初二下期末几何压轴题及解析汇编

初二下期末几何及解析1、以四边形ABCD 的边AB 、AD 为边分别向外侧作等边三角形ABF 和ADE ，连接EB 、FD ，交点为G ．（1）当四边形ABCD 为正方形时（如图1），E B 和FD 的数量关系是_____________；（2）当四边形ABCD 为矩形时（如图2），EB 和FD 具有怎样的数量关系?请加以证明；（3）四边形ABCD 由正方形到矩形到一般平行四边形的变化过程中，∠EGD 是否发生变化?如果改变，请说明理由；如果不变，请在图3中求出∠EGD 的度数．难度一般：证全等即可（第三问，图1中就能看出是45°。

） 解 （1）EB=FD 。

（2）EB=FD 。

证：∵△AFB 为等边三角形,∴AF=AB ，∠FAB=60°∵△ADE 为等边三角形，∴AD=AE ，∠EAD=60°,∴∠FAB+∠BAD=∠EAD+∠BAD即∠FAD=∠BAE,∴△FAD ≌△BAE,∴EB=FD（3）解：∵△ADE 为等边三角形，∴∠AED=∠EDA=60° ∵△FAD ≌△BAE ，∴∠AEB=∠ADF 设∠AEB 为x °，则∠ADF 也为x °于是有∠BED 为（60-x ）°，∠EDF 为（60+x ）° ∴∠EGD=180°-∠BED-∠EDF =180°-（60-x ）°-（60+x ）°=60°2、已知：如图，在□ABCD 中，点E 是BC 的中点， 连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接BF ． （1）求证：△ABE ≌△FCE ；（2）若AF =AD ，求证：四边形ABFC 是矩形．FA BC DE简单题证明：（1）如图1．在△ABE 和△FCE 中，∠1=∠2， ∠3=∠4，BE =CE ， ∴△ABE ≌△FCE ．（2）∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =FC ．∵AB ∥FC ，∴四边形ABFC 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ． ∵AF =AD ，∴AF =BC ．∴四边形ABFC 是矩形．3、已知：△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠B =90°，AB =BC =1． （1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使这个正方形的四个顶点都在△ABC 的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来．（2）按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为1S ，则1S =___________；余下的2个三角形中还按照小林设计的剪法进行第二次裁剪（如图3）， 得到2个新的正方形，将此次所得2个正方形的面积的和．记为2S ，则2S =___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方形，将此次所得4个正方形图EFA BCD 图AB C图图B图2CBA图14321EDC BAF的面积的和．记为3S；按照同样的方法继续操作下去……，第n次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和．nS=______________．（题外题：把你剪出的正方形的面积与图1中的正方形面积进行比较。

八年级下册数学期末压轴题专辑（含解析）1.如图，为∠中的一条射线，点 P 在边上，⊥于 H，交于点 Q，∥交于点 M, ⊥于点 D，∥交于点 R，连 结交于点 S。

（1）求证：四边形为矩形；（2）若 1 ，试探究∠与∠的数量关系，并说明理由。

2（1）证明：∵⊥，⊥，∴∥， ∵∥，∥，∴∥，∴四边形是平行四边形， ∵⊥，∴∠90°， ∵∥，∴∠∠90°，∴四边形为矩形； （2）∠3∠．理由如下：∵四边形为矩形，∴ 1 ，∴∠∠， 2又∵ 1 ，∴，∴∠∠， 2∵∥，∴∠∠， 在△中，∠∠∠2∠2∠，∴∠2∠， ∴∠∠∠2∠∠3∠，即∠3∠．2.如图，矩形在平面直角坐标系内（O 为坐标原点），点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，点 B 的坐标分别为（-2,2 3 ） ，点 E 是的中点，点 H 在上，且 1 ，过点 H 且平行于 y 轴的与交于点 G，现将矩形折叠， 2使顶点 C 落在上，并与上的点 D 重合，折痕为，点 F 为折痕与 y 轴的交点。

（1）求∠的度数和点 D 的坐标； （2）求折痕所在直线的函数表达式； （3）若点 P 在直线上，当△为等腰三角形时，试问满足条件的点 P 有几个？请求出点 P 的坐标，并写出 解答过程。

（本题部分过程用了三角函数，可以用初二知识点沟通）（备用图）解：（1）∵E 是的中点，∴ 1．∵△与△关于直线对称，∴△≌△，∴1，∠∠90°，．∵ 1 ，∴1 1 1 ．222∵∠1 ，∴∠60°．∴∠180°-60°=120°． 2∵∠∠∴∠60°．在△中，由勾股定理得：222=1∴21 22故 D（- ，）（2）∵∠═60°∴60°=-1-/1∴2∴F（0， ），E（-1，2 ）设所在直线的函数表达式为，由图象，得，解得：故所在直线的函数表达式为：；（3）∵ 点 P 在直线上，∴当△为等腰三角形时，有以下三种情况：（a）1F ， 可令 P1（t，），则：P1F2=3∴由两点间的距离公式为：（0）2+（）2=3∴t2+3t2=3∴t2= ，∴t1，t2=∴P1（-， + ）； P3（，）（b） 时，仍令 P（t，），注意 D（- ，），则：2=3∴（ ）2+（）2=3 ∴t2+3 3t2+3 3∴4t2+60∴t1=0，t2∵t1=0 对应 F 点，此时不构成三角形，故舍去．∴P4（- ，）（c）当 仍令 P（t，），注意 D（- ，），F（0， ），则：22∴（ ）2+（）2=（0）2+（∴t2+3 3t2+3 2+3t2∴63=0∴ 1 ∴P4（- 1 ，22）2， ）．故 满 足 条 件 的 点 P 有 4 个 ． 分 别 是 ：（（）．）、（）、（yy11BP AC Oy2xy3.如图,在平面直角坐标系中,已知直线y1=-2 3x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B,直线2（k≠0）经过点 C(1,0)且与线段交于点 P,并把△分成两部分.-1-/1(1)求△的面积. (2)若△被直线分成的两部分的面积相等,求点 P 的坐标及直线的函数表达式.解：(1)在直线中，令，得． ∴B(0，2)．令，得． ∴A(3，0)．、∴．(2)．∵点 P 在第一象限，∴．解得．而点 P 又在直线 上，∴．解得．∴P( )． 将点 C(1，0)、P( )，代入中，有∴直线的函数表达式为．∴．4.如图①,在△中,已知∠90º、F 分别是、上两点，且∥，2，4. (1)求梯形的面积. (2)有一梯形与梯形重合,固定△,将梯形向右运动,直到点 D 与点 C 重合为止, 如图②.①若某时段运动后形成的四边形 / 中⊥ / ,求运动路程的长,并求此时 / 2 的值.②设运动中的长度为 x,试用含 x 的代数式表示出梯形与△重合部分的面积.AGFAG G F FB(D) 图①C(E) BD图②CE备用图解：（1）在△中， ∵， ∴∠∠45°． 又∵∥， ∴∠∠45°． ∴2，6．∴S 梯形△△．（2）①∵在运动过程中有′∥且′，∴′G 是平行四边形． 当⊥′时，′G 是菱形．-1-/1∴4． 如图③，当′G 为菱形时，过点 G′作 G′M⊥于点 M． 在△G′中，∠G′45°，′=4， ∴′M 且 2'M2'2．∴′ ，∴．连接 G′B．在△G′中，．②当 0≤x≤ 时，其重合部分为梯形，如图②．在△与△中，，．过 G 点作垂直于点 H，得 ．由①，知′，，．∴S 梯形=．当 ≤x≤ 时，其重合部分为等腰直角三角形，如图③．∵斜边，斜边上的高为，∴．5.如图,在平面直角坐标系中,已知直线是一次函数(m>0)的图象,直线是一次函数 3x＋n（n＞m） 的图象,点 P 是两直线的交点,点 A、B、C、Q 分别是两条直线与坐标轴的交点。

最新成都八年级下期末数学B卷几何压轴题汇编二21．已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，∠CDO＝30°．点E、F为矩形边上的两个动点，且∠EOF＝60°．（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时．①求证：∠DOF＝∠AOE；②若∠OEB＝75°，求证：DF＝AE．（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若∠OFB＝75°，试探究线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由．22．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．（1）求点B的坐标；（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式；（3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，E为对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AD于点F．（1）如图1，当AE＝AF时，求∠AEB的度数；（2）如图2，分别过点B，F作EF，BE的平行线，且两直线相交于点G．i）试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；ii）连接AG，设CE＝x，AG＝y，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且AB＝BC．（1）求点C的坐标及直线BC的函数表达式；（2）点D（a，2）在直线AB上，点E为y轴上一动点，连接DE．（ⅰ）若∠BDE＝45°，求△BDE的面积；（ⅱ）在点E的运动过程中，以DE为边作正方形DEGF，当点F落在直线BC上时，求满足条件的点E 的坐标．25．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG ∥BD，BG＝BD．①求∠BDE的度数；②请直接写出正方形CEFG的边长的值．26．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y＝mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．（1）如图1，当菱形DEFG的一顶点F在AB边上．①若CG＝OD时，求直线DG的函数表达式；②求证：△OED≌△BGF．（2）如图2，当菱形DEFG的一顶点F在AB边右侧，连接BF，设CG＝a，△FBG面积为S．求S与a 的函数关系式；并判断S的值能否等于1？请说明理由；（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为．（直接写出答案）．27．等腰直角三角形OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，点D为OA中点，DC⊥OB，垂足为C，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM，如图①．（1）求证：AM＝CM；（2）将图①中的△OCD绕点O逆时针旋转90°，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM、OM，如图②．①求证：AM＝CM，AM⊥CM；②若AB＝4，求△AOM的面积．28．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC交x轴负半轴于点C，∠BCA＝30°，如图①．（1）求直线BC的解析式．（2）在图①中，过点A作x轴的垂线交直线CB于点D，若动点M从点A出发，沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点N从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，直线MN与直线AD交于点S，如图②，设运动时间为t秒，当△DSN≌△BOC时，求t的值．（3）若点M是直线AB在第二象限上的一点，点N、P分别在直线BC、直线AD上，是否存在以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．（1）如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长＝cm；②求证：EP＝AE+DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．30．矩形ABCO中，O（0，0），C（0，3），A（a，0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO得到矩形AFED．（1）如图1，当点D落在边BC上时，求BD的长（用a的式子表示）；（2）如图2，当a＝3时，矩形AFED的对角线AE交矩形ABCO的边BC于点G，连接CE，若△CGE 是等腰三角形，求直线BE的解析式；（3）如图3，矩形ABCO的对称中心为点P，当P，B关于AD对称时，求出a的值，此时在x轴、y轴上是否分别存在M，N使得四边形EFMN为平行四边形，若存在直接写出M，N坐标，不存在说明理由．31．如图为正方形ABCD中，点M、N在直线BD上，连接AM，AN并延长交BC、CD于点E、F，连接EN．（1）如图1，若M，N都在线段BD上，且AN＝NE，求∠MAN；（2）如图2，当点M在线段DB延长线上时，AN＝NE，（1）中∠MAN的度数不变，判断BM，DN，MN之间的数量关系并证明；（3）如图3，若点M在DB的延长线上，N在BD的延长线上，且∠MAN＝135°，AB＝，MB＝，求DN．32．在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD．（1）如图1，求证：△AMC≌△AND；（2）如图1，若DF＝，求AE的长；（3）如图2，将△CDF绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°），点C，F的对应点分别为C1、F1．连接AF1、BC1，点G是BC1的中点，连接AG．试探索是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由．33．如图，等腰直角三角形OAB的三个定点分别为O（0，0）、A（0，3）、B（﹣3，0），过A作y轴的垂线l1．点C在x轴上以每秒的速度从原点出发向右运动，点D在l1上以每秒的速度同时从点A出发向右运动，当四边形ABCD为平行四边形时C、D同时停止运动，设运动时间为t．当C、D停止运动时，将△OAB沿y轴向右翻折得到△OAB1，AB1与CD相交于点E，P为x轴上另一动点．（1）求直线AB的解析式，并求出t的值．（2）当PE+PD取得最小值时，求PD2+PE2+2PD•PE的值．（3）设P的运动速度为1，若P从B点出发向右运动，运动时间为x，请用含x的代数式表示△P AE的面积．34．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上．（1）如图1，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF＝CF；①求证：点F是AD的中点；②判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．35．（1）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG＝BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB＝AD时，点E是对角线AC 上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．36．已知正方形ABCD，探究以下问题：（1）如图1，点F在BC上，作FE⊥BD于点E，取DF的中点G，连接EG、CG，将△EGC沿直线EC 翻折到△EG′C，求证：四边形EGCG′是菱形；（2）如图2，点F是BC外一点，作FE⊥BC于点E，且BE＝EF，连接DF，取DF的中点G，将△EGC 沿直线EC翻折到△EG′C，作FM⊥CD于点M，请问（1）中的结论”四边形EGCG′是菱形”是否依然成立，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若图2中AB＝4，设BE长为x，四边形EGCG′的面积为S，请求出S关于x 的函数关系式，并说明理由．37．（1）【问题发现】如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为；（2）【拓展研究】在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，当点B，E，F三点共线时，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时，求线段AF的长．38．如图1，直线y＝﹣x+6与y轴交于点A，与x轴交于点D，直线AB交x轴于点B，△AOB沿直线AB折叠，点O恰好落在直线AD上的点C处．（1）求OB的长；（2）如图2，F，G是直线AB上的两点，若△DFG是以FG为斜边的等腰直角三角形，求点F的坐标；（3）如图3，点P是直线AB上一点，点Q是直线AD上一点，且P，Q均在第四象限，点E是x轴上一点，若四边形PQDE为菱形，求点E的坐标．39．如图，矩形ABCD中，∠BAC＝30°，对角线AC、BD交于点O，∠BCD的平分线CE分别交AB、BD 于点E、H，连接OE．（1）求∠BOE的度数；（2）若BC＝1，求△BCH的面积；（3）求S△CHO：S△BHE．参考答案21．已知四边形ABCD为矩形，对角线AC、BD相交于点O，∠CDO＝30°．点E、F为矩形边上的两个动点，且∠EOF＝60°．（1）如图1，当点E、F分别位于AB、AD边上时．①求证：∠DOF＝∠AOE；②若∠OEB＝75°，求证：DF＝AE．（2）如图2，当点E、F同时位于AB边上时，若∠OFB＝75°，试探究线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由．【解答】证明：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠CDA＝90°，∴AO＝DO，∵∠CDO＝30°，∴∠ADO＝60°，∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD＝60°，∵∠EOF＝60°，∴∠EOF＝∠AOD，∴∠DOF＝∠AOE；②在OF上截取OH＝OE，连接DH，∵AO＝OD，∠DOF＝∠AOE，OE＝OH，∴△AOE≌△DOH（SAS），∴AE＝DH，∵∠OEB＝75°，∴∠AEO＝105°，∵∠AEO+∠EOF+∠OF A+∠DAB＝360°，∴∠AFO＝105°，∴∠DFH＝75°，∴∠DFH＝∠DHF，∴DF＝DH＝AE；（2）将△OAF绕点O顺时针旋转120°得到△OBN，连接NE．∴ON＝OF，∠NOF＝∠AOB＝120°，AF＝BN，∵∠AOB＝120°，∠EOF＝60°，∴∠BON+∠BOE＝∠AOF+∠BOE＝60°，∴∠EON＝∠EOF，∵OF＝ON，OE＝OE，∴△EOF≌△EON（SAS），∴∠OEF＝∠OEN，∵∠OFB＝75°，∠OBF＝30°，∴∠BOF＝75°，∴∠BOE＝75°﹣60°＝15°，∴∠FEO＝∠BOE+∠OBE＝45°，∴∠OEF＝∠OEN＝45°，∴∠NEB＝∠NEF＝90°，∵∠OBN＝∠OAF＝30°，∠OBE＝30°，∴∠EBN＝60°，∴∠ENB＝90°﹣60°＝30°，∴BN＝2BE，∵AF＝BN，∴AF＝2BE．22．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+n分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），点C为线段AB的中点．（1）求点B的坐标；（2）点P为直线AB上的一个动点，过点P作x轴的垂线，与直线OC交于点Q，设点P的横坐标为m，△OPQ的面积为S，求S与m的函数解析式；（3）当点P在直线AB上运动时，在平面直角坐标系内是否存在一点N，使得以O，B，P，N为顶点的四边形为矩形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将点A的坐标代入y＝﹣x+n并解得：n＝3，故直线的表达式为：y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，故点B（0，3）；（2）点C为线段AB的中点，则由中点公式得，点C（2，），则直线OC的表达式为：y＝x，设点P（m，﹣m+3），则点Q（m，m），当点P在y轴右侧，且在点C右侧时，S＝PQ•|x P|＝（m+m﹣3）•m＝m2﹣m；当点P在y轴右侧，且在点C左侧时，S＝PQ•|x P|＝（﹣m+3﹣m）•m＝m﹣m2；当点P在y轴左侧时，同理可得：S＝m2﹣m；故S＝m2﹣m或S＝m﹣m2；（3）设P（m，﹣m+3），点N（s，t），而点O、B的坐标分别为（0，0）、（0，3）；①当OB是矩形的边时，则点P与点A重合，故点P（4，0），故点N（4，3）；②当OB是矩形的对角线时，由中点公式得：m+s＝0且﹣m+3+t＝3+0①，由矩形的对角线相等得：OB＝PN，即（m﹣s）2+（﹣m+3﹣t）2＝32②，联立①②并解得：，故点N（﹣，）；综上，点N的坐标为（4，3）或（﹣，）．23．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝4，E为对角线AC上的动点（点E不与A，C重合），连接BE，将射线EB绕点E逆时针旋转120°后交射线AD于点F．（1）如图1，当AE＝AF时，求∠AEB的度数；（2）如图2，分别过点B，F作EF，BE的平行线，且两直线相交于点G．i）试探究四边形BGFE的形状，并求出四边形BGFE的周长的最小值；ii）连接AG，设CE＝x，AG＝y，请直接写出y与x之间满足的关系式，不必写出求解过程．【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，∠BAC＝∠DAC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵∠ABC＝120°，∴∠BAD＝60°，∴∠EAF＝30°，∵AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝75°，∵∠BEF＝120°，∴∠AEB＝120°﹣75°＝45°．（2）i）如图2中，连接DE．∵AB＝AD，∠BAE＝∠DAE，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴BE＝DE，∠ABE＝∠ADE，∵∠BAF+∠BEF＝60°+120°＝180°，∴∠ABE+∠AFE＝180°，∵∠AFE+∠EFD＝180°，∴∠EFD＝∠ABE，∴∠EFD＝∠ADE，∴EF＝ED，∴EF＝BE，∵BE∥FG，BG∥EF，∴四边形BEFG是平行四边形，∵EB＝EF，∴四边形BEFG是菱形，∴当BE⊥AC时，菱形BEFG的周长最小，此时BE＝AB•sin30°＝2，∴四边形BGFE的周长的最小值为8．ii）如图2﹣1中，连接BD，DE，过点E作EH⊥CD于H．∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD＝BA，∠ABD＝60°，∵BG∥EF，∴∠EBG＝180°﹣120°＝60°，∴∠ABD＝∠GBE，∴∠ABG＝∠DBE，∵BG＝BE，∴△ABG≌△DBE（SAS），∴AG＝DE＝y，在Rt△CEH中，EH＝EC＝x．CH＝x，∴DH＝|4﹣x|，在Rt△DEH中，∵DE2＝EH2+DH2，∴y2＝x2+（4﹣x）2，∴y2＝x2﹣12x+48，∴y＝（0＜x＜12）．24．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，过点B的直线交x轴负半轴于点C，且AB＝BC．（1）求点C的坐标及直线BC的函数表达式；（2）点D（a，2）在直线AB上，点E为y轴上一动点，连接DE．（ⅰ）若∠BDE＝45°，求△BDE的面积；（ⅱ）在点E的运动过程中，以DE为边作正方形DEGF，当点F落在直线BC上时，求满足条件的点E 的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣2x+6交x轴于点A，交y轴于点B，∴A（3，0），B（0，6），∴OA＝3，OB＝6，∵AB＝BC，OB⊥AC，∴OC＝OA＝3，∴C（﹣3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝2x+6．（2）如图，取点Q（﹣1，3），连接BQ，DQ，DQ交AB于E．∵D（a，2）在直线y＝﹣2x+6上，∴2＝﹣2a+6，∴a＝2，∴D（2，2），∵B（0，6），∴QB＝＝，QD＝＝，BD＝＝2，∴BD2＝QB2+QD2，QB＝QD，∴∠BQD＝90°，∠BDQ＝45°，∵直线DQ的解析式为y＝﹣x+，∴E（0，），∴OE＝，BE＝6﹣＝，∴S△BDE＝××2＝．（3）如图，过点D作DM⊥OA于M，DN⊥OB于N．∵四边形DEGF是正方形，∴∠EDF＝90°，ED＝DF，∵∠EDF＝∠MDN＝90°，∴∠EDN＝∠DFM，∵DE＝DF，DN＝DM，∴△DNE≌△DMF（SAS），∴∠DNE＝∠DMF＝90°，EN＝FM，∴点F在x轴上，∴当点F与C重合时，FM＝NE＝5，此时E（0，7），同法可证，点F′在直线y＝4上运动，当点F′落在BC上时，E（0，﹣1），综上所述，满足条件的点E的坐标为（0，7）或（0，﹣1）．25．已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；（2）如图2，如果正方形ABCD的边长为，将正方形CEFG绕着点C旋转到某一位置时恰好使得CG ∥BD，BG＝BD．①求∠BDE的度数；②请直接写出正方形CEFG的边长的值．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和CEFG为正方形，∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝∠GCE＝90°．∴∠BCD+∠DCG＝∠GCE+∠DCG，∴∠BCG＝∠DCE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE（SAS）．（2）解：①连接BE．由（1）可知：BG＝DE．∵CG∥BD，∴∠DCG＝∠BDC＝45°．∴∠BCG＝∠BCD+∠GCD＝90°+45°＝135°．∵∠GCE＝90°，∴∠BCE＝360°﹣∠BCG﹣∠GCE＝360°﹣135°﹣90°＝135°．∴∠BCG＝∠BCE．∵BC＝BC，CG＝CE，在△BCG和△BCE中，，∴△BCG≌△BCE（SAS）．∴BG＝BE．∵BG＝BD＝DE，∴BD＝BE＝DE．∴△BDE为等边三角形．∴∠BDE＝60°．②延长EC交BD于点H，在△BCE和△DCE中，，∴△BCE≌△BCG（SSS），∴∠BEC＝∠DEC，∴EH⊥BD，BH＝．∵BC＝CD＝，在Rt△BCD中由勾股定理，得∴BD＝＝＝2．∴CH＝1．在Rt△BHE中，由勾股定理，得EH＝，∴CE＝﹣1．∴正方形CEFG的边长为．26．在平面直角坐标系xOy中，边长为6的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，直线y＝mx+2与OC，BC两边分别相交于点D，G，以DG为边作菱形DEFG，顶点E在OA边上．（1）如图1，当菱形DEFG的一顶点F在AB边上．①若CG＝OD时，求直线DG的函数表达式；②求证：△OED≌△BGF．（2）如图2，当菱形DEFG的一顶点F在AB边右侧，连接BF，设CG＝a，△FBG面积为S．求S与a 的函数关系式；并判断S的值能否等于1？请说明理由；（3）如图3，连接GE，当GD平分∠CGE时，m的值为．（直接写出答案）．【解答】解：（1）①∵将x＝0代入y＝mx+2得；y＝2，∴点D的坐标为（0，2）．∵CG＝OD＝2，∴点G的坐标为（2，6）．将点G（2，6）代入y＝mx+2得：2m+2＝6．解得：m＝2．∴直线DG的函数表达式为y＝2x+2．②如图1，延长GF交y轴于点M，∵DM∥AB，∴∠GFB＝∠DMG，∵四边形DEFG是菱形，∴GF∥DE，DE＝GF，∴∠DMG＝∠ODE，∴∠GFB＝∠ODE，又∵∠B＝∠DOE＝90°，∴△OED≌△BGF（AAS）；（2）如图2所示：过点F作FH⊥BC，垂足为H，延长FG交y轴与点N．∵四边形DEFG为菱形，∴GF＝DE，GF∥DE．∴∠GNC＝∠EDO．∴∠NGC＝∠DEO．∴∠HGF＝∠DEO．在Rt△GHF和Rt△EOD中，，∴Rt△GHF≌Rt△EOD（AAS）．∴FH＝DO＝2．∴S△GBF＝GB•HF＝×2×（6﹣a）＝6﹣a．∴S与a之间的函数关系式为：S＝6﹣a．当s＝1时，则6﹣a＝1．解得：a＝5．∴点G的坐标为（5，6）．在△DCG中，由勾股定理可知；DG＝＝＝．∵四边形GDEF是菱形，∴DE＝DG＝．在Rt△DOE中，由勾股定理可知OE＝＝＝＞6．∴OE＞OA．∴点E不在OA上．∴S≠1．（3）如图3所示：连接DF交EG于点M，过点M作MN⊥y轴，垂足为N．又∵四边形DEFG为菱形，∴DM⊥GM，点M为DF的中点．∵GD平分∠CGE，DM⊥GM，GC⊥OC，∴MD＝CD＝4．∵由（2）可知点F的坐标为4，点D的纵坐标为2，∴点M的纵坐标为3．∴ND＝1．在Rt△DNM中，MN＝＝．∴点M的坐标为（，3）．设直线DM的解析式为y＝kx+2．将（，3）代入得：k+2＝3．解得：k＝．∴设直线MG的解析式为y＝﹣x+b．将（，3）代入得：﹣15+b＝3．解得：b＝18．∴直线MG的解析式为y＝﹣x+18．将y＝6代入得：﹣x+18＝6．解得：x＝．∴点G的坐标为（，6）．将（，6）代入y＝mx+2得：m+2＝6．解得：m＝．故答案为：．27．等腰直角三角形OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB，点D为OA中点，DC⊥OB，垂足为C，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM，如图①．（1）求证：AM＝CM；（2）将图①中的△OCD绕点O逆时针旋转90°，连接BD，点M为线段BD中点，连接AM、CM、OM，如图②．①求证：AM＝CM，AM⊥CM；②若AB＝4，求△AOM的面积．【解答】解：（1）证明：∵∠OAB＝90°，∴△ABD是直角三角形，∵点M是BD的中点，∴AM＝BD，∵DC⊥OB，∴∠BCD＝90°，∵点M是BD的中点，∴CM＝BD，∴AM＝CM；（2）①如图②，在图①中，∵AO＝AB，∠OAB＝90°，∴∠ABO＝∠AOB＝45°，∵DC⊥OB，∴∠OCD＝90°，∴∠ODC＝∠AOB，∴OC＝CD，延长CM交OB于T，连接AT，由旋转知，∠COB＝90°，DC∥OB，∴∠CDM＝∠TBM，∵点M是BD的中点，∴DM＝BM，∵∠CMD＝∠TMB，∴△CDM≌△TBM（ASA），∴CM＝TM，DC＝BT＝OC，∵∠AOC＝∠BOC﹣∠AOB＝45°＝∠ABO，∵AO＝AB，∴△OAC≌△BAT（SAS），∴AC＝AT，∠OAC＝∠BAT，∴∠CAT＝∠OAC+∠OAT＝∠BAT+∠OAT＝∠OAB＝90°，∴△CAT是等腰直角三角形，∵CM＝TM，∴AM⊥CM，AM＝CM；②如图③，在Rt△AOB中，AB＝4，∴OA＝4，OB＝AB＝4，在图①中，点D是OA的中点，∴OD＝OA＝2，∵△OCD是等腰直角三角形，∴DC＝CO＝＝，由①知，BT＝CD，∴BT＝，∴OT＝OB﹣TB＝3，在Rt△OTC中，CT＝＝2，∵CM＝TM＝CT＝＝AM，∵OM是Rt△COT的斜边上的中线，∴OM＝CT＝，∴AM＝OM，过点M作MN⊥OA于N，则ON＝AN＝OA＝2，根据勾股定理得，MN＝＝1，∴S△AOM＝OA•MN＝×4×1＝2．28．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线BC交x轴负半轴于点C，∠BCA＝30°，如图①．（1）求直线BC的解析式．（2）在图①中，过点A作x轴的垂线交直线CB于点D，若动点M从点A出发，沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度运动，同时，动点N从点C出发，沿射线CB方向以每秒2个单位长度的速度运动，直线MN与直线AD交于点S，如图②，设运动时间为t秒，当△DSN≌△BOC时，求t的值．（3）若点M是直线AB在第二象限上的一点，点N、P分别在直线BC、直线AD上，是否存在以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴x＝0时，y＝2，y＝0时，x＝2，∴A（2，0），B（0，2），∴OB＝AO＝2，在Rt△COB中，∠BOC＝90°，∠BCA＝30°，∴OC＝2，∴C（﹣2，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，代入B，C两点的坐标得，，∴k＝，b＝2，∴直线BC的解析式为y＝x+2；（2）分别过点M，N作MQ⊥x轴，NP⊥x轴，垂足分别为点Q，P．（Ⅰ）如图1，当点M在线段AB上运动时，∵CN＝2t，AM＝t，OB＝OA＝2，∠BOA＝∠BOC＝90°，∴∠BAO＝∠ABO＝45°，∵∠BCO＝30°，∴NP＝MQ＝t，∵MQ⊥x轴，NP⊥x轴，∴∠NPQ＝∠MQA＝90°，NP∥MQ，∴四边形NPQM是矩形，∴NS∥x轴，∵AD⊥x轴，∴AS∥MQ∥y轴，∴四边形MQAS是矩形，∴AS＝MQ＝NP＝t，∵NS∥x轴，AS∥MQ∥y轴，∴∠DNS＝∠BCO，∠DSN＝∠DAO＝∠BOC＝90°，∴当DS＝BO＝2时，△DSN≌△BOC（AAS），∵D（2，+2），∴DS＝+2﹣t，∴+2﹣t＝2，∴t＝（秒）；（Ⅱ）当点M在线段AB的延长线上运动时，如图2，同理可得，当DS＝BO＝2时，△DSN≌△BOC（AAS），∵DS＝t﹣（+2），∴t﹣（+2）＝2，∴t＝+4（秒），综合以上可得，t＝秒或t＝+4秒时，△DSN≌△BOC．（3）存在以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形：M（﹣2﹣2，2+4）或M（﹣2﹣4，2+6）或M（﹣2+2，2）．∵M是直线AB在第二象限上的一点，点N，P分别在直线BC，直线AD上，∴设点M（a，﹣a+2），N（b，b+2），P（2，c），点B（0，2），（Ⅰ）当以BM，BP为邻边构成菱形时，如图3，∵∠CBO＝60°，∠OBA＝∠OAB＝∠P AF＝45°，∴∠DBA＝∠MBN＝∠PBN＝75°，∴∠MBE＝45°，∠PBF＝30°，∴MB＝ME，PF＝AP，PB＝2PF＝AP，∵四边形BMNP是菱形，∴，解得，a＝﹣2﹣2，∴M（﹣2﹣2，2+4）（此时点N与点C重合），（Ⅱ）当以BP为对角线，BM为边构成菱形时，如图4，过点B作EF∥x轴，ME⊥EF，NF⊥EF，同（Ⅰ）可知，∠MBE＝45°，∠NBF＝30°，由四边形BMNP是菱形和BM＝BN得：，解得：a＝﹣2﹣4，∴M（﹣2﹣4，2+6），（Ⅲ）当以BM为对角线，BP为边构成菱形时，如图5，作NE⊥y轴，BF⊥AD，∴∠BNE＝30°，∠PBF＝60°，由四边形BMNP是菱形和BN＝BP得，，解得：a＝﹣2+2，∴M（﹣2+2，2）．综合上以得出，当以M、B、N、P为顶点的四边形是菱形时，点M的坐标为：M（﹣2﹣2，2+4）或M（﹣2﹣4，2+6）或M（﹣2+2，2）．29．如图①，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP．（1）如图②，若M为AD边的中点，①△AEM的周长＝6cm；②求证：EP＝AE+DP；（2）随着落点M在AD边上取遍所有的位置（点M不与A、D重合），△PDM的周长是否发生变化？请说明理由．【解答】解：（1）由折叠知BE＝EM，∠B＝∠EMP＝90°．①△AEM的周长＝AE+EM+AM＝AE+EB+AM＝AB+AM．∵AB＝4，M是AD中点，∴△AEM的周长＝4+2＝6（cm）；②现证明EP＝AE+PD方法一：取EP的中点G，则在梯形AEPD中，MG为中位线，∴MG＝（AE+PD），在Rt△EMP中，MG为斜边EP的中线，∴MG＝EP，∴EP＝AE+PD．方法二：延长EM交CD延长线于Q点．∵∠A＝∠MDQ＝90°，AM＝DM，∠AME＝∠DMQ，∴△AME≌△DMQ．∴AE＝DQ，EM＝MQ．又∵∠EMP＝∠B＝90°，∴PM垂直平分EQ，有EP＝PQ．∵PQ＝PD+DQ，∴EP＝AE+PD．（2）△PDM的周长保持不变．设AM＝x，则MD＝4﹣x．由折叠性质可知，EM＝4﹣AE，在Rt△AEM中，AE2+AM2＝EM2，即AE2+x2＝（4﹣AE）2，整理得：AE2+x2＝16﹣8AE+AE2，∴AE＝（16﹣x2），又∵∠EMP＝90°，∴∠AME+∠DMP＝90°．∵∠AME+∠AEM＝90°，∴∠AEM＝∠DMP．又∵∠A＝∠D，∴△PDM∽△MAE．∴∴C△PDM＝C△MAE•＝（4+x）•＝8．∴△PDM的周长保持不变．30．矩形ABCO中，O（0，0），C（0，3），A（a，0），（a≥3），以A为旋转中心顺时针旋转矩形ABCO得到矩形AFED．（1）如图1，当点D落在边BC上时，求BD的长（用a的式子表示）；（2）如图2，当a＝3时，矩形AFED的对角线AE交矩形ABCO的边BC于点G，连接CE，若△CGE 是等腰三角形，求直线BE的解析式；（3）如图3，矩形ABCO的对称中心为点P，当P，B关于AD对称时，求出a的值，此时在x轴、y轴上是否分别存在M，N使得四边形EFMN为平行四边形，若存在直接写出M，N坐标，不存在说明理由．【解答】解：（1）如图1，在矩形ABCO中，∠B＝90°当点D落在边BC上时，BD2＝AD2﹣AB2，∵C（0，3），A（a，0）∴AB＝OC＝3，AD＝AO＝a，∴BD＝；（2）如图2，连接AC，∵a＝3，∴OA＝OC＝3，∴矩形ABCO是正方形，∴∠BCA＝45°，设∠ECG的度数为x，∴AE＝AC，∴∠AEC＝∠ACE＝45°+x，①当CG＝EG时，x＝45°+x，解得x＝0，不合题意，舍去；②当CE＝GE时，如图2，∠ECG＝∠EGC＝x∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，∴x+x+（45°+x）＝180°，解得x＝45°，∴∠AEC＝∠ACE＝90°，不合题意，舍去；③当CE＝CG时，∠CEG＝∠CGE＝45°+x，∵∠ECG+∠EGC+∠CEG＝180°，∴x+（45°+x）+（45°+x）＝180°，解得x＝30°，∴∠AEC＝∠ACE＝75°，∠CAE＝30°如图3，连接OB，交AC于点Q，过E作EH⊥AC于H，连接BE，∴EH＝AE＝AC，BQ＝AC，∴EH＝BQ，EH∥BQ且∠EHQ＝90°∴四边形EHQB是矩形∴BE∥AC，设直线BE的解析式为y＝﹣x+b，∵点B（3，3）在直线上，则b＝6，∴直线BE的解析式为y＝﹣x+6；（3）①∵点P为矩形ABCO的对称中心，∴P（，），∵B（a，3），∴PB的中点坐标为：（a，），∴直线PB的解析式为y PB＝x，∵当P，B关于AD对称，∴AD⊥PB，∴直线AD的解析式为：y＝﹣x+，∵直线AD过点（a，），∴＝﹣a2+，解得：a＝±3，∵a≥3，∴a＝3；②存在M，N；理由：∵a＝3，∴直线AD的解析式为y＝﹣x+9，∴∠DAO＝60°，∴∠DAB＝30°，连接AE，∵AD＝OA＝3，DE＝OC＝3，∴∠EAD＝30°，∴A，B，E三点共线，∴AE＝2DE＝6，∴E（3，6），F（，），设M（m，0），N（0，n），∵四边形EFMN是平行四边形，∴，解得：，∴M（，0），N（0，）．31．如图为正方形ABCD中，点M、N在直线BD上，连接AM，AN并延长交BC、CD于点E、F，连接EN．（1）如图1，若M，N都在线段BD上，且AN＝NE，求∠MAN；（2）如图2，当点M在线段DB延长线上时，AN＝NE，（1）中∠MAN的度数不变，判断BM，DN，MN之间的数量关系并证明；（3）如图3，若点M在DB的延长线上，N在BD的延长线上，且∠MAN＝135°，AB＝，MB＝，求DN．【解答】解：（1）如图1，过N作GK⊥BC，交AD于G，交BC于K，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠ADB＝45°，∴GK⊥AD，∴∠AGN＝∠EKN＝90°，∵△BNK是等腰直角三角形，∴BK＝NK，∵AD＝DC＝GK，∴AG＝BK，在Rt△AGN和Rt△NKE中，∴Rt△AGN≌Rt△NKE（HL），∴∠ANG＝∠NEK，∵∠ENK+∠NEK＝90°，∴∠ANG+∠ENK＝90°，∴∠ANE＝90°，∴△ANE是等腰直角三角形，∴∠MAN＝45°；（2）MN2＝DN2+BM2，理由如下：如图，将△ABM绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH，连接NH，∴△ABM≌△ADH∴AM＝AH，∠MAB＝∠DAH，∠ABM＝∠ADH，BM＝DH∵∠ABD＝∠ADB＝45°∴∠ABM＝∠ADH＝135°∴∠NDH＝90°，∵∠MAD＝∠BAD+∠MAB＝∠MAH+∠DAH∴∠MAH＝∠BAD＝90°∵∠MAN＝45°，∴∠MAN＝∠HAN＝45°，且AM＝AH，AN＝AN∴△AMN≌△AHN（SAS）∴MN＝NH，∵在Rt△DHN中，NH2＝DN2+DH2，∴MN2＝DN2+BM2，（3）如图3，过A作AK⊥AM，且AK＝AM，连接MK、KB、KN，∵AB＝∴BD＝AB＝2，∴MD＝BD+BM＝3∵∠KAM＝∠BAD＝90°，∴∠KAB＝∠DAM，且AB＝AD，AK＝AM∴△BAK≌△DAM（SAS），∴DM＝BK＝3，∠ABK＝∠ADM＝45°，∴∠NBK＝45°+45°＝90°，∵∠MAN＝135°，∠KAM＝90°，∴∠NAK＝135°＝∠MAN，∵AN＝AN，∴△AKN≌△AMN（SAS），∴NK＝MN设DN＝x，则MN＝3+x，在Rt△NBK中，由勾股定理得：（2+x）2+（3）2＝（3+x）2，解得：x＝2∴DN＝232．在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC，将AB绕点A逆时针旋转90°至点D，D点恰好落在NF上，连接BD，AC与BD交于点E，连接CD．（1）如图1，求证：△AMC≌△AND；（2）如图1，若DF＝，求AE的长；（3）如图2，将△CDF绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜90°），点C，F的对应点分别为C1、F1．连接AF1、BC1，点G是BC1的中点，连接AG．试探索是否为定值，若是定值，则求出该值；若不是，请说明理由．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形AMFN是正方形，∴AM＝AN∠AMC＝∠N＝90°∴△AMC，△AND是Rt△∵△ABC是等边三角形∴AB＝AC∵旋转后AB＝AD∴AC＝AD∴Rt△AMC≌Rt△AND（HL）．（2）解：如图2中，过E作EG⊥AB于G，在BC找一点H，连接DH，使BH＝HD．设AG＝x，则AE＝2x，GE＝x．易得△GBE是等腰直角三角形∴BG＝EG＝x，∴AB＝BC＝（+1）x，易得∠DHF＝30°∴HD＝2DF＝2，HF＝3，∴BF＝BH+HF＝2+3，∵Rt△AMC≌Rt△AND（HL）∴易得CF＝DF＝∴BC＝BF﹣CF＝2+3﹣＝3+，∴（+1）x＝3+，∴x＝∴AE＝2x＝2．（3）结论：＝．理由：如图3中，延长F1G到M，延长BA交F1C1的延长线于N，使得GM＝F1G，则△GMB≌△GF1C1，∴BM＝F1C1＝DF1，∠BMG＝∠GF1N，∴BM∥F1N，∴∠MBA＝∠N，∵∠NAO＝∠OF1D＝90°，∠AON＝∠DOF1，∴∠N＝∠ADF1∴∠ABM＝∠ADF1，∵AB＝AD，∴△ABM≌△ADF1（SAS），∴AM＝AF1，∠MAB＝∠DAF1，∴∠MAF1＝∠BAD＝90°，∴△AMF1是等腰直角三角形，∴AG⊥MF1，AG＝GF1，∴AF1＝AG∴＝．33．如图，等腰直角三角形OAB的三个定点分别为O（0，0）、A（0，3）、B（﹣3，0），过A作y轴的垂线l1．点C在x轴上以每秒的速度从原点出发向右运动，点D在l1上以每秒的速度同时从点A出发向右运动，当四边形ABCD为平行四边形时C、D同时停止运动，设运动时间为t．当C、D停止运动时，将△OAB沿y轴向右翻折得到△OAB1，AB1与CD相交于点E，P为x轴上另一动点．（1）求直线AB的解析式，并求出t的值．（2）当PE+PD取得最小值时，求PD2+PE2+2PD•PE的值．（3）设P的运动速度为1，若P从B点出发向右运动，运动时间为x，请用含x的代数式表示△P AE的面积．【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（0，3），B（﹣3，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴直线AB的解析式为y＝x+3．设t秒后，四边形ABCD为平行四边形，依题意，得：3+t＝（+）t，解得：t＝2．（2）作点E关于x轴的对称点E′，连接E′D交x轴于点P，此时PE+PD取得最小值，如图1所示．由（1）可知：点C的坐标为（，0），点D的坐标为（3+，3）．∵AB∥CD，∴设直线CD的解析式为y＝x+c，将C（，0）代入y＝x+c，得：0＝+c，解得：c＝﹣，∴直线CD的解析式为y＝x﹣．同理，可求出直线AB′的解析式为y＝﹣x+3．联立直线CD，AB′的解析式成方程组，得：，解得：，∴点E的坐标为（，），∴点E′的坐标为（，），∴PD2+PE2+2PD•PE＝（PD+PE）2＝E′D2＝（3+﹣）2+（3﹣）2＝24﹣3．（3）分两种情况考虑，如图2所示．①当0≤x≤6时，S△P AE＝S△P AB′﹣S△PEB′＝×3（6﹣x）﹣×（6﹣x）＝（6﹣x）；当x＞6时，S△P AE＝S△P AB′﹣S△PEB′＝×3（x﹣6）﹣×（x﹣6）＝（x﹣6）．综上所述：△P AE的面积S△P AE＝．34．已知△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C为它们的公共直角顶点，D、E分别在BC、AC边上．（1）如图1，F是线段AD上的一点，连接CF，若AF＝CF；①求证：点F是AD的中点；②判断BE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）如图2，把△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），点F是AD的中点，其他条件不变，判断BE与CF的关系是否不变？若不变，请说明理由；若要变，请求出相应的正确结论．【解答】（1）①证明：如图1，∵AF＝CF，∴∠1＝∠2，∵∠1+∠ADC＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠3＝∠ADC，∴FD＝FC，∴AF＝FD，即点F是AD的中点；②BE＝2CF，BE⊥CF．理由如下：∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，在△ADC和△BEC中，∴△ADC≌△BEC，∴AD＝BE，∠1＝∠CBE，而AD＝2CF，∠1＝∠2，∴BE＝2CF，而∠2+∠3＝90°，∴∠CBE+∠3＝90°，∴CF⊥BE；（2）仍然有BE＝2CF，BE⊥CF．理由如下：延长CF到G使FG＝CF，连接AG、DG，如图2，∵AF＝DF，FG＝FC，∴四边形ACDG为平行四边形，∴AG＝CD，AG∥CD，∴∠GAC+∠ACD＝180°，即∠GAC＝180°﹣∠ACD，∴CD＝CE＝AG，∵△DEC绕点C顺时针旋转α角（0＜α＜90°），∴∠BCD＝α，∴∠BCE＝∠DCE+∠BCD＝90°+α＝90°+90°﹣∠ACD＝180°﹣∠ACD，∴∠GAC＝∠ECB，在△AGC和△CEB中，∴△AGC≌△CEB，∴CG＝BE，∠2＝∠1，∴BE＝2CF，而∠2+∠BCF＝90°，∴∠BCF+∠1＝90°，∴CF⊥BE．35．（1）如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，且交AD于点E，交BC于点F，连接BE，DF，且BE平分∠ABD．①求证：四边形BFDE是菱形；②直接写出∠EBF的度数．（2）把（1）中菱形BFDE进行分离研究，如图2，G，I分别在BF，BE边上，且BG＝BI，连接GD，H为GD的中点，连接FH，并延长FH交ED于点J，连接IJ，IH，IF，IG．试探究线段IH与FH之间满足的关系，并说明理由；（3）把（1）中矩形ABCD进行特殊化探究，如图3，矩形ABCD满足AB＝AD时，点E是对角线AC 上一点，连接DE，作EF⊥DE，垂足为点E，交AB于点F，连接DF，交AC于点G．请直接写出线段AG，GE，EC三者之间满足的数量关系．【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，在△DOE和△BOF中，，∴△DOE≌△BOF，∴EO＝OF，∵OB＝OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形EBFD是菱形．②∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠EBD，∵EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∴∠ABD＝2∠ADB，∵∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠ADB＝30°，∠ABD＝60°，∴∠ABE＝∠EBO＝∠OBF＝30°，∴∠EBF＝60°．（2）结论：IH＝FH，且IH⊥FH．理由：如图2中，延长BE到M，使得EM＝EJ，连接MJ．∵四边形EBFD是菱形，∠B＝60°，∴EB＝BF＝ED，DE∥BF，∴∠JDH＝∠FGH，在△DHJ和△GHF中，，∴△DHJ≌△GHF，∴DJ＝FG，JH＝HF，∴EJ＝BG＝EM＝BI，∴BE＝IM＝BF，∵∠MEJ＝∠B＝60°，∴△MEJ是等边三角形，∴MJ＝EM＝NI，∠M＝∠B＝60°在△BIF和△MJI中，，∴△BIF≌△MJI，∴IJ＝IF，∠BFI＝∠MIJ，∵HJ＝HF，∴IH⊥JF，∵∠BFI+∠BIF＝120°，∴∠MIJ+∠BIF＝120°，∴∠JIF＝60°，∴△JIF是等边三角形，在Rt△IHF中，∵∠IHF＝90°，∠IFH＝60°，∴∠FIH＝30°，∴IH＝FH，IH⊥FH．（3）结论：EG2＝AG2+CE2．理由：如图3中，将△ADG绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，∵∠F AD+∠DEF＝90°，∴AFED四点共圆，∴∠EDF＝∠DAE＝45°，∠ADC＝90°，∴∠ADF+∠EDC＝45°，∵∠ADF＝∠CDM，∴∠CDM+∠CDE＝45°＝∠EDG，在△DEM和△DEG中，，∴△DEG≌△DEM，∴GE＝EM，∵∠DCM＝∠DAG＝∠ACD＝45°，AG＝CM，∴∠ECM＝90°∴EC2+CM2＝EM2，∵EG＝EM，AG＝CM，∴GE2＝AG2+CE2．36．已知正方形ABCD，探究以下问题：（1）如图1，点F在BC上，作FE⊥BD于点E，取DF的中点G，连接EG、CG，将△EGC沿直线EC 翻折到△EG′C，求证：四边形EGCG′是菱形；（2）如图2，点F是BC外一点，作FE⊥BC于点E，且BE＝EF，连接DF，取DF的中点G，将△EGC 沿直线EC翻折到△EG′C，作FM⊥CD于点M，请问（1）中的结论”四边形EGCG′是菱形”是否依然成立，并说明理由；（3）在（2）的条件下，若图2中AB＝4，设BE长为x，四边形EGCG′的面积为S，请求出S关于x 的函数关系式，并说明理由．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴∠DCF＝90°．∵G为线段DF的中点，∴CG＝DF．∵FE⊥BD，∴∠FED＝90°，∵G为线段DF的中点，∴EG＝DF，∴CG＝EG．∵将△EGC沿直线EC翻折到△EG′C，∴CG＝CG′，EG＝EG′，∴四边形EGCG′四条边相等，∴四边形EGCG′是菱形．（2）（1）中的结论”四边形EGCG′是菱形”依然成立．证明：在图2中，连接BG，GM，如图所示．∵FE⊥BC于点E，且BE＝EF，∴△BEF为等腰直角三角形，∴∠EBF＝45°．∵四边形ABCD为正方形，∴∠DBE＝45°，∴∠DBF＝∠DBE+∠EBF＝90°．∵G为线段DF的中点，∴BG＝DF．∵FM⊥CD于点M，∴∠DMF＝90°，∵G为线段DF的中点，∴MG＝DF，∴BG＝MG．∵FE⊥BC，FM⊥CD，∴四边形EFMC为矩形，∴EF＝CM．∴BE＝EF＝MC．∵BG＝GD，MG＝GD，∴∠DBG＝∠BDG，∠GMD＝∠GDM，∵∠DBC＝∠CDB＝45°，∴∠GBE＝∠DBC﹣∠DBG＝45°﹣∠BDG，∠GMC＝∠GDM＝∠CBD﹣∠BDG＝45°﹣∠BDG，∴∠GBE＝∠GMC．。

1.四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC．(1)如图1，若点E在CB边的延长线上，直接写出EG与GC的位置关系及的值；(2)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转至图2所示位置，请问(1)中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；(3)将图1中的△BEF绕点B顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，若BE=1，AB=，当E，F，D三点共线时，求DF的长及tan∠ABF的值．解：（1）EG⊥CG，=，理由是：过G作GH⊥EC于H，∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC，∵G为DF中点，∴H为EC中点，∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=HC，∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形，∴=；（2）解：结论还成立，理由是：如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，∵在△EFG和△HDG中∴△EFG≌△HDG（SAS），∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，∴EF∥DH，∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4，∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC，在△EBC和△HDC中∴△EBC≌△HDC．∴CE=CH，∠BCE=∠DCH，∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°，∴△ECH是等腰直角三角形，∵G为EH的中点，∴EG⊥GC，=，即（1）中的结论仍然成立；（3）解：连接BD，∵AB=，正方形ABCD，∴BD=2，∴cos∠DBE==，∴∠DBE=60°，∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°，∴∠ABF=45°-15°=30°，∴tan∠ABF=，∴DE=BE=，∴DF=DE-EF=-1．解析：（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可；（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案；（3）连接BD，求出cos∠DBE==，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可．2.已知正方形ABCD和等腰直角三角形BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图1放置，使点E在BC 上，取DF的中点G，连接EG，CG．(1)延长EG交DC于H，试说明：DH=BE．(2)将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45°，连接DF，取DF中点G(如图2)，莎莎同学发现：EG=CG且EG⊥CG．在设法证明时他发现：若连接BD，则D，E，B三点共线．你能写出结论“EG=CG且EG⊥CG”的完整理由吗？请写出来．(3)将图1中△BEF绕B点转动任意角度α(0＜α＜90°)，再连接DF，取DF的中点G(如图3)，第2问中的结论是否成立？若成立，试说明你的结论；若不成立，也请说明理由．（1）证明：∵∠BEF=90°，∴EF∥DH，∴∠EFG=∠GDH，而∠EGF=∠DGH，GF=GD，∴△GEF≌△GHD，∴EF=DH，而BE=EF，∴DH=BE；（2）连接DB，如图，∵△BEF为等腰直角三角形，∴∠EBF=45°，而四边形ABCD为正方形，∴∠DBC=45°，∴D，E，B三点共线．而∠BEF=90°，∴△FED为直角三角形，而G为DF的中点，∴EG=GD=GC，∴∠EGC=2∠EDC=90°，∴EG=CG且EG⊥CG；（3）第2问中的结论成立．理由如下：连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，如图，∵G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，∴OG∥BF，GM∥OB，∴四边形OGMB为平行四边形，∴OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，∴EM=OG，MG=OC，∵∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°，∴∠EMG=∠GOC，∴△MEG≌△OGC，∴EG=CG，∠EGM=∠OCG，又∵∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，∴∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°，∴EG=CG且EG⊥CG．解析：（1）由∠BEF=90°，得到EF∥DH，而GF=GD，易证得△GEF≌△GHD，得EF=DH，而BE=EF，即可得到结论．（2）连接DB，如图2，由△BEF为等腰直角三角形，得∠EBF=45°，而四边形ABCD为正方形，得∠DBC=45°，得到D，E，B三点共线，而G为DF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG=GD=GC，于是∠EGC=2∠EDC=90°，即得到结论．（3）连接AC、BD相交于点O，取BF的中点M，连接OG、EM、MG，由G为DF的中点，O为BD的中点，M为BF的中点，根据三角形中位线的性质得OG∥BF，GM∥OB，得到OG=BM，GM=OB，而EM=BM，OC=OB，得到EM=OG，MG=OC，又∠DOG=∠GMF，而∠DOC=∠EMF=90°，得∠EMG=∠GOC，则△MEG≌△OGC，得到EG=CG，∠EGM=∠OCG，而∠MGF=∠BDF，∠FGC=∠GDC+∠GCD，所以有∠EGC=∠EGM+∠MGF+∠FGC=∠BDF+∠GDC+∠GCD+∠OCG=45°+45°=90°．3.已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF，BE=EF，∠BEF=90°，按图①放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连接EG、CG．(1)探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；(2)将图①中△BEF绕B点顺时针旋转45°，再连接DF，取DF中点G(如图②)，问(1)中的结论是否仍然成立．证明你的结论；(3)将图①中△BEF绕B点转动任意角度(旋转角在0°到90°之间)，再连接DF，取DF的中点G(如图③)，问(1)中的结论是否仍然成立，证明你的结论．解：（1）EG=CG且EG⊥CG．证明如下：如图①，连接BD．∵正方形ABCD和等腰Rt△BEF，∴∠EBF=∠DBC=45°．∴B、E、D三点共线．∵∠DEF=90°，G为DF的中点，∠DCB=90°，∴EG=DG=GF=CG．∴∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG．∴∠EGF+∠CGF=2∠EDC=90°，即∠EGC=90°，∴EG⊥CG．（2）仍然成立，证明如下：如图②，延长EG交CD于点H．∵BE⊥EF，∴EF∥CD，∴∠1=∠2．又∵∠3=∠4，FG=DG，∴△FEG≌△DHG，∴EF=DH，EG=GH．∵△BEF为等腰直角三角形，∴BE=EF，∴BE=DH．∵CD=BC，∴CE=CH．∴△ECH为等腰直角三角形．又∵EG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG．（3）仍然成立．证明如下：如图③，延长CG至H，使GH=CG，连接HF交BC于M，连接EH、EC．∵GF=GD，∠HGF=∠CGD，HG=CG，∴△HFG≌△CDG，∴HF=CD，∠GHF=∠GCD，∴HF∥CD．∵正方形ABCD，∴HF=BC，HF⊥BC．∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=EF，∠EBC=∠HFE，∴△BEC≌△FEH，∴HE=EC，∠BEC=∠FEH，∴∠BEF=∠HEC=90°，∴△ECH为等腰直角三角形．又∵CG=GH，∴EG=CG且EG⊥CG．解析：（1）首先证明B、E、D三点共线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可证明EG=DG=GF=CG，得到∠EGF=2∠EDG，∠CGF=2∠CDG，从而证得∠EGC=90°；（2）首先证明△FEG≌△DHG，然后证明△ECH为等腰直角三角形．可以证得：EG=CG且EG ⊥CG．（3）首先证明：△BEC ≌△FEH ，即可证得：△ECH 为等腰直角三角形，从而得到：EG=CG 且EG ⊥CG ．已知，正方形ABCD 中，△BEF 为等腰直角三角形，且BF 为底，取DF 的中点G ，连接EG 、CG ．（1）如图1，若△BEF 的底边BF 在BC 上，猜想EG 和CG 的数量关系为______；（2）如图2，若△BEF 的直角边BE 在BC 上，则（1）中的结论是否还成立？请说明理由；（3）如图3，若△BEF 的直角边BE 在∠DBC 内，则（1）中的结论是否还成立？说明理由．解：（1）GC=EG ，（1分）理由如下：∵△BEF 为等腰直角三角形， ∴∠DEF=90°，又G 为斜边DF 的中点， ∴EG=DF ， ∵ABCD 为正方形， ∴∠BCD=90°，又G 为斜边DF 的中点，∴CG= DF ， ∴GC=EG ；（2）成立．如图，延长EG 交CD 于M ，∵∠BEF=∠FEC=∠BCD=90°，∴EF ∥CD ，∴∠EFG=∠MDG ，又∠EGF=∠DGM ，DG=FG ，∴△GEF ≌△GMD ，∴EG=MG ，即G 为EM 的中点．∴CG 为直角△ECM 的斜边上的中线，∴CG=GE= EM ；（3）成立．取BF 的中点H ，连接EH ，GH ，取BD 的中点O ，连接OG ，OC ．∵CB=CD ，∠DCB=90°，∴CO= BD1 2 1 21212．∵DG=GF，∴GH∥BD，且GH= BD，OG∥BF，且OG= BF，∴CO=GH．为等腰直角三角形．∵△BEF∴EH= BF∴EH=OG．∵四边形OBHG为平行四边形，∴∠BOG=∠BHG．∵∠BOC=∠BHE=90°．∴∠GOC=∠EHG．∴△GOC≌△EHG．∴EG=GC．此题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质．要求学生掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及三角形的中位线与第三边平行且等于第三边的一半．掌握这些性质，熟练运用全等知识是解本题的关键．解析：（1）EG=CG，理由为：根据三角形BEF为等腰直角三角形，得到∠DEF为直角，又G为DF中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，得到EG为DF的一半，同理在直角三角形DCF中，得到CG也等于DF的一半，利用等量代换得证；（2）成立．理由为：延长EG交CD于M，如图所示，根据“ASA”得到三角形EFG与三角形GDM 全等，由全等三角形的对应边相等得到EG与MG相等，即G为EM中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EG与CG相等都等于斜边EM的一半，得证；（3）成立．理由为：取BF的中点H，连接EH，GH，取BD的中点O，连接OG，OC，如图所示，1212因为直角三角形DCB中，O为斜边BD的中点，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到OC等于BD 的一半，由HG为三角形DBF的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，得到GH等于BD一半，OG等于BF的一半，又根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到EH等于BF的一半，根据等量代换得到OG与EH相等，再根据OBHG为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边相等，对角相等，进而得到∠GOC与∠EHG相等，利用“SAS”得到△GOC与△EHG全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证．。