2020-2021高三数学上期末试题带答案

2020-2021高三数学上期末试卷(含答案)(1)一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1142n n a -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意*N n ∈，都有()143n p S n ≤-≤成立，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()2,3B ．[]2,3C ．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．数列{}n a 满足()11nn n a a n ++=-⋅，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100 B ．-100C ．-110D ．1103．在ABC ∆中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 4．已知在中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且，，，则的面积等于（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．526．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．97．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞8．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知数列{a n }满足331log 1log ()n n a a n N +++=∈且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D ．1510．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2，n S ，3n a 成等差数列，则5S 的值是（ ） A ．243-B ．242-C ．162-D ．24312．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，a =7cos 8A =，则ABC ∆的面积为（ ） AB ．3CD二、填空题13．若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为___________.14．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______15．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是__________．16．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝2sinC ，则边c 的值为_______．17．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.18．数列{}n a 满足10a =，且()1*11211n nn N a a +-=∈--，则通项公式n a =_______．19．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.20．已知数列{}n a (*n ∈N )，若11a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2lim n n a →∞= ． 三、解答题21．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边，且2sin 3tan c B a A =.（1）求222b c a+的值； （2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值. 22．已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和.23．设数列{}n a 满足()*164n n n a a n a +-=∈-N ，其中11a =. （Ⅰ）证明：32n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （Ⅱ）令112n n b a =--，设数列{}(21)n n b -⋅的前n 项和为n S ，求使2019n S <成立的最大自然数n 的值.24．在数列{}n a 中, 已知11a =，且数列{}n a 的前n 项和n S 满足1434n n S S +-=, n *∈N . （1）证明数列{}n a 是等比数列；（2）设数列{}n na 的前n 项和为n T ，若不等式3()1604nn aT n+⋅-<对任意的n *∈N 恒成立, 求实数a 的取值范围. 25．己知数列的前n 项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和．26．在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-． （1）求数列{}n a 的通项公式．（2）若数列{}n n a b +的首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果2．B解析：B 【解析】 【分析】数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，可得a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．即可得出．【详解】∵数列{a n }满足1(1)nn n a a n ++=-⋅，∴a 2k ﹣1+a 2k ＝﹣（2k ﹣1）．则数列{a n }的前20项的和＝﹣（1+3+……+19）()101192⨯+=-=-100．故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、数列分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．C解析：C 【解析】在ABC ∆中，222222cos ,2cos 222a b c a b c C a b C b ab abQ +-+-=∴==⋅，2222a a b c ∴=+-，,b c ∴=∴此三角形一定是等腰三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用余弦定理判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.4．C解析：C 【解析】 【分析】根据同角三角函数求出；利用余弦定理构造关于的方程解出，再根据三角形面积公式求得结果. 【详解】由余弦定理得：，即解得：或为最小角本题正确选项： 【点睛】本题考查余弦定理解三角形、三角形面积公式的应用、同角三角函数关系，关键是能够利用余弦定理构造关于边角关系的方程，从而求得边长.5．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(52)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b +的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．6．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．A解析：A 【解析】分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b+++=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭， 化为()()2540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.8．C解析：C 【解析】先考虑充分性,当x>0时，12x x +≥=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立.再考虑必要性，当12 xx+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x-+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0.故选C.9．A解析：A【解析】试题分析：331313log1log log log1n n n na a a a+++=∴-=Q即13log1nnaa+=13nnaa+∴=∴数列{}n a是公比为3的等比数列335579246()393a a a q a a a∴++=++=⨯=15793log()5a a a∴++=-．考点：1．等比数列的定义及基本量的计算；2．对数的运算性质．10．B解析：B【解析】【分析】【详解】∵点M(a,b)与点N(0,−1)在直线3x−4y+5=0的两侧,∴()()34530450a b-+⨯++<，即3450a b-+<，故①错误；当0a>时,54a b+>，a+b即无最小值，也无最大值，故②错误；设原点到直线3x−4y+5=0的距离为d,则22513(4)==+-d,则22a b+>1，故③正确；当0a>且a≠1时,11ba+-表示点M(a,b)与P(1,−1)连线的斜率．∵当0a=,b=54时,51194114ba++==---,又直线3x−4y+5=0的斜率为34，故11ba+-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.11．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为2,,3n n S a 成等差数列，所以223n n S a =+，当1n =时，111223,2S a a =+∴=-；当2n ≥时，1113333112222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--=-，即11322n n a a -=，即()132nn a n a -=≥，∴数列{}n a 是首项12a =-，公比3q =的等比数列，()()55151213242113a q S q---∴===---，故选B.12．D解析：D 【解析】 【分析】三角形的面积公式为1sin 2ABC S bc A ∆=，故需要求出边b 与c ，由余弦定理可以解得b 与c . 【详解】解：在ABC ∆中，2227cos 28b c a A bc +-==将2b c =，a =22246748c c c +-=， 解得：2c =由7cos 8A =得sin A ==所以，11sin 2422ABC S bc A ∆==⨯⨯=故选D. 【点睛】三角形的面积公式常见形式有两种：一是12（底⨯高），二是1sin 2bc A .借助12（底⨯高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助1sin 2bc A 时，需要求出三角形两边及其夹角的正弦值.二、填空题13．4【解析】（前一个等号成立条件是后一个等号成立的条件是两个等号可以同时取得则当且仅当时取等号）【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式（1）当且仅当时取等号；（2）当且仅解析：4 【解析】44224141144a b a b ab ab ab ab +++≥=+≥= ，（前一个等号成立条件是222a b =，后一个等号成立的条件是12ab =，两个等号可以同时取得，则当且仅当2224a b ==时取等号）. 【考点】均值不等式【名师点睛】利用均指不等式求最值要灵活运用两个公式，（1）22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b =时取等号；（2）,a b R +∈ ，a b +≥ ，当且仅当a b =时取等号；首先要注意公式的使用范围，其次还要注意等号成立的条件；另外有时也考查利用“等转不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.14．【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首解析：34，- 【解析】 【分析】根据题意，化简得22111n n n a a a ++-=-，利用式相加，得到2213113112S a a a --=-，进而得到211120a a --=，即可求解结果.【详解】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-， 所以2222222213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-L ，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-，又21313S a =，所以211120a a --=，解得13a =-或14a =.【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.15．【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足解得∴实数的取值范围是答案：点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时需要综合考虑边的限制条件在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用必须要考虑到三个内角的解析：a <<【解析】由三角形中三边关系及余弦定理可得a 应满足22222222224130130310a a a a <<⎧⎪+->⎪⎨+->⎪⎪+->⎩，解得a << ∴实数a的取值范围是．答案： 点睛：根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．16．3【解析】【分析】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得解方程得解【详解】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得所以故答案：3【点睛】本题主要解析：3 【解析】 【分析】由acosB ＝5bcosA 得22223a b c -=，由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，解方程得解. 【详解】由acosB ＝5bcosA 得22222222225,223a cb bc a a b a b c ac bc +-+-⋅=⋅∴-=.由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，所以222,33c c c =∴=. 故答案：3 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.17．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （解析：5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题18．【解析】【分析】构造数列得到数列是首项为1公差为2的等差数列得到【详解】设则数列是首项为1公差为2的等差数列故答案为【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法构造数列是解题的关键意在考查学生对于数列通项解析：2221n n -- 【解析】 【分析】构造数列11n nb a =-，得到数列n b 是首项为1公差为2的等差数列21n b n =-，得到2221n n a n -=-. 【详解】 设11n n b a =-，则12n n b b +-=，11111b a ==- 数列n b 是首项为1公差为2的等差数列1222121121n n n b n n a n n a -=⇒=--⇒--= 故答案为2221n n -- 【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，构造数列11n nb a =-是解题的关键，意在考查学生对于数列通项公式的记忆，理解和应用.19．【解析】【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和【详解】数列满足：（且为常数）当时则所以（常数）故所以数列的前项为首项为公差为的等差数列从项开始由于所以奇数项为偶数项为所以故答案为：【点睛】 解析：1849【解析】 【分析】直接利用分组法和分类讨论思想求出数列的和. 【详解】数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩， 当100a =时，则1100a =， 所以13n n a a +-=-（常数）， 故()10031n a n =--，所以数列的前34项为首项为100，公差为3-的等差数列. 从35项开始，由于341a =，所以奇数项为3、偶数项为1， 所以()()1001001346631184922S +⨯=+⨯+=，故答案为：1849 【点睛】本题考查了由递推关系式求数列的性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，同时也考查了分类讨论的思想，属于中档题.20．【解析】【分析】由已知推导出=(=1+（）从而-=-由此能求出【详解】∵数列满足：∴（）+（）+……+（）=++……+==(∴=(；又+……+（）=1+++……+=1+=1+（）即=1+（）∴-=-解析：23-【解析】 【分析】 由已知推导出2n S =23(11)4n -，21n S -=1+13（1114n --），从而22n n a S =-21n S -=21132n -n -23，由此能求出2lim n n a →∞【详解】 ∵数列{}n a 满足：1 1a =，112nn n a a +⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴（12a a +）+（34 a a +）+……+（212 n n a a -+）=12+312⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=11124114n ⎛⎫- ⎪⎝⎭-=23(11)4n-， ∴2n S =23(11)4n -； 又12345a a a a a +++++……+（2221 n n a a --+）=1+212⎛⎫ ⎪⎝⎭+412⎛⎫ ⎪⎝⎭+……+2212n -⎛⎫ ⎪⎝⎭=1+2111124114n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=1+13（1114n --），即21n S -=1+13（1114n --） ∴22n n a S =-21n S -=21132n -n -23∴2211lim lim(32n n n n a n -→∞→∞=-2)3=-23，故答案为：-2 3【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，数列的极限的求法，考查逻辑思维能力及计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）2224b c a+=（2 【解析】 【分析】（I ）由题意2sin 3tan c B a A =，利用正、余弦定理化简得2224b c a +=，即可得到答案. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==，由余弦定理得6cos A bc=，进而利用基本不等式，得到6cos bc A =，且(0,)2A π∈，再利用三角形的面积公式和三角函数的性质，即可求解面积的最大值. 【详解】解：（I ）∵2sin 3tan c B a A =， ∴2sin cos 3sin c B A a A =， 由正弦定理得22cos 3cb A a =，由余弦定理得22222?32b c a cb a bc+-=，化简得2224b c a +=，∴2224b c a+=. （II ）因为2a =，由（I ）知222416b c a +==，∴由余弦定理得2226cos 2b c a A bc bc+-==， 根据重要不等式有222b c bc +≥，即8bc ≥，当且仅当b c =时“=”成立， ∴63cos 84A ≥=. 由6cos A bc =，得6cos bc A =，且0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴ABC ∆的面积116sin sin 3tan 22cos S bc A A A A==⨯⨯=. ∵2222222sin cos sin 11tan 1cos cos cos A A A A A A A++=+==，∴tan 3A =≤=∴3tan S A =≤∴ABC ∆的面积S . 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.22．(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析：⑴根据数列的递推关系，结合等比数列的定义即可证明是等比数列，并求的通项公式，⑵利用错位相减法即可求得答案；解析：（1）∵∴∴，∵，，∴是以为首项，以4为公比的等比数列∴，∴，∴，（2），∴①②①-②得∴.23．（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）6 【解析】 【分析】（Ⅰ）由递推公式凑出1132n n a a ++--与32n n a a --的关系，即可得证（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2111222n n n n n a b a a --=-==--，即可得到{}(21)n n b -⋅的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解. 【详解】 解：（Ⅰ）()*164n n n a a n a +-=∈-N Q 1163346224n n n n n n a a a a a a ++----∴=---- 6312628n n n n a a a a --+=--+2(3)(2)n n a a --=--322n n a a -=- 32n n a a ⎧⎫-∴⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列（Ⅱ）由（Ⅰ）知，322n n n a a -=-， 即2111222n n n n n a b a a --=-==--， 21212n n n b n ∴-⋅=-⋅（）（）123S 123252...(21)2n n n =⋅+⋅+⋅++-⋅①23412S 123252...(21)2n n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅②，①减②得11231142S 122(22...2)(21)222(21)212n n n n n n n +++--=⋅+++--⋅=+⋅--⋅-1(32)26n n +=-⋅-. 1S (23)26n n n +∴=-⋅+2111S S (21)2(23)22210n n n n n n n n ++++∴-=-⋅--⋅=+>（），S n ∴单调递增.76S 92611582019=⨯+=<Q ， 87S 112628222019=⨯+=>.故使S 2019n <成立的最大自然数6n =. 【点睛】本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题. 24．(1)见解析(2) (,20)-∞ 【解析】分析：（1）利用1434n n S S +-=推出134n n a a +=是常数，然后已知2134a a =，即可证明数列{}n a 是等比数列；（2）利用错位相减法求出数列{}n na 的前n 项和为n T n ，化简不等式31604nn aT n⎛⎫+⋅-< ⎪⎝⎭，通过对任意的*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围．详解：(1) Q 已知*1434,n n S S n N +-=∈,∴ 2n ≥时, 143 4.n n S S --= 相减得1430n n a a +-=. 又易知0,n a ≠134n n a a +∴=. 又由*1434,n n S S n N +-=∈得()121434,a a a +-=22133,44a a a ∴=∴=. 故数列{}n a 是等比数列.(2)由(1)知1133144n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.01133312444n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ,123333124444nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 相减得213113333341344444414nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++-⨯=-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-L ,331616444n nn T n ⎛⎫⎛⎫∴=-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ∴不等式31604n n a T n ⎛⎫+⨯-< ⎪⎝⎭为33316164160444n n na n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+⨯-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 化简得2416n n a +>. 设()2416f n n n =+,*n N ∈Q ()()120min f n f ∴==.故所求实数a 的取值范围是(),20-∞.点睛：本题考查等比数列的判断，数列通项公式与前n 项和的求法，恒成立问题的应用，考查计算能力． 25．（1）；（2）【解析】 【分析】 （1）运用，证明数列是等比数列，计算通项，即可。

2020-2021学年浙江省杭州市高三（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≥0}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x≤3}D．R2．已知a∈R，若（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i（i为虚数单位），则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．23．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1B．C．D．4．若a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna﹣b＞lnb﹣a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数f（x）＝（﹣1）cos x（其中e为自然对数的底数）图象的可能是（）A．B．C．D．6．已知随机变量ξ满足P（ξ＝x）＝ax+b（x＝﹣1，0，1），其中a，b∈R．若E（ξ）＝，则D（ξ）＝（）A．B．C．D．7．已知（x2+1）（2x﹣1）7＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）9（x∈R），则a1＝（）A．﹣30B．30C．﹣40D．408．已知实数a，b满足|b|≤2﹣a，且a≥﹣1，则2a+b的最小值为（）A．﹣7B．﹣5C．﹣3D．﹣19．设函数f（x）＝lnx﹣﹣2mx+n，若不等式f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，则的最大值为（）A．B．C．e D．2e10．设数列{a n}满足a1＝3，a2＝6，a n+2＝（n∈N*），（）A．存在n∈N*，a n∉QB．存在p＞0，使得{a n+1﹣pa n}是等差数列C．存在n∈N*，a n＝D．存在p＞0，使得{a n+1﹣pa n}是等比数列二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．计算lg2﹣lg＝；4＝．12．在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝，△ABC的面积等于．13．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则a2+b2的最小值等于，+的最大值等于．14．已知tanα＝cosα，则cos2α+cos4α＝，＝．15．一排11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不同排法的种数是．16．平面向量，的夹角为60°，且|﹣|＝1，则•（+2）的最大值为．17．在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中点分别为E，F，点P在平面BCC1B1内，作PQ⊥平面ACD1，垂足为Q．当点P在△EFB1内（包含边界）运动时，点Q的轨迹所组成的图形的面积等于．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数f（x）＝sin（ωx+）cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，若sin A sin C﹣sin2C＝sin2A﹣sin2B，求f（B）的值．19．已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣|ax﹣2|（a＞0）．（Ⅰ）若a＝2，解不等式f（x）＜0；（Ⅱ）设x1，x2，x3，x4是函数y＝f（x）+1的四个不同的零点，且x1＜x2＜x3＜x4．问是否存在实数a，使得x2，x3，x4成等差数列？若存在，求出所有a的值；若不存在，说明理由．20．在三棱锥A﹣BCD中，△BCD为等腰直角三角形，点E，G分别是线段BD，CD的中点，点F在线段AB上，且BF＝2FA．若AD＝1，AB＝，CB＝CD＝．（Ⅰ）求证：AG∥平面CEF；（Ⅱ）求直线AD与平面CEF所成的角．21．在数列{a n}中，a1＝1，a2k﹣1，a2k，a2k+1（k∈N*）成等比数列，公比为q k＞0．（Ⅰ）若q k＝2，求a1+a3+a5+…+a2k﹣1；（Ⅱ）若a2k，a2k+1，a2k+2（k∈N*）成等差数列，公差为d k，设b k＝．①求证：{b n}为等差数列；②若d1＝2，求数列{d k}的前k项和D k．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣a（x+1）2，a∈R恰好有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求证：存在实数m∈（），使0＜a＜m；（Ⅱ）求证：﹣＜f（x1）＜﹣．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|（x﹣1）（x﹣2）≥0}，则A∪B＝（）A．{x|1≤x≤2}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x≤3}D．R解：∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x≤1或x≥2}，∴A∪B＝R．故选：D．2．已知a∈R，若（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i（i为虚数单位），则a＝（）A．﹣1B．0C．1D．2解：因为（2+ai）（a﹣2i）＝﹣4i，所以4a+（a2﹣4）i＝﹣4i，则有4a＝0，a2﹣4＝﹣4，解得a＝0．故选：B．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．1B．C．D．解：由三视图知几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个平行四边形，有两个等腰直角三角形，直角边长为1组成的平行四边形，四棱锥的一条侧棱与底面垂直，且侧棱长为1，∴四棱锥的体积是．故选：B．4．若a＞0，b＞0，则“a＞b”是“lna﹣b＞lnb﹣a”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：当a＞0，b＞0时，若a＞b，则lna＞lnb，此时a+lna＞b+lnb成立，即充分性成立，设f（x）＝x+lnx，当x＞0时，f（x）为增函数，则由a+lna＞b+lnb得f（a）＞f（b），即a＞b，即必要性成立，则“a＞b”是“a+lna＞b+lnb”的充要条件，故选：C．5．函数f（x）＝（﹣1）cos x（其中e为自然对数的底数）图象的可能是（）A．B．C．D．解：f（x）＝•cos x＝•cos x，则f（﹣x）＝•cos x＝•cos x＝﹣f（x），则f（x）是奇函数，排除A，C，当0＜x＜时，f（x）＜0，排除B，故选：D．6．已知随机变量ξ满足P（ξ＝x）＝ax+b（x＝﹣1，0，1），其中a，b∈R．若E（ξ）＝，则D（ξ）＝（）A．B．C．D．解：由已知可得：P（ξ＝﹣1）＝﹣a+b，P（ξ＝0）＝b，P（ξ＝1）＝a+b，则﹣a+b+b+a+b＝1，即b＝，又E（ξ）＝﹣1×（﹣a+b）+0×b+1×（a+b）＝，所以a＝，所以ξ的分布列如下：ξ﹣101P所以D（ξ）＝，故选：B．7．已知（x2+1）（2x﹣1）7＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）9（x∈R），则a1＝（）A．﹣30B．30C．﹣40D．40解：∵（x2+1）（2x﹣1）7＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）9（x∈R），令f（x）＝（x2+1）（2x﹣1）7＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a9（x﹣1）9（x∈R），则f′（x）＝2x＝a1+a2（x﹣1）1+…+a9（x﹣1）8，f′（x）＝2x•（2x﹣1）7+（x2+1）•14（2x﹣1）6，∴a1＝f′（1）＝2×1+2×14×（2﹣1）6＝30故选：B．8．已知实数a，b满足|b|≤2﹣a，且a≥﹣1，则2a+b的最小值为（）A．﹣7B．﹣5C．﹣3D．﹣1解：不等式|b|≤2﹣a可化为﹣2+a≤b≤2﹣a，且a≥﹣1，所以约束条件为，画出约束条件表示的平面区域，如阴影部分所示：设z＝2a+b，平移目标函数知，当目标函数过点A时，z取得最小值；由，求得A（﹣1，﹣3），所以z＝2a+b的最小值为z min＝2×（﹣1）+（﹣3）＝﹣5．故选：B．9．设函数f（x）＝lnx﹣﹣2mx+n，若不等式f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，则的最大值为（）A．B．C．e D．2e解：不等式f（x）≤0对x∈（0，+∞）恒成立，即为lnx﹣﹣2mx+n≤0，即lnx﹣≤2m（x﹣）对x＞0恒成立，设g（x）＝lnx﹣，由g′（x）＝+＞0，可得g（x）在（0，+∞）递增，且g（e）＝0，当x→0时，g（x）→﹣∞；x→+∞，g（x）→+∞，作出y＝g（x）的图象，再设h（x）＝2m（x﹣），x＞0，可得h（x）表示过（，0），斜率为2m的一条射线（不含端点），要求的最大值，且满足不等式恒成立，可求的最大值，由于点（，0）在x轴上移动，只需找到合适的m＞0，且与g（x）＝lnx﹣切于点（，0），如图所示：此时＝e，即有的最大值为2e，故选：D．10．设数列{a n}满足a1＝3，a2＝6，a n+2＝（n∈N*），（）A．存在n∈N*，a n∉QB．存在p＞0，使得{a n+1﹣pa n}是等差数列C．存在n∈N*，a n＝D．存在p＞0，使得{a n+1﹣pa n}是等比数列解：由a n+2＝（n∈N*），可得①，则②①﹣②可得，a n+2a n﹣a n+1a n﹣1＝a n+12﹣a n2，所以a n（a n+2+a n）＝a n+1（a n+1+a n﹣1），则，由此可得，，所以，则a n+2＝3a n+1﹣a n且a1＝3∈Z，a2＝6∈Z，所以a n∈Z，故选项A，C错误；由a n+3＝3a n+2﹣a n+1，可得a n+3﹣a n+2＝5a n+1﹣2a n不是常数，所以不存在p＞0，使得{a n+1﹣pa n}是等差数列，故选项B错误；假设存在p＞0，使得{a n+1﹣pa n}是等比数列，公比为q，则有a n+1﹣pa n＝q（a n﹣pa n﹣1），所以a n+1＝（p+q）a n﹣pqa n﹣1，由a n+2＝3a n+1﹣a n，则，解得，所以存在，使得{a n+1﹣pa n}是等比数列，故选项D正确．故选：D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．计算lg2﹣lg＝1；4＝9．解：lg2﹣lg＝lg2+lg5＝lg10＝1；4＝＝9．故答案为：1；9．12．在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，则B＝，△ABC的面积等于2．解：因为在△ABC中，A＝，b＝4，a＝2，由正弦定理，可得＝，可得sin B＝1，因为B∈（0，π），则B＝，所以c＝＝＝2，所以S△ABC＝ac＝＝2．故答案为：，2．13．若a＞0，b＞0，且a+b＝1，则a2+b2的最小值等于，+的最大值等于．解：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，∴，，∴，∴a2+b2的最小值等于；∵，∴，∴的最大值等于．故答案为：．14．已知tanα＝cosα，则cos2α+cos4α＝1，＝1．解：因为tanα＝＝cosα，可得sinα＝cos2α，则cos2α+cos4α＝cos2α+sin2α＝1，＝＝＝＝＝1．故答案为：1，1．15．一排11个座位，现安排2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不相邻，则不同排法的种数是44．解：根据题意，分2种情况讨论，①两个都在左边的4个座位或右边的4个座位就坐，有2×A22×3＝12种排法，②两个人一人在左边4个座位，一个在右边4个座位就坐，有2×CA41×C41＝32种排法，则一共有12+32＝44种不同的排法，故答案为：4416．平面向量，的夹角为60°，且|﹣|＝1，则•（+2）的最大值为．解：设||＝a，||＝b，则由|﹣|＝1，平方得||2+||2﹣2•＝1，即a2+b2﹣2ab×＝1，即a2+b2﹣ab＝1，则•（+2）＝||2+2•＝a2+ab，∵a2+ab＝＝＝，令m＝，则m＞0，则原式＝＝，再设t＝1+m，则t＞1，则m＝t﹣1．则＝＝＝≤＝＝＝，当且仅当t＝，即t＝时，取等号，即•（+2）的最大值为，故答案为：．17．在棱长为的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中点分别为E，F，点P在平面BCC1B1内，作PQ⊥平面ACD1，垂足为Q．当点P在△EFB1内（包含边界）运动时，点Q的轨迹所组成的图形的面积等于．解：连结BD交AC于点O，连结OD1，B1D交于点H，设G为CD1的中点，因为AC⊥BD，AC⊥BB1，BB1∩BD＝B，BB1，BD⊂平面BB1D，所以AC⊥平面BB1D，因为B1D⊂平面BB1D，所以B1D⊥AC，同理可证B1D⊥AD1，又AC∩AD1＝A，AC，AD1⊂平面ACD1，所以B1D⊥平面ACD1，即点B1在平面ACD1的投影为H，且D1H＝2HO，同理，点E，F在面ACD1的投影分别为O，G，所以△EFB1在平面ACD1的投影为△OGH，又，所以，所以点Q的轨迹所组成的图形的面积S＝．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知函数f（x）＝sin（ωx+）cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，若sin A sin C﹣sin2C＝sin2A﹣sin2B，求f（B）的值．解：（I）函数f（x）＝sin（ωx+）cos（ωx+）＝（sinωx+cosωx）（cosωx﹣sinωx）＝cos2ωx﹣sin2ωx＝×﹣×＝cos2ωx﹣，因为函数f（x）最小正周期为π，由T＝＝π，且ω＞0，解得ω＝1，所以f（x）＝cos2x﹣，令2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z，可得函数f（x）的单调递增区间为：[kπ﹣，kπ]，k∈Z．（II）由sin A sin C﹣sin2C＝sin2A﹣sin2B得：ac﹣c2＝a2﹣b2，即a2+c2﹣b2＝ac，∴cos B＝＝＝，又B为锐角，可得B＝，∴f（B）＝cos﹣＝﹣＝．19．已知函数f（x）＝x2﹣ax﹣|ax﹣2|（a＞0）．（Ⅰ）若a＝2，解不等式f（x）＜0；（Ⅱ）设x1，x2，x3，x4是函数y＝f（x）+1的四个不同的零点，且x1＜x2＜x3＜x4．问是否存在实数a，使得x2，x3，x4成等差数列？若存在，求出所有a的值；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）当a＝2时，不等式f（x）＜0，即x2﹣2x﹣|2x﹣2|＝|x﹣1|2﹣2|x﹣1|﹣1＜0，所以0≤|x﹣1|＜，解得，故不等式f（x）＜0的解集为{x|}；（Ⅱ）因为f（x）＝x2﹣ax﹣|ax﹣2|（a＞0），则，又y＝f（x）+1有四个不同的零点，所以△＝4a2﹣12＞0且，解得，因为x1＜x2＜x3＜x4，当时，f（x）+1＝x2﹣1＝0，可得x1＝﹣1，x2＝1，所以x3，x4是x2﹣2ax+3＝0的两个根，若x2，x3，x4成等差数列，则，所以，代入方程x2﹣2ax+3＝0可得，，解得或﹣2（舍），综上可知，存在使得x2，x3，x4成等差数列．20．在三棱锥A﹣BCD中，△BCD为等腰直角三角形，点E，G分别是线段BD，CD的中点，点F在线段AB上，且BF＝2FA．若AD＝1，AB＝，CB＝CD＝．（Ⅰ）求证：AG∥平面CEF；（Ⅱ）求直线AD与平面CEF所成的角．【解答】（Ⅰ）证明：连接BG交EC于H，连接FH，则点H为△BCD的重心，有，∵，∴FH∥AG，且FH⊂平面CEF，AG⊄平面CEF，则AG∥平面CEF；（Ⅱ）解：∵BF＝，BE＝1，∠ABD＝30°，∴EF2＝BF2+BE2﹣2BE•BF•cos∠ABD＝＝，故BF2＝BE2+EF2，∴BE⊥EF，又由已知，CE⊥BD，CE∩EF＝E，则BD⊥平面CEF，过F作AD的平行线FP，交BD于P，则PE⊥CEF，故∠PFE为直线AD与平面CEF所成的角，且FP＝，EP＝，∠FEP＝90°，∴sin，得直线AD与平面CEF所成的角为．21．在数列{a n}中，a1＝1，a2k﹣1，a2k，a2k+1（k∈N*）成等比数列，公比为q k＞0．（Ⅰ）若q k＝2，求a1+a3+a5+…+a2k﹣1；（Ⅱ）若a2k，a2k+1，a2k+2（k∈N*）成等差数列，公差为d k，设b k＝．①求证：{b n}为等差数列；②若d1＝2，求数列{d k}的前k项和D k．【解答】（Ⅰ）解：因为a1＝1，a2k﹣1，a2k，a2k+1（k∈N*）成等比数列，公比为q k＞0，所以，则a1+a3+a5+…+a2k﹣1＝＝；（Ⅱ）①证明：因为a2k，a2k+1，a2k+2（k∈N*）成等差数列，所以2a2k+1＝a2k+a2k+2，即，则，即b k+1﹣b k＝1，所以数列{b n}为等差数列，公差为1；②解：若d1＝2，所以a3＝a2+2，则有，所以a2＝2或a2＝﹣1；当a2＝2时，q1＝2，所以b1＝1，则b k＝1+（k﹣1）×1＝k，即，解得，所以，则＝，所以，则d k＝a2k+1﹣a2k＝k+1，故；若a2＝﹣1时，q1＝﹣1，所以，则，即，解得，则＝，则，所以d k＝a2k+1﹣a2k＝4k﹣2，故．综上所述，或．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣a（x+1）2，a∈R恰好有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（Ⅰ）求证：存在实数m∈（），使0＜a＜m；（Ⅱ）求证：﹣＜f（x1）＜﹣．【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）＝lnx+1﹣a（x+1），x＞0，结合题意，lnx+1﹣a（x+1）＝0，即lnx+1＝a（x+1）存在2个不同正根，先考虑y＝a（x+1）与y＝lnx+1相切，记切点横坐标为x0，则，解得：，记g（x）＝xlnx﹣1，x＞0，则g′（x）＝1+lnx，令g′（x）＝0，解得：x＝，故y＝g（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，且g（1）＝﹣1＜0，g（2）＝ln4﹣1＞0，故存在唯一x0∈（1，2），使得x0lnx0＝1成立，取m＝∈（，1），则0＜a＜m时，f（x）恰有2个极值点，得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f′（x1）＝lnx1+1﹣a（x1+1），且＜x1＜x0＜2，故a＝，代入f（x1），得f（x1）＝（x1lnx1﹣x1﹣lnx1﹣1），设h（x）＝（xlnx﹣x﹣lnx﹣1），h′（x）＝（lnx﹣），＜x＜2，由h′（x0）＝0，得lnx0＝，即x0lnx0＝1，则x∈（，x0）时，h′（x）＜0，x∈（x0，2），h′（x）＞0，故h（x）在（，x0）递减，在（x0，2）递增，h（x）＞h（x0）＝（x0lnx0﹣lnx0﹣x0﹣1）＝（1﹣﹣x0﹣1）＝﹣（x0+），∵x0∈（1，2），∴x0+∈（2，），∴h（x0）∈（﹣，﹣1），故h（x）＞﹣，即f（x1）＞﹣，而h（x）＜h（）＝﹣＞h（2）＝（ln2﹣3），故：﹣＜f（x1）＜﹣．。

2020-2021高三数学上期末试题带答案(4)一、选择题1．设,x y 满足约束条件 202300x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩，则46y x ++的取值范围是A ．3[3,]7- B ．[3,1]- C ．[4,1]-D ．(,3][1,)-∞-⋃+∞2．若函数y ＝f (x )满足：集合A ＝{f (n )|n ∈N *}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f (x )是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是( ) ①y ＝2x ＋1；②y ＝log 2x ；③y ＝2x＋1；④y ＝sin44x ππ+（）A ．1B ．2C ．3D ．43．设,x y 满足约束条件302x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．114．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．15．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．236．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．97．已知集合2A {t |t 40}=-≤，对于满足集合A 的所有实数t ，使不等式2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )A ．()(),13,∞∞-⋃+B ．()(),13,∞∞--⋃+C ．(),1∞--D ．()3,∞+8．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A．1 B．1 C ．＋2D ．29．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项的和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是 （ ） A ．24B ．48C ．60D ．8410．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ） A ．63B ．61C ．62D ．5711．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6B π=，4C π=，则ABC ∆的面积为（ ） A．2+B1C．2D112．一个递增的等差数列{}n a ，前三项的和12312a a a ++=，且234,,1a a a +成等比数列，则数列{}n a 的公差为 ( ) A ．2±B ．3C ．2D ．1二、填空题13．关于x 的不等式a 34≤x 2﹣3x +4≤b 的解集为[a ，b ]，则b －a ＝________． 14．若变量,x y 满足约束条件12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.15．在等差数列{}n a 中，首项13a =，公差2d =，若某学生对其中连续10项进行求和，在遗漏掉一项的情况下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为 ． 16．ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos (32)cos b C a c B =-.当b =2ac =，ABC ∆的面积为______.17．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=L ________________.18．设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 19．如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ，那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型标准数列的个数为______．20．若无穷等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为______.三、解答题21．在ABC V 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2,7a b ==，面积3S accosB =. （1）求sin A 的值；（2）若点D 在BC 上（不含端点），求sin BDBAD∠的最小值.22．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin 2sin 0b A a A C -+=． （1）求角A ；（2）若3a =，ABC △的面积为332，求11b c +的值．23．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差d ∈N ，25a =，且53545S <<. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}237n S n -的前n 项和为n T ，若m n T T ≤，对n *∈N 恒成立，求m . 24．设递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝3，S 3＝13，数列{b n }满足b 1＝a 1，点P （b n ，b n +1）在直线x ﹣y +2＝0上，n ∈N *. （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式； （2）设c n nnb a =，求数列{c n }的前n 项和T n . 25．已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r，(cos ,cos )n C B =r ，且//m n r r，7BC =（1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧»AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积．26．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 先作可行域，而46y x ++表示两点P （x,y ）与A （-6,-4）连线的斜率，所以46y x ++的取值范围是[,][3,1]AD AC k k =-，选B.点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.2．C解析：C 【解析】①y ＝2x ＋1，n ∈N *，是等差源函数；②因为log 21，log 22，log 24构成等差数列，所以y ＝log 2x 是等差源函数；③y ＝2x ＋1不是等差源函数，因为若是，则2(2p ＋1)＝(2m ＋1)＋(2n ＋1)，则2p ＋1＝2m ＋2n ，所以2p ＋1－n ＝2m －n ＋1，左边是偶数，右边是奇数，故y ＝2x ＋1不是等差源函数； ④y ＝sin 44x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭是周期函数，显然是等差源函数.答案：C.3．C解析：C【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点A 的坐标为33(,)22-．∴min 333()322z =⨯-+=-．选C ． 4．D解析：D 【解析】 【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可. 【详解】 目标函数()12123112111x y x y y z x x x ++++++===+⨯+++， 设11y k x +=+，则k 的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D --连线的斜率， 若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，即12z k =+的最小值是32， 由3122k +=，得14k =，即k 的最小值是14，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过D 的直线经过()3,0B a 时，直线的斜率k 最小，此时011314k a +==+， 得314a +=，得1a =. 故选：D. 【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.5．C解析：C 【解析】 试题分析：∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．6．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．B解析：B 【解析】 【分析】由条件求出t 的范围，不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理． 【详解】由240t -≤得，22t -≤≤，113t ∴-≤-≤不等式221x tx t x +->-恒成立，即不等式2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，∴只需{1010x t x +->->或{1010x t x +-<-<恒成立，∴只需{11x tx >->或{11x tx <-<恒成立，113t -≤-≤Q只需3x >或1x <-即可． 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．8．D解析：D 【解析】由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－ ∵a 、b 、c >0.∴(a ＋c )·(a ＋b )≤22b c 2a ++⎛⎫ ⎪⎝⎭(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，∴2a ＋b ＋c ＝1)＝－2. 故选：D点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误9．C解析：C 【解析】试题分析：∵11011101100000a a a d a a ⋅∴＞，＜，＜，＞，＜， ∴18110111810181060T a a a a S S S =+⋯+--⋯-=--=（），选C . 考点：1.等差数列的求和；2.数列的性质.10．D解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.11．B解析：B 【解析】试题分析：根据正弦定理，，解得，，并且，所以考点：1．正弦定理；2．面积公式．12．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】解：∵234,,1a a a +成等比数列， ∴，∵数列{}n a 为递增的等差数列，设公差为d ， ∴，即，又数列{}n a 前三项的和，∴，即，即d ＝2或d ＝−2（舍去）， 则公差d ＝2． 故选：C ．二、填空题13．4【解析】【分析】设f （x ）x2﹣3x+4其函数图象是抛物线画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b 如果两直线与抛物线有两个交点得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间所以两直线与抛物线不可能有解析：4 【解析】 【分析】 设f （x ）34=x 2﹣3x +4，其函数图象是抛物线，画两条与x 轴平行的直线y ＝a 和y ＝b ，如果两直线与抛物线有两个交点，得到解集应该是两个区间；此不等式的解集为一个区间，所以两直线与抛物线不可能有两个交点，所以直线y ＝a 应该与抛物线只有一个或没有交点，所以a 小于或等于抛物线的最小值且a 与b 所对应的函数值相等且都等于b ，利用f （b ）＝b 求出b 的值，由抛物线的对称轴求出a 的值，从而求出结果． 【详解】解：画出函数f （x ）＝34x 2﹣3x +4＝34（x －2）2＋1的图象，如图，可得f （x ）min ＝f （2）＝1，由图象可知，若a >1，则不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集分两段区域，不符合已知条件， 因此a ≤1，此时a ≤x 2－3x ＋4恒成立．又不等式a ≤34x 2－3x ＋4≤b 的解集为[a ，b ]， 所以a ≤1<b ，f （a ）＝f （b ）＝b ，可得2233443344a ab b b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩由34b 2－3b ＋4＝b ，化为3b 2－16b ＋16＝0， 解得b ＝43或b ＝4. 当b ＝43时，由34a 2－3a ＋4－43＝0，解得a ＝43或a ＝83， 不符合题意，舍去， 所以b ＝4，此时a ＝0， 所以b －a ＝4. 故答案为：4 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，解题时应灵活应用函数的思想解决实际问题，是中档题．14．【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤 解析：4-【解析】由约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立12 {20x y x y +=-=，解得()84A ，，化目标函数z y x =-，得y x z =+，由图可知，当直线y x z =+过点()84A ，时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-，故答案为4-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．200【解析】试题分析：等差数列中的连续10项为遗漏的项为且则化简得所以则连续10项的和为考点：等差数列解析：200 【解析】试题分析：等差数列{}n a 中的连续10项为*+129,,,,,()x x x x a a a a x N ++⋯∈，遗漏的项为*+,x n a n N ∈且19,n ≤≤则9()10(18)10(2)22x x x x x n x a a a a a a n +++⨯++⨯-=-+，化简得4494352x n ≤=+≤，所以5x =，511a =，则连续10项的和为(1111+18)10=2002+⨯.考点：等差数列.16．【解析】【分析】由利用正弦定理得到再用余弦定理求得b 可得ac 利用面积公式计算可得结果【详解】由正弦定理可化为所以在三角形中所以因为所以又所以由余弦定理得又所以有故的面积为故答案为【点睛】本题考查了正 325【解析】 【分析】由()2cos 32cos b C a c B =-，利用正弦定理得到2cos 3B =，再用余弦定理求得b ，可得a 、c ，利用面积公式计算可得结果. 【详解】由正弦定理()2cos 32cos b C a c B =-可化为2sin cos 3sin cos 2sin cos B C A B C B =-， 所以()2sin 3sin cos B C A B +=， 在三角形中，()sin sin B C A +=，所以2sin 3sin cos A A B =，因为sin 0A ≠，所以2cos 3B =， 又0B π<<，所以sin B == 由余弦定理得2224323b a c ac =+-=，又2a c =，所以有2967c =. 故ABC ∆的面积为2219696sin sin sin 277S ac B c B c B ======. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【解析】【分析】求出数列的公比并得出等比数列的公比与首项然后利用等比数列求和公式求出即可计算出所求极限值【详解】由已知所以数列是首项为公比为的等比数列故答案为【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时 解析：323【解析】 【分析】求出数列{}n a 的公比，并得出等比数列{}1n n a a +的公比与首项，然后利用等比数列求和公式求出12231n n a a a a a a ++++L ，即可计算出所求极限值. 【详解】 由已知3212a q a ==，23112()()22n n n a --=⨯=，3225211111()()()2()2224n n n n n n a a ----+=⋅==⋅，所以数列{}1n n a a +是首项为128a a =，公比为1'4q =的等比数列， 11223118[(1()]3214[1()]13414n n n n a a a a a a -+-+++==--L ，1223132132lim ()lim[1()]343n n n n n a a a a a a +→+∞→∞+++=-=L . 故答案为323. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了利用定义判定等比数列、等比数列求和以及数列极限的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.18．-8【解析】设等比数列的公比为很明显结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：由可得：代入①可得由等比数列的通项公式可得【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题解决这类问题的关键在于解析：-8 【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：()()12121311113a a a q a a a q ⎧+=+=-⎪⎨-=-=-⎪⎩，①，②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =， 由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-.【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.19．6【解析】【分析】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=5336=23×23×29得出满足题意的组数即可得出结论【详解】由题意公差d=1na1+=2668∴n （2a1+n-1）=解析：6 【解析】 【分析】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29，得出满足题意的组数，即可得出结论． 【详解】由题意，公差d=1，na 1+()12n n -=2668，∴n （2a 1+n-1）=5336=23×23×29， ∵n ＜2a 1+n-1，且二者一奇一偶，∴（n ，2a 1+n-1）=（8，667），（23，232），（29，184）共三组； 同理d=-1时，也有三组． 综上所述，共6组．故答案为6． 【点睛】本题考查组合知识的运用，考查等差数列的求和公式，属于中档题．20．【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2可以确定其公比满足利用等比数列各项和的公式得到得到分和两种情况求得的取值范围得到结果【详解】因为无穷等比数列的各项和为2所以其公比满足且所以当时当时所解析：(0,2)(2,4)U . 【解析】 【分析】首先根据无穷等比数列{}n a 的各项和为2，可以确定其公比满足01q <<，利用等比数列各项和的公式得到121a q=-，得到122a q =-，分01q <<和10q -<<两种情况求得1a 的取值范围，得到结果. 【详解】因为无穷等比数列{}n a 的各项和为2， 所以其公比q 满足01q <<，且121a q=-， 所以122a q =-， 当01q <<时，1(0,2)a ∈， 当10q -<<时，1(2,4)a ∈，所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4)U ， 故答案是：(0,2)(2,4)U . 【点睛】该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.三、解答题21．（1）7；（2）3 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式得出60B ︒=，再由正弦定理即可得出sin A 的值； （2）先由余弦定理得出AD ，再结合正弦定理以及二次函数的性质得出sin BDBAD∠的最小值. 【详解】（1）由三角形面积公式得1sin cos 2ac B B =，则tan B =()0,B π∈Q ，60B ︒∴=由正弦定理sin sin a b A B=得，2sin sin a B A b === （2）由余弦定理得22222cos 230b a c ac B c c =+-⇒--=，解得1c =-（舍）或3c =设x BD =，则2DC x =-，()0,2x ∈，由余弦定理得cos C ==2222cos AD DC AC DC AC ACD =+-⋅∠2(2)7(2)14x x =-+--⨯239x x =-+由正弦定理得sin sin BD AD BAD ABC ==∠∠ 当32x =时，sin BD BAD ∠3= 【点睛】本题主要考查了利用正余弦定理解三角形，属于中档题. 22．（1）3π；（2【解析】 【分析】（1）可通过化简()sin2sin 0b A a A C -+=计算出cos A 的值，然后解出A 的值。

2020-2021高三数学上期末试题(附答案)(1)一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()1nn n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足（ ） A ．()1nn T n =-⨯ B ．n T n = C ．n T n =-D ．,2,.n n n T n n ⎧=⎨-⎩为偶数，为奇数2．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．13．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π==ABC ∆则a 的值为（ ） A ．2BC．2D ．14．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若633S S =， 则96S S =（ ） A ．2B ．73C ．83D ．35．设x y ，满足约束条件10102x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩＞，则yx 的取值范围是（ ）A ．()[),22,-∞-+∞UB ．(]2,2-C ．(][),22,-∞-+∞UD ．[]22-,6．已知实数x 、y 满足约束条件00134x y x ya a⎧⎪≥⎪≥⎨⎪⎪+≤⎩，若目标函数231x y z x ++=+的最小值为32，则正实数a 的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．17．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且2S =，则A 等于（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 8．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．99．若直线2y x =上存在点(,)x y 满足30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≥⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为A ．2-B ．1-C ．1D ．310．已知01x <<，01y <<，则）AB ．CD ．11．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为nT，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．201912．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩，，„„…则2z x y =-的最大值为（ ）.A ．10B ．8C ．3D ．2二、填空题13．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．14．已知数列{}n a 中，其中199199a =，11()an n a a -=，那么99100log a =________15．(广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学理试题)我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法---“三斜求积术”，即ABC △的面积S =，其中a b c 、、分别为ABC △内角、、A B C 的对边.若2b =，且tan C =，则ABC △的面积S 的最大值为__________．16．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若三角形的面积2223()4S a b c =+-，则角C =__________． 17．已知平面四边形ABCD 中，120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，2AB AD ==，则AC 的最大值为__________．18．已知数列{}n a 满足51()1,62,6n n a n n a a n -⎧-+<⎪=⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是_________.19．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积623S =+，则该三角形的外接圆半径是______20．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = .三、解答题21．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．22．ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知ABC V 的面积21tan 6S b A = (1)证明: 3 b ccos A =; (2)若1,3c a ==,求S .23．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(3sin cos )()cos a B C c b A -=-．（1）求A ； （2）若3b =，点D 在BC 边上，2CD =，3ADC π∠=，求ABC △的面积．24．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.25．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ． 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24220a a -=，3128S a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和最大？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】先根据2n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .【详解】解:∵2n S n =,∴当1n =时,111a S ==;当2n ≥时,()221121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()()1121nnn n b a n =-=--,∴()()()()()123113151121nn T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,∴()()()()()2341113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,①-②,得()()()()()()23412121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦()()()()()()211111122112111n n n n n -+⎡⎤---⎣⎦=-+⨯--⨯-=---,∴()1nn T n =-,∴数列{}n b 的前n 项和()1nn T n =-.故选:A . 【点睛】本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.2．B解析：B 【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．3．B解析：B 【解析】试题分析：由已知条件及三角形面积计算公式得131sin ,2,23c c π⨯⨯=∴=由余弦定理得考点：考查三角形面积计算公式及余弦定理．4．B解析：B 【解析】 【分析】首先由等比数列前n 项和公式列方程，并解得3q ，然后再次利用等比数列前n 项和公式，则求得答案． 【详解】设公比为q ，则616363313(1)1113(1)11a q S q q q a q S qq---===+=---， ∴32q =，∴93 962611271123S qS q--===--．故选：B．【点睛】本题考查等比数列前n项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时也可以利用连续等长片断的和序列仍然成等比数列，进行求解.5．A解析：A【解析】【分析】根据题意，作出可行域，分析yx的几何意义是可行域内的点(),x y与原点O连线的斜率，根据图象即可求解.【详解】作出约束条件表示的可行域，如图所示，yx的几何意义是可行域内的点(),x y与原点O连线的斜率，由102x yy-+=⎧⎨=⎩，得点A的坐标为()1,2，所以2OAk=，同理，2OBk=-，所以yx的取值范围是()[),22,-∞-+∞U.故选：A【点睛】本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型. 6．D解析：D【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数的几何意义，利用直线斜率的几何意义以及数形结合进行求解即可.【详解】目标函数()121 23112111x yx y yzx x x++++++===+⨯+++，设11ykx+=+，则k的几何意义是区域内的点与定点(1,1)D--连线的斜率，若目标函数231x yzx++=+的最小值为32，即12z k=+的最小值是32，由3122k+=，得14k=，即k的最小值是14，作出不等式组对应的平面区域如图：由斜率的意义知过D的直线经过()3,0B a时，直线的斜率k最小，此时011314ka+==+，得314a+=，得1a=.故选：D.【点睛】本题考查利用线性规划中非线性目标函数的最值求参数，解题时要结合非线性目标函数的几何意义寻找最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.7．C解析：C【解析】【分析】利用三角形面积公式可得2tan1acsinB223tan2bc c BB+=+，结合正弦定理及三角恒等变换知识3sinA cosA1-=，从而得到角A.【详解】∵2tan23tan2bc c BSB+=+∴2tan 1acsinB 2bc c B +=即c tan asinB a b B +==()B sinAcosB sinB sinC sinB sin A B +=+=++ cosA 1-= ∴1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， ∴5666A 或πππ-=（舍） ∴3A π=故选C 【点睛】此题考查了正弦定理、三角形面积公式，以及三角恒等变换，熟练掌握边角的转化是解本题的关键．8．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC ∆，(2,0)A ，(1,1)B ，(3,3)C ， 平移直线2z x y =+，由图可知，直线2z x y =+经过(3,3)C 时 目标函数2z x y =+有最大值，2z x y =+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.9．B解析：B 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后结合交点坐标平移直线即可确定实数m 的最大值. 【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示，由2230y x x y =⎧⎨--=⎩，得：12x y =-⎧⎨=-⎩，即C 点坐标为（－1，－2），平移直线x ＝m ，移到C 点或C 点的左边时，直线2y x =上存在点(,)x y 在平面区域内， 所以，m ≤－1， 即实数m 的最大值为－1.【点睛】本题主要考查线性规划及其应用，属于中等题.10．B解析：B 【解析】 【分析】2222++≥x y x y 222+x y ()2212+-x y ，()2212-+x y ()()22112-+-x y 边分别相加求解。

2020-2021学年山东省济宁市高三（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}，则A∩B＝（）A．（1，2]B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）2．若复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．若tanα＝2，则＝（）A．B．C．D．14．“a＝1”是“直线ax+（2a﹣1）y+3＝0与直线（a﹣2）x+ay﹣1＝0互相垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．2020年11月，中国国际进口博览会在上海举行，本次进博会设置了“云采访”区域，通过视频连线，帮助中外记者采访因疫情影响无法来沪参加进博会的跨国企业CEO或海外负责人．某新闻机构安排4名记者和3名摄影师对本次进博会进行采访，其中2名记者和1名摄影师负责“云采访”区域的采访，另外2名记者和2名摄影师分两组（每组记者和摄影师各1人），分别负责“汽车展区”和“技术装备展区”的现场采访．如果所有记者、摄影师都能承担三个采访区域的相应工作，则所有不同的安排方案有（）A．36种B．48种C．72种D．144种6．函数f（x）＝x﹣ln|e2x﹣1|的部分图象可能是（）A．B．C．D．7．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作斜率为的直线l交抛物线C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为，则抛物线C的方程是（）A．y2＝3x B．y2＝4x C．y2＝6x D．y2＝8x8．已知函数f（x）（x∈R）的导函数是f′（x），且满足∀x∈R，f（1+x）＝﹣f（1﹣x），当x＞1时，f（x）+ln（x﹣1）•f′（x）＞0，则使得（x﹣2）f（x）＞0成立的x 的取值范围是（）A．（0，1）⋃（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）⋃（2，+∞）C．（﹣2，﹣1）⋃（1，2）D．（﹣∞，1）⋃（2，+∞）二、选择题（共4小题）.9．已知a，b，c，d均为实数，下列说法正确的是（）A．若a＞b＞0，则＞B．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cC．若a＞b，c＞d，则ac＞bd D．若a+b＝1，则4a+4b≥410．直线l过点P（1，2）且与直线x+ay﹣3＝0平行，若直线l被圆x2+y2＝4截得的弦长为2，则实数a的值可以是（）A．0B．C．D．﹣11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且直线x＝﹣是其中一条对称轴，则下列结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增C．点（﹣，0）是函数f（x）图象的一个对称中心D．将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，可得到g（x）＝sin2x的图象12．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，M为BC的中点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M，连接B1C和B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法中正确的是（）A．AM⊥B1CB．CN的长为定值C．AB1与CN的夹角为D．当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时，三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积是8π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3C ．D ．46．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2C D8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点 11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是 A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32π D ．直线PB 1与平面BCC 1B 112．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白 第11题球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ． 15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积． 18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝2，D 为BC 的中点，平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，设直线l 为平面AC 1D 与平面A 1B 1C 1的交线．（1）证明：l ⊥平面BB 1C 1C ；（2）已知四边形BB 1C 1C 为边长为2的菱形，且∠B 1BC ＝60°，求二面角D—AC 1—C 的余弦值．某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围．山东省济南市2021届高三第一学期期末检测数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．设集合{}2A |60x x x =−−≤，{}B |10x x =−<，则AB =A ．{}|3x x ≤B ．{}|31x x −≤<C ．{}|21x x −≤<−D ．{}|21x x −≤< 答案：D解析：{}2A |60x x x =−−≤＝[﹣2，3]，{}B |10x x =−<＝(−∞，1)，故AB =[﹣2，1)．选D ．2．已知复数i1i z =+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数为 A ．11i 22−+ B ．11i 22−− C ．11i 22+ D ．11i 22−答案：D解析：i i(1i)1i1i (1i)(1i)22z −===+++−，则1i 22z =−．选D ． 3．已知直线l 过点(2，2)，则“直线l 的方程为y ＝2”是“直线l 与圆224x y +=相切”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A解析：“直线l 的方程为y ＝2”⇒“直线l 与圆224x y +=相切”, “直线l 与圆224x y += 相切”“直线l 的方程为y ＝2”，故选A ．4．十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对．每对生肖相辅相成，构成一种完美人格．现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份．甲、乙、丙三位同学依次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢．如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数共有A ．12种B ．16种C ．20种D ．24种答案：B解析：甲若选牛，则有1124C C 种；甲若选马，则有1124C C 种．故共有16种，选B ．5．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且满足BEEC =，CD 2CF =，则AE AF +=AB ．3 C．D ．4答案：B解析：由题意知△AEF 的等边三角形，故AE AF +=3，选B ．6．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是1C θ︒，空气的温度是0C θ︒，那么min t后物体的温度θ（单位：C ︒）满足公式010()e kt θθθθ−=+−（其中k 为常数）．现有52C ︒的物体放在12C ︒的空气中冷却，2min 后物体的温度是32C ︒．则再经过4min 该物体的温度可冷却到A ．12C ︒B ．14.5C ︒ C ．17C ︒D ．22C ︒ 答案：C解析：221321240e e 2k k −−=+⇒=，6311240e 1240()172k θ−=+=+⨯=，故选C ． 7．已知双曲线C ：22221(00)x y a b a b−=>>，的左、右顶点分别为A ，B ，其中一条渐近线与以线段AB 为直径的圆在第一象限内的交点为P ，另一条渐近线与直线PA 垂直，则C 的离心率为A ．3B ．2CD 答案：B解析：将直线AP 与斜率为正数的渐近线方程联立：()a y x a bb y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得P(322a b a −，222a b b a −)，因为OP ＝a ，则322222222()()a a b a b a b a+=−−，化简得2222222334a b a c a c a =⇒=−⇒=2e ⇒=，选B ．8．已知函数()(1)e x f x a x x =+−，若存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <，则实数a 的取值范围是 A ．[12e −，334e ) B ．[334e ，223e ) C ．[223e ，12e ) D ．[12e ，12) 答案：C解析：0()0f x <，参变分离得：000(1)e x x a x <+，令000()(1)(1)e x x g x x x =≥+，2000201()0(1)e x x x g x x +−'=−<+，所以0()g x 在[1，+∞)且0x Z ∈单调递增， 求得1(1)2e g =，22(2)3eg =，故要使存在唯一的正整数0x ，使得0()0f x <， 则223e ≤a ＜12e，选C ． 二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．为落实《山东省学生体质健康促进条例》的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间（单位：分钟）进行了调研．根据统计数据制成折线图如下：下列说法正确的是A ．班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30B ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72C ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小D ．班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 答案：AC解析：班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65，故B 错误；班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的小，故D 错误．综上选AC ．10．已知函数12()sin(2)cos(2)f x a x b x ϕϕ=+++(()f x 不恒为0)，若()06f π=，则下列说法一定正确的是 A ．()12f x π−为奇函数 B ．()f x 的最小正周期为π C ．()f x 在区间[12π−，125π]上单调递增 D ．()f x 在区间[0，2021π]上有4042个零点答案：BD解析：()12f x π−为偶函数，故A 错误；()f x 在区间[12π−，125π]上单调，但不一定是单调递增，故C 错误．综上选BD ．11．如图，在正四棱柱ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，点P 为线段AD 1上一动点，则下列说法正确的是A ．直线PB 1∥平面BC 1DB ．三棱锥P—BC 1D 的体积为13C ．三棱锥D 1—BC 1D 外接球的表面积为32πD ．直线PB 1与平面BCC 1B 1答案：ABD解析：因为平面AB 1D 1∥平面BC 1D ，PB 1⊂平面AB 1D 1，所以直线PB 1∥平面BC 1D ，A 正确；V P—BC1D ＝V A—BC1D ＝V C1—ABD ＝111112=323⨯⨯⨯⨯，故B 正确；三棱锥D 1—BC 1D=S 球＝246ππ=，故C 错误；PB 1min 点P 到平面BCC 1B 1的距离为1，所以直线PB 1与平面BCC 1B 1所成角的正弦值的最，故D 正确．综上选ABD ．12．已知红箱内有5个红球、3个白球，白箱内有3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第k ＋1次从与第k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．记第n 次取出的球是红球的概率为n P ，则下列说法正确的是A ．21732P =B ．117232n n P P +=+C ．211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+D ．对任意的i ，j N *∈且1i j n ≤<≤，11111()()(14)(14)22180n n i ji j nP P −−≤<≤−−=−−∑ 答案：ACD解析：第n 此取出球是红球的概率为n P ，则白球概率为(1)n P −，对于第1n +次，取出红球有两种情况． ①从红箱取出1(1)58n n P P +=⋅（条件概率）， ②从白箱取出2(1)3(1)8n nP P +=−⋅， 对应121(1)(1)3184n n n n P P P P +++=+=+（转化为数列问题）， 所以1111()242n n P P +−=−， 令12n n a P =−，则数列{n a 为等比数列，公比为14，因为158P =，所以118a =， 故2(21)2n n a −+=即对应(21)122n n P −+=+， 所以21732P =，故选项A 正确； [2(1)1](21)231111112[2]222224n n n n n P P −++−+−−+−=+−⨯+=−，故117232n n P P +=+不成立，故选项B 错误； 经验证可得，211221()2n n n n n n P P P P P P ++++−=−+，故选项C 正确；1(21)(21)11111()()2222n ni j i j i j n i j i P P −−+−+<==+−−=⋅∑∑∑ 1(21)(23)(23)142[22]3n i i n i −−+−+−+==⋅−∑11(44)(23)(21)114[222]3n n i n i i i −−−+−+−+===−∑∑ 844(23)3214164[(22)2(22)]3153n n n −−−−+−−−=−−⋅− 424141122218045369n n n −−−=−⋅−⋅+⋅ 421(14252)180n n −−=+⋅−⋅ 221(142)(12)180n n −−=−⋅−11(14)(14)180n n −−=−−，故D 正确． 三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知1sin()63απ+=，则5sin()6απ−的值为 ． 答案：13解析：51sin()sin[()]sin()6663ππαπααπ−=−+=+=． 14．若实数x ，y 满足lg lg lg()x y x y +=+，则xy 的最小值为 ．答案：4解析：11lg lg lg()1x y x y xy x y x y+=+⇒=+⇒+=， 11()()24y xxy x y x y x y x y=+=++=++≥，当且仅当x ＝y ＝2时取“＝”．15．已知奇函数()f x 在(0，+∞ )上单调递减，且(4)0f =，则不等式(1)0xf x +>的解集为 ．答案：(0，3)(﹣5，﹣1)解析：0(1)0(1)0x xf x f x >⎧+>⇒⎨+>⎩或003(1)0x x f x <⎧⇒<<⎨+<⎩或51x −<<−，故原不等式的解集为(0，3)(﹣5，﹣1)．16．已知直线l 与抛物线C ：28y x =相切于点P ，且与C 的准线相交于点T ，F 为C 的焦点，连接PF 交C 于另一点Q ，则△PTQ 面积的最小值为 ；若|TF |5=，则|PQ |的值为 ．（本小题第一空2分，第二空3分）答案：16，252解析：当PQ 为抛物线通径时△PTQ 的面积最小，为16；当TF ＝5时，可得线段PQ 中点的纵坐标为3或﹣3，故PQ 的斜率为43或43−，故PQ ＝2228254sin 2()5p α==． 四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）在平面四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝5，∠ABC ＝120°，AD，∠ADC ＝2∠ACD ，求△ACD 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理可得：所以在△ACD 中，由正弦定理可得：，即所以所以 因为，所以所以所以18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在①218()n n n nb a a +=⋅，②2n n n b a =⋅，③(1)n n n b S =−⋅这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解该问题．若 ，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：（1）因为所以所以当时，适合上式，所以（2）若选①： 因为所以若选②：因为所以则两式相减可得：所以若选③：当n为偶数时，当n为奇数时，综上：19．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝AC＝2，D为BC的中点，平面BB1C1C⊥平面ABC，设直线l为平面AC1D与平面A1B1C1的交线．（1）证明：l⊥平面BB1C1C；（2）已知四边形BB1C1C为边长为2的菱形，且∠B1BC＝60°，求二面角D—AC1—C的余弦值．解：（1）证明：因为AB＝AC＝2，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因为平面BB1C1C⊥平面ABC，且平面BB1C1C平面ABC＝BC，AD 平面ABC，所以AD⊥平面BB1C1C，而AD∥平面A1B1C1，且AD⊂平面AC1D，平面AC1D平面A1B1C1＝l，所以AD∥l，所以l⊥平面BB1C1C；（2）因为AD⊥平面BB1C1C，AD⊂平面AC1D，所以平面AC1D⊥平面BB1C1C，在平面BB1C1C内，过C作CH⊥DC1于点H，则CH⊥平面AC1D，过C作CG⊥AC1于点G，则G为线段AC1的中点，连接HG，则∠CGH就是二面角D—AC1—C的平面角，在直角中，在中，，在中，，在直角中，，所以所以二面角D—AC1—C的余弦值为20．（本小题满分12分）某县在实施脱贫工作中因地制宜，着力发展枣树种植项目．该县种植的枣树在2020年获得大丰收，依据扶贫政策，所有红枣由经销商统一收购．为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选取100千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图．右表是红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品．经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取4个进行检测，若4个均为优质品，则该箱红枣定为A 类；若4个中仅有3个优质品，则再从该箱中任意取出1个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为A 类；若4个中至多有一个优质品，则该箱红枣定为C 类；其它情况均定为B 类．已知每箱红枣重量为10千克，A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克20元、16元、12元．现有两种装箱方案：方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱；方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为1元． 以频率代替概率解决下面的问题．（1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为A 类的概率；（2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由． 解：（1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是，记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为A 类”为事件A ，则（2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为B 类”为事件B ，“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为C 类”为事件C ，则所以如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为：元；由题意可知，如果该农户采用方案二装箱，则一箱红枣被定为A 类的概率为，被定为C 类的概率也为，所以如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 元；所以该农户采用方案二装箱更合适．21．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若折线0)y k x =≠与C 相交于A ，B 两点（点A 在直线x =的右侧），设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，且212k k −=，求k 的值．解：（1）由题可知22c a b a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为，所以所以椭圆C 的标准方程为（2）因为折线与椭圆C 相交于A ，B 两点，设点B 关于x 轴的对称点为B′， 则直线与椭圆C 相交于A ，B′两点，设则由得所以所以整理得解得22．（本小题满分12分）已知函数()ln(1)f x a x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1()e 1x f x x −≥−+对任意的x ∈(0，+∞)恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）若，，此时在上单调递减；若，由得，此时在上单调递减，在上单调递增；综上所述，，在上单调递减；，在上单调递减，在上单调递增；（2）因为记所以在上单调递增，所以，所以恒成立；若不合题意；若，由（1）知，在上单调递减，所以不合题意；若，记记所以在上单调递增，所以所以符合题意；综上实数a的取值范围是．。

2020-2021高三数学上期末试题带答案(1) 一、选择题1．已知数列{}n a的前n项和为n S，且1142n na-⎛⎫=+-⎪⎝⎭，若对任意*Nn∈，都有()143np S n≤-≤成立，则实数p的取值范围是（）A．()2,3B．[]2,3C．92,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．已知正数x、y满足1x y+=，且2211x ymy x+≥++，则m的最大值为（）A．163B．13C．2D．43．设,x y满足约束条件330280440x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩，则3z x y=+的最大值是（）A．9B．8C．3D．44．等比数列{}n a的前n项和为n S，若36=2S=18S，，则105SS等于( )A．－3B．5C．33D．－315．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n填入n n⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为n N(如：在3阶幻方中，315N=)，则10N=（）A．1020B．1010C．510D．5056．数列{}n a为等比数列，若11a=，748a a=，数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S，则5(S=)A．3116B．158C．7D．317．已知集合2A{t|t40}=-≤，对于满足集合A的所有实数t，使不等式2x tx t 2x 1+->-恒成立的x 的取值范围为( )A ．()(),13,∞∞-⋃+B ．()(),13,∞∞--⋃+C ．(),1∞--D ．()3,∞+8．设实数,x y 满足242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，则1y x +的最大值是（ ）A ．-1B ．12C ．1D ．329．“0x >”是“12x x+≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若135a =，则数列的第2018项为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4511．已知数列{}n a 中，()111,21,n n na a a n N S *+==+∈为其前n 项和，5S的值为（ ） A ．63B ．61C ．62D ．5712．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）A ．3B ．8C ．12D ．24二、填空题13．已知x y ，满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，，，则222x y y ++的取值范围是__________.14．已知数列{}n a 满足：11a =，{}112,,,n n n a a a a a +-∈⋅⋅⋅()*n ∈N ，记数列{}n a 的前n项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M 、最小值为m ，则M m +=______.15．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________16．在平面直角坐标系中，设点()0,0O ，()3,3A ，点(),P x y 的坐标满足303200x y x y y ⎧-≤⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩，则OA u u u v 在OP uuu v 上的投影的取值范围是__________ 17．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.18．在等比数列中，，则__________．19．数列{}n a 满足：1a a =（a R ∈且为常数），()()()*13343n n n n n a a a n N a a +⎧->⎪=∈⎨-≤⎪⎩，当100a =时，则数列{}n a 的前100项的和100S 为________.20．已知是数列的前项和，若，则_____．三、解答题21．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集； (2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 22．已知在公比为q 的等比数列{}n a 中，416a =，()34222a a a +=+. （1）若1q >，求数列{}n a 的通项公式；（2）当1q <时，若等差数列{}n b 满足31b a =，512b a a =+，123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和.23．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且(3cos )()cos a B C c b A -=-．（1）求A ； （2）若3b =D 在BC 边上，2CD =，3ADC π∠=，求ABC △的面积．24．已知函数()2sin(2)(||)2f x x πϕϕ=+<部分图象如图所示.（1）求ϕ值及图中0x 的值；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知7,()2,c f C ==-sin B =2sin A ，求a 的值．25．已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足2337,b a b a ==.若6k b a =，求k 的值. 26．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】11111444222n n S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11221244133212nnn n ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=+-⋅- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭()143n p S n ≤-≤Q即22113332n p ⎛⎫⎛⎫≤-⋅-≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意*n N ∈都成立， 当1n =时，13p ≤≤ 当2n =时，26p ≤≤当3n =时，443p ≤≤ 归纳得：23p ≤≤故选B点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列{}n a 的前n 项和为n S ，为求p 的取值范围则根据n 为奇数和n 为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果2．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件得()()113x y +++=，对代数式2211x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出2211x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，()()()()()()222222221212111111111111y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=+=+=+++++++++444444141465111111y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭412533⎛≥⨯+-= ⎝， 当且仅当12x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则13m ≤. 因此，实数m 的最大值为13. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.3．A解析：A 【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标还是在点()3,2C 处取得最大值，其最大值为max 33329z x y =+=+⨯=.本题选择A 选项.4．C解析：C 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出105S S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则()()61636333111119111a q S q q q S qa q q---===+=---，得2q =， 因此，()()101105510555111111233111a q S q q q S q a qq---===+=+=---，故选C. 【点睛】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用．5．D解析：D 【解析】n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=Q 阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522n n n N N+⨯+=∴==，故选D.6．A解析：A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==， Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ． 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】由条件求出t 的范围，不等式221x tx t x +->-变形为2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，再由不等式的左边两个因式同为正或同为负处理． 【详解】由240t -≤得，22t -≤≤，113t ∴-≤-≤不等式221x tx t x +->-恒成立，即不等式2210x tx t x +--+>恒成立，即不等式()()110x t x +-->恒成立，∴只需{1010x t x +->->或{1010x t x +-<-<恒成立， ∴只需{11x tx >->或{11x tx <-<恒成立，113t -≤-≤Q只需3x >或1x <-即可． 故选：B ． 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法问题，难度较大，充分利用恒成立的思想解题是关键．8．D解析：D 【解析】 【分析】由约束条件确定可行域，由1y x+的几何意义，即可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率求得答案． 【详解】由约束条件242210x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩，作出可行域如图，联立10220x x y -=⎧⎨+-=⎩，解得A （112，），1y x+的几何意义为可行域内的动点与定点P （0，-1）连线的斜率，由图可知，113212PAk +==最大． 故答案为32． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．9．C解析：C 【解析】先考虑充分性,当x>0时，12x x +≥=，当且仅当x=1时取等.所以充分条件成立. 再考虑必要性，当12x x+≥时，如果x>0时，22210(1)0x x x -+≥∴-≥成立，当x=1时取等.当x<0时，不等式不成立. 所以x>0. 故选C.10．A解析：A 【解析】 【分析】利用数列递推式求出前几项，可得数列{}n a 是以4为周期的周期数列，即可得出答案. 【详解】1112,0321521,12n n n n n a a a a a a +⎧≤<⎪⎪==⎨⎪-≤<⎪⎩Q ， 211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-== ∴数列{}n a 是以4为周期的周期数列，则201845042215a a a ⨯+===. 故选A . 【点睛】本题考查数列的递推公式和周期数列的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.11．D解析：D 【解析】解：由数列的递推关系可得：()11121,12n n a a a ++=++= ， 据此可得：数列{}1n a + 是首项为2 ，公比为2 的等比数列，则：1122,21n n n n a a -+=⨯⇒=- ，分组求和有：()5521255712S ⨯-=-=- .本题选择D 选项.12．C解析：C 【解析】 【分析】由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

2020-2021高三数学上期末试题(附答案)(3)一、选择题1．已知数列121,,,4a a 成等差数列，1231,,,,4b b b 成等比数列，则212a ab -的值是 ( ) A ．12B ．12-C ．12或12- D ．142．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ） A ．65B ．184C ．183D ．1763．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且239522,1a a a a ⋅==，则1a = ( )A ．12B ．2 CD．24．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 5．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 22n n S T n +=，则77a b =（ ） A ．4126B ．2314C ．117 D ．1166．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．97．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4B ．10C ．16D ．329．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当0a >且1a ≠时，11b a +-的取值范围是93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，正确的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．5C ．10D ．10-11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( )A ．12n -B ．13()2n -C ．12()3n - D ．112n - 12．已知函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则不等式()24(3)f a f a ->的解集为( )A ．(4,1)-B ．(1,4)-C ．(1,4)D ．(0,4)二、填空题13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .2C A π-=，1sin 3A =，3a =，则b =______.14．若变量,x y 满足约束条件12,{20,20,x y x y x y +≤-≥-≤ 则z y x =-的最小值为_________.15．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为 升； 16．已知数列{}n a 的前n 项和n s =23n -2n+1,则通项公式.n a =_________17．已知n S 为数列{a n }的前n 项和，且22111n n n a a a ++-=-，21313S a =，则{a n }的首项的所有可能值为______18．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若三角形的面积222)S a b c =+-，则角C =__________． 19．观察下列的数表： 2 4 68 10 12 1416 18 20 22 24 26 28 30 …… ……设2018是该数表第m 行第n 列的数，则m n ⋅=__________． 20．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 三、解答题21．已知在等比数列{}n a 中, 11a =,且2a 是1a 和31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若数列{}n b 满足()*21n n b n a n N=-+∈,求{}nb 的前n 项和nS.22．设{}n a 是等比数列，公比不为1．已知113a =，且1a ，22a ，33a 成等差数列． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．23．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1>0，a 8﹣a 4﹣a 3=1，a 4是a 1和a 13的等比中项. （1）求数列{a n }的通项公式； （2）证明：对一切正整数n .有1211134n S S S +++<L L . 24．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC V 的外接圆半径为R，且sin sin cos 0A B b A --=.（1）求A ∠；（2）若tan 2tan A B =，求sin 2sin 2sin b Ca b B c C+-的值.25．已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a∈R.(1)若a ＝2，试求函数y ＝()f x x(x>0)的最小值； (2)对于任意的x∈[0，2]，不等式f(x)≤a 成立，试求a 的取值范围． 26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24220a a -=，3128S a -=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当n 为何值时，数列{}n a 的前n 项和最大？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】由题意可知：数列1,a 1,a 2，4成等差数列，设公差为d ， 则4=1+3d ，解得d =1，∴a 1=1+2=2，a 2=1+2d =3.∵数列1,b 1,b 2,b 3，4成等比数列，设公比为q ， 则4=q 4,解得q 2=2， ∴b 2=q 2=2.则21221122a ab --==. 本题选择A 选项.2．B解析：B 【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996， 设首项为1a ，结合等差数列前n 项和公式有：811878828179962S a d a ⨯=+=+⨯=， 解得：165a =，则81765717184a a d =+=+⨯=. 即第八个孩子分得斤数为184. 本题选择B 选项.点睛：本题主要考查等差数列前n 项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．D解析：D 【解析】设公比为q ，由已知得()22841112a q a q a q ⋅=，即22q=，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q212a a q ===，故选D. 4．B解析：B 【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可． 详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩， 当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.5．A解析：A【解析】依题意，113713113713132412226132a aa Sb bb T+⋅===+⋅.6．D解析：D【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出满足约束条件236y xx yy x≤⎧⎪+≥⎨⎪≥-⎩的可行域，如图，画出可行域ABC∆，(2,0)A，(1,1)B，(3,3)C，平移直线2z x y=+，由图可知，直线2z x y=+经过(3,3)C时目标函数2z x y=+有最大值，2z x y=+的最大值为9.故选D. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．A解析：A 【解析】分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，化简整理即可得出. 详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b+++=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭， 化为()()2540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.8．C解析：C 【解析】由64S S -=6546a a a +=得，()22460,60q q a q q +-=+-=，解得2q =，从而3522=28=16a a =⋅⨯，故选C.9．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,54a b +>，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则22513(4)==+-d ,则22a b +>1，故③正确；当0a >且a ≠1时,11b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,51194114b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34， 故11b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故④正确.∴正确命题的个数是2个. 故选B.点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.10．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{x x y =+=，解得3{3x y ==-，结合图象知，当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 考点：线性规划11．B解析：B 【解析】 【分析】利用公式1n n n a S S -=-计算得到11323,2n n n n S S S S ++==，得到答案. 【详解】由已知1112n n a S a +==，，1n n n a S S -=- 得()12n n n S S S -=-，即11323,2n n n n S S S S ++==， 而111S a ==，所以13()2n n S -=.故选B. 【点睛】本题考查了数列前N 项和公式的求法，利用公式1n n n a S S -=-是解题的关键.12．B解析：B 【解析】 【分析】先判断函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，把()24(3)f a f a ->转化为自变量的不等式求解.【详解】可知函数()f x 为减函数，由2(4)(3)f a f a ->，可得243a a -<， 整理得2340a a --<，解得14a -<<，所以不等式的解集为(1,4)-． 故选B. 【点睛】本题考查函数不等式，通常根据函数的单调性转化求解，一般不代入解析式.二、填空题13．7【解析】【分析】先求出再利用正弦定理求最后利用余弦定理可求【详解】因为所以故且为锐角则故由正弦定理可得故由余弦定理可得故即或因为为钝角故故故答案为：7【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外解析：7 【解析】 【分析】先求出sin C =c ，最后利用余弦定理可求b . 【详解】 因为2C A π-=，所以2C A π=+，故sin sin cos 2C A A π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 且A为锐角，则cos 3A =，故sin 3C =. 由正弦定理可得sin sin a c A C =，故3sin 31sin 3a Cc A=== 由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，故297223b b =+-⨯即7b =或9b =， 因为C 为钝角，故c b >，故7b =. 故答案为：7.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.14．【解析】由约束条件作出可行域如图联立解得化目标函数得由图可知当直线过点时直线在y 轴上的截距最小有最小值为故答案为点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值属简单题求目标函数最值的一般步骤 解析：4-【解析】由约束条件12,20,20,x y x y x y +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，联立12{20x y x y +=-=，解得()84A ，，化目标函数z y x =-，得y x z =+，由图可知，当直线y x z =+过点()84A ，时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为4-，故答案为4-. 点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15．【解析】试题分析：由题意可知解得所以考点：等差数列通项公式 解析：6766【解析】试题分析：由题意可知123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得137,2266a d ==，所以5167466a a d =+=. 考点：等差数列通项公式． 16．【解析】试题分析：n=1时a1=S1=2；当时-2n+1－-2（n-1）+1=6n-5a1=2不满足所以数列的通项公式为考点：1数列的前n 项和；2数列的通项公式解析：n a =2,1{65,2n n n =-≥【解析】试题分析：n=1时，a 1=S 1=2；当2n ≥时，1n n n a S S -=-=23n -2n+1－[23(1)n --2（n-1）+1]=6n-5, a 1=2不满足61n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式为n a =2,1{65,2n n n =-≥.考点：1.数列的前n 项和；2.数列的通项公式. 17．【解析】【分析】根据题意化简得利用式相加得到进而得到即可求解结果【详解】因为所以所以将以上各式相加得又所以解得或【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用其中解答中利用数列的递推关系式得到关于数列首解析：34，- 【解析】【分析】根据题意，化简得22111n n n a a a ++-=-，利用式相加，得到2213113112S a a a --=-，进而得到211120a a --=，即可求解结果. 【详解】因为22111n n n a a a ++-=-，所以22111n n n a a a ++-=-，所以2222222213321313121,1,,1a a a a a a a a a -=--=--=-L ，将以上各式相加，得2213113112S a a a --=-，又21313S a =，所以211120a a --=，解得13a =-或14a =. 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式应用，其中解答中利用数列的递推关系式，得到关于数列首项的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题. 18．【解析】分析：利用面积公式和余弦定理结合可得详解：由余弦定理：可得：∴∵∴故答案为：点睛：在解三角形时有许多公式到底选用哪个公式要根据已知条件根据待求式子灵活选用象本题出现因此联想余弦定理由于要求角 解析：π3. 【解析】 分析：利用面积公式in 12s S ab C =和余弦定理结合可得．详解：由)2221sin 2S a b c ab C =+-=． 余弦定理：2222cos a b c ab C +-=，12cos sin 2ab C ab C =，∴tan C =∵0πC <<， ∴π3C =． 故答案为：π3． 点睛：在解三角形时，有许多公式，到底选用哪个公式，要根据已知条件，根据待求式子灵活选用，象本题出现222a b c +-，因此联想余弦定理2222cos a b c ab C +-=，由于要求C 角，因此面积公式自然而然 选用in 12s S ab C =．许多问题可能比本题要更复杂，目标更隐蔽，需要我们不断探索，不断弃取才能得出正确结论，而这也要求我们首先要熟记公式．19．4980【解析】【分析】表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列根据等差数列求和公式及通项公式确定求解【详解】解：表中第行共有个数字此行数字构成以为首项以2为公差的等差数列排完第行 解析：4980【解析】【分析】表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．根据等差数列求和公式及通项公式确定求解.【详解】解：表中第n 行共有12n -个数字，此行数字构成以2n 为首项，以2为公差的等差数列．排完第k 行，共用去1124221k k -+++⋯+=-个数字，2018是该表的第1009个数字，由19021100921-<<-，所以2018应排在第10行，此时前9行用去了921511-=个数字，由1009511498-=可知排在第10行的第498个位置，即104984980m n =⨯=g， 故答案为：4980【点睛】此题考查了等比数列求和公式，考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．20．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q ＋a2q2得＋1＋q ＋q2= 解析：152【解析】 由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2a q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152. 三、解答题21．(1) 12n n a -=(2) n S 221n n =+-【解析】【分析】(1)由题意结合等差数列的性质得到关于公比的方程，解方程求得公比的值，然后结合首项求解数列的通项公式即可.(2)结合(1)的结果首先确定数列{}n b 的通项公式，然后分组求和即可求得数列{}n b 的前n 项和n S .【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则2a q =,23a q =,∵2a 是1a 和31a -的等差中项,∴()21321a a a =+-,即()2211q q =+-,解得2q =,∴12n n a -=.(2) 121212n n n b n a n -=-+=-+,则()()11321122n n S n -⎡⎤=+++-++++⎣⎦L L ()12112212nn n ⎡⎤+--⎣⎦=+-. 221n n =+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和．(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和．(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．22．（1）13n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭； （2）13(21)34n n n T ++-⋅=【解析】【分析】 （1）由等差中项可得21343a a a =+,设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,则211143a q a a q ⋅=+⋅,可解得q ,即可求得通项公式；（2）由（1）可得3n nn n a =⋅,再利用错位相减法求解即可. 【详解】 解:（1）设数列{}n a 的公比为()1q q ≠,且1a ,22a ,33a 成等差数列,所以21343a a a =+,即211143a q a a q ⋅=+⋅,解得13q =, 因为113a =,所以13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）由（1）知，13n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3n n n n a =⋅, 所以1231323333n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅L , 则234131323333n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅L ,作差可得,1231233333n n n T n +-=++++-⋅L则()+13312331n n n T n --=-⋅-，即1132322n n T n +⎛⎫-=-⋅- ⎪⎝⎭, 所以()132134n n n T ++-⋅= 【点睛】本题考查等差中项的应用,考查等比数列的通项公式,考查错位相减法求数列的和.23．（1）a n =2n +1；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等比中项的性质，结合等差数列通项公式的基本量计算，求得1,a d ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）先求得n S ，然后利用裂项求和法证得不等式成立.【详解】（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，()12111121(3)120d a a d a a d a -=⎧⎪+=+⎨⎪>⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩， ∴数列{a n }的通项公式为a n =3+2（n ﹣1）=2n +1；（2）证明：由（1）知，()()12322n n n S n n n -⨯=+=+. ∴()()()1211111111132435112n S S S n n n n +++=+++++⨯⨯⨯-++L L L12=[111111111132435112n n n n -+-+-++-+--++L ]3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪+⎝⎭. 【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等比中项的性质，考查裂项求和法，考查数列不等式的证明，属于中档题.24．（1）6π；（2）. 【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知三角等式，根据sin 0B ≠可得tan A =，即可求出角A ；（2）由（1）可得tan B =，利用2sin 1A =及正弦定理将分式化简，再利用余弦定理化简分式得()1tan 2A B -+，最后利用正切和角公式代入tan A ，tan B ，可求出结果. 【详解】（1）∵sin sin cos 0A B b A -=，由正弦定理得：sin sin 2sin cos 0A B R B A -=，即)sin cos 0B A A -=， ∵()0,B π∈，∴sin 0B ≠，cos A A =，tan A =， ∵()0,A π∈，∴6A π∠=.（2）由（1）知：tan 3A =，tan 6B =，1sin 2A =， ∴2sin 1A =， ∴sin 2sin sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin b C Ab C a b B c C Aa b B c C=+-+- 222sin ab C a b c =+- 由余弦定理得：()sin sin 11tan tan 2sin 2sin 2cos 22b C C C A B a b Bc C C ===-++-1tan tan 21tan tan A B A B +=-⨯=- 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查学生数形结合、转化与化归以及运算求解能力，解决此类问题的关键是灵活运用正、余弦定理进行边角的互化，属于中等题.25．（1）2-；（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）根据基本不等式求最值，注意等号取法，（2）先化简不等式，再根据二次函数图像确定满足条件的不等式，解不等式得结果.【详解】 (1)依题意得y=()f x x =2-41x x x+=x+1x -4. 因为x>0,所以x+1x ≥2.当且仅当x=1x时, 即x=1时,等号成立.所以y≥-2.所以当x=1时,y=()f x x的最小值为-2. (2)因为f(x)-a=x 2-2ax-1, 所以要使得“对任意的x∈[0,2],不等式f(x)≤a 成立”只要“x 2-2ax-1≤0在[0,2]恒成立”.不妨设g(x)=x 2-2ax-1,则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可.所以(0)0,(2)0,g g ≤⎧⎨≤⎩ 即0-0-10,4-4-10,a ≤⎧⎨≤⎩解得a≥34,则a 的取值范围为3,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭. 【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.26．（1）203n a n =-；（2）当6n =时，数列{}n a 的前n 项和最大．【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由24220,a a -=3128S a -=．利用通项公式可得()()112320a d a d +-+=，113328a d a +-=，解方程组即得． （2）令0n a ≥，解得n ．【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，24220,a a -=Q 3128S a -=．()()112320,a d a d ∴+-+=113328a d a +-=，联立解得：117,a =3d =-．173(1)203n a n n ∴=--=-．（2）令2030n a n =-≥，解得203n ≤． ∴当6n =时，数列{}n a 的前n 项和最大．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和的最值．解题方法是基本量法，对前n 项和的最大值问题，可通过解不等式0n a ≥确定n 值．。

2020~2021学年度第一学期期末学业水平检测高三数学试题 2021.01本试卷6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；2．作答选择题时：选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效；3．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若全集R U =，集合2{R |60}A x x x =∈+−≥，集合{R |lg(1)0}B x x =∈−<，则R ()A B = ð（ ）A ．(1,2)−B ．(1,2)C ．(3,2)−D ．(3,1)−2．21sin 7022sin 10+°=−°（ ）A ．2B ．1−C ．1D ．123．“40,2x a x x ∀>≤++”的充要条件是（ ）A ．2a >B ．2a ≥C ．2a <D ．2a ≤4．《莱茵德纸草书》（Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把93 个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为（ ）A ．3B ．4C ．8D ．95．已知双曲线2222:1(0)cos sin 2x y πθθθΓ−<<的焦点到渐近线的距离等于12，则θ=（ ） A ．3πB ．4πC ．6πD ．12πA ．cos 1()22x xx f x −+=+ B ．cos sin ()22x xx x xf x −+=+C ．cos sin ()22x xx x xf x −+=− D ．cos sin ()22x xx x xf x −+=+ 7．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，以下结论正确的是（ ）A ．若l α⊥，//αβ，则l β⊥B ．若//l α，//l β，则//αβC ．若l α⊥，αβ⊥，则l β⊂D ．若//l α，αβ⊥，则l β⊥8．某种芯片的良品率X 服从正态分布2N(0.95,0.01)，公司对科技改造团队的奖励方案如下： 若芯片的良品率不超过95%，不予奖励；若芯片的良品率超过95%但不超过96%，每张芯片 奖励100元；若芯片的良品率超过96%，每张芯片奖励200元．则每张芯片获得奖励的数学期望为（ ）元 A ．52.28B ．65.87C ．50.13D ．131.74附：随机变量ξ服从正态分布2(,)N µσ，则()0.6826P µσξµσ−<<+=，(22)0.9544P µσξµσ−<<+=，(33)0.9974P µσξµσ−<<+=．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。