导学案--幂函数

幂函数导学案教学目标：1、掌握幂函数的定义和特点；2、掌握幂函数的图象绘制方法和性质分析；3、体会由特殊到一般的数学研究方法和数学结合的数学思想。

教学重点：从5个具体函数中归纳幂函数性质 教学难点：从幂函数图象中概括性质特征。

教学过程：一、幂函数定义研究1-2132x =y x =y x =y x =y x =y ，，，，问题1：在这5个函数中，有哪些是我们已经学过的函数，有哪些是我们不熟悉的函数？问题2：从自变量、函数值及解析式观察这5个函数，都有什么共同特征？定义：________________________________________________________________ 二、幂函数图象和性质研究问题3：现在我们已经学习了幂函数的定义，我们应该怎么研究幂函数的图象和性质？ 问题4：在高中阶段，我们只研究这5个幂函数的图象和性质，结合我们在前几节所学的知识，我们应该研究它们的图象和哪些性质呢？ 三、课堂探究： 探究任务1：画出1-2132x =y x =y x =y x =y x =y ，，，，的图象和性质，进行小组探究，并展示探究成果。

任务2：使用ggb 画出5个函数的图象。

任务3：观察5个函数图象的精确图象，并完成下表。

y=x 2y x =3x y =21x y =1-=x y定义域 值域 奇偶性 单调性任务4：根据以上归纳，猜想幂函数 ax y = 的一些性质：（1）a>0时 （2）a<0时任务5：观察幂函数)0()0(<=>=a x y a x y aa 和 的动态图象变化，汇总幂函数的性质。

四、探究成果：经过本节课，你有什么收获？。

2.3 幂函数教学目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12 的图象，掌握它们的性质3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 教学重点：1.掌握幂函数图象并掌握它们的性质2.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小 教学难点：幂函数图象及其性质教学过程；预习教材P77－P78，完成下面问题： 知识点1 幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝x －45是幂函数．( )(2)函数y ＝2－x 是幂函数．( )(3)函数y ＝－x 12 是幂函数．( )(1)√ 函数y ＝x －45 符合幂函数的定义，所以是幂函数；(2)× 幂函数中自变量x 是底数，而不是指数，所以y ＝2－x 不是幂函数；(3)× 幂函数中x α的系数必须为1，所以y ＝－x 12 不是幂函数．知识点2 幂函数的图象和性质 (1)五个幂函数的图象：(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y ＝(3x )α，y ＝2x α，y ＝x α＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式．【训练1】 若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于________．答案 13题型二 幂函数的图象及应用【例2】 (1)如图所示，图中的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)点(2，2)与点⎝⎛⎭⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，分别有：①f (x )>g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )<g (x )． 答案 （1）B(2)解 设f (x )＝x α，g (x )＝x β.∵(2)α＝2，(－2)β＝－12，∴α＝2，β＝－1，∴f (x )＝x 2，g (x )＝x －1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知：①当x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f (x )>g (x )； ②当x ＝1时，f (x )＝g (x )； ③当x ∈(0,1)时，f (x )<g (x )．规律方法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：①在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；②在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x －1或y ＝x 12 或y ＝x 3)来判断．【训练2】 如图是函数y ＝x m n(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn >1答案 C典例迁移题型三 利用幂函数的性质比较大小【例3】 比较下列各组数中两个数的大小：(1)⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫130.3；(2)⎝⎛⎭⎫－23－1与⎝⎛⎭⎫－35－1. 解 (1)因为幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫130.3. (2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，所以⎝⎛⎭⎫－23－1>⎝⎛⎭⎫－35－1. 【迁移1】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与⎝⎛⎭⎫13－0.3”，则二者的大小关系如何？解 因为⎝⎛⎭⎫13－0.3＝30.3，而y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是单调递增的， 又25<3，所以⎝⎛⎭⎫250.3<30.3.即⎝⎛⎭⎫250.3<⎝⎛⎭⎫13－0.3. 【迁移2】 (变换条件)若将例1(1)中的两数换为“⎝⎛⎭⎫250.3与0.325 ”，则二者的大小关系如何？解 因为y 1＝⎝⎛⎭⎫25x 在(0，＋∞)为上减函数，又0.3<25，所以⎝⎛⎭⎫250.3>⎝⎛⎭⎫2525 ，又因为函数y 2＝x 25 在(0，＋∞)上为增函数，且25>0.3，所以⎝⎛⎭⎫2525 >0.325 ，所以⎝⎛⎭⎫250.3>0.325 . 规律方法 比较幂值大小的三种基本方法【训练3】 比较下列各组数的大小： (1)⎝⎛⎭⎫230.5与⎝⎛⎭⎫350.5；(2)－3.143与－π3； (3)⎝⎛⎭⎫1234 与⎝⎛⎭⎫3412.解 (1)∵y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是增函数且23＞35，∴⎝⎛⎭⎫230.5＞⎝⎛⎭⎫350.5.(2)∵y ＝x 3是R 上的增函数，且3.14＜π， ∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.(3)∵y ＝⎝⎛⎭⎫12x是R 上的减函数，∴⎝⎛⎭⎫1234 ＜⎝⎛⎭⎫1212 . y ＝x 12是[0，＋∞)上的增函数，∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1212 .∴⎝⎛⎭⎫3412 ＞⎝⎛⎭⎫1234 .课堂达标1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14B ．4C ．22D ． 2答案 C2．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( )A ．y ＝x 13B ．y ＝x －12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23答案 D3．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3答案 A4．函数y ＝x 13 的图象是( )答案 B5．比较下列各组数的大小：(1)－8－78 与－⎝⎛⎭⎫1978 ；(2)⎝⎛⎭⎫－23－23 与⎝⎛⎭⎫－π6－23 .解 (1)－8－78 ＝－⎝⎛⎭⎫1878 ，函数y ＝x 78 在(0，＋∞)上为增函数，又18>19，则⎝⎛⎭⎫1878 >⎝⎛⎭⎫1978 .从而－8－78 <－⎝⎛⎭⎫1978 . (2)⎝⎛⎭⎫－23 －23 ＝⎝⎛⎭⎫23－23 ＝⎝⎛⎭⎫46－23 ，⎝⎛⎭⎫－π6－23 ＝⎝⎛⎭⎫π6－23 .因为函数y ＝x －23 在(0，＋∞)上为减函数，又46>π6，所以⎝⎛⎭⎫－23－23 <⎝⎛⎭⎫－π6－23 .7．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，求满足(a ＋3)－m 5<(5－2a )－m5的a 的取值范围．能力提升8．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1,0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1答案 B9．如图，函数y ＝x 23的图象是( )答案 D10．已知幂函数f (x )＝x 12 ，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．答案 (3,5]11．已知a ＝x α，b ＝x a2 ，c ＝x 1a，x ∈(0,1)，α∈(0,1)，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c <a <b 12．已知幂函数y ＝f (x )＝x－2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；(2)对任意的x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0.求同时满足(1)，(2)的幂函数f (x )的解析式，并求x ∈[0,3]时f (x )的值域．13．(选做题)已知函数f (x )＝x 1-a 3的定义域是非零实数，且在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，求最小自然数α. 教学反思。

3.3 幂函数1.理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象; 2.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质； 3.能应用幂函数性质解决简单问题。

1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质；2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。

一、幂函数的是概念：一般地，函数 叫做幂函数(power function) ，其中 为自变量， 为常数。

二、幂函数的性质一、探索新知 探究一 幂函数概念 （一）实例观察，引入新课(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付P = W 元 ， P 是W 的函数 （y=x ）(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a 2 ， S 是a 的函数（y=x 2）。

(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a 3， S 是a 的函数（y=x 3）。

(4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长a= 12S 。

a 是S 的函数 。

（y=12x ） (5)如果某人 t s 内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度v=t -1，V 是t 的函数 。

（y=x -1）问题1：以上问题中的函数具有什么共同特征?（二）类比联想，探究新知1.幂函数的定义：一般地，函数y=x ɑ叫做幂函数(power function) ，其中x 为自变量，ɑ 为常数。

注意:幂函数的解析式必须是y = x a 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”． 【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解. 思考1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？ 思考2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？思考3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？看看自变量x 是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。

练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？（1）4y x =；（2）22y x =；（3）2y x =-；（4）2x y =；（5）2y x -=；（6） 3+2y x =。

y x-3-2-1-3-2-143432121《幂函数》导学案【学习目标】1.了解幂函数的形式，会判断是否是幂函数；2、了解幂函数的图象与性质；3、体会幂函数的变化规律并能进行简单的应用；【课前导学】阅读课本P77～78的内容，找出疑惑之处，完成新知学习。

问题：分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为a 的正方形面积2S a =，这里S 是a 的函数；（2）面积为S 的正方形边长12a S =，这里a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，这里V 是a 的函数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数.以上5个函数解析式的共同特征是____________________________________________。

定义：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.【预习自测】1、判断下列函数哪些是幂函数，其中是幂函数的序号是 ；①1y x =；②22y x =；③3y x x =-；④1y =。

2、已知幂函数()y f x =的图象过点2)，试求出这个函数的解析式；【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示探究任务：幂函数的图象与性质探究一：作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）2y x =；（3）3y x =；（4）12y x =；（5）1y x -=． 从图象分析出幂函数所具有的性质.y x =2y x = 3y x =12y x =1y x -=定义域 值域 奇偶性单调性定点探究二：证明幂函数()f x x =∞[0，+）上是增函数。

【总结提升】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来【课后作业】1、下列所给的函数中，是幂函数的是（ ） A 、3y x =- B 、3y x -= C 、32y x = D 、31y x =-2、下列命题中正确的是（ ）A 、当0α=时，函数y x α=是一条直线；B 、幂函数的图象都经过点(0,0)和(1,1)C 、若幂函数y x α=是奇函数，则y x α=是定义域上的增函数D 、幂函数的图象不可能出现在第四象限 3、若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）.A ．α>0 B ．α<0 C ．α=0 D ．不能确定4、 若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是（ ）A ．a <l<bB ．1<a <bC ．b <l<aD ．1<b <a5、已知幂函数()y f x =的图象过点1(2,)4，试求出这个函数的解析式；并作出图象，判断奇偶性、单调性。

4.2简单幂函数的图象和性质【学习目标】1.掌握幂函数的概念和定义.2.学会使用函数的知识自主分析、研究指数不同时幂函数的图象和性质的不同情况,学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性质,掌握探究函数性质的一般方法和步骤.3.通过自主探究幂函数的图象和性质,培养知识的应用能力,提高数学运算和逻辑推理的核心素养.◆知识点幂函数1.幂函数的定义:一般地,形如(α为常数)的函数,即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.2.简单幂函数的图象和性质(1)在(0,+∞)上都有意义,图象都过点.(2)当α>0时,图象都过原点,并且在(0,+∞)上;当α=0时,图象是除去点(0,1)的直线y=1;当α<0时,图象都不过原点,并且在(0,+∞)上.【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y=-x2是幂函数.()(2)函数y=x-1是幂函数.()(3)幂函数的图象都过点(0,0)和点(1,1). ()(4)若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.()(5)当n<0时,幂函数y=x n是定义域上的减函数.()◆探究点一幂函数的定义例1 (1)[2024·辽宁阜新高级中学高一月考] 现有下列函数:①y=x3;②y=4x2;③y=x5+1;④y=(x-1)2;⑤y=x.其中幂函数的个数为 ()A.4B.3C.2D.1(2)已知函数f(x)=(m2-m-1)x m2-2m-2是幂函数,则实数m= ()A.2或-1B.-1C.4D.2[素养小结]在利用幂函数的定义解题时要特别注意,幂函数y=xα的系数必须是1,且没有其他项.◆探究点二幂函数的图象的认识例2已知函数①y=x a,②y=x b,③y=x c,④y=x d的大致图象如图所示,则有理数a,b,c,d的大小关系为()A.d<c<b<aB.a<d<c<bC.b<c<a<dD.a<c<d<b变式已知幂函数f(x)的图象过点(2,14),则f(x)的大致图象为()A B C D[素养小结](1)依据图象高低判断幂函数的指数大小,相关结论为:①在(0,1)上,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低);②在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂函数的指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=x 12或y=x3的图象)来判断.◆探究点三幂函数性质的应用例3 (1)已知幂函数y=x p3(p∈Z)的图象关于y轴对称,如图所示,则()A .p 为奇数,且p>0B .p 为奇数,且p<0C .p 为偶数,且p>0D .p 为偶数,且p<0(2)比较下列各题中两个值的大小.①2.334,2.434;②(√2)-32,(√3)-32.变式 (1)已知a=(87)13,b=1.213,c=(78)13,则a ,b ,c 的大小关系为 ( )A .c<a<bB .c<b<aC .a<b<cD .a<c<b(2)若幂函数f (x )的图象过点(-2,-12),则f (x )在[1,3]上的最大值为 ( )A .13 B .-1 C .1D .-3(3)已知幂函数f (x )=m x m -12满足f (3-a )>f (a ),则实数a 的取值范围是 .[素养小结]1.比较幂函数的函数值大小的方法:(1)若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小.(2)若指数不同,则可采用中介值法,如先与0比较大小,若都大于0,再与1比较,直到比较出所有数的大小.若中介值法不行则要采用估值法,判断各数的范围,进而比较出各数的大小. 2.利用幂函数的性质解不等式,应借助相应的幂函数的单调性和奇偶性,将不等式转化为自变量的大小关系来求解.4.2 简单幂函数的图象和性质【课前预习】知识点1.y=x α2.(1)(1,1) (2)单调递增 单调递减 诊断分析(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)× [解析] (1)根据幂函数的定义可知,y=-x 2不是幂函数. (2)根据幂函数的定义可知,y=x -1是幂函数.(3)只有当α>0时,幂函数y=x α的图象才同时过点(0,0)和点(1,1).(4)由幂函数的定义及图象知,对于幂函数y=x α(α为常数),当α>0时,该函数的图象与坐标轴相交于原点,当α≤0时,该函数的图象与坐标轴不相交. (5)如函数y=x -1在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是减函数. 【课中探究】探究点一例1 (1)C (2)A [解析] (1)幂函数的一般表达式为y=x α(α为常数),逐一对比可知题中的幂函数有①y=x 3,⑤y=x ,共2个.故选C .(2)由幂函数的定义知m 2-m-1=1,解得m=-1或m=2.故选A .探究点二例2 B [解析] 根据幂函数的图象可知,a<0,b>c>1,0<d<1,所以a<d<c<b.故选B . 变式 B [解析] 因为函数f (x )为幂函数,所以设f (x )=x a ,由f (2)=2a =14,可得a=-2,所以f (x )=x -2=1x2,则x ≠0,所以函数f (x )的定义域为{x|x ≠0},排除A,C,D,故选B .探究点三例3 (1)D [解析] 因为函数y=x p 3(p ∈Z)的图象关于y 轴对称,所以函数y=x p 3为偶函数,即p 为偶数.由题图知函数y=x p 3的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递减,则有p3<0,所以p<0.故选D .(2)解:①因为y=x 34为[0,+∞)上的增函数,且2.3<2.4, 所以2.334<2.434.②因为y=x -32为(0,+∞)上的减函数,且√2<√3,所以(√2)-32>(√3)-32.变式 (1)A (2)C (3)[0,32) [解析] (1)因为a=(87)13,b=(65)13,c=(78)13,且y=x 13在[0,+∞)上单调递增,65>87>78>0,所以(65)13>(87)13>(78)13,即b>a>c.故选A .(2)设幂函数f (x )=x α,将(-2,-12)代入,得(-2)α=-12,解得α=-1,则f (x )=x -1,它在[1,3]上单调递减,故f (x )在[1,3]上的最大值为f (1)=1.故选C .(3)因为f (x )=m x m -12为幂函数,所以m=1,则f (x )=x 12,故f (x )的定义域为[0,+∞),且在定义域上为增函数.由f (3-a )>f (a ),可得{3-a ≥0,a ≥0,3-a >a ,解得0≤a<32,故a 的取值范围为[0,32).。

第9课时幂函数1.通过实例,了解幂函数的概念,会求幂函数的解析式.2.结合幂函数y=x,y=x2,y=x-1,y=的图象,了解它们的变化情况.在初中,我们学过一些特殊图形或几何体的面积和体积公式,它们其实也是函数,如正方形的面积S关于边长a的函数是S=a2,正方形的边长a关于面积S 的函数是a=,圆的面积S关于半径R的函数是S=πR2,正方体的体积V关于棱长a的函数是V=a3.问题1:(1)把上面的函数的自变量和函数换成字母x和y表示后分别是y=x2,y=,y=πx2,y=x3 ,其中符合y=xα形式的函数有个,分别是,,.(2)一般地,形如的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.(3)幂函数的特点是底数是,指数是,系数是.问题2:观察幂函数y=x2,y=x3,y=x-1,y=x-2的图象,归纳幂函数y=xα(α∈Z)的图象与性质.(1)定义域:当α为正整数时,定义域为R,当α为负整数时,定义域为;(2)奇偶性:当α是奇数时,幂函数为,图象恒过点,;当α是偶数时,幂函数为,图象恒过点、.(3)单调性:当α>0时, 幂函数在(0,+∞)上是,当α<0时, 幂函数在(0,+∞)上是,幂函数在(-∞,0)上的单调性可以根据函数奇偶性判断,奇函数时与(0,+∞)上的单调性,偶函数时与(0,+∞)上的单调性.问题3:观察幂函数y=,y=,y=的图象,归纳幂函数y=xα(α是正分数)的图象与性质.设正分数α=(p,q是互质的正整数,q>1).(1)当p奇q偶时,幂函数定义域为,单调增区间是,单调减区间,图象恒过的点有、.(2)当p偶q奇时,幂函数为(奇偶性),定义域为R,单调增区间是,单调减区间是,图象恒过的点有、、.(3)当p奇q奇时,幂函数为(奇偶性),定义域为R,单调增区间是,单调减区间,图象恒过的点有、、.问题4:观察幂函数y=,y=,y=的图象,归纳幂函数y=x-α(α是正分数)的图象与性质.设正分数α=(p,q是互质的正整数,q>1).(1)当p奇q偶时,幂函数定义域为,单调增区间,单调减区间是,图象恒过的点.(2)当p偶q奇时,幂函数为(奇偶性),定义域为,单调增区间是,单调减区间是,图象恒过的点有、.(3)当p奇q奇时,幂函数为(奇偶性),定义域为,单调增区间不存在,单调减区间是,图象恒过的点有、.1.下列函数中为幂函数的是().A.y=2x2B.y=x2+1C.y=D.y=2x2.设α∈{-1,1,,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为().A.1,3B.-1,1C.-1,3D.-1,1,33.幂函数f(x)的图象过点(4,2),则f(9)= .4.求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性.(1)y=x-2;(2)y=.幂函数的概念已知y=(m2+2m-2)·+2n-3是幂函数,求m,n的值.幂函数单调性的应用比较下列各组数中两个数的大小:(1)()0.5与()0.5;(2)(-)-1与(-)-1;(3)(与(.幂函数的定义域、值域问题求下列函数的定义域和值域.(1)y=;(2)y=.已知函数f(x)=(m2+2m)·,m为何值时,f(x)是:(1)正比例函数;(2)反比例函数;(3)二次函数;(4)幂函数.1.比较(-,(-,(-的大小为().A.(->(->(-B.(->(->(-C.(->(->(-D.(->(->(-2.已知幂函数y=x p-3(p∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,求满足(a+1<(3-2a的a的取值范围.求下列函数的定义域、值域.①y=x6;②y=;③y=;④y=x-5.1.下列幂函数中①y=x-1;②y=;③y=x;④y=x2;⑤y=x3,其中在定义域内为增函数的个数为().A.2B.3C.4D.52.下列幂函数中图象过点(0,0),(1,1),且是偶函数的是().A.y=B.y=x4C.y=x-2D.y=3.若幂函数y=(m2+3m-17)·的图象不过原点,则m的值为.4.比较下列各组数的大小:(1)1.,1.,1;(2)3.,3.,(-1.8;(3)31.4,51.5.设a=0.40.5,b=0.60.5,c=0.60.3,则a,b,c的大小关系是().A.a<c<bB.b<a<cC.a<b<cD.c<a<b答案第9课时幂函数知识体系梳理问题1:(1)3y=x2y=y=x3(2)y=xα(3)x常数 1问题2:(1)(-∞,0)∪(0,+∞)(2)奇函数(1,1)(-1,-1)偶函数(-1,1)(1,1)(3)增函数减函数相同相反问题3:(1)[0,+∞)[0,+∞)不存在(0,0)(1,1)(2)偶函数[0,+∞)(-∞,0)(-1,1)(0,0)(1,1)(3)奇函数R不存在(-1,-1) (0,0)(1,1)问题4:(1)(0,+∞)不存在(0,+∞)(1,1)(2)偶函数(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,0)(0,+∞)(-1,1)(1,1)(3)奇函数(-∞,0)∪(0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)(-1,-1)(1,1)基础学习交流1.C根据幂函数的定义知,A、B、D均不是幂函数,C中函数化为y=x-2,符合幂函数的定义,故选C.2.A当α=1,3时,函数y=xα的定义域为R,且为奇函数.当α=-1时,y=的定义域是{x|x∈R且x≠0}.当α=时,y==的定义域是{x|x≥0}.3.3设f(x)=xα,由图象过点(4,2),∴有4α=2,∴α=,∴f(x)=,则f(9)==3.4.解:(1)y=x-2=,定义域是{x|x≠0},是偶函数.(2)y==,定义域是R,是偶函数.重点难点探究探究一:【解析】由题意得解得∴m=-3,n=即为所求.【小结】幂函数的定义同指数函数、对数函数一样,是一种形式定义,其表现形式非常严格.判断一个函数是否为幂函数,关键是看它是否具有幂函数的三个特征:①指数为常数α,且α为任意实常数;②底数为自变量;③系数为1.探究二:【解析】(1)∵幂函数y=x0.5在(0,+∞)上是单调递增的,又>,∴()0.5>()0.5.(2)∵幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又-<-,∴(-)-1>(-)-1.(3)∵函数y1=()x为减函数,又>,∴(>(,又∵函数y2=在(0,+∞)上是增函数,且>,∴(>(,∴(>(.【小结】本题是比较大小的基本题,关键在于构造适当的函数,若指数相同而底数不同,则考虑幂函数;若指数不同底数相同,则考虑指数函数;若底数不同,指数也不同,则需引入中间量.利用幂函数与指数函数的单调性,也可以借助幂函数与指数函数的图象.探究三:【解析】(1)y==.定义域为{x|x∈R且x≠0},值域为(0,+∞).(2)y==定义域为(0,+∞),值域为(0,+∞).【小结】当幂函数的指数为分数形式时,需将其转化为根式,利用根式的有关要求求出自变量的取值范围.思维拓展应用应用一:(1)若f(x)为正比例函数,则⇒m=1.(2)若f(x)为反比例函数,则⇒m=-1.(3)若f(x)为二次函数,则⇒m=.(4)若f(x)为幂函数,则m2+2m=1,解得m=-1±.应用二:1.A∵y=,>0,∴y=在(0,+∞)上单调递增.∵<<,∴(<(<(.又∵(-=-(,(-=-(,(-=-(, ∴(->(->(-.2.∵幂函数y=x p-3在(0,+∞)上是减函数,∴p-3<0,∴p<3,又∵p∈N*,∴p=1或2.∵幂函数y=x p-3图象关于y轴对称,∴函数y=x p-3为偶函数,∴p=1.∴(a+1<(3-2a.∵y=在R上是增函数,∴a+1<3-2a,∴a<.即a的取值范围为(-∞,).应用三:①y=x6的定义域为R,值域为[0,+∞).②y==的定义域为R,值域为R.③y==的定义域为[0,+∞),值域为[0,+∞).④y=x-5=的定义域为{x|x∈R且x≠0},值域为{y|y∈R且y≠0}.基础智能检测1.B由幂函数性质知②③⑤在定义域内为增函数.2.B函数y=,y=不是偶函数,故排除A、D;函数y=x-2是偶函数,但其图象不过点(0,0),故排除C;函数y=x4的图象过点(0,0),(1,1)且是偶函数,故选B.3.-6由⇒m=-6.4.解:(1)比较幂1.、1.、1的大小就是比较1.、1.、的大小,而函数y=在(0,+∞)上单调递增,且1.7>1.5>1,所以1.>1.>1.(2)利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0<3.<1,3.>1,(-1.8<0,从而可以比较出它们的大小,即(-1.8<<3..(3)它们的底数和指数都不同,而且都大于1,我们插入一个中间数31.5,利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4<31.5<51.5,故31.4<51.5.全新视角拓展C因为y=x0.5在[0, +∞)上为增函数, 且0.4<0.6,所以0.40.5<0.60.5,又y=0.6x在R上为减函数,且0.5>0.3,所以0.60.5<0.60.3,所以a<b<c.。

§2.3 幂函数1．幂函数的概念一般地，形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 幂函数的特征：(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)； (2)x α前的系数为1，项数只有1项．要注意幂函数与指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的区别，这里底数a 为常数，指数为变量．2．五个具体幂函数的图象与性质当α＝1,2,3，12，－1时，在同一坐标平面内作这五个幂函数的图象如图所示．结合图象我们可以得到以上五个幂函数的性质如下：(1)在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)；(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数； (3)如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；(4)当α＝1,3，－1时，幂函数为奇函数；当α＝2时，幂函数为偶函数；当α＝12时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数．说明：对于五个具体的幂函数在第一象限的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”这一记忆的口诀．即α>0(α≠1)时的图象是抛物线型，α>1时的图象是竖直抛物线型，0<α<1时的图象是横卧抛物线型，α<0时的图象是双曲线型题型一 理解幂函数的图象与性质下列结论中，正确的是( )A ．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1)B ．幂函数的图象可以出现在第四象限C ．当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数D ．当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数解析 当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x －1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y ＝x α (α∈R )，y >0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α＝－1时，y ＝x －1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数．答案 C题型二 幂函数定义及性质的应用已知幂函数f (x )＝(t 3－t ＋1)x 15(7＋3t －2t 2) (t ∈Z )是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t 的值．分析 关于幂函数y ＝x α (α∈R ，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p |、|q |互质)，当q 为偶数时，p 必为奇数，y ＝x pq是非奇非偶函数；当q 是奇数时，y ＝x pq的奇偶性与p 的值相对应．解 ∵f (x )是幂函数，∴t 3－t ＋1＝1， ∴t ＝－1,1或0.当t ＝0时，f (x )＝x 75是奇函数；当t ＝－1时，f (x )＝x 25是偶函数；当t ＝1时，f (x )＝x 85是偶函数，且25和85都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 25.点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t ∈Z 给予足够的重视．题型三 幂函数的图象如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．-1<n<0<m<1B ．n <－1,0<m <1C ．－1<n <0，m >1D ．n <－1，m >1解析 在(0,1)内取同一值x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m <1，n <－1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x 轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．已知x 2>x 13，求x 的取值范围．错解 由于x 2≥0，x 13∈R ，则由x 2>x 13，可得x ∈R .错因分析 上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y ＝x α在α>1和0<α<1两种情况下图象的分布． 正解作出函数y=x2和y=31x 的图象(如右图所示)，易得x<0或x>1.幂函数在高考中几进几出，在课改实验区是高考的一个考点．主要考查五种具体幂函数的图象和性质，以客观题形式出现，属于试卷中的容易题．(山东高考)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析 根据幂函数的定义和性质易得x ＝1,3时，定义域为R 且为奇函数． 答案 A1．在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1 (x ≠0)中幂函数的个数为( )A ．1B ．0C ．2D ．3 答案 C解析 依据幂函数的定义判定，应选C.2．幂函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫4，12，那么f (8)的值为( ) A ．2 6 B ．64 C.24 D.164答案 C解析 设f (x )＝x α (α为常数)，将⎝⎛⎭⎫4，12点代入得12＝4α，∴α＝－12，f (x )＝x －12，∴f (8)＝8－12＝24. 3．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象，不过原点，则m 的取值是( ) A ．－1≤m ≤2 B ．m ＝1或m ＝2 C ．m ＝2 D ．m ＝1 答案 B解析 据幂函数的定义，知m 2－3m ＋3＝1， 所以m ＝1，m ＝2.又图象不过原点，所以m 2－m －2≤0，经验证，m ＝1，m ＝2均适合． 4．下列函数中，值域为[0，＋∞)的函数是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x 2C ．y ＝x －2 D ．y ＝log a x (a >0，且a ≠1) 答案 B解析 根据函数图象，选B.5．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (25)的值是________． 答案 5解析 设y ＝x α，∵点(2，2)在y ＝x α的图象上，∴2＝2α，∴α＝12，∴f (x )＝x 12.故f (25)＝2512＝5.6．幂函数y ＝x α (α∈R )的图象一定不经过第________象限． 答案 四7．把下列各数223，⎝⎛⎭⎫53－13，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫150，⎝⎛⎭⎫3223，按由小到大的排列顺序为__________________．答案 ⎝⎛⎫－233<⎝⎛⎫53－13<⎝⎛⎫150<⎝⎛⎫3223<223. 8．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 3<a <5解析 f (x )＝x －12＝1x(x >0)，由图象知x ∈(0，＋∞)时为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a .得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3. ∴3<a <5.9．在图中，只画出了函数图象的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据．解 对于①y=x-1为奇函数，其图象关于原点对称，可画出另一半，如图(1)；对于②y=-x3为奇函数，其图象关于原点对称，可画出另一半，如图(2)；对于③④y=x2+1和y=-x 4都为偶函数，其图象都关于y 轴对称，可画出另一半，如图(3)(4)．10．已知f (x )＝(m 2＋2m )·xm 2＋m －1，m 是何值时，f (x )是 (1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 解 (1)若f (x )为正比例函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2。

1.幂函数的定义□1一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数y＝xα与指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的区别幂函数□2y＝xα的底数为自变量，指数是常数；指数函数正好相反，指数函数□3y＝a x中，底数是常数，指数是自变量．3．在同一平面直角坐标系内作出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1的图象(如图)．它们的性质如下表．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3＋2是幂函数．()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．()(3)指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的定义域为R，与底数a无关，幂函数y＝xα的定义域为R，与指数也无关．()答案(1)×(2)×(3)×2．做一做(1)若y＝mxα是幂函数，则m＝________.(2)(教材改编P79T1)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.(3)若y＝ax a是幂函数，则该函数的值域是________．答案(1)1(2)－8(3)(－∞，＋∞)『释疑解难』(1)幂函数的图象大致分为下表中的几类：(2)幂函数与指数函数的区别探究1 幂函数的定义例1 (1)在函数①y ＝1x ，②y ＝x 2，③y ＝2x ，④y ＝1，⑤y ＝2x 2，⑥y ＝x －12中，是幂函数的是()A ．①②④⑤B ．③④⑥C ．①②⑥D ．①②④⑤⑥(2)已知幂函数y ＝(m 2－m －1)x m 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．解析 (1)幂函数是形如y ＝x α(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－12的情形，所以①②⑥都是幂函数；③是指数函数，不是幂函数；⑤中x 2的系数是2，所以不是幂函数；④是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑥是幂函数．(2)∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 故m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0.故所求幂函数的解析式为y ＝x －3或y ＝x 0，它们的定义域都是{x |x ≠0}．答案 (1)C (2)见解析 拓展提升判断函数是幂函数的依据判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.【跟踪训练1】 (1)在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．答案 (1)B (2)见解析解析 (1)∵y ＝1x 2＝x －2，所以是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数；y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；从y ＝1＝x 0(x ≠0)可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－3，n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.探究2 幂函数的图象及应用例2 幂函数y ＝x 2，y ＝x －1，y ＝x13 ，y ＝x －12在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )A ．C 2，C 1，C 3，C 4B ．C 1，C 3，C 2，C 4 C ．C 3，C 2，C 1，C 4D ．C 1，C 4，C 2，C 3解析 由于在第一象限内直线x ＝1的右侧，幂函数y ＝x α的图象从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线x ＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y ＝x 2在第一象限内的图象为C 1，y ＝x －1在第一象限内的图象为C 4，y ＝x 13在第一象限内的图象为C 2，y ＝x－12在第一象限内的图象为C 3.答案 D 拓展提升幂函数图象的特征(1)在第一象限内，直线x ＝1的右侧，各幂函数图象对应的指数逆时针增大；在第一象限内，直线x ＝1的左侧，指数也呈逆时针增大．(2)幂函数y＝xα，若α>0，在第一象限内函数单调递增；若α<0，在第一象限内函数单调递减．(3)图象的凹凸性：在第一象限内，当0<α<1，曲线上凸；当α>1，曲线下凹；当α<0，曲线下凹．【跟踪训练2】(1)如图是幂函数y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象，则()A．－1<n<0<m<1B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1D．n<－1，m>1(2)已知函数y＝x 2 3 .①求其定义域；②判断其奇偶性；③已知该函数在第一象限内的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．答案 (1)B (2)见解析解析 (1)在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图所示，0<m <1，n <－1.(2)①y ＝x 23＝3x 2，定义域为实数集R . ②设y ＝f (x )，因为f (－x )＝3(－x )2＝3x 2＝f (x )，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y ＝x 23是偶函数．③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于y 轴的对称图象，即得函数y ＝x23的图象，如图所示．根据图象易知，函数y ＝x23在区间(0，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，0]上是减函数．探究3 幂函数的性质及应用 例3 比较下列各题中两个值的大小：(1)2.3 34 ，2.4 34；(2)(2) －32，(3)－32；(3)(－0.31) 65，0.3565.解(1)∵y ＝x34为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4，∴2.334 <2.434 .(2)∵y ＝x －32为(0，＋∞)上的减函数，且2<3，∴(2)－32 >(3)－32.(3)∵y ＝x 65为R上的偶函数，∴(－0.31) 65 ＝0.3165.又函数y ＝x 65为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35，∴0.3165 <0.3565 ，即(－0.31) 65 <0.3565.拓展提升比较大小的方法比较幂值的大小，关键是构造适当的函数： (1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数； (2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑借助中间量，这个中间量的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．【跟踪训练3】比较下列各组数的大小：(1)⎝⎛⎭⎪⎫230.5与⎝⎛⎭⎪⎫350.5；(2)－3.143与－π3.解(1)∵y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且23>35，∴⎝⎛⎭⎪⎫230.5>⎝⎛⎭⎪⎫350.5.(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.例4若(3－2m)12>(m＋1)12，求实数m的取值范围．解因为y＝x12在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－2m≥0，m＋1≥0，3－2m>m＋1，解得－1≤m<23.故实数m的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23.拓展提升利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．【跟踪训练4】已知幂函数y＝(m2＋m－5)x m2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式．解∵y＝(m2＋m－5)x m2－2m－3是幂函数，∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小；当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x ∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去．∴y＝x－3(x≠0)．简单幂函数的性质(1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，且图象都过点(1,1).(2)如果α>0，幂函数图象过原点，在[0，＋∞)上有意义，且是增函数.(3)如果α<0，幂函数在x＝0处无意义，在(0，＋∞)上是减函数.(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的增大，图象逐渐靠上.1．下列函数是幂函数的是()A．y＝5x B．y＝x5C．y＝5x D．y＝(x＋1)3答案B解析函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，故不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．2．设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为() A．c<a<b B．a<c<bC．a<b<c D．c<b<a答案A解析a＝20.3＝80.1，b＝30.2＝90.1，c＝70.1，由幂函数y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，可知c<a<b.3．函数y＝x 53的图象大致是图中的()答案 B 解析 ∵函数y ＝x53是奇函数，且α＝53>1，∴函数图象为B.4．已知幂函数f (x )的图象过点(4,2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝______.答案 24解析 设幂函数为y ＝x α(α为常数)． ∵函数f (x )的图象过点(4,2)，∴2＝4α，∴α＝12，∴f (x )＝x12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 12 ＝24.5．已知幂函数y ＝x 3m －9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在区间(0，＋∞)上是减函数，求f (x )的解析式．解 ∵幂函数y ＝x 3m －9在(0，＋∞)上是减函数， ∴3m －9<0，即m <3. 又∵m ∈N *，∴m ＝1,2.又y ＝x 3m －9的图象关于y 轴对称，即该函数是偶函数， ∴3m －9是偶数．∴m ＝1. ∴f (x )＝x －6(x ≠0)．A 级：基础巩固练一、选择题1．下列命题中正确的是( )A ．当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线B ．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点C ．若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域上是增函数D ．幂函数的图象不可能在第四象限 答案 D解析 当α＝0时，函数y ＝x α的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，其图象为两条射线，故A 不正确；当α<0时，函数y ＝x α的图象不过(0,0)点，故B 不正确；幂函数y ＝x －1的图象关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C 不正确；当x >0，α∈R 时，y ＝x α>0，则幂函数的图象都不在第四象限，故D 正确．2．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )A ．y ＝x13B ．y ＝x 2C ．y ＝x 3D ．y ＝x －2答案 B解析 ∵A ，C 项在(－∞，0)上为增函数；D 项中y ＝x －2＝1x 2在(－∞，0)上也是增函数，故选B.3．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 ，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525 ，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．a <b <cD ．b >c >a答案 C解析 ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 在R 上是减函数，又35>25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2535 <⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即a <b .又∵函数y ＝x 25在R 上是增函数，且35>25，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫3525 >⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，即c >b ，∴a <b <c .4．若幂函数y ＝(m 2＋3m ＋3)x m 2＋2m －3的图象不过原点，且关于原点对称，则( )A ．m ＝－2B ．m ＝－1C ．m ＝－2或m ＝－1D ．－3≤m ≤－1答案 A解析 根据幂函数的概念，得m 2＋3m ＋3＝1，解得m ＝－1 或m ＝－2.若m ＝－1，则y ＝x －4，其图象不关于原点对称，所以不符合题意，舍去；若m ＝－2，则y ＝x －3，其图象不过原点，且关于原点对称．5．在同一坐标系内，函数y ＝x α(α≠0)和y ＝αx －1α的图象可能是( )答案 C解析 当α<0时，函数y ＝αx －1α是减函数，且在y 轴上的截距－1α>0，y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数，∴A ，D 两项均不正确．对于B ，C 两项，若α>0则y ＝αx －1α是增函数，B 项错误，C 项正确，故选C.二、填空题6．若幂函数y ＝(m 2－m －1)·x m 2－2m －1在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.答案 －1解析 由幂函数的定义可知，m 2－m －1＝1，解得m ＝－1或m ＝2，当m ＝－1时，y ＝x 2，在(0，＋∞)上是增函数，符合题意；当m ＝2时，y ＝x －1，在(0，＋∞)上是减函数，不符合题意，所以m ＝－1.7．幂函数y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值为________． 答案 －12解析 ∵y ＝x －1在(－∞，0)上单调递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上递减，∴y ＝x －1在[－4，－2]上的最小值是－12.8．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则a 的取值范围是________．答案 (3,5) 解析∵f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3.∴3<a <5.三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)3－52和3.1－52；(2)－8－78和－⎝ ⎛⎭⎪⎫19 78 ；(3)⎝⎛⎭⎪⎫－23 －23 和⎝⎛⎭⎪⎫－π6－23.解 (1)函数y ＝x －52在(0，＋∞)上为减函数，因为3<3.1，所以3－52 >3.1－52 .(2)－8－78＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫18 78 ，函数y ＝x78在(0，＋∞)上为增函数，因为18>19，则⎝ ⎛⎭⎪⎫18 78 >⎝ ⎛⎭⎪⎫1978 .从而－8－78<－⎝ ⎛⎭⎪⎫19 78 .(3)⎝⎛⎭⎪⎫－23 －23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23 ，⎝⎛⎭⎪⎫－π6－23 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23，函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，因为23>π6，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23－23 <⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－23 ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－23 <⎝⎛⎭⎪⎫－π6－23.B 级：能力提升练10．已知幂函数y ＝f (x )＝x －2m 2－m ＋3，其中m ∈{x |－2<x <2，x ∈Z }，满足：①是区间(0，＋∞)上的增函数；②对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.求同时满足①②的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时，f(x)的值域．解因为m∈{x|－2<x<2，x∈Z}，所以m＝－1,0,1.因为对任意x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．当m＝－1时，f(x)＝x2，只满足条件①而不满足条件②；当m＝1时，f(x)＝x0，条件①②都不满足．当m＝0时，f(x)＝x3，条件①②都满足，且在区间[0,3]上是增函数．所以当x∈[0,3]时，函数f(x)的值域为[0,27]．。

幂函数导学案一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：●通过实例，了解幂函数的概念； ●结合幂函数的图象，了解它们的变化情况。

重点难点：●重点：幂函数的图象和性质。

●难点：幂函数的图象；多种图象变换复合时变换顺序的处理；复合函数的单调性的讨论。

学习策略：●幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数，在学习过程中需要我们进一步确立利用函数的定义域、值 域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识。

●通过对五种特殊幂函数的性质和图象的研究，认识幂函数的共同性质和上述每种函数的特殊性质，从而巩固幂对函数一般性质的认识。

二、学习与应用（一）某人买每千克1元的蔬菜，则其需付的钱数p （元）和购买的蔬菜的量（千克）w 之间的有何关系？（二）正方形的面积S 和它的边长a 之间有何关系？（三）正方体的体积V 和它的边长a 之间有何关系？（四）问题2中，边长a 是S 的函数吗？（五）问题3中，边长a 是V 的函数吗？（六）某人在t 秒内行进了1千米，那么他的行进的平均速度v 为多少？答案：“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？知识点一：幂函数概念形如y= ( ∈ )的函数，叫做幂函数，其中α为常数。

要点诠释：幂函数必须是形如()y x R αα=∈的函数，幂函数底数为 的自变量x ，系数为 ，指数为 数。

例如：()2423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数。

知识点二：幂函数的图象及性质（一）作出下列函数的图象：（1）x y =；（2）21x y =；（3）2x y =；（4）1-=x y ；（5）3x y =。

（二）幂函数随着α的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在( ， )都有定义，并且图象都过点( ， )；（2）0>α时，幂函数的图象通过 点，并且在区间),0[+∞上是 函数．特别地，当1>α时，幂函数的图象下凸；当10<<α时，幂函数的图象上凸；（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是 函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴。

2.3幂函数导学案一.学习目标：（1）了解幂函数概念。

（2）会画常见幂函数的图象。

（3）结合图象了解幂函数图象的变化情况和简单性质。

（4）会用幂函数的单调性比较两个底数不同而指数相同的幂的大小。

二.新课 问题情境问题1：写出下列y 关于x 的函数解析式①正方形边长x 、面积y ②正方体棱长x 、体积y ③正方形面积x 、边长y④某人骑车x 秒内匀速前进了1m,骑车速度为y⑤某人购买了每千克1元的蔬菜x 千克,那么她需要支付的钱数y问题2：上面5个函数是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？1.幂函数的定义： 练习:（1）①y=31x②y=2x 2③y=x 2+x ④x 2.0y =⑤y=x 0⑥y=1属于幂函数的是_________.（2）若函数22)33()(x a a x f --=是幂函数，则a 值为________. 2.幂函数的图像（1）x y =，1-=x y ，2x y =的图像（请同学们将三个函数图像画在下面的坐标系中）x（2）3xy=的图像（请同学们完成x,y的对应值表，并用描点法画出它的图像）（3）21xy=的图像（请同学们完成x,y的对应值表，并用描点法画出它的图像）xx3.幂函数的性质观察函数,,,,2132x y x y x y x y ====xy =-1的图象，将你发现的结论写在下表内。

4.性质的应用例1.例2．比较下列各组中值的大小，并说明理由：(1)1.10.5，1.40.5 (2) (-π)-1, （-3.14）-1 (3)1.40.5，1.43.),0[)(上是增函数在证明幂函数+∞=x x f三.当堂达标：1下列函数中不是幂函数的是 ()A. B. C. y=2x D.y=x -1 2.如图所示，曲线是幂函数αx y =在第一象限内的图象，已知α分别取2,21,1,1-四个值，则相应图象依次为：__________________3.若幂函数y=f(x)的图像经过点()9,3，则f(25)=______________ 4.比较下列各组数的大小：（1）0.7521_____0.7621（2）（-3.14）2_____2π5. 幂函数y=(m 2-m-1)x m 在区间()+∞,0上是减函数，则 m 的值为________。