新高考数学考点29 抛物线及其性质考点分类讲义练习题附解析2

新高考数学抛物线知识点抛物线作为数学中的重要概念之一，广泛应用于物理、工程等领域。

在新高考数学考试中，抛物线也是一个重要的知识点。

本文将以新高考数学为背景，探讨抛物线的相关概念、性质和应用。

1. 抛物线的定义与基本方程抛物线是在平面上以某一点为焦点，与一条与焦点不重合的直线相切的点的轨迹。

在直角坐标系中，抛物线的方程是$y=ax^2+bx+c$，其中$(a\neq 0)$。

2. 抛物线的几何性质（1）焦点与准线：抛物线上的每一点到焦点的距离与该点到准线的距离相等。

准线是抛物线对称轴上的一条水平直线。

（2）对称性：抛物线关于准线对称。

（3）定点：抛物线上的顶点是准线与抛物线的交点，也是抛物线的最值点。

（4）开口方向：抛物线开口的方向取决于二次项系数$a$的正负。

当$a>0$时，抛物线开口向上；当$a<0$时，抛物线开口向下。

3. 抛物线的相关公式（1）焦距公式：焦距$f=\dfrac{1}{4|a|}$。

焦点到准线的距离等于焦点到抛物线顶点的距离。

（2）焦点坐标：焦点的坐标为$(0, \dfrac{1}{4|a|})$。

（3）顶点坐标：抛物线的顶点坐标为$(-\dfrac{b}{2a},\dfrac{4ac-b^2}{4a})$。

（4）准线方程：准线的方程为$y=-\dfrac{1}{4a}$。

4. 抛物线的应用抛物线作为一种强大的数学工具，在实际生活中有着广泛的应用。

（1）物理学中的应用：抛物线可以用来描述自由落体和抛体运动的轨迹。

例如，投掷物体的运动轨迹可以近似为一个抛物线。

（2）工程学中的应用：抛物线在工程设计中有着重要的应用，如天桥的设计、悬索桥的设计等。

通过抛物线的性质和公式，工程师可以合理地设计结构，使得建筑物的受力分布更加均匀并且美观。

（3）经济学中的应用：抛物线可以用来描述成本和利润之间的关系。

例如，在经济学中，经济学家经常使用抛物线来分析成本与产量之间的关系，并确定生产的最佳产量。

抛物线y22px y22px x22py x22py(p0)(p0)(p0)(p0)y y yy l l lF OxOF x F O xO x Fl定义范围对称性焦点顶点离心率准线方程顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A(x1,y1)焦点弦长AB平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。

{MMF=点M 到直线l 的距离}x0,y R x0,y R xR,y 0 xR,y 0关于x 轴对称关于y 轴对称(p,0) ( p,0)(0,p)(0, p )2222焦点在对称轴上 O(0,0) e=1pxpppxy2 y222准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。

p 2 ppAFppAFpAFx 1x 1AFy 1y 12222(x 1 x 2) p (y 1 y 2) p (y 1 y 2) p (x1 x2) p焦点弦AB的几条性质A(x1,y1)假设AB的倾斜角为B(x2,y2)切线y0yp(xx0)方程yAx1,y1o Fxx2,y2以AB为直径的圆必与准线l相切，那么AB2p假设AB的倾斜角为，那么2p sin2ABcos2 x1x2p224y1y2p11AFBF AB2AF BF AF?BF AF?BF py0y p(xx0)x0xp(yy0)x0x p(yy0)一．直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，，消y 得：〔1〕当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，有一个交点；〔2〕当k≠0时，＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点；=0，直线l与抛物线相切，一个切点；＜0，直线l与抛物线相离，无公共点。

〔3〕假设直线与抛物线只有一个公共点 ,那么直线与抛物线必相切吗?〔不一定〕二．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线l：y kxb抛物线，(p0)①联立方程法：y kx bk2x22(kbp)xb20y22px设交点坐标为(,y1),B(x2,y2)，那么有0,以及x1x2,x1x2，还可进一步求出Ax1y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2b，y1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方相交弦AB的弦长AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k2a或AB11y211(y1y2)24y1y21k2k2y1k2ab.中点M(x0,y0),x0x1x2，y0y1y222②点差法：设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，代入抛物线方程，得y122px1y222px2将两式相减，可得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)y1y22px1x2y1y2a. 在涉及斜率问题时，k AB2py1y2在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，y1y22p2p p，x1x2y1y22y0y0即k AB p，y0同理，对于抛物线x22py(p0)，假设直线l与抛物线相交于A、B两点，点M(x0,y0)是弦AB的中点，那么有k ABx1x22x0x02p2p p〔注意能用这个公式的条件：1〕直线与抛物线有两个不同的交点，2〕直线的斜率存在，且不等于零〕抛物线练习及答案1、点P在抛物线y2=4x上，那么点 P到点Q〔2，－1〕的距离与点 P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为。

抛物线姓名：___________ 班级：________________ 得分：________________知识点回顾：1、定义：把平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F ）距离相等的点的轨迹叫做 ，点F 叫做抛物线的 ,直线l 叫做抛物线的 。

2、椭圆的简单几何性质3、抛物线焦点弦性质直线过抛物线px y 22=的焦点与抛物线交于()()2211,,,y x B y x A 两点（1）221221,4p y y p x x -== （2）)(sin 2221的倾斜角为直线AB p p x x AB αα=++= （3）PFB FA 211=+ （4）以弦AB 为直径的圆与准线相切 考点一: 定义和标准方程[例1]设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点．(1) 求点P 到点A (－1,1) 的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值； (2) 若B (3,2)，求 |PB |＋|PF | 的最小值．练习1：已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点M （－3，m ）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m 的值．归纳:运用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化．“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”。

考点二: 抛物线性质[例2] (2013·四川高考)抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是_____________.练习1：抛物线214y x =-的焦点坐标是（ ）． A 1016⎛⎫ ⎪⎝⎭， B 1016⎛⎫-⎪⎝⎭， C (01)-，D (10)-， 练习2：抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 （ ）A （1，1）B ．（） C ． D ．（2，4）归纳（1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．（2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解． 考点三: 抛物线与直线[例3] (2012·福建高考)如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py ( p >0)上． (1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q .证明以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．2x y =042=--y x 41,21)49,23(练习1：已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p >0)相交于B ，C 两点．当直线l 的斜率是12时， ＝4 . (1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．课后练习：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2、圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）A ．x 2+ y 2-x -2 y -=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +=0 3、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．mB ． 2mC ．4.5mD ．9m4、平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x5、抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ） A ． y 2=-2x B ． y 2=-4x C ． y 2=2x D ． y 2=-4x 或y 2=-36x6、过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|=（ ） A ．8B ．10C ．6D ．47、把与抛物线y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量a 平移，所得的曲线的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．8、过点M （2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有 （ ） A ．0条 B ．1条 C ．2条 D ．3条9、过抛物线y =ax 2(a >0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则等于（ ） A ．2aB ．C ．4aD ．414166)3,2(-=)2(4)3(2--=-x y )2(4)3(2+-=-x y )2(4)3(2--=+x y )2(4)3(2+-=+x y qp 11+a21a4二、解答题10、过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明： ·<2p 2； (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为755，求抛物线E 的方程．11、(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．12、已知直线y ＝－2上有一个动点Q ，过点Q 作直线l 1垂直于x 轴，动点P 在l 1上，且满足OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，记点P 的轨迹为C .(1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2是曲线C 的一条切线，当点(0,2)到直线l 2的距离最短时，求直线l 2的方程．。

9.4 抛物线及其性质考点一 抛物线的定义及标准方程1.(2015浙江理,5,5分)如图,设抛物线y 2=4x 的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B 在抛物线上,点C 在y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF|−1|AF|−1B.|BF|2−1|AF|2−1C.|BF|+1|AF|+1D.|BF|2+1|AF|2+1答案 A 过A,B 点分别作y 轴的垂线,垂足分别为M,N, 则|AM|=|AF|-1,|BN|=|BF|-1. 可知S △BCFS △ACF= 12·|CB|·|CF|·sin ∠BCF 12·|CA|·|CF|·sin ∠BCF=|CB||CA|=|BN||AM| =|BF|−1|AF|−1,故选A.2.(2014课标Ⅰ理,10,5分)已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F,准线为l,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点.若FP ⃗⃗⃗⃗ =4FQ⃗⃗⃗⃗ ,则|QF|=( ) A.72B.3C.52D.2答案 B ∵FP⃗⃗⃗⃗ =4FQ ⃗⃗⃗⃗ ,∴点Q 在线段PF 上,且在两端点之间,过Q 作QM ⊥l,垂足为M,由抛物线定义知|QF|=|QM|,设抛物线的准线l 与x 轴的交点为N,则|FN|=4,又易知△PQM ∽△PFN,则|QM||FN|=|PQ||PF|,即|QM|4=34.∴|QM|=3,即|QF|=3.故选B.3.(2014课标Ⅰ文,10,5分)已知抛物线C:y 2=x 的焦点为F,A(x 0,y 0)是C 上一点,|AF|=54x 0,则x 0=( ) A.1 B.2 C.4 D.8答案 A 由y 2=x 得2p=1,即p=12,因此焦点F (14,0),准线方程为l:x=-14,设A 点到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x 0+14=54x 0,解得x 0=1,故选A.评析 本题考查抛物线的定义及标准方程,将|AF|转化为点A 到准线的距离是解题的关键.4.(2013课标Ⅱ理,11,5分)设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A.y 2=4x 或y 2=8x B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16x D.y 2=2x 或y 2=16x答案 C ∵以MF 为直径的圆过点(0,2),∴点M 在第一象限.由|MF|=x M +p2=5得M (5−p 2,√2p (5−p2)).从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为(52,12√2p (5−p2)), ∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y 轴切于点(0,2),从而2=12√2p (5−p2),即p 2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y 2=4x 或y 2=16x.故选C.5.(2013课标Ⅱ文,10,5分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,直线l 过F 且与C 交于A,B 两点.若|AF|=3|BF|,则l 的方程为( ) A.y=x-1或y=-x+1 B.y=√33(x-1)或y=-√33(x-1)C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)D.y=√22(x-1)或y=-√22(x-1)答案 C 设直线AB 与抛物线的准线x=-1交于点C.分别过A,B 作AA 1,BB 1垂直于准线于A 1,B 1.由抛物线的定义可设|BF|=|BB 1|=t,|AF|=|AA 1|=3t.由三角形的相似得|BC||AB|=|BC|4t =12, ∴|BC|=2t,∴∠B 1CB=π6,∴直线l 的倾斜角α=π3或23π.又F(1,0),∴直线AB 的方程为y=√3(x-1)或y=-√3(x-1).故选C.6.(2012四川理,8,5分)已知抛物线关于x 轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y 0).若点M 到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=( ) A.2√2 B.2√3 C.4 D.2√5 答案 B 由题意可设抛物线方程为y 2=2px(p>0).由|MF|=p 2+2=3得p=2,∴抛物线方程为y 2=4x.∴点M 的坐标为(2,±2√2),∴|OM|=√4+8=2√3, 故选B.7.(2011课标文,9,5分)已知直线l 过抛物线C 的焦点,且与C 的对称轴垂直,l 与C 交于A,B 两点,|AB|=12,P 为C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 答案 C 设抛物线方程为y 2=2px(p>0).∵当x=p 2时,|y|=p, ∴p=|AB|2=122=6. 又P 到AB 的距离始终为p, ∴S △ABP =12×12×6=36.评析 本题主要考查抛物线的定义、抛物线方程等相关知识,明确准线上任一点到直线l 的距离为p.8.(2017山东,理14,文15,5分)在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py(p>0)交于A,B 两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 .答案 y=±√22x解析 本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法. 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4×p 2=y 1+p 2+y 2+p 2,即y 1+y 2=p ①.由{x 2=2py,x 2a 2−y 2b 2=1消去x,得a 2y 2-2pb 2y+a 2b 2=0,所以y 1+y 2=2pb 2a 2②.由①②可得b a =√22,故双曲线的渐近线方程为y=±√22x.思路分析 由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y 1+y 2的值(用p 表示).再联立双曲线和抛物线的方程,消去x 得关于y 的一元二次方程,由根与系数的关系得y 1+y 2.从而得b a的值,近而得渐近线方程.解题关键 求渐近线方程的关键是求ba的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|AF|、|BF|为焦半径,因此应利用焦半径公式求解.又A 、B 为两曲线的交点,因此应联立它们的方程求解.这样利用y 1+y 2这个整体来建立等量关系便可求解.9.(2012陕西理,13,5分)如图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽 米.答案 2√6解析 建立坐标系如图所示.则抛物线方程为x 2=-2py.∵点A(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x 2=-2y.当y=-3时,x=±√6.∴水位下降1米后,水面宽为2√6米.评析 本题考查了解析法在实际问题中的运用.坐标运算是解题的关键.10.(2016浙江,9,4分)若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10,则M 到y 轴的距离是 . 答案 9解析 设M(x 0,y 0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x 0+1=10,∴x 0=9,即点M 到y 轴的距离为9.考点二 抛物线的几何性质1.(2016课标Ⅱ文,5,5分)设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,曲线y=k x(k>0)与C 交于点P,PF ⊥x 轴,则k=( ) A.12 B.1 C.32D.2答案 D 由题意得点P 的坐标为(1,2).把点P 的坐标代入y=k x(k>0)得k=1×2=2,故选D. 评析 利用垂直得到点P 的坐标是求解的关键.2.(2015课标Ⅰ文,5,5分)已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C:y 2=8x 的焦点重合,A,B 是C 的准线与E 的两个交点,则|AB|=( ) A.3 B.6 C.9 D.12答案 B 抛物线C:y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),准线方程为x=-2.从而椭圆E 的半焦距c=2.可设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),因为离心率e=c a =12,所以a=4,所以b 2=a 2-c 2=12.由题意知|AB|=2b 2a =2×124=6.故选B.评析 本题考查了椭圆、抛物线的方程和性质,运算失误容易造成失分.3.(2015陕西文,3,5分)已知抛物线y 2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1)答案 B 抛物线y 2=2px(p>0)的准线方程为x=-p2,由题设知-p 2=-1,即p 2=1,所以焦点坐标为(1,0).故选B.4.(2014安徽文,3,5分)抛物线y=14x 2的准线方程是( )A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案 A 由y=14x 2得x 2=4y,焦点在y 轴正半轴上,且2p=4,即p=2,因此准线方程为y=-p 2=-1.故选A.5.(2013四川文,5,5分)抛物线y 2=8x 的焦点到直线x-√3y=0的距离是( )A.2√3B.2C.√3D.1答案 D 由抛物线方程知2p=8⇒p=4,故焦点F(2,0),由点到直线的距离公式知,F 到直线x-√3y=0的距离d=√3×0|√1+3=1.故选D.评析 考查抛物线的方程及其性质、点到直线的距离公式,考查运算求解能力.6.(2012课标理,8,5分)等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线y 2=16x 的准线交于A,B 两点,|AB|=4√3,则C 的实轴长为( ) A.√2 B.2√2 C.4 D.8 答案 C 如图,AB 为抛物线y 2=16x 的准线,由题意可得A(-4,2√3).设双曲线C 的方程为x 2-y 2=a 2(a>0),则有16-12=a 2,故a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析 本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a. 7.(2016课标Ⅰ,10,5分)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A,B 两点,交C 的准线于D,E 两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8答案 B 不妨设C:y 2=2px(p>0),A(x 1,2√2),则x 1=(2√2)22p =4p ,由题意可知|OA|=|OD|,得(4p )2+8=(p 2)2+5,解得p=4.故选B.思路分析 设出抛物线C 的方程,根据已知条件得出点A 的坐标,利用|OA|=|OD|建立关于p 的方程,解方程得出结论.8.(2017课标Ⅰ理,10,5分)已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A,B 两点,直线l 2与C 交于D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10答案 A 如图所示,设直线AB 的倾斜角为θ,过A,B 分别作准线的垂线,垂足为A 1,B 1,则|AF|=|AA 1|,|BF|=|BB 1|,过点F 向AA 1引垂线FG,得|AG||AF|=|AF|−p|AF|=cos θ, 则|AF|=p 1−cosθ,同理,|BF|=p1+cosθ,则|AB|=|AF|+|BF|=2p sin 2θ,即|AB|=4sin 2θ, 因l 1与l 2垂直,故直线DE 的倾斜角为θ+π2或θ-π2, 则|DE|=4cos 2θ,则|AB|+|DE|=4sin 2θ+4cos 2θ=4sin 2θcos 2θ=4(12sin2θ)2=16sin 22θ, 则易知|AB|+|DE|的最小值为16.故选A. 方法总结 利用几何方法求抛物线的焦半径.如图,在抛物线y 2=2px(p>0)中,AB 为焦点弦,若AF 与抛物线对称轴的夹角为θ,则在△FEA 中,cos θ=cos ∠EAF=|AE||AF|=|AF|−p|AF|, 则可得到焦半径|AF|=p 1−cosθ,同理,|BF|=p1+cosθ,熟悉这种求抛物线焦半径的方法,对于求抛物线的焦点弦长,焦点弦中的定值,如:1|AF|+1|BF|=2p等的帮助很大.9.(2015四川理,10,5分)设直线l 与抛物线y 2=4x 相交于A,B 两点,与圆(x-5)2+y 2=r 2(r>0)相切于点M,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是( ) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)答案 D 当直线AB 的斜率不存在,且0<r<5时,有两条满足题意的直线l.当直线AB 的斜率存在时,由抛物线与圆的对称性知,k AB >0和k AB <0时各有一条满足题意的直线l. 设圆的圆心为C(5,0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0),则x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22, ∴k AB =y 2−y 1x 2−x 1=y 2−y 1y 224−y 124=2y 0. ∵k CM =y 0x 0−5,且k AB k CM =-1,∴x 0=3.∴r 2=(3-5)2+y 02>4(∵y 0≠0),即r>2. 另一方面,由AB 的中点为M 知B(6-x 1,2y 0-y 1), ∵点B,A 在抛物线上,∴(2y 0-y 1)2=4(6-x 1),①y 12=4x 1,② 由①,②得y 12-2y 0y 1+2y 02-12=0, ∵Δ=4y 02-4(2y 02-12)>0,∴y 02<12. ∴r 2=(3-5)2+y 02=4+y 02<16,∴r<4. 综上,r ∈(2,4),故选D.10.(2014课标Ⅱ文,10,5分)设F 为抛物线C:y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点,则|AB|=( ) A.√303B.6C.12D.7√3答案 C 焦点F 的坐标为(34,0),直线AB 的斜率为√33,所以直线AB 的方程为y=√33(x −34),即y=√33x-√34,代入y 2=3x,得13x 2-72x+316=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2), 则x 1+x 2=212, 所以|AB|=x 1+x 2+32=212+32=12,故选C. 11.(2018课标Ⅲ理,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y 2=4x,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点.若∠AMB=90°,则k= .答案 2解析 本题考查抛物线的几何性质及应用.解法一:由题意可知C 的焦点坐标为(1,0),所以过焦点(1,0),斜率为k 的直线方程为x=yk+1,设A (y 1k+1,y 1),B (y 2k +1,y 2),将直线方程与抛物线方程联立得{x =yk +1,y 2=4x,整理得y 2-4k y-4=0,从而得y 1+y 2=4k,y 1·y 2=-4.∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴MA⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(y 1k +2)·(y 2k+2)+(y 1-1)(y 2-1)=0,即k 2-4k+4=0,解得k=2. 解法二:设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{y 12=4x 1,①y 22=4x 2,②②-①得y 22-y 12=4(x 2-x 1),从而k=y 2−y 1x 2−x 1=4y 1+y 2. 设AB 的中点为M',连接MM'.∵直线AB 过抛物线y 2=4x 的焦点,∴以线段AB 为直径的☉M'与准线l:x=-1相切. ∵M(-1,1),∠AMB=90°,∴点M 在准线l:x=-1上,同时在☉M'上, ∴准线l 是☉M'的切线,切点为M,且M'M ⊥l, 即MM'与x 轴平行,∴点M'的纵坐标为1,即y 1+y 22=1⇒y 1+y 2=2, 故k=4y 1+y 2=42=2.疑难突破 运用转化思想,采用“设而不求”的方法来解决直线与抛物线的相交问题.12.(2013浙江理,15,4分)设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过点P(-1,0)的直线l 交抛物线C 于A,B 两点,点Q 为线段AB 的中点.若|FQ|=2,则直线l 的斜率等于 . 答案 ±1解析设直线AB方程为x=my-1,A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线和抛物线方程,整理得,y2-4my+4=0,由根与系数关系得y1+y2=4m,y1·y2=4.故Q(2m2-1,2m).由|FQ|=2知:√(2m)2+(2m2−1−1)2=2,解得m2=1或m2=0(舍去),故直线l的斜率等于±1(此时直线AB与抛物线相切,为满足题意的极限情况).13.(2018北京文,10,5分)已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为.答案(1,0)解析本题主要考查抛物线的性质,弦长的计算.由题意得a>0,设直线l与抛物线的两交点分别为A,B,不妨令A在B的上方,则A(1,2√a),B(1,-2√a),故|AB|=4√a=4,得a=1,故抛物线方程为y2=4x,其焦点坐标为(1,0).14.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y-√3)2=1解析本题主要考查抛物线的几何性质,圆的方程.由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1,因为∠FAC=120°,CA⊥y轴,所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,所以OA=√3,即t=√3,故圆C的方程为(x+1)2+(y-√3)2=1.方法总结求圆的方程常用的方法为待定系数法,根据题意列出关于三个独立参数a,b,r(或D,E,F)的方程组,从而得到参数的值,写出圆的方程.若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长,常把圆的方程设为标准形式,同时应考虑数形结合思想的运用.15.(2014陕西文,11,5分)抛物线y 2=4x 的准线方程为 .答案 x=-1解析 由抛物线方程知p=2,故该抛物线的准线方程为x=-p 2=-1.故填x=-1.16.(2018课标Ⅰ文,20,12分)设抛物线C:y 2=2x,点A(2,0),B(-2,0),过点A 的直线l 与C 交于M,N 两点.(1)当l 与x 轴垂直时,求直线BM 的方程;(2)证明:∠ABM=∠ABN.解析 (1)当l 与x 轴垂直时,l 的方程为x=2,可得M 的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM 的方程为y=12x+1或y=-12x-1.(2)当l 与x 轴垂直时,AB 为MN 的垂直平分线,所以∠ABM=∠ABN.当l 与x 轴不垂直时,设l 的方程为y=k(x-2)(k ≠0),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1>0,x 2>0.由{y =k(x −2),y 2=2x得ky 2-2y-4k=0,可知y 1+y 2=2k,y 1y 2=-4. 直线BM,BN 的斜率之和为k BM +k BN =y 1x 1+2+y 2x 2+2=x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)(x 1+2)(x 2+2).① 将x 1=y 1k+2,x 2=y2k +2及y 1+y 2,y 1y 2的表达式代入①式分子,可得x 2y 1+x 1y 2+2(y 1+y 2)=2y 1y 2+4k(y 1+y 2)k =−8+8k =0. 所以k BM +k BN =0,可知BM,BN 的倾斜角互补,所以∠ABM=∠ABN.综上,∠ABM=∠ABN.方法总结 直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型及解题策略:(1)求直线方程.先寻找确定直线的两个条件.若缺少一个可设出此量,利用题设条件寻找关于该量的方程,解方程即可.(2)求线段长度或线段之积(和)的最值.可依据直线与圆锥曲线相交,利用弦长公式求出弦长或弦长关于某个量的函数,然后利用基本不等式或函数的有关知识求其最值;也可利用圆锥曲线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离.(3)证明题.圆锥曲线中的证明问题多涉及定点、定值、角相等、线段相等、点在定直线上等,有时也涉及一些否定性命题,常采用直接法或反证法给予证明.借助于已知条件,将直线与圆锥曲线联立,寻找待证明式子的表达式,结合根与系数的关系及整体代换思想化简即可得证.失分警示 (1)由于忽略点M,N 位置的转换性,使直线BM 方程缺失,从而导致失分;(2)由于不能将“∠ABM=∠ABN ”正确转化为“k BM +k BN =0”进行证明,从而思路受阻,无法完成后续内容.17.(2017课标Ⅰ文,20,12分)设A,B 为曲线C:y=x 24上两点,A 与B 的横坐标之和为4. (1)求直线AB 的斜率;(2)设M 为曲线C 上一点,C 在M 处的切线与直线AB 平行,且AM ⊥BM,求直线AB 的方程.解析 本题考查直线与抛物线的位置关系.(1)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≠x 2,y 1=x 124,y 2=x 224,x 1+x 2=4, 于是直线AB 的斜率k=y 1−y 2x 1−x 2=x 1+x 24=1. (2)由y=x 24,得y'=x 2,设M(x 3,y 3),由题设知x 32=1,解得x 3=2,于是M(2,1).设直线AB 的方程为y=x+m,故线段AB 的中点为N(2,2+m),|MN|=|m+1|.将y=x+m 代入y=x 24得x 2-4x-4m=0. 当Δ=16(m+1)>0,即m>-1时,x 1,2=2±2√m +1.从而|AB|=√2|x 1-x 2|=4√2(m +1).由题设知|AB|=2|MN|,即4√2(m +1)=2(m+1),解得m=7.所以直线AB 的方程为y=x+7.方法总结 (1)直线与抛物线的位置关系点差法:在已知“x 1+x 2”或“y 1+y 2”的值,求直线l 的斜率时,利用点差法计算,在很大程度上减少运算过程中的计算量.(2)直线与圆锥曲线的位置关系已知直线与圆锥曲线相交,求参数时,一般联立直线与圆锥曲线的方程,消元后利用韦达定理,结合已知列方程求解参数.求弦长时,可通过弦长公式|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2·√(x 1+x 2)2−4x 1x 2或|AB|=√1+1k 2·|y 1-y 2|=√1+1k 2·√(y 1+y 2)2−4y 1y 2(k ≠0)求解.18.(2016课标Ⅰ文,20,12分)在直角坐标系xOy 中,直线l:y=t(t ≠0)交y 轴于点M,交抛物线C:y 2=2px(p>0)于点P,M 关于点P 的对称点为N,连接ON 并延长交C 于点H.(1)求|OH||ON|; (2)除H 以外,直线MH 与C 是否有其他公共点?说明理由.解析 (1)由已知得M(0,t),P (t 22p,t ).(1分) 又N 为M 关于点P 的对称点,故N (t 2p ,t ),ON 的方程为y=p t x,代入y 2=2px 整理得px 2-2t 2x=0,解得x 1=0,x 2=2t 2p. 因此H (2t 2p,2t ).(4分) 所以N 为OH 的中点,即|OH||ON|=2.(6分) (2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点.(7分)理由如下:直线MH 的方程为y-t=p 2t x,即x=2t p(y-t).(9分)代入y 2=2px 得y 2-4ty+4t 2=0,解得y 1=y 2=2t,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点.(12分)方法总结 将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题. 评析 本题考查了直线与抛物线的位置关系,考查了运算求解能力.得到交点的坐标是求解的关键.19.(2012课标理,20,12分)设抛物线C:x 2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A 为C 上一点,已知以F 为圆心,FA 为半径的圆F 交l 于B,D 两点.(1)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为4√2,求p 的值及圆F 的方程;(2)若A,B,F 三点在同一直线m 上,直线n 与m 平行,且n 与C 只有一个公共点,求坐标原点到m,n 距离的比值.解析 (1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F 的半径|FA|=√2p.由抛物线定义可知A 到l 的距离d=|FA|=√2p.因为△ABD 的面积为4√2,所以12|BD|·d=4√2,即12·2p ·√2p=4√2,解得p=-2(舍去)或p=2.所以F(0,1),圆F 的方程为x 2+(y-1)2=8. (2)因为A,B,F 三点在同一直线m 上,所以AB 为圆F 的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,所以∠ABD=30°,m 的斜率为√33或-√33. 当m 的斜率为√33时,由已知可设n:y=√33x+b,代入x 2=2py 得x 2-2√33px-2pb=0. 由于n 与C 只有一个公共点,故Δ=43p 2+8pb=0, 解得b=-p 6.因为m 的截距b 1=p 2,|b 1||b|=3,所以坐标原点到m,n 距离的比值为3. 当m 的斜率为-√33时,由图形的对称性可知,坐标原点到m,n 距离的比值也为3.评析 本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.。

一． 直线与抛物线的位置关系 直线，抛物线，，消y 得：（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定）二． 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：b kx y += 抛物线，)0( p① 联立方程法：⎩⎨⎧=+=pxy bkx y 22⇒0)(2222=+-+b x p kb x k 设交点坐标为),(11y x A ,),(22y x B ，则有0 ∆,以及2121,x x x x +，还可进一步求出bx x k b kx b kx y y 2)(212121++=+++=+，2212122121)())((b x x kb x x k b kx b kx y y +++=++=在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 1. 相交弦AB 的弦长2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=ak ∆+=21 或 2122122124)(1111y y y y k y y k AB -++=-+=ak ∆+=21 b. 中点),(00y x M , 2210x x x +=， 2210y y y += ② 点差法：设交点坐标为),(11y x A ，),(22y x B ，代入抛物线方程，得1212px y = 2222px y = 将两式相减，可得)(2))((212121x x p y y y y -=+-2121212y y px x y y +=--a. 在涉及斜率问题时，212y y pk AB +=b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为),(00y x M ，021*******y py p y y p x x y y ==+=--， 即0y p k AB =， 同理，对于抛物线)0(22≠=p py x ，若直线l 与抛物线相交于B A 、两点，点),(00y x M 是弦AB 的中点，则有px p x p x x k AB 0021222==+=（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点P 在抛物线y 2= 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 。

高中数学高考总复习抛物线习题(附参考答案)一、选择题1．(2010·湖北黄冈)若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1 的右焦点重合，则p 的值为( )A ．－2B ．2C ．－4D ．4[答案] D[解析] 椭圆中，a 2＝6，b 2＝2，∴c ＝a 2－b 2＝2， ∴右焦点(2,0)，由题意知p2＝2，∴p ＝4.2．已知点M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上 的一点，F 为抛物线 的焦点，若以|MF |为直径作圆，则这个圆与y 轴 的关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．以上三种情形都有可能[答案] B[解析] 如图，由MF 的中点A 作准线l 的垂线AE ，交直线l 于点E ，交y 轴于点B ；由点M 作准线l 的垂线MD ，垂足为D ，交y 轴于点C ，则MD ＝MF ，ON ＝OF ， ∴AB ＝OF ＋CM 2＝ON ＋CM2＝DM 2＝MF 2， ∴这个圆与y 轴相切．3．(2010·山东文)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过焦点且斜率为1 的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点 的纵坐标为2，则该抛物线 的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2[答案] B[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点(x 1＋x 22，y 1＋y 22)，∴y 1＋y 22＝2，∵A 、B 在抛物线y 2＝2px 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1 ①y 22＝2px 2 ② ①－②得y 12－y 22＝2p (x 1－x 2)，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝p 2，∵k AB ＝1，∴，p ＝2∴抛物线方程为y 2＝4x ，∴准线方程为：x ＝－1，故选B.4．双曲线x 29－y 24＝1 的渐近线上一点A 到双曲线 的右焦点F 的距离等于2，抛物线y 2＝2px (p >0)过点A ，则该抛物线 的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝4xC ．y 2＝41313xD ．y 2＝21313x[答案] C[解析] ∵双曲线x 29－y 24＝1 的渐近线方程为y ＝±23x ，F 点坐标为(13，0)，设A 点坐标为(x ，y )，则y ＝±23x ，由|AF |＝2⇒(x －13)2＋⎝⎛⎭⎫23x 2＝2⇒x ＝913，y ＝±613，代入y 2＝2px 得p ＝21313，所以抛物线方程为y 2＝41313x ，所以选C.5．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上 的一个动点，则点P 到点(0,2) 的距离与点P 到该抛物线准线 的距离之和 的最小值为( )A.172B ．3 C. 5D.92[答案] A[解析] 记抛物线y 2＝2x 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫12，0，准线是l ，由抛物线 的定义知点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离，因此要求点P 到点(0,2) 的距离与点P 到抛物线 的准线 的距离之和 的最小值，可以转化为求点P 到点(0,2) 的距离与点P 到焦点F 的距离之和 的最小值，结合图形不难得知相应 的最小值就等于焦点F 与点(0,2) 的距离，因此所求 的最小值等于⎝⎛⎭⎫122＋22＝172，选A.6．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上 的点A 作准线l 的垂线，垂足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点) 的面积之比为31，则点A 的坐标为()A．(2,22) B．(2，－22)C．(2，±2) D．(2，±22)[答案] D[解析]如图，由题意可得，|OF|＝1，由抛物线定义得，|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点) 的面积之比为3∶1，∴S△AMFS△AOF＝12×|AF|×|AM|×sin∠MAF12×|OF|×|AF|×sin(π－∠MAF)＝3，∴|AM|＝3，设A⎝⎛⎭⎫y024，y0，∴y024＋1＝3，解得y0＝±22，∴y024＝2，∴点A的坐标是(2，±22)，故选D.7．(2010·河北许昌调研)过点P(－3,1)且方向向量为a＝(2，－5) 的光线经直线y＝－2反射后通过抛物线y2＝mx，(m≠0) 的焦点，则抛物线的方程为()A．y2＝－2x B．y2＝－32xC．y2＝4x D．y2＝－4x[答案] D[解析]设过P(－3,1)，方向向量为a＝(2，－5) 的直线上任一点Q(x，y)，则PQ→∥a，∴x＋32＝y－1－5，∴5x＋2y＋13＝0，此直线关于直线y＝－2对称的直线方程为5x＋2(－4－y)＋13＝0，即5x－2y＋5＝0，此直线过抛物线y2＝mx的焦点F⎝⎛⎭⎫m4，0，∴m＝－4，故选D.8．已知mn≠0，则方程是mx2＋ny2＝1与mx＋ny2＝0在同一坐标系内的图形可能是()[答案] A[解析] 若mn >0，则mx 2＋ny 2＝1应为椭圆，y 2＝－mn x 应开口向左，故排除C 、D ；∴mn <0，此时抛物线y 2＝－mnx 应开口向右，排除B ，选A.9．(2010·山东聊城模考)已知A 、B 为抛物线C ：y 2＝4x 上 的不同两点，F 为抛物线C 的焦点，若F A →＝－4FB →，则直线AB 的斜率为( )A ．±23B ．±32C ．±34D ．±43[答案] D[解析] ∵F A →＝－4FB →，∴|F A →|＝4|FB →|，设|BF |＝t ，则|AF |＝4t ，∴|BM |＝|AA 1|－|BB 1|＝|AF |－|BF |＝3t ，又|AB |＝|AF |＋|BF |＝5t ，∴|AM |＝4t ，∴tan ∠ABM ＝43，由对称性可知，这样 的直线AB 有两条，其斜率为±43.10．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过点A (0，－4)和点B (t,0) 的直线与抛物线C 没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－22)∪(2，＋∞) [答案] B[解析] 由题意知方程组⎩⎨⎧x 2＝12y ①x t ＋y－4＝1 ②无实数解由②得y ＝4xt －4，代入①整理得，2x 2－4x t ＋4＝0，∴Δ＝16t 2－32<0，∴t >22或t <－22，故选B. [点评] 可用数形结合法求解，设过点A (0，－4)与抛物线x 2＝12y 相切 的直线与抛物线切点为M (x 0，y 0)，则切线方程为y －y 0＝4x 0(x －x 0)， ∵过A 点，∴－4－2x 02＝4x 0(0－x 0)， ∴x 0＝±2，∴y 0＝4，∴切线方程为y －4＝±42x －8， 令y ＝0得x ＝±22，即t ＝±22，由图形易知直线与抛物线无公共点时，t <－22或t >22. 二、填空题11．已知点A (2,0)、B (4,0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 上运动，则AP →·BP →取得最小值时 的点P 的坐标是______．[答案] (0,0)[解析] 设P ⎝⎛⎭⎫－y 24，y ，则AP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2，y ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－4，y ，AP →·BP →＝⎝⎛⎭⎫－y 24－2⎝⎛⎭⎫－y 24－4＋y 2＝y 416＋52y 2＋8≥8，当且仅当y ＝0时取等号，此时点P 的坐标为(0,0)．12．(文)(2010·泰安市模拟)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0) 的焦点F 作倾斜角为60° 的直线l ，交抛物线于A 、B 两点，且|F A |＝3，则抛物线 的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 设抛物线准线为l ，作AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，FQ ⊥l ，垂足分别为A 1、B 1、Q ，作BM ⊥AA 1垂足为M ，BM 交FQ 于N ，则由条件易知∠ABM ＝30°，设|BF |＝t ，则|NF |＝t2，|MA |＝t ＋32，∵|AM |＝|QN |，∴3－t ＋32＝p －t 2，∴p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .(理)(2010·泰安质检)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0) 的焦点 的直线l 依次交抛物线及其准线于点A 、B 、C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则抛物线 的方程是________．[答案] y 2＝3x[解析] 解法1：过A 、B 作准线垂线，垂足分别为A 1，B 1，则|AA 1|＝3，|BB 1|＝|BF |，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴|AC |＝2|AA 1|＝2|AF |＝6，∴|CF |＝3，∴p ＝12|CF |＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x .解法2：由抛物线定义，|BF |等于B 到准线 的距离，由|BC |＝2|BF |得∠BCB 1＝30°，又|AF |＝3，从而A ⎝⎛⎭⎫p 2＋32，332在抛物线上，代入抛物线方程y 2＝2px ，解得p ＝32.点评：还可以由|BC |＝2|BF |得出∠BCB 1＝30°，从而求得A 点 的横坐标为|OF |＋12|AF |＝p 2＋32或3－p 2，∴p 2＋32＝3－p 2，∴p ＝32. 13．已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 且斜率为1 的直线交C 于A 、B 两点．设|F A |>|FB |，则|F A |与|FB | 的比值等于________．[答案] 3＋2 2[解析] 分别由A 和B 向准线作垂线，垂足分别为A 1，B 1，则由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＋|BB 1|＝|AB |，|AA 1|－|BB 1|＝22|AB |，解得⎩⎪⎨⎪⎧|AA 1|＝2＋24|AB ||BB 1|＝2－24|AB |，∴|AA 1||BB 1|＝3＋22，即|F A ||FB |＝3＋2 2. 14．(文)若点(3,1)是抛物线y 2＝2px 的一条弦 的中点，且这条弦所在直线 的斜率为2，则p ＝________.[答案] 2[解析] 设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 12＝2px 1y 22＝2px 2，两式相减得，y 1－y 2x 1－x 2＝2p y 1＋y 2＝2，∵y 1＋y 2＝2，∴p ＝2.(理)(2010·衡水市模考)设抛物线x 2＝12y 的焦点为F ，经过点P (2,1) 的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，又知点P 恰为AB 的中点，则|AF |＋|BF |＝________.[答案] 8[解析] 过A 、B 、P 作准线 的垂线AA 1、BB 1与PP 1，垂足A 1、B 1、P 1，则|AF |＋|BF |＝|AA 1|＋|BB 1|＝2|PP 1|＝2[1－(－3)]＝8.三、解答题15．(文)若椭圆C 1：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2) 的离心率等于32，抛物线C 2：x 2＝2py (p >0) 的焦点在椭圆C 1 的顶点上．(1)求抛物线C 2 的方程；(2)若过M (－1,0) 的直线l 与抛物线C 2交于E 、F 两点，又过E 、F 作抛物线C 2 的切线l 1、l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．[解析] (1)已知椭圆 的长半轴长为a ＝2，半焦距c ＝4－b 2， 由离心率e ＝c a ＝4－b 22＝32得，b 2＝1.∴椭圆 的上顶点为(0,1)，即抛物线 的焦点为(0,1)， ∴p ＝2，抛物线 的方程为x 2＝4y .(2)由题知直线l 的斜率存在且不为零，则可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2 的斜率分别为12x 1，12x 2，当l 1⊥l 2时，12x 1·12x 2＝－1，即x 1·x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)x 2＝4y 得：x 2－4kx －4k ＝0， 由Δ＝(－4k )2－4×(－4k )>0，解得k <－1或k >0. 又x 1·x 2＝－4k ＝－4，得k ＝1. ∴直线l 的方程为x －y ＋1＝0.(理)在△ABC 中，CA →⊥CB →，OA →＝(0，－2)，点M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋CD →)，点C在x 轴上移动．(1)求B 点 的轨迹E 的方程；(2)过点F ⎝⎛⎭⎫0，－14 的直线l 交轨迹E 于H 、E 两点，(H 在F 、G 之间)，若FH →＝12HG →，求直线l 的方程．[解析] (1)设B (x ，y )，C (x 0,0)，M (0，y 0)，x 0≠0， ∵CA →⊥CB →，∴∠ACB ＝π2，∴2x 0·y 0－x 0＝－1，于是x 02＝2y 0① M 在y 轴上且AM →＝12(AB →＋AC →)，所以M 是BC 的中点，可得 ⎩⎨⎧x 0＋x 2＝0y ＋02＝y，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ②y 0＝y2③ 把②③代入①，得y ＝x 2(x ≠0)，所以，点B 的轨迹E 的方程为y ＝x 2(x ≠0)． (2)点F ⎝⎛⎭⎫0，－14，设满足条件 的直线l 方程为： y ＝kx －14，H (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，。

考点29 抛物线及其性质1、 了解抛物线的实际背景、定义和几何图形 .2、了解抛物线的的标准方程,会求抛物线的的标准方程;会用抛物线的的标准方程处理简单的实际问题 .3、掌握抛物线的简单性质,会用抛物线的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题近几年抛物线在各地高考的真题主要体现在 1、求抛物线的标准方程以及其性质2、直线与抛物线以及直线与向量等其它知识点的结合掌握求抛物线的方程以及由抛物线的方程解决焦点坐标等性质，掌握利用点斜式得直线方程，与抛物线方程联立消去y 并整理得到关于x 的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.1、【2020年北京卷】.设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作O F l P O P 于，则线段的垂直平分线（ ）．PQ l Q FQ A. 经过点 B. 经过点 O P C. 平行于直线D. 垂直于直线.OP OP 2、【2020年全国1卷】.已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p =（ ） A. 2B. 3C. 6D. 93、【2020年全国3卷】设为坐标原点，直线与抛物线C ：交于，两点，O 2x =22(0)y px p =>D E 若，则的焦点坐标为（ ） OD OE ⊥C A. B. C. D.1,04⎛⎫⎪⎝⎭1,02⎛⎫⎪⎝⎭(1,0)(2,0)4、【2020年山东卷】.C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．5、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p =2231x y pp+=A ．2 B ．3C ．4D ．86、【2019年高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线24y x =F l l 的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双22221(0,0)x y a b a b-=>>A B ||4||AB OF =O 曲线的离心率为A BC ．D27、【2018年高考全国I 理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于23M ，N 两点，则= FM FN ⋅A ．5B ．6C ．7D ．88、【2017年高考全国I 理数】已知F 为抛物线C ：的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，24y x =直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．109、【2017年高考全国II 理数】已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交F :C 28y x =M C FM y轴于点．若为的中点，则_______________．N M FN FN =题型一 抛物线的标准方程与性质1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，24y x =，A 为垂足.若直线AF 的斜率为的面积为()PA l ⊥PAF △A ．B ．C ．8D ．2、（2020·浙江学军中学高三3月月考）抛物线（）的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线22y px =0p >交于点M ，N （点N 在轴上方），点E 为轴上F右侧的一点，若，，||||3||NF EF MF ==MNES =△则（ ）p =A ．1B ．2C ．3D ．93、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线的焦点为2:2C y px =()0p >F 且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若F l C A B A D ，则以下结论正确的是（ ）8AF =A ．B ．C ．D ．4p =DF FA =2BD BF =4BF =4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的2:2C y px =(0)p >焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作交的延长线于，作交线段于点QN PE ⊥EP N QM PF ⊥PF M，则（ ）A ．B ．C ．D ．||||PE PF =||||PF QF =||||PN MF =||||PN KF =5、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是，P 24y x =P y M 点的坐标为，则的最小值是__________． A ()2,3PA PM +6、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线的焦点为F (4，0)，过F 作直线l 交()220y px p =>抛物线于M ，N 两点，则p =_______，的最小值为______． 49NF MF-题型二 抛物线与其它知识点的结合1、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，24y x =F x ()3,1M A 再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ） B ABM ∆A ．B ．C ．D ．7112+9+83129+2、（北京市顺义区牛栏山第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学试题）过曲线：的焦点E 24y x =并垂直于轴的直线与曲线交于，，在上方，为抛物线上一点，F x E A B A B M 2OM OA OBλλ=+，则（ ）λ=A ．0B ．3C ．0或3D ．343、（北京市昌平区新学道临川学校2019-2020学年高三上学期期末数学（文)试题）已知是抛物线F 的焦点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线交于2:2C y px =(0)p >C 2222:1x y a bΓ-=(0,0)a b >>，两点，若为等边三角形，则的离心率（ ）A B ABF ∆Γe =A B C D 4、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线：和直线：，是E 24y x =l 40x y -+=P 直线上一点，过点做抛物线的两条切线，切点分别为，，是抛物线上异于，的任一点，抛l P A B C A B 物线在处的切线与，分别交于，，则外接圆面积的最小值为______. C PA PB M N PMN ∆5、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，24y x =F A B 为线段的中点，则（ ）M AB A ．以线段为直径的圆与直线相离 B ．以线段为直径的圆与轴相切 AB 32x =-BM y C ．当时， D ．的最小值为42AF FB =92AB =AB 6、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线的焦点为、准线为，过点的直线与2:4C y x =F l F 抛物线交于两点，，点在上的射影为，则 （ ）()11,P x y ()22,Q x y P l 1P A ．若，则 126x x +=8PQ =B ．以为直径的圆与准线相切 PQ lC ．设，则()0,1M 1PM PP +≥D ．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条()0,1M C 7、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线的焦点为，准线，是上一点， 2:8C y x =F l P l Q是直线与的一个交点，若，则__________.PF C 3PF QF =||QF =8、（2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初）已知抛物线：和直线：，是E 24y x =l 40x y -+=P 直线上一点，过点做抛物线的两条切线，切点分别为，，是抛物线上异于，的任一点，抛l P A B C A B 物线在处的切线与，分别交于，，则外接圆面积的最小值为______. C PA PB M N PMN ∆解析附后考点29 抛物线及其性质1、【答案】B【解析】如图所示：．因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，FQ ,F Q P PQ PF =，所以线段的垂直平分线经过点. FQ P 故选：B. 2、【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知，即，解得.||122A p AF x =+=1292p=+6p =故选：C. 3、【答案】B【解析】因为直线与抛物线交于两点，且， 2x =22(0)y px p =>,E D OD OE ⊥根据抛物线的对称性可以确定，所以，4DOx EOx π∠=∠=()2,2D 代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，44p =1p =1(,0)2故选：B. 4、【答案】163【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F 坐标为， 24y x =(1,0)F又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =-代入抛物线方程消去y 并化简得， 231030x x -+=解法一：解得121,33x x ==所以 12116|||||3|33AB x x =-=-=解法二： 10036640∆=-=>设，则, 1122(,),(,)A x y B x y 12103x x +=过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.,A B 1x =-,C D 12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：1635、【答案】D【解析】因为抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，所以22(0)y px p =>(,0)2p2231x y p p+=，解得，故选D ．23()2pp p -=8p =6、【答案】D【解析】抛物线的准线的方程为， 24y x =l 1x =-双曲线的渐近线方程为， by x a=±则有，(1,),(1,b b A B a a ---∴，，， 2b AB a =24ba=2b a =∴. c e a ===故选D. 7、【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为， 23()223y x =+与抛物线方程联立得，消元整理得：，解得，又()22234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩2680y y -+=()()1,2,4,4M N ，所以，()1,0F ()()0,2,3,4FM FN ==从而可以求得，故选D. 03248FM FN ⋅=⨯+⨯=8、【答案】A【解析】设，直线的方程为，11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y 1l 1(1)y k x =-联立方程，得，∴， 214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩2222111240k x k x x k --+=21122124k x x k --+=-212124k k +=同理直线与抛物线的交点满足， 2l 22342224k x x k ++=由抛物线定义可知 2112342124||||2k AB DE x x x x p k ++=++++=+2222244k k ++=2212448k k ++≥，当且仅当（或）时，取等号． 816+=121k k =-=1-故选A ． 9、【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点x F'MB l ⊥B，于点，由抛物线的解析式可得准线方程为，则，NA l ⊥A 2x =-||2,||4AN FF'==在直角梯形中，中位线，ANFF'||||||32AN FF'BM +==由抛物线的定义有：，结合题意，有， ||||3MF MB ==||||3MN MF ==故．336FN FM NM =+=+=题型一 抛物线的标准方程与性质 1、【答案】B【解析】由题意，抛物线的焦点为， 24y x =(1,0)F 设抛物线的准线与轴交点为，则，24y x =x D 2DF=又直线AF 的斜率为，所以，因此，； 60AFD ∠= 24AF DF ==60AFP ∠= 由抛物线的定义可得：，所以是边长为的等边三角形，PA PF =PAF △4所以的面积为. PAF△144sin 602⨯⨯⨯= 故选：B.2、【答案】C 【解析】设准线与x 轴的交点为T ，直线l 与准线交于R ，，则||||3||3NF EF MF a ===，，过M ，N 分别作准线的垂线，垂足分别为，||||3NF EF a ==||MF a =,P Q 如图，由抛物线定义知，，，因为∥，所以， ||MP a =||3NQ a =MP NQ ||||||||PM RM QN RN =即，解得，同理，即，解得 ||3||4a RM a RM a=+||2RM a =||||||||FT RF QN RN =||336FT aa a=，又，所以，，过M 作的垂线，垂足为G ，则 3||2FT a =||FT p =32a p =23a p =NQ，所以||MG ===1||||2MNE S EF MG =⋅=△，解得，故. 132a ⨯⨯=2a =332p a ==故选：C. 3、【答案】ABC 【解析】如下图所示：分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.A B C m E M抛物线的准线交轴于点，则，由于直线，C m x P PF p =l 60 轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形， //AE x 60EAF ∴∠= AE AF =AEF ∆，则，，得，60EFP AEF ∴∠=∠= 30PEF ∠= 228AF EF PF p ∴====4p =A 选项正确；，又，为的中点，则，B 选项正确；2AE EF PF == //PF AE F ∴AD DF FA = ，，（抛物线定义），C 选项正确； 60DAE ∴∠= 30ADE ∴∠= 22BD BM BF ∴==，，D 选项错误. 2BD BF = 118333BF DF AF ∴===故选：ABC.4、【答案】ABD【解析】由抛物线的定义，，A 正确；PE PF =∵，是的平分线，∴，∴，B 正确；//PN QF PQ FPN ∠FQP NPQ FPQ ∠=∠=||||PF QF =若，由是外角平分线，，得，从而有，||||PN MF =PQ QN PE ⊥QM PF ⊥QM QN =PM PN =于是有，这样就有，为等边三角形，，也即有PM FM =QP QF =PFQ ∆60FPQ ∠=︒，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；60FPE ∠=︒连接，由A 、B 知，又，是平行四边形，∴，显然EF PE QF =//PE QF EPQF EF PQ =，∴，D 正确．EK QN =KF PN =5、1【解析】设抛物线的焦点是，()1,0F 根据抛物线的定义可知1PM PF =-，，1PA PM PA PF ∴+=+-PA PF AF +≥ 当三点共线时，等号成立，,,A P F 的最小值是， PA PM ∴+1AF -，AF ==的最小值是.PA PM ∴+116、【答案】8p =13【解析】∵ 抛物线的焦点为F(4，0)，()220y px p =>∴ ，8p =∴ 抛物线的方程为，216y x =设直线的方程为，设，，l 4x my =+()11,M x y ()22,N xy由得，2164y x x my ⎧=⎨=+⎩216640y my --=∴，，1216y y m +=1264y y =-由抛物线的定义得11MF NF +121144x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122121216864m y y m y y m y y ++=+++， 22216166412864m m m +=-++()()22161641m m +=+14=∴， 49NF MF -11494NF NF⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭419NF NF =+-1≥13=当且仅当即时，等号成立， 49NF NF =6NF =故答案为：． 13题型二 抛物线与其它知识点的结合1、【答案】D【解析】抛物线方程中：令可得，即， 1y =14x =1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点F ，设执行AB 的方程为， ()1y k x =-与抛物线方程联立可得：，()2222220k x k x k -++=据此可得：， 11,4A B B Ax x x x =∴==且：， 254A B AB x x p =++=将代入可得，故，4x =24y x =4y =±()4,4B -故MB ==故△ABM 的周长为,1253944MA AB BM ⎛⎫++=-+= ⎪⎝⎭本题选择D 选项.2、【答案】C【解析】由题中条件可得焦点为，即可求得：A (1，2)，B (1，-2)，(1,0)F 设点M 坐标为(a ，b )，代入曲线方程可得，24b a =由，得，2OM OA OB λλ=+ (,)(,2)(2,4)(3,2)a b λλλλλλ=+-=-即，又因为，化简得，解得0或3. 32a b λλ=⎧⎨=-⎩24b a =2412λλ=λ=故选：C.3、【答案】D【解析】抛物线的焦点坐标为，准线方程为：， ,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p x =-联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程， 2p x b y x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩解得，可得， 2pb y a =±||pb AB a=为等边三角形，可得，即有， ABF∆pb p a=b a =则c e a ====故选：D ．4、【答案】 258π【解析】设三个切点分别为， 222(,),(,),(,)444a b c A a B b C c 若在点处的切线斜率存在，A 设方程为与联立， 2()4a y a k x -=-24y x =得，，222440,164(4)0ky y a k a k a k a --+=∆=--+=即， 222440,a k ak k a-+=∴=所以切线方程为 ① PA 2202a x ay -+=若在点的切线斜率不存在，则，A (0,0)A 切线方程为满足①方程，0x =同理切线的方程分别为， ,PB MN 2202b x by -+=，联立方程， 2202c x cy -+=,PA PB ，解得，即 22202202a x ay b x by ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩42ab x a b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,42ab a b P +⎛⎫ ⎪⎝⎭同理，， ,,,4242ac a c bc b c M N ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),42a c b c b PM --⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()(),,,4242b c a c a c b a b a PN MN ----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设外接圆半径为，PMN ∆R ，||||||||||PM b c PN a c MN a b =-=-=-11||||sin ||||22PMN S PM PN MPN PM PN ∆=∠=1|||2PM PN ===， ||||||1||||||1622a b b c a c MN PM PN R---==||||||4PM PN MN R S ⋅⋅==时取等号，0c =≥点在直线， P 40,4,8422ab a b ab x y a b +-+=∴+=∴+=+R =∴≥==≥=当且仅当或时等号成立，1,6,0a b c =-==6,1,0a b c ==-=此时外接圆面积最小为. PMN ∆258π故答案为:. 258π5、【答案】ACD 【解析】对于选项A ，点到准线的距离为，于是以线段为直径的M 1x =-()1122AF BF AB +=AB 圆与直线一定相切，进而与直线一定相离： 1x =-32x =-对于选项B ，显然中点的横坐标与不一定相等，因此命题错误. AB 12BM 对于选项C ，D ，设，，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得()11,A x y ()22,B x y AB 1x my =+，，，若设，则，于是2440y my --=124y y =-121=x x ()24,4A a a 211,4B a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，最小值为4；当可得， 21221424AB x x p a a=++=++AB 2AF FB = 122y y =-，所，. 142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭212a =92AB =故选:ACD.6、【答案】ABC【解析】对于选项A,因为,所以,则,故A 正确； 2p =122x x PQ ++=8PQ =对于选项B,设为中点,设点在上的射影为,点在上的射影为,则由梯形性质可得N PQ N l 1N Q l 1Q ,故B 正确； 111222PP QQ PF QF PQ NN ++===对于选项C,因为,所以故C 正确； ()1,0F 1PM PP PM PF MF +=+≥=对于选项D,显然直线,与抛物线只有一个公共点,设过的直线为,0x =1y =M 1y kx =+联立,可得,令,则,所以直线与抛物线也只有一个公214y kx y x=+⎧⎨=⎩()222410k x k x +-+=0∆=1k =1y x =+共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误；故选：ABC7、【答案】83【解析】根据题意画出图形，设与轴的交点为M ，过Q 向准线，垂足是N ， l x l 作垂线∵抛物线，∴焦点为，准线方程为，2:8C y x =2,0F （）2x =-∵， 3PF QF = 2288,4,.3333QN PQ QN QF QN FM PF ∴==∴=⨯=∴==8、【答案】 258π【解析】设三个切点分别为， 222(,),(,),(,)444a b c A a B b C c 若在点处的切线斜率存在，A 设方程为与联立， 2()4a y a k x -=-24y x =得，， 222440,164(4)0ky y a k a k a k a --+=∆=--+=即， 222440,a k ak k a-+=∴=所以切线方程为 ① PA 2202a x ay -+=若在点的切线斜率不存在，则，A (0,0)A 切线方程为满足①方程，0x =同理切线的方程分别为， ,PB MN 2202b x by -+=，联立方程， 2202c x cy -+=,PA PB ，解得，即 22202202a x ay b x by ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩42ab x a b y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,42ab a b P +⎛⎫ ⎪⎝⎭同理，， ,,,4242ac a c bc b c M N ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(),42a c b c b PM --⎛⎫= ⎪⎝⎭ ， ()(),,,4242b c a c a c b a b a PN MN ----⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设外接圆半径为，PMN ∆R ，||||||||||PM b c PN a c MN a b =-=-=-11||||sin ||||22PMN S PM PN MPN PM PN ∆=∠=1|||2PM PN ===， ||||||1||||||1622a b b c a c MN PM PN R---==||||||4PM PN MN R S ⋅⋅==时取等号，0c =≥点在直线， P 40,4,8422ab a b ab x y a b +-+=∴+=∴+=+R =∴≥==≥=当且仅当或时等号成立， 1,6,0a b c =-==6,1,0a b c ==-=此时外接圆面积最小为. PMN ∆258π故答案为:. 258π。

抛物线y 2 2 px y 2 2 px x 2 2 py x22py ( p0)( p0)( p0)( p0)y y yyl l lFOx O F x F O xO x Fl定义范围对称性焦点极点离心率准线方程极点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径A( x1 , y1 )焦点弦长AB 平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。

{ M MF =点 M到直线 l 的距离 }x 0, y R x 0, y R x R, y 0x R, y0对于 x 轴对称对于 y 轴对称(p,0)(p,0)(0,p)(0,p ) 2222焦点在对称轴上O (0,0)e=1pxp p p x y2y222准线与焦点位于极点双侧且到极点的距离相等。

p2ppAFp pAFp AF x1x1AF y1y1 2222( x1x2 ) p( y1y2 ) p( y1y2 )p ( x1x2 )pyA x1 , y1o FxB x2 , y2焦点弦AB 的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线l相切A(x1, y1 ) 2 p 2 p若 AB 的倾斜角为若 AB 的倾斜角为，则 AB，则 ABB(x2 , y2 )sin 2cos2p22x1x2y1 y2p4切线方程11AF BF AB2AF BF AF ? BF AF ? BF py0 y p( x x0 )y0 y p( x x0 )x0 x p( y y0 )x0 x p( y y0 )一．直线与抛物线的地点关系直线，抛物线，，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k≠ 0 时，＞0，直线 l 与抛物线订交，两个不一样交点；=0，直线 l 与抛物线相切，一个切点；＜ 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。

（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不必定）二．对于直线与抛物线的地点关系问题常用办理方法直线 l ：y kx b抛物线， ( p0)①联立方程法：y kx bk2 x22(kb p)x b20y2 2 px设交点坐标为(,y1), B( x2 , y2 ) ，则有0, 以及 x1x2 , x1 x2，还可进一步求出A x1y1 y2kx1 b kx2 b k (x1x2 ) 2b，y1 y2( kx1b)(kx2b) k 2 x1 x2kb( x1x2 ) b2在波及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比方1.订交弦 AB的弦长AB 1 k 2 x1x2 1 k 2(x1x2 )24x1x2 1 k 2a或1121 k 2AB1k 2 y1y21k 2( y1y2 ) 4 y1 y2ab. 中点M (x0, y0) , x0x1x2，y0y1y222②点差法：设交点坐标为 A( x1, y1 ) ， B(x2 , y2 ) ，代入抛物线方程，得y12 2 px1y22 2 px2将两式相减，可得( y1y2 )( y1y2 ) 2 p(x1 x2 )y1y2 2 px1x2 y1 y2a.在波及斜率问题时，k AB 2 py1y2b.在涉及中点轨迹问题时，设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ，y1y2 2 p2p p ，x1x2y1 y2 2 y0y0即 k AB p ，y0同理，对于抛物线x 22(p0)，若直线 l 与抛物线订交于A、, y0 ) py B 两点，点M ( x0是弦 AB 的中点，则有 k AB x1 x22x0x0 2 p 2 p p（注意能用这个公式的条件： 1）直线与抛物线有两个不一样的交点， 2）直线的斜率存在，且不等于零）抛物线练习及答案1、已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上，那么点P 到点 Q （ 2，－ 1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和获得最小值时，点P 的坐标为。

新高考数学复习考点知识讲解与专题训练专题32、抛物线的方程及几何性质抛物线的标准方程与几何性质焦半径公式：设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，(),A x y ，则2p AF x =+焦点弦长：设过抛物线()220y px p =>焦点的直线与抛物线交于()()1122,,,A x y B x y ，则12AB x x p =++（AB AF BF =+，再由焦半径公式即可得到）题型一、抛物线的定义与性质例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =A ．2B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122A pAF x =+=，即1292p=+，解得6p .故选：C ．.变式1、【2020年高考全国Ⅲ卷理数】设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0)y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为A ． 1,04⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭C ． (1,0)D ． (2,0)【答案】B【解析】因为直线2x =与抛物线22(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥，根据抛物线的对称性可以确定4DOx EOx π∠=∠=，所以()2,2D ，代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1(,0)2，故选：B ．变式2、【2020年高考北京】设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ l⊥于Q，则线段FQ的垂直平分线A．经过点O B．经过点PC．平行于直线OP D．垂直于直线OP【答案】B【解析】如图所示：．因为线段FQ的垂直平分线上的点到,F Q的距离相等，又点P在抛物线=，所以线段FQ的垂直平分线经过点P.上，根据定义可知，PQ PF故选：B．变式3、（2020届山东省德州市高三上期末）已知抛物线2=:2C y px ()0p>的焦点为F，F，直线l与抛物线C交于点A、AF=，则以下B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D，若8结论正确的是（ ）A ．4p =B ．DF FA =C ．2BD BF = D ．4BF =【答案】ABC 【解析】 如下图所示：分别过点A 、B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M .抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 其倾斜角为60，//AE x 轴，60EAF ∴∠=，由抛物线的定义可知，AE AF =，则AEF ∆为等边三角形，60EFP AEF ∴∠=∠=，则30PEF ∠=，228AF EF PF p ∴====，得4p =，A 选项正确；2AE EF PF ==，又//PF AE ，F ∴为AD 的中点，则DF FA =，B 选项正确；60DAE ∴∠=，30ADE ∴∠=，22BD BM BF ∴==（抛物线定义），C 选项正确；2BD BF =，118333BF DF AF ∴===，D 选项错误. 故选：ABC.题型二、直线与抛物线的关系例2、【2020C ：y 2=4x的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB=________．【答案】163【解析】∵抛物线的方程为24y x =，∴抛物线的焦点F 坐标为(1,0)F ，又∵直线AB 过焦点F AB 的方程为：1)y x =- 代入抛物线方程消去y 并化简得231030x x -+=，解法一：解得121,33x x ==所以12116||||3|33AB x x =-=-= 解法二：10036640∆=-=> 设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x +=, 过,A B 分别作准线1x =-的垂线，设垂足分别为,C D 如图所示.12||||||||||11AB AF BF AC BD x x =+=+=+++1216+2=3x x =+故答案为：163变式1、【2018年高考全国Ⅲ理数】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．【答案】2【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以22121244y y x x -=-，所以1212124y y k x x y y -==-+.取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''，设F 为C 的焦点.因为90AMB ︒∠=,所以()()111222MM AB AF BF AA BB ''==++'=. 因为M '为AB 中点，所以MM '平行于x 轴. 因为M (−1,1)，所以01y =，则122y y +=，即2k =. 故答案为2.变式2、（2020届山东省临沂市高三上期末）如图，已知点F 为抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，过点F 的动直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且当直线l 的倾斜角为45°时，16MN =.（1）求抛物线C 的方程.（2）试确定在x 轴上是否存在点P ，使得直线PM ，PN 关于x 轴对称？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）28y x =（2）存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称【解析】（1）当直线l 的倾斜角为45°，则l 的斜率为1，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，l ∴的方程为2p y x =-.由2,22,p y x y px ⎧=-⎪⎨⎪=⎩得22304p x px -+=. 设()11,M x y ，()22,N x y ，则123x x p +=， ∴12416x x p M p N ++===，4p =， ∴抛物线C 的方程为28y x =.（2）假设满足条件的点P 存在，设(),0P a ，由（1）知()2,0F ， ①当直线l 不与x 轴垂直时，设l 的方程为()2y k x =-（0k ≠），由()22,8,y k x y x ⎧=-⎨=⎩得()22224840k x k x k -++=， ()22222484464640k k k k ∆=+-⋅⋅=+>，212248k x x k++=，124x x =. ∵直线PM ，PN 关于x 轴对称，∴0PM PN k k +=，()112PM k x k x a -=-，()222PN k x k x a-=-.()()()()()()122112128(2)222240a k x x a k x x a k x x a x x a k+--+--=-+++=-=⎡⎤⎣⎦∴2a =-时，此时()2,0P -.②当直线l 与x 轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM ，PN 关于x 轴对称，此时只需P 与焦点F 不重合即可. 综上，存在唯一的点()2,0P -，使直线PM ，PN 关于x 轴对称.题型三、抛物线的综合运用例3、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F 、准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点()11,P x y ，()22,Q x y ，点P 在l 上的射影为1P ，则 （ ）A ．若126x x +=，则8PQ =B ．以PQ 为直径的圆与准线l 相切C ．设()0,1M ，则12PM PP +≥D ．过点()0,1M 与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条 【答案】ABC【解析】对于选项A,因为2p =,所以122x x PQ ++=,则8PQ =,故A 正确；对于选项B,设N 为PQ 中点,设点N 在l 上的射影为1N ,点Q 在l 上的射影为1Q ,则由梯形性质可得111222PP QQ PF QF PQ NN ++===,故B 正确；对于选项C,因为()1,0F ,所以1PM PP PM PF MF +=+≥=故C 正确； 对于选项D,显然直线0x =,1y =与抛物线只有一个公共点,设过M 的直线为1y kx =+,联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩,可得()222410k x k x +-+=,令0∆=,则1k =,所以直线1y x =+与抛物线也只有一个公共点,此时有三条直线符合题意,故D 错误；故选：ABC变式1、（2020届山东省日照市高三上期末联考）过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ）A ．以线段AB 为直径的圆与直线32x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相切C ．当2AF FB =时，92AB =D ．AB 的最小值为4【答案】ACD【解析】对于选项A ，点M 到准线1x =-的距离为()1122AF BF AB +=，于是以线段AB 为直径的圆与直线1x =-一定相切，进而与直线32x =-一定相离：对于选项B ，显然AB 中点的横坐标与12BM 不一定相等，因此命题错误. 对于选项C ，D ，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 方程为1x my =+，联立直线与抛物线方程可得 2440y my --=，124y y =-，121=x x ，若设()24,4A a a ，则211,4B a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是21221424AB x x p a a =++=++，AB 最小值为4；当2AF FB =可得122y y =-，142a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所212a =，92AB =.故选:ACD.变式2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =【答案】ABD 【解析】由抛物线的定义，PE PF =，A 正确；∵//PN QF ，PQ 是FPN ∠的平分线，∴FQP NPQ FPQ ∠=∠=，∴||||PF QF =，B 正确；若||||PN MF =，由PQ 是外角平分线，QN PE ⊥，QM PF ⊥得QM QN =，从而有PM PN =，于是有PM FM =，这样就有QP QF =，PFQ ∆为等边三角形，60FPQ ∠=︒，也即有60FPE ∠=︒，这只是在特殊位置才有可能，因此C 错误；连接EF ，由A 、B 知PE QF =，又//PE QF ，EPQF 是平行四边形，∴EF PQ =，显然EK QN =，∴KF PN =，D 正确．1、【2018年高考全国I 理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅=A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为()223y x =+， 与抛物线方程联立得()22234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：2680y y -+=，解得()()1,2,4,4M N ，又()1,0F ，所以()()0,2,3,4FM FN ==，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=，故选D.2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则ABM ∆的周长为（ ）A ．7112．9+C ．8312D ．9+【答案】D【解析】抛物线方程中：令1y =可得14x =，即1,14A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合抛物线的光学性质，AB 经过焦点F ，设执行AB 的方程为()1y k x =-，与抛物线方程联立可得：()2222220k x k x k -++=，据此可得：11,4A B B Ax x x x =∴==， 且：254A B AB x x p =++=， 将4x =代入24y x =可得4y =±，故()4,4B -，故MB ==故△ABM 的周长为1253944MA AB BM ⎛⎫++=-+= ⎪⎝⎭, 本题选择D 选项.9．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为则PAF △的面积为( )A ．B ．C ．8D ．【答案】B 【解析】由题意，抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，设抛物线24y x =的准线与x 轴交点为D ，则2DF =，又直线AF 的斜率为，所以60AFD ∠=，因此24AF DF ==，60AFP ∠=；由抛物线的定义可得：PA PF =，所以PAF △是边长为4的等边三角形，所以PAF △的面积为144sin 60432⨯⨯⨯=.故选：B.3、【江苏省南通市海安市2019-2020学年高三下学期3月月考】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221x y -=的右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，则p 的值为_______.【答案】【解析】双曲线2112c =+=,即右焦点为).即抛物线()220y px p =>的焦点为)所以2p=,解得p =.故答案为:4、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知P 是抛物线24y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标为()2,3，则PA PM +的最小值是__________．1【解析】设抛物线的焦点是()1,0F ， 根据抛物线的定义可知1PM PF =-1PA PM PA PF ∴+=+-，PA PF AF +≥，当,,A P F 三点共线时，等号成立，PA PM ∴+的最小值是1AF ，AF ==PA PM ∴+1.15、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线()220y px p =>的焦点为F (4，0)，过F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则p =_______，49NFMF -的最小值为______．【答案】8p = 13【解析】∵ 抛物线()220y px p =>的焦点为F(4，0)，∴ 8p =，∴ 抛物线的方程为216y x =，设直线l 的方程为4x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，由2164y x x my ⎧=⎨=+⎩得216640y my --=， ∴1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义得11MF NF +121144x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122121216864m y y m y y m y y ++=+++22216166412864m m m +=-++()()22161641m m +=+14=，∴49NFMF -11494NF NF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭419NF NF =+-1≥13=， 当且仅当49NFNF=即6NF =时，等号成立， 故答案为：13．6、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F，21 / 21准线l ，P 是l 上一点， Q 是直线PF 与C 的一个交点，若3PF QF =，则||QF =__________. 【答案】83【解析】根据题意画出图形，设l 与x 轴的交点为M ，过Q 向准线l 作垂线，垂足是N ，∵抛物线2:8C y x =，∴焦点为2,0F （），准线方程为2x =-， ∵3PF QF =，2288,4,.3333QNPQ QN QF QN FM PF ∴==∴=⨯=∴==。

抛物线专题复习•直线与抛物线的位置关系，消y得：1）当k=0 时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当k丰0时，△>0,直线l与抛物线相交，两个不同交点；△=0,直线I与抛物线相切，一个切点；△v0，直线I与抛物线相离，无公共点。

3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗?（不一定）．关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线I : y kx b 抛物线，(p 0)联立方程法：y kx b 2 2 22k x 2(kb p)x b 0y 2px设交点坐标为A(x「y i) , B(x2,y2),则有0 ,以及为X2,%X2 ,还可进一步求出2 2y y2kx.( b kx2 b k(x1x2) 2b，y1 y2(kx1b)(kx2b) k X j X2kb(X j x2) b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 相交弦AB 的弦长AB v 1 k 2|% x 2| 』k 2x 2)2 4x 1x 2 4l __k 2或 AB y 1 召 y i y 2抛物线练习1、 已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q (2，— 1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ___________2、 已知点P 是抛物线y 2 2x 上的一个动点，则点 P 到点(0，2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的 最小值为 ___________23、 直线y x 3与抛物线y 4x 交于A, B 两点，过代B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 P,Q ，则梯形APQB 的面积为 __________2 ULWo4、 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2 2px(p 0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA 与x 轴正向的夹角为60°， uuu 则OA 为 ___________5、 抛物线y 2 4x 的焦点为F ,准线为I ,经过F 且斜率为 3的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ，1「2心1 y 2)2 4y 』2ki 2 a.5AK 丄l ，垂足为K ,则△ AKF 的面积是 ______________6、 已知抛物线C: y 2 8x 的焦点为F ,准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且AK| J 2|AF |，贝U AFK的面积为 ___________2 27、 已知双曲线 —1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为4 52&在平面直角坐标系 xoy 中，有一定点 A(2,1)，若线段0A 的垂直平分线过抛物线 y 2 px( p 0)则该抛物线的方程是 ___________ 。

抛物线定义及性质常考5种题型【考点分析】考点一：抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l （l 不经过点F ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．考点二：抛物线焦点弦焦半径公式图1-3-1图1-3-2焦半径：21p x AF +=，22p x BF +=，||||1cos 1cos p p AF BF αα==-+；．焦点弦：1222||sin pAB x x p a=++=．三角形面积：22sin AOB p S △α=．【题型目录】题型一：抛物线的定义及方程题型二：抛物线的性质题型三：抛物线焦点弦焦半径题型四：有关三角形面积问题题型五：抛物线中的最值问题【典型例题】题型一：抛物线的定义及方程【例1】已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，抛物线上一点)0M y 满足3||2MF p =，则p =（）A ．1B ．2C ．12D ．32【例2】抛物线218y x =-的准线方程是（）A ．132x =B ．2y =C ．132y =D ．2y =-【例3】在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线C 上的点，若OFM△的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为81π，则p =（）A ．6B ．8C ．10D ．12【例4】数学与建筑的结合造就建筑艺术，如图，吉林大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，若将校门轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成抛物线2y ax =的一部分，其焦点坐标为()0,2-，校门最高点到地面距离约为18米，则校门位于地面宽度最大约为（）A ．18米B ．21米C ．24米D ．27米【例5】过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作准线的垂线，垂足分别为11,A B 两点，以线段11A B 为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（）A ．22(1)(2)2x y ++-=B ．22(1)(1)5x y ++-=C ．22(1)(1)17x y +++=D ．22(1)(2)26x y +++=而圆心C 是线段11A B 的中点，又1AA ⊥显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 则4,4y y t y y +==-，||(y y -=过点【题型专练】1.已知抛物线24y x =，其焦点为F ，准线为l ，则下列说法正确的是（）A ．焦点F 到准线l 的距离为1B ．焦点F 的坐标为(1,0)C ．准线l 的方程为116y =-D ．对称轴为x 轴2.抛物线2:16C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，12MF =，则M 到y 轴的距离是（）A ．4B ．8C ．10D ．123.已知抛物线2:2C y x =的焦点为,(,)F A m n 是抛物线C 上的一点，若52AF =，则OAF △(O 为坐标原点)的面积是（）A ．12B ．1C ．2D ．44．（2022·广东广州·高二期末）已知圆()2214x y -+=与抛物线()220x py p =>的准线相切，则p =（）A ．1B ．2C ．4D ．85.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5m ，跨径为12m ，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为______m ．【答案】185##3.6【分析】首先建立直角坐标系，再根据抛物线所过的点求标准方程，进而得到抛物线的焦点到准线的距离.【详解】以抛物线的最高点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的解析式为22x py =-，因为抛物线过点()6,5-，所以36所以抛物线的焦点到准线的距离为题型二：抛物线的性质【例1】抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线22133y x -=相交于A ，B 两点，若ABF 为等边三角形，则p =（）A ．2B ．12C ．6D ．16【例2】已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线C 上，PQ 垂直l 于点Q ，QF 与y 轴交于点T ，O 为坐标原点，且1OT =，则PF =（）A ．1B ．2C ．3D ．4【例3】已知P ，Q 是抛物线2:4C x y =上位于不同象限的两点，分别过P ，Q 作C 的切线，两条切线相交于点T ，F 为C 的焦点，若2=FP ，5FQ =，则F T =（）A ．5B C ．D ．4【答案】BQ 根据抛物线的定义，可知1P FP y =+=所以P 的纵坐标为1，Q 的纵坐标为4，则由24x y =得24x y =，得2x y '=，所以抛物线在得到两条切线方程并联立124y x y x =--⎧⎨=-⎩，解得所以()2212110FT =+--=．故选：B【例4】已知点A 是抛物线C ：22x y =上一点，F 为焦点，O 为坐标原点，若以点O 为圆心，以OA 的长为半径的圆与抛物线C 的另一个交点为B ，且π3AOB ∠=，则AF 的值是（）A ．112B ．6C ．132D ．7【例5】（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A ．直线AB 的斜率为B ．||||OB OF =C ．||4||AB OF >D ．180OAM OBM ∠+∠<︒【题型专练】1．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与抛物线交于点A 、B ，与直线l 交于点D ，若3AF FB =，4BD = ，则p =（）A ．1B ．3C ．2D ．4【答案】B【分析】作出辅助线，由抛物线定义得到则11BB FK AA ∥∥．根据抛物线定义知又3AF FB = ，4BD = ，所以设1DBB θ∠=，因为1BB ∥则11cos BB AA DBDAAB θ===2.已知抛物线()2:20C y px p =>过点()1,2B ，过点()1,0A -的直线交抛物线于M ，N 两点，点N 在点M 右侧，若F 为焦点，直线NF ，MF 分别交抛物线于P ，Q 两点，则（）A ．4MF NF ⋅>B ．2OM ON OB ⋅=C ．A ，P ，Q 三点共线D ．4AMP π∠≤3.已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在抛物线C 上，O 为原点，若OAF △为等腰三角形，则点A 的横坐标可能为（）A ．2B 1C 2D ．24.设抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，FA 为半径的圆交l 于B ，D 两点，若90ABD ∠=︒，且ABF 的面积为）A ．3BF =B ．ABF 是等边三角形C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为212y x=因为以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |所以ABF 是等边三角形，故B 正确；所以∠FBD ＝30°.因为ABF 的面积为34|BF |2＝93，所以|BF |＝6.故A 错误；5.已知C ：()220y px p =>的焦点为FF 的直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则（）A ．2p =B ．F 为线段AD 的中点C ．2BD BF =D ．2BF =6.已知点F 是抛物线2:8E y x =的焦点，A ，B ，C 为E 上三点，且0FA FB FC ++=，则||||||FA FB FC ++=___________．【答案】12【分析】根据题意可得F 为△ABC 的重心，根据重心坐标公式再结合抛物线定义1||2FA x =+代入整理计算．题型三：抛物线焦点弦焦半径【例1】过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于点A ，B ，若2,AF FB =若直线l 的斜率为k ，则k =（）A ．B ．-C ．-D 或【例2】已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与E 交于,A B 两点，,C D 分别为,A B 在l 上的射影，则下列结论正确的是（）A ．若直线AB 的倾斜角为45 ，则8AB =B ．若2AF FB =，则直线AB 的斜率为±C ．若O 为坐标原点，则,,B O C 三点共线^ D．CF DF消x 可得222440,Δ(4)1616160,y m y m m --==-+=+>121244y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩，()()122,,2,FC y FD y =-=-，所以()()12122,2,40FC FD y y y y ⋅=-⋅-=+=，即CF DF ^，故D 正确.故选：ACD.【例3】已知抛物线24y x =，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则||||AC BD +的最小值为（）A ．32B ．2C ．3D ．5【题型专练】1.（2022·全国·高考真题（文））设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（）A ．2B ．C ．3D ．【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A 坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，()1,0F ，则2AF BF ==，即点A 到准线1x =-的距离为2，所以点A 的横坐标为121-+=，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，所以AB ==故选：B2.设F 为抛物线2:6C y x =的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交C 于A ，B 两点，则AB =（）A ．3B ．8C ．12D ．3．（2022·全国·高考真题）已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A ．C 的准线为1y =-B ．直线AB 与C 相切C ．2|OP OQ OA ⋅>D ．2||||||BP BQ BA ⋅>4.已知抛物线2:4C y x =的焦点F ，过F 分别作直线1l 与C 交于A ，B 两点，作直线2l 与C 交于D ，E 两点，若直线1l 与2l 的斜率的平方和为1，则AB DE +的最小值为_________=题型四：有关三角形面积问题【例1】经过抛物线C ：24y x =的焦点F 的直线l 与抛物线交于不同的两点A ，B ，若AOB S =△O 为坐标原点），则直线l 的斜率为______．【例2】抛物线22(0)y px p =>的焦点为F，直线20l y --=与抛物线分别交于A B ，两点（点A 在第一象限），则AOF AOBS S 的值等于________.【答案】34【题型专练】1.2:4C y x =的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则三角形AOB 的面积是（O 为坐标原点）（）A B C ．3D ．1632.已知斜率为()0k k >的直线过抛物线C ：24y x =的焦点F 且与抛物线C 相交于,A B 两点，过,A B 分别作该抛物线准线的垂线，垂足分别为1A ，1B ，若1ABB △与1ABA △的面积之比为2，则k 的值为（）A B ．12C ．2D ．由抛物线C ：24y x =，得(1,0F题型五：抛物线中的最值问题【例1】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（）A ．1B ．12C ．2D 【例2】已知P 为抛物线24y x =上任意一点，F 为抛物线的焦点，()4,2M 为平面内一定点，则PF PM+的最小值为__________．当,,P M A 共线时，和最小；过点最小值为5.故答案为：5.【例3】已知F 是抛物线24y x =的焦点，P 是抛物线24y x =上一动点，Q 是()()22:411C x y -+-= 上一动点，则下列说法正确的有（）A ．PF 的最小值为1B ．QFC ．PF PQ +的最小值为4D ．PF PQ +1【答案】AC【分析】根据抛物线的性质判断A ，根据圆的性质判断B ，结合抛物线的定义判断C ，D.【详解】抛物线焦点为()1,0F ，准线为1x =-，作出图象，【例4】已知抛物线2:8C y x =及圆22():21M x y -+=，过()2,0的直线l 与抛物线C 和圆M 从上到下依次交于A ，P ，Q ，B 四点，则4AP BQ +的最小值为___________.圆心()2,0M 即为抛物线C 的焦点F .所以()(414AP BQ AF BF +=-+-【题型专练】1.已知点P 为抛物线24y x =-上的动点，设点P 到2:1l x=的距离为1d ，到直线40x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值是（）A ．52B ．2C ．2D ()1,0F - ，则1210452d d --==++故选：B ．【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点距离．牢记它对解题非常有益．2.已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且33AF BF ==，则p =________；设点M 是抛物线C 上的任意一点，点N 是C 的对称轴与准线的交点，则MNMF的最大值为________.3.（2021·甘肃·民勤县第一中学高二开学考试（文））已知P 为抛物线24y x =上的一个动点，Q 为圆()2241x y +-=上的一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是______.14．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，且F 与圆()22:41M x y ++=上的点的距离的最小值4．(1)求p ；(2)若点P 在圆M 上，,PA PB 是C 的两条切线，,A B 是切点，求PAB △面积的最大值．）()11,A x y ，()22,B x y ，00(,)P x y ，由于点P 在圆y。

第29讲 抛物线学校____________ 姓名____________ 班级____________ 一、知识梳理(1)一般地，设F 是平面内的一个定点，l 是不过点F 的一条定直线，则平面上到F 的距离与到l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M ||MF |＝d }(d 为点M 到准线l 的距离).y 2＝－2pxx 2＝－2py二、考点和典型例题 1、抛物线的定义和标准方程【典例1-1】过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，若||3AF =，则BF 的值为（ ） A ．52B ．2C ．32D ．12【典例1-2】抛物线26y x =上一点()11,M x y 到其焦点的距离为92，则点M 到坐标原点的距离为（ ） A ．B ．C D ．2【典例1-3】已知抛物线22(0)x py p =>上的一点0(,1)M x 到其焦点的距离为2，则该抛物线的焦点到其准线的距离为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【典例1-4】焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） A ．216y x =或216x y = B ．216y x =或212x y =- C ．216y x =或212x y =D ．212y x =-或216x y =【典例1-5】已知直线120mx y m -+-=恒过定点A ，抛物线E ：()220y px p =>的焦点坐标为()1,0F ，P 为抛物线E 上的动点，则PA PF +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、抛物线的几何性质及应用 【典例2-1】对抛物线218y x =，下列描述正确的是（ ） A ．开口向上，焦点为()02，B ．开口向上，焦点为1032⎛⎫⎪⎝⎭，C ．开口向右，焦点为()20，D ．开口向右，焦点为1032⎛⎫⎪⎝⎭， 【典例2-2】已知过点()2,0的直线与抛物线22y x =相交于P ，Q 两点，点()2,2A -，若直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k ⋅的取值范围是（ ）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．⎡⎢⎣⎦C ．11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．⎡⎢⎣⎦【典例2-3】抛物线2:4E x y =与圆22:(1)16M x y +-=交于A 、B 两点，圆心(0,1)M ，点P 为劣弧AB 上不同于A 、B 的一个动点，平行于y 轴的直线PN 交抛物线于点N ，则PMN ∆的周长的取值范围是A ．(6,12)B ．(8,10)C ．(6,10)D ．(8,12)【典例2-4】已知圆()2220x y r r +=>与抛物线23y x =相交于M ，N ，且MN =r =（ ）A B ．2 C ．D ．4【典例2-5】已知抛物线()2:20C y px p =>，以()2,0M -为圆心，半径为5的圆与抛物线C 交于,A B 两点，若8AB =，则p =（ ）A ．4B ．8C ．10D ．163、抛物线的综合问题【典例3-1】已知F 为抛物线22y x =的焦点，()00,A x y 为抛物线上的动点，点()1,0B -.则221AB AF +最大值的为（ ）A ．12B C D 【典例3-2】如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()1,4，圆222:8120C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆分别交于点P ，Q ，M ，N ，则4PM QN +的最小值为（ ）A ．23B ．26C ．36D ．62【典例3-3】已知直线l 过点()2,0，且垂直于x 轴．若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为 ） A ．()1,0 B ．()0,1C ．()1,2D ．()2,1【典例3-4】已知点23,2P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭-在抛物线()2:20C x py p =>上.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()0,1M 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，O 为坐标原点，求证：12k k 为定值.【典例3-5】已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，O 为坐标原点．(1)过F 作垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于,A B 两点，AOB 的面积为2．求抛物线C 的标准方程；(2)抛物线上有,M N 两点，若MON △为正三角形，求MON △的边长．。

9.4 抛物线及其性质基础篇 固本夯基考点一 抛物线的定义及标准方程1.(2020课标Ⅰ,4,5分)已知A 为抛物线C:y 2=2px(p>0)上一点,点A 到C 的焦点的距离为12,到y 轴的距离为9,则p=( )A.2B.3C.6D.9 答案 C2.(2022届南昌开学考,4)设F 为抛物线C:x 2=16y 的焦点,直线l:y=-1,点A 为C 上任意一点,过点A 作AP ⊥l 于P,则||AP|-|AF||=( ) A.3 B.4 C.2 D.不能确定 答案 A3.(2020北京,7,4分)设抛物线的顶点为O,焦点为F,准线为l,P 是抛物线上异于O 的一点,过P 作PQ ⊥l 于Q,则线段FQ 的垂直平分线( ) A.经过点O B.经过点PC.平行于直线OPD.垂直于直线OP 答案 B4.(2021山西晋中二模,7)已知点F 是抛物线E:y 2=2px(p>0)的焦点,O 为坐标原点,A,B 是抛物线E 上的两点,满足|FA|+|FB|=10,FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FO ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则p=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D5.(2022届长春质量检测一,10)已知M 是抛物线y 2=4x 上的一点,F 是抛物线的焦点,若以Fx 为始边,FM 为终边的角,即∠xFM=60°,则|FM|等于( ) A.2 B.4√33C.2√3D.4 答案 D6.(2022届河南温县一中月考,12)双曲线C 1:x 2-y 2=1和抛物线C 2:y 2=2px 相交于点M,N,若△OMN 的外接圆经过点A (72,0),则抛物线C 2的方程为( )A.y 2=32x B.y 2=x C.y 2=x D.y 2=4x答案 A7.(2021长春第二次质检,10)已知抛物线y 2=2px(p>0)上一点A(2,y 0),F 为焦点,直线FA 交抛物线的准线于点M,满足2FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则抛物线方程为( ) A.y 2=8x B.y 2=16x C.y 2=24x D.y 2=32x 答案 C8.(2019课标Ⅲ卷地区大联考,9)已知抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,△ABC 的三个顶点都在抛物线上,且△ABC 的重心为抛物线的焦点,若BC 边所在的直线方程为x+4y-20=0,则抛物线方程为( ) A.y 2=16x B.y 2=8x C.x 2=16y D.x 2=8y 答案 C9.(2022届湘豫名校联盟11月联考,13)已知抛物线C:x 2=2py(p>0)的焦点为F,点P(4,4)在C 上,则|PF|= . 答案 510.(2019北京,18,14分)已知抛物线C:x 2=-2py 经过点(2,-1). (1)求抛物线C 的方程及其准线方程;(2)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON 于点A 和点B.求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.解析 (1)由抛物线C:x 2=-2py 经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C 的方程为x 2=-4y,其准线方程为y=1.(2)证明:抛物线C 的焦点为F(0,-1).设直线l 的方程为y=kx-1(k ≠0).由{y =kx -1,x 2=−4y 得x 2+4kx-4=0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1x 2=-4,直线OM 的方程为y=y1x 1x.令y=-1,得点A 的横坐标x A =-x 1y 1.同理得点B 的横坐标x B =-x 2y 2.设点D(0,n),则DA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 1y 1,-1-n),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 2y 2,-1-n),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2y 1y 2+(n+1)2=x 1x 2(-x 124)(-x 224)+(n+1)2=16x 1x 2+(n+1)2=-4+(n+1)2.令DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.综上,以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0,1)和(0,-3). 11.(2021合肥一模,20)已知F 是抛物线E:y 2=2px(p>0)的焦点,直线l:y=k(x-m)(m>0)与抛物线E 交于A,B 两点,与抛物线E 的准线交于点N.(1)当k=1时,|AB|=4√2m +2,求抛物线E 的方程;(2)是否存在常数k,对于任意的正数m,都有|FA|·|FB|=|FN|2?若存在,求出k 的值;若不存在,说明理由.解析 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).(1)由{y 2=2px,y =k(x -m)消去y 得k 2x 2-2(k 2m+p)x+k 2m 2=0.∵l 与抛物线E 交于两点,∴k≠0.又∵m>0,p>0,∴Δ=8k 2mp+4p 2>0恒成立,∴{x 1+x 2=2m +2pk 2,x 1x 2=m 2.当k=1时,|AB|=√1+k 2|x 1-x 2|=2√4mp +2p 2=4√2m +2,化简得(p+2m+2)(p-2)=0.∵p>0,m>0,∴p=2.∴抛物线E 的方程为y 2=4x. (2)假设存在常数k 满足题意.∵抛物线E 的方程为y 2=2px(p>0),∴其焦点为F (p 2,0),准线为x=-p 2,∴N (-p 2,-k (m +p 2)),从而|FN|2=p 2+k 2(m +p 2)2.由抛物线的定义得,|FA|=x 1+p 2,|FB|=x 2+p 2,∴|FA|·|FB|=(x 1+p 2)·(x 2+p 2)=x 1x 2+p 2(x 1+x 2)+p 24=(m +p 2)2+p 2k2. 由|FA|·|FB|=|FN|2得(m +p2)2+p 2k2=p 2+k 2·(m +p 2)2,即(k 2-1)[(m +p 2)2+p 2k2]=0.∵(m +p 2)2>0,p 2k2>0,∴k 2-1=0,解得k=±1.∴存在k=±1,使得|FA|·|FB|=|FN|2对于任意的正数m 都成立.考点二 抛物线的几何性质1.(2022届河南开封月考,5)一种卫星接收天线如图(1)所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点F 处,如图(2)所示.已知接收天线的口径AB 为4.8 m,深度为1 m.若P 为接收天线上一点,则点P 与焦点F 的最短距离为( )图(1) 图(2)A.0.72 mB.1.44 mC.2.44 mD.2.88 m 答案 B2.(2022届江西景德镇一中月考,9)设抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过抛物线上一点A 作l 的垂线,垂足为B.设C(2p,0),AF 与BC 相交于点D.若|CF|=|AF|,且△ACD 的面积为9√22,则p 的值为( ) A.√2 B.2√2 C.√3 D.2√3 答案 D3.(2019课标Ⅱ,8,5分)若抛物线y 2=2px(p>0)的焦点是椭圆x 23p +y 2p=1的一个焦点,则p=( ) A.2 B.3 C.4 D.8 答案 D4.(2020课标Ⅲ,5,5分)设O 为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y 2=2px(p>0)交于D,E 两点,若OD ⊥OE,则C 的焦点坐标为( )A.(14,0)B.(12,0) C.(1,0) D.(2,0) 答案 B5.(2017课标Ⅰ,10,5分)已知F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A,B 两点,直线l 2与C 交于D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 答案 A6.(2021豫东豫北十所名校联考四,11)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,M,N 为抛物线上的两点(与坐标原点不重合),MA ⊥l 于A,NB ⊥l 于B,已知MN 的中点D 的坐标为(2,1),△ABF 与△MNF 的面积比为2∶1,则p 的值为( )A.4B.3C.1D.1或12答案 C7.(2020皖南八校联考二,11)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)过点(1,-2),经过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,A 在x 轴的上方,Q(-1,0),若以QF 为直径的圆经过点B,则|AF|-|BF|=( ) A.2√3 B.2√5 C.2 D.4 答案 D8.(2021北京,12,5分)已知抛物线C:y 2=4x,C 的焦点为F,点M 在C 上,若|FM|=6,则M 的横坐标是 .答案 59.(2021陕西铜川3月模拟,15)已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F(4,0),过点F 作直线l 交抛物线于M,N 两点,则|NF|9-4|MF|的最小值为 .答案1310.(2022届河南平顶山月考,16)抛物线C:x=2py 2(p>0)的焦点F 到准线的距离为2,过点F 的直线与C 交于A,B 两点,C 的准线与x 轴的交点为M,若△MAB 的面积为3√2,则|AF||BF|= . 答案 2或12考点三 直线与抛物线的位置关系1.(2022届云南玉溪月考,7)已知直线l 过抛物线C:y 2=x 的焦点,并交抛物线C 于A,B 两点,|AB|=2,则弦AB 中点G 的横坐标是( )A.32B.43C.34D.1 答案 C2.(2020贵州4月适应性测试,9)已知抛物线C:y 2=2px(p>0),倾斜角为π6的直线交C 于A,B 两点.若线段AB中点的纵坐标为2√3,则p 的值为( ) A.12B.1C.2D.4 答案 C3.(2021非凡吉创3月联考,10)抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,过F 且斜率为k 的直线l 交抛物线于A 、B 两点,分别以FA 、FB 为直径作☉M 、☉N,不过F 点的☉M 、☉N 的两条公切线交于点Q,两公切线分别切☉M 于S 、T,∠SQT=60°,则k=( )A.±1B.±√2C.±√3D.±2 答案 C4.(2018课标Ⅰ,8,5分)设抛物线C:y 2=4x 的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为23的直线与C 交于M,N 两点,则FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.5B.6C.7D.8 答案 D5.(2020新高考Ⅰ,13,5分)斜率为√3的直线过抛物线C:y 2=4x 的焦点,且与C 交于A,B 两点,则|AB|= .答案1636.(2019课标Ⅰ,19,12分)已知抛物线C:y 2=3x 的焦点为F,斜率为32的直线l 与C 的交点为A,B,与x 轴的交点为P.(1)若|AF|+|BF|=4,求l 的方程; (2)若AP⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求|AB|. 解析 设直线l:y=32x+t,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2). (1)由题设得F (34,0),故|AF|+|BF|=x 1+x 2+32,由题设可得x 1+x 2=52.由{y =32x +t,y 2=3x可得9x 2+12(t-1)x+4t 2=0,则x 1+x 2=-12(t -1)9.从而-12(t -1)9=52,得t=-78.所以l 的方程为y=32x-78.(2)由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得y 1=-3y 2.由{y =32x +t,y 2=3x 可得y 2-2y+2t=0.所以y 1+y 2=2.从而-3y 2+y 2=2,故y 2=-1,y 1=3.代入C 的方程得x 1=3,x 2=13.故|AB|=4√133. 7.(2022届云南玉溪月考,20)已知抛物线E:y 2=2px(p>0),过点P(3,0)的直线l 交抛物线E 于A,B,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3(O 为坐标原点). (1)求抛物线E 的方程;(2)过P 作与直线l 垂直的直线m 交抛物线E 于C,D,求四边形ACBD 面积的最小值.解析 (1)设直线l 的方程为x=ty+3,代入E:y 2=2px 整理得y 2-2pty-6p=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),所以y 1+y 2=2pt,y 1y 2=-6p,所以x 1x 2=(y 1y 2)24p 2=(-6p)24p 2=9.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3得x 1x 2+y 1y 2=-3,则9-6p=-3⇒p=2.所以抛物线E 的方程为y 2=4x.(2)由(1)得y 1+y 2=4t,y 1y 2=-12,则|AB|=√1+t 2·√(4t)2+48=4√1+t 2·√t 2+3,因为AB ⊥CD,所以|CD|=4·√1+1t 2·√1t 2+3(t ≠0).所以S 四边形ACBD =12|AB|·|CD|=8√2+(t 2+1t 2)·√10+3(t 2+1t2),令t 2+1t2=n,则n ≥2,则S 四边形ACBD =8√2+n ·√10+3n =8√3n 2+16n +20,故当n=2时,四边形ACBD 面积有最小值,为8√3×4+16×2+20=64.8.(2022届陕西洛南中学月考,20)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点与椭圆M:x 24+y 23=1的右焦点重合. (1)求抛物线C 的方程;(2)直线y=x+m 与抛物线C 交于A,B 两点,当m 为何值时,以AB 为直径的圆,恒过原点O?解析 (1)由题意得,p 2=1,所以p=2,所以抛物线的方程为y 2=4x.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立{y =x +m,y 2=4x,可得x 2+2(m-2)x+m 2=0,所以x 1+x 2=4-2m,x 1x 2=m 2,由Δ=4(m -2)2-4m 2>0,解得m<1,又以AB 为直径的圆,恒过原点O,则OA ⊥OB,可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(x 1+m)(x 2+m)=2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=m 2+4m=0,解得m=-4或m=0,所以当m=-4或m=0时,以AB 为直径的圆,恒过原点O.综合篇 知能转换考法一 利用抛物线的定义解题1.(2021豫北六校1月联考,5)已知圆C 与圆x 2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则圆C 的圆心的轨迹为( )A.双曲线B.椭圆C.直线D.抛物线 答案 D2.(2021九师联盟第三次联考,10)已知点M(-4,-2),抛物线x 2=4y,F 为抛物线的焦点,l 为抛物线的准线,P 为抛物线上一点,过P 作PQ ⊥l,点Q 为垂足,过P 作抛物线的切线l 1,l 1与l 交于点R,则|QR|+|MR|的最小值为( )A.1+2√5B.2√5C.√17D.5 答案 D3.(2021郑州一中等名校4月联考,8)已知过抛物线x 2=12y 的焦点F 的弦与抛物线的两交点A,C 在直线y=-3上的射影分别为点B,D,且|AF|=3|CF|,则△BFD 的面积为( ) A.8√3 B.12√3 C.24√3 D.48√3 答案 C4.(2022届安徽江淮十校联考一,11)已知抛物线y 2=2px(p>0),F 为焦点,直线过焦点F 与抛物线交于A,B 两点,O 为原点,△AOB 的面积为S,且|AB|=4|BF|=√33S,则p=( )A.2B.4C.6D.8 答案 D5.(2022届新疆克拉玛依模拟三,11)2021年是中国传统的“牛”年,可以在平面直角坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象.已知抛物线Z:x 2=4y 的焦点为F,圆F:x 2+(y-1)2=4与抛物线Z 在第一象限的交点为P (m,m 24),直线l:x=t(0<t<m)与抛物线Z 的交点为A,直线l 与圆F 在第一象限的交点为B,则△FAB 周长的取值范围为( ) A.(3,5) B.(4,6) C.(5,7) D.(6,8) 答案 B6.(2022届新疆莎车一中期中,15)过抛物线C:y 2=4x 的焦点F 的动直线交C 于A,B 两点,线段AB 的中点为N,点P(12,4).当|NA|+|NP|的值最小时,点N 的横坐标为 . 答案 97.(2017课标Ⅱ,16,5分)已知F 是抛物线C:y 2=8x 的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交y 轴于点N.若M 为FN 的中点,则|FN|= . 答案 68.(2021新高考Ⅰ,14,5分)已知O 为坐标原点,抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,P 为C 上一点,PF 与x 轴垂直,Q 为x 轴上一点,且PQ ⊥OP.若|FQ|=6,则C 的准线方程为 . 答案 x=-32考法二 直线与抛物线的位置关系问题1.(2021长春第一次质检,10)已知抛物线y 2=2px(p>0),过其焦点F 的直线l 与抛物线交于A,B 两点(点A 在第一象限),且AB⃗⃗⃗⃗⃗ =4FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.2π3答案 C2.(2021成都二模,11)已知F 为抛物线y 2=2x 的焦点,A 为抛物线上的动点,点B(-1,0).当2|AB|2|AF|+1取最大值时,|AB|的值为( )A.2B.√5C.√6D.2√2 答案 C3.(2018课标Ⅲ,16,5分)已知点M(-1,1)和抛物线C:y 2=4x,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点.若∠AMB=90°,则k= . 答案 24.(2022届广西开学考,20)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 为抛物线C 上一点,|MF|=8,且∠OFM=2π3(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程;(2)过点F 的直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,求△AOB 面积的最小值.解析 (1)抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F (p 2,0),准线方程为x=-p 2,过点M 作准线的垂线,垂足为N,过点M作x 轴的垂线,垂足为D,如图,由题意得|MF|=|MN|=p+|MF|·cos 60°,即8=p+4,解得p=4,故抛物线C 的方程为y 2=8x.(2)焦点F(2,0),由题意知直线l 斜率不为0,设直线l 方程为x=ty+2,由{x =ty +2,y 2=8x,消去x 得y 2-8ty-16=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有y 1+y 2=8t,y 1y 2=-16,|AB|=√1+t 2|y 1-y 2|,又坐标原点到直线l 的距离d=√1+t 2,所以S △AOB =12·d|AB|=|y 1-y 2|=√(y 1+y 2)2-4y 1y 2=√64t 2+64≥8,当且仅当t=0时取“=”,所以△AOB 面积的最小值为8.5.(2022届山西长治月考,20)已知抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,且点F 与圆M:(x+4)2+y 2=1上点的距离的最小值为4. (1)求C 的方程;(2)设点T(1,1),过点T 且斜率存在的两条直线分别交曲线C 于A,B 两点和P,Q 两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和. 解析 (1)由题意知,圆心为M(-4,0),半径为1,Fp 2,0,∴p 2+4-1=4,∴p=2,故抛物线方程为y 2=4x. (2)由题意设直线AB 的方程为y=k 1(x-1)+1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由{y 2=4x,y =k 1(x -1)+1得k 12x 2-(2k 12-2k 1+4)x+(k 1-1)2=0,x 1+x 2=2k 12-2k 1+4k 12,x 1x 2=(k 1-1)2k 12,所以|TA||TB|=√1+k 12|x 1-1|·√1+k 12|x 2-1|=(1+k 12)·|x 1x 2-(x 1+x 2)+1|=(1+k 12)·|(k 1-1)2k 12-2k 12-2k 1+4k 12+1|=3(1+k 12)k 12.设直线PQ 的方程为y=k 2(x-1)+1(k 2≠k 1),同理可得|TP||TQ|=3(1+k 22)k 22,由|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,得3(1+k 12)k 12=3(1+k 12)k 22,又k 2≠k 1,所以k 2=-k 1,所以k 1+k 2=0.6.(2022届贵州部分重点中学联考,21)已知抛物线C:x 2=2py(p>0)上的点P(x 0,1)到其焦点F 的距离为2.(1)求抛物线C 的方程及点F 的坐标;(2)过抛物线C 上一点Q 作圆M:x 2+(y-3)2=4的两条斜率都存在的切线,分别与抛物线C 交于异于点Q 的A,B 两点.证明:直线AB 与圆M 相切.解析 (1)由题意,可得|PF|=1+p 2=2,解得p=2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y,焦点为F(0,1).(2)证明:由圆M:x 2+(y-3)2=4,可得圆心M(0,3),半径r=2,设Q (x 1,x 124),A (x 2,x 224),B (x 3,x 324)(x 1≠x 2≠x 3),所以直线QA 的方程为y-x 224=x 224-x 124x 2-x 1(x-x 2),即(x 1+x 2)x-4y-x 1x 2=0.因为直线QA 与圆M 相切,所以12√(x 1+x 2)2+16=2,整理得(x 12-4)x 22+16x 1x 2+80-4x 12=0.同理可得(x 12-4)x 32+16x 1x 3+80-4x 12=0,所以x 2,x 3是方程(x 12-4)x 2+16x 1x+80-4x 12=0的两根,所以x 2+x 3=-16x 1x 12-4,x 2x 3=80−4x 12x 12-4.又因为直线AB 的方程为(x 2+x 3)x-4y-x 2x 3=0,所以圆心M(0,3)到直线AB 的距离d=23√(x 2+x 3)2+16=|80−4x 12x 12-4+12|√(-16x 1x 12-4)2+16=|8x 12+32x 12-4||4(x 12+4)x 12-4|=2=r,所以直线AB 与圆M 相切.7.(2021河南安阳二模,20)已知抛物线C:y 2=2px(x>0)的焦点为F,过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于A,B 两点,△AOB(点O 为坐标原点)的面积为2. (1)求抛物线C 的方程;(2)若过点E(0,a)(a>0)的两直线l 1,l 2的倾斜角互补,直线l 1与抛物线C 交于M,N 两点,直线l 2与抛物线C 交于P,Q 两点,△FMN 与△FPQ 的面积相等,求实数a 的取值范围.解析 (1)因为焦点F (p2,0),所以点A,B 的坐标分别为(p 2,p),(p 2,-p).所以S △AOB =12·2p ·p 2=2,故p=2.故抛物线C 的方程为y 2=4x.(2)由题意可知直线l 1,l 2的斜率存在,且不为0,设直线l 1:x=t(y-a),M(x 1,y 1),N(x 2,y 2). 联立方程可得{y 2=4x,x =t(y -a),消去x,可得y 2-4ty+4at=0.则Δ1=16t 2-16at>0.因为y 1+y 2=4t,y 1y 2=4at,所以|MN|=√1+t 2|y 1-y 2|=√1+t 2√16(t 2-at) =4√1+t 2√t 2-at ,焦点F 到直线l 1的距离d=|1+ta|√1+t,所以S △FMN =12×4√1+t 2√t 2-at ×|1+ta|√1+t=2√t 2-at |1+ta|.设直线l 2:x=-t(y-a),与抛物线方程联立可得{y 2=4x,x =−t(y -a),消去x 可得y 2+4ty-4ta=0,则Δ2=16t 2+16at>0,将t 用-t 替换,可得S △FPQ =2√t 2+at |ta-1|.第 11 页 共 11 页 由S △FMN =S △FPQ 可得2√t 2-at |1+ta|=2√t 2+at |ta-1|, 即√t+a t -a =|ta+1ta -1|,两边平方并化简可得t 2=12−a 2, 所以2-a 2>0,解得0<a<√2.又由Δ1>0且Δ2>0得t<-a 或t>a,可知t 2>a 2, 所以12−a 2>a 2,即(a 2-1)2>0,所以a ≠1, 所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(1,√2).。