1)5(2x +1)5x =1(2x +1)5=24335243(1)A i 12i i =012A 31B 412B =A +⋅A 0A 1A ¯¯¯¯P(A)=0.4P()=0.16A 0P()=2×0.6×0.4=0.48A 1P(B)=0.16×0.4+0.48×(1−0.4)=0.352(2)P()==0.36A 20.62ξ40123P(ξ=0)=P(A)=0.36×0.4=0.144A 2P(ξ=2)=P(B)=0.352P(ξ=3)=P(⋅)=0.16×0.6=0.096A 0A ¯¯¯¯P(ξ=1)=1−0.144−0.352−0.096=0.408ξEξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400A i 12i i =012A 31B 412B =A +⋅A 0A 1A ¯¯¯¯P(A)=0.4P()=0.16A 0P()=2×0.6×0.4=0.48A 1P()==0.36A 20.62ξ40123ξ(1)A解：记表示事件：第次和第次这两次发球，甲共得分，，，；表示事件：第次发球，甲得分；表示事件：开始第次发球，甲、乙的比分为比，则，∵，，，∴.，表示开始第次发球时乙的得分，可取，，，，，，，，∴的期望．20.【答案】证明：连接，由题意可知是等边三角形，又是的中点，所以.由底面，底面，所以，且，所以平面，且平面，所以平面平面．解：由可知，在平面上的射影为，所以直线与平面所成角为．在中，．所以在中，，．以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设可得 ，，，所以，．设是平面的法向量，(1)A i 12i i =012A 31B 412B =A +⋅A 0A 1A ¯¯¯¯P(A)=0.4P()=0.16A 0P()=2×0.6×0.4=0.48A 1P(B)=0.16×0.4+0.48×(1−0.4)=0.352(2)P()==0.36A 20.62ξ40123P(ξ=0)=P(A)=0.36×0.4=0.144A 2P(ξ=2)=P(B)=0.352P(ξ=3)=P(⋅)=0.16×0.6=0.096A 0A ¯¯¯¯P(ξ=1)=1−0.144−0.352−0.096=0.408ξEξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400(1)BD △ABD E AD BE ⊥AD PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD ⊥BE PD ∩AD =D BE ⊥PAD BE ⊂PBE PBE ⊥PAD (2)(1)PB PAD PE PB PAD ∠BPE =45∘Rt △BPE PE =BE =AD =3–√23–√Rt △DPE DE =AD =112PD ==P −D E 2E 2−−−−−−−−−−√2–√E EA −→−x EB −→−y ||EA −→−E −xyz P(−1,0)2–√C(−2,,0)3–√B(0,,0)3–√=(−1,0,)EP −→−2–√=(−2,,0)EC −→−3–√=(x,y,z)m →PEC =0，−→−则得可取．由知是平面的一个法向量，则．所以二面角的余弦值为．【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面所成的角直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的判定【解析】【解答】证明：连接，由题意可知是等边三角形，又是的中点，所以.由底面，底面，所以，且，所以平面，且平面，所以平面平面．解：由可知，在平面上的射影为，所以直线与平面所成角为．在中，．所以在中，，． ⋅=0，EP −→−m →⋅=0，EC −→−m →{−x +z =0，2–√−2x +y =0，3–√=(1,,)m →23–√12–√(1)=(0,,0)EB −→−3–√PEDcos ， ==EB −→−m →⋅EB −→−m →||||EB −→−m →234−−√17C −PE −D 234−−√17(1)BD △ABD E AD BE ⊥AD PD ⊥ABCD BE ⊂ABCD PD ⊥BE PD ∩AD =D BE ⊥PAD BE ⊂PBE PBE ⊥PAD (2)(1)PB PAD PE PB PAD ∠BPE =45∘Rt △BPE PE =BE =AD =3–√23–√Rt △DPE DE =AD =112PD ==P −D E 2E 2−−−−−−−−−−√2–√−→−−→−|−→−以为原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设可得 ，，，所以，．设是平面的法向量，则得可取．由知是平面的一个法向量，则．所以二面角的余弦值为．21.【答案】【考点】独立性检验的应用列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】解：当时，，则．令，则 ，令，得，E EA −→−x EB −→−y ||EA −→−E −xyz P(−1,0)2–√C(−2,,0)3–√B(0,,0)3–√=(−1,0,)EP −→−2–√=(−2,,0)EC −→−3–√=(x,y,z)m →PEC ⋅=0，EP −→−m →⋅=0，EC −→−m →{−x +z =0，2–√−2x +y =0，3–√=(1,,)m →23–√12–√(1)=(0,,0)EB −→−3–√PED cos ， ==EB −→−m →⋅EB −→−m →||||EB −→−m →234−−√17C −PE −D 234−−√17(1)a =2f (x)=x −2x +1e x−1(x)=(x +1)−2f ′e x−1g(x)=(x +1)−2e x−1(x)=(x +2)g ′e x−1(x)<0g ′x ∈(−∞,−2)(x)>0′x ∈(−2,+∞)令，得，则在上单调递减，在上单调递增．注意到当时，恒成立，则当时，恒成立．又在上单调递增，，所以存在唯一一个，使得当时，，即，当时，，即，所以的极值点的个数为．当时，，要证在上恒成立，即证在上恒成立．先证不等式成立，构造函数，则，因此在上单调递减，在上单调递增，，由此可得，则．因此，故只需证明，即证，即证．构造函数，则．令，得，令，得，因此在上单调递减，在上单调递增，，从而原不等式得证．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性利用导数研究不等式恒成立问题【解析】此题暂无解析【解答】解：当时，，则．令，则 ，令，得，令，得，(x)>0g ′x ∈(−2,+∞)g(x)(−∞,−2)(−2,+∞)x <−1(x +1)<0e x−1x <−1g(x)<0g(x)(−2,+∞)g(2)=3e −2>0∈(−2,+∞)x0x ∈(−∞,)x 0g(x)<0(x)<0f ′x ∈(,+∞)x 0g(x)>0(x)>0f ′f (x)1(2)a =0f (x)=x +1e x−1x ln x −≥0f (x)−2f (x)(0,+∞)x ln x −≥0x −1e x−1x +1e x−1(0,+∞)ln x ≥1−1x h (x)=ln x +−11x (x)=h ′x −1x 2h (x)(0,1)(1,+∞)h (x)≥h (1)=0ln x ≥1−1x x ln x ≥x −1x ln x −≥x −1−x −1e x−1x +1e x−1x −1e x−1x +1e x−1x −1−≥0x −1e x−1x +1e x−1(x −1)(x +1)−x +1≥0e x−1e x−1(x −2)+1≥0(x >0)e x−1F (x)=(x −2)+1e x−1(x)=(x −1)F ′e x−1(x)<0F ′x ∈(0,1)(x)>0F ′x ∈(1,+∞)F (x)(0,1)(1,+∞)F (x)≥F (1)=0(1)a =2f (x)=x −2x +1e x−1(x)=(x +1)−2f ′e x−1g(x)=(x +1)−2e x−1(x)=(x +2)g ′e x−1(x)<0g ′x ∈(−∞,−2)(x)>0g ′x ∈(−2,+∞)g(x)(−∞,−2)(−2,+∞)则在上单调递减，在上单调递增．注意到当时，恒成立，则当时，恒成立．又在上单调递增，，所以存在唯一一个，使得当时，，即，当时，，即，所以的极值点的个数为．当时，，要证在上恒成立，即证在上恒成立．先证不等式成立，构造函数，则，因此在上单调递减，在上单调递增，，由此可得，则．因此，故只需证明，即证，即证．构造函数，则．令，得，令，得，因此在上单调递减，在上单调递增，，从而原不等式得证．g(x)(−∞,−2)(−2,+∞)x <−1(x +1)<0e x−1x <−1g(x)<0g(x)(−2,+∞)g(2)=3e −2>0∈(−2,+∞)x0x ∈(−∞,)x 0g(x)<0(x)<0f ′x ∈(,+∞)x0g(x)>0(x)>0f ′f (x)1(2)a =0f (x)=x +1e x−1x ln x −≥0f (x)−2f (x)(0,+∞)x ln x −≥0x −1e x−1x +1e x−1(0,+∞)ln x ≥1−1x h (x)=ln x +−11x (x)=h ′x −1x 2h (x)(0,1)(1,+∞)h (x)≥h (1)=0ln x ≥1−1x x ln x ≥x −1x ln x −≥x −1−x −1e x−1x +1e x−1x −1e x−1x +1e x−1x −1−≥0x −1e x−1x +1e x−1(x −1)(x +1)−x +1≥0e x−1e x−1(x −2)+1≥0(x >0)e x−1F (x)=(x −2)+1e x−1(x)=(x −1)F ′e x−1(x)<0F ′x ∈(0,1)(x)>0F ′x ∈(1,+∞)F (x)(0,1)(1,+∞)F (x)≥F (1)=0。

2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1. 直线的倾斜角是（ ）A.B.C.D.2. 正四棱锥中，设，，，为底面中一点，且 面，则( )A.B.C.D.3. 若直线与直线的斜率互为相反数，则的倾斜角为 A.B. C.y =−x +130∘45∘135∘150∘P −ABCD =AB −→−a →=AD −→−b →=AP −→−c →O ABCD PO ⊥ABCD =PO −→−++a →b →c→+−a →b →c→+−12a →12b →c →++12a →12b →c →:x +y +1=0l 13–√l 2l 2()30∘60∘120∘150∘D.4. “”是“两直线 与平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ）A.＝B.＝C.＝D.＝6. 三棱锥中，，分别是，的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ）A.B.C.D.7. 已知，，，则向量与的夹角为 A.B.C.D.8. 若，，，，则等于（ ）150∘a =16:x +2ay −1=0l 1:(3a −1)x −ay −1=0l 2(−1,1)135∘x −y 0x +y 0x −y 1x +y 1O −ABC M N AB OC =OA −→−a →=OB −→−b →=OC −→−c →a →b →c →NM −→−NM −→−(−++)12a →b →c →(+−)12a →b →c →(−+)12a →b →c →(−−+)12a →b →c →A(2,−5,1)B(2,−2,4)C(1,−4,1)AB −→−AC −→−()30∘45∘60∘90∘=(2,2,0)a →=(1,3,z)b →<a →>=b →60∘z −−√A.B.C.D.二、 多选题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）9. 下列说法错误的是 A.一条直线的斜率为，则这条直线的倾斜角是B.过点和点的直线的方程为C.若两直线平行，则它们的斜率相等D.若两直线斜率之积等于，则两直线垂直10. 如图，正方体的棱长为，则下列结论正确的是（ ）A.若点在线段上，则不存在点满足B.若点在线段上，则四面体的体积为定值C.若点在线段上，异面直线与所成角的取值范围是D.若点是正方体表面上的动点，满足的动点轨迹长度为11. 已知，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，，且满足，则下列说法正确的是( )A.双曲线的离心率为B.双曲线的渐近线方程为C.若的最小值为，则双曲线方程为22−−√−22−−√±22−−√±42−−√()k =tan ααA(,)x 1y 1B(,)x 2y 2=y −y 1−y 2y 1x −x 1−x 2x 1−1ABCD −A 1B 1C 1D 1a M D A 1M CM ⊥AD 1M D A 1M −CB 1D 1M D A 1BM CB 1[,]30∘90∘M AM =a 2–√3πa 2A B C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 2P C PA PB k 1k 2⋅=k 1k 214C 2C y =±x 12|AB|4−=1x 24y 2|+||=–√D.存在点，使得12. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，，的中点，平面，，，，则( )A.三棱锥的体积为B.平面截三棱锥所得的截面面积为C.点与点到平面的距离相等D.直线与直线垂直卷II （非选择题）三、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）13. 已知，若，则________．14. 向量在向量方向上的投影数量为________.15. 空间向量，，，且．则________．16. 在轴上的截距是，倾斜角为的直线方程为________．四、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）17. 已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的平分线所在直线的方程为，求边所在直线的方程．18. （本小题满分分）如图，四边形是某半圆柱的轴截面（过上、下底面圆心连线的截面）线段是该半圆柱的一条母线，点为线段的中点．P ||+||=k 1k 22–√2P −ABC D E F PC AC AB PA ⊥ABC ∠ABC =90∘AB =PA =6BC =8D −BEF 6DEF P −ABC 12P A BDE PB DF ={3λ,6,λ+6}，={λ+1,3,2λ}a →b →//a →b →λ==(2,1)a →=(−3,2)b →=(−1,1,−2)a →=(1,−2,−1)b →=(x,y,−2)n →//n →b →⋅=a →n →y 230∘△ABC A(3,−1)AB 6x +10y −59=0∠B x −4y +10=0BC 12BCC 1B 1AA 1D AA 1在线段上是否存在一点，使平面？若存在，确定点的位置；若不存在，试说明理由．若，且点 到平面 的距离为，求线段的长．19. 如图，在四棱锥中，，，，是的中点，平面平面．证明：；求直线与平面所成的角的正弦值．20. 函数．画出的图象，并求的最小值；若恒成立，求的取值范围．21. 在如图的几何体中，平面为正方形，平面为等腰梯形，，，，．求证：平面；求直线与平面所成角的正弦值．22. 如图，在多面体中，底面是边长为的菱形，且，四边形是等腰梯形，且，.(1)BC E AE//B D C 1E (2)BA =AC =1B 1B D C 11BB 1P −ABCD PA =PB =AD =CD =BC =212AD//BC AD ⊥CD E PA PAB ⊥ABCD (1)PB ⊥CE (2)CE PBC f(x)=|2x +1|−|x −1|(1)f(x)f(x)(2)f(x)≥a(x −2)a CDEF ABCD AB //CD AB =2BC ∠ABC =60∘AC ⊥FB (1)AC ⊥FBC (2)BF ADE ABCDEF ABCD 2∠BAD =60∘BDEF DE =EF =FB =1AC ⊥BF证明：平面平面，求该多面体的体积.(1)BDEF ⊥ABCD (2)参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】由直线方程可得直线的斜率，进而可得倾斜角．【解答】解：可得直线的斜率为，设倾斜角为，则，∴.故选.2.【答案】C【考点】空间向量的加减法【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，是正三棱锥底面的一点，∴为面的中点.如图：连接，相交于点，y =−x +1−1αtan α=−1α=135∘C PO ⊥ABCD O ABCD O ABCD AC BD O∴，.故选.3.【答案】B【考点】直线的斜率直线的倾斜角【解析】由已知求得直线的斜率，进一步得到直线的斜率，再由斜率是倾斜角的正切值求得的倾斜角。

2022-2023学年高中高二上数学月考试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：45 分 考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1. 已知直线经过点和点，则直线的斜率为（ ）A.B.C.D.2. 已知变量，之间的一组数据如表：若关于的线性回归方程为，则( )A.B.C.D.3. 在平面直角坐标系中，直线不经过 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且焦距为，则 A.A (0,4)B (1,3)AB 3−22−1x y y x =0.7x +y ^a ^=a ^0.10.20.350.45x −3y +2=0()C ：−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b242–√a =()42–√2–√B.C.D.5. 若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.6. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交于，两点，若的中点坐标为，则的离心率是 A.B.C.D.卷II （非选择题）二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）7. （5分） 已知点在曲线上，点在直线上，则的最小值为________.三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）8. 从某企业生产的某种产品抽取件，测量这些产品的一项指标值，由测量结果得频率分布表：质量指标值分组频数在图上作出这些数据的频率分布直方图；22–√42y =x +b y =3−4x −x 2−−−−−−√b [−1,1+2]2–√[1−2,1+2]2–√2–√[1−2,3]2–√[1−,3]2–√E ：+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2F(3,0)F E A B AB (2,−1)E ()123–√3132–√2P (a,b)y =x 2Q (c,d)l :x −y =1+(a −c)2(b −d)2−−−−−−−−−−−−−−−√100[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125]62638228(1)估计这种产品质量指标值的中位数（精确到）、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品”的规定？9. 已知椭圆经过点，离心率为，，，为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点．若直线与椭圆交于，两点，求；若直线，的斜率都存在，求证：为定值．(2)0.1(3)9580%+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b2(0,1)3–√2A B C ++=OA −→−OB −→−OC −→−0→O (1)y =x −1M N |MN |(2)AB OC ⋅k AB k OC参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学月考试卷一、 选择题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）1.【答案】D【考点】斜率的计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：已知直线上两点坐标，可求直线斜率，.故选.2.【答案】C【考点】求解线性回归方程【解析】先计算平均数，利用线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，，，代入线性回归方程为，可得，∴.故选.3.k ===−1−y 2y 1−x 2x 13−41−0D ==4.5x¯¯¯3+4+5+64==3.5y ¯¯¯ 2.5+3+4+4.54=0.7x +y^a ^ 3.5=0.7×4.5+a ^=0.35a ^C【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的性质【解析】化直线方程为斜截式，由直线斜率和截距的意义可得．【解答】解：直线可化为，∴直线的斜率为，截距为，∴直线不经过第四象限．故选．4.【答案】D【考点】双曲线的特性【解析】由双曲线的两条渐近线垂直和焦距，可得方程组，进而可得．【解答】解：由题意，双曲线两条渐近线互相垂直，且焦距为 ，可得解得故选.5.【答案】C【考点】曲线与方程x −3y +2=0y =x +13231323D −=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b2a C :−=1(a >0,b >0)x 2a 2y 2b 242–√ b =a ，2c =4，2–√+=，a 2b 2c 2{a =b =2，c =2.2–√D直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：直线表示斜率为的直线，而曲线可化为，，即表示以为圆心以为半径的下半圆，如图，由图可知，当直线与曲线相切时取到最小值，则有，解得或；当直线经过点时取到最大值，此时，所以.故选.6.【答案】D【考点】与椭圆有关的中点弦及弦长问题椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：设，，代入椭圆的方程可得，．两式相减可得：．由，，y =x +b 1y =3−4x −x 2−−−−−−√(x −2+(y −3=4)2)2(1≤y ≤3)(2,3)2y =x +b y =3−4x −x 2−−−−−−√=2|b −1|2–√b =1−22–√b =1+22–√y =x +b (0,3)b =3b ∈[1−2,3]2–√C A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2+=1x 21a 2y 21b 2+=1x 22a 2y 22b2+=0(−)(+)x 1x 2x 1x 2a 2(−)(+)y 1y 2y 1y 2b2+=4x 1x 2+=−2y 1y 2==1B−−1−0，代入上式可得：．又，，联立解得，．∴椭圆的离心率.故选.二、 填空题 （本题共计 1 小题 ，共计5分 ）7.【答案】【考点】点到直线的距离公式【解析】直接由点到直线的距离，结合函数的性质，即可求得最小值.【解答】解：由题意可知，曲线上的点到直线的距离最小时，得得最小值，由，则当时，最小值为.故答案为：.三、 解答题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ）8.【答案】解：如图.∵===1k AB −y 1y 2−x 1x 2−1−02−3∴−=−≠0x 1x 2y 1y 2=2a 2b 2c =3=−c 2a 2b 2=18a 2=9b 2e ===c a 332–√2–√2D 32–√8y =x 2l :x −y =1(a −c +(b −d )2)2−−−−−−−−−−−−−−−√(a −c +(b −d )2)2−−−−−−−−−−−−−−−√==x −−1∣∣x 2∣∣2–√+(x −)122342–√x =12(a −c +(b −d )2)2−−−−−−−−−−−−−−−√=342–√32–√832–√8(1)质量指标值的样本中位数为：，质量指标值的样本平均数为．质量指标值不低于的产品所占比例的估计值为，所以不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品”的规定．【考点】频率分布直方图众数、中位数、平均数、百分位数【解析】无无无【解答】解：如图.质量指标值的样本中位数为：，质量指标值的样本平均数为(2)95+×10≈99.70.180.38=80×0.06+90×0.26+100×0.38+x¯¯¯110×0.22+120×0.08=100(3)950.38+0.22+0.08=0.68<0.89580%(1)(2)95+×10≈99.70.180.38=80×0.06+90×0.26+100×0.38+¯¯¯．质量指标值不低于的产品所占比例的估计值为，所以不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于的产品至少要占全部产品”的规定．9.【答案】解：由题意可得，，＝，解得，，所以椭圆的方程为：，设，，联立直线与椭圆的方程可得：整理可得：，解得，或，时，，时，，即，，所以.证明：设，，由，可得，因为直线，的斜率都存在，所以，，所以，因为，在椭圆上，所以所以，即，所以为定值．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆的标准方程直线和圆的方程的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可得，，＝，=80×0.06+90×0.26+100×0.38+x¯¯¯110×0.22+120×0.08=100(3)950.38+0.22+0.08=0.68<0.89580%(1)b =1=c a 3–√2a 2+b 2c 2=4a 2=1b 2+=1x 24y 2M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2{y =x −1，+4−4=0.x 2y 25−8x =0x 2x =0x =85x =0y =−1x =85y =35M(0,−1)N(,)8535|MN |===(+(+185)235)2−−−−−−−−−−−−−√+64256425−−−−−−−√82–√5(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2++=OA −→−OB −→−OC −→−0→C(−−,−−)x 1x 2y 1y 2AB OC =k AB −y 1y 2−x 1x 2==k OC −−y 1y 2−−x 1x 2+y 1y2+x 1x 2⋅=k AB k OC−y 12y 22−x 12x 22A B+=1，x 124y 12+=1，x 224y 22+−=0−x 12x 224y 21y 22=−−y 12y 22−x 12x 2214⋅k ABk OC −14(1)b =1=c a 3–√2a 2+b 2c 2=42=12解得，，所以椭圆的方程为：，设，，联立直线与椭圆的方程可得：整理可得：，解得，或，时，，时，，即，，所以.证明：设，，由，可得，因为直线，的斜率都存在，所以，，所以，因为，在椭圆上，所以所以，即，所以为定值．=4a 2=1b 2+=1x 24y 2M(,)x 1y 1N(,)x 2y 2{ y =x −1，+4−4=0.x 2y 25−8x =0x 2x =0x =85x =0y =−1x =85y =35M(0,−1)N(,)8535|MN |===(+(+185)235)2−−−−−−−−−−−−−√+64256425−−−−−−−√82–√5(2)A(,)x 1y 1B(,)x 2y 2++=OA −→−OB −→−OC −→−0→C(−−,−−)x 1x 2y 1y 2AB OC =k AB −y 1y 2−x 1x 2==k OC −−y 1y 2−−x 1x 2+y 1y2+x 1x 2⋅=k AB k OC−y 12y 22−x 12x 22A B+=1，x 124y 12+=1，x 224y 22+−=0−x 12x 224y 21y 22=−−y 12y 22−x 12x 2214⋅k AB k OC −14。

高二6月月考数学（文）试题说明: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分. 2.考试时间120分钟。

一、选择题（本大题共12小题 , 每小题5分, 共60分） 1. i 是虚数单位,复数7=3iz i -+ （ ）A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --2.已知四个条件，①b ＞0＞a ②0＞a ＞b ③a ＞0＞b ④a ＞b ＞0，能推出ba 11<成立的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3.已知平面向量),2(),2,1(m -==，且∥，则32+=（ ） A ．(2,4)-- B. (3,6)-- C. (5,10)-- D. (4,8)--4．在等比数列}{n a 中，11=a ，12q =，则4a 的值为 （ ） A. 41 B. 81 C. 161D. 15.已知数列{}n a 是等差数列，且1352a a a π++=，则3cos a = （ ）A.2 B. 2-．12 D.12- 6.不等式（x +5）（3－2x ）≥6的解集为（ ） A ．｛x ｜x ≤－1或x ≥29｝ B ．｛x ｜－1≤x ≤29｝ C ．｛x ｜x ≥1或x ≤－29｝D ．｛x ｜－29≤x ≤1｝ 7.计算sin43°cos13°＋sin47°cos103°的结果等于( )A.21 B. 33 C. 22 D.23 8、2(sin cos )1y x x =+-是 ( )A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数9．已知数列{}n a 中，21=a ，)1(31≥+=+n a a n n ，若2009=n a ，则n = （ ）A.667B.668C.669D.67010.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4813S S =，则816S S 等于( ) A.310 B. 13 C. 19 D. 1811.下列结论正确的是（ ）A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．21,0≥+>x x x 时当C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 12.若数列{}n a 的前n 项和为s n ,且满足s n=521-n a 则s n 等于 A.331-+n B.33-n C.5-5(-1)nD.5(-1)n-5二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.设,x y 满足约束条件12x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩,则3z x y =+的最大值为14．已知向量a 、b 满足：||3a =，||4b =，a 、b 的夹角是120，则|2|a b +=___． 15．在,,ABC A B C ∆中，的对边分别为,,a b c ，若cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列,则B =______16．设1x >时，则函数411y x x =++-的最小值 。