人教A版选修一高二数学：抛物线的几何性质练习卷(2-3)

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课后提升训练十六抛物线的简单几何性质(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.在抛物线y2=2px上,横坐标为4的点到焦点的距离为5,则p的值为( )A. B.1 C.2 D.4【解析】选C.y2=2px的准线为x=-,所以+4=5,p=2.2.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线l的方程是( )A.6x-4y-3=0B.3x-2y-3=0C.2x+3y-2=0D.2x+3y-1=0【解析】选A.设直线l的方程为3x-2y+c=0,抛物线y2=2x的焦点F,所以3×-2×0+c=0,所以c=-,故直线l的方程是6x-4y-3=0.3.(2017·衡水高二检测)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合,则p的值为( )A.-2B.2C.-4D.4【解析】选D.椭圆+=1的右焦点为(2,0),所以=2,所以p=4.4.已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0= ( )A.4B.2C.1D.8【解析】选C.如图,F,过A作AA′⊥准线l,所以|AF|=|AA′|,所以x0=x0+=x0+,所以x0=1.5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=( ) A. B. C.- D.-【解析】选D.由得x2-5x+4=0,所以x=1或x=4.不妨设A(4,4),B(1,-2),则||=5,||=2,·=(3,4)·(0,-2)=-8,所以cos∠AFB===-.6.(2017·全国甲卷)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为( )A. B.2C.2D.3【解析】选C.由题意知,MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3,所以M(3,2),因为MN⊥l,所以N(-1,2),又F(1,0),所以NF:y=-(x-1),即x+y-=0,所以M到直线NF的距离为=2.【补偿训练】设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( )A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【解析】选C.因为x2=8y,所以焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y=-2.由抛物线的定义知|FM|=y0+2.以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心F到准线的距离为4,故4<y0+2,所以y0>2.7.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( )A.2B.4C.6D.8【解析】选B.以开口向右的抛物线为例来解答,其他开口同理可得.设抛物线为y2=2px(p>0),设圆的方程为x2+y2=r2,题目条件翻译如图:设A(x0,2),D,点A(x0,2)在抛物线y2=2px上,所以8=2px0. ①点D在圆x2+y2=r2上,所以5+=r2. ②点A(x 0,2)在圆x2+y2=r2上,所以+8=r2. ③联立①②③解得:p=4,焦点到准线的距离为p=4.8.(2017·天津高二检测)若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是( )A.a>0B.0<a≤1C.a≤1D.a≤0【解析】选 C.设抛物线上任一点P的坐标为(x,y),则|PA|2=d2=x2+(y-a)2=2y+(y-a)2=y2-(2a-2)y+a2=[y-(a-1)]2+(2a-1 ).因为y∈[0,+∞),根据题意知,(1)当a-1≤0,即a≤1,y=0时,=a2.这时d min=|a|.(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.综上可知a≤1.【易错警示】忽视了y的取值范围是[0,+∞),只想到当点在y轴负半轴时,d最小,导致错选D,或胡乱猜测以致错选B.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·青岛高二检测)抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________. 【解析】由于x2=2py(p>0)的准线为y=-,由解得准线与双曲线x2-y2=3的交点为A,B,所以AB=2.由△ABF为等边三角形,得AB=p,解得p=6.答案:610.(2017·长春高二检测)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上射影是M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是________. 【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F 共线时,|PA|+|PM|最小.【解析】由y2=4x,得p=2,所以焦点F(1,0),如图,|PM|=|PN|-=|PF|-1,所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=-1=3-1.答案:3-1三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017·吉林高二检测)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB的面积为,求抛物线的标准方程.【解题指南】由双曲线离心率求得其渐近线方程,从而求得交点A,B 的坐标,即可得到三角形面积表达式,从而得到p的值,进而写出标准方程.【解析】由已知得=2,所以=4,解得=,即渐近线方程为y=±x.而抛物线准线方程为x=-,于是A,B,从而△AOB的面积为·p·=,可得p=2.因为抛物线开口向右,所以其标准方程为y2=4x.12.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且∠AFO=120°(O为坐标原点),AK⊥l,垂足为K,求△AKF的面积.【解析】如图,设A(x0,y0),过A作AH⊥x轴于H,在Rt△AFH中,|FH|=x0-1,由∠AFO=120°,得∠AFH=60°,故y 0=|AH|=(x0-1).所以点A的坐标为(x0,(x0-1)),将此代入抛物线方程可得3-10x 0+3=0,解得x0=3或x0=(舍),故S △AKF=×(3+1)×2=4.【能力挑战题】已知抛物线C:y2=2px(p>0),焦点为F,准线为l,抛物线C上一点A的横坐标为3,且点A到准线l的距离为5.(1)求抛物线C的方程.(2)若P为抛物线C上的动点,求线段FP的中点M的轨迹方程.【解析】(1)由题意得,3+=5,所以p=4,所以抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1)知F(2,0),设P(x0,y0),M(x,y),则即而点P(x 0,y0)在抛物线C上,=8x0,所以(2y)2=8(2x-2),即y2=4(x-1),此即为所求点M的轨迹方程.关闭Word文档返回原板块。

D.12 )
()
A.
B.
C.
D.
【解析】选 B.y2=x 的准线为 x=- ,焦点为
,设 P(x1,y1),由抛物线定义知 x1+ =2,所以
x1=2- = .由 = ,得 y1=± .
4.设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线上,则点 B 到该抛
高中数学人教 A 版选修 1-1 第二章 圆锥曲线与方程
2.3.2 抛物线的简单几何性质
课时测试（1）
1.顶点在原点,对称轴是 y 轴,并且顶点与焦点的距离等于 3 的抛物线的标准方程是 ( )
A.x2=±3y
B.y2=±6x
C.x2=±12y
D.x2=±6y
【解析】选 C.依题意知抛物线方程为 x2=±2py(p>0)的形式,又 =3,所以 p=6,2p=12,故方程为
的准线上一点,则△ABP 的面积为 ( )
A.18
B.24
C.36
D.48
【解析】选 C.如图所示,
设抛物线方程为 y2=2px(p>0). 因为当 x= 时,|y|=p, 所以 p= = =6.
又 P 到 AB 的距离始终为 p, 所以 S△ABP= ×12×6=36. 5.(2015·浙江高考)如图,设抛物线 y2=4x 的焦点为 F,不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是 ( )
值是
.
【解题指南】将 P 到 y 轴的距离,转化为点 P 到焦点的距离,当 A,P,F 共线时,|PA|+|PM|最小.
【解析】由 y2=4x,得 p=2,

2.3.2　抛物线的简单几何性质(一)课时过关·能力提升一、基础巩固1.抛物线2y=3x 2的准线方程为( )A.y=‒16B.y =‒14C.y =‒12D.y =‒12.已知圆x 2+y 2-6x-7=0与抛物线y 2=2px (p>0)的准线相切,则p=( )A.1B.2C.3D.4y 2=2px 的准线为x=‒p 2,圆的标准方程为(x-3)2+y 2=42,故圆心为(3,0),半径为4,则3p=2.+p 2=4.故3.如图,已知点Q (22,0)及抛物线y =x 24上的动点P (x ,y ),则y +|PQ |的最小值是( )A.2B.3C.4D.22,过P 作PM 垂直抛物线的准线于点M ,则由抛物线的定义,可知y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,当且仅当P ,F ,Q 三点共线时,|PF|+|PQ|最小,由F (0,1),Q (|QF|22,0),得最小值为=(22-0)2+(0-1)2=3.故y+|PQ|的最小值为3-1=2.4.已知抛物线y 2=2x 上两点A ,B ,且AB 垂直于x 轴.若|AB|=22,则抛物线的焦点到直线AB 的距离为( )A .12B.14C.16D.18AB 所在的直线方程为x=1,抛物线的焦点坐标为(12,0),AB 的距离为1故焦点到直线‒12=12.5.若抛物线y 2=x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( )A .(14,±24)B.(18,±24)C .(14,24)D.(18,24),点P 到焦点F 的距离等于它到顶点O 的距离,因此点P 在线段OF 的垂直平分线上,P 的横坐标y=P 而F(14,0),所以点为18,代入抛物线方程得±24,故点的坐标B .为(18,±24),故选6.设抛物线y 2=2x 与过焦点的直线交于A ,B 两点,则OA ·OB 值是( )A .34B.‒34C.3D.‒37.已知过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A ,B 两点,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).若x 1+x 2=6,则|AB|= .直线AB 过焦点,∴|AB|=x 1+x 2+p=6+2=8.8.已知抛物线y 2=2px (p>0),直线l 经过其焦点,且与x 轴垂直,并交抛物线于A ,B 两点.若|AB|=10,P 为抛物线的准线上一点,则△ABP 的面积为 .,x A =x B =p 2,∴10=x A +x B +p=2p=10,∴p=5.又点P 到AB 的距离为焦点到准线的距离,∴S △ABP ·p =12|AB |=12×10×5=25.9.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)两点,若|AB|=7,则AB 的中点M 到抛物线准线的距离为 .(1,0),准线方程为x=-1,p=2.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=x 1x 1+x 2+p=7,+p 2+x 2+p 2=x 1+x 2+p ,即所以x 1+x 2=5.于是弦AB 的中点M 的横坐标为52,因此M 到抛物线准线的距离为52+1=72.10.若长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=2x 上移动,M 为AB 的中点,求点M 到y 轴的最短距离.F ,连接AF ,BF ,如图,抛物线y 2=2x 的准线为l :x=A ,B ,M 分别作AA',BB',MM'垂直于l ,垂足分别为‒12,过点点A',B',M'.由抛物线定义,知|AA'|=|FA|,|BB'|=|FB|.又M 为AB的中点,由梯形中位线定理,得|MM'|=12(|AA '|+|BB '|)=12(|FA |+|FB |x ≥M 的横坐标,当且仅当AB 过抛物线的焦)≥12|AB |=12×3=32,则32‒12=1(x 为点点时取得等号),所以x min =1,即点M 到y 轴的最短距离为1.二、能力提升1.设F 为抛物线y 2=2x 的焦点,A ,B ,C 为抛物线上三点.若点F 为△ABC 的重心,则|FA |+|FB |+|FC |的值为( )A.1B.2C.3D.4,设点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),又焦x 1+x 2+x 3=3点F (12,0),所以×12=32,则|FA |+|FB |+|FC |=(x 1+12)+(x 2+12)+(x 3+12)=(x 1+x 2+x 3)+32=32+32=3.2.已知抛物线C :y 2=8x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上,且|AK|=2△AFK 的面积为( )|AF |,则A.4 B.8 C.16 D.32抛物线C :y 2=8x 的焦点为F (2,0),准线为 x=-2,∴K (-2,0).设A (x 0,y 0),如图,过点A 向准线作垂线,垂足为B ,则B (-2,y 0).∵|AK|=2|AF |,又|AF|=|AB|=x 0-(-2)=x 0+2,∴由|BK|2=|AK|2-|AB|2,8x 0=(x 0+2)2,得y 20=(x 0+2) 2,即解得x 0=2,y 0=±4.∴△AFK 的面积·|y 0|为12|KF |=12×4×4=8.3.已知双曲线y 24‒x 2=1的两条渐近线分别与抛物线y 2=2px (p >0)的准线相交于△OAB 的面积为1,则p 的值为( )A ,B 两点,O 为坐标原点.若A.1B .2C.22D.4y=±2x ,抛物线y 2=2px 的准线为x=线y 24‒x 2=1的渐近线为‒p 2,S △OAB p 渐近线与准线的交点为(-p 2,p ),(-p 2,-p ),所以=12×p2×2p =1,解得=2,B .故选4.已知抛物线x 2=2py (p>0)的焦点为F ,其准线与双曲线x 23‒y 23=1相交于A ,B 两点.若△ABF 为等边三角形,则p= .y=A ,B 的横坐标分别为x A ,x B ,则‒p 2,设|x A |2=|x B |2=3|AB|=|2x A |.+p 42,所以又焦点到准线的距离为p ,由等边三角形的特点得p p 2=32|AB |,即=34×4×(3+p 42)p=6.,解得5.已知过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点.若A ,B 在准线上的射影为A 1,B 1,则∠A 1FB 1= .,由抛物线定义知|AA 1|=|AF|,|BB 1|=|BF|,∴∠AA 1F=∠AFA 1,又∠AA 1F=∠A 1FO ,∴∠AFA 1=∠A 1FO ,同理∠BFB 1=∠B 1FO ,于是∠AFA 1+∠BFB 1=∠A 1FO+∠B 1FO=∠A 1FB 1.故∠A 1FB 1=90°.°★6.已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ,经过点F 的直线与抛物线相交于A ,B 两点,则以AB 为直径的圆在x 轴上所截得的弦长的最小值是 .直线AB 过焦点,∴以AB 为直径的圆与准线y=-1相切,∴当圆的半径最小时,在x 轴上截得弦长最小.又AB ⊥y 轴时最小,最小值为2p=4,∴圆的半径r=2,圆心即焦点到x 轴的距离为1,∴圆截x 轴所得弦长为2r 2-1=23.237. 如图,过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ,B 两点,交其准线于点C.若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,求此抛物线的方程.A ,B 分别作准线的垂线AA',BD ,垂足分别为点A',D ,则|BF|=|BD|.又2|BF|=|BC|,∴在Rt △BCD 中,∠BCD=30°.又|AF|=3,∴|AA'|=3,|AC|=6,|FC|=3.∴点F 到准线的距离p =12|FC |=32.∴y 2=3x.★8.已知过抛物线y 2=2px (p>0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB |=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC =OA +λOB ,求λ的值.直线AB 的方程是y=y 2=2px 联立,从而有4x 2-5px+p 2=0,22(x -p 2),与所以x 1+x 2=5p4.由抛物线定义得|AB|=x 1+x 2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y 2=8x.(2)由p=4,可知4x 2-5px+p 2=0可简化为x 2-5x+4=0,从而x 1=1,x 2=4,y 1=-22,y 2=42A (1,-,从而22),B (4,42).[设OC =(x 3,y 3)=(1,‒22)+λ(4,42)=(4λ+1,42λ‒22),又y 23=8x 3,即 2(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.2(2λ‒1)]2=8(4λ+1),即。

第二章 2.3-1抛物线A 级 基础巩固一、选择题1．若A 是定直线l 外一定点，则过点A 且与直线l 相切的圆的圆心轨迹为 ( D ) A ．直线 B ．椭圆 C ．线段D ．抛物线[解析] 因为圆过点A ，所以圆心到A 的距离为圆的半径；又圆与直线相切，所以圆心到直线的距离也等于圆的半径，且点A 是定直线l 外一定点，故圆心的轨迹为抛物线．2．如果抛物线y 2＝2px 的准线是直线x ＝－2，那么它的焦点坐标为 ( B ) A ．(1,0) B ．(2,0) C ．(3,0)D ．(－1,0)[解析] 因为准线方程为x ＝－2＝－p 2，所以焦点为(p2，0)，即(2,0)．3．(2016·贵州贵阳高二检测)抛物线x 2＝4y 的焦点到准线的距离为 ( C ) A ．12B ．1C ．2D ．4[解析] 抛物线x 2＝4y 中，P ＝2，∴焦点到准线的距离为2. 4．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是 ( C ) A ．(1,0) B ．⎝⎛⎭⎫14，0 C ．⎝⎛⎭⎫0，18 D ．⎝⎛⎭⎫0，14 [解析] 抛物线的标准方程为x 2＝12y ，∴p ＝14，且焦点在y 轴的正半轴上，故选C ．5．抛物线y 2＝4x 上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是 ( A ) A ．0 B ．1516C ．78D ．1716[解析] 设M (x 0，y 0)，则x 0＋1＝1，∴x 0＝0，∴y 0＝0.6．从抛物线y 2＝4x 图象上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线焦点为F ，则△MPF 的面积为 ( A )A ．10B ．8C ．6D ．4[解析] 设P (x 0，y 0)，∵|PM |＝5，∴x 0＝4，∴y 0＝±4， ∴S △MPF ＝12|PM |·|y 0|＝10.二、填空题7．若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝__2__，准线方程为__x ＝－1__. [解析] 本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程. 由p2＝1知p ＝2，则准线方程为x ＝－p2＝－1. 8．以双曲线x 216－y 29＝1的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是__y 2＝－20x __.[解析] ∵双曲线的左焦点为(－5,0)，故设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 又p ＝10，∴y 2＝－20x . 三、解答题9．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 任作一条直线，交抛物线于P 1、P 2两点，求证：以P 1P 2为直径的圆和该抛物线的准线相切.[证明] 设线段P 1P 2的中点为P 0，过P 1，P 2，P 0分别向准线l 引垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，Q 0，如图所示．根据抛物线的定义，得|P 1F |＝|P 1Q 1|，|P 2F |＝|P 2Q 2|.∴|P 1P 2|＝|P 1F |＋|P 2F |＝|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|. ∵P 1Q 1∥P 0Q 0∥P 2Q 2，|P 1P 0|＝|P 0P 2|， ∴|P 0Q 0|＝12(|P 1Q 1|＋|P 2Q 2|)＝12|P 1P 2|.由此可知，P 0Q 0是以P 1P 2为直径的圆P 0的半径，且P 0Q 0⊥l ，因此，圆P 0与准线相切．B 级 素养提升一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点重合，则该双曲线的离心率等于 ( B )A ． 2B ． 3C ．2D ．2 3[解析] ∵抛物线y 2＝43x 的焦点(3，0)为双曲线的右焦点，∴c ＝3， 又ba ＝2，结合a 2＋b 2＝c 2，得a ＝1，∴e ＝3，故选B ． 2．抛物线y 2＝8x 的焦点到直线x －3y ＝0的距离是 ( D ) A ．2 3 B ．2 C ． 3D ．1[解析] 本题考查了抛物线y 2＝2px 的焦点坐标及点到直线的距离公式．由y 2＝8x 可得其焦点坐标(2,0)，根据点到直线的距离公式可得d ＝|2－3×0|12＋(3)2＝1.3．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，则p 的值为 ( D )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[解析] 抛物线的焦点为F (p2，0)，椭圆中c 2＝6－2＝4，∴c ＝2，其右焦点为(2,0)，∴p2＝2，∴p ＝4.4．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为 ( C )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4[解析] 设P (x 0，y 0)，则由抛物线的焦半径公式得|PF |＝x 0＋2＝42，x 0＝32代入抛物线的方程，得|y 0|＝26，S △POF ＝12|y 0|·|OF |＝23，选A ，涉及到抛物线的焦点三角形问题，要考虑焦半径公式．5．(2015·绵阳二诊)若抛物线y 2＝2x 上一点M 到它的焦点F 的距离为32，O 为坐标原点，则△MFO 的面积为 ( B )A ．22B ．24C ．12D ．14[解析] 由题意知，抛物线准线方程为x ＝－12.设M (a ，b )，由抛物线的定义可知， 点M 到准线的距离为32，所以a ＝1，代入抛物线方程y 2＝2x ， 解得b ＝±2，所以S △MFO ＝12×12×2＝24.二、填空题6．点M (5,3)到抛物线x 2＝ay (a >0)的准线的距离为6，则抛物线的方程是__x 2＝12y __. [解析] 抛物线x 2＝ay 的准线方程为y ＝－a4，由题意得3－(－a4)＝6，∴a ＝12，∴x 2＝12y .7．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程是__y 2＝16x __.[解析] 依题意可知M 点到点F 的距离等于M 点到直线x ＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p ＝8，顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，∴其方程为y 2＝16x .三、解答题8．已知抛物线的焦点在x 轴上，抛物线上的点M (－3，m )到焦点的距离是5.求抛物线方程和m 的值.[解析] 解法一：∵抛物线焦点在x 轴上，且过点M (－3，m )，∴设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则焦点坐标F (－p2，0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p m 2＋(3－p 2)2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝4m ＝26，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4m ＝－26 .∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6. 解法二：设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)， 则焦点坐标F (－p 2，0)，准线方程x ＝p 2.由抛物线定义知，点M 到焦点的距离等于5， 即点M 到准线的距离等于5，则3＋p2＝5，∴p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .又点M (－3，m )在抛物线上， ∴m 2＝24，∴m ＝±26，∴所求抛物线方程为y 2＝－8x ，m ＝±2 6.C 级 能力提高1．一抛物线拱桥跨度为52 m ，拱顶离水面6.5 m ，一竹排上载有一宽4 m ，高6 m 的大木箱，则竹排__能__(填“能”或“不能”)安全通过.[解析] 如图所示建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py ，则有A (26，－6.5)， 设B (2，y )，由262＝－2p ×(－6.5)，得p ＝52， 所以抛物线方程为x 2＝－104y .当x ＝2时，4＝－104y ，所以y ＝－126，因为6.5－126>6，所以能安全通过．2．如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在坚直方向上高度之差至少要0.5 m ．若行驶车道总宽度AB为6 m，计算车辆通过隧道的限制高度是多少米？(精确到0.1 m)[解析]取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，C(4，－4)，设抛物线方程x2＝－2py(p>0)，将点C代入抛物线方程得p＝2，∴抛物线方程为x2＝－4y，行车道总宽度AB＝6 m，∴将x＝3代入抛物线方程，y＝－2.25 m，∴限度为6－2.25－0.5＝3.25 m则车辆通过隧道的限制高度是3.25米．。