安徽省十四校联盟2020届高三上学期11月段考理科数学答案

2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学（理）试题一、单选题 1．复数312112i ii +++-的模为（ ）A ．1BCD ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案. 【详解】 根据题意，31211211212i i i ii i +++++=+-+ (12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以|2|i +==故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则AB ＝（ ）A ．{|0}x x ≤B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或C ．{|23}x x ≤≤D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案. 【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}AB x x x =≤≤≤或.故选：B. 【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题. 3．已知向量(3,4)a =，则实数1λ=是||5a λ=的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求出a ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=，和由||5a λ=能否得到1λ=，从而得到答案.【详解】因为向量(3,4)a =，所以2345a =+=因为1λ=，所以可得5a a λλ==，所以1λ=是||5a λ=的充分条件. 因为||5a λ=，所以||||5a λ=||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题.4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ）A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案. 【详解】根据题意，32,0,()log,0,x xg xx x⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x<得31xx⎧-<⎨≤⎩或2log1xx<⎧⎨>⎩，，所以10x-<≤或02x<<.即12x-<<所以不等式()1g x<的解集为(1,2)-.故选：C.【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）正视图侧视图俯视图A．43B．23C．32D．34-【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC-和三棱锥E ACD-两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积.【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE 平面ABC ，ACD 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上， 所以DE ⊥平面ACD ， 所以1313E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACDV SDE -=⨯⨯13(31)3=31=， 所以几何体的体积为32. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题. 6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ） A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案. 【详解】由题意，22()(1)f x x '=--，221(3)(31)2f '∴=-=--，所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =.故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12548=故选：D. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题.7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5 B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1n a +的通项和前n 项和n S ，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案. 【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+，所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+11111212231nn ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2. 故选：C. 【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,0)(2,)-+∞ C ．(1,2]- D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围. 【详解】根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点， 所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-. 故选：D. 【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题. 9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n+的最小值为（ ） A ．92B ．2C ．1D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m--=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m--=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1(52≥+92=，当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A. 【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题.10．已知sin()1223πα-= 则sin(2)6πα+= （ ） A ．710-B ．710C ．79-D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解. 【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=,(2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC 平面EFGH ，BD平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DHDA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B 【解析】易得HGAC ，EF AC ，设DH GHk DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EHk DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD 平面EFGH HG =，所以ACHG ，同理AC EF设DH GHk DA AC==(01)k <<，BD平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =， 所以BD HE ，同理∥FG BD所以1AH EHk DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-， 在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围. 【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==，所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求导得2()3(4)2g x x m x '=++-， 令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=，2(4)240m ∆=++>，由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根. 又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立，又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =，则OA OD ⋅=________. 【答案】32-【解析】将3BD DC =转化为3()OD OB OC OD -=-，从而得到OD 的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =，所以3()OD OB OC OD -=-， 所以()134OD OC OB =+93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-所以9344OA OD ⋅=-+32=-.故答案为：32-. 【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小， 由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩ 所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF =所以EF OD ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角），因为AE =OA =OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知222cos 22EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题.16．已知函数()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭14cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 2cos 1x x x ωωω=+-sin 22x x ωω=+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z . 因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T . 【答案】（1）12n na ；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和nT.【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比4312a qa ，所以12n na .（2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题. 18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+，因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大，由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =--代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩ 可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b bb b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩ 解得1b <， 而1215>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =.（1）求角C 的大小； （2）若3PB =，sin 38BAP ∠=，求ABC 的面积. 【答案】（1）3C π=；（2 【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案.【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C = 所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠，2sin 3ABπ=，所以AB =所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =，所以11sin 2522ABCSCA CB C =⋅⋅=⨯⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC ，2DC AB =24AD ==，1AA ，且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EFBD而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥， 又1A HAE H =，所以EF ⊥平面1A OE ，又EF ⊂平面EFQ ，所以平面EFQ ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ， 所以11224OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,,222A ⎛-- ⎝⎭， 所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭，设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以316022376022x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =，则(2,0,6)n =，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ， 所以(1,1,0)OD =-为平面1A OE 的一个法向量， 则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅. 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.21．已知函数1()1ln 1mx f x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值. 【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭， 当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94≥= 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2 【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m=， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数， 又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a=. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。

2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学（理）试题一、单选题1．复数312112ii i +++-的模为（ ）A ．1BCD ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案【详解】 根据题意，31211211212i i i ii i +++++=+-+(12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以|2|i +==故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（） A ．{|0}x x ≤ B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或 C ．{|23}x x ≤≤ D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案.【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð.故选：B.【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3．已知向量(3,4)a =r ，则实数1λ=是||5a λ=r的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先求出a r ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ，和由||5a λ=r 能否得到1λ=，从而得到答案.【详解】因为向量(3,4)a =r，所以5a ==r因为1λ=，所以可得5a a λλ==r r ，所以1λ=是||5a λ=r 的充分条件.因为||5a λ=r，所以||||5a λ= ||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题. 4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ）A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案.【详解】根据题意，32,0,()log ,0,x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x <得310x x ⎧-<⎨≤⎩或2log 10x x <⎧⎨>⎩，， 所以10x -<≤或02x <<.即12x -<<所以不等式()1g x <的解集为(1,2)-.故选：C.【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图A ．43B ．23C ．32D ．34-【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC -和三棱锥E ACD -两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积.【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE P 平面ABC ，ACD V 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上，所以DE ⊥平面ACD ， 所以1313E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACD V S DE -=⨯⨯V 13(31)3=31=， 所以几何体的体积为32. 故选：C.【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题.6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ）A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案.【详解】 由题意，22()(1)f x x '=--， 221(3)(31)2f '∴=-=--， 所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =.故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12548= 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题.7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5B ．4C ．2D ．1 【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1n a +的通项和前n 项和n S ，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案.【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+， 所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列，所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 12111n n T S S S =++⋅⋅⋅+11111212231nn ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2.故选：C.【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,0)(2,)-+∞UC ．(1,2]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围.【详解】 根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点，所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-.故选：D.【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题.9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n+的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．1 D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m --=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】 因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m --=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1(52≥+92=， 当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A.【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题.10．已知sin()1223πα-= 则sin(2)6πα+= （ ） A ．710- B ．710 C ．79- D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解.【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=, (2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C. 【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解. 11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC P 平面EFGH ，BD P 平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DH DA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B【解析】易得HG AC P ，EF AC P ，设DH GH k DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EH k DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC P 平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD I 平面EFGH HG =，所以AC HG P ，同理AC EF P设DH GH k DA AC==(01)k <<，BD P 平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =，所以BD HE P ，同理∥FG BD 所以1AH EH k DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-，在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<Q ，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B.【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围.【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==， 所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 求导得2()3(4)2g x x m x '=++-，令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=， 2(4)240m ∆=++>， 由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根.又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立， 又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =u u u r u u u r，则OA OD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32-【解析】将3BD DC =u u u r u u u r 转化为3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得到OD uuu r的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =u u u r u u u r，所以3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()134OD OC OB =+u u u r u u u r u u u r 93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-u u u r所以9344OA OD ⋅=-+u u u r u u u r 32=-.故答案为：32-.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小， 由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩ 所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF =所以EF OD P ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角），因为AE =OA =OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知222cos 22EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题.16．已知函数()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭14cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 2cos 1x x x ωωω=+-sin 22x x ωω=+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z . 因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和nT.【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比2q =，所以12n n a -=. （2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题. 18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+，因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大，由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =--代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩ 可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b bb b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩ 解得1b <， 而1215>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =.（1）求角C 的大小； （2）若3PB =，sin 38BAP ∠=，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3C π=；（2 【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案.【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC V ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C = 所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠，2sin 3ABπ=，所以AB =所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =，所以11sin 2522ABC S CA CB C =⋅⋅=⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC P ，2DC AB =24AD ==，1AA ，且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EF BD P而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥，又1A H AE H =I ，所以EF ⊥平面1A OE ， 又EF ⊂平面EFQ ，所以平面EFQ ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ， 所以11224OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,,222A ⎛-- ⎝⎭， 所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭，设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r v u u v v ，所以316022376022x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =6)n =r，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ，所以(1,1,0)OD =-u u u r为平面1A OE 的一个法向量，则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.21．已知函数1()1ln 1mx f x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值. 【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭， 当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94≥= 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2 【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m=， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数， 又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a=. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。

2020届安徽省高三数学联考试题（理）及答案一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）AB C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭{2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U AC B ∴=-，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论. 【详解】(),a b 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

2020届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题一、单选题1．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2) B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-【答案】C【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】解：复数i （2+i ）＝2i ﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．已知23a -=，0.5log 2b =，2log 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】利用中间量隔开三个值即可. 【详解】∵()230,1a -=∈，0.5log 20b =<,2log 31c =>, ∴c a b >>， 故选：D 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±【答案】B【解析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，再由双曲线离心率为2，得到c ＝2a ，由定义知b =，代入即得此双曲线的渐近线方程． 【详解】解：∵双曲线C 方程为：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax 又∵双曲线离心率为2，∴c ＝2a ，可得b ==因此，双曲线的渐近线方程为y ＝故选：B ． 【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4．在ABC V 中，若3b =，c =4C π=，则角B 的大小为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】D【解析】利用正弦定理即可得到结果. 【详解】解：∵b ＝3，c =C 4π=，∴由正弦定理b c sinB sinC=，可得34sinB sin =可得：sin B =∵c ＜b ，可得B 3π=或23π， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题． 5．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（ ） A ．20 B ．40C ．60D ．120【答案】C【解析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可. 【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共133530C C =； （2）两名教师和两名学生，共223530C C =；故不同的选派方案的种数是303060+=. 故选：C 【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可． 6．已知函数()xxf x e e-=-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增B ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减C ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增D ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减【答案】C【解析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可． 【详解】函数()xxf x e e-=-的定义域为R ，()() xxx xf x eee ef x -----=-=-=，即()()f x f x -=， ∴()f x 是偶函数，当x 0>时，()xxf x e e -=-,y ?x e =为增函数，y x e -=为减函数， ∴()f x 在()0,+∞上单调递增， 故选：C 【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题． 7．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】A【解析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状， 结合图形，求出该三棱锥的体积． 【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P ﹣ABC ， ∴三棱锥P ﹣ABC 的体积为：112212333ABC S ⨯⨯=⨯⨯=n ， 故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8．设函数3()3()f x x x a a R =-+∈，则“2a >”是“()f x 有且只有一个零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()f x 有且只有一个零点的充要条件为2a >,或2a <-，从而作出判断. 【详解】f （x ）＝33x x a -+，f ′（x ）＝3x 2﹣3＝3（x +1）（x ﹣1）， 令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1或x ＜﹣1， 令f ′（x ）＜0，解得：﹣1＜x ＜1，∴()()33f x x x a a R =-+∈在()1，-∞-，()1∞+，上单调递增，在()1,1-上单调递减，且()12?f a -=+,() 12?f a =-+, 若()f x 有且只有一个零点，则2a >,或2a <-∴“2a >”是“()f x 有且只有一个零点”的充分而不必要条件， 故选：A 【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9．已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅u u u v u u u v的最大值是（ ） A． B．C ．4D ．8【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，圆B 的方程为：222x y +=,444DB AP sin πθ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，利用正弦型函数的性质得到最值. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()A 0,2，()D 2,2， 圆B 的方程为：222x y +=,∴)Pθθ，∴()22DB =--u u u v，，)2AP θθ=-u u u v ，∴4444DB AP sin πθθθ⎛⎫⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v ∴14sin πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，DB AP ⋅u u u v u u u v的最大值是8， 故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10．笛卡尔、牛顿都研究过方程(1)(2)(3)x x x xy ---=，关于这个方程的曲线有下列说法： ① 该曲线关于y 轴对称； ② 该曲线关于原点对称；③ 该曲线不经过第三象限； ④ 该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（ ） A ．②③ B ．①④C ．③D ．③④【答案】C【解析】以﹣x 代x ，以﹣x 代x ，﹣y 代y ，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误. 【详解】以﹣x 代x ，得到()()()123x x x xy +++=，方程改变，不关于y 轴对称；以﹣x 代x ，﹣y 代y ，得到()()()123x x x xy +++=-，方程改变，不关于原点对称；当x 0,y 0<<时，()()()1230,?0,x x x xy ---显然方程不成立， ∴该曲线不经过第三象限；令x 1=-,易得12y =，即()1,12-适合题意，同理可得()()()1,02,03,0，，适合题意， ∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的， 故选：C 【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．二、填空题11．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______. 【答案】24【解析】先求出二项式412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项公式44421441(2)()2r r r r r rr T C x C x x---+==，再令420r -=，求出2r =代入运算即可得解. 【详解】解：由二项式412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项公式为44421441(2)()2r r r r r rr T C x C x x ---+==，令420r -=，解得2r =，即展开式中的常数项为422443242421C -⨯=⨯=⨯， 故答案为24. 【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =_______；数列{}n a 的前n 项和的最小值为_____． 【答案】6- 20-【解析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a 2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值． 【详解】解：等差数列{a n }的公差d 为2， 若a 1，a 3，a 4成等比数列， 可得a 32＝a 1a 4，即有（a 1+2d ）2＝a 1（a 1+3d ）， 化为a 1d ＝﹣4d 2，解得a 1＝﹣8，a 2＝﹣8+2＝﹣6； 数列{a n }的前n 项和S n ＝na 112+n （n ﹣1）d ＝﹣8n +n （n ﹣1）＝n 2﹣9n＝（n 92-）2814-， 当n ＝4或5时，S n 取得最小值﹣20． 故答案为：﹣6，﹣20． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13．若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________． 【答案】28x y =或2y x =【解析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可. 【详解】设抛物线的标准方程为：2x my =，不难验证()12,4,22⎛⎫⎪⎝⎭，适合，故28x y =； 设抛物线的标准方程为：2n y x =，不难验证()()1,14,2，适合，故2y x =；故答案为：28x y =或2y x = 【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题. 14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X 为其中成活的株数，若X 的方差 2.1DX =，(3)(7)P X P X =<=，则p =________．【答案】0.7【解析】由题意可知：()X ~B 10,p ，且()()()101 2.137p p P X P X ⎧-=⎪⎨=<=⎪⎩，从而可得p 值．【详解】由题意可知：()X ~B 10,p∴()()()101 2.137p p P X P X ⎧-=⎪⎨=<=⎪⎩，即21001002100.5p p p ⎧-+=⎨>⎩, ∴0.7p =故答案为：0.7 【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15．已知函数()f x 的定义域为R ，且()2()f x f x π+=，当[0,)x π∈时，()sin f x x =．若存在0(,]x m ∈-∞，使得0()43f x ≥，则m 的取值范围为________．【答案】10[,)3π+∞ 【解析】由f （x + π）＝2f （x ），得f （x ）＝2f （x ﹣π），分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围． 【详解】解：∵()()2f x f x π+=，∴()()2f x f x π=-， ∵当[)0,x Îp 时，()sin f x x =．∴当[),2x ππ∈时，()()2sin f x x π=-． 当[)2,3x ππ∈时，()()4sin 2f x x π=-． 当[)3,4x ππ∈时，()()8sin 3f x x π=-． 作出函数的图象：令()8sin 343x π-=103x π=，或113π， 若存在(]0,x m ∈-∞，使得()043f x ≥，则103m π≥，故答案为：10[,)3π+∞ 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d （每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q 满足关系式：112(2)Tq l d dλλ∆=+，其中玻璃的热传导系数31410λ-=⨯焦耳/（厘米⋅度），不流通、干燥空气的热传导系数42 2.510λ-=⨯焦耳/（厘米⋅度）， T ∆为室内外温度差．q 值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型． 【答案】B【解析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的q 值，根据q 值越小，保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A 型双层玻璃窗户：3142410320.52492.5100.5l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭， B 型双层玻璃窗户：3142410420.52652.5100.5l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭， C 型双层玻璃窗户：3142410220.6233.22.5100.6l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭， D 型双层玻璃窗户：3142410320.6249.22.5100.6l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭，根据1122Tq l d d λλλ∆=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且q 值越小，保温效果越好． 故答案为：B 【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题17．已知函数2()22cos ()f x x x m m R =++∈． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间；（3）对于任意[0,]2x π∈都有()0f x <恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）π；（2）[,]()36k k k Z ππππ-++∈；（3）(,3)-∞-.【解析】（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f （x ）的最小正周期T ；（2）由三角函数的图象与性质即可求函数f （x ）的单调递增区间； （3）原问题等价于()f x 的最大值小于零. 【详解】（1）因为()22cos f x x x m =++cos21x x m =+++，2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2π2T π==． （2）由（1）知()2sin 216f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． 又函数sin y x =的单调递增区间为ππ2,222k k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z)．由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈．所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （3）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤. 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.所以2sin 2136m x m m π⎛⎫≤+++≤+ ⎪⎝⎭. 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 的最大值为3m +，又因为()0f x <对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以30m +<，即3m <-. 所以m 的取值范围是(),3-∞-. 【点睛】本题主要考查三角函数函数的周期、单调区间和最值问题，关键在正确化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用三角函数的性质解答，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．18．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数；（2）从所抽取的20人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和数学期望；（3） 如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．【答案】（1）抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有2人，得分落在组(20,40]的人数有3人；（2）分布列见解析，1.2；（3）答案不唯一，具体见解析. 【解析】（1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望；（3）该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合此数据作出合理的解释.【详解】（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有0.005020202⨯⨯=（人），得分落在组(]20,40的人数有0.007520203⨯⨯=（人）．所以所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有2人，得分落在组(]20,40的人数有3人．（2）X 的所有可能取值为0，1，2．()33351010C P X C ===， ()1223356110C C P X C ===， ()2123353210C C P X C ===． 所以X 的分布列为所以X 的期望163012 1.2101010EX =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分． 答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解，考查分析问题解决问题的能力.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3ABC π∠=，PA ⊥平面ABCD ，3PA =，2PF FA =，E 为CD 的中点．（1）求证：BD PC ⊥；（2）求异面直线AB 与DF 所成角的余弦值；（3）判断直线EF 与平面PBC 的位置关系，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（25；（3）相交，理由见解析． 【解析】（1）根据题意先证明BD ⊥平面PAC ，即可得到答案；（2）以O 为坐标原点，以OB 为x 轴，以OC 为y 轴，以过点O 且与AP 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，求出AB u u u v 、DF u u u v的坐标，利用公式即可得到结果；（3）求出平面PBC 的一个法向量与向量EF u u u v ，根据n EF ⋅u u u vr 与零的关系，作出判断.【详解】 （1）连结AC ．因为底面ABCD 是菱形 ，所以BD AC ⊥. 又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. 又因为PA AC A ⋂=， 所以BD ⊥平面PAC .又因为PC⊂平面PAC，所以BD PC⊥.（2）设AC，BD交于点O.因为底面ABCD是菱形，所以AC BD⊥，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA AC⊥，PA BD⊥.如图，以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，则()0,1,0A-，)3,0,0B，()0,1,0C，()3,0,0D-，31,,022E⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，()0,1,3P-，()0,1,1F-.则)3,1,0AB=u u u v，)3,1,1DF=-u u u v，设异面直线AB与DF所成角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，||5cos cos,AB DFAB DFAB DFθ⋅=〈〉==⋅u u u u v u u u u vu u u v u u u vu u u v u u u v，所以AB与DF所成角的余弦值为55.（3）直线EF与平面PBC相交.证明如下：由（2）可知，33,12EF⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u v，()3,1,0BC=-u u u v，()3,1,3BP=--u u u v，设平面PBC的一个法向量为()n,,x y z=r，则0,0,n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v 即0,30,y y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =)n =r ．则)3n ,1202EF ⎫⋅=-⋅≠⎪⎪⎝⎭u u u v r ，所以直线EF 与平面PBC 相交． 【点睛】本题考查线面的位置关系，考查异面直线所成角的度量，考查推理能力与计算能力，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标； （2）求证：D ，B ，N 三点共线．【答案】（1）22143x y +=，(1,0)；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据题意列方程组222,1914a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；（2）讨论直线l 的斜率，利用DB DN u u u v u u u v，是平行的证明D ，B ，N 三点共线． 【详解】（1） 因为点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为()2,0-， 所以222,191.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为()1,0．（2）① 当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =． 显然，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 当31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线DA 的方程为()122y x =+，点M 的坐标为()4,3． 所以1MF k =．直线FN 的方程为()1y x =--，点N 的坐标为()4,3-．则33,2DB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，()6,3DN =-u u u v ．所以2DN DB =u u u v u u u v，所以D ，B ，N 三点共线．同理，当31,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭时，D ，B ，N 三点共线． ② 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由()221,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()()22223484120kxk x k +-+-=． 且()()()222284344120k k k∆=--+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．直线DA 的方程为()1122y y x x =++，点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭． 所以11116022412MFy x y k x -+==-+． 直线NF 的方程为()11212x y x y +=--，点N 的坐标为()11324,2x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 则()222,DB x y =+u u u v ，()11326,2x DN y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭u u u v ．所以()()122132262x x y y -++⋅-()()1212132242x x y y y ⎡⎤=-+++⎣⎦，()()()()2121213224112x x k x x y ⎡⎤=-+++--⎣⎦， ()()()2221212131424442k x x k x x ky ⎡⎤=-++-+++⎣⎦，()()222222213412814244423434k k k k k y k k ⎡⎤-=-++-++⎢⎥++⎣⎦，()()()()()222222211441224844343234k kk k k k y k +-+-+++=-⋅+，242242422134121648163212121616234k k k k k k k k y k -+-+-++++=-⋅+0=．所以DB u u u v 与DN u u u v共线， 所以D ，B ，N 三点共线． 综上所述，D ，B ，N 三点共线． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21．已知函数()(sin )ln f x x a x =+，a R ∈． （1）若0a =.（ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；（ⅱ）求函数()f x 在区间(1,)π内的极大值的个数．（2）若()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）2ln02x y ππππ--+=；（ⅱ）1；（2）(,1]-∞-．【解析】（1）（ⅰ）求出导函数，得到2f π⎛⎫⎪⎝⎭'与2f π⎛⎫⎪⎝⎭，利用点斜式得到直线的方程；（ⅱ）研究函数在区间()1,π内单调性，结合极值的定义得到答案； （2）由题可知()sin cos ln x a f x x x x +='+，其中,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，分两类情况：1a ≤-与1a >-，结合函数的单调性与极值即可得到实数a 的取值范围． 【详解】（1）（ⅰ）因为()sin ln f x x x =， 所以()sin cos ln x f x x x x =+'，22f ππ⎛⎫= ⎪⎭'⎝． 又因为ln 22f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为2ln 22y x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，化简得2ln 02x y ππππ--+=．（ⅱ）当1,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 无极大值． 当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，设()()g x f x ='，则()22cos sin sin ln 0x x g x x x x x =--'+<，所以()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减． 又因为202f ππ⎛⎫=⎪⎭'>⎝， ()ln 0f ππ'=-<， 所以在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所以()f x 在()01,x 内单调递增，在()0,x π内单调递减，此时()f x 有唯一极大值．综上所述，()f x 在()1,π内的极大值的个数为1． （2） 由题可知()sin cos ln x a f x x x x +='+，其中,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 当1a ≤-时，()0f x '<，故()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减； 下面设1a >-． 对于,2x ππ⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，2ln ln ln 2x e π<<=，且cos 0x <， 所以cos ln 2cos x x x >．所以当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin sin 2cos 2cos x a x a x x f x x x x +++>+'=． 设()sin 2cos h x x x x a =++，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()cos 2cos 2sin 3cos 2sin 0h x x x x x x x x =+-=-<'． 所以()h x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． 102h a π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()2h a ππ=-+． 当20a π-+≥时，即2a π≥时，()0h π≥，对,2x ππ⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，()0h x >， 所以()0f x '>，()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，不符合题意． 当20a π-+<时，即12a π-<<时，02h π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0h π<， 所以1,2x ππ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使()10h x =， 因为()h x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减， 所以对1,2x x π⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，()0h x >，所以()0f x '>．所以()f x 在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，不符合题意．所以当1a >-时，()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调递减． 综上可得1a ≤-，故a 的取值范围为(],1-∞-． 【点睛】本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，同时考查了数形结合的数学思想与分类讨论的思想，属于中档题．22．设m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 定义如下： 11a =，1,,2,.nn n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数（1）若5m =，写出8a ，9a ，10a ；（2）求证：数列{}n a 单调递增的充要条件是m 为偶数； （3）若m 为奇数，是否存在1n >满足1n a =？请说明理由．【答案】（1）86a =，93a =，108a =；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析． 【解析】（1）5m =时，结合条件，注意求得8a ，9a ，10a ； （2）根据1n n a a +-与零的关系，判断数列{}n a 单调递增的充要条件； （3）存在1n >满足1n a =. 【详解】（1）86a =，93a =，108a =． （2）先证“充分性”．当m 为偶数时，若n a 为奇数，则1n a +为奇数．因为11a =为奇数，所以归纳可得，对*n N ∀∈，n a 均为奇数，则1n n a a m +=+， 所以10n n a a m +-=>， 所以数列{}n a 单调递增． 再证“必要性”．假设存在*k N ∈使得k a 为偶数，则12kk k a a a +=<，与数列{}n a 单调递增矛盾， 因此数列{}n a 中的所有项都是奇数．此时1n n a a m +=+，即1n n m a a +=-，所以m 为偶数． （3）存在1n >满足1n a =，理由如下：因为11a =，m 为奇数，所以212a m m =+≤且2a 为偶数，312ma m +=≤． 假设k a 为奇数时， k a m ≤；k a 为偶数时，2k a m ≤． 当k a 为奇数时，12k k a a m m +=+≤，且1k a +为偶数； 当k a 为偶数时，12kk a a m +=≤． 所以若1k a +为奇数，则1k a m +≤；若1k a +为偶数，则12k a m +≤． 因此对*n N ∀∈都有2n a m ≤．所以正整数数列{}n a 中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项． 设集合(){,|,}r s A r s a a r s ==<，设集合()**{|,}B r N r s A N =∈∈⊆．因为A ≠∅，所以B ≠∅．令1r 是B 中的最小元素，下面证11r =． 设11r >且1111()r s a a r s =<．当1r a m ≤时，1112r r a a -=，1112s s a a -=，所以1111r s a a --=； 当1r a m >时，111r r a a m -=-，111s s a a m -=-，所以1111r s a a --=． 所以若11r >，则11r B -∈且111r r -<，与1r 是B 中的最小元素矛盾．所以11r =，且存在*11s N <∈满足111s a a ==，即存在1n >满足1n a =．【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的单调性，考查学生分析问题及解决问题得能力，属于难题．2020届北京市东城区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么A B =I （ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|11x x -≤< C ．{}|12x x ≤< D ．{}|11x x -<≤【答案】D【解析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<， 所以A B =I {}|11x x -<≤. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．复数在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限【答案】B【解析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限. 【详解】，对应点为，在第三象限.故答案选B 【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3．下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（ ） A ．1y x=B ．ln ||y x =C ．2x y =D ．1||y x =-【答案】B【解析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数，当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数2xy =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意， 故选：B . 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4．设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数，当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立， 所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5．设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥C ．若//n α，m n ⊥，则m α⊥D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【答案】B【解析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确；对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确； 对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确； 对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立， 故选：B . 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 6．从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ ） A ．7 B ．9 C ．10 D ．13【答案】C【解析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解. 【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法； （2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）A ．若2παβ+<，则sin sin αβ+<B ．若2παβ+<，则cos cos αβ+<C ．若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D ．若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>【答案】A【解析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案. 【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sin cos2sincos22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<对于B 中，例如,66ππαβ==，此时coscos66ππ+=>所以cos cos αβ+<对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，5611sinsin 212ππ+=<， 所以sin sin 1αβ+>不正确；对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，1cos c 23os 162ππ+=-+<， 所以cos cos 1αβ+>不正确， 故选：A . 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =3，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．① B ．②③C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan ROC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解. 【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =，长轴长为22sin R a α=，即sin Ra α=， 在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C ROC αα==，又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭， 即222OC b a +=，所以222OC a b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由124O O =，可得12O O =33R = 在直角1O OC ∆中，2222212(3)1OC OO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====， 所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题9．若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________.【答案】4【解析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10．已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________. 【答案】12 454【解析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案. 【详解】。

2022届高三上学期11月段考数学（理科）试题一､选择题1.已知集合2}|{4A x Z x =∈<，{1,}B a =，B A ⊆，则实数a 的取值集合为（ ）A.{}2,1,0--B.{2,1}--C.{1,0}-D.{}1-答案： C 解析：【分析】先解出集合A ，再根据B A ⊆确定集合B 的元素，可得答案.【详解】由题意得，{}{|22}1,0,1A x Z x =∈-<<=-，∵{1,}B a =，B A ⊆， ∴实数a 的取值集合为{1,0}-,故选：C.2.“数列{}n a ，{}n b 都是等差数列”是“数列{}n n a b +是等差数列”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案： A 解析：【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合等差数列的定义判断【详解】若数列{}n a ，{}n b 都是等差数列，则设数列{}n a ，{}n b 的公差分别为12,d d ， 所以111112()()()n n n n n n n n a b a b a a b b d d +++++-+=-+-=+为常数， 所以数列{}n n a b +是等差数列，若数列{}n n a b +是等差数列，如()22n nn n a b n n +=+-=是等差数列，而此时2,2n n n n a b n ==-均不是等差数列，所以“数列{}n a ，{}n b 都是等差数列”是“数列{}n n a b +是等差数列”的充分不必要条件.故选：A.3.函数图象如图，其对应的函数可能是（ ）A.1()|||1|f x x =-B.1()|1|f x x =-C.21()1f x x =- D.21()1f x x =+ 答案： A 解析： 【分析】根据定义域可排除选项B 、D ，根据()01f =可排除C.【详解】由图可知()f x 的定义域为{}1x x ≠±，故B 、D 错误；()01f =，故C 错误.故选：A.4.古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率ϕ，且黄金分割率的值也可以用2sin18︒表示，则228cos 182ϕϕ︒=-（ ）A.1B.2C.4D.8答案： B 解析：【分析】利用正弦的二倍角公式、三角平方关系可得答案.【详解】()2222221cos728cos 1832sin 18cos 188sin 362222sin1822sin181cos72ϕϕ-====----.故选：B.5.已知函数()f x 的导数为()f x '，且2(n )l ()f xf e x x '=+，则曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线的斜率为（ ） A.21e-B.11e-C.1eD.2e答案： A 解析：【分析】先对函数求导，然后令x e =代入导函数中可求出'(e)f ，从而可得导函数的解析式，再求出'(1)f 即可【详解】∵()()2e ln f x xf x +'=，∴()()12e f x f x''=+， ∴()()1e 2e e f f ''=+，解得()1e e f '=-，∴()21e f x x '=-+，∴()211ef '=-.故选：A.6.已知01a b <<<，设ln m b a =，ln n a b =，ln ln()ln ap b=，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A.m n p << B.n m p <<C.p m n <<D.p n m <<答案： A 解析：【分析】由给定条件可得1ba>，ln 1ln a b >，再用作商法比较m ，n 的大小即可. 【详解】因01a b <<<，则1ba>，且ln ln 0a b <<，即有ln 1ln a b >，因此，ln ln()0ln a b>，即p >0， 又0m <，0n <，则ln ln 1ln ln m b a b an a b a b==⋅>，于是得0m n <<， 所以m n p <<.故选：A.7.在正六边形ABCDEF 中，点G 是线段DE 的中点，则FG =（ ） A.5163AC DB - B.2133AC DB - C.5166AC DB - D.2136AC DB - 答案：D 解析：【分析】利用向量加法的三角形法则可得答案.【详解】作出图形如下所示，由已知得，1233BA BM MA BD CA =+=+，所以 111221()223336FG FD DG AC DG AC BA AC BD CA AC DB =+=+=+=++=-.故选：D.8.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos()2sin()02b Ac B ππ+++=，tan B =6b =，则ABC ∆的面积为（ ）B.2C. 答案： D 解析：【分析】诱导公式化简后用正弦定理得到2a c =，利用正切值求出正弦与余弦值，根据余弦定理求出3c =，利用面积公式求出答案.【详解】由题意得，sin 2sin 0b A c B -=，由正弦定理得，20,2ab bc a c -==.∵sin tan 0,(0,)cos 2B B B B π==>∈，22sin cos 1B B +=，联立两式，解得sin 4B =，1cos 4B =.由余弦定理得，2222cos b a c ac B =+-，即2364c =，解得：3c =，∴11sin 6322ABC S ac B ==⨯⨯=△.故选：D. 9.已知定义域为R 的函数()f x 满足(1)3()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()4(1)f x x x =-，则当[2,1)x ∈--时，()f x 的最小值是（ ）A.181-B.127-C.19-D.13-答案： C 解析：【分析】根据题意得()2,1x ∈--时，2431()()929f x x =+-，()20f -=，进而得答案. 【详解】由题意得，()10f =，又()()0130f f +=，∴()00f =，()()()()()1111221111003399f f f f f -=-+=-=-+==. ∵()2,1x ∈--，∴()20,1x +∈， ∴()()()()()21144311221()399929f x f x f x x x x =+=+=++=+-， 故当32x =-时，()f x 取得最小值19-. 综上，当[2,1)x ∈--时，()f x 的最小值是19-.故选：C. 10.已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，图象与y轴交于点M ，与x 轴交于点C ，点N 在()f x 的图象上，且点M ，N 关于点C 对称，则下列说法：①2ω=；②5()()03f x f x π++-=；③()f x 在()2,03π-上单调递增；④将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后得到的函数图象关于y 轴对称，其中正确的个数为（ ）A.1B.2C.3D.4答案： B 解析：【分析】先根据点M ，N 关于点C 对称求出点C 的坐标，则函数的周期可求，然后再结合图象即可求出解析式，然后逐一判断即可． 【详解】由点M ，N 关于点C 对称可知(,0)3C π，故2(())36T πππ=--=， 所以22T πω==，故①正确，所以()sin(2)f x A x ϕ=+，所以又()06f π-=， 所以sin()03πϕ-+=，即03πϕ-+=，得3πϕ=，所以()sin(2)3f x A x π=+，因为5()sin 206f A ππ==，故()f x 图象关于5(,0)6π对称，则5()()03f x f x π++-=，故②正确， 当2(,0)3x π∈-时，2(,)33x πππ+∈-，因为函数sin y x =在(,)2ππ--上单调递减， 在(,)23ππ-上单调递增，故()f x 在2(,0)3π-上不满足单调递增，故③错误， 将函数()f x 的图象向左平移6π个单位长度后得2sin[2()]sin(2)633y A x A x πππ=++=+，0x =时显然取不到最值，故不是偶函数，即④错误．故选：B ．11.已知数列{}n a 满足*122()n n a a n n N +-=+∈，15a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，则满足不等式2021n S >的最小整数n 的值为（ ） A.61 B.62C.63D.64答案： C 解析：【分析】对已知式子变形可得到数列{}n a n -是首项为4，公比为12的等比数列，从而可求出32nn a n -=+，然后利用分组求和法求出n S ，从而可求出满足不等式2021n S >的最小整数n 的值.【详解】∵122n n a a n +-=+，∴111122n n a a n +=++，∴()()1112n n a n a n +-+=-， 又114a -=，则数列{}n a n -是首项为4，公比为12的等比数列， ∴1314()22n n n a n ---=⨯=，∴32n n a n -=+，∴()()()213311232222822n n n n n S n ---+=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=-+， ∵5962196122021S -=-<，6063202422021S -=->，∴满足不等式2021n S >的最小整数n 的值为63.故选：C. 12.已知当2(0,)3x π∈时，sin sin 2cos x x bx x +≥恒成立，则正实数b 的取值范围为（ ） A.(0,1) B.(0,1]C.[1,3]D.(0,3]答案： D 解析：【分析】先讨论不等式在2[,)23ππ上恒成立，在(0,)2x π∈时，变形不等式并构造函数()tan 2sin h x x x bx =+-，利用导数探求()0h x ≥的正数b 即可.【详解】当2[,)23x ππ∈时，而0b >，sin sin 2sin (12cos )0cos x x x x bx x +=+>≥，原不等式恒成立，当(0,)2x π∈时，cos 0x >，不等式等价变形为：tan 2sin x x bx +≥，令()tan 2sin h x x x bx =+-，(0,)2x π∈，而(0)0h =，求导得21()2cos cos h x x b x'=+-， 令()()g x h x '=，则3332sin 2sin (1cos )()2sin 0cos cos x x x g x x x x-'=-=>，则()h x '在(0,)2π上单调递增，(0)3h b '=-，若3b >，则(0)0h '<，记cosθ=，(0,)2πθ∈，则()0h b b θ'=+=>， 则存在()00,x θ∈，使得()00h x '=，当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减， 即当()00,x x ∈时，()(0)0h x h <=，不符合题意， 若3b ≤，()(0)0h x h ''>≥，即当(0,)2x π∈时，()h x 单调递增，则有()(0)0h x h >=，符合题意，综上得，3b ≤， 所以正实数b 的取值范围是(0,3].故选：D. 二､填空题13.已知向量a ，b 满足(0,1)a =，||2b =，a 与b 的夹角为135︒，则|2|a b -= ．答案：解析：【分析】结合模长、数量积公式、2a a =化简即可求解.【详解】由()2222244a b a ba b a b -=-=+-⋅，因为(0,1),2a b ==，a 与b的夹角为135︒，所以1a =，3||||cos 1(142a b a b π⋅=⋅⋅=-=-，故22244184a b a b a b -=+-⋅=++=14.已知数列{}n a 是等比数列，{}n b 是等差数列，若7a =6103b π=，则210311sin1b b a a +=- ．答案：解析：【分析】由等差､等比数列的性质得231175a a a ==，21062023b b b π+==代入可得答案. 【详解】由等差､等比数列的性质，得231175a a a ==，21062023b b b π+==，∴2103112053sin sin sin()sin 115332b b a a πππ+==-==--.15.已知函数3213(),02()2343,03xx f x x x x x ⎧⋅≤⎪⎪=⎨⎪-++>⎪⎩，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =-++恰有4个不同的零点，则a 的取值范围为 ．答案：1314(,)33解析：【分析】由分段函数结合导数求出()f x 值域，令()t f x =，结合()g t 图象特征采用数形结合法可求a 的取值范围.【详解】3213(),02()2343,03xx f x x x x x ⎧⋅≤⎪⎪=⎨⎪-++>⎪⎩，当0x ≤时，011()3()3()322xf x =⋅≥⋅=，函数为减函数； 当0x >时，()3223433f x x x x =-++，()()()()22264232212f x x x x x x x =-+=-+=--'，()0,1x ∈和()2,+∞时， ()f x 单增，()1,2x ∈时，()f x 单减，()1413f =，()1323f =，故()f x 的图象大致为：令()t f x =，则()3,t ∈+∞，()()()()22()[()](2)()2222g x f x a f x a g t t a t a t a t =-++⇔=-++=--，[)3,t ∞∈+，当2a =时，()()22g t t =-，[)3,t ∞∈+，()g t 无零点；当2a <时，()()()2g t t a t =--，[)3,t ∞∈+，()g t 无零点； 当2a >时，()()()2g t t a t =--，[)3,t ∞∈+，()0g t =，则t a =，要使2()[()](2)()2g x f x a f x a =-++恰有4个不同的零点，则()1314(,)33t f x =∈，即1314(,)33a ∈.故答案为：1314(,)33. 16.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古，流芳后世.如图，在滕王阁旁地面上共线的三点A ，B ，C 处测得阁顶端点P 的仰角分别为30︒，60︒，45︒.且75AB BC ==米，则滕王阁高度OP = 米.答案：解析：【分析】设OP =，由边角关系可得3OA h =，OB h =，=OC ，在OBC 和OAB 中，利用余弦定理列方程，结合cos cos 0OBC OBA ∠+∠=可解得h 的值，进而可得OP 长.【详解】设OP =，因为30PAO ∠=，60PBO ∠=，45PCO ∠=，所以33tan 303PO OA h ===，3tan 603PO OB h ===，3tan 45PO OC h ==，. 在OBC 中，2222cos OC OB BC OB BC OBC =+-⋅⋅∠， 即222375275cos h h h OBC =+-⨯∠①，在OAB 中，2222cos OA OB AB OB AB OBA =+-⋅⋅∠， 即222975275cos h h h OBA =+-⨯∠②， 因为cos cos 0OBC OBA ∠+∠=，所以①②两式相加可得：222122275h h =+⨯，解得：h =则OP ==，故答案为：三､解答题17.已知命题:|4|2p a -≤，命题:q 函数2()()log a f x x ax a =-+的定义域为R ．（1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若()p q ∨⌝为假命题，求实数a 的取值范围． 答案：（1）()()0,11,4a ∈⋃ （2）()()0,11,2a ∈⋃ 解析：【分析】（1）若q 为真命题，则20x ax a -+>对x ∈R 恒成立且0,1a a >≠，结合判别式即可求解；（2）化简p 可得a 范围，()p q ∨⌝为假命题，则p 假且q 真，运算即可求解. 【详解】（1）q 为真命题，则20x ax a -+>对x ∈R 恒成立且0,1a a >≠，则2Δ4010a a a a ⎧=-<⎪≠⎨⎪>⎩，()()0,11,4a ∈⋃； （2）结合:42p a -≤得[]2,6a ∈，p ⌝：()(),26,a ∞∞∈-⋃+，若()p q ∨⌝为假命题，则p 假且q 真，则满足()()()(),26,0,11,4a a ∞∞⎧∈-⋃+⎪⎨∈⋃⎪⎩， 所以()()0,11,2a ∈⋃.18.已知函数2()2sin cos 1(01)f x x x x ωωωω=+-<<，满足4()()3f x f x π-=. （1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向右平移23π个单位长度得到()g x 的图象，若6(2)35g πθ+=-，(0,)2θπ∈，求cos θ的值. 答案：解析：【分析】（1）化简()f x 解析式，根据()f x 的对称轴求得ω，进而求得()f x 的解析式. （2）根据三角函数图象变换求得()g x ，由6(2)35g πθ+=-求得3cos()65πθ+=，进而求得4sin()65πθ+=，从而求得cos θ. 【详解】（1）由题意得，()cos 222sin(2)6f x x x x πωωω=-+=-，由4()()3f x f x π-=，得()f x 图象的一条对称轴为2π3x =，∴4ππππ362k ω-=+，k Z ∈， ∴3142k ω=+，k Z ∈，又01ω<<，解得12ω=，∴()2sin()6f x x π=-.（2）由题意得，()1212sin[()]2sin()2cos 236222xg x x x πππ=--=-=-. ∵6(2)35g πθ+=-，∴62cos()65πθ-+=-，即3cos()65πθ+=，∵(0,)2θπ∈，∴2(,)663πππθ+∈，∴4sin()65πθ+=， ∴cos cos[()]cos()cos sin()sin 666666ππππππθθθθ=+-=+++3414525210=⨯+⨯=. 19.如图所示，在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．满足cos 2cos 22sin (sin sin )A B C B C -=-，且3BC =，D 在AC 上，AB AD =．（1）若2BD =，求sin ACB ∠； （2）若2BD CD =，求AC 的长． 答案：解析：【分析】（1）根据二倍角公式与正弦定理、余弦定理化简可得3A π=，再根据正弦定理求解即可.（2）设DC x =，再在ABC 中利用余弦定理求解AC 长即可.【详解】（1）由题，()()()2212sin 12sin 2sin sin sin A B C B C ---=-，故222sin sin sin sin sin B A C B C -=-，由正弦定理化简整理可得222b c a bc +-=，由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，又()0,A π∈，故3A π=，又AB AD =， 故ABD ∆为正三角形，故2AB AD BD ===，在BDC 中，sin sin BD BC ACB BDC=∠∠，故2sin 2sin 33BD BDC ACB BC ⋅∠∠===. （2）由（1）ABD ∆为正三角形，设DC x =，则2AB AD BD x ===，在ABC ∆中，由余弦定理2224931cos 602232x x x x +-==⨯⨯，解得x =故3AC x ==20.已知首项是5的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11122n n n n S S a +++=++，数列{}n b 满足12n n na b -=. （1）证明{}n b 是等差数列，并求{}n b 的通项公式； （2）求数列2{}n a 的前n 项和n T . 答案：（1）证明见解析，1n b n =+ 解析：【分析】（1）将已知的递推关系化简后可得11n n b b +=+，从而可得数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，故可求其通项公式. （2）利用错位相减法可求数列2{}n a 的前n 项和n T . 【详解】（1）由题意得，11122n n n a a +++=+，∴()111212n n n a a ++-=-+，∴1111122n n n n a a ++--=+，即11n n b b +=+， 又∵11122a b -==，∴数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴()2111n b n n =+-⨯=+. （2）由（1）知，112n na n -=+，∴()121n n a n =+⋅+，∴()22141nn a n =+⋅+. 令()214nn c n =+⋅，下面先求数列{}n c 的前n 项和n Q ，()123345474214n n Q n =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅， ()23414345474214n n Q n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅，两式相减得，()12313242424242144nn n Q n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅-+⋅+，即()()118144132144(2)41433n n n n Q n n ++--=-+⋅+=-+⋅-， 则1214()4399n n n Q +=+⋅-，∴1214()4399n n n T n +=+⋅-+. 21.已知函数()44(22)xxx x f x m --=++-.（1）若m =，求证：()0f x ≥；（2）若()f x 在区间[0,1]上的最小值为1，求m 的值. 答案：（1）证明见解析；（2）2m =-. 解析：【分析】（1）令22x x t --=，则2442x x t -+=+，原函数可化为22y t =++，再根据二次函数的性质计算可得；（2）根据x 的取值范围，求出t 的取值范围，原函数可化为2()2g t t mt =++，依题意可得()g t 在3[0,]2上的最小值为1，再对根据二次函数的性质对称轴分类讨论，即可求出参数的值；【详解】（1）证明：令22x x t --=，则()22442222x x x xt --+=-+=+，又m =，故原函数可化为222(0y t t =++=≥，即()0f x ≥. （2）当[0,1]x ∈时，22x x t -=-单调递增，故3[0,]2t ∈，故原函数可化为2()2g t t mt =++，且()g t 在3[0,]2上的最小值为1，故0,2(0)1m g ⎧-≤⎪⎨⎪=⎩或30,22()12m m g ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩或3,223()12m g ⎧-≥⎪⎪⎨⎪=⎪⎩当02(0)1m g ⎧-≤⎪⎨⎪=⎩，即0221m ⎧-≤⎪⎨⎪=⎩，显然无解；当3022()12m m g ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，即230,22())2122(m m m m ⎧<-<⎪⎪⎨⎪-+⨯-+=⎪⎩，解得2m =-；当3223()12m g ⎧-≥⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即232233212()2m m ⎧-≥⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，m 无解；综上可得2m =-.22.已知函数()ln f x ax x x =-. （1）讨论函数()f x 在[1,2]上的单调性； （2）若1a =-，求证：3()0xf x x e +>. 答案： 见解析 解析：【分析】（1）求出函数()f x 的导数，根据讨论a 的范围情况，确定导数的正负，从而判断函数的单调性；（2）将()3e 0xf x x +>等价变形为2e ln 10x x x -->，然后构造函数，将问题变为证明函数()2e ln 1xh x x x =--的最小值大于零的问题求解,接着求其导数，利用导数判断其单调性，表示出其最小值，然后证明最小值大于零即可. 【详解】（1）由题意得，()1ln f x a x '=--， 令()0f x '=，即ln 1x a =-，则1e a x -=，当1e 1a -≤，即1a ≤时，()0f x '≤，函数()f x 在[1,2]上单调递减； 当1e 2a -≥，即ln 21a ≥+时，()0f x '≥，函数()f x 在[1,2]上单调递增； 当11e 2a -<<，即1ln 21a <<+时，当)11,e a x -⎡∈⎣时，()0f x '>，当(1e,2a x -⎤∈⎦时，()0f x '<，故当1a ≤时，函数()f x 在[1,2]上单调递减；当1ln 21a <<+时，函数()f x 在)11,ea -⎡⎣上单调递增，在(1e,2a -⎤⎦上单调递减：当ln 21a ≥+时，函数()f x 在[1,2]上单调递增. （2）∵1a =-，∴()ln f x x x x =--，()0,x ∈+∞，则()3e 0xf x x +>等价于3ln e 0x x x x x --+>，即2e ln 10x x x -->.令()2e ln 1xh x x x =--，则()()212e x h x x x x'=+-， 令()()x h x ϕ='，则()()()22142e 00xx x x x xϕ'=+++>>， ∴()h x '在()0,∞+上单调递增.又1419()40416h e '=-<，1215()2024h e '=->，∴存在011(,)42x ∈，使()00h x '=，当()00,x x ∈时，()00h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()00h x '>，()h x 单调递增. ∴()()02000min e ln 1xh x h x x x ==--，011(,)42x ∈.∵()()02000012e 0x h x x x x '=+-=，∴02001e 2x x x =+， ∴()0min 01ln 12h x x x =--+，011(,)42x ∈. 设()111ln 1()242x x x x λ=--<<+，则()()211110()422x x x x λ'=--<<<+，∴()x λ在11(,)42上单调递减，∴()13()ln 2025x λλ>=->， 即()0min 01ln 102h x x x =-->+，∴()3e 0x f x x +>.。

2020届安徽省高三数学联考试题（理）及答案一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）AB C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭{2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U AC B ∴=-，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论. 【详解】(),a b 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。

绝密★启用前2020届安徽省合肥一中高三上学期11月阶段性考试数学(理)试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知复数121i i=+-（i 为虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．32．设x ∈R 且0x ≠,则“1x >”是“12x x+>”成立的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等边三角形ABC 的边长为1，,,BC a CA b AB c ===u u u vu uu v u u uv v v v，那么a b b c c a ⋅+⋅+⋅=v v v v v v（ ）. A ．3B ．-3C ．32D ．32-4．若,x y 满足约束条件32021010x y x y x y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则z y x =-的最大值为（ ）A ．32B ．1C ．12D ．05．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为等腰直角三角形，俯视图是正方形，则该多面体的各个面中，是直角三角形的有（ ）…线…………○………线…………○……A．4个B．3个C．2个D．1个6．我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它在世界数学史上具有光辉的一页，堪称数学史上名垂百世的成就，而且一直启发和指引着历代数学家们.定理涉及的是数的整除问题，其数学思想在近代数学、当代密码学研究及日常生活都有着广泛应用，为世界数学的发展做出了巨大贡献，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个整数中能被5除余1且被7除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}na，那么此数列的项数为（）A．56 B．57 C．58 D．597．已知函数()34f x x x a=-+有三个零点，分别记为1x，2x，3x，且123x x x<<，则（）A．若0a>，则11x>-B．若0a>，则31x x+>C．若0a<，则20x>D．若0a<，则32x>8．在ABC∆中45B=︒，D是BC边上一点，AD=4AC=，3DC=，则BD的长为（）A．1B．1C．1D．1+9．若正数,a b满足111a b+=，则1411a b+--的最小值为（）A．3B．4C．5D．610．已知函数()tan()0,||4f x xπωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图像关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，且与直线y a=相交两点的最短距离为2π，则方程()1f x=，[]0,xπ∈，所有实数根的和为（）A．1112πB．56πC．34πD．23π11．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有()()()23x f x e x f x -'=+-（e 是自然对数的底数），且()01f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是（ ）A ．)2,0e ⎡-⎣ B ．(],0e - C ．[),0e - D ．(2,0e ⎤-⎦第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题12．已知集合{}2|280A x x x =--≤，{}|()(3)0,B x x m x m m R =++-≤∈，若[]2,4A B ⋂=，则实数m =___________.13．化简：(4010sin tan ︒︒＝ ________.14．在三棱锥P ABC -中，ABC ∆是边长为PA PB ==三棱锥P ABC -体积最大时，其外接球的表面积为__________. 15．已知数列{}n a 满足：()()1132122n n n a ++=--，记数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若n T λ<恒成立，则λ的最小值为__________. 三、解答题16．已知函数()2cos cos f x x x x =. （1）求()f x 的对称轴和对称中心；（2）若()f x 在区间,3m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-，求实数m 的最大值.17．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且2n n S a λ=-（λ是非零常数）. （1）求数列{}n a 的通项公式（用λ表示）；（2）设22(1)log n n n nb a a =+-，当11a =时，求数列{}n b 的前2n 项和.…………装……………线…………※※请※※不※※要※…………装……………线…………2AB =，1AD AF ==，60BAF ∠=︒，O ，P 分别为AB ，CB 的中点，M 为底面OBF ∆的重心.（1）求证：//PM 平面AFC ；（2）求直线AC 与平面CBF 所成角的正弦值.19．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()2cos cos a c B b C -=，222sin sin 1cos cos cos B C A B C λ-=--.（1）求角B 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，求实数λ的取值范围.20．如题所示的平面图形中，ABCD 为矩形，22AB AD ==，O 为线段CD 的中点，点P 是以O 为圆心，CD 为直径的半圆上任一点（不与,C D 重合），以CD 为折痕，将半圆所在平面CDP 折起，使平面CDP ⊥平面ABCD ，如图2，E 为线段DP 的中点.（1）证明：OE AE ⊥.（2）若锐二面角P AD C --的大小为30°，求二面角A DP B --的正弦值. 21．已知函数()xf x xe -=.（1）判定函数()f x 的单调性；（2）若()()12f x f x =，且()12ln 1x x <+，证明：()22222ln 1xe x x x +>+.参考答案1．D 【解析】 【分析】由已知可得(12)(1)a i i i +=+-，根据复数乘法运算法则，和复数相等的充要条件，即可求解. 【详解】12,(12)(1)31a ii a i i i i i+=+∴+=+-=+-Q， 3a ∴=故选:D. 【点睛】本题考查复数的代数运算、复数相等的应用，属于基础题. 2．A 【解析】易知当1x >时，12x x +>=成立，又当112x =<时，1522x x +=>，所以“1x >”是“12x x+>”成立的充分而不必要条件.故选A. 3．D 【解析】 【分析】利用向量的数量积即可求解. 【详解】解析：311cos12011cos12011cos1202a b b c c a ︒︒︒⋅+⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=-r r r r r r .故选：D 【点睛】本题考查了向量的数量积，注意向量夹角的定义，属于基础题. 4．B 【解析】【分析】做出满足条件的可行域，根据图象即可求解. 【详解】做出可行域，如下图所示，当z y x =-过(0,1)A 时，z 取得最大值为1. 故选:B.【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域以及线性目标函数的最值，考查数形结合思想，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】根据三视图，直观图为四棱锥如下图所示，根据垂直关系，即可得出结论. 【详解】将三视图还原直观图如下图所示，为四棱锥P ABCD -， 其中PC ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，,,,PC BC PC CD PBC PCD ∴⊥⊥V V 为直角三角形， ,,,,PC AB BC AB PC BC C PC BC ⊥⊥=⊂Q I 平面PBC ，AB ∴⊥平面,PBC PB ⊂平面PBC ，AB PB ∴⊥，同理,,AD PD PAB PAD ⊥∴V V 为直角三角形，∴四个侧面都是直角三角形.故选:A.【点睛】本题考查三视图还原直观图、线线垂直判定，注意垂直间的转化，属于中档题. 6．C 【解析】 【分析】能被5除余1且被7除余2的数就是能被35整除余16的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式，即可得到所求项数. 【详解】由能被5除余1且被7除余2的数就是能被35整除余16的数，3519n a n ∴=-，由35192019n a n ∴=-≤，得*858,35n n N ≤+∈，所以此数列的项数为58. 故选:C. 【点睛】本题考查数列应用问题、等差数列的通项，意在考查数学建模、数学抽象、数学计算能力，属于中档题. 7．D 【解析】 【分析】求出()f x 的单调区间，极值，函数有三个零点需极大值大于0，极小值小于0，结合零点存在性定理，逐项判断，即可求出结论. 【详解】()324,()343(f x x x a f x x x x '=-+=-=+，当(,()33x ∈-∞-+∞U 时，()0f x '>，当(,33x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞，单调递减区间为(，故()f x 的极大值为(f a =，()f x 的极小值为()39f a =-+，()f x 有三个零点，所以(039f a -=+>，且(0,3999f a a =-+<∴-<<， ()34f x x x a =-+有三个零点，分别记为1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，得1233333x x x <--<<>选项A 错误；当0a >时，13(2)(2)0,2,2f f a x x -==>∴<-<，130x x +<，选项B 错误；当0a <时，23(0)(2)0,0,2f f a x x ==<∴<>， 选项C 错误，选项D 正确. 故选:D. 【点睛】本题考查函数零点的范围、函数单调性和极值的应用，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 8．C 【解析】 【分析】在ACD V 中，由余弦定理求出角C ，进而得出角A ，结合已知在ABC V 中求出BC ，即可求出结论. 【详解】在ACD V 中，AD =4AC =，3DC =，222169131cos 22432AC CD AD C AC CD +-+-===⋅⨯⨯，0180,60,45,75C C B A ︒<<︒∴=︒=︒∴=︒，1sin sin(4530)22224A =︒+︒=⋅+⋅=， 在ABC V 中，sin sin AC BC B A=，sin42sin 4AC A BC B ⋅∴==⨯=+1BD BC CD ∴=-=.故选:C. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，意在考查数学计算能力，属于基础题. 9．B 【解析】 【分析】先根据已知得出1,1a b --的符号及(1)(1)a b --的值，再根据基本不等式求解. 【详解】 ∵110,0,1a b a b>>+= ；∴1,1,a b a b ab >>+=∴140,011a b >>--∴14411a b +==--… 当且仅当1411a b =--，即3,32a b ==时，等号成立. 故选B. 【点睛】本题考查基本不等式，注意基本不等式成立的条件“一正二定三相等”. 10．A 【解析】 【分析】根据()f x 与直线y a =相交两点的最短距离为2π，求出ω，由图像关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称，求出ϕ，整体代换结合正切值，即可求解. 【详解】()f x 与直线y a =相交两点的最短距离为2π， 周期为,22ππωω==， 函数()tan()0,||4f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图像关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称， 5(3)2(),()6226k k k Z k Z ππππϕϕ-⨯+=∈∴=-∈， ||,,()tan(2)466f x x πππϕϕ<∴=-∴=-Q ， []110,,2[,],()1666x x f x ππππ∈-∈-=，264x ππ-=或552,6424x x πππ-=∴=或1724x π=，方程()1f x =，[]0,x π∈，所有实数根的和为1112π.故选:A. 【点睛】本题考查正切函数的性质、简单三角方程，熟练掌握函数的图象和性质是解题的关键，属于中档题. 11．B 【解析】 【分析】先利用导数等式结合条件()01f =求出函数()y f x =的解析式，由()0f x m -<，得()m f x >，转化为函数()y f x =在直线y m =下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，然后利用导数分析函数()y f x =的单调性与极值，作出该函数的图象，利用数形结合思想求出实数m 的取值范围. 【详解】 由等式()()()23xf x ex f x -'=+-，可得()()()23x f x f x e x -'+=+，即()()23x e f x f x x ⎡⎤+=+⎣⎦'，即()()2233x e f x x x x C ''⎡⎤=+=++⎣⎦（C 为常数）， ()23xe f x x x C ∴=++，则()23xx x Cf x e++=，()01f C ∴==， 因此，()231x x x f x e ++=，()()()2223312x xx x x x x f x e e +-+++-=-'=， 令()0f x '=，得2x =-或1x =，列表如下：函数()y f x =的极小值为()22f e -=-，极大值为()51f e=，且()1f e -=-， 作出图象如下图所示，由图象可知，当0x >时，()0f x >.另一方面()01f =，()33f e -=，则()()03f f <-，由于函数()y f x =在直线y m =下方的图象中只有两个横坐标为整数的点，由图象可知，这两个点的横坐标分别为2-、1-，则有()10m f m ⎧>-⎨≤⎩，解得0e m -<≤，因此，实数m 的取值范围是(],0e -，故选B. 【点睛】本题考查函数的单调性、函数不等式的整数解问题，本题的难点在于利用导数方程求解函数解析式，另外在处理函数不等式的整数解的问题，应充分利用数形结合的思想，找到一些关键点来列不等式求解，属于难题． 12．2- 【解析】 【分析】化简集合,A B ，根据交集定义以及[]2,4A B ⋂=，即可求出结论. 【详解】{}2|280[2,4]A x x x =--≤=-，{}|()(3)0,[,3]B x x m x m m R m m =++-≤∈=--+，[]2,4,2,34A B m m ⋂=∴-=-+≥，解得2m =-.故答案为:2-. 【点睛】本题考查集合运算结果求参数，属于基础题. 13．－1 【解析】原式sin10sin?40?(cos10＝︒︒︒()sin402sin40 sin1?0?0cos10cos10︒︒︒︒︒︒＝＝(1sin1?0?0)2︒︒ 2sin40sin80cos?401cos10cos10-︒-︒︒︒︒＝＝＝－.故答案为1－【点睛】本题的关键点有： 先切化弦，再通分； 利用辅助角公式化简； 同角互化. 14．654π【解析】 【分析】根据体积公式，结合已知当平面PAB ⊥平面ABC 时，棱锥P ABC -体积最大，根据球的性质，过,ABC PAB V V 的外心分别做平面ABC ，平面PAB 的垂线交于球心O ，根据已知求出,ABC PAB V V 的外接圆的半径，即可求解. 【详解】取AB 中点D ，连,PD CD ，ABC ∆是边长为PA PB ==,,,CD AB PD AB CD PD D AB ∴⊥⊥=∴⊥I 平面PCD ，2,3PD CD ====13P ABC A PCD B PCD PCD V V V AB S ---=+=⋅⋅V1sin 2PD CD CDP CDP =⋅⋅∠=∠≤ 当且仅当sin 1CDP ∠=，即2CDP π∠=时，三棱锥P ABC -体积最大，此时PD CD ⊥，∴PD ⊥平面ABC ，CD ⊥平面PAB ，设,ABC PAB V V 的外接圆圆心分别为,M N ，且,M N 分别在1,,13CD PD MD ==， Rt PAD V 中，sinPD PAD PA ∠==，PAB ∴V 的外接圆半径172sin 224PB PN PAB ===∠，过,M N 分别做平面ABC ，平面PAB 的垂线交于球心O ， 连OP ，且//,//OM PD ON DC ，四边形OMDN 为矩形，71,,44ON MD PN OP ∴======， 外接球的表面积为2654()4S OP ππ=⋅=. 故答案为:654π.本题考查体积的最大值、多面体与球的“接”“切”问题，应用球的性质确定球心位置是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 15．32【解析】 【分析】根据已知求出2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭求出通项，用裂项相消求出和n T ，进而求出n T 的范围，即可求出结论.【详解】()()()()111232122,21213n n n n n n a a +++=--∴=--， ()()111232311()221212121n n n n n n na +-+----⋅==-， 2112222311111(1)72123321n n n n n T a a a +=+++=-+-++---L L11313(12)22n +-=-<， n T λ<恒成立，32λ∴≥，λ的最小值为32.故答案为:32.【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前n 项和，化简数列通项是解题的关键，属于中档题. 16．（1）()f x 的对称轴为()26n x n Z ππ=+∈，对称中心为1(,)()2122k k Z ππ-∈； （2）3π-. 【解析】 【分析】（1）由降幂公式和二倍角的正弦，辅助角公式，将()f x 化为正弦型三角函数，整体代换结合正弦函数的对称轴和对称中心，即可求解； （2）整体代换结合正弦函数的性质，即可求解.（1）()2cos cos f x x x x =1112cos 2sin(2)2262x x x π=++=++， 由sin(2)1,2(),()66226n x x n n Z x n Z ππππππ+=±+=+∈=+∈， 由sin(2)0,2(),()66212k x x k k Z x k Z πππππ+=+=∈=-∈， 所以()f x 的对称轴为()26n x n Z ππ=+∈， 对称中心为1(,)()2122k k Z ππ-∈； （2）当3m x π≤≤时，522666m x πππ+≤+≤， ()f x 在区间,3m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12-，2,623m m πππ+≤-≤-，实数m 的最大值为3π-. 【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的性质，意在考查逻辑推理、计算求解能力，属于中档题.17．（1）12n n a λ-=⋅；（2）2122n n ++-.【解析】 【分析】（1）当111,n a S ==，当12,n n n n a S S -≥=-，即可求出结论；（2）根据（1）中的结论，求出{}n b 通项公式，根据其通项公式，选择求前n 项和方法，即可求解. 【详解】（1）当11111,2,n a S a a λλ===-∴=， 当1112,22,2n n n n n n n n a S S a a a a ---≥=-=-=，110,0,2nn n a a a a λ-=≠∴≠=Q ， {}n a ∴是首项为λ，公比为2的等比数列，12n n a λ-∴=⋅；（2）当11a =时，)2(1)(1nn n b n =--+，1212220212(22)2(21)n n n T n n -=-++++--++-L22222(01)(23)(2221)n n n =+++-++-+++-++-L L2212(12)2212n n n n +-=+=+--.【点睛】本题考查数列前n 项和求通项、求等比数列前n 项和以及分组求数列和，考查计算求解能力，属于中档题.18．（1）证明详见解析；（2. 【解析】 【分析】（1）连OM 交BF 于H ，则H 为BF 中点，连,OP PH ，根据已知可证//PH CF ，//OP AC ，进而证明平面//POH 平面ACF ，即可证明结论；（2）矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，CB AB ⊥，可证CB ⊥平面ABEF ，可得AF BC ⊥，在ABF V 中，由余弦定理求出BF ，推断出222AF BF AB +=，得到AF MF ⊥，可证明AF ⊥平面BCF ，可知ACF ∠为直线AC 与平面CBF 所成角的角，解直角三角形ACF ，即可求出结论. 【详解】（1）连OM 交BF 于H ，则H 为BF 中点，连,OP PH ， 又P 为CB 的中点，//,PH CF CF ⊂平面ACF ，PH ⊄平面,//ACF PH ∴平面ACF ，,O P 分别为,AB CB 的中点，//,PO AC AC ⊂平面ACF ，PO ⊄平面,//ACF PO ∴平面ACF ，,,PO PH P PO PH =⊂I 平面POH ，平面//ACF 平面,POH PM ⊂平面POH ，//PM 平面ACF ；（2）平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD I 平面ABEF AB =，CB AB ⊥，CB ∴⊥平面,ABEF AF ⊂平面ABEF ，CB AF ⊥，又2,1,60AB AF BAF ==∠=︒，由余弦定理可得2222cos603BF AB AF AB AF =+-⋅⋅︒=，222,,BF AF AB AF BF BF BC B ∴+=∴⊥=I ，AF ⊥平面BCF ，所以ACF ∠为直线AC 与平面CBF 所成角的角，在Rt ACF V 中，sinAF ACF AC ∠===所以直线AC 与平面CBF .【点睛】本题考查线面平行的判定、面面平行的判定以及面面垂直的性质，用几何法求线面角，属于中档题.19．（1）3B π=；（2）0λ<<【解析】 【分析】（1）由已知()2cos cos a c B b C -=，结合正弦定理边化角，利用两角和正弦和诱导公式可得2sin cos sin A B A =，求出cos B ，即可得出结论；（2）由已知可得222sin sin sin sin sin A B C B C λ=+-，根据正弦定理可得，222a b c bc λ=+-，再由余弦定理可得cos 2A λ=，由ABC ∆为锐角三角形，求出角A 范围，即可求解. 【详解】（1）因为()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理可得：2sin cos sin cos sin cos A B C B B C -=，所以2sin cos sin cos cos sin sin()sin A B C B C B B C A =+=+=， 因为(0,)A π∈，所以1sin 0,cos 2A B ≠=， 因为(0,)B π∈，所以3B π=；（2）由已知条件222sin sin 1cos cos cos B C A B C λ-=--， 可得222sin sin sin sin sin A B C B C λ=+-， 根据正弦定理可得222a b c bc λ=+-，所以222cos 22b c a A bc λ+-==，因为ABC ∆为锐角三角形，所以022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，所以62A ππ<<，所以0cos 2A λ<<<<，所以0λ<<. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数值求角，属于中档题. 20．（1）证明详见解析；（2. 【解析】【分析】（1）连AP ，由已知可得//OE PC ，点P 在以CD 为直径的半圆上一点，可得PC PD ⊥， 平面CDP ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，可证AD ⊥平面CDP ，得到AD PC ⊥，进而可证PC ⊥平面ADP ，从而有OE ⊥平面ADP ，即可证明结论；（2）AD ⊥平面CDP ，得,,AD DC AD DP CDP ⊥⊥∠为二面角P AD C --的平面角，以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，求出,,,C D P B 坐标，以及平面BDP 法向量坐标，由（1）得平面ADP 的法向量为CP u u u r，由空间向量的面面角公式，即可求解. 【详解】（1）连AP ，,O E 分别为线段,CD PD 的中点，//OE PC ∴， 点P 在以CD 为直径的半圆上一点，PC PD ∴⊥，Q 平面CDP ⊥平面ABCD ，平面CDP ⋂平面ABCD CD =，AD CD ⊥，AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面CDP ，PC ⊂平面,,,,CDP AD PC AD PD D AD PD ∴⊥=⊂I 平面ADP ，PC ∴⊥平面ADP ，OE ⊥平面ADP ，AE ⊂Q 平面ADP ，OE AE ∴⊥；（2）AD ⊥平面,,AD DC AD DP CDP ⊥∴⊥，CDP ∠为二面角P AD C --的平面角，,30,2,PD PC PDC CD PD ⊥∴∠=︒=∴=Q ，过点P 做⊥PN OC ，31,,22DN ON PN ===过点O 在平面CDP 做CD 的垂线，交PD 于M ，则MO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，过O 点与AD 平行的直线，,OC OM 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，1(0,1,0),(0,(0,1,0),(1,1,0)2C P D B -，13(0,(1,2,0),(0,22CP DB DP =-==u u u r u u u r u u u r ，设平面BDP 的法向量为(,,)m x y z =u r ，00m DB m DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即203022x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，则2,x z =-=，(2,1,m ∴=-u r ，由（1）得平面ADP法向量为1(0,,22CP =-u u u r ，cos ,,22||||m CP m CP m CP m CP ⋅<>===-<>=u r u u u r u r u u u r u r u u u r u r u u u r ， 所以二面角A DP B --的正弦值为2.【点睛】本题考查线面垂直的证明，要注意空间垂直之间相互转化，考查二面角，意在考查直观想象、逻辑推理和数学计算，属于中档题.21．（1）()f x 单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）求出()f x '，进而求出()0,()0f x f x ''><的解，即可求出结论；（2）()()12f x f x =由（1）得20x >，要证不等式，只需证2222ln(1)1x x x x e+>+，即证22[ln(1)]()f x f x +>，根据()f x 的单调性，只需证122ln(1)x x x <+<，构造函数()ln(1)(0)g x x x x =-+>，即可证明结论.【详解】（1）()(),(1)x x x x f x xe f x e xe e x ----'==-=-，当()0,1,()0,1f x x f x x ''><<>，()f x ∴单调递增区间是(,1)-∞，单调递减区间是(1,)+∞；（2）令()ln(1)(0)g x x x x =-+>，则1()1011x g x x x'=-=>++， 故()g x 在(0,)+∞上是增函数，()(0)0g x g ∴>=，故ln(1)x x >+，又()122ln 1x x x <+<，由()()12f x f x =得121x x <<，且在区间(1,)+∞上()()1212()0,0,01f x f f x x x >=>∴∴<<，若()2ln 11x +≥，则由()f x 在区间(1,)+∞上递减得，222222ln(1)[ln(1)](),1x x x f x f x x e++>∴>+， 若()2ln 11x +<，则由()12ln 1x x <+，且()f x 在(0,1)是增函数，2222122ln(1)()()[ln(1)],1x x x f x f x f x x e+∴=<+∴>+， 化为()22222ln 1x e x x x +>+. 综上可得()22222ln 1x e x x x +>+. 【点睛】本题考查函数的单调性以及应用、证明不等式，分析法构造出函数是解题的关键，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算的能力，属于较难题.。

2020届安徽省江淮十校高三第二次联考（11月）数学（理）试题一、单选题1．若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{|14}x x <„ B ．{|14}x x <<C ．{1,2,3}D ．{2,3}【答案】D【解析】化简集合A ，再由交并补的定义，即可求解. 【详解】{|44}{3,2,1,0,1,2,3}A x x =∈-<<=---Z ， {|1}U B x x =>ð，(){2,3}U A B =I ð.故选:D 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <”是假命题C ．若命题p 、q ⌝均为假命题，则命题p q ⌝∧为真命题D ．若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“()f x 是奇函数”的必要不允分条件 【答案】B【解析】选项A ：按照四个命题的关系，判断为正确；选项B ：转化为指数幂比较大小，不等式成立，故判断错误；选项C ：根据或且非的真假关系，判断为正确；选项D ：根据充分必要条件判断方法，为正确. 【详解】选项A: 命题“若2430x x -+=，则3x =”的 逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，故正确；选项B: (0,)x ∀∈+∞， 022()()13233x x x <==，而0,323x x x >∴<，命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <” 为真，判断错误；选项C: 若命题p 、q ⌝均为假命题， 则命题p ⌝、q 均为真命题， 故命题p q ⌝∧为真命题，判断正确； 选项D: ()f x 是定义在R 上的函数， 若“()f x 是奇函数”则“(0)0f =”正确； 而“(0)0f =”，()f x 不一定是奇函数， 如2()f x x =，选项D 判断正确. 故选:B 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到四种命题的关系，全称命题的真假判定，或且非复合命题的真假关系，以及充分必要条件的判断，属于基础题.3．已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】D【解析】先比较,,a b c 的大小关系，再根据()xx f x e e -=-单调性，比较函数值的大小，即可求解. 【详解】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<. 故选:D . 【点睛】本题考查了指数幂和对数值的大小关系，以及指数函数的单调性，属于中档题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S =，330n S =，4176n S -=，则n =（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】B【解析】根据等差数列的性质，求出1n a a +，再由前n 项和公式，即可求解. 【详解】∵123422a a a a +++=，4123154n n n n n n S S a a a a -----=+++= ∴14()176n a a +=，∴144n a a += ∴由1()2n n n a a S +=得443302n ⨯=，∴15n =. 故选:B . 【点睛】本题考查等差数列性质的灵活应用，以及等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 5．函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ，故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C 【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证。

2020届安徽省十四校联盟高三上学期11月段考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|931A x x =-<，{}|2B y y =<，则()R C A B =（ ）A ．2,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．∅C ．22,,233⎛⎤⎡⎫-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ D ．22,33⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】C【解析】先化简集合A ，求出R C A ，即可求出结果. 【详解】由题意得，2233A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，则2233R C A x x x ⎧⎫=≤-≥⎨⎬⎩⎭或， ∴()22,,233R C A B ⎛⎤⎡⎫=-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 故选:C . 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.2．已知向量a 与b 方向相反，(1,3a =-，2b =，则a b -=（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】B【解析】由a 与b 关系，求出b ，即可求出结果. 【详解】∵(1,3a =-，∴2a =，又向量a 与b 方向相反， 且2b =，∴a b =-，∴24a b b -==. 故选:B . 【点睛】本题考查向量间的关系，以及向量的坐标表示，属于基础题. 3．若,,a b c ∈R ，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a c b c +>-B ．()()22lg 1lg 1a c b c ⋅+>⋅+C ．20c a b>-D ．()50ca b -⋅>【答案】D【解析】取特殊值排除选项，然后再用不等式性质证明其它选项. 【详解】取1a =，0b =，2c =-，排除A ； 取0c，排除B ，C ，故选D .或推导选项D 正确如下：,0,50,()50c c a b a b a b >∴->>∴-⋅>.故选:D 【点睛】本题考查不等式的性质，解题注意特殊方法的应用，属于基础题. 4．下列命题中正确的是（ ） A ．0x R ∃∈，00x e ≤B ．x R ∀∈，22x x ≥C ．若()p q ⌝∧是真命题，则()p q ∨⌝是假命题D ．10≥是假命题 【答案】C【解析】取特殊值判断A,B 选项不正确；根据或且非的命题关系，判断选项C 正确；选项D 不正确. 【详解】x R ∀∈，0x e >，故A 错误；当3x =时，22x x <，故B 错误；∵()p q ⌝∧是真命题，∴p 是假命题，q 是真命题， ∴()p q ∨⌝是假命题，故C 正确； 选项D 显然错误 . 故选:C . 【点睛】本题考查判断命题的真假，属于基础题.5．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余1且被4除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．167 B ．168C ．169D ．170【答案】C【解析】根据题意得出{}n a 的通项，即可求解. 【详解】由题意得，被3除余1且被4除余1的数就是能被12除余1的数， ∴1211n a n =-，*n N ∈，由2019n a ≤，得11696n ≤， ∵*n N ∈，∴此数列的项数为169. 故选:C . 【点睛】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式，以及考查计算能力，属于基础题.6．已知函数()()tan cos f x ax x x x a R =+∈为奇函数，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．12π-B ．12-C ．12πD ．12【答案】B【解析】根据奇函数的定义，求出a 的值，即可求出结论. 【详解】∵函数()f x 为奇函数，()()f x f x -=-，tan cos cos cos ax x x x ax x x x -=--，解得0a =，∴()cos f x x x =⋅，则612f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 故选:B . 【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，考查特殊角的三角函数，属于基础题. 7．曲线()22f x x =，()22g x x x =-以及直线14x =所围成封闭图形的面积为（ ）A ．132B ．116C ．18D ．14【答案】A【解析】利用定积分的几何意义，即可得到结论. 【详解】由题意得()1042221041122232S x x x dx x ⎡⎤=⎰--==⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题考查区域面积的计算，根据定积分的几何意义，是解题的关键，属于基础题. 8．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知23C π=，sin 3sin B A =，若ABC ∆的面积为63，则c =（ ）A ．22B ．226C ．214D ．47【答案】B【解析】根据正弦定理，把角化为边，结合面积公式，再用余弦定理，即可求解. 【详解】由题意得，3b a =，. 又2133sin 6322ABC a S b C a ∆==⋅=，解得28a =， ∴2222222cos 10310381c a b ab C a a a =-==+=+，226c ∴=.故选:B . 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式，在解三角形中的应用，属于基础题. 9．已知函数()1f x x =-，()log a g x x =，当1a e <<时，()f x 与()g x 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数()f x 、()g x 的性质，利用排除法即可得出选项. 【详解】由题意得，函数()f x ，()g x 均为偶函数，故排除A 选项； 当()0,x ∈+∞时，()1'log a g x e x=，()'1log a g e =， 当1a e <<时，()'11g >，∴()f x 与()g x 的图象在()1,+∞上有一个交点， 故选：D 【点睛】本题主要考查分段函数、对数函数以及函数的奇偶性、单调性，综合性比较强. 10．已知数列{}n a 的通项公式为()()1*2211n n n n a n N n -+-⋅∈+=，则数列{}n a 的前2020项和为（ ） A ．20222021B ．20212020C ．20202021D ．20192020【答案】C【解析】化简通项公式，即可求解. 【详解】 ∵()()1122111111n n n n a n n n n --+⎛⎫=-⋅=-⋅+ ⎪++⎝⎭，∴当n 为偶数时， 12111111111122334451n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+++-+++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111n n n =-=++， ∴数列{}n a 的前2020项和为20202021. 故选:C . 【点睛】本题考查裂项相消法求数列的前n 项和，属于中档题.11．已知函数()3sin 23cos 26x f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，现有如下命题： ①函数()f x 的最小正周期为2π；②函数()f x 的最大值为 ③512x π=是函数()f x 图象的一条对称轴. 其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】作出函数的图像，结合三角函数的性质，逐项分析，即可求解. 【详解】由题意得，函数()f x 的最小正周期为2π，故①正确； 当0,12x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时， ()3sin 23cos 2266f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当,124x ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， ()3sin 23cos 23sin 266x x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()3sin 23cos 2266f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.作出函数()f x 的图象如图所示，可知②③正确. 故选:D .【点睛】本题考查三角函数的性质，图像是解题的重要辅助手段，属于中档题. 12．已知函数()1ln f x x a x x=-+，若存在m ，n ，使得()()''0f m f n ==，且10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()()f m f n -的最小值为（ ）A ．4eB ．2eC ．24e D ．22e 【答案】A【解析】求导，确定m ，n 的关系，把()()f m f n -表示成关于m 的函数，再利用求导的方法，求出最小值. 【详解】()22211'1a x ax x x x f x ++=++=，由题意得， 方程210x ax ++=的两正根分别为m ，n ，2400a a a ⎧∆=->⎨->⎩，解得0a <， 且m n a +=-，1mn =，∴1n m =，1a m m=--， 则()()112ln m m m m f m f n m ⎡⎤⎛⎫--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣=⎦-，10,m e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦； 令()112ln x x x x x x ϕ⎡⎤⎛⎫=--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，10,x e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 则()()()22211121ln 'ln x x x x x x x ϕ-+⎛⎫=-=⎪⎝⎭； 当10,x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()'0x ϕ<恒成立，∴()x ϕ在10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，∴()min 14x e e ϕϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即()()f m f n -的最小值为4e. 故选A . 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性、极值最值，构造函数是解题的关键，考查等价转化数学思想，是一道综合题.二、填空题13．已知实数x ，y 满足330300x y x y x +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数52z x y =+的最大值是______.【答案】15【解析】作出可行域，数形结合即可求解目标函数的最值. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示， 其中()0,1A ，()3,0B ，()0,3C . 作直线l ：52y x =-，平移直线l ， 当其经过点B 时，z 取得最大值，即max 15z =. 故答案为:15【点睛】本题考查二元一次不等式组表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题. 14．平行四边形ABCD 中，点E 是线段BC 的中点，若A E D BD A λμ=+，则λμ-=______.【答案】52【解析】由向量加法的平行四边形法则、向量的减法、平面向量的基本定理， 可得32AE AD BD =-，利用对应系数相等即可求解. 【详解】 ∵1122AE AB AD AD BD AD =+=-+32AD BD =-， ∴52λμ-=. 故答案为：52【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理、向量加法的平行四边形法则、向量的减法，属于基础题.15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知12a =，对任意*,p q N ∈，都有p q p q a a a +=⋅，则()114260n n nS S a --⋅++（1n >且*n N ∈）的最小值为______.【答案】32【解析】取1q =，得出{}n a 是等比数列，求出,n n a S ，转化为关于n 的函数，利用求最值的方法即可求解. 【详解】当1q =时，112p p p a a a a +=⋅=，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴2nn a =，∴()12212221n n nS +-==--，∴122nn S -=-，∴()()()1142222n nn n S S --⋅+=-⋅+224n =-，∴()211426022562n n n nn S S a --⋅+++=25622256322nn =+≥=，当且仅当216n =，即4n =时，等号成立. 故答案为:32 【点睛】本题考查等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式，考查基本不等式的应用，属于中档题.16．若直线y kx b =+既是曲线ln y x =的切线，又是曲线2x y e -=的切线，则b =______. 【答案】0或1-【解析】设两曲线的切点坐标，各自求出切线方程，利用两切线重合关系，即可求解. 【详解】令()ln f x x =，()2x g x e-=，则()1'f x x=，()2'x g x e -=. 设切点分别()11,P x y ，()22,Q x y ， 则切线方程为()1111ln y x x x x -=-，即111ln 1y x x x =⋅+-； ()22222x x y e e x x ---=-，即()222221x x y e x x e --=⋅+-，∴()22212121ln 11x x ex x x e --⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，即()212212ln 2ln 11x x x x x e -=-⎧⎨-=-⎩，∴()()222110x x e --⋅-=，∴21x =或22x =. 当21x =时，切线方程为1y x e=，∴0b =； 当22x =时，切线方程为1y x =-，∴1b =-. 综上所述，0b =或1b =-. 故答案为: 0b =或1b =- 【点睛】本题考查函数图像的切线求法，考查导数的几何意义，考查计算能力，属于较难题.三、解答题17．已知p ：211m t m -≤≤+，q ：函数()3log f x x t =-在区间1,99⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点.（Ⅰ）若0m =，且命题()p q ∧⌝为真命题，求实数t 的取值范围； （Ⅱ）若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）实数t 的取值范围是[]1,1-；（Ⅱ）实数m 的取值范围是[)3,+∞.【解析】（Ⅰ）首先求出命题p 、q 为真命题时t 的取值范围，然后再根据“且”命题的真假判断方法确定p 、q 的真假性即可求解.（Ⅱ）由p 是q 成立的充分不必要条件，得出两命题中的集合之间的包含关系，从而求出参数m 的取值范围.【详解】（Ⅰ）当0m =时，p ：11t -≤≤，由函数()3log f x x t =-在区间1,99⎛⎫ ⎪⎝⎭没有零点， 得109f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭或()90f ≤， 解得2t ≤-或2t ≥，∵()p q ∧⌝为真命题，∴p 为真命题，q 为假命题，当q 为假命题时，22t -<<，∴实数t 的取值范围是[]1,1-.（Ⅱ）∵p 是q 成立的充分不必要条件，又211m m -<+恒成立，∴12m -≥或212m +≤-，解得3m ≥，∴实数m 的取值范围是[)3,+∞.【点睛】本题主要考查命题的真假求参数的取值范围，解题的关键是根据命题的关系推出集合之间的关系，属于基础题.18．把正弦函数函数图象沿x 轴向左平移6π个单位，向上平移12个单位，然后再把所得曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来1ω()0ω>，所得曲线是()f x .点,,P Q R 是直线()0y m m =>与函数()f x 的图象自左至右的某三个相邻交点，且123PQ QR π==. （1）求()f x 解析式；（2）求m 的值.【答案】(1) ()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ (2) 1m = 【解析】（1）根据平移变换和伸缩变换得出解析式，结合几何意义即可求出()f x ； （2）根据函数性质123PQ QR π==，求出,,P Q R 三点横坐标之间关系，代入函数即可求解.【详解】（1）由题意可得()()1sin 062f x x πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭， T PQ QR π=+=， ∵2T πω=，且0>ω，∴2ω=.()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （2）设()0,P x m ，0,3Q x m π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 则0011sin 2sin 262362x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 即005sin 2sin 266x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则005222,66x x k k Z ππππ+++=+∈ 解得02k x π=()k Z ∈，则1sin 62m k ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∵0m >∴1m =.【点睛】 此题考查三角函数图像性质，平移变换和伸缩变换，尤其结合图像特征求解参数对数形结合能力要求较高.19．已知函数()()()2222ln 0f x x a x a x a =-++>. （Ⅰ）当1a =时，证明：()f x 有且只有一个零点；（Ⅱ）求函数()f x 的极值.【答案】（Ⅰ）详见解析； （Ⅱ）当01a <<时，极大值为222ln a a a a --+，极小值为12a --；当1a =时，无极值；当1a >时，极大值为12a --，极小值为222ln a a a a --+.【解析】（1）求导，确定函数的单调区间，结合零点存在性定理，即可求证； （2）求导，对a 分类讨论，求出单调区间，进而确定是否有极值，即可求解.【详解】（Ⅰ）当1a =时，()242ln x x x x f =-+，定义域为()0,∞+， ∴()212422'x x x x x f ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭22212(1)20x x x x x-+-=⋅=≥， ∴()f x 在()0,∞+上单调递增，∴()f x 至多有一个零点.又()114030f =-+=-<，()416162ln 42ln 40f =-+=>，则()()140f f ⋅<，∴()f x 在()0,∞+上有且只有一个零点.（Ⅱ）由题意得，()0,x ∈+∞，()()()()212'222x x a a f x x a x x--=-++=， 当01a <<时，当()0,x a ∈时，()'0f x >，当(),1x a ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，∴函数()f x 在()0,a 和()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减，∴极大值为()()22222ln 22ln a a a a a a a a a f a =-++=--+， 极小值为()112212f a a =--=--；当1a =时，()()221'0x f x x-=≥，∴函数()f x 在()0,∞+上单调递增，无极值；当1a >时，当()0,1x ∈时，()'0f x >，当()1,x a ∈时，()'0f x <，当(),x a ∈+∞时，()'0f x >，∴函数()f x 在()0,1和(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减，∴极大值为()112f a =--，极小值为()222ln a a f a a a =--+. 【点睛】本题考查导数在函数中的应用，涉及到函数的单调性，零点的存在性，以及极值，属于中档题.20．已知n S 为数列{}n a 的前n()*11n a n N =-+∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若13nn n b a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）21n a n =-； （Ⅱ）13n n T n +=⋅.【解析】（1）由前n 项和与通项关系，即可求出通项公式；（2）根据数列{}n b 的通项公式特征，可用错位相减法或裂项相消法求前n 项和.【详解】（Ⅰ）令1n =12a =-+，∴)210=，解得11a =，n =，即2n S n =；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-，当1n =时，11a =适合上式，∴21n a n =-.（Ⅱ）方法一：由题意得，()213nn b n =+⋅， ∴()123433537393213n n T n =⨯+⨯+⨯+⨯+++⋅， ∴()23451333537393213n n T n +=⨯+⨯+⨯+⨯+++⋅，两式相减得，()()1234123323333213n n n T n +-=⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+⋅ ()()11193133221331n n n -+-=⨯+⨯-+⋅-， 整理得，13n n T n +=⋅.方法二：由题意得，()()1213313n n n n n n n b +=+⋅=⋅--⋅， ∴12n n T b b b =+++()()()23211302313313n n n n +⎡⎤=⨯-+⨯-⨯++⋅--⋅⎣⎦13n n +=⋅.【点睛】本题考查已知数列的前n 和求通项公式，以及用错位相减法或裂项相消法求数列的前n 项和，考查计算能力，属于中档题.21．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos sin b a C A =+，点M 是BC 的中点.（Ⅰ）求A 的值；（Ⅱ）若a =AM 的最大值.【答案】（Ⅰ）3A π=； （Ⅱ）32. 【解析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出,b c 边的不等量关系，再用余弦定理把AM 用,b c 表示，即可求解；或用向量关系把AM 用,AB AC 表示，转化为求||AM 的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin sin cos sin B A C C A =+. 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，且sin 0C ≠，∴tan A A π<<，即3A π=. （Ⅱ）方法一：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=， ∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤. ∵AM 是BC 边上的中线，∴在ABM ∆和ACM ∆中，由余弦定理得，2232cos 4c AM AM AMB =+-∠，①2232cos 4b AM AM AMC =+-∠.② 由①②，得22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32.方法二：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=， ∵222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，∴226b c +≤. ∵AM 是BC 边上的中线，∴2AB AC AM +=，两边平方得 ()22214AM b c bc =++，∴22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32. 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.22．已知函数()()1cos f x x a x =-，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）若12a =，判断函数()f x 的单调性； （Ⅱ）若对于0,2x π⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()sin 0f x x +≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增；（Ⅱ）(],2-∞. 【解析】（1）求导，判断导函数的正负，即可求解；（2）构造函数，不等式恒成立，转化为求函数的最小值不小于零，对a 分类讨论，求导，求出函数的单调区间，即可求解.【详解】（Ⅰ）由题意得，()11cos 2x x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 则()111cos 'sin 22x x x f x =-+， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，11cos 02x ->， 1sin 02x x ≥，∴()'0f x >， ∴函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增.（Ⅱ）由题意得，cos sin 0x ax x x -+≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立； ∵0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴sin 0x ≥，cos 0x ≥. ①当0a ≤时，cos sin 0x ax x x -+≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立； ②当0a >时，设()sin cos g x x x ax x =+-，则()1cos cos sin 'x a x ax x g x =+-+()11cos sin a x ax x =+-+，1︒ 当02a <≤时，111a -≤-<，则()11cos 0a x +-≥，又sin 0ax x ≥，∴()'0g x ≥，∴()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()00g x g ≥=，符合题意； 2︒ 当2a >时，令()()()'11cos sin h x g x a x ax x ==+-+，则()()'21sin cos h x a x ax x =-+，()'0h x ≥在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴()'g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()()min ''020g x g a ==-<， ()max ''1022a g x g ππ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭， ∴存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0'0g x =. 当00x x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减，∴()()00g x g <=，不符合题意.综上所述，实数a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题考查函数的导数研究函数的单调性，以及函数的导数在求函数最值的应用，解题的关键是将恒成立问题转化为函数的最值问题解决，体现了转化的思想和分类讨论的思想，属于难题.小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。