初中数学几何压轴题组卷

中考数学几何综合压轴题初三难题训练1. （2015金华中考）如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于eO , EF 与BC , CD 分别相交 于点G ， H ，则-EF 的值是（）GHA.——B. 2C. . 3D. 222.（2015遵义中考）将正方形 ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转 30°，得正方形 AB 1GD 1，B^!交CD 于点E ， AB 3，则四边形A^ED 的内切圆半径为（）D ，E 分别是OA ，OB 的中点，则图中影阴部分的面积为 ___________ cm 2 .A. D.3. （2015遵义中考）如图，在圆心角为90°的扇形OAB 中，半径 OA 2cm ，C 为弧AB 的中点,6Di到E ，且有 EBD CAB • (1) 求证：BE 是eO 的切线；(2 )若BC 3 , AC 5，求圆的直径 AD 及切线BE 的长.5. (2016岳阳中考)数学活动 旋转变换(1) 如图①，在 VABC 中， ABC 130°，将VABC 绕点C 逆时针旋转500得到VABC ，连接 BB ，求ABB 的大小；(2) 如图②，在 VABC 中， ABC 150° , AB 3, BC 5，将VABC 绕点C 逆时针旋转 60° 得到VABC ，连接BB ，以A 为圆心，AB 长为半径作圆.(I)猜想：直线 BB 与e A 的位置关系，并证明你的结论； (H)连接AB ，求线段AB 的长度；(3)如图③，在 VABC 中， ABC 90° 180° , AB m , BC n ，将VABC 绕点 C 逆180°得到VABC ，连接AB 和BB ，以A 为圆心，AB 长为半与角 满足什么条件时，直线 BB 与e A 相切，请说明理由，并求此条件下线段AB 的长度(结果用角或角 的三角函数及字母 m , n 所组成的式子表示)时针旋转2角度0° 2径作圆，问：角6. (2016成都中考)如图，在RtVABC中，ABC 90°，以CB为半径作eC，交AC于点D，交AC 的延长线于点E，连接BD , BE .(1)求证：VABD s VAEB ;AB 4(2)当一—时，求tanE ；BC 3BE父于点F .(3 )在(2 )的条件下，作BAC的平分线，与7. （2016苏州中考）如图，在矩形ABCD中，AB 6cm , AD 8cm •点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3cm/s，以O为圆心，0.8cm为半径作圆O,点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t （单位：s）（0 t 8）•3（1）如图，连接DQ，当DQ平分BDC时，t的值为.（2）如图，连接CM，若VCMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；（3）请你继续连行探究，并解答下列问题：①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；②如图3,在运动过程中，当QM与圆O相切时，求t的值；并判断此时PM与圆O是否也相切？说明理由.8. （2015扬州中考）如图，已知 eO 的直径AB 12cm , AC 是eO 的弦，过点 延长线于点P ，连接BC •（1） 求证： PCA B ；（2） 已知 P 400 ,点Q 在优弧ABC 上，从点A 开始逆时针运动到点 重合），当VABQ 与VABC 的面积相等时，求动点 Q 所经过的弧长.C 作eO 的切线交BA 的C 停止（点Q 与点C 不9. （ 2015大庆中考）如图， 四边形ABCD 内接于eO ,ADPBC P 为BD 上一点，APB BAD . (1) 证明：AB CD ;(2) 证明：DP BD AD BC ； (3) 证明：BD 2 AB 2 AD BC .10. （2015武汉中考）如图，AB是eO的直径，ABT 4^ , AT AB •（1）求证：AT是eO的切线；（2）连接OT交e O于点C，连接AC，求tan TAC的值.11. （2016随州中考）如图，AB是eO的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD OA交弦AB 于点E，连接BD，且DE DB •（1）判断BD与eO的位置关系，并说明理由；5(2)若CD 15 , BE 10 , ta nA -，求eO 的直径.1212. (2015德州中考)如图，eO的半径为1 , A, P , B , C是eO上的四个点, APC CPB 60°•(1) 判断VABC的形状：；(2) 试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3) 当点P位于的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.13. (2016淮安中考)问题背景：如图1，在四边形 ADBC 中， ACB形，所以CE . 2CD ，从而得出结论：AC BC . 2CD •(1) 简单应用：在图1中，若AC 2 , BC 2 2，则CD •(2) 如图3, AB 是eO 的直径，点 C 、D 在e 上，AD BD ，若AB 13, BC 12，求CD 的 长. (3) 拓展规律：如图 4 , ACB ADB 90° , AD BD ，若 AC m , BC n m n ，求 CD 的长(用含m , n 的代数式表示)1(4 )如图5 , ACB 90° , AC BC ,点P 为AB 的中点，若点E 满足AE 1AC ,3CE CA ，点Q 为AE 的中点，则线段 PQ 与AC 的数量关系是.ADB 90° , A D BD ，探究线段 AC,BC,CD 之间的数量关系•小吴同学探究此问题的思路是：将 VBCD 绕点D ，逆时针旋转 90°到 VAED 处，点 B,C 分别落在点 A,E 处(如图2)，易证点 C,A,E 在同一条直线上，并且VCDE 是等腰直角三角li14. (2015宜昌中考)如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC , BD相交于点E , F是边BA延长线上一点，连接EF，以EF为直径作eO，交边DC于D，G两点，AD分别与EF，GF交于I , H两占八、、♦(1)求FDE的度数；(2)试判断四边形FACD的形状，并证明你的结论；(3)当G为线段DC的中点时，(i)求证：FD FI ;(ii)设AC 2m, BD 2n，求eO的面积与菱形ABCD的面积之比.15. （2015株洲中考）已知AB是圆O的切线，切点为B，直线AO交圆O于C , D两点，CD 2 , DAB 30°，动点P在直线AB上运动，PC交圆O于另一点Q .（1）当点P运动到使Q , C两点重合时（如图1），求AP的长;（2）点P在运动过程中，有几个位置（几种情况）使VCQD的面积为丄?（直接写出答案）21（3）当使VCQD的面积为丄，且Q位于以CD为直径的的上半圆上，CQ QD时（如图2）,2求AP的长.第11页（共29页）第12页(共29页)第一部分 1.C【解析】如图，连接 AC 、BD 、OF ,其中AC 与EF 交于点I . QAO 是EAF 的角平分线,OAF 60o 2 30o .QOA OF ,OFA OAF 30° ,COF 60° ,BD CO 2 1 1 GH BD 2r r , 2 2竺3 3 .GH r作 DAB 1与 AB 1C 1的角平分线交于点 O ，过O 作OF AB 1 , 则 OAF 30° , AB 1O 4^ ,答案EF 3 o r 2 23r . QAO 2OI ,OI -r , CI 21 r r2 FI r sin60°GH CI 11 r , 22.B 【解析】设eO 的半径为r ,则 OF r ，第13页（共29页）故B i FOF 〔OA , 2 设B i Fx , 则AF ：丄3 x , 故 3 2 x 2 2 x 2 2x ,解得x3 -，负值舍去. 2 四边形AB iE D 的内切圆半径为宁-第二部分3. n 1二2 2 2 【解析】连接0C ，过C 点作CF OA 于F •Q 半径OA 2cm , C 为A B 的中点，D 、E 分别是OA 、OB 的中点, OD OE 1cm , OC 2cm , AOC 4^ •CF . 2 • 鸟白图形ACDS 扇形OACS VOCD 2 45 n 221 2 1 23601 n2 2 cm . 2 2Q S VODE 〔OD 2 1 OE cm 2 2S 阴影S 扇形OAB S 空白图形ACD S VODE90 n 221 2 1—n ------ —360 2 2 21 —n _! 12 cm . 2 2 2第三部分4. (1)如图，连接OB .第14页(共29页)QBD BC ,CAB BAD .Q EBD CAB ,BAD EBD .QAD 是eO 的直径，ABD 90o , OA BO .BAD ABO .EBD ABO .OBE EBD OBD ABD OBD ABD 90°.Q 点B 在e O 上，BE 是eO 的切线.(2)如图，设圆的半径为 R ，连接CD .QAD 为eO 的直径，ACCD 90° .QBC BD ,OB CD .OB PAC .QOA OD ,1 5 OF AC .2 2Q 四边形ACBD 是圆内接四边形,BDE ACB .Q DBE ACB ,VDBE s VCAB . DB DEAC BC .3DE 5 3 .DEQ OBE OFD 90 ,DF PBE .QR 0 ,R 3.QBE 是eO 的切线,5. (1)如图①中， QVA BC 是由VABC 旋转得到，ABC ABC 130°，CB CBCBB CBB ，Q BCB 50o ，CBB CB B 650，ABB ABC BB C 65° .(2 )(1)结论：直线 BB ，是e A 的切线. 理由：如图②中，150°,CB CB ,Q ABC ABC CBB CBB ,Q BCB 60° ,CBB CB B 60° ,ABB ABC BBC 90° .AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.(H) Q 在 RtVABB 中，Q AB B 90° , BB BC 5 , AB AB 3,AB AB 2 BB 2 34 .(3 )如图③中，当 180°时，直线BB ，是e A 的切线 理由：Q ABC ABC ,CB CB ,OF OB ODOEBE JDE AE * 2 3 3\5 5 3 115(3)解法一：在 RtVABC 中, -AC 2 BG -AB 2 11BG 即 5x BG 4x 3x ，解得BG 2 2 12 x . 590°.AB BB ,直线BB ，是e A 的切线.在VCBB 中QCB CB n , BCB 2 ,BB 2 nsin ,在 RtVA BB 中,AB . BB 2 AB 2 ,m 2 4n 2si n 26. (1) QDE 为e C 的直径，DBE 90° . 又 Q ABC 90° ,DBE DBC 90° , CBE DBC 90° ,ABD CBE .又QCB CE ,CBE E , ABD E .又 Q BAD EAB ,VABD ^VAEB .(2 )由(1)知，VABD s VAEB 在 RtVDBE 中,BD 1 tanEBE 2CBB CBB ,Q BCB 2 ,CBB ABB CB B 180° 2-------------? 2ABC BBC90°180° 90°BD BE ABAEABQ - BC设 AB 4x ，贝U CE 在 RtVABC 中，AB CB 3x .5x ,AE AC CE 5x 3x 8x BD BE AB AE 4x8xQAF 是 BAC 的平分线, BF AB 4x 1 FHEF 2BG BE 32 2 12 8FH BG一x x3 3 5 5 1又 Qta nE2EH 2FH 16 x ,5AM AE EM24 x ・ 5 在 RtVAHF 中, 2 2 AH HF AF 1 2 3即 224 x5e C 的半径是3xQAF 平分 BAC ， FE AE 8x 2AE 于 H , 【解析】解法二：如图 2过点A 作EB 延长线的垂线，垂足为点在 VBAE 中，有 1 2 3 E 180°90° 90° , 4 2 E 45 ,VGAF 为等腰直角三角形8.5 L ，AFeC 的半径是NG BN a ，CG 3 a ，4 NC BC 9 a，4BH 9a， 5AB 3a ， AC AG 3a ，tan NAC NG AG sin NAC 10105a ，4 15 a，4 13由( 2) 可知, AE 8x , tanEAG AE 于点M ， 解法三:AE 于点G ，FM BAC 的平分线,QAF 是AE 10 .在 RtVDBE 中,设 BP 4t ，则 PQ 3t , BQ 5t .Q DQ 平分 BDC , QC CD , QP BD .CQ PQ 3t .QCQ 8 5t.3t 8 5t ，即 t 1.(2)如图，过点M 作ME BC 于点E .在 RtVAFM 中, FM AF sin NAC 2 卫互,AM 10 5 3 10 5 在 RtVEFM 中, EM FM tanE2 10 QBH a,5 EH 18 a, 5 DE 9 a ,2 DC 9 a ,4 AD 3 a,2 又QAE DE3 a 2 9 a2 9a,10 106DC 3.1087. (1)【解析】由题意可VBPQ s VBCD .DH AE10 ,a在 RtVABD 中，AB 6cm , AD 8cm ,BD 10cm .由 BPQ BCD , QBP DBC ，得 VPBQ ^VCBD .PB PQ BQBC CD BD .Q PB 4t ,PQ 3t , BQ 5t .Q MQ MC ,1 1 QE CE —QC - 8 5t2 2Q VMEQ s VDCB , EQ BCMQ BD1 -8 5t 23t40t 49(3)如图1，设QM 所在直线交CD 于点F . ① Q VQCF s VBCD , CF CDCQ CB CF 68 5t 8E15 -t , DF 4 又DO 3t , DO DF CF 6 ，即点O 始终在QM 所在直线的左侧.②如图，设MQ与eO相切时，切点我G，连接OG ,OG BCOF BD，0.88吗3t 10，4丄4t3当t -时，正方形PQMN的边长为3解法一：连接MO并延长交PQ于点贝U VMOG s VMHQ ,OG MGHQ MQ，260.815HQ4，HQ241328PH13 °HK14 213HK HQ .点O不在PMQ的平分线上，当QM1与eO相切时，PM与eO【解析】解法二：连接OM , OP ,Q SVMPQ SVMOQ S VPOQ S VPOM ，则VOGF s VBCD ,534 , QF-,FG3 5 .H，过点H作HK PM于点K不相切.OQ，设点O到MP的距离为h ,1 4 0.8 1 344142 h 8 .2 2 152h7 20.8 .15当QM与eO相切时，PM与eO不相切QAB是eO的直径，ACB 1 2 90o,又PC是eO的切线，PCO PCA 1 90°,2 PCA.又OC OB .2 B,PCA B .(2) Q P 40°,AOC 50°.QAB 12，AO 6 .AOQ 130°时，VABQ与VABC的面积相等,优弧ABQ所对的圆心角为230°时，VABQ与VABC的面积相等,13n31803180当BOQ 50°时，即9. (1) Q AD PBC ,ADB DBC ,AB DC ,AB CD .(2) Q APB BAD , BAD BCD 180° , APBBCD APD ,Q ADB CBD .VADPWDBC ,AD DPBD BC ，DP BD AD BC .QBD 2DE 2 BE 2, DE 2 CD 2 CE 2 ,2 BD 2CD 2 BE 2 CE 2AB 2 BE CE BE CEAB 2 AD BC.10. (1) QAB AT ,ATB B 45°.BAT 90° .AT 是eO 的切线.(2 )设eO 半径为r ，延长TO 交eO 于D ，连接AD .点Q 所经过的弧长 230 n 6 180 23 n3AAPD 180° , (3)如图，过点D 作DE BC 交BC 于E .QCD是直径，CAD BAT 90°.TAC OAD D . 又ATC DTA,VTAC s VTDA.TA TCTD AT .TA2TC TD , 即4r2 TC TC 2r 解得TC 5 1r.tan TAC tan DACADTCAT.5 1 r2r51211. (1)连接OB .QOB OA, DE DB ,A OBA, DEB ABD.QCD OA,A AEC A DEB 90°,OBA ABD 90°,OB BD ,BD是eO的切线；(2)如图，过点D作DG BE于G .QDE DB,1EG -BE 5,2GDE A,VACE s VDGE,QVACE s VDGE12. (1)等边三角形(2) PA PB PC .证明：如图，在PC上截取PD PA，连接AD .PA AD , PAD 60o.Q BAC 60o,PAB DAC .Q APC 60o,VPAD是等边三角形.Q ACE DGE 90°, AEC GED ,tan EDG tanAEGDG5—，即DG 12 .12在RtVEDG 中，DE .DG2 EG213. QCD 15, DECE 2 .13 ,ACDGCEGE，AC CE DGGE245e O的直径2OA 4AD96QAB AC ,VPAB 也VDAC .PB DC .QPD DC PC ,PA PB PC .(3)当点P 为A B 的中点时，四边形 APBC 面积最大.理由如下：如图，过点 P 作PE AB ，垂足为E , 过点C 作CF AB ，垂足为F ，四边形APBC 面积最大. Qe O 的半径为1,其内接正三角形的边长AB 31S 四边形APBC 匚 2 32 3 . 13. (1) CD 3(2)连接 AC 、BD 、AD ,Q AB 是eO 的直径，ADB ACB 90° ,Q A D B D ,AD BD ,将VBCD 绕点D ，逆时针旋转90°到VAED 处，如图3 ,EADDBC , Q DBCDAC 180° , EADDAC 180° , E 、A 、C 三点共线，Q AB 13,BC 12,由勾股定理可求得： AC 5 ,Q BC AE ,CE AE AC 17,2 AB PE ，S VABC 1AB CF . 2S 四边形APBC 1 — AB PE 2 Q 当点P 为A B 的中点时, CF . PE CF PC , PC 为eO 直径, Q S VPABQ EDA CDB ,EDA ADC CDB ADC ,即 EDCADB 90° ,Q CD ED , VEDC 是等腰直角三角形，CE 2CD ,17近 CD 2(3)以AB 为直径作eO ,连接OD 并延长交eO 于点D 1 , 连接D 1A ，D 1B ， D 1C ，如图D 1C又Q 0D 是eO 的直径,DCD 1 90o ,Q AC m ， BC n由勾股定理可求得: 2 2 DQ AB2 n22PQ = -^」AC • 614.( 1)QEF 为eO 的直径,FDE 90° .(2)四边形FACD 为平行四边形•理由如下:QABCD 为菱形，AB PCD , AC BD ,AEB 90° • 又 FDE 90o ,AC PFD •四边形FACD 为平行四边形.(3)(i )如图，连接GE •由(2)的证明过程可知： ACBC ■ 2D 1C ，ABm 2 2 Q D 1C 2 CD 2 2 D 1D 2CD m 2 n 2CD (4)Q 在RtVDEC 中，G 为CD 的中点,EG DG ,弧DG 弧EG ,1 2.又EF 为eO 的直径,FGE 90° ,FG EG .QG 为DC 中点，E 为AC 中点,GE 为VDAC 的中位线，EG PAD . FGADF l HDFHI 90o . 1 3 24 90o , 3 4 ,FD FI .(ii ) Q 菱形ABCD , AE CE m , BE DE nQ 四边形FACD 为平行四边形,FD AC 2m FIQ FD PAC , 3 8 .又34 7, 78 , EI EA m . 在 RtVFDE 中，FE 2 FD 2 DE 2 ,3m $ 2m $ n 2，解得，n 5m .2 3m9 2 1 S eo n 测，S 菱形ABCD — 2m 2n 2mn 2 4 2 S e O : S 菱形ABCD 9 n m 2:2 5m 2葺5. 4 4015. (1) QAB 是圆O 的切线，OBA 90o .2 5m 2 ,QRtVOBA中，CD 2, DAB 30°,OB 1 ,OB OC AC 1 .Q当点P , C运动到Q , C两点重合时,PC为圆O的切线，PCA 90°,Q DAB 30°, AC 1 ,AP -A/3•3(2)有4个位置使VCQD的面积为-•21【解析】由于CD的长度2，而S VCQD1, 故CD上的高的长度为-，从而如下图，我们可得到答案.2(3)过点Q作QN AD于点N，过点P作PM AD于点M •QNQCD是圆O的直径,CQD 90°• 易证VQCN s VDQN •QN CNDN QNQN2 CN DN .1x 2 x4解得X i 2 3, x22QCQ QD ,CNCNQN易证VPMC s VQNC .易得列空2 3MP QNCM 2 3 MP .在RtVAMP中易得AM 3MP , QAM CM AC 1,2,3 MP . 3MP 1 ,MP 3 14 ，薦1AP2MP21 2.又QCB CE,3 E .。

几何综合压轴问题(40题)1(2023·四川自贡·统考中考真题)如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，M，N分别是斜边DE，AB的中点，DE=2,AB=4．(1)将△CDE绕顶点C旋转一周，请直接写出点M，N距离的最大值和最小值；(2)将△CDE绕顶点C逆时针旋转120°(如图2)，求MN的长．2(2023·山东烟台·统考中考真题)如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，且∠A=∠CBE．在线段EC上取一点F，使EF=AD，连接BF,DE．(1)如图1，求证：DE=BF；(2)如图2，若AD=2，BF的延长线恰好经过DE的中点G，求BE的长．3(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平行四边形ABCD中(顶点A,B,C,D按逆时针方向排列)，AB= 12,AD=10,∠B为锐角，且sin B=45．(1)如图1，求AB边上的高CH的长．(2)P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点P按逆时针方向旋转90°得点C ,D ．①如图2，当点C 落在射线CA上时，求BP的长．②当△AC D 是直角三角形时，求BP的长．4(2023·甘肃武威·统考中考真题)【模型建立】(1)如图1，△ABC和△BDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点F在BD边上．①求证：AE=CD；②用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型应用】(2)如图2，△ABC是直角三角形，AB=AC，CD⊥BD，垂足为D，点C关于AD的对称点F在BD边上．用等式写出线段AD，BD，DF的数量关系，并说明理由．【模型迁移】(3)在(2)的条件下，若AD=42，BD=3CD，求cos∠AFB的值．5(2023·江西·统考中考真题)课本再现思考我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？可以发现并证明菱形的一个判定定理；对角线互相垂直的平行四边形是菱形．(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形(如图1)，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．己知：在▱ABCD中，对角线BD⊥AC，垂足为O．求证：▱ABCD是菱形．(2)知识应用：如图2，在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD=5，AC=8，BD=6．①求证：▱ABCD是菱形；②延长BC至点E，连接OE交CD于点F，若∠E=12∠ACD，求OFEF的值．6(2023·湖北随州·统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)当△ABC的三个内角均小于120°时，如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A P C，连接PP ，由PC=P C，∠PCP =60°，可知△PCP 为三角形，故PP =PC，又P A =PA，故PA+PB+PC =PA +PB+PP ≥A B，由可知，当B，P，P ，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A B，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB=；已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为点．(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=23km，∠ACB=60°．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a 元/km，a元/km，2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元．(结果用含a的式子表示)7(2023·山东枣庄·统考中考真题)问题情境：如图1，在△ABC中，AB=AC=17，BC=30，AD是BC边上的中线．如图2，将△ABC的两个顶点B，C分别沿EF,GH折叠后均与点D重合，折痕分别交AB,AC,BC于点E，G，F，H．猜想证明：(1)如图2，试判断四边形AEDG的形状，并说明理由．问题解决；(2)如图3，将图2中左侧折叠的三角形展开后，重新沿MN折叠，使得顶点B与点H重合，折痕分别交AB, BC于点M，N，BM的对应线段交DG于点K，求四边形MKGA的面积．8(2023·湖南·统考中考真题)(1)[问题探究]如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB．①求证：PD=PB；②将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，∠DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；③探究AQ与OP的数量关系，并说明理由．(2)[迁移探究]如图2，将正方形ABCD换成菱形ABCD，且∠ABC=60°，其他条件不变．试探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．9(2023·湖南岳阳·统考中考真题)如图1，在△ABC中，AB=AC，点M,N分别为边AB,BC的中点，连接MN．初步尝试：(1)MN与AC的数量关系是，MN与AC的位置关系是．特例研讨：(2)如图2，若∠BAC=90°,BC=42，先将△BMN绕点B顺时针旋转α(α为锐角)，得到△BEF，当点A,E,F在同一直线上时，AE与BC相交于点D，连接CF．(1)求∠BCF的度数；(2)求CD的长．深入探究：(3)若∠BAC<90°，将△BMN绕点B顺时针旋转α，得到△BEF，连接AE，CF．当旋转角α满足0°<α<360°，点C,E,F在同一直线上时，利用所提供的备用图探究∠BAE与∠ABF的数量关系，并说明理由．10(2023·湖北黄冈·统考中考真题)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°,CB=mCA,CE=mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．(1)如图1，当m=1时，直接写出AD，BE的位置关系：；(2)如图2，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．【拓展应用】(3)当m=3,AB=47,DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同一直线上，求BE的长．11(2023·河北·统考中考真题)如图1和图2，平面上，四边形ABCD中，AB=8,BC=211,CD=12, DA=6,∠A=90°，点M在AD边上，且DM=2．将线段MA绕点M顺时针旋转n°(0<n≤180)到MA ,∠A MA的平分线MP所在直线交折线AB-BC于点P，设点P在该折线上运动的路径长为x(x>0)，连接A P．(1)若点P在AB上，求证：A P=AP；(2)如图2．连接BD．①求∠CBD的度数，并直接写出当n=180时，x的值；②若点P到BD的距离为2，求tan∠A MP的值；(3)当0<x≤8时，请直接写出点A 到直线AB的距离．(用含x的式子表示)．12(2023·四川达州·统考中考真题)(1)如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A 处，若AB=6,BC=10，求AEEB的值；(2)如图②，在矩形ABCD 的BC 边上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B 落在DC 的延长线上B 处，若BC ⋅CE =24,AB =6，求BE 的值；(3)如图③，在△ABC 中，∠BAC =45°,AD ⊥BC ，垂足为点D ,AD =10,AE =6，过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ，连接DF ，且满足∠DFE =2∠DAC ，直接写出BD +53EF 的值．13(2023·湖南郴州·统考中考真题)已知△ABC 是等边三角形，点D 是射线AB 上的一个动点，延长BC 至点E ，使CE =AD ，连接DE 交射线AC 于点F ．(1)如图1，当点D 在线段AB 上时，猜测线段CF 与BD 的数量关系并说明理由；(2)如图2，当点D 在线段AB 的延长线上时，①线段CF 与BD 的数量关系是否仍然成立？请说明理由；②如图3，连接AE ．设AB =4，若∠AEB =∠DEB ，求四边形BDFC 的面积．14(2023·湖北宜昌·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，AB 上的点，连接CE ，EF ，CF ．(1)若正方形ABCD 的边长为2，E 是AD 的中点．①如图1，当∠FEC =90°时，求证：△AEF ∽△DCE ；②如图2，当tan ∠FCE =23时，求AF 的长；(2)如图3，延长CF ，DA 交于点G ，当GE =DE ,sin ∠FCE =13时，求证：AE =AF ．15(2023·湖北武汉·统考中考真题)问题提出：如图(1)，E 是菱形ABCD 边BC 上一点，△AEF 是等腰三角形，AE =EF ，∠AEF =∠ABC =αa ≥90° ,AF 交CD 于点G ，探究∠GCF 与α的数量关系．问题探究：(1)先将问题特殊化，如图(2)，当α=90°时，直接写出∠GCF 的大小；(2)再探究一般情形，如图(1)，求∠GCF 与α的数量关系．问题拓展：(3)将图(1)特殊化，如图(3)，当α=120°时，若DG CG =12，求BECE的值．16(2023·山西·统考中考真题)问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC 和△DFE ，其中∠ACB =∠DEF =90°,∠A =∠D ．将△ABC 和△DFE 按图2所示方式摆放，其中点B 与点F 重合(标记为点B )．当∠ABE =∠A 时，延长DE 交AC 于点G ．试判断四边形BCGE 的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE 绕点B 逆时针方向旋转，使点E 落在△ABC 内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE =∠BAC 时，过点A 作AM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ,BM 与AC 交于点N ．试猜想线段AM 和BE 的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．17(2023·湖北十堰·统考中考真题)过正方形ABCD的顶点D作直线DP，点C关于直线DP的对称点为点E，连接AE，直线AE交直线DP于点F．(1)如图1，若∠CDP=25°，则∠DAF=°；(2)如图1，请探究线段CD，EF，AF之间的数量关系，并证明你的结论；(3)在DP绕点D转动的过程中，设AF=a，EF=b请直接用含a,b的式子表示DF的长．18(2023·辽宁大连·统考中考真题)综合与实践问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．已知AB=AC,∠A>90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC=2∠ACB．”小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：问题1：在等腰△ABC中，AB=AC,∠A>90°,△BDE由△ABE翻折得到．(1)如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC=2∠ACB；(2)如图2，若点E为AC中点，AC=4,CD=3，求BE的长．问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A<90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A<90°,AB=AC=BD=4,2∠D=∠ABD．若CD=1，则求BC的长．19(2023·山东·统考中考真题)(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF，延长BC到点H，使CH=DE，连接DH．求证：∠ADF=∠H．【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF 的长．20(2023·福建·统考中考真题)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD,CA的延长线相交于点M．(1)求证：△ADE∽△FMC；(2)求∠ABF的度数；(3)若N是AF的中点，如图2．求证：ND=NO．21(2023·四川·统考中考真题)如图1，已知线段AB，AC，线段AC绕点A在直线AB上方旋转，连接BC，以BC为边在BC上方作Rt△BDC，且∠DBC=30°．(1)若∠BDC=90°，以AB为边在AB上方作Rt△BAE，且∠AEB=90°，∠EBA=30°，连接DE，用等式表示线段AC与DE的数量关系是；(2)如图2，在(1)的条件下，若DE⊥AB，AB=4，AC=2，求BC的长；(3)如图3，若∠BCD=90°，AB=4，AC=2，当AD的值最大时，求此时tan∠CBA的值．22(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B 落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明(1)中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B ，P 两点重合，展平纸片，得到折痕EF ；折叠纸片，使点B ，P 分别落在EF ，BN 上，得到折痕l ，点B ，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：(3)证明BB 是∠NBC 的一条三等分线．23(2023·重庆·统考中考真题)在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =60°，点D 为线段AB 上一动点，连接CD ．(1)如图1，若AC =9，BD =3，求线段AD 的长．(2)如图2，以CD 为边在CD 上方作等边△CDE ，点F 是DE 的中点，连接BF 并延长，交CD 的延长线于点G ．若∠G =∠BCE ，求证：GF =BF +BE ．(3)在CD 取得最小值的条件下，以CD 为边在CD 右侧作等边△CDE ．点M 为CD 所在直线上一点，将△BEM 沿BM 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BNM ．连接AN ，点P 为AN 的中点，连接CP ，当CP 取最大值时，连接BP ，将△BCP 沿BC 所在直线翻折至△ABC 所在平面内得到△BCQ ，请直接写出此时NQ CP的值．24(2023·湖南·统考中考真题)如图，在等边三角形ABC 中，D 为AB 上的一点，过点D 作BC 的平行线DE 交AC 于点E ，点P 是线段DE 上的动点(点P 不与D 、E 重合)．将△ABP 绕点A 逆时针方向旋转60°，得到△ACQ ，连接EQ 、PQ ,PQ 交AC 于F ．(1)证明：在点P 的运动过程中，总有∠PEQ =120°．(2)当AP DP为何值时，△AQF 是直角三角形？25(2023·黑龙江·统考中考真题)如图①，△ABC和△ADE是等边三角形，连接DC，点F，G，H分别是DE,DC和BC的中点，连接FG,FH．易证：FH=3FG．若△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，如图②：若△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE=120°，如图③：其他条件不变，判断FH和FG之间的数量关系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明．26(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)综合与实践数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．(1)发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：，∠BDC=°；(2)类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF=120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由；(3)拓展延伸：如图3，△ABC和△AEF均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAF=90°，连接BE，CF，且点B，E，F在一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M．则BF，CF，AM之间的数量关系：；(4)实践应用：正方形ABCD中，AB=2，若平面内存在点P满足∠BPD=90°，PD=1，则S△ABP=．27(2023·广东深圳·统考中考真题)(1)如图，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，连接BE，①若BE=BC，过C作CF⊥BE交BE于点F，求证：△ABE≌△FCB；=20时，则BE⋅CF=．②若S矩形ABCD(2)如图，在菱形ABCD中，cos A=13，过C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，过E作EF⊥AD交AD =24时，求EF⋅BC的值．于点F，若S菱形ABCD(3)如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6，AD=5，点E在CD上，且CE=2，点F为BC上一点，连接EF，过E作EG⊥EF交平行四边形ABCD的边于点G，若EF⋅EG=73时，请直接写出AG的长．28(2023·内蒙古·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O，点P,Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP,QP,AP与OB相交于点E．(1)如图1，连接QA．当QA=QP时，试判断点Q是否在线段PC的垂直平分线上，并说明理由；(2)如图2，若∠APB=90°，且∠BAP=∠ADB，①求证：AE=2EP；②当OQ=OE时，设EP=a，求PQ的长(用含a的代数式表示)．29(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形．如图①，把一个含有45°角的三角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM ，CN 始终与正方形的边AD ，AB 所在直线分别相交于点M ，N ，连接MN ，可得△CMN ．【探究一】如图②，把△CDM 绕点C 逆时针旋转90°得到△CBH ，同时得到点H 在直线AB 上．求证：∠CNM =∠CNH ；【探究二】在图②中，连接BD ，分别交CM ，CN 于点E ，F ．求证：△CEF ∽△CNM ；【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置，直线BD 与三角尺45°角两边CM ，CN 分别交于点E ，F ．连接AC 交BD 于点O ，求EFNM的值．30(2023·山东东营·统考中考真题)(1)用数学的眼光观察．如图，在四边形ABCD 中，AD =BC ，P 是对角线BD 的中点，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，求证：∠PMN =∠PNM ．(2)用数学的思维思考．如图，延长图中的线段AD 交MN 的延长线于点E ，延长线段BC 交MN 的延长线于点F ，求证：∠AEM =∠F ．(3)用数学的语言表达．如图，在△ABC 中，AC <AB ，点D 在AC 上，AD =BC ，M 是AB 的中点，N 是DC 的中点，连接MN 并延长，与BC 的延长线交于点G ，连接GD ，若∠ANM =60°，试判断△CGD 的形状，并进行证明．31(2023·甘肃兰州·统考中考真题)综合与实践【思考尝试】(1)数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，GD⊥DF，AG⊥DG，AG=CF．试猜想四边形ABCD的形状，并说明理由；【实践探究】(2)小睿受此问题启发，逆向思考并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，DF⊥CE于点F，AH⊥CE于点H，GD⊥DF交AH于点G，可以用等式表示线段FH，AH，CF的数量关系，请你思考并解答这个问题；【拓展迁移】(3)小博深入研究小睿提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E是边AB上一点，AH⊥CE于点H，点M在CH上，且AH=HM，连接AM，BH，可以用等式表示线段CM，BH的数量关系，请你思考并解答这个问题．32(2023·贵州·统考中考真题)如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA=CB,∠C=90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上．(1)【动手操作】如图②，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为度；(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P在射线CB上移动，将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，探究线段BA,BP, BE之间的数量关系，并说明理由．33(2023·辽宁·统考中考真题)在RtΔABC中，∠ACB=90°，CA=CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上(不与点A,B重合)，连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．(1)如图，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；(2)如图，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD=2BC；(3)连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF:BC=1:3时，请直接写出S1S2的值．34(2023·四川成都·统考中考真题)探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=BC，D是AB边上一点，且ADBD=1n(n为正整数)，E是AC边上的动点，过点D作DE的垂线交直线BC于点F．【初步感知】(1)如图1，当n=1时，兴趣小组探究得出结论：AE+BF=22AB，请写出证明过程．【深入探究】(2)①如图2，当n=2，且点F在线段BC上时，试探究线段AE，BF，AB之间的数量关系，请写出结论并证明；②请通过类比、归纳、猜想，探究出线段AE，BF，AB之间数量关系的一般结论(直接写出结论，不必证明)【拓展运用】(3)如图3，连接EF，设EF的中点为M．若AB=22，求点E从点A运动到点C的过程中，点M运动的路径长(用含n的代数式表示)．35(2023·江苏徐州·统考中考真题)【阅读理解】如图1，在矩形ABCD中，若AB=a,BC=b，由勾股定理，得AC2=a2+b2，同理BD2=a2+b2，故AC2+BD2=2a2+b2．【探究发现】如图2，四边形ABCD为平行四边形，若AB=a,BC=b，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO为△ABC的一条中线，AB=a,BC=b,AC=c．求证：BO2=a2+b22-c24．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD中，若AB=8,BC=12，点P在边AD上，则PB2+PC2的最小值为．36(2023·四川南充·统考中考真题)如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．(1)求证：ED=EC；(2)将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B 落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时(点M 不与B，C重合)，判断△CMB′的形状，并说明理由．(3)在(2)的条件下，已知AB=1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．37(2023·安徽·统考中考真题)在Rt△ABC中，M是斜边AB的中点，将线段MA绕点M旋转至MD 位置，点D在直线AB外，连接AD,BD．(1)如图1，求∠ADB的大小；(2)已知点D和边AC上的点E满足ME⊥AD,DE∥AB．(ⅰ)如图2，连接CD，求证：BD=CD；(ⅱ)如图3，连接BE，若AC=8,BC=6，求tan∠ABE的值．38(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．39(2023·江苏扬州·统考中考真题)【问题情境】在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A D C,∠ADB=∠A D C=90°,∠B=∠C=30°，设AB=2．【操作探究】如图1，先将△ADB和△A D C的边AD、A D 重合，再将△A D C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α0°≤α≤360°，旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．(1)当α=60°时，BC=；当BC=22时，α=°；(2)当α=90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；(3)如图2，取BC的中点F，将△A D C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．40(2023·四川乐山·统考中考真题)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转θ到达△AB C 的位置，那么可以得到：AB=AB ，AC =AC ，BC=B C ；∠BAC=∠B AC ，∠ABC=∠AB C ，∠ACB=∠AC B ()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键；故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“( )”处应填理由：；(2)如图，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸板A BC 的位置．①请在图中作出点O；②如果BB =6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置，另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止，此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图所示，请你帮助小李解决这个问题．。

九年级数学几何模型压轴题专题练习（解析版）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.如图 1,在 Rt∆ΛSC 中，Z4 = 90o, AB=AC f点 D, E 分别在边 AB, AC 上，AD=AE f连接DC,点M, P, N分别为DE, DC, BC的中点.（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是_,位置关系是_；（2〉探究证明：把AADF绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接BD, CE,判断APMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把AADF绕点A在平面内自由旋转，若AD=4, AB=IO f请直接写出APMN面积的最人值.【答案】（I）PM=PΛ∕, PM丄PN；（2） APMN是等腰直角三角形.理由见解析；（3）49 S A.PMN⅜⅛大=.【解析】【分析】（1）由已知易得加=C利用三角形的中位线得出PM = ；CE , PN = ；BD,即可2 2得出数量关系，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出ZDPM = ZDc4,最后用互余即可得出位置关系；（2）先判断出MBQ三AACE,得出皮） = CE,同（1）的方法得出PM=-BD i2PN = LBD t即可得出PM = PN,同（1）的方法由2ZMPN = ZDCE+ ZDCB+ ZDBC= ZACB+ ZABC ,即可得出结论；（3〉方法1：先判断出MN最人时，APMN的面积最大，进而求出AN, AM,即可得出MN最）＜=AM + AN,最后用面积公式即可得出结论.方法2：先判断出BD最大时，WMN的面积最大，而Br）最人是AB + AD = 14,即可得出结论.【详解】解：（1）•••点P, N是BC, CD的中点，.∙.PN□BD, PN = -BD,2•••点P, M是CD，DE的中点，..PM//CE9 PM=丄CE ,2∙.∙AB=AC, AD=AE^:.BD = CE ,:.PM = PN,-PN//BD f.∙. ZDPN = ZADC,'：PMIlCE.:.ZDPM = ZDCA,∙.∙ ZfiAC = 90。

专题31几何综合压轴题（23道）1．（2023·江苏·统考中考真题）如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD 和矩形EFGH ，点E 、F 在边AB 上（AB EF ），且点C 、D 、G 、H 在直线AB 的同侧；第二步，设置,AB EF m n AD EH ，矩形EFGH 能在边AB 上左右滑动；第三步，画出边EF 的中点O ，射线OH 与射线AD 相交于点P （点P 、D 不重合），射线OG 与射线BC 相交于点Q （点Q 、C 不重合），观测DP 、CQ 的长度．(1)如图2，小丽取4313AB EF m n ，，，，滑动矩形EFGH ，当点E 、A 重合时，CQ ______；(2)小丽滑动矩形EFGH ，使得O 恰为边AB 的中点．她发现对于任意的m n DP CQ ，总成立．请说明理由；(3)经过数次操作，小丽猜想，设定m 、n 的某种数量关系后，滑动矩形EFGH ，DP CQ 总成立．小丽的猜想是否正确？请说明理由．【答案】(1)73(2)见解析(3)小丽的猜想正确，理由见解析【分析】（1）证GOF QOB ∽，利用相似三角形的性质即矩形的性质即可得解；（2）证GOF QOB ∽得BQ OB GF OF ，同理可得AP OA HE OE ，由OA OB ，OE OF ，得BQ AP GF HE，进而有BQ AP ，再根据矩形的性质即可得证；（3）当m n 时，取AB 的中点M ，连接MC 、MD ，由AB EF AD EH，O 恰为边EF 的中点，得AB BC EF O B F F O O ，进而证GOF CMB ∽，得GOF CMB ，于是有CM OQ ，由平行线分线段成比例得CQ CB OM BM ，同理可证：DP AD OM AM，于是有CQ CB AD DP OM BM AM OM ，从而即可得解．解：∵小丽滑动矩形EFGH，使得O恰为边AB∴BQ OB GF OF，同理可得AP OA HE OE ，∵OA OB ，OE OF ，∴OB OA OF OE，∴BQ AP GF HE ，∵GF HE ，∴BQ AP ，∵AD BC ，∴DP CQ ；（3）解：小丽的猜想正确，当m n 时，DP CQ 总成立，理由如下：如下图，取AB 的中点M ，连接MC 、MD ，∵四边形ABCD 和四边形EFGH 都是矩形，∴90B OFG ，AD BC ，GF HE ，∵,AB EF m n AD EH ，m n ，∴AB EF AD EH，∵O 恰为边EF 的中点，M 是AB 的中点，∴MA MB ，OE OF ，∴AB EF AD EH ，∴AB BC EF O B F FO O ，(1)线段AM 与线段AN 的关系是______．(2)若5EF ，4FG ，求AH 的长．(3)求证：2FH BM ．【答案】(1)AM AN(2)815AH (3)见解析【分析】（1）求证(SAS)ABM ADN ≌，即可得证结论AM AN ；（2）由题知，9EH EG ，于是9AM HE ，可证AHM EHF ∽，所以AH AM EH EF ，于是815AH ；（3）连接GH ，令BAM ，则2MAH HEG ，HEG △中，90G EHG ，可求90GFH FEH EHF ，所以G GFH ，得证FH GH ；延长线段MB 至点I ，使BI BM ，可证(SAS)IAM HEG ≌，得GH IM ，于是2FH IM BM ．【详解】（1）解：AM AN∵四边形ABCD 是正方形，∴90ABM ADC ，AB AD .∴90ABM ADN又∵BM DN ，∴(SAS)ABM ADN ≌∴AM AN ．（2）解：由题知，459EH EG ，∴9AM HE ．∵MAH HEG ，AHM EHF ，∴AHM EHF ∽．∴AH AM EH EF ．∴995AH ．∴815AH．（3）解：连接GH ，令BAM ，则2MAH HEG ，HEG △中，EH EG ，∴1(1802)902G EHG ．Rt ABH △中，90903AHB BAH ．∴290390GFH FEH EHF ．∴G GFH ．∴FH GH ．延长线段MB 至点I ，使BI BM ，连接A I ，则AB 垂直平分IM ，∴AI AM ．【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等；添加辅助线，构造全等三角形，从而求证线段之间的相等关系是解题的关键．3．（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在（不与点B ，C 重合），连接AD ，过点是AE ，BD 的中点，连接DF ，FG ，BE (1)如图1，点D 在线段BC 上，且点D 不是BC 的中点，FG CD________．(2)如图2，点D 在线段BC 上，当60 ，3k 时，求证：(3)当60 ，3k 时，直线CE 与直线AB 交于点【答案】(1)垂直，12(2)见解析(3)6577CN 或42313【分析】（1）连接BF 并延长交AC 于R ，根据等腰三角形的判定和性质，推出,,,A B E D ，四点共圆，进而得到90ABE ，推出AB 与BE 垂直，利用斜边上的中线以及等腰三角形三线合一，得到FG BC ，证明AFR EFB ≌，得到1,2FG DR FG DR ∥，即可得出结果；（2）作AQ BC 于Q ，作EH CB ，交CB 的延长线于点H ，连接BF ，同（1）推出FG BC ，得到EH FG AQ ∥∥，进而得到2EH AQ FG ，变形得到3323EH AQ FG ，再根据等腰三角形三线合一，以及含30度角的直角三角形的性质，利用线段之间的等量代换，即可得证；（3）分点D 在线段BC 上和在线段BC 的延长线上，两种情况进行讨论求解．【详解】（1）解：连接BF 并延长交AC 于R ，∵,90AB AC BAC ，∴45ABC C ，同理：45AED ，∴AED ABD ，∴,,,A B E D ，四点共圆，∴180ABE ADE ，∵90ADE ，∴90ABE ，∴AB 与BE 垂直；∵F 是AE 的中点，∴12BF DF AB ，AF EF ，∵G 是BD 的中点，∵,60AB AC BAC ，∴ABC 为等边三角形，∴60ABC C ，BC ∵90,3AD ADE DE，∴12BF DF AB ，AF EF ，∵G 是BD 的中点，∴FG BC ，∴EH FG AQ ∥∥，∴1HG EF QG AF，∴HG QG ，∴GF 是梯形AEHQ 的中位线，∴2EH AQ FG ，∴3323EH AQ FG ，∵90,18030H EBH ABE ABC ，∴3BH EH ，∵HG QG ，BG DG ，∴3DQ BH EH ，∵90,60AQC C ，∴33CQ AQ ，∴323DQ CQ FG ，∴ 223DQ CQ CQ FG ，∴23BC CD FG ；（3）①当点D 在BC 上时，作AQ BC 于Q ，作EH CB ，交CB 的延长线于点H ，作CX EB ，交EB 的延长线与点X ，由（2）知：ABC 为等边三角形，90ABE ，同①可知：33,3,AQ CQ DHE AQD ∽，∴383,EH DE DQ CQ CD DQ AD ，∴38333EH DQ ，∴16323BE HE，38BH HE ，∴2CH BH BC ，∴222573CE EH CH ，在Rt BCX 中，6BC ，30BCX EBH ，∴6cos3033BX ，∴733EX EB BX ，∵90ABE CXE ，∴CX BN ∥，∴CN BX CE EX ，即：332577333CN ，∴6577CN ；综上：6577CN或42313．【点睛】本题考查几何的综合应用，难度大，属于中考压轴题，重点考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，斜边上的中线，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是添加合适的辅助线，构造特殊图形．4．（2023·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt ABC △中，90ACB ，AC BC ，点D 在边AC 上，将线段DA 绕点D 按顺时针方向旋转90 得到DA ，线段DA 交AB 于点E ，作A F AB 于点F ，与线段AC 交于点G ，连接,FC GB ．(1)求证：ADE A DG ≌△△；∵,AGF CFG ACF ABC ABG CBG ，∴ACF ABG ，∵A A ，∴ABG ACF ∽ ，∴AG BG AF CF，即AF GB AG FC ；（3）解：如图，连接EG ，∵ADE A DG ≌△△，∴DE DG ，AE A G ，∵8AC ，1tan 2A，∴11tan ,tan 22BC DE EF A A AC AD AF ，∴4,2BC A D AD DE ，2A F EF ，∴45AB ，设DE DG x ，则2A D AD x ，∴5AE A G x ，A E x ，83CG x ，∴525,55EF x A F x，∴355FG x ，65455BF x ，∵A G 平分四边形DCBE 的面积，∴DEG FEG BFG BCG S S S S ，∴11112222DE DG EF FG BC CG BF FG ，即 2115351165354834522552255x x x x x x，(1)如图1，连接BD ，求BDC 的度数和DG BE的值；(2)如图2，当点F 在射线BD 上时，求线段BE 的长；(3)如图3，当EA EC 时，在平面内有一动点P ，满足PE EF ，连接PA 【答案】(1)60BDC ，3(2)3(3)43将AEP △绕点E 顺时针旋转120°，EA 与EC 重合，得到CEP △，进而求出PA P C ，120PEP ，4EP EP ，得出343PP PE ，可得当点P ，C ，P 三点共线时，PA PC 的值最小，此时为43PA PC PP ．【详解】（1）解：∵矩形ABCD 中，2AB ，23AD ，∴90C ，2CD AB ，23BC AD ，∴tan 3BC BDC DC，∴60BDC ，由矩形ABCD 和矩形AEFG 可得，90ABE BAD EAG ADG ，∴EAG EAD BAD EAD ，即DAG BAE ，∴ADG ABE ∽△△，∴3DG AD BE AB；（2）解：如答案图1，过点F 作FM CG 于点M ，由矩形ABCD 和矩形AEFG 可得，90ABE AGF ADG ，AE GF ，∴BAE DAG CGF ，90ABE GMF ，∴ABE GMF ≌△△，∴BE MF ，2AB GM ，∴60MDF BDC ，FM CG ，∴tan tan 603MF MDF MD，∴3MF MD ，设DM x ，则3BE MF x ，∴2DG GM MD x ，∵3DG BE，∴233x x ，解得1x ，∴33BE x ；【点睛】本题考查矩形的性质，三角函数，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．6．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图，矩形折纸游戏．游戏1折出对角线BD ，将点B 翻折到BD 上的点E 处，折痕AF 交BD 于点G ．展开后得到图①，发现点F 恰为BC 的中点．游戏2在游戏1的基础上，将点C 翻折到BD 上，折痕为BP ；展开后将点B 沿过点F 的直线翻折到BP 上的点H 处；再展开并连接GH 后得到图②，发现AGH 是一个特定的角．(1)请你证明游戏1中发现的结论；(2)请你猜想游戏2中AGH 的度数，并说明理由．【答案】(1)证明见详解(2)120 ，理由见解析【分析】（1）由折叠的性质可得AF BD ，根据题意可得BAG ADB GBF ，再设AB a =，然后表示出AD 、BD ，再由锐角三角函数求出BF 即可；（2）由折叠的性质可知GBH FBH ，BF HF ，从而可得出GBH BHF ，进而得到BD HF ，DGH GHF ，由（1）知AF BD ，可得AF HF ，在Rt GFH 中求出GHF 的正切值即可解答．【详解】（1）证明：由折叠的性质可得AF BD ，90AGB ，∵四边形ABCD 是矩形，90BAD ABC ，BAG ADB GBF ，2AD AB ∵，设AB a =，则2AD a ，3BD a ，sin sin BAG ADB ，即BG AB AB BD， 3BG a a a，解得33BG a ，根据勾股定理可得63AG a，cos cos GBF BAG ，即BG AG BF AB， 3633a a BF a．由折叠的性质可知GBH FBHGBH FBH，FBH FHB ，GBH BHFBD HF，，DGH GHF7．（2023·湖南娄底·统考中考真题）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星．为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等．数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究．延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星．如图，正五边形ABCDE 的边BA DE 、的延长线相交于点F ，EAF 的平分线交EF 于点M ．(1)求证：2AE EF EM ．(2)若1AF ，求AE 的长．(3)求ABCDEAEF S S 正五边形△的值．【答案】(1)见解析(2)512AE(3)5【分析】（1）根据正多边形的性质可以得到72FAE FEA ，再利用三角形的内角和以及角平分线的定义得到MAE F ，再根据FEA AEM ，可得到AEM FEA ∽，进而得到结论；（2）根据等角对等边可以得到1AF FE ，AE AM FM ，再由（1）得结论得到 211AE AE ，解方程可以求出结果；（3）设AEF S S ，AF a 连接AD ，AC ，根据正多边形可以推导出AFE ACD ≌，ABC AED ≌，则可表示出ABCDE S 正五边形，然后求出比值．【详解】（1）证明：∵ABCDE 是正五边形，∴360725FAE FEA ，∴180180727236F FAE FEA ，又∵EAF 的平分线交EF 于点M ，∴11723622FAM MAE FAE ，【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，正多边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．8．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图1，在ABCD Y 纸片中，10AB ，6AD ，60DAB ，点E 为BC 边上的一点（点E 不与点C 重合），连接AE ，将ABCD Y 纸片沿AE 所在直线折叠，点C ，D 的对应点分别为C 、D ¢，射线C E 与射线AD 交于点F ．(1)求证：AF EF ；(2)如图2，当EF AF 时，DF 的长为______；(3)如图3，当2CE 时，过点F 作FM AE ，垂足为点M ，延长FM 交C D 于点N ，连接AN 、EN ，求ANE 的面积．【答案】(1)证明见解析(2)536(3)133【分析】（1）根据平行四边形的性质和平行线的性质，得到180FAE AEC ，再根据折叠的性质，得到AEC AEC ，然后结合邻补角的性质，推出 FAE AEF ，即可证明AF EF ；（2）作AG CB ，交CB 的延长线于G ，先证明四边形AGEF 是正方形，再利用特殊角的三角函数值，求出53AG ，进而得到53AF ，即可求出DF 的长；（3）作AQ CB ，交CB 的延长线于Q ，作MT AF 于T ，交HD 的延长线于G ，作HR MT 于R ，解直sin sin 60AG ABG AB∵，10AB ，3sin6010532AG AB，53AF AG ，6AD ∵，536DF AF AD ，故答案为：536 ；（3）解：如图2，作AQ CB ，交CB 的延长线于Q ，作MT AF 于T ，交HD 的延长线于G ，作HR MT 于R ，∵四边形ABCD 是平行四边形，10AB CD ，6AD BC ，AB CD ∥，CB AD ∥，60ABQ DAB ，在Rt AQB 中，1cos 601052BQ AB ，3sin 6010532AQ AB ，2CE ∵6529EQ BC BQ CE ，在Rt AQE V 中，2222(53)9239AE AQ EQ ，由（1）可知：AF EF ，FM AE ∵，1392AM EM AE ，又∵ABCD Y 纸片沿AE 所在直线折叠，点C ，D 的对应点分别为C ，D ¢，HM MN ，AD BC ∥∵，36k ，5532HR k，sin sin FMT AEQ ∵，HR AQ HM AE，5532239HM ，13HM ，13MN ，112391313322ANE S AE MN ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形、轴对称的性质等知识，正确作辅助线，熟练解直角三角形是解题关键．9．（2023·宁夏·统考中考真题）综合与实践问题背景数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36 的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究．探究发现如图1，在ABC 中，36A ，AB AC ．（1）操作发现：将ABC_______DB，则BDE（2）进一步探究发现：拓展应用：当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫黄金三角形．例如，图 （2）证明见解析，拓展应用：【答案】（1）72,1x【分析】（1）利用等边对等角求出，利用三角形内角和定理求出，,BDC BDE BC BE可；∴ 180236721ABC C ，∵将ABC 折叠，使边BC 落在边BA 上，∴1362ABD CBD ABC，,BDC BDE BC BE x ，∴18072BDC BDE CBD C ，1AE AB BE AB BC x ；故答案为：72,1x ；（2）证明：∵72BDC C ，∴BD BC x ，∵36,A CBD C C ，∴BDC ABC ∽，∴BC CD AC BC，∵36ABD CBD A ，∴AD BD BC x ，∴1CD x ，∴11x x x，整理，得：210x x ，解得：512x（负值已舍掉）；经检验512x 是原分式方程的解．∴512BC AC 底腰；拓展应用：如图，连接AC ，延长AD 至点E ，使AE AC ，连接CE ，(1)当AF DF时，求AED(2)求证：EHG ADG∽△△(3)求证：AE AC EH HC．【答案】(1)60 (2)见详解EAG DAG ，即可得45BAE HEG EHK ，进而可得ABE HKE ∽，则有AE AB HE HK ，结合AB BC ，HK KC ，可得AE AB BC HE HK KC，再证明ABC HKC ∽，即可证明．【详解】（1）∵EF AD ，∴90EFA EFD ，∵EF EF ，AF DF ，∴EFA EFD ≌，∴EA ED ，∵ABC 、CDE 是两个等腰直角三角形，∴45ACB BAC CED CDE Ð=Ð=°=Ð=Ð，AB BC ，∴18090EGC BCA CED Ð=°-Ð-Ð=°，∴GC DE ，∴等腰直角CDE 中，EG GD ，∴GC 是线段ED 的垂直平分线，∴EA AD ，∴EA AD DE ，即EAD 是等边三角形，∴60AED ；（2）在（1）中有GC DE ，EF AD ，∴90AGE AGD AFH Ð=Ð=Ð=°，又∵EHG AHF Ð=Ð，∴HEG HAF Ð=Ð，∴EHG ADG ∽△△；（3）过H 点作HK BC 于点K ，如图，∵HK BC ，45BCH ，(1)当点E 在线段BC 上，=45ABC 时，如图①，求证：AE EC BF ；(2)当点E 在线段BC 延长线上，=45ABC 时，如图②：当点E 在线段CB 延长线上，135ABC 时，如图③，请猜想并直接写出线段AE ，EC ，BF 的数量关系；(3)在（1）、（2）的条件下，若3BE ，5DE ，则CE _______．【答案】(1)见解析(2)图②：AE EC BF ，图③：EC AE BF(3)1或7【分析】（1）求证BEF AED ，AE BE ，得 BEF AED SAS △≌△，所以BF AD ，进而AD BC BF ，所以AE CE BE CE BC BF ；（2）如图②，当点E 在线段BC 延长线上，=45ABC 时，同（1）， BEF AED SAS △≌△，得AD BF ，结合平行四边形性质，得AD BC BF ，所以AE EC BF ；如图③，当点E 在线段CB 延长线上，135ABC 时，求证BAE ABE ，得AE BE ，同（1）可证 BEF AED SAS △≌△，BF AD ，结合平行四边形性质，得AD BC BF ，所以EC AE BF ；（3）如图①，Rt EBF △中，勾股定理，得224BF EF BE =-=，求得1EC BF AE =-=；如图②，3BE ，则3AE ,Rt ADE △中，2222534AD DE AE =-=-=，可得图②中，不存在3BE ，5DE 的情况；如图③，Rt AED △中，勾股定理，得224AD DE AE =-=，求得7EC AE BF =+=．【详解】（1）证明：AE BC ∵，90AEB ．90FED ∵，∴AEB FED∴AEB AEF FED AEFÐ-Ð=Ð-ÐBEF AED ．45ABC ∵，45ABC BAE ．AE BE ．EF ED ∵，BEF AED SAS △≌△．BF AD ．∵四边形ABCD 是平行四边形，AD BC BF ．AE CE BE CE BC BF ；（2）如图②，当点E 在线段BC 延长线上，=45ABC 时，同（1），AE BE ，BEF AED SAS △≌△∴AD BF∵四边形ABCD 是平行四边形，AD BC BF ．∴AE EC BE EC BC BF即AE EC BF ；如图③，当点E 在线段CB 延长线上，135ABC 时，∵135ABC∴18045ABE ABC Ð=°-Ð=°∵AE BC∴90AEB∴18045BAE AEB ABE Ð=°-Ð-Ð=°∴BAE ABE∴AE BE同（1）可证，BEF AED SAS △≌△∴BF AD∵四边形ABCD 是平行四边形，AD BC BF ．∴EC AE EC EB BC BF即EC AE BF（3）如图①，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴90EAD AEB∵BEF AED≌△△∴90EAD EBF Ð=Ð=°Rt EBF △中，5EF DE ,3BE AE ，2222534BF EF BE =-=-=由AE EC BF ，得431EC BF AE =-=-=；如图②，3BE ，则3AE ,Rt ADE △中，2222534AD DE AE =-=-=，∴4BC AD ,与3BE 矛盾，故图②中，不存在3BE ，5DE 的情况；如图③，∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD BC∥∴180EAD AEB∵90AEB∴90EADRt AED △中，3AE BE ，2222534AD DE AE =-=-=∴4BF ADk 时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系______；(1)如图1，当1，和DF之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，当3k 时，写出线段AD DE的值．(3)在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan EBF【答案】(1)AG DF(2)233AD DF DE【详解】（1）解：当1k 时，,AD BD DG EF ，∵在ABCD Y 中，90ADB ，∴45A ABD ，AB CD ∥，∴45CDB∴135CDF ，在AD 上截取DH DE ，连接H G ，∵FED ADG ，∴ SAS DHG EDF ≌，∴135DHG EDF ，DF HG ，∴45AHG ，90AGH ，∴AG GH DF ，故答案为：AG DF ；（2）233AD DF DE ，理由如下：当3k 时，3AD DG BD EF，∴30A ，60CDB DBA ，过点G 作GM AB 交AD 于点M ，∴120DMG ，∵120FDE ，∴FDE DMG ，∵60BDE ABD ，∴30DEN ，∴1122DN DE x ，32EN x ，∴15322BN BD DN x x x，3x【点睛】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，求角的正切值，熟练掌握各知识点是解题的关键．13．（2023·江苏徐州·统考中考真题）【阅读理解】如图1，在矩形ABCD 中，若,AB a BC b ，由勾股定理，得222AC a b ，同理222BD a b ，故 22222AC BD a b ．【探究发现】如图2，四边形ABCD 为平行四边形，若,AB a BC b ，则上述结论是否依然成立？请加以判断，并说明理由．【拓展提升】如图3，已知BO 为ABC 的一条中线，,,AB a BC b AC c ．求证：222224a b c BO ．【尝试应用】如图4，在矩形ABCD 中，若8,12AB BC ，点P 在边AD 上，则22PB PC 的最小值为_______．【答案】探究发现：结论依然成立，理由见解析；拓展提升：证明见解析；尝试应用：200【分析】探究发现：作AE BC 于点E ，作DF BC 交BC 的延长线于点F ，则90AEB CFD ，证明 Rt Rt HL ABE DCF ≌△△，BE CF ，利用勾股定理进行计算即可得到答案；拓展提升：延长BO 到点C ，使OD BO ，证明四边形ABCD 是平行四边形，由【探究发现】可知， 22222AC BD AB BC ，则 222222c BO a b ，得到 222242c BO a b ，即可得到结论；尝试应用：由四边形ABCD 是矩形，8,12AB BC ，得到8,12AB CD BC AD ，90A D ，设AP x ，12PD x ，由勾股定理得到 22226200PB PC x ，根据二次函数的性质即可得到答案．【详解】探究发现：结论依然成立，理由如下：作AE BC 于点E ，作DF BC 交BC 的延长线于点F ，则90AEB CFD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，若,AB a BC b ，∴,,AB DC a AD BC AD BC b ∥，∵AE BC ，DF BC ，∵BO 为ABC 的一条中线，∴OA CO ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∵,,AB a BC b AC c ．2222427226200x x x ，∵20 ，∴抛物线开口向上，∴当6x 时，22PB PC 的最小值是200故答案为：200【点睛】此题考查了二次函数的应用、勾股定理、平行四边形的判定和性质、矩形的性质等知识，熟练掌握勾股定理和数形结合是解题的关键．14．（2023·辽宁·统考中考真题）在Rt ABC 中，90°ACB ，CA CB ，点O 为AB 的中点，点D 在直线AB 上（不与点,A B 重合），连接CD ，线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，过点B 作直线l BC ，过点E 作EF l ，垂足为点F ，直线EF 交直线OC 于点G ．(1)如图，当点D 与点O 重合时，请直接写出线段AD 与线段EF 的数量关系；(2)如图，当点D 在线段AB 上时，求证：2CG BD BC ；(3)连接DE ，CDE 的面积记为1S ，ABC 的面积记为2S ，当:1:3EF BC 时，请直接写出12S S 的值．【答案】(1)22EF AD(2)见解析(3)59或179【分析】（1）可先证BCD BCE ≌，得到BD BE ，根据锐角三角函数，可得到BE 和EF 的数量关系，进而得到线段AD 与线段EF 的数量关系．（2）可先证ACD GEC ≌△△，得到DA CG ，进而得到CG BD DA BD AB ，问题即可得证．（3）分两种情况：①点D 在线段AB 上，过点C 作CN 垂直于FG ，交FG 于点N ，过点E 作EM 垂直于BC ，交BC 于点M ，设EF a ，利用勾股定理，可用含a 的代数式表示EC ，根据三角形面积公式，即可得到答案．②点D 在线段BA 的延长线上，过点E 作EJ 垂直于BC ，交BC 延长线于点J ,令EF 交AC 于点I ,连接BE ,根据图形旋转的性质可知CD CE 由题意可知，ABC 为等腰直角三角形，CD ∵为等腰直角三角形ABC 斜边45BCD ，AD BD ．又90DCE ，45BCE ．ACD BCE ．BC l ∵，EF l ，BC EF ∥．45G OCB ，GEC BCE ．G A ，ACD GEC ．在ACD 和GEC 中，ACD GEC A G CD CEACD GEC ≌△△．DA CG ．2CG BD DA BD AB BC ．（3）解：当点D 在线段AB 延长线上时，不满足条件:1:3EF BC ，故分两种情况：①点D 在线段AB 上，如图，过点C 作CN 垂直于FG ，交FG 于点N ；过点E 作EM 垂直于BC ，交BC 于点M ．设EF a ，则3BC AC a ．根据题意可知，四边形BFEM 和CMEN 为矩形，GCN 为等腰直角三角形．EF BM a ，2CM NE a ．由（2）证明可知ACD GEC ≌△△，3AC GE a ．NG NC a ．NC EM a ．∵90DCE ACB∴DCE ACE ACB ACE即DCA ECB又∵CD CE ，CA CB∴CDA CEB≌∴DAC EBC而180180DAC CAB Ð=°-Ð=°-∴135EBC18045EBJ EBC Ð=°-Ð=°∴EBJ 是等腰直角三角形，EJ 设EF b ，则3BC IF b ==，EJ ∴4EI EF IF b=+=Rt CIE 中，22CE CI EI =+=CDE 的面积1S 与ABC 的面积2S 之比22122211171722119322CE b S S BC b 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质、勾股定理以及图形旋转的性质，灵活利用全等三角形的判定及性质是解题的关键．15．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC 中，,90CA CB C ，过点B 作射线BD AB ，垂足为B ，点P 在CB 上．(1)【动手操作】如图②，若点P 在线段CB 上，画出射线PA ，并将射线PA 绕点P 逆时针旋转90 与BD 交于点E ，根据题意在图中画出图形，图中PBE 的度数为_______度；(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段PA 与PE 的数量关系，并说明理由；(3)【拓展延伸】如图③，若点P 在射线CB 上移动，将射线PA 绕点P 逆时针旋转90 与BD 交于点E ，探究线段,,BA BP BE 之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)作图见解析；135(2)PA PE ；理由见解析(3)2BA BE BP 或2BE BA BP ；理由见解析【分析】（1）根据题意画图即可；先求出190452ABC BAC ，根据90ABD Ð=°，求出4590135CBE ABC ABE ；（2）根据90APE ，90ABE ，证明A 、P 、B 、E 四点共圆，得出45AEP ABP ，求出AEP EAP ，根据等腰三角形的判定即可得出结论；（3）分两种情况，当点P 在线段BC 上时，当点P 在线段BC 延长线上时，分别画出图形，求出,,BA BP BE 之间的数量关系即可．∵,90CA CB C ，∴190452ABC BAC ∵BD AB ，根据旋转可知，90APE ，∵90ABE ，∴A 、P 、B 、E 四点共圆，∴45AEP ABP ，根据解析（2）可知，PA PE ，∵90EFP APE ，∴90EPF PEF EPF APC ，∴PEF APC ，∵90EFP ACP ，∴PEF APC ≌，∴EF PC ，∵18045EBF CBE ，90EFB ，∴EBF △为等腰直角三角形，∴2BE EF ，∵ABC 为等腰直角三角形，∴ 2222222BA BC BP PC BP PC BP EF BP BE ，即2BA BE BP ；当点P 在线段BC 延长线上时，连接AE ，作EF CB 于点F ，如图所示：根据旋转可知，90APE ，∵90ABE ，∴A 、B 、P 、E 四点共圆，∴45EAP EBP ，∴904545AEP ，∴AEP EAP ，∴PA PE ，∵90EFP APE ，∴90EPF PEF EPF APC ，∴PEF APC ，(1)当点P和点B重合时，线段PQ的长为__________；(2)当点Q和点D重合时，求tan PQE的形状始终是等腰直角三角形．如图(3)当点P在边AD上运动时，PQE(4)作点E关于直线PQ的对称点F，连接【分析】（1）证明四边形ABEQ 是矩形，进而在Rt QBE △中，勾股定理即可求解．（2）证明PBE ECD ∽，得出2tan 3PE BE PQE DE CD ；（3）过点P 作PH BC 于点H ，证明PHE ECQ ≌得出PE QE ，即可得出结论（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点P 在BE 上时，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，连接BQ ，∵四边形ABCD 是矩形∴90BAQ ABE∵90PEQ ，∴四边形ABEQ 是矩形，当点P 和点B 重合时，∴3QE AB ，2BE 在Rt QBE △中，22223213BQ BE QE ，故答案为：13．（2）如图所示，∵90PEQ ，90PBE ECD ，∴1290,2390 ，∴13∵90PEQ ，PHE ECQ ∴1290,2390 则四边形ABHP 是矩形，∴PH AB 3又∵523EC BC BE ∵3,2QE QF AQ BE 在Rt AQF △中，2AF QF 则35BF ，∵PE t ，则2BP t ，PF在Rt PBF 中，222PF PB FB ，∴ 222352t t 解得：9352t当9352t 时，点F 在矩形内部，符合题意，∴93502t符合题意，②当P 点在AB 上时，当,F A 重合时符合题意，此时如图，则2PB t BE t ，PE 325AP AB PB t t ，在Rt PBE △中，222PE PB BE 222522t t ，解得：176t ，③当点P 在AD 上，当,F D 重合时，此时Q 与点C 重合，则PFQE 是正方形，此时2327t综上所述，93502t 或176t 或7t ．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，勾股定理，求正切，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．17．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）综合与实践【思考尝试】（1）数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在矩形ABCD 中，E 是边AB 上一点，DF CE 于点F ，【答案】（1）四边形ABCD 是正方形，证明见解析；（2）FH AH CF 【分析】（1）证明ADG CDF ≌，可得AD CD ，从而可得结论；（2）证明四边形DGHF 是矩形，可得90G DFC ，同理可得： DG DF ，AG CF ，证明四边形DGHF 是正方形，可得HG HF ，从而可得结论；（3）如图，连接AC ，证明90AHE ABC ，2AC AB ，45BAC。

中考数学几何选择填空压轴题精选一．选择题（共13小题）1．（2013•蕲春县模拟)如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H,连接OH交DC于点G,连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（）①OH=BF；②∠CHF=45°;③GH=BC；④DH2=HE•HB．A．1个B．2个C．3个D．4个2．(2013•连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=,∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…,如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（）A．B．C．D．3．如图,梯形ABCD中,AD∥BC，，∠ABC=45°,AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论:①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有( ）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，正方形ABCD中,在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论:①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S▭DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③5．(2008•荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC,BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF,连EF交CD于M．已知BC=5,CF=3，则DM：MC的值为（)A．5：3B．3：5C．4:3D．3：46．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…,依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（）A．B．C．D．7．如图,在锐角△ABC中,AB=6，∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是( ）A．B．6C．D．38．（2013•牡丹江）如图,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论:①P M=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．(2012•黑河)Rt△ABC中，AB=AC,点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（2012•无锡一模）如图，在正方形纸片ABCD中,对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD 落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连接GF．下列结论①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD;④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG．其中正确的结论有（) A．①④⑤B．①②④C．③④⑤D．②③④11．如图，正方形ABCD中,O为BD中点,以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE;③2OH+DH=BD；④BG=DG；⑤．其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④C．①②⑤D．②④⑤12．如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为CD上一动点，AE交BD于F，过F作FH⊥AE于H，过H作GH⊥BD 于G，下列有四个结论：①AF=FH,②∠HAE=45°，③BD=2FG，④△CEH的周长为定值，其中正确的结论有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④13．（2013•钦州模拟）正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4,则△DEK的面积为（）A．10B．12C．14D．16二．填空题（共16小题）14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EA⊥AD，M是AE上一点,F、G分别是AB、CM的中点，且∠BAE=∠MCE，∠MBE=45°，则给出以下五个结论：①AB=CM;②A E⊥BC;③∠BMC=90°；④EF=EG；⑤△BMC是等腰直角三角形．上述结论中始终正确的序号有_________ ．15．（2012•门头沟区一模）如图，对面积为1的△ABC逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，顺次连接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为S1；第二次操作，分别延长A1B1，B1C1，C1A1至A2，B2，C2,使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1,C2A1=2C1A1，顺次连接A2，B2，C2,得到△A2B2C2,记其面积为S2…，按此规律继续下去，可得到△A5B5C5，则其面积为S5= _________ ．第n 次操作得到△A n B n C n，则△A n B n C n的面积S n= _________ ．（2009•黑河）如图，边长为1的菱形ABCD中,∠DAB=60度．连接对角线AC,以AC为边作第二个菱形ACC1D1，16．使∠D1AC=60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此规律所作的第n个菱形的边长为_________ ．17．(2012•通州区二模）如图，在△ABC中,∠A=α．∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2011BC与∠A2011CD的平分线相交于点A2012，得∠A2012，则∠A2012= _________ ．18．（2009•湖州）如图,已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2,连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4,D5，…，D n，分别记△BD1E1，△BD2E2,△BD3E3，…,△BD n E n的面积为S1，S2，S3，…S n．则S n= _________ S△ABC(用含n的代数式表示）．19．（2011•丰台区二模)已知：如图，在Rt△ABC中，点D1是斜边AB的中点，过点D1作D1E1⊥AC于点E1,连接BE1交CD1于点D2；过点D2作D2E2⊥AC于点E2，连接BE2交CD1于点D3；过点D3作D3E3⊥AC于点E3，如此继续，可以依次得到点D4、D5、…、D n,分别记△BD1E1、△BD2E2、△BD3E3、…、△BD n E n的面积为S1、S2、S3、…S n．设△ABC的面积是1，则S1= _________ ，S n= _________ （用含n的代数式表示）．20．（2013•路北区三模）在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10,P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为_________ ．21．如图，已知Rt△ABC中，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB,垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2,…，这样一直做下去,得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2,…，则CA1= _________ ，= _________ ．22．（2013•沐川县二模)如图，点A1，A2，A3,A4，…，A n在射线OA上，点B1，B2，B3，…，B n﹣1在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n﹣1B n﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥A n B n﹣1，△A1A2B1,△A2A3B2,…，△A n﹣1A n B n﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4,则△A1A2B1的面积为_________ ；面积小于2011的阴影三角形共有_________ 个．23．(2010•鲤城区质检)如图，已知点A1（a，1）在直线l：上，以点A1为圆心，以为半径画弧,交x轴于点B1、B2，过点B2作A1B1的平行线交直线l于点A2，在x轴上取一点B3，使得A2B3=A2B2，再过点B3作A2B2的平行线交直线l于点A3，在x轴上取一点B4,使得A3B4=A3B3，按此规律继续作下去，则①a=_________ ;②△A4B4B5的面积是_________ ．24．（2013•松北区二模)如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为O,连接AO，如果AB=4，AO=6，那么AC的长等于_________ ．25．（2007•淄川区二模）如图,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3,EF=4，那么线段AD与AB的比等于_________ ．26．（2009•泰兴市模拟)梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是S1、S2、S3且S1+S3=4S2，则CD= _________ AB．27．如图，观察图中菱形的个数：图1中有1个菱形，图2中有5个菱形，图3中有14个菱形,图4中有30个菱形…，则第6个图中菱形的个数是_________ 个．28．（2012•贵港一模）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点,AF与DE相交于点P,BF与CE相交于点Q，若S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为_________ cm2．29．（2012•天津）如图,已知正方形ABCD的边长为1，以顶点A、B为圆心，1为半径的两弧交于点E,以顶点C、D为圆心，1为半径的两弧交于点F，则EF的长为_________ ．30．如图,ABCD是凸四边形,AB=2，BC=4,CD=7，求线段AD的取值范围（）．参考答案与试题解析一．选择题(共13小题）1．（2013•蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F,使FC=EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为( ）①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE•HB．A．1个B．2个C．3个D．4个解答：解：作EJ⊥BD于J,连接EF①∵BE平分∠DBC∴EC=EJ，∴△DJE≌△ECF∴DE=FE∴∠HEF=45°+22.5°=67.5°∴∠HFE==22。

2023年中考数学压轴题专项训练压轴题27选择压轴题（几何篇）一．选择题（共40小题）1．（2023•朝阳区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，将OB绕着点O逆时针旋转40°得到OC，P是⊙O 上一点，且与点C在AB的异侧，连结P A、PC、AC，若P A＝PC，则∠P AB的大小是（）A．20°B．35°C．40°D．70°2．（2023•河北区二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴上，且∠COA＝45°，OA ＝4，则点B的坐标为（）A．(4+2√2，2√2)B．(2√2，2√2)C．(2+2√2，2）D．(√2，2)3．（2023•奉贤区二模）如图，矩形ABCD中，AB＝1，∠ABD＝60°，点O在对角线BD上，圆O经过点C．如果矩形ABCD有2个顶点在圆O内，那么圆O的半径长r的取值范围是（）A．0＜r≤1B．1＜r≤√3C．1＜r≤2D．√3＜r≤24．（2023•广灵县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，点O，D，E是AB边上的点，以点O为圆心，DE长为直径的半圆O与AC相切于点M，与BC相切于点N，则图中阴影部分的面积为（）A ．5B ．9﹣2πC ．9﹣πD ．5﹣π5．（2023•普陀区二模）如图，△ABC 中，∠BAC ＝60°，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，AO ＝2，下面结论中不一定正确的是（ ）A ．∠BOC ＝120°B ．∠BAO ＝30°C ．OB ＝3D ．点O 到直线BC 的距离是16．（2023•瓯海区模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD 与正方形EFGH ，连结DH 并延长交AB 于点K ，若DF 平分∠CDK ，则DH HK =（ ）A ．2√33B ．65C ．√5−1D ．4√577．（2023•花溪区模拟）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE ＝1m ，将它往前推6m 至C 处时（即水平距离CD ＝6m ），踏板离地的垂直高度CF ＝4m ，它的绳索始终拉直，则绳索AC 的长是（ ）A ．152mB ．92mC ．6mD ．212m8．（2023•承德一模）如图，在菱形ABCD 中，AC 、BD （AC ＞BD ）相交于点O ，E 、F 分别为OA 和OC 上的点（不与点A 、O 、C 重合）．其中AE ＝OF ．过点E 作GH ⊥AC ，分别交AD 、AB 于点G 、H ；过点F 作IJ ⊥AC 分别交CD 、CB 于点J 、I ；连接GJ 、HI ，甲、乙、丙三个同学给出了三个结论：甲：随着AE 长度的变化，GH +IJ ＝BD 始终成立．乙：随着AE 长度的变化，四边形GHIJ 可能为正方形．丙：随着AE 长度的变化，四边形GHIJ 的面积始终不变，都是菱形ABCD 面积的一半．下列选项正确的是（ ）A ．甲、乙、丙都对B ．甲、乙对，丙不对C ．甲、丙对，乙不对D ．甲不对，乙、丙对 9．（2023•石家庄二模）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，E ，F 分别是OB 与OD 的中点，依连接点A ，E ，C ，F ，A ，当四边形AECF 是矩形时，与线段BE 相等的线段有（ ）A ．4条B ．5条C ．6条D ．7条10．（2023•青山区二模）如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，E 是BC 边上一点，F 是BD 上一点，连接DE ，EF ．若△DEF 与△DEC 关于直线DE 对称，则OF 的长为（ ）A ．√22B ．2√2−2C ．2−√2D ．√2−111．（2023•柳城县一模）七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．（清）陆以活《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图，是一个用七巧板拼成的装饰图，放入长方形ABCD 内，装饰图中的三角形顶点E ，F 分别在边AB ，BC 上，三角形①的边GD 在边AD 上，则BF BE 的值为（ ）A ．1+√22B ．√22C ．2+√24D ．2+√2212．（2023•泉州模拟）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABC 沿BC 的方向平移至△A 'B 'C '，使得A ′E ＝A ′F ，其中E 是A ′B ′与AC 的交点，F 是A ′C ′与CD 的交点，则CC ′的长为（ ）A ．52−√52B ．112−√5C ．5−√5D ．92−√5 13．（2023•定远县二模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，BC ＝5，点P 为BC 边上任意一点，连接P A ，以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为（ ）A ．3B ．2.5C ．2.4D ．214．（2023•烟台一模）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12，AD ＝10，点E 在AD 上，点F 在BC 上，且AE ＝CF ，连结CE ，DF ，则CE +DF 的最小值为（ ）A ．26B ．25C ．24D ．2215．（2023•郯城县一模）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝6，BC ＝10，点P 为BC 边上任意一点，连接P A ，以P A ，PC 为邻边作平行四边形P AQC ，连接PQ ，则PQ 长度的最小值为（ ）A ．4.8B ．5C ．2.4D ．416．（2023•白云区一模）如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE ＝1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ，N 分别是BE ，BF 的中点，则下列结论错误的是（ ）A ．FD =√2MNB ．△DEF 是等腰直角三角形C ．BN ＝1D ．tan ∠FBE =√317．（2023•九龙坡区校级模拟）如图，在正方形ABCD 中，O 为AC 、BD 的交点，△DCE 为直角三角形，∠CED ＝90°，OE =3√2，若CE •DE ＝6，则正方形的面积为（ ）A ．20B ．22C ．24D ．2618．（2023•杭州一模）如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2cm ，BC ＝FG ＝8cm ．把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且B 点D 与点G 重合，当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于（ ）A ．14B ．815C ．12D ．81719．（2023•高明区二模）矩形ABCD 和直角三角形EFG 的位置如图所示，点A 在EG 上，点D 在EF 上，若∠2＝55°，则∠1等于（ ）A．155°B．135°C．125°D．105°20．（2023•余姚市一模）如图，由两个正三角形组成的菱形内放入标记为①，②，③，④的四种不同大小的小正三角形5个，其中编号①的有2个．设未被覆盖的浅色阴影部分的周长为C1，深色阴影部分的周长为C2，若要求出C1﹣C2的值，只需知道其中两个小正三角形的边长，则这两个小三角形的编号为（）A．①②B．②③C．①③D．②④21．（2023•衡水二模）如图，点P是正方形ABCD的边BC上一点，点M是对角线BD上一点，连接PM 并延长交BA的延长线于点Q，交AD于点G，取PQ的中点N．连接AN．若AQ＝PC，有下面两个结论：①DM＝DG，②AN⊥BD，则这两个结论中，正确的是（）A．①对B．②对C．①②都对D．①②都不对22．（2023•新乡二模）如图，在矩形ABCD中，点B（0，4），点C（2，0），BC＝2CD，先将矩形ABCD 沿y轴向下平移至点B与点O重合，再将平移后的矩形ABCD绕点O逆时针旋转90°得到矩形EOMN，则点D的对应点N的坐标为（）A．（3，3）B．（4，4）C．（3，4）D．（4，3）23．（2023•荆门一模）如图，菱形ABCD各边的中点分别是E、F、G、H，若EH＝2EF，则下列结论错误的是（）A．EH⊥EF B．EH＝AC C．∠B＝60°D．AB=√5EF24．（2023•中原区校级二模）如图，在Rt△ABO中，AB＝OB，顶点A的坐标为（2，0），以AB为边向△ABO的外侧作正方形ABCD，将组成的图形绕点O逆时针旋转，每次旋转45°，则第98次旋转结束时，点D的坐标为（）A．（1，﹣3）B．（﹣1，3）C．（﹣1，2+√2）D．（1，3）25．（2023•中原区模拟）如图，▱ABCD的边BC在x轴的负半轴上，点B与原点O重合，DE⊥AB，交BA 的延长线于点E，已知∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝6，则点E的坐标为（）A．（﹣2，﹣，2√3）B．（﹣3，3√3）C．（−72，72√3）D．（−52√3，52）26．（2023•武邑县二模）如图，N是正六边形ABCDEF对角线CF上一点，延长FE，CD相交于点M，若S△ABN＝2，则S五边形ABCMF＝（）A．10B．12C．14D．1627．（2023•承德一模）如图，正六边形的两条对角线AE、BE把它分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分，则该三部分的面积比为（）A．1：2：3B．2：2：4C．1：2：4D．2：3：528．（2023•罗湖区二模）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点D，DB=13AD，连接AC，若AB＝8，则AC的长度为（）A．2√3B．2√5C．4√3D．4√529．（2023•杭州一模）如图，过⊙O外一点A作⊙O的切线AD，点D是切点，连结OA交⊙O于点B，点C是⊙O上不与点B，D重合的点．若∠A＝α°，则∠C的度数为（）A．(45−12α)°B．12α°C．2α°D．(45+12α)°30．（2023•西宁一模）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB所在直线折叠扇形纸片，圆心D恰好落在AB̂上的点C处，则阴影部分的面积是（）A．3π−9√32B．3π−3√32C．2π−3√32D．2π−9√3231．（2023•太原一模）如图，在扇形纸片OAB 中，∠AOB ＝105°，OA ＝6、点C 是半径OA 上的点、沿直线BC 折叠△OBC 得到△DBC ，点O 的对应点D 落在AB̂上，图中阴影部分的面积为（ ）A ．9π−92B ．9π−182C ．9π﹣18D ．12π﹣1832．（2023•西山区校级模拟）如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB 为6，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．18π−27√3B ．6π−9√3C ．12π−9√3D ．18π−18√333．（2023•莆田模拟）如图，在⊙O 中，∠AOB ＝120°，点C 在AB̂上，连接AC ，BC ，过点B 作BD ⊥AC 的延长线于点D ，当点C 从点A 运动到点B 的过程中，∠CBD 的度数（ ）A ．先增大后减小B ．先减小后增大C ．保持不变D ．一直减小 34．（2023•蚌埠二模）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O 中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O 重合，且AB ＝BC ，则阴影部分面积与圆的面积之比为（ ）A ．3√38πB ．√32πC ．√3πD ．2√39π35．（2023•鄞州区校级模拟）如图，AB 为⊙O 的直径，将弧BC 沿BC 翻折，翻折后的弧交AB 于D ．若BC ＝4√5，sin ∠ABC =√55，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．256πB ．253πC ．8D ．1036．（2023•九龙坡区模拟）如图，在⊙O 中，AB 是圆的直径，过点B 作⊙O 的切线BC ，连接AC 交⊙O 于点D ，点E 为弧AD 中点，连接AE ，若AE ＝AO ，AB ＝6，则CD 的长为（ ）A ．2B ．3√32C ．√3D ．3√337．（2023•宁德模拟）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC 的边长为2，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）A ．2πB ．2π−√3C ．23πD ．2π+√338．（2023•虹口区二模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝5，BC ＝12．分别以点O 、D 为圆心画圆，如果⊙O 与直线AD 相交、与直线CD 相离，且⊙D 与⊙O 内切，那么⊙D 的半径长r 的取值范围是（ ）A ．12＜r ＜4B ．52＜r ＜6C ．9＜r ＜252D ．9＜r ＜1339．（2023•苏州一模）东南环立交是苏州中心城区城市快速内环道路系统的重要节点，也是江苏省最大规模的城市立交．左图是该立交桥的部分道路示意图（道路宽度忽略不计），A 为立交桥入口，D 、G 为出口，其中直行道为AB 、CD 、FG ，且AB ＝CD ＝FG ；弯道是以点O 为圆心的一段弧，且BC 、CE 、EF 所在的圆心角均为90°．甲、乙两车由A 口同时驶入立交桥，均以16m /s 的速度行驶，从不同出口驶出，其间两车到点O 的距离y （m ）与时间x （s ）的对应关系如右图所示．结合题目信息，下列说法错误的是（ ）A ．该段立交桥总长为672mB ．从G 口出比从D 口出多行驶192mC ．甲车在立交桥上共行驶22sD ．甲车从G 口出，乙车从D 口出40．（2023•滨城区一模）如图，点A ，B 是半径为2的⊙O 上的两点，且AB =2√3，则下列说法正确的是（ ）A ．圆心O 到AB 的距离为√3B ．在圆上取异于A ，B 的一点C ，则△ABC 面积的最大值为3√3C ．以AB 为边向上作正方形，与⊙O 的公共部分的面积为3+√34πD ．取AB 的中点C ，当AB 绕点O 旋转一周时，点C 运动的路线长为3π。

中考数学总复习《几何压轴题》专项提升练习题（附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________专题02三角形之直角、等腰问题 题型训练训练题01【2023·内蒙古·中考真题】如图，在Rt ABC △中90,3,1ACB AC BC ∠=︒==，将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒，得到AB C ''△．连接BB '，交AC 于点D ，则AD DC 的值为 ．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】无人机在实际生活中的应用广泛，如图所示，某人利用无人机测最大楼的高度BC ，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80米，点A 处俯角为60︒，楼顶C 点处的俯角为30︒，已知点A 与大楼的距离AB 为70米（点A ，B ，C ，P 在同一平面内），求大楼的高度BC （结果保留根号）训练题03【2023·广东·中考真题】2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站，如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态，当两臂10m AC BC ==，两臂夹角100ACB ∠=︒时，求A ，B 两点间的距离．(结果精确到0.1m ，参考数据sin500.766︒≈ cos500.643︒≈ tan50 1.192︒≈)训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD 的中点A 处竖直上升30米到达B 处，测得博雅楼顶部E 的俯角为45︒，尚美楼顶部F 的俯角为30︒，已知博雅楼高度CE 为15米，则尚美楼高度DF 为 米．（结果保留根号）训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】如图1，嘉淇在量角器的圆心O 处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M ．(1)在图1中，过点A 画出水平线，并标记观测M 的仰角α．若铅垂线在量角器上的读数为53︒，求α的值；(2)如图2，已知嘉淇眼睛离地1.5米，站在B 处观测M 的仰角为（1）中的α，向前走1.25米到达D 处，此时观测点M 的仰角为45︒，求树MN 的高度．（注：3tan 374︒≈ 3sin 375︒≈ 4cos375≈︒） 训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】如图 在等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥于点G 点M N 分别是DE DG 上的动点 且DN EM = 则FM FN +的最小值为 ．训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】如图 直线y ＝x ﹣3分别交x 轴 y 轴于B A 两点 点C （0 1）在y 轴上 点P 在x 轴上运动 则2PC ＋PB 的最小值为 ．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】如图 腰长为22+2的等腰ABC 中 顶角∠A ＝45° D 为腰AB 上的一个动点将ACD 沿CD 折叠 点A 落在点E 处 当CE 与ABC 的某一条腰垂直时 BD 的长为 ．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】如图 ABC 和AGF 是等腰直角三角形 90BAC G ∠=∠=︒ AGF 的边AF AG 交边BC 于点D E ．若4=AD 3AE = 则BEDC 的值是 ．训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】如图在直角△BAD中延长斜边BD到点C 使得BD=2DC 连接AC 如果则的值是（）A．B．C．D．答案&解析5 tanB3=tan CAD∠3 3351315训练题01【2023·内蒙古·中考真题】【答案】5【简证】因为tan 311tan 4522ABC CD ABD α∠=⎧⇒=⇒=⎨∠=︒⎩ 故5AD DC =【常规法】解：过点D 作DF AB ⊥于点F∵90ACB ∠=︒ 3AC = 1BC =∴223110AB =+=∵将ABC 绕点A 逆时针方向旋转90︒得到AB C ''△∴==10AB AB ' 90BAB '∠=︒∴ABB '是等腰直角三角形∴45ABB '∠=︒又∵DF AB ⊥∴45FDB ∠=︒∴DFB △是等腰直角三角形∴DF BF =∵1122ADB S BC AD DF AB =⨯⨯=⨯⨯ 即=10AD DF ∵ 90C AFD ∠=∠=︒ CAB FAD ∠=∠∴AFDACB ∴DF AF BC AC= 即3AF DF = 又∵=10AF DF -45°α∴10=4 DF∴105=10=42AD⨯51=3=22CD-∴52==512ADCD故答案为：5．训练题02【2023·山东菏泽·中考真题】【答案】大楼的高度BC 为303m ．【分析】如图 过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥ 则四边形CQHB 是矩形 可得QH BC = BH CQ = 求解3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= 可得704030CQ BH ==-= tan 30103PQ CQ =︒= 可得403103303BC QH ==-=．【详解】解：如图 过P 作PH AB ⊥于H 过C 作CQ PH ⊥于Q 而CB AB ⊥则四边形CQHB 是矩形 ∴QH BC = BH CQ =由题意可得：80AP = 60PAH ∠=︒ 30PCQ ∠=︒ 70AB = ∴3sin 60804032PH AP =︒=⨯= cos6040AH AP =︒= ∴704030CQ BH ==-= ∴tan 30103PQ CQ =︒=∴403103303BC QH ==-= ∴大楼的高度BC 为303m ．训练题03【2023·广东·中考真题】【答案】15.3m【分析】连接AB 作作CD AB ⊥于D 由等腰三角形“三线合一”性质可知2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中利用sin AD ACD AC∠=求出AD 继而求出AB 即可．【详解】解：连接AB 作CD AB ⊥于D∵AC BC = CD AB ⊥∴CD 是边AB 边上的中线 也是ACB ∠的角平分线∴2AB AD = 1502ACD ACB ∠=∠=︒ 在Rt ACD △中 10m AC = 50ACD ∠=︒ sin AD ACD AC ∠= ∴sin 5010AD ︒= ∴10sin50100.7667.66AD =︒≈⨯=∴()227.6615.3215.3m AB AD =≈⨯=≈答：A B 两点间的距离为15.3m ．训练题04【2023·湖北黄冈·中考真题】【答案】3053-/5330-+【分析】过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N 首先证明出四边形ECAM 是矩形 得到15AM CE == 然后根据等腰直角三角形的性质得到15AC EM BM === 进而得到15==AD AC 然后利用30︒角直角三角形的性质和勾股定理求出53BN = 即可求解．【详解】如图所示 过点E 作EM AB ⊥于点M 过点F 作FN AB ⊥于点N由题意可得 四边形ECAM 是矩形 ∴15AM CE == ∵30AB = ∴15BM AB AM =-= ∵博雅楼顶部E 的俯角为45︒ ∴45EBM ∠=︒ ∴45BEM ∠=︒ ∴15AC EM BM ===∵点A 是CD 的中点 ∴15==AD AC 由题意可得四边形AMFN 是矩形 ∴15NF AD == ∵尚美楼顶部F 的俯角为30︒ ∴60NBF ∠=︒ ∴30BFN ∠=︒ ∴2BF BN =∴在Rt BNF △中 222BNNF BF += ∴()222152BN BN +=∴解得53BN =∴3053FD AN AB BN ==-=-．故答案为：3053-．训练题05【2023·河北沧州·模拟预测】【答案】(1)37︒(2)树MN 的高度为5.25米【分析】(1)根据互余的性质计算即可．(2) 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米．解直角三角形求解即可．【详解】（1）如图1；905337α=︒-︒=︒；（2）如图 过点A 作AP MN ⊥ 垂足为P 则 1.5PN AB ==米．设MN x =米． 在Rt APM △中 4( 1.5)tan 373MP AP x ==-︒（米） 在Rt MCP 中 1.5CP MP x ==-（米） 4( 1.5)( 1.5) 1.253AC AP CP x x ∴=-=---=（米） 解得 5.25x =． 答：树MN 的高度为5.25米．训练题06【2023·四川成都·八年级期末联考】【答案】23【分析】过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 证得AEM FDN ≅ 利用全等三角形的性质证得FN AM = 求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值 此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小 即为AF 的长 在Rt AEF 中利用勾股定理即可求解．【详解】解：过点E 作AE EF ⊥ 使得2AE DF == 如图所示∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF ==∴45DEF ∠=︒ 222222EF =+=∴9045AEM DEF ∠=︒-∠=︒∵等腰Rt EDF 中 90EDF ∠=︒ 2DE DF == DG EF ⊥∴45FDN ∠=︒∴FDN AEM ∠=∠在AEM △和FDN 中AE DF AEM FDN EM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEM FDN≅()SAS ∴FN AM =∴求FM FN +的最小值即求FM AM +的最小值 此时只有A M F 在一条直线上时 FM AM +的最小 即为AF 的长∴在Rt AEF 中()222222223AF AE EF =+=+=的最小值为23即FM FN故答案为：23训练题07【2022·陕西西安·滨河期末】【答案】4【分析】过P作PD⊥AB于D依据△AOB是等腰直角三角形可得∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD进而得到△BDP是等腰直角三角形故PD22=PB当C P D在同一直线上时CD⊥AB PC+PD的最小值等于垂线段CD的长求得CD的长即可得出结论．【详解】如图所示过P作PD⊥AB于D∵直线y＝x﹣3分别交x轴y轴于B A两点令x＝0 则y＝﹣3；令y＝0 则x＝3∴A（0 ﹣3）B（3 0）∴AO＝BO＝3又∵∠AOB＝90°∴△AOB是等腰直角三角形∴∠BAO＝∠ABO＝45°＝∠BPD∴△BDP是等腰直角三角形∴PD22=PB∴2PC+PB2=（PC22+PB）2=（PC+PD）当C P D在同一直线上即CD⊥AB时PC+PD的值最小最小值等于垂线段CD 的长此时△ACD是等腰直角三角形又∵点C（0 1）在y轴上∴AC＝1+3＝4∴CD22=AC＝22即PC+PD的最小值为22∴2PC+PB的最小值为222⨯=4 故答案为：4．训练题08【2021·四川甘孜·中考真题】【答案】2或22【分析】分两种情况：当CE ⊥AB 时 设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45° 由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5° 证明△BCM ≌△DCM 得到BM ＝DM 证明△MDE 是等腰直角三角形 即可得解；当CE ⊥AC 时 根据折叠的性质 等腰直角三角形的判定与性质计算即可；【详解】当CE ⊥AB 时 如图设垂足为M 在Rt △AMC 中 ∠A ＝45°由折叠得：∠ACD ＝∠DCE ＝22.5°∵等腰△ABC 中 顶角∠A ＝45°∴∠B ＝∠ACB ＝67.5°∴∠BCM ＝22.5°∴∠BCM ＝∠DCM在△BCM 和△DCM 中90BMC DMC CM CM BCM DCM ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BCM ≌△DCM （ASA ）∴BM ＝DM由折叠得：∠E ＝∠A ＝45° AD ＝DE∴△MDE 是等腰直角三角形∴DM ＝EM设DM ＝x 则BM ＝x DE 2=x∴AD 2=x ．∵AB＝22+2∴2x2x＝22+2 解得：x2=∴BD＝2x＝22；当CE⊥AC时如图∴∠ACE＝90°由折叠得：∠ACD＝∠DCE＝45°∵等腰△ABC中顶角∠A＝45°∴∠E＝∠A＝45°AD＝DE∴∠ADC＝∠EDC＝90°即点D E都在直线AB上且△ADC△DEC△ACE都是等腰直角三角形∵AB＝AC＝＝22+2∴AD22=AC＝22BD＝AB﹣AD＝（22+2）﹣（22）2=综上BD的长为2或22．故答案为：2或22．训练题09【2022·福建泉州·九年级联考】【答案】916【分析】利用等腰直角三角形的性质先证明AED BEA ∽ 可得34BE AE AB AD ==,设3BE x = 则4AB x AC ==,再证明ADE CDA △∽△ 可得34AC AE CD AD == 可得163CD x = 从而可得结论． 【详解】解：∵ABC 和AGF 是等腰直角三角形 ∴45,B F FAG AB AC ∠=∠=∠=︒=∵AEB AED ∠=∠∴AED BEA ∽∴AD AE DE AB BE AE ==,而4=AD 3AE = ∴34BE AE AB AD == 设3BE x = 则4AB x AC ==同理可得：ADE CDA △∽△∴AD AE DE CD AC AD == ∴34AC AE CD AD == ∴BE AC AB CD = ∴344x x x CD =,即163CD x = ∴3916163BE x CD x ==.训练题10【2021·宁夏固元·联考一模】【答案】D【详解】解：如图 延长AD 过点C 作CE ⊥AD 垂足为E∵ 即∴设AD ＝5x 则AB ＝3x∵∠CDE ＝∠BDA ∠CED ＝∠BAD∴△CDE ∽△BDA∴∴CE ＝ DE ＝∴AE ＝ ∴tan ∠CAD ＝．5tanB 3=53AD AB =12CE DE CD AB AD BD ===32x 52x 152x 15CE AE =。

12023年中考数学压轴题专项训练1.几何最值问题一、压轴题速练1一、单选题1(2023·山东烟台·模拟预测)如图，在矩形ABCD 中，AB =8，AD =4，点E 是矩形ABCD 内部一动点，且∠BEC =90°，点P 是AB 边上一动点，连接PD 、PE ，则PD +PE 的最小值为()A.8 B.45 C.10 D.45-2【答案】A【分析】根据∠BEC =90°得到点的运动轨迹，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化即可求解．【详解】解：如图，设点O 为BC 的中点，由题意可知，点E 在以BC 为直径的半圆O 上运动，作半圆O 关于AB 的对称图形(半圆O ')，点E 的对称点为E 1，连接O 'E 1,则PE =PE 1，∴当点D 、P 、E 1、O '共线时，PD +PE 的值最小，最小值为DE 1的长，如图所示，在Rt △DCO '中，CD =8，CO '=6，∴DO '=82+62=10，又∵O 'E 1=2，∴DE 1=DO '-O 'E 1=8，即PD +PE 的最小值为8，故选：A ．【点睛】本题考查线段和最短问题、轴对称的性质、勾股定理及圆周角定理，利用“将军饮马”模型将PE 进行转化时解题的关键．2(2023·安徽黄山·校考模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =32x 2-32x -3的图象与x 轴交于点A ，C 两点，与y 轴交于点B ，对称轴与x 轴交于点D ，若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则12PB +PD 的最小值为()2A.334B.32C.3D.543【答案】A【分析】作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，可求得∠ABO =30°，从而得出PE =12PB ，进而得出PD +12PB =PD +EP ，进一步得出结果．【详解】解：如图，作射线BA ，作PE ⊥BA 于E ，作DF ⊥BA 于F ，交y 轴于P ，抛物线的对称轴为直线x =--322×32=12，∴OD =12，当x =0时，y =-3，∴OB =3，当y =0时，32x 2-32x -3=0，∴x 1=-1，x 2=2，∴A (-1,0)，∴OA =1，∵tan ∠ABO =OA OB =13=33，∴∠ABO =30°，∴PE =12PB ，∴12PB +PD =PD +PE ≥DF ，当点P 在P 时，PD +PE 最小，最大值等于DF ，在Rt △ADF 中，∠DAF =90°-∠ABO =60°，AD =OD +PA =12+1=32，∴DF =AD ⋅sin ∠DAE =32×32-334，∴12PB +PD 最小=DF =334，故选：A ．【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造12PB ．3(2023秋·浙江金华·九年级统考期末)如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 是正方形ABCD 内的动点，点P 是BC 边上的动点，且∠EAB =∠EBC ．连结AE ，BE ，PD ，PE ，则PD +PE 的最小值为()3A.213-2B.45-2C.43-2D.215-2【答案】A【分析】先证明∠AEB =90°，即可得点E 在以AB 为直径的半圆上移动，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，问题随之得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC =90°，∴∠ABE +∠EBC =90°，∵∠EAB =∠EBC ，∴∠EAB +∠EBA =90°，∴∠AEB =90°，∴点E 在以AB 为直径的半圆上移动，如图，设AB 的中点为O ，作正方形ABCD 关于直线BC 对称的正方形CFGB ，则点D 的对应点是F ，连接FO 交BC 于P ，交半圆O 于E ，根据对称性有：PD =PF ，则有：PE +PD =PE +PF ，则线段EF 的长即为PE +PD 的长度最小值，E∵∠G =90°，FG =BG =AB =4，∴OG =6，OA =OB =OE =2，∴OF =FG 2+OG 2=213，∴EF =OF -OE =213-2，故PE +PD 的长度最小值为213-2，故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线，得出点E 的运动路线是解题的关键．4(2022秋·安徽池州·九年级统考期末)如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，点P 为AC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，则PB +PD 的最小值为()4 A.154 B.245 C.5 D.203【答案】B【分析】作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，连接AB ，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，△ABC ≅△AB C ，根据S △ABB =S △ABC +S △AB C =2S △ABC ，即可求出PB +PD 的最小值．【详解】解：如下图，作点B 关于AC 的对称点B ，过点B 作B D ⊥AB 于点D ，交AC 于点P ，连接AB ，点P 即为所求作的点，此时PB +PD 有最小值，根据对称性的性质，可知：BP =B P ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°,AC =4,BC =3，∴AB =AC 2+BC 2=5，根据对称性的性质，可知：△ABC ≅△AB C ，∴S △ABB =S △ABC +S △ABC =2S △ABC ，即12×AB ⋅B D =2×12BC ⋅AC ，∴5B D =24，∴B D =245，故选：B ．【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，解题的关键是掌握轴对称的性质．5(2023秋·甘肃定西·八年级校考期末)如图所示，在△ABC 中，∠ABC =68°，BD 平分∠ABC ，P 为线段BD 上一动点，Q 为 边AB 上一动点，当AP +PQ 的值最小时，∠APB 的度数是()A.118°B.125°C.136°D.124°【答案】D【分析】先在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，证明△PBQ ≌△PBE SAS ，得出PE =PQ ，说明AP +PQ =AP +PE ，找出当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ 最小，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在BC 上截取BE =BQ ，连接PE ，如图：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC =68°，∴∠ABD =∠CBD =12∠ABC =34°，∵BP =BP ，∴△PBQ ≌△PBE SAS ，∴PE =PQ ，∴AP +PQ =AP +PE ，∴当A 、P 、E 在同一直线上，且AE ⊥BC 时，AP +PE 最小，即AP +PQ最小，过点A作AE ⊥BC 于点E ，交BD 于点P ，如图：∵∠AEB =90°，∠CBD =34°，∴∠APB =∠AEB +∠CBD =124°．故选：D ．5【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使AP +PQ 最小时点P 的位置．6(2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末)如图，E 为正方形ABCD 边AD 上一点，AE =1，DE =3，P 为对角线BD 上一个动点，则PA +PE 的最小值为()A.5B.42C.210D.10【答案】A【分析】连接EC 交BD 于P 点，根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长，求出EC 的长即可.【详解】连接EC ，交BD 于P 点∵四边形ABCD 为正方形∴A 点和C 点关于BD 对称∴PA =PC∴PA +PE =PC +PE =EC根据“两点之间线段最短”，可知PA +PE 的最小值即为线段EC 的长.∵AE =1，DE =3∴AD =4∴DC =4∴CE =DE 2+CD 2=32+42=5∴PA +PE 的最小值为5故选：A【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.7(2023春·湖南张家界·八年级统考期中)如图，正方形ABCD 的边长为4，点M 在DC 上，且DM =1，N 是AC 上一动点，则DN +MN 的最小值为()A.4B.42C.25D.5【答案】D【分析】由正方形的对称性可知点B 与D 关于直线AC 对称，连接BM 交AC 于N ′，N ′即为所求在Rt △BCM 中利用勾股定理即可求出BM 的长即可．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于直线AC 对称，6连接BD ，BM 交AC 于N ′，连接DN ′，∴当B 、N 、M 共线时，DN +MN 有最小值，则BM 的长即为DN +MN 的最小值，∴AC 是线段BD 的垂直平分线，又∵CD =4，DM =1∴CM =CD -DM =4-1=3，在Rt △BCM 中，BM =CM 2+BC 2=32+42=5故DN +MN 的最小值是5．故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出D 关于直线AC 的对称点，由轴对称及正方形的性质判断出D 的对称点是点B 是解答此题的关键．8(2022秋·浙江杭州·九年级杭州外国语学校校考开学考试)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于A 、C 两点，与x 轴交于点C (3,0)，若P 是x 轴上一动点，点D 的坐标为(0,-1)，连接PD ，则2PD +PC 的最小值是()A.4B.2+22C.22D.32+232【答案】A【分析】过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，根据2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，求出DP +PJ 的最小值即可解决问题．【详解】解：连接BC ，过点P 作PJ ⊥BC 于J ，过点D 作DH ⊥BC 于H ．∵二次函数y =-x 2+bx +3的图像与x 轴交于点C (3,0)，∴b =2，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x +3，令y =0，-x 2+2x +3=0，解得x =-1或3，∴A (-1，0)，令x =0，y =3，∴B (0，3)，∴OB =OC =3，∵∠BOC =90°，∴∠OBC =∠OCB =45°，∵D(0，-1)，∴OD =1，BD =4，∵DH ⊥BC ，∴∠DHB =90°，设DH =x ，则BH =x ,∵DH 2+BH 2=BD 2，7∴x =22，∴DH =22，∵PJ ⊥CB ，∴∠PJC =90°，∴PJ =22PC ，∴2PD +PC =2PD +22PC =2PD +PJ ，∵DP +PJ ≥DH ，∴DP +PJ ≥22，∴DP +PJ 的最小值为22，∴2PD +PC 的最小值为4．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，得到∠OBC =∠OCB =45°，PJ =22PC 是解题的关键．9(2022·山东泰安·统考中考真题)如图，四边形ABCD 为矩形，AB =3，BC =4．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．∠ADM =∠BAP ，则BM 的最小值为()A.52 B.125 C.13-32 D.13-2【答案】D【分析】证明∠AMD =90°，得出点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上，从而计算出答案．【详解】设AD 的中点为O ，以O 点为圆心，AO 为半径画圆∵四边形ABCD 为矩形∴∠BAP +∠MAD =90°∵∠ADM =∠BAP∴∠MAD +∠ADM =90°∴∠AMD =90°∴点M 在O 点为圆心，以AO 为半径的圆上连接OB 交圆O 与点N∵点B 为圆O 外一点∴当直线BM 过圆心O 时，BM 最短∵BO 2=AB 2+AO 2，AO =12AD =2∴BO 2=9+4=13∴BO =13∵BN =BO -AO =13-2故选：D ．【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．810(2022·河南·校联考三模)如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 的中点，点P 是对角线AC 上的一个动点，设AP =x ，PB +PE =y ，当点P 从A 向点C 运动时，y 与x 的函数关系如图2所示，其中点M 是函数图象的最低点，则点M 的坐标是()A.42，35B.22,35C.35,22D.35,42【答案】A【分析】根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，从而确定正方形的边长为6，根据将军饮马河原理，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，利用相似三角形，计算AG 的长即为横坐标．【详解】如图，根据图像，当P 与C 重合时，PB +PE =9即CB +CE =9，∵点E 是BC 的中点，∴BC =6，连接DE 交AC 于点G ，当点P 与点G 重合时，PE +PB 最小，且为DE 的长即点M 的纵坐标，∵四边形ABCD 是正方形，AB =6，∴CE ∥AD ，AC =62+62=62，DE =62+32=35，∴△CGE ∽△AGD ，∴CG AG =CE AD =12，∴AC AG=32，∴AG =42，故点M 的坐标为(42，35)，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形相似的判定和性质，函数图像信息的获取，将军饮马河原理，熟练掌握正方形的性质，灵活运用三角形相似，构造将军饮马河模型求解是解题的关键．2二、填空题11(2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习)如图，矩形ABCD ，AB =4，BC =8，E 为AB 中点，F 为直线BC 上动点，B 、G 关于EF 对称，连接AG ，点P 为平面上的动点，满足∠APB =12∠AGB ，则DP 的最小值．【答案】210-22【分析】由题意可知，∠AGB =90°，可得∠APB =12∠AGB =45°，可知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的9圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)，设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，可知△AOB 为等腰直角三角形，求得OA =22AB =22=OP ，AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，OD =OQ 2+QD 2=210，再由三角形三边关系可得：DP ≥OD -OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，即可求得DP 的最小值．【详解】解：∵B 、G 关于EF 对称，∴BH =GH ，且EF ⊥BG∵E 为AB 中点，则EH 为△ABG 的中位线，∴EH ∥AG ，∴∠AGB =90°，∵∠APB =12∠AGB ，即∠APB =12∠AGB =45°，∴点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上，(要使DP 最小，则点P 要靠近蒂点D ，即点P 在AB 的右侧)设圆心为O ，连接OA ，OB ，OE ，OP ，OD ，过点O 作OQ ⊥AD ，则OA =OB =OP ，∵∠APB =45°，∴∠AOB =90°，则△AOB 为等腰直角三角形，∴OA =22AB =22=OP ，又∵E 为AB 中点，∴OE ⊥AB ，OE =12AB =AE =BE ，又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD =90°，AD =BC =8，∴四边形AEOQ 是正方形，∴AQ =OQ =22OA =2，QD =AD -AQ =6，∴OD =OQ 2+QD 2=210，由三角形三边关系可得：DP ≥OD-OP =210-22，当点P 在线段OD 上时去等号，∴DP 的最小值为210-22，故答案为：210-22．【点睛】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐形圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，根据∠APB =12∠AGB =45°得知点P 在以AB 为弦，圆周角∠APB =45°的圆上是解决问题的关键．12(2023春·江苏连云港·八年级期中)如图，在边长为8的正方形ABCD 中，点G 是BC 边的中点，E 、F 分别是AD 和CD 边上的点，则四边形BEFG 周长的最小值为．【答案】2410【分析】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G ，根据两点之间线段最短即可解决问题．【详解】作点G 关于CD 的对称点G ，作点B 关于AD 的对称点B ，连接B G∵EB =EB ,FG =FG ，∴BE +EF +FG +BG =B E +EF +FG +BG ，∵EB +EF +FG ≥B G ，∴四边形BEFG 的周长的最小值=BG +B G ，∵正方形ABCD 的边长为8∴BG =4，BB =16，BG =12，∴B G =162+122=20，∴四边形BEFG 的周长的最小值为=4+20=24．故答案为：24．【点睛】本题考查轴对称求线段和的最短问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．13(2022·湖南湘潭·校考模拟预测)如图，菱形草地ABCD 中，沿对角线修建60米和80米两条道路AC <BD ，M 、N 分别是草地边BC 、CD 的中点，在线段BD 上有一个流动饮水点P ，若要使PM +PN 的距离最短，则最短距离是米．【答案】50【分析】作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，根据菱形的性质和勾股定理求出BC 长，即可得出答案．【详解】解：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，当P 点与P 重合时，MP +NP =MP +NP =NQ 的值最小，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∠QBP =∠MBP ，即Q 在AB 上，∵MQ ⊥BD ，∴AC ∥MQ ，∴M 为BC 中点，∴Q 为AB 中点，∵N 为CD 中点，四边形ABCD 是菱形，∴BQ ∥CD ，BQ =CN ，∴四边形BQNC 是平行四边形，∴NQ =BC ，设AC 与BD 的交点为点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD，OC =12AC =30米，OB =12BD =40米，∴BC =OB 2+OC 2=50米，∴PM +PN 的最小值是50米．故答案为：50．11【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P 的位置．14(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得2PC -PD=2PC -22PD =2PC -PM ，因为PC -PM ≤MC ，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP =24，连接MP ，证明△BMP ∼△BPD ，在BC 上做点N ，使BN BP=12，连接NP ，证明△BNP ∼△BPC ，接着推导出2PC -PD =22MN ，最后证明△BMN ∼△BCD ，即可求解．【详解】解法1如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，∴∠PDM =45，DM =PM =22PD ，∵四边形ABCD 正方形∴∠BDC =45°，DB DC=2又∵∠PDM =∠PDB +MDB ，∠BDC =∠MDB +MDC∴∠PDB =∠MDC在△BPD 与△MPC 中∠PDB =∠MDC ，DB DC=DP DM =2∴△BPD ∼△MPC∴PB MC=2∵BP =2∴MC =2∵2PC -PD =2PC-22PD =2PC -PM ∵PC -PM ≤MC ∴2PC -PD =2PC -PM ≤2MC =2故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2∴BP =2，BD =BC 2+CD 2=42+42=42∵BP BD =242=2412在BD 上做点M ，使BM BP=24，则BM =22，连接MP 在△BMP 与△BPD 中∠MBP =∠PBD ，BP BD =BM BP∴△BMP ∼△BPD∴PM PD =24，则PD =22PM ∵BP BC =24=12在BC 上做点N ，使BN BP=12，则BN =1，连接NP 在△BNP 与△BPC 中∠NBP =∠PBC ，BN BP =BP PC∴△BNP ∼△BPC∴PN PC=12，则PC =2PN ∴如图所示连接NM ∴2PC -PD =2×2PN -22PM =22PN -PM ∵PN -PM ≤NM ∴2PC -PD =22PN -PM ≤22NM在△BMN 与△BCD 中∠NBM=∠DBC ，BM BC =224=28，BN BD =142=28∴BM BC=BN BD ∴△BMN ∼△BCD∴MN CD=28∵CD =4∴MN =22∴22MN =22×22=2∴2PC -PD ≤22NM =2故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．15(2023秋·广东广州·九年级统考期末)如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，∠DAB =60°，AD =CD =4，点M 是四边形ABCD 内的一个动点，满足∠AMD =90°，则△MBC 面积的最小值为．【答案】63-4【分析】取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则OM +ME ≥OF ，通过计算得出当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取AD 的中点O ，连接OM ，过点M 作ME ⊥BC 交BC 的延长线于点E ，过点O 作OF ⊥BC 于F ，交CD 于G ，则13OM +ME ≥OF ，∵AB ∥CD ，∠DAB =60°，AD =CD =4，∴∠ADC =120°，∵AD =CD ，∴∠DAC =30°，∴∠CAB =30°，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB =90°∴∠B =90°-30°=60°，∴∠B =∠DAB ，∴四边形ABCD 为等腰梯形，∴BC =AD =4，∵∠AMD =90°，AD =4，OA =OD ，∴OM =12AD =2，∴点M 在以点O 为圆心，2为半径的圆上，∵AB ∥CD ，∴∠GCF =∠B =60°，∴∠DGO =∠CGF =30°，∵OF ⊥BC ，AC ⊥BC ，∴∠DOG =∠DAC =30°=∠DGO ，∴DG =DO =2，∴OG =2OD ⋅cos30°=23，GF =3，OF =33，∴ME ≥OF -OM =33-2，∴当O ,M ,E 三点共线时，ME 有最小值33-2，∴△MBC 面积的最小值为=12×4×33-2 =63-4．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点M 位置的确定是解题关键．16(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在等边△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，AD =3cm ．点P ,Q 分别为AB,AD 上的两个定点且BP =AQ =1cm ，点M 为线段BD 上一动点，连接PM ,QM ，则PM +QM 的最小值为cm ．【答案】5【分析】如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，且点P 在BC 上，则PM +QM =P M+QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，证明四边形PP QA 是平行四边形，P Q =AP =AB -BP ，由此即可求解．【详解】解：如图所示，作点P 关于BD 的对称点P ，∵△ABC 是等边三角形，BD ⊥AC ，∴∠ABD =∠DBC =12∠ABC =12×60°=30°，14∴点P 在BC 上，∴P M =PM ，则PM +QM =P M +QM ，当P ,M ,Q 在同一条直线上时，有最小值，∵点P 关于BD 的对称点P ，∠ABD =∠DBC =30°，∴PP ⊥BM ，BP =BP =1cm ，∴∠BP P =60°，∴△BPP 是等边三角形，即∠BP P =∠C =60°，∴PP ∥AC ，且PP =AQ =1cm ，∴四边形PP QA 是平行四边形，∴P Q =AP =AB -BP ，在Rt △ABD 中，∠ABD =30°，AD =3，∴AB =2AD =2×3=6，∴AP =P Q =P M +QM =PM +QM =AB -BP =6-1=5，故答案为：5．【点睛】本题主要考查动点与等边三角形，对称-最短路径，平行四边形的判定和性质的综合，理解并掌握等边三角形得性质，对称-最短路径的计算方法，平行四边形的判定和性质是解题的关键．17(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)如图，在周长为12的菱形ABCD 中，DE =1，DF =2，若P 为对角线AC 上一动点，则EP +FP 的最小值为．【答案】3【分析】作F 点关于BD 的对称点F ，连接EF 交BD 于点P ，则PF =PF ，由两点之间线段最短可知当E 、P 、F 在一条直线上时，EP +FP 有最小值，然后求得EF 的长度即可．【详解】解：作F 点关于BD 的对称点F ，则PF =PF ，连接EF '交BD 于点P ．∴EP +FP =EP +F P ．由两点之间线段最短可知：当E 、P 、F '在一条直线上时，EP +FP 的值最小，此时EP +FP =EP +F P =EF ．∵四边形ABCD 为菱形，周长为12，∴AB =BC =CD =DA =3，AB ∥CD ，∵AF =2，AE =1，∴DF =AE =1，∴四边形AEF D 是平行四边形，∴EF =AD =3．∴EP +FP 的最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称--路径最短问题，明确当E 、P 、F 在一条直线上时EP +FP 有最小值是解题的关键．18(2023春·上海·八年级专题练习)如图，直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A和B ，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，P 为OA 上一动点，当PC +PD 的值最小时，点P 的坐标为．15【答案】(-1,0)【分析】直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，可求出点A ，B 的坐标，点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，可求出点C 、D 的坐标，作点C 关于x 轴的对称点C ，连接C D 与x 轴的交点就是所求点P 的坐标．【详解】解：直线y =x +4与x 轴，y 轴分别交于A 和B ，∴当y =0，x =-4，即A (-4,0)；当x =0，y =4，即B (0,4)，∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴C (-2,2)，D (0,2)，如图所示，过点C 关于x 轴的对称点C，∴C (-2,-2)，∴直线C D 的解析式为：y =2x +2，当y =0，x =-1，即P (-1,0)，故答案为：(-1,0)．【点睛】本题主要考查一次函数与最短线段的综合，掌握对称中最短线段的解题方法是解题的关键．19(2023秋·黑龙江鸡西·九年级统考期末)如图，抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA ,MC ,AC ，则△MAC 周长的最小值是．【答案】32+10【分析】根据“将军饮马”模型，先求出A 1,0 ,B 3,0 ,C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，从而C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，AC =OA 2+OC 2=10，则△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，从而得到CB =OC 2+OB 2=32，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y =x 2-4x +3与x 轴分别交于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，16∴当y =0时，0=x 2-4x +3解得x =1或x =3，即A 1,0 ,B 3,0 ；当x =0时，y =3，即C 0,3 ，由二次函数对称性，A ,B 关于对称轴对称，即MA =MB ，∴C △MAC =CA +CM +MA =CA +CM +MB ，∵AC =OA 2+OC 2=10，∴△MAC 周长的最小值就是CM +MB 的最小值，根据两点之间线段最短即可得到CM +MB 的最小值为C ,M ,B 三点共线时线段CB 长，∵CB =OC 2+OB 2=32，∴△MAC 周长的最小值为CA +CB =32+10，故答案为：32+10．【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键．20(2023秋·浙江温州·九年级校考期末)如图所示，∠ACB =60°，半径为2的圆O 内切于∠ACB．P 为圆O 上一动点，过点P 作PM 、PN 分别垂直于∠ACB 的两边，垂足为M 、N ，则PM +2PN 的取值范围为．【答案】6-23≤PM +2PN ≤6+23【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示，通过代换，将PM +2PN 转化为PN +12PM =PN +HP =NH ，得到当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．【详解】解：作MH ⊥NP 于H ，作MF ⊥BC 于F ，如图所示：∵PM ⊥AC ，PN ⊥CB ，∴∠PMC =∠PNC =90°，∴∠MPN =360°-∠PMC -∠PNC -∠C =120°，∴∠MPH =180°-∠MPN =60°，∴HP =PM ⋅cos ∠MPH =PM ⋅cos60°=12PM ，∴PN +12PM =PN +HP =NH ，∵MF =NH ，∴当MP 与⊙O 相切时，MF 取得最大和最小，①连接OP ，OG ，OC ，如图1所示：可得：四边形OPMG 是正方形，∴MG =OP =2，在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG +GM =2+23，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3+3，∴HN =MF =3+3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6+23；②连接OP ，OG ，OC ，如图2所示：可得：四边形OPMG 是正方形，17∴MG =OP =2，由上同理可知：在Rt △COG 中，CG =OG ⋅tan60°=23，∴CM =CG -GM =23-2，在Rt △CMF 中，MF =CM ⋅sin60°=3-3，∴HN =MF =3-3，即PM +2PN =212PM +PN =2HN =6-23，∴6-23≤PM +2PN ≤6+23．故答案为：6-23≤PM +2PN ≤6+23．【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．3三、解答题21(2022春·江苏·九年级专题练习)综合与探究如图，已知抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式，连接BC ，并求出直线BC 的解析式；(2)请在抛物线的对称轴上找一点P ，使AP +PC 的值最小，此时点P 的坐标是；(3)点Q 在第一象限的抛物线上，连接CQ ，BQ ，求出△BCQ 面积的最大值．【答案】(1)y =-x 2+3x +4；y =-x +4(2)32,52(3)8【分析】(1)将A -1,0 ，B 4,0 两点，代入抛物线解析式，可得到抛物线解析式，从而得到C 0,4 ，再设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入，即可求解；(2)连接BC ，PB ，根据题意可得A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，从而得到当P 在直线AB 上三点共线时，AP +CP 的值最小，把x =32代入直线BC 的解析式，即可求解；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，可得QD =-d 2+4d ，从而得到S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d -2 2+8，即可求解；【详解】(1)解：(1)∵抛物线y =ax 2+bx +4经过A -1,0 ，B 4,0 两点，∴a -b +4=016a +4b +4=0，解得：a =-1b =3 ，18∴抛物线的解析式为y =-x 2+3x +4；∵抛物线与y 轴的交点为C ，∴C 0,4 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b k ≠0 ，把点B 、C 的坐标代入得：4k +b =0b =4 ，解得：k =-1b =4 ，∴直线BC 的解析式为y =-x +4；(2)如图，连接BC ，PB ，∵y =-x 2+3x +4=-x -32 2+74，∴抛物线的对称轴为直线x =32，根据题意得：A 、B 关于抛物线的对称轴直线x =32对称，∴AP =BP ，∴AP +CP =BP +CP ≥BC ，即当P 在直线AB 上时，AP +CP 的值最小，∴当x =32时，y =-32+4=52，∴P 32,52 ，故答案是：32,52 ；(3)过Q 作QD ⊥x 轴，交BC 于D ，设Q d ,-d 2+3d +4 ，其中0≤d ≤4，则D d ,-d +4 ，∴QD =-d 2+3d +4 --d +4 =-d 2+4d ，∵B 4,0 ，∴OB =4，∴S ΔBCQ =12OB ×QD =-2d 2+8d =-2d -2 2+8，当d =2时，S ΔBCQ 取最大值，最大值为8，∴△BCQ 的最大面积为8；【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键．22(2023秋·江苏淮安·八年级统考期末)如图1，直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，过点B 的直线交x 轴负半轴于点C -3,0 ．(1)请直接写出直线BC 的关系式：(2)在直线BC 上是否存在点D，使得S △ABD =S △AOD 若存在，求出点D 坐标：若不存请说明理由；(3)如图2，D 11,0 ，P 为x 轴正半轴上的一动点，以P 为直角顶点、BP 为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ ，连接QA ,QD ．请直接写出QB -QD 的最大值：．19【答案】(1)y =2x +6(2)当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD (3)37【分析】(1)根据直线AB 与y 轴的交点，可求出点B 的坐标，再用待定系数法即可求解；(2)设D (a ,2a +6)，分别用含a 的式子表示出出S △AOD ,S △ABD ，由此即可求解；(3)△BPQ 是等腰直角三角形，设P (m ,0)(m >0)，可表示出QB ，再证Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值，可求得点R 的坐标，根据勾股定理即可求解．【详解】(1)解：∵直线AB :y =-x +6分别与x ,y 轴交于A ,B 两点，令x =0，则y =6，∴B (0,6)，且C -3,0 ，设直线BC 的解析式为y =kx +b ，∴b =6-3k +b =0，解得，k =2b =6 ，∴直线BC 的解析式为y =2x +6，故答案为：y =2x +6．(2)解：由(1)可知直线BC 的解析式为y =2x +6，直线AB 的解析式为y =-x +6，∴A (6,0),B (0,6),C (-3,0)，∴OA =6,BO =6,OC =3，如图所示，点D 在直线BC 上，过点D 作DE ⊥x 轴于E ，∴设D (a ,2a +6)，E (a ,0)，∴S △ABC =12AC ·OB =12×(6+3)×6=27，S △ADC =12AC ·DE =12×(6+3)×a =92a ，S △AOD =12OA ·DE =12×6×a =3a ，∴S △ABD =S △ABC -S △ADC =27-92a ，若S △ABD =S △AOD ，则27-92a =3a ，当a >0时，27-92a =3a ，解得，a =185，即D 185,665 ；当a <0时，27+92a =-3a ，解得，a =-185，即D -185,-65 ；综上所述，当D 185,665 或D -185,-65时，S △ABD =S △AOD ．(3)解：已知A (6,0),B (0,6),D (11,0)，设P (m ,0)(m >0)，∴在Rt △BOP 中，OB =6,OP =m ，∵△BPQ 是等腰直角三角形，∠BPQ =90°，∴BP =QP ；如图所示，过点Q 作QT ⊥x 轴于T ，20在Rt △BOP ,Rt △PTQ 中，∠BOP =∠PTQ =90°，∠BPO +∠QPA =∠QPA +∠PQT =90°，∴∠BPO =∠PQT ，∴∠BPO =∠PQT∠BOP =∠PTQ BP =QP，∴Rt △BOP ≌Rt △PTQ (AAS )，∴OP =TQ =m ，OB =PT =6，∴AT =OP +PT -OA =m +6-6=m ，∴AT =QT ，且QT ⊥x 轴，∴△ATQ 是等腰直角三角形，∠QAT =45°，则点Q 的轨迹在射线AQ 上，如图所示，作点D 关于直线AQ 的对称点R，连接QR ,BR ,AR ，A (6,0)，B (0,6)，D (11,0)，∵△ATQ 是等腰直角三角形，即∠QAT =45°，根据对称性质，∴∠QAR =45°，∴RA ⊥x 轴，且△DQA ≌△RQA ，∴AR =AD =11-6=5，则R (6,5)，如图所示，当点B ,R ,Q 在一条直线上时，QB -QD 的值最大，最大值为BR 的值；∴由勾股定理得：BR =62+(6-5)2=37，故答案为：37．【点睛】本题主要考查一次函数，几何的综合，掌握待定系数法求解析式，将军饮马问题，等腰直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．23(2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习)△ABC 中，∠B =60°．(1)如图1，若AC >BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，且AD =3BD ．证明：∠A =30°；(2)如图2，若AC <BC ，取AC 中点E ，将CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，连接BF 并延长至G ，使BF =FG ，猜想线段AB 、BC 、CG 之间存在的数量关系，并证明你的猜想；(3)如图3，若AC =BC ，P 为平面内一点，将△ABP 沿直线AB 翻折至△ABQ ，当3AQ +2BQ +13CQ 取得最小值时，直接写出BPCQ的值．【答案】(1)见解析(2)BC =AB +CG ，理由见解析(3)213+33913【分析】(1)过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，易得DE =DF ，由∠B =60°，可得DE =DF =32BD ，由AD =3BD ，求得sin A =DE AD=12，可证得∠A =30°；(2)延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，易证△BCH 为等边三角形，进而可证△BCF ≌△HCE SAS ，可得BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，可知∠AEH =∠CFG ，易证得△AEH ≌△CFG SAS ，可得AH =CG ，由BC =BH =AB +AH =AB +CG 可得结论；(3)由题意可知△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，可得CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，可知△ACQ ∽△MCN ，可得MN =32AQ ，由3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM 可知点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ+13CQ 有最小值，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，可得CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，可证△CBR ∽△MBT ，得BR CR =BT MT ，设BC =a 由等边三角形的性质，可得CM =32a ，进而可得CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，结合BR CR=BTMT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a 34a ，可得BQ CQ =213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，可求得BP CQ的值．【详解】(1)证明：过点D 分别作BC ，AC 的垂线，垂足为E ，F ，∵CD 平分∠ACB ，DE ⊥BC ，DF ⊥AC ，∴DE =DF ，又∵∠B =60°，∴DE =BD ⋅sin60°=32BD ，则DE =DF =32BD ，又∵AD =3BD ，∴sin A =DE AD =32BD3BD=12，∴∠A =30°；(2)BC =AB +CG ，理由如下：延长BA ，使得BH =BC ，连接EH ，CH ，∵∠ABC =60°，BH =BC ，∴△BCH 为等边三角形，∴CB =CH ，∠BCH =60°，∵CE 绕点C 逆时针旋转60°至CF ，∴CE =CF ，∠ECF =60°，则∠BCH -∠ACB =∠ECF -∠ACB ，∴∠ECH =∠FCB ，∴△BCF ≌△HCE SAS ，∴BF =HE ，∠BFC =∠HEC ，则∠AEH =∠CFG ，∵BF =FG ，∴BF =HE =FG ，又∵E 为AC 中点，∴AE =CE =CF ，∴△AEH ≌△CFG SAS ，∴AH =CG ，∴BC =BH =AB +AH =AB +CG ；(3)∵∠ABC =60°，AC =BC ，∴△ABC 是等边三角形，如图，作CM ⊥CA ，且CM =32CA ，作CN ⊥CQ ，且CN =32CQ ，则CM CA=CN CQ =32，QN =CQ 2+CN 2=132CQ ，∴sin ∠CQN =CN QN =313，cos ∠CQN =CQ QN =213，则∠ACM =∠QCN =90°，∴∠ACM -∠ACN =∠QCN -∠ACN ，则∠ACQ =∠MCN∴△ACQ ∽△MCN ，∴MN AQ =CM CA=32，即：MN =32AQ ，∴3AQ +2BQ +13CQ =232AQ +BQ +132CQ =2MN +BQ +QN ≥2BM即：点Q ，N 都在线段BM 上时，3AQ +2BQ +13CQ 有最小值，如下图，过点C 作CR ⊥BM ，过点M 作MT ⊥BC 交BC 延长线于T ，则∠BRC =∠BTM =90°，CR =CQ ⋅sin ∠CQN =313CQ ，QR =CQ ⋅cos ∠CQN =213CQ ，又∵∠CBR =∠MBT ，∴△CBR ∽△MBT ，∴BR CR=BT MT ，∵△ABC 是等边三角形，设BC =a ∴∠ACB =60°，AC =BC =a ，则CM =32a ，∵∠ACM =90°，∴∠MCT =30°，则CT =CM ⋅cos30°=334a ，MT =CM ⋅sin30°=34a ，则由BR CR=BT MT 可得：BQ +213CQ 313CQ =a +334a34a ，整理得：133BQ CQ +23=4+333，得BQ CQ=213+33913，由翻折可知，BP =BQ ，∴BP CQ =BQ CQ=213+33913．【点睛】本题属于几何综合，考查了解直角三角形，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，旋转的性质以及费马点问题，掌握费马点问题的解决方法，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解决问题的关键．24(2023春·江苏·八年级专题练习)定义：既相等又垂直的两条线段称为“等垂线段”，如图1，在Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD =AE ，连接DE 、DC ，点M 、P 、N 分别为DE 、DC 、BC 的中点，且连接PM 、PN ．(1)观察猜想线段PM 与PN 填(“是”或“不是”)“等垂线段”．(2)△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转到图2所示的位置，连接BD ，CE ，试判断PM 与PN 是否为“等垂线段”，并说明理由．(3)拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若DE =2，BC =4，请直接写出PM 与PN 的积的最大值．。

中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．中考数学几何压轴题（有关三角形、四边形）的综合专题参考答案1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线。

2021中考考点必杀500题专练16（几何类压轴题）（30道）1．（2021·江西九年级一模）如图1，在菱形ABCD 中，2AB =，60ABC ∠=︒，点E 为BD 上一动点，在点E 的运动过程中，始终保持//EF AB ，EF AB =，连接DF ，CF ，CF 与BD 相交于点O ．（1）如图1，求证四边形CDFE 为平行四边形；（2）当点E 运动到什么位置时，四边形CDFE 为矩形？并说明理由；（3）如图2，延长DA 到M ，使AM AD =，连接ME ，判断ME 与CF 的数量关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）BC 的垂直平分线上，理由见解析；（3）=CF ME ，理由见解析【分析】（1）菱形的性质可得AB CD =，//AB CD ，根据平移的性质可得EF AB =，//EF AB ，继而可证得四边形CDFE 为平行四边形；（2）通过证得90ECD ∠=︒，再结合四边形CDFE 为平行四边形，即可得证；（3）连接AO ，根据四边形CDFE 为平行四边形及AM AD =，可得AO 是△DEM 的中位线，继而得到2ME AO =，根据菱形的轴对称可得AO OC =，继而可得=CF ME ．【详解】解：（1）证明：由菱形的性质可得AB CD =，//AB CD ，由平移可得，EF AB =，//EF AB ；∴EF CD =，//EF CD ，∴四边形CDFE 为平行四边形；（2）当点E 运动到BC 的垂直平分线上时，四边形CDFE 为矩形．∵菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，∴30DBC ∠=︒，120BCD ∠=︒，∵BE CE =，∴30ECB DBC ∠=∠=︒，即90ECD ∠=︒，又∵四边形CDFE 为平行四边形，∴四边形CDFE 为矩形；（3）如图，连接AO ，由（1）得四边形CDFE 为平行四边形，∴EO DO =，又∵AM AD =，∴AO 是DEM △的中位线，∴2ME AO =，由菱形的轴对称可得AO OC =，即2CF AO =，∴=CF ME ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形的中位线的性质，解题的关键是掌握相关判定与性质．2．（2021·江西九年级二模）如图1，在正方形ABCD 中，点,E F 分别在边,AB AD 上，且AE AF =，延长FD 到点G ，使得DG DF =，连接,,EF GE CE ．（特例感知）（1）图1中GE 与CE 的数量关系是______________．（结论探索）（2）图2，将图1中的AEF 绕着点A 逆时针旋转()090αα︒<<︒，连接FD 并延长到点G ，使得DC DF =，连接,,GE CE BE ，此时GE 与CE 还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由．（拓展应用）（3）在（2）的条件下，若5,32AB AE ==，当EFG 是以EF 为直角边的直角三角形时，请直接写出GE 的长．【答案】(1)GE 2CE ，(2)存在，证明见解析，（3）25810或16或4．【分析】(1)连接GC ，证△CDG ≌△CBE ，得出△GCE 为等腰直角三角形即可；(2)类似（1）的方法，先证△AFD ≌△AEB ，再证△CDG ≌△CBE ，得出△GCE 为等腰直角三角形即可；(3)根据E 、F 是直角顶点分类讨论，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可．【详解】解：(1)连接GC ，∵AE =AF ，AD =AB ，∴DF =BE ，∵DG DF =，∴DG =BE ，∵∠GDC =∠B =90°，DC =BC ，∴△CDG ≌△CBE ，∴CE =CG ，∠GCD =∠ECB ，∵∠ECB+∠DCE=90°，∴∠GCE=∠GCD+∠DCE=90°，∴GE；故答案为：GE；(2)存在，连接GC，∵AE=AF，AD=AB，∠FAE=∠DAB=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD≌△EAB，∴FD=EB=GD，∠FDA=∠EBA，∵∠GDC+∠FDA=90°，∠EBC+∠EBA=90°，∴∠GDC=∠EBC，∵DC=BD，∴△CDG≌△CBE，与（1）同理，GE；(3)当∠FEG=90°时，如图1，因为∠FEA=∠GEC=45°，所以，A、E、C在一条直线上，∵AB=5，∴AC2,CE222,GE2EC=4；如图2，E在CA延长线上，同理可得，EC2，GE2EC=16；当∠EFG =90°时，如图3，∠AFD =∠EFG +∠AFE =135°，由（2）得，∠AFD =∠AEB =135°，DF =BE ，所以，B 、E 、F 在一条直线上，作AM ⊥EF ，垂足为M ，∵5,32AB AE ==，∴EF =6，AM =ME =MF =3，224BM AB AM =-=，BE =DF =1,FG =2，22210GE FG EF =+=如图4，同图3，BE =DF =7，FG =14，EF =6，GE==，综上，GE的长为或16或4．【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和等腰直角三角形的性质，解题关键是恰当的连接辅助线，构造全等三角形；会分类讨论，结合题目前后联系，解决问题．3．（2021·江西九年级一模）定义：在凸四边形中，我们把两组对边乘积的和等于对角线的乘积的四边形称为“完美四边形”．（1）在正方形、矩形、菱形中，一定是“完美四边形”的是．（2）如图1，在“完美四边形”ABCD中，AB＝AD＝CD＝2，BC＝52，AC＝3，求线段BD的长．（3）如图2，⊙O内接四边形EFGH，GE为⊙O的直径．①求证：四边形EFGH为“完美四边形”．②若EF＝6，FG＝8，FH是否存在一个值使四边形EFGH的面积最大？若存在，求出FH的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）正方形、矩形；（2）3；（3）存在，．【分析】（1）依次判断正方形、矩形、菱形是否满足定义条件即可；（2）根据“完美四边形”的定义，得到边和对角线之间的关系式，代入数据运算即可求解；（3）①做辅助线构造出两组相似三角形，得到四边形的边和对角线之间的关系，再利用等式的性质代换即可得到所需条件，进而得以求证；②将四边形分成两部分，一部分是GEF ∆，得到它的面积为定值，另一部分为GEH ∆，它的面积随H 点位置的变化而变化，当H 点到GE 的垂线段就是半径时为最大，此时GEH ∆的面积也最大，从而整个四边形的面积就最大；再利用勾股定理和“完美四边形”的定义等进行求解即可．【详解】解：（1）正方形、矩形理由如下：①如图，设正方形边长为a ，==，所以对角线的积为)222a =，因为两组对边的积的和为222=2a a a +，∴正方形为“完美四边形”．②如图，设矩形的两邻边长分别为b 和c ，∵矩形的对角线长相等，∴矩形对角线的积为222b c =+，又∵矩形对边的积分别为2b 和2c ，则对边积的和为22b c +∴矩形为“完美四边形”．③如图，设菱形的两条对角线长的一半分别为m 和n ，，∵菱形的四条边相等，∴菱形的对边的积的和为222222m n +=+，∵菱形的对角线的积为224m n mn ⋅=，令22224m n mn +=，∴m n=∴只有当m n =时，该菱形才为“完美四边形”，当m n ≠时，则它不是“完美四边形”，∴菱形不是“完美四边形”．综上可知：只有正方形和矩形是“完美四边形”．（2）由“完美四边形”的定义可知：522232BD ⨯+⨯=，∴3BD =．（3）①如图，在GE 上取一点M ，使∠GFM=∠HFE ，∵∠FGM=∠FHE （同弧所对的圆周角相等），∴FGM ∆∽FHE∆∴FG GM FH HE=∴FG HE FH GM ⋅=⋅，∵∠GFM=∠HFE ，∴∠GFH=∠MFE ，又∵∠GHF=∠MEF ，∴GHF ∆∽MEF ∆，∴GH HF ME FE=，∴GH FE FH ME ⋅=⋅，∴()+GH FE FG HE FH ME FH GM FH ME GM FH GE⋅⋅=⋅+⋅=⋅+=⋅∴四边形EFGH 为“完美四边形”．②存在；理由：如下面图①，∵GE 是直径，∴∠EFG=90°，∴10GE ==，GEF ∆的面积为168=242⨯⨯∴要使四边形GFEH 面积最大，则只需GEH ∆面积最大，作HN ⊥GE ，垂足为N ，则HN 的值最大时，GEH ∆面积就最大，因为H 点到直径DE 的垂线段的长最大为半径，即垂足N 点在原点时最大；如下面图②，当O 点与N 点重合时，由GE 是直径，∴∠GHE=90°，∵HN 垂直平分GE ，∴HG=HE ，∵222GE GH HE =+∴HG HE ===；由它是“完美四边形”，∴1068FH =⨯+⨯∴FH =，∴存在，当FH =时，面积最大．【点睛】本题为新定义型试题，综合考查了圆、相似、勾股定理、四边形等内容，考查了学生对相关概念的理解与应用，本题属于压轴题，其中作辅助线是一个难点，对学生的综合分析与知识点运用的能力有着十分高的要求，本题蕴含了数形结合等思想．4．（2021·江西赣州市·九年级一模）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O， AD＝ BD，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．【答案】（1）∠E＝12α；（2）见解析；（3）①∠AED＝45°；②259【分析】（1）由角平分线的定义可得出结论；（2）由圆内接四边形的性质得出∠FDC+∠FBC=180°，得出∠FDE=∠FBC ，证得∠ABF=∠FBC ，证出∠ACD=∠DCT ，则CE 是△ABC 的外角平分线，可得出结论；（3）①连接CF ，由条件得出∠BFC=∠BAC ，则∠BFC=2∠BEC ，得出∠BEC=∠FAD ，证明△FDE ≌△FDA （AAS ），由全等三角形的性质得出DE=DA ，则∠AED=∠DAE ，得出∠ADC=90°，则可求出答案；②过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，证得△EGA ∽△ADC ，得出AE AG AC CD=，求出45AD AC =，设AD=4x ，AC=5x ，则有（4x ）2+52=（5x ）2，解得x=53，求出ED ，CE 的长，求出DM ，由等腰直角三角形的性质求出FM ，根据三角形的面积公式可得出答案．【详解】解：（1）∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠E ＝∠ECD ﹣∠EBD ＝12（∠ACD ﹣∠ABC ）＝11A 22∠=α，（2）如图1，延长BC 到点T ，∵四边形FBCD 内接于⊙O ，∴∠FDC+∠FBC ＝180°，又∵∠FDE+∠FDC ＝180°，∴∠FDE ＝∠FBC ，∵DF 平分∠ADE ，∴∠ADF ＝∠FDE ，∵∠ADF ＝∠ABF ，∴∠ABF ＝∠FBC ，∴BE 是∠ABC 的平分线，∵ AD BD=，∴∠ACD ＝∠BFD ，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠FAD，∴∠BEC＝∠FAD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A作AG⊥BE于点G，过点F作FM⊥CE于点M，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠FAC＝∠EBC＝12∠ABC＝45°，∵∠AED＝45°，∴∠AED＝∠FAC，∵∠FED＝∠FAD，∴∠AED﹣∠FED＝∠FAC﹣∠FAD，∴∠AEG＝∠CAD，∵∠EGA＝∠ADC＝90°，∴△EGA∽△ADC，∴AE AG AC CD=，∵在Rt△ABG中，AG＝2AB2 2=，在Rt△ADE中，AE2AD，∴45 ADAC=，在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2，∴设AD＝4x，AC＝5x，则有（4x）2+52＝（5x）2，∴x＝5 3，∴ED＝AD＝20 3，∴CE＝CD+DE＝35 3，∵∠BEC ＝∠FCE ，∴FC ＝FE ，∵FM ⊥CE ，∴EM ＝12CE ＝356，∴DM ＝DE ﹣EM ＝56，∵∠FDM ＝45°，∴FM ＝DM ＝56，∴S △DEF ＝12DE•FM ＝259．【点睛】本题是圆的综合题，考查了角平分线的定义，圆周角定理，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．5．（2021·江西赣州市·九年级期末）（问题提出）如图1，在等边三角形ABC 内部有一点P ，3PA =，4PB =，5PC =．求APB ∠的度数．（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．（尝试解决）（1）将APC △绕点A 逆时针旋转60°，得到AP B '△，连接PP '，则APP ' 为等边三角形．3P P PA '== ，4PB =，5P B PC '==，222P P PB P B ''∴+=BPP ' 为______三角形APB ∴∠的度数为______．（类比探究）（2）如图2，在等边三角形ABC 外部有一点P ，若30BPA ∠=︒，求证222PA PB PC +=．（联想拓展）（3）如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =．点P 在直线BC 上方且45APB ∠=︒，PC BC ==PA 的长．【答案】（1）直角；150°；（2）见详解；（3）PA =．【分析】（1）由旋转的性质、等边三角形的性质，以及勾股定理的逆定理，判定BPP ' 为直角三角形，即可得到答案；（2）将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，得到如图所示A CP ''∆，再连接PP '，由等边三角形的性质和旋转的性质，得到90PBP '∠=︒，从而得到结论成立；（3）将△PAB 绕点A 顺时针旋转90°，得到如图所示P AB ''∆，由旋转的性质和等腰直角三角形的性质，以及勾股定理，即可求出答案．【详解】解：（1）将APC △绕点A 逆时针旋转60°，得到AP B '△，连接PP '，则APP ' 为等边三角形．∴60APP '∠=︒，3P P PA '== ，4PB =，5P B PC '==，222P P PB P B ''∴+=BPP ' 为直角三角形，∴90BPP '∠=︒,APB ∴∠的度数为：9060150︒+︒=︒．故答案为：直角；150°．（2）将△APC 绕点C 顺时针旋转60°，得到如图所示A CP ''∆，再连接PP '，∵△ABC 是等边三角形，则点A '与点B 重合，由旋转的性质，则CP CP '=，60PCP '∠=︒，13∠=∠∴PCP '∆是等边三角形，则PP CP '=，∴6060120CPP CP P ''∠+∠=︒+︒=︒，∵13∠=∠，1230APB ∠+∠=∠=︒，∴2330∠+∠=︒，∴451203090∠+∠=︒-︒=︒，∴90PBP '∠=︒，∴PBP '∆是直角三角形，∴222PP PB BP ''=+，∵PA P B '=，PP CP '=，∴222PA PB PC +=．（3）将△PAB 绕点A 顺时针旋转90°，得到如图所示P AB ''∆，∵AB=AC ，∠BAC=90°，则点B '与点C 重合，由旋转的性质，得AP AP '=，CP PB '⊥，90P AP '∠=︒，∴APP ∆'是等腰直角三角形，∴PC BC =，45APP APB '∠=∠=︒，则点P 、P '、B 三点共线，∵PC BC ==CP PB '⊥，∴点P '是PB 的中点，设2CP BP x '==，则12PP BP BP x ''===，由勾股定理，得=，∴2x =，∴2PP BP ''==，∵APP ∆'是等腰直角三角形，∴PA P A '==【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，以及勾股定理进行解题，解题的关键是掌握旋转的性质，正确作出辅助线进行分析．6．（2021·江西吉安市·）如图，在正方形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，12AC =，过点E 的直线分别交AD ，BC 于点M ，N ．（1）当MN BC ⊥时，MN 的长为________，AEM △∽________；（2）已知2EC AE =．①若9MN =，求此时AM 的长；②当E ，F 为AC 的三等分点，点P 在正方形的边上时，是否存在满足9+=PE EF 的情况？如果存在，请通过分析指出这样的点的个数；如果不存在，说明理由．【答案】（1）；CEN ；（2）①1AM =；②存在，有8个．【分析】解：（1）由四边形ABCD 为正方形，得到△ACD 为等腰直角三角形，在Rt △ACD 中由勾股定理求得CD 的长，由MN=CD ，可以求出MN 的长，由AD ∥BC 得到△AEM ∽△CEN.（2）①过点E 作EG ⊥AD 于点G ．由AM ∥CN ，得到△AEM ∽△CEN ．得到对应边成比例，由勾股定理求出GM 的长，再由AM=AG+GM 可求出．②画出图形，过点F 作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，根据点M 与点F 关于BC 对称，计算出PE+PF 的最小值，与PE+PF=9比较．得出BC 上存在两个点，同理在线段AB ，AD ，CD 上都存在两个点使PE+PF=9．【详解】解：（1）CEN∵四边形ABCD 为正方形∴△ACD 为等腰直角三角形，则，在Rt △ACD 中有AD=AC ，AD 2+DC 2=AC 2，∵AC=12，解得：，又∵MN ⊥BC ，CD ⊥BC∴MN ∥CD ，且MN=CD ，即，又∵AD ∥BC∴△AEM ∽△CEN.（2）①如图，过点E 作EG AD ⊥于点G ．∵//AM CN ，∴ ∽AEM CEN ．∴12==EM AE EN EC ．∵12AC =，9MN =，∴4AE =，3ME =．∵45EAG ∠=︒，∴==AG GE ．∴1===GM ．∴1=+=+AM AG GM ．②存在，这样的点有8个．如图，过点F 作点F 关于BC 的对称点M ，连接FM 交BC 于点N ，连接EM ，∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且12AC =，∴8EC =，4FC =．∵点M 与点F 关于BC 对称，∴4==CF CM ，45ACB BCM ∠=∠=︒．∴90ACM ∠=︒．∴==EM则在线段BC 上存在点N 到点E 和点F 的距离之和最小为9<．∴在线段BC 上，点N 的左右两边各有一个点P 使9+=PE PF ．同理在线段AB ，AD ，CD 上都存在两个点使9+=PE PF ．即共有8个点P 满足9+=PE PF ．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质、线段和的最值问题等，体现了逻辑推理、直观想象核心素养.7．（2021·江西上饶市·九年级期末）观察猜想：（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，点D 与点C 重合，点E 在斜边AB 上，连接DE ，且DE ＝AE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接EF ，则EF AD ＝______，sin ∠ADE ＝________，探究证明：（2）在（1）中，如果将点D 沿CA 方向移动，使CD ＝13AC ，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由．拓展延伸（3）如图3，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝a ，点D 在边AC 的延长线上，E 是AB 上任意一点，连接DE ．ED ＝nAE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转90°至点F ，连接EF ．求EF AD和sin ∠ADE 的值分别是多少？（请用含有n ，a 的式子表示）【答案】（1）63；12；（2）不变；（3）EF AD ；sin ∠ADE ＝sin n α．【分析】（1）由等腰三角形的性质和等边三角形的判定得到∠A ＝∠ACE ＝30°，△BEC 是等边三角形，据此求得CE 的长度，根据等腰直角三角形的性质来求EF 的长度，易得答案；（2）不变．理由：如图2，过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，构造直角三角形：△ADG ，结合含30度角的直角三角形的性质和锐角三角函数的定义，结合方程求得答案；（3）如图3，过点E 作EG ⊥AD 于点G ，构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义列出方程并解答．【详解】（1）如图1，∵在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，∴∠B ＝60°．又CE ＝AE ，∴∠ACE ＝∠A ＝30°，∴∠BCE ＝60°，∴△BEC 是等边三角形，∴BE ＝CE ．∴AE ＝CE ＝BE ．∴AD ＝32AB CE ．又由旋转的性质知：FC ＝EC ，∠FCE ＝90°，∴EF CE ，∴EF AD＝63．∵∠ADE ＝30°，∴sin ∠ADE ＝12．故答案是：63；12；（2）不变，理由：如图2，过点D 作DG ∥BC 交AB 于点G ，则△ADG 是直角三角形．∵∠DAG ＝30°，DE ＝AE ，设DG ＝x ，∴∠AED ＝30°，AD ＝x ，∠DEG ＝∠DGE ＝60°．∴DE ＝DF ＝x ，sin ∠ADE ＝12．∵∠EDF ＝90°，∴EF x ．∴EFAD ＝63．∵∠ADE ＝30°，∴sin ∠ADE ＝12．（3）过点E 作EG ⊥AD 于点G ，设AE ＝x ，则DE ＝nx ．∵∠CAB ＝a ，∴AG ＝cosα•x ，EG ＝sinα•x ．∴DG •x ．∴AD ＝•x ．∵∠EDF ＝90°，DE ＝DF ，∴EF DE nx ．∴EFAD ，sin ∠ADE ＝GE DE ＝sin x nx α⋅＝sin nα．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定，作辅助线构造直角三角形，根据锐角三角函数的定义求解．8．（2021·江西景德镇市·九年级期末）如图1将ABC 绕点A 逆时针旋转α角度后，与ADE 构成位似图形，则称ABC 与ADE 互为“旋转位似图形”．（1）知识理解：①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形________（填：是或不是）“旋转位似图形”．如图1，ABC 与ADE 互为“旋转位似图形”②若26α=︒，100B ∠=︒，29E ∠=︒，则BAE ∠的度数为________；③若6AD =，8DE =，4AB =，则BC 的长度为________；（2）知识运用：如图2，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AE BD ⊥于E ，12∠=∠．求证：ACD △与ABE △互为“旋转位似图形”．（3）拓展提高：如图3，ABC 为等腰直角三角形，点G 为斜边AC 的中点，点F 是AB 上一点，D 是GF 延长上一点，点E 在线段GF 上，且ABD △与AGE 互为“旋转位似图形”，若6AC =，AD =DE 和BD 的长．【答案】（1）①是；②25︒；③163；（2）证明见解析；（2）；．【分析】（1）①根据“旋转位似图形”的定义即可得答案；②由“旋转位似图形”的定义可得△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的性质及三角形内角和定理可得∠C 、∠BAC 的度数，根据旋转的性质可得∠EAC=26°，利用角的和差关系即可得答案；③由“旋转位似图形”的定义可得△ABC ∽△ADE ，根据相似三角形的性质即可得答案；（2）根据直角三角形两锐角互余的性质及角的和差关系可得∠2=∠BAE ，即可得出∠1=∠BAE ，进而可证明△ACD ∽△ABE ，即可得结论；（3）作DE AE '⊥交直线AE 于点E '，根据等腰直角三角形的性质可求出AB 的长，根据相似三角形的性质可求出AE 的长，根据角的和差关系可得∠DAE=45°，根据等腰直角三角形的性质可得AE=AE′，即可证明点E 与点E′重合，可得AE ⊥DG ，可得DE=AE ，即可得出DE 的长，利用勾股定理即可求出BD 的长．【详解】（1）①如图，△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴△ABC ∽△ADE ，∴ABC 绕点A 逆时针旋转α角度后与ADE 构成位似图形，故答案为：是②∵ABC 与ADE 互为“旋转位似图形”∴△ABC ∽△ADE ，∴∠C=∠E=29°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-100°-29°=51°，∵△ADE 绕点A 逆时针旋转α角度后，与△ABC 构成位似图形，∴∠EAC=α=26°，∴∠BAE=∠BAC-∠EAC=51°-26°=25°，故答案为：25°③∵ABC 与ADE 互为“旋转位似图形”∴△ABC ∽△ADE ，∴AD DE AB BC =，即684BC =，解得：BC=163，故答案为：163（2）∵AE ⊥BD ，∠ABC=90°，∴∠2+∠ABD=90°，∠BAE+∠ABD=90°，∴∠BAE=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠BAE ，∵∠ADC=∠AEB=90°，∴△ACD ∽△ABE ，∵△ACD 与△ABE 有一个公共顶点A ，∴△ACD 与△ABE 互为“旋转位似图形”．（3）如图，作DE AE '⊥交直线AE 于点E '，∵△ABC 是等腰直角三角形，AC=6，∴AB=22AC= ABD 与AGE 互为“旋转位似图形”，ABD AGE ∴△∽△．AD AB AE AG∴=，DAB EAG ∠=∠23323AE =，AE =；45DAB BAE EAG BAE ∠+∠=∠+∠=︒．∴∠DAE′=45°，∴ADE '△为等腰直角三角形．AD =，AE '∴=AE AE '=，点E '和点E 重合，90AED AEG ∴∠=∠=︒．∴DE AE ==，90ADB AEG ∠=∠=︒，∴BD ==【点睛】本题考查位似图形及相似三角形的判定与性质的综合，理解“旋转位似图形”的定义并熟练掌握相似三角形的判定定理、是解题关键．9．（2021·江西）在Rt ABC 中，90,ABC AB BC ∠=︒=，点E 在射线CB 上运动．连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90︒得到EF ，连接CF ．（1）如图1，点E 在点B 的左侧运动．①当1BE =，BC =时，则EAB ∠=_________︒；②猜想线段,CA CF 与CE 之间的数量关系为_____________________________．（2）如图2，点E 在线段CB 上运动时，第（1）问中线段,CA CF 与CE 之间的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．（3）点E 在射线CB 上运动，BC =，设BE x =，以A ，E ，C ，F 为顶点的四边形面积为y ，请直接写出y 与x 之间的函数关系式（不用写出x 的取值范围）．【答案】（1）①30；②CA CF +=；（2）不成立，CA CF -=；（3）点E 在点B 左侧运动时，21322y x =++；点E 在线段CB 上运动时，322y x =+．【分析】(1)①根据勾股定理，得AE=2，逆用直角三角形中，30°角的性质即可得到答案；②过点F 作FD ⊥EC ，垂足为D ，证△ABE ≌△EDF ，从而证明AB=ED=BC ，FD=DC ，可探解结论；(2)按照（1）的思路，探解，可得到不同的结论；(3)按照（1），（2）两种情形，分别表示四边形的面积即可.【详解】解：（1）①根据勾股定理,得==2，∵BE=1=12AE ，∴∠BAE=30°；②CA CF +=．理由如下：如图1，过点F 作FD ⊥EC ，垂足为D ，∵∠BAE+∠AEB=90°，∠DEF+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠DEF ，∵AE=EF ，∠ABE=∠EDF=90°，∴△ABE ≌△EDF ，∴AB=ED=BC ，∴FD=DC ，∴CF=CD ，ED ，∴(CD+ED)=CE ；（2）不成立．如图2，过点F 作FH BC ⊥交BC 的延长线于点H ．∴90,AEF AE EF ∠=︒=，∴∠AEB+∠FEH=90°，∠AEB+∠BAE=90°，∴∠FEH=∠BAE ，∴Rt ABE Rt EHF ≌，∴,FH BE EH AB BC ===,∴CH BE FH ==,∴FHC 为等腰直角三角形，∴22CH BE FC ==．又∵2222EC BC BE AC FC =-=-,即2CA CF CE -=．（3）如图1，当点E 在点B 左侧运动时，y=12CE×(AB+FD)=1233)x x ++=21322x ++；如图2，当点E 在点B 右侧运动时，连接AF ，根据勾股定理，得=，根据旋转性质，得AE=EF ，∴EC=EH-CH=BC-BE=)x -∴y=12AE×EF+12EC×FH=12232x ++12)x x=12232x ++2122x x -=3322x +．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的全等，线段之间关系的猜想与证明，分类思想，图形的面积，熟练掌握分类思想，学会构造直角三角形，图形面积的分割是解题的关键.10．（2021·江西宜春市·九年级期中）如图①，正方形ABCD 的边长为4，将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转α（0°＜α≤90°）得到正方形AEFG ，连接BE 并延长交CF 于点O ，连接AC ，AF ．（1）旋转角α与∠OBC 的数量关系是，∠OBC 与∠OEF 的数量关系是；（2）猜想：在旋转过程中，OC 与OF 的数量关系是什么？请证明你的结论；（3）如图②，当α＝45°时，求△BCH 的面积．【答案】（1）α＝2∠OBC ，∠OBC ＝∠OEF ；（2）OC ＝OF ，理由见解析；（3）﹣8【分析】（1）如图，作AK⊥BE于K，由∠ABK+∠BAK＝90°，和∠ABK+∠OBC＝90°，可得∠BAK＝∠OBC，由旋转的性质可知，AB＝AE，由AK⊥BE，∠ABE＝∠AEB，可得∠BAK＝12α，由∠AEB+∠OEF＝90°，可得∠OBC＝∠OEF；（2）OC＝OF，理由如下：如图，过点F作FM⊥BO交BO的延长线于M，过点C作CN⊥BO于N，可证△BCN≌△EFM（AAS），再证△OCN≌△OFM（AAS），可得OC＝OF；（3）当α＝45°时，AF与AD在同一条直线上，可求AF＝，DF＝﹣4，由面积公式△CDF的面积＝12×DF×CD＝﹣8，可证△BCH≌△CDF（ASA），可得△BCH的面积＝△CDF的面积＝﹣8．【详解】解：（1）如图，作AK⊥BE于K，∴∠ABK+∠BAK＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABK+∠OBC＝90°，∴∠BAK＝∠OBC，由旋转的性质可知，AB＝AE，∵AK⊥BE，∠ABE＝∠AEB，∴∠BAK＝12α，∴α＝2∠OBC，∵∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠OEF＝90°，∴∠OBC＝∠OEF，故答案为：α＝2∠OBC，∠OBC＝∠OEF；（2）OC ＝OF ，理由如下：如图①，过点F 作FM ⊥BO 交BO 的延长线于M ，过点C 作CN ⊥BO 于N ，在△BCN 和△EFM 中，90NBC MEF BNC EMF BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△BCN ≌△EFM （AAS ），∴NC ＝FM ，在△OCN 和△OFM 中，NOC MOF ONC OMF CN MF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCN ≌△OFM （AAS ），∴OC ＝OF；（3）当α＝45°时，AF 与AD 在同一条直线上，∵正方形的边长为4，∴AF=，∴DF ＝4﹣4，∴△CDF 的面积＝12×DF ×CD ＝8﹣8，∵AB ＝AE ，AC ＝AF ，∠BAE ＝∠CAF ＝∠ACD ＝45°，∴∠ABE ＝∠ACF ＝67.5°，∴∠OBC ＝90°﹣∠ABE ＝22.5°，∠DCF ＝∠ACF ﹣45°＝22.5°．∴∠OBC ＝∠DCF ．在△BCH 和△CDF 中，BCH CDF BC CD CBH DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCH ≌△CDF （ASA ），∴△BCH 的面积＝△CDF 的面积＝﹣8．【点睛】本题考查正方形性质，旋转特征，互余角关系，三角形全等判定与性质，勾股定理，三角形面积，掌握正方形性质，旋转特征，互余角关系，三角形全等判定与性质，勾股定理，三角形面积是解题关键．11．（2021·江西抚州市·九年级月考）（1）发现问题如图（1），在正方形ABCD 中，若点E ，F 分别是边BC ，CD 边上的动点（均不与端点重合），且∠EAF =45°，试判断BE ，EF ，DF 之间的数量关系．小明把△ABE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ADG ，发现EF =BE +DF ，请你给出证明过程；（2）类比探究①如图（2），在正方形ABCD 中，若点E ，F 分别是边CB ，DC 延长线上的动点，且∠EAF =45°，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．②如图（3），在正方形ABCD 中，若点E ，F 分别是边BC ，CD 延长线上的动点，且∠EAF =45°，请直接写出EF ，BE ，DF 之间的数量关系．（不要求证明）（3）拓展应用在（1）中，若正方形ABCD 的边长为6，AE=，求EF 的长．【答案】（1）见解析；（2）①不成立，理由见解析；②BE=EF+DF；（3）5【分析】（1）证明△EAF≌△GAF，可得出EF=FG，则结论得证；（2）①将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM根据SAS可证明△EAF≌△MAF，可得EF=FM，则结论得证；②将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，证明△AFE≌△ANE，可得出EF=EN，则结论得证；（3）求出DG=2，设DF=x，则EF=FG=x+3，CF=6-x，在Rt△EFC中，得出关于x的方程，解出x则可得解．【详解】（1）证明：把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG，如图1，∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，∠B=∠ADG=90°，∴∠ADF+∠ADG=180°，∴F，D，G三点共线，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠FAD=45°，∴∠DAG+∠FAD=45°，∴∠EAF=∠FAG，∵AF=AF，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=FG=DF+DG，∴EF=DF+BE；（2）①不成立，结论：EF=DF-BE；证明：如图2，将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM，∴∠EAB=∠MAD，AE=AM，∠EAM=90°，BE=DM，∴∠FAM=45°=∠EAF，∵AF=AF，∴△EAF≌△MAF（SAS），∴EF=FM=DF-DM=DF-BE；②结论为：BE=EF+DF，如图3，将△ADF绕点A逆时针旋转90°至△ABN，∴AN=AF，∠NAF=90°，∵∠EAF=45°，∴∠NAE=45°，∴∠NAE=∠FAE，∵AE=AE，∴△AFE≌△ANE（SAS），∴EF=EN，∴BE=BN+NE=DF+EF．即BE=EF+DF；（3）解：由（1）可知，∵正方形ABCD的边长为6，∴DC=BC=AD=6，==，∴DG=3∴BE=DG=3，∴CE=BC-BE=6-3=3，设DF=x，则EF=FG=x+3，CF=6-x，在Rt△EFC中，∵CF2+CE2=EF2，∴(6-x)2+32=(x+3)2，解得：x=2．∴EF=x+3=5．【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导．12．（2021·江西赣州市·九年级期末）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．（1）当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为；②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为(用含a的式子表示)．（2）当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．【答案】（1）①60°；②2α；（2）小杨同学猜想是正确的．证明见解析．【分析】（1）①证明△ADC是等边三角形即可．②如图2中，作CH⊥AD于H．想办法证明∠ACD=2∠B即可解决问题．（2）小扬同学猜想是正确的．过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，想办法证明△CBN≌△CEM （AAS）即可解决问题．【详解】解：（1）①∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠CAD=90°﹣30°=60°．∵CA=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴旋转角为60°．故答案为：60°．②如图2中，作CH⊥AD于H．∵CA=CD，CH⊥AD，∴∠ACH=∠DCH．∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACH=∠B，∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，∴旋转角为2α．故答案为：2α．（2）小杨同学猜想是正确的．证明如下：过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC=∠EMC=90°．∵△ACB≌△DCE，∴BC=EC，在△CBN和△CEM中，∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，∴△CBN≌△CEM(AAS)，∴BN=EM．∵S△BDC12=•CD•BN，S△ACE12=•AC•EM．∵CD=AC，∴S△BDC=S△ACE．【点睛】本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．13．（2021·江西吉安市·九年级一模）在△ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点（点P不与点A，O，C重合）．过点A，点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F，连接OE，OF（1）如图1，请直接写出线段OE与OF的数量关系；（2）如图2，当∠ABC=90°时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长．【答案】（1）OF=OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由见解析；（3）OP或23 3.【分析】（1）如图1中，延长EO交CF于K，证明△AOE≌△COK，从而可得OE=OK，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，由已知证明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，继而可证得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】（1）如图1中，延长EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=12EK=OE；（2）如图2中，延长EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF ﹣AE |=2，EF ，AE =CK ，∴FK =2，在Rt △EFK 中，tan ∠FEK =33，∴∠FEK =30°，∠EKF =60°，∴EK =2FK =4，OF =12EK =2，∵△OPF 是等腰三角形，观察图形可知，只有OF =FP =2，在Rt △PHF 中，PH =12PF =1，HF OH =2﹣，∴OP =.如图4中，点P 在线段OC 上，当PO =PF 时，∠POF =∠PFO =30°，∴∠BOP =90°，∴OP =33OE =233，综上所述：OP 的长为-233.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.14．（2021·赣州市南康区教学研究室九年级一模）在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，动点D 在直线BC 上（不与点B ，C 重合），连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，连接DE ，F ，G 分别是DE ，CD 的中点，连接FG ．（特例感知）（1）如图1，当点D 是BC 的中点时，FG 与BD 的数量关系是______．FG 与直线BC 的位置关系是______．（猜想论证）（2）当点D 在线段BC 上且不是BC 的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？①请在图2中补全图形；②若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（拓展应用）（3）若2AB AC ==，其他条件不变，连接BF 、CF ．当ACF 是等边三角形时，请直接写出BDF 的面积．【答案】（1）12FG BD =，FG BC ⊥；（2）①见解析；②结论仍然成立，理由见解析；（3）1132或1132+【分析】（1）由把AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，可得AD =AE ，∠DAE =90°，∠ADE =∠AED =45°由点D 为BC 中点，AB =AC ，∠BAC =90°，可得AD ⊥BC ，∠ABC =∠B CA =45°，AD =BD =CD ，可证DF ⊥AC ，AF =CF ，由FG 为△ADC 的中位线，FG ∥AD ，FG 1122AD BD ==，FG ⊥BC ；（2）①补全图形如图所示；②结论仍然成立，理由如下：如图2，CE ．连结EC ，由把AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，可得AD =AE ，∠DAE =90°，可证△BAD ≌△CAE （SAS ）∠ABD =∠ACE =45°，BD =CE ，由F ，G 分别是DE ，CD 的中点，可得FG 为△DEC 的中位线即可；（3）连接AF ，作AM BC ⊥，由2AB AC ==结合勾股定理AM 2+BM 2=AB 2，即2AM 2=2，可求AM 2=1，AM =1，当点D 在点B 的左侧时，15CAE BAD ∠=︒=∠，可得30ADM ∠=︒，DM ×tan30°=AM ，可求DM 3BDF 的面积为：1132-，当点D 在点C 的右侧时，105CAE BAD ∠=︒=∠，可得30ADM ∠=︒，可求BDF 的面积为：1132即可．【详解】解：（1）∵把AD 绕点A 逆时针旋转90°得到AE ，。

一、解答题1．如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，边长为2的正方形ABCD（点D与点O重合）和边长为4的正方形EFGH的边CO和GH都在x轴上，且点H坐标为（7，0）．正方形ABCD以3个单位长度/秒的速度沿着x轴向右运动，记正方形ABCD和正方形EFGH重叠部分的面积为S，假设运动时间为t秒，且t＜4．（1）点F的坐标为；（2）如图2，正方形ABCD向右运动的同时，动点P在线段FE上，以1个单位长度/秒的速度从F到E运动．连接AP，AE．①求t为何值时，AP所在直线垂直于x轴；②求t为何值时，S＝S△APE．2．已知点C在射线OA上．（1）如图①，CD//OE，若∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，求∠BOE的度数；（2）在①中，将射线OE沿射线OB平移得O′E'（如图②），若∠AOB＝α，探究∠OCD 与∠BO′E′的关系（用含α的代数式表示）（3）在②中，过点O′作OB的垂线，与∠OCD的平分线交于点P（如图③），若∠CPO′＝90°，探究∠AOB与∠BO′E′的关系．3．直线AB∥CD，点P为平面内一点，连接AP，CP．（1）如图①，点P在直线AB，CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC的度数；（2）如图②，点P在直线AB，CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，点P 在直线CD 下方，当∠BAK ＝23∠BAP ，∠DCK ＝23∠DCP 时，写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系，并说明理由．4．如图，已知//AB CD ，CN 是BCE ∠的平分线． （1）若CM 平分BCD ∠，求MCN ∠的度数；（2）若CM 在BCD ∠的内部，且CM CN ⊥于C ，求证：CM 平分BCD ∠；（3）在（2）的条件下，过点B 作BP BQ ⊥，分别交CM 、CN 于点P 、Q ，PBQ ∠绕着B 点旋转，但与CM 、CN 始终有交点，问：BPC BQC ∠+∠的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围．5．综合与探究 （问题情境）王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，//EF MN ，点A 、B 分别为直线EF 、MN 上的一点，点P 为平行线间一点，请直接写出PAF ∠、PBN ∠和APB ∠之间的数量关系；（问题迁移）（2）如图2，射线OM 与射线ON 交于点O ，直线//m n ，直线m 分别交OM 、ON 于点A 、D ，直线n 分别交OM 、ON 于点B 、C ，点P 在射线OM 上运动，①当点P 在A 、B （不与A 、B 重合）两点之间运动时，设ADP α∠=∠，BCP β∠=∠．则CPD ∠，α∠，β∠之间有何数量关系？请说明理由．②若点P 不在线段AB 上运动时（点P 与点A 、B 、O 三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出CPD ∠，α∠，β∠之间的数量关系．6．已知：直线AB ∥CD ，直线MN 分别交AB 、CD 于点E 、F ，作射线EG 平分∠BEF 交CD 于G ，过点F 作FH ⊥MN 交EG 于H ． （1）当点H 在线段EG 上时，如图1 ①当∠BEG ＝36︒时，则∠HFG ＝ ．②猜想并证明：∠BEG 与∠HFG 之间的数量关系．（2）当点H 在线段EG 的延长线上时，请先在图2中补全图形，猜想并证明：∠BEG 与∠HFG 之间的数量关系．7．a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数．如:2的差倒数是1112=--，现已知a 1=12，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，… (1)求a 2，a 3，a 4的值；(2)根据(1)的计算结果，请猜想并写出a 2016•a 2017•a 2018的值； (3)计算：a 33+a 66+a 99+…+a 9999的值． 8．阅读下面文字：对于5231591736342⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可以如下计算：原式()()()5231591736342⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()5231591736342⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+-++-⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1014⎛⎫=+- ⎪⎝⎭114=-上面这种方法叫拆项法，你看懂了吗？ 仿照上面的方法，计算： （1）115112744362⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）235120192018201720163462⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．先阅读下面的材料，再解答后面的各题：现代社会会保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字母排列分解，其中,,,,,Q W E N M 这26个字母依次对应1,2,3,,25,26这26个自然数（见下表）．给出一个变换公式：(126,3)3217(126,31)318(126,32)3J J J xx x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=+≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩是自然数，被整除是自然数，被除余是自然数，被除余 将明文转成密文，如4+24+17=193⇒，即R 变为L ：11+111+8=123⇒，即A 变为S ．将密文转成成明文，如213(2117)210⇒⨯--=，即X 变为P ：133(138)114⇒⨯--=，即D 变为F ．（1）按上述方法将明文NET 译为密文．（2）若按上方法将明文译成的密文为DWN ，请找出它的明文． 10．观察下列两个等式：5532321,44133+=⨯-+=⨯-，给出定义如下：我们称使等式1a b ab +=-成立的一对有理数,a b 为“白马有理数对”，记为(,)a b ，如：数对5(3,2),4,3⎛⎫⎪⎝⎭都是“白马有理数对”．（1）数对3(2,1),5,2⎛⎫- ⎪⎝⎭中是“白马有理数对”的是_________；（2）若(,3)a 是“白马有理数对”，求a 的值；（3）若(,)m n 是“白马有理数对”，则(,)n m --是“白马有理数对”吗？请说明理由． （4）请再写出一对符合条件的“白马有理数对”_________（注意：不能与题目中已有的“白马有理数对”重复） 11．阅读下列解题过程：为了求23501222...2+++++的值，可设23501222...2S =+++++，则2345122222...2S =+++++，所以得51221S S -=-，所以5123505121:1222...221S =-+++++=-，即； 仿照以上方法计算：（1）2320191222...2+++++= . （2）计算：2320191333...3+++++ （3）计算：101102103200555...5++++12．对于有理数a 、b ，定义了一种新运算“※”为：()()223a b a b a b a b a b ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩※如：532537=⨯-=※，2131313=-⨯=-※． （1）计算：①()21-=※______；②()()43--=※______；（2）若313m x =-+※是关于x 的一元一次方程，且方程的解为2x =，求m 的值； （3）若3241A x x x =-+-+，3262B x x x =-+-+，且3A B =-※，求322x x +的值． 13．在平面直角坐标系中，已知线段AB ，点A 的坐标为()1,2-，点B 的坐标为()3,0，如图1所示.(1)平移线段A B 到线段C D ，使点A 的对应点为，点B 的对应点为C ，若点C 的坐标为()2,4-，求点D 的坐标；(2)平移线段A B 到线段C D ，使点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第二象限内(A 与D 对应， B 与C 对应)，连接BC BD ，，如图2所示.若(7BCD BCD S S ∆∆=表示△BCD 的面积)，求点C 、D 的坐标；(3)在(2)的条件下，在y 轴上是否存在一点P ，使(23PCD PCD BCD S S S ∆∆∆=表示△PCD 的面积)？若存在，求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由.14．已知，AB ∥CD ，点E在CD 上，点G ，F 在AB 上，点H 在AB ，CD 之间，连接FE ，EH ，HG ，∠AGH ＝∠FED ，FE ⊥HE ，垂足为E ． （1）如图1，求证：HG ⊥HE ；（2）如图2，GM 平分∠HGB ，EM 平分∠HED ，GM ，EM 交于点M ，求证：∠GHE ＝2∠GME ；（3）如图3，在（2）的条件下，FK 平分∠AFE 交CD 于点K ，若∠KFE ：∠MGH ＝13：5，求∠HED 的度数．15．如图，在平面直角坐标系中，点()26A ，，()4,3B ，将线段AB 进行平移，使点A 刚好落在x 轴的负半轴上，点B 刚好落在y 轴的负半轴上，A ，B 的对应点分别为A '，B '，连接AA '交y 轴于点C ，BB '交x 轴于点D ．（1）线段A B ''可以由线段AB 经过怎样的平移得到？并写出A '，B '的坐标； （2）求四边形AA BB ''的面积；（3）P 为y 轴上的一动点（不与点C 重合），请探究PCA '∠与A DB ''∠的数量关系，给出结论并说明理由．16．对于平面直角坐标系xOy 中的任意两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，给出如下定义： 将|x 1﹣x 2|称为点M ，N 之间的“横长”，|y 1﹣y 2|称为点M ，N 之间的纵长”，点M 与点N的“横长”与“纵长”之和称为“折线距离”，记作d (M ，N )=|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|“．例如：若点M (﹣1，1)，点N (2，﹣2)，则点M 与点N 的“折线距离”为：d (M ，N )=|﹣1﹣2|+|1﹣(﹣2)|=3+3=6． 根据以上定义，解决下列问题： 已知点P (3，2)．（1）若点A (a ，2)，且d (P ，A )=5，求a 的值；（2）已知点B (b ，b )，且d (P ，B )＜3，直接写出b 的取值范围；（3）若第一象限内的点T 与点P 的“横长”与“纵长”相等，且d (P ，T )＞5，简要分析点T 的横坐标t 的取值范围．17．如图1，在直角坐标系中直线AB 与x 、y 轴的交点分别为(),0A a ，()0,B b ，且满足80a b a b ++-+=.（1）求a 、b 的值；（2）若点M 的坐标为()1,m 且2ABMAOMSS=，求m 的值；（3）如图2，点P 坐标是()1,2--，若ABO 以2个单位/秒的速度向下平移，同时点P 以1个单位/秒的速度向左平移，平移时间是t 秒，若点P 落在ABO 内部（不包含三角形的边），求t 的取值范围．18．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．已知两点(),0A a ，(), 0B b 且a 、b 满足430a b +-=；若四边形ABCD 为平行四边形，//CD AB 且CD AB = ，点()0,4C 在y轴上．（1）如图①，动点P 从C 点出发，以每秒2个单位长度沿y 轴向下运动，当时间t 为何值时，三角形ABP 的面积等于平行四边形ABCD 面积的四分之一；（2）如图②，当P 从O 点出发，沿y 轴向上运动，连接PD 、PA ，CDP ∠、APD ∠、PAB ∠存在什么样的数量关系，请说明理由（排除P 在O 和C 两点的特殊情况）．19．如图，α∠和β∠的度数满足方程组2230320αβαβ∠+∠=︒⎧⎨∠-∠=︒⎩，且//CD EF ，AC AE ⊥．（1）用解方程的方法求α∠和β∠的度数； （2）求C ∠的度数．20．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某城市规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过6米3时，水费按a 元/米3收费；每户每月用水量超过6米3时，不超过的部分每立方米仍按a 元收费，超过的部分按c 元/米3收费，该市某用户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：月份 用水量(m 3)收费(元) 3 5 7.5 4 927系式；(2)已知某户5月份的用水量为8米3，求该用户5月份的水费．21．在平面直角坐标系中，点A 、B 在坐标轴上，其中()0,A a 、(),0B b 满足|21|280a b a b --+-．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）将线段AB 平移到CD ，点A 的对应点为()2,C t -，如图1所示，若三角形ABC 的面积为9，求点D 的坐标；（3）平移线段AB 到CD ，若点C 、D 也在坐标轴上，如图2所示．P 为线段AB 上的一动点（不与A 、B 重合），连接OP 、PE 平分OPB ∠，2BCE ECD ∠=∠．求证：3()BCD CEP OPE ∠=∠-∠．22．用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面、做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器，（1）现有长方形铁片2014张，正方形铁片1176张，如果将两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？（2）现有长方形铁片a 张，正方形铁片b 张，如果加工这两种容器若干个，恰好将两种铁片刚好全部用完．则a b +的值可能是（ ） A ．2019 B ．2020 C ．2021 D ．2022（3）给长方体容器加盖可以加工成铁盒．先工厂仓库有35张铁皮可以裁剪成长方形和正方形铁片，用来加工铁盒，已知1张铁皮可裁剪出3张长方形铁片或4张正方形铁片，也可以裁剪出1张长方形铁片和2张正方形铁片．请问怎样充分利用这35张铁皮，最多可以加工成多少个铁盒?23．我市某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm 40cm ⨯的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A 型与B 型两种板材．如图甲，（单位：cm ）（1）列出方程（组），求出图甲中a 与b 的值；（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A 型与B 型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式与横式两种礼品盒．①两种裁法共产生A 型板材________张，B 型板材_______张；②已知①中的A 型板材和B 型板材恰好做成竖式有盖礼品盒x 个，横式无盖礼品盒的y 个，求x 、y 的值．24．对a ，b 定义一种新运算T ，规定：T （a ，b ）＝（a +2b ）（ax +by ）（其中x ，y 均为非零实数）．例如：T （1，1）＝3x +3y ．（1）已知T （1，﹣1）＝0，T （0，2）＝8，求x ，y 的值；（2）已知关于x ，y 的方程组()()113028T a T a ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，，，若a ≥﹣2，求x +y 的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知平面直角坐标系上的点A （x ，y ）落在坐标轴上，将线段OA 沿x 轴向右平移2个单位，得线段O ′A ′，坐标轴上有一点B 满足三角形BOA ′的面积为9，请直接写出点B 的坐标．25．某小区准备新建60个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建2个地上停车位和3个地下停车位共需1.7万元：新建4个地上停车位和2个地下停车位共需1.4万元， （1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元?（2）若该小区新建车位的投资金额超过14万元而不超过15万元，问共有几种建造方案? （3）对（2）中的几种建造方案中，哪种方案的投资最少?并求出最少投资金额. 26．阅读材料：关于x ，y 的二元一次方程ax+by=c 有一组整数解00x x y y =⎧⎨=⎩，则方程ax+by=c 的全部整数解可表示为00x x bty y at =-⎧⎨=+⎩（t 为整数）．问题：求方程7x+19y=213的所有正整数解．小明参考阅读材料，解决该问题如下：解：该方程一组整数解为0069x y =⎧⎨=⎩，则全部整数解可表示为61997x ty t =-⎧⎨=+⎩（t 为整数）．因为61909+70.tt->⎧⎨>⎩，解得96719t-<<．因为t为整数，所以t=0或-1．所以该方程的正整数解为69xy=⎧⎨=⎩和252xy=⎧⎨=⎩．（1）方程3x-5y=11的全部整数解表示为：253x ty tθ=+⎧⎨=+⎩（t为整数），则θ= ；（2）请你参考小明的解题方法，求方程2x+3y=24的全部正整数解；（3）方程19x+8y=1908的正整数解有多少组? 请直接写出答案．27．小语爸爸开了一家茶叶专卖店，包装设计专业毕业的小语为爸爸设计了一款纸质长方体茶叶包包装盒（纸片厚度不计）．如图，阴影部分是裁剪掉的部分，沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处长方形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．（1）若小语用长40cm，宽34cm的长方形纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？（2）小语爸爸的茶叶专卖店以每盒200元购进一批茶叶，按进价增加18%作为售价，第一个月由于包装粗糙，只售出不到一半但超过三分之一的量；第二个月采用了小语的包装后，马上售完了余下的茶叶，但每盒成本增加了6元，售价仍不变，已知在整个买卖过程中共盈利1800元，求这批茶叶共进了多少盒？28．我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”．（1）请判断下列组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由；①240523xx-=⎧⎨-⎩＜；②5323233124x xx x--⎧=-⎪⎪⎨+-⎪-⎪⎩＜．（2）若关于x 的组合515032x x a a +=⎧⎪⎨-⎪⎩＞是“有缘组合”，求a 的取值范围； （3）若关于x 的组合5323212a x x a x a x a -⎧-=-⎪⎪⎨-⎪+≤+⎪⎩是“无缘组合”；求a 的取值范围． 29．如图，数轴上两点A 、B 对应的数分别是－1，1，点P 是线段AB 上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q ，满足|PQ |＝2，那么我们把这样的点Q 表示的数称为连动数，特别地，当点Q 表示的数是整数时我们称为连动整数．（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有 ；（直接写出结果）（2）若k 使得方程组321431x y k x y k +=+⎧⎨+=-⎩中的x ，y 均为连动数，求k 所有可能的取值； （3）若关于x 的不等式组263332x x x x a -⎧>-⎪⎪⎨+⎪≤-⎪⎩的解集中恰好有4个连动整数，求这4个连动整数的值及a 的取值范围．30．在平面直角坐标系中，已知长方形，点，. （1）如图，有一动点在第二象限的角平分线上，若，求的度数； （2）若把长方形向上平移，得到长方形. ①在运动过程中，求的面积与的面积之间的数量关系； ②若，求的面积与的面积之比.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．（1）（3，4）；（2）①t =32时，AP 所在直线垂直于x 轴；②当t 为107或145时，S ＝S △APE ．【分析】（1）根据直角坐标系得出点F 的坐标即可；（2）①根据AP 所在直线垂直于x 轴，得出关于t 的方程，解答即可；②分713t ≤≤和71033t ≤≤两种情况，利用面积公式列出方程即可求解． 【详解】（1）由直角坐标系可得：F 坐标为：（3，4）；故答案为：（3，4）；（2）①要使AP 所在直线垂直于x 轴．如图1，只需要P x ＝A x ， 则 t +3＝3t ，解得：32t =，所以即32t =时，AP 所在直线垂直于x 轴；②由题意知，OH ＝7，所以当73t =时，点D 与点H 重合，所以要分以下两种情况讨论： 情况一：当713t ≤≤时， GD ＝3t ﹣3，PF ＝t ，PE ＝4﹣t ， ∵S ＝S △APE ， ∴BC ×GD ＝()12y y PE E A ⨯-， 即：2×（3t ﹣3）＝()1422t -⨯， 解得：107t =； 情况二：当71033t ≤≤时，如图2，HD ＝3t ﹣7，PF ＝t ，PE ＝4﹣t ，∵S ＝S △APE ，∴BC ×CH ＝()12y y PE E A ⨯-， 即：2×[2﹣（3t ﹣7）]＝()1422t -⨯， 解得：145t =， 综上所述，当t 为107或145时，S ＝S △APE ． 【点睛】 本题考查了平面直角坐标系中点的移动，一元一次方程的应用等问题，理解题意，分类讨论是解题关键．2．（1）150°；（2）∠OCD +∠BO ′E ′=360°-α；（3）∠AOB =∠BO ′E ′【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠AOE 的度数，再根据直角、周角的定义即可求得∠BOE 的度数；（2）如图②，过O 点作OF ∥CD ，根据平行线的判定和性质可得∠OCD 、∠BO ′E ′的数量关系；（3）由已知推出CP ∥OB ，得到∠AOB +∠PCO =180°，结合角平分线的定义可推出∠OCD =2∠PCO =360°-2∠AOB ，根据（2）∠OCD +∠BO ′E ′=360°-∠AOB ，进而推出∠AOB =∠BO ′E ′．【详解】解：（1）∵CD ∥OE ，∴∠AOE =∠OCD =120°，∴∠BOE =360°-∠AOE -∠AOB =360°-90°-120°=150°；（2）∠OCD +∠BO ′E ′=360°-α．证明：如图②，过O 点作OF ∥CD ，∵CD∥O′E′，∴OF∥O′E′，∴∠AOF=180°-∠OCD，∠BOF=∠E′O′O=180°-∠BO′E′，∴∠AOB=∠AOF+∠BOF=180°-∠OCD+180°-∠BO′E′=360°-（∠OCD+∠BO′E′）=α，∴∠OCD+∠BO′E′=360°-α；（3）∠AOB=∠BO′E′．证明：∵∠CPO′=90°，∴PO′⊥CP，∵PO′⊥OB，∴CP∥OB，∴∠PCO+∠AOB=180°，∴2∠PCO=360°-2∠AOB，∵CP是∠OCD的平分线，∴∠OCD=2∠PCO=360°-2∠AOB，∵由（2）知，∠OCD+∠BO′E′=360°-α=360°-∠AOB，∴360°-2∠AOB+∠BO′E′=360°-∠AOB，∴∠AOB=∠BO′E′．【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键．3．（1）80°；（2）∠AKC＝12∠APC，理由见解析；（3）∠AKC＝23∠APC，理由见解析【分析】（1）先过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，再根据∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP进行计算即可；（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，进而得到∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得出∠BAK+∠DCK＝12∠BAP+12∠DCP＝12（∠BAP+∠DCP）＝12∠APC，进而得到∠AKC＝12∠APC；（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，进而得到∠AKC＝∠BAK﹣∠DCK，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，再根据已知得出∠BAK﹣∠DCK＝23∠BAP﹣23∠DCP＝23∠APC，进而得到∠BAK﹣∠DCK＝23∠APC．【详解】（1）如图1，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°；（2）∠AKC＝12∠APC．理由：如图2，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK，∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP，∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∴∠BAK+∠DCK＝12∠BAP+12∠DCP＝12（∠BAP+∠DCP）＝12∠APC，∴∠AKC＝12∠APC；（3）∠AKC＝23∠APC理由：如图3，过K作KE∥AB，∵AB∥CD，∴KE∥AB∥CD，∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE，∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK，过P作PF∥AB，同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAK＝23∠BAP，∠DCK＝23∠DCP，∴∠BAK﹣∠DCK＝23∠BAP﹣23∠DCP＝23（∠BAP﹣∠DCP）＝23∠APC，∴∠AKC＝23∠APC．【点睛】本题考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出平行线构造内错角相等计算．4．（1）90°；（2）见解析；（3）不变，180°【分析】（1）根据邻补角的定义及角平分线的定义即可得解；（2）根据垂直的定义及邻补角的定义、角平分线的定义即可得解；（3）180BPC BQC ∠+∠=︒，过Q ，P 分别作//QG AB ，//PH AB ，根据平行线的性质及平角的定义即可得解．【详解】解（1）CN ，CM 分别平分BCE ∠和BCD ∠， 12BCN BCE ∴=∠，12BCM BCD ∠=∠， 180BCE BCD ∠+∠=︒，111()90222MCN BCN BCM BCE BCD BCE BCD ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒； （2）CM CN ⊥，90MCN ∴∠=︒，即90BCN BCM ∠+∠=︒，22180BCN BCM ∴∠+∠=︒，CN 是BCE ∠的平分线，2BCE BCN ∴∠=∠，2180BCE BCM ∴∠+∠=︒，又180BCE BCD ∠+∠=︒，2BCD BCM ∴∠=∠，又CM 在BCD ∠的内部，CM ∴平分BCD ∠；（3）如图，不发生变化，180BPC BQC ∠+∠=︒，过Q ，P 分别作//QG AB ，//PH AB ，则有//////QG AB PH CD ，BQG ABQ ∴∠=∠，CQG ECQ ∠=∠，BPH FBP ∠=∠，CPH DCP ∠=∠，⊥BP BQ ，CP CQ ⊥，90PBQ PCQ ∴∠=∠=︒，180ABQ PBQ FBP ∠+∠+=︒，180ECQ PCQ DCP ∠+∠+∠=︒，180ABQ FBP ECQ DCP ∴∠+∠+∠+∠=︒，BPC BQC BPH CPH BQG CQG ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠180ABQ FBP ECQ DCP =∠+∠+∠+∠=︒，180BPC BQC ∴∠+∠=︒不变．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质及作出合理的辅助线是解题的关键． 5．（1）360PAF PBN APB ∠+∠+∠=°；（2）①CPD αβ∠=∠+∠，理由见解析；②图见解析，CPD βα∠=∠-∠或CPD αβ∠=∠-∠【分析】（1）作PQ ∥EF ，由平行线的性质，即可得到答案；（2）①过P 作//PE AD 交CD 于E ，由平行线的性质，得到DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得到答案；②根据题意，可对点P 进行分类讨论：当点P 在BA 延长线时；当P 在BO 之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）作PQ ∥EF ，如图：∵//EF MN ，∴////EF MN PQ ，∴180PAF APQ ∠+∠=°，180PBN BPQ ∠+∠=°，∵APB APQ BPQ ∠=∠+∠∴360PAF PBN APB ∠+∠+∠=°；（2）①CPD αβ∠=∠+∠；理由如下：如图，过P 作//PE AD 交CD 于E ，∵//AD BC ，∴////AD PE BC ，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD DPE CPE αβ∠=∠+∠=∠+∠；②当点P 在BA 延长线时，如备用图1：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPC=β，∠EPD=α，∴CPDβα∠=∠-∠；当P在BO之间时，如备用图2：∵PE∥AD∥BC，∴∠EPD=α，∠CPE=β，∴CPDαβ∠=∠-∠．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，从而得到角的关系．6．（1）①18°；②2∠BEG+∠HFG=90°，证明见解析；（2）2∠BEG-∠HFG=90°证明见解析部【分析】（1）①证明2∠BEG+∠HFG=90°，可得结论．②利用平行线的性质证明即可．（2）如图2中，结论：2∠BEG-∠HFG=90°．利用平行线的性质证明即可．【详解】解：（1）①∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，∴2∠BEG+∠HFG=90°，∵∠BEG=36°，∴∠HFG=18°．故答案为：18°．②结论：2∠BEG+∠HFG=90°．理由：∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°+∠HFG=180°，∴2∠BEG+∠HFG=90°．（2）如图2中，结论：2∠BEG-∠HFG=90°．理由：∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=∠FEG，∵FH⊥EF，∴∠EFH=90°，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFG=180°，∴2∠BEG+90°-∠HFG=180°，∴2∠BEG-∠HFG=90°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7．（1）a2=2，a3=-1，a4=1 2（2）a2016•a2017•a2018= -1（3）a33+a66+a99+…+a9999=-1【分析】(1)将a1=12代入11a中即可求出a2，再将a2代入求出a3，同样求出a4即可.(2)从（1）的计算结果可以看出，从a1开始，每三个数一循环，而2016÷3=672，则a2016=-1,a 2017=12,a 2018=2然后计算a 2016•a 2017•a 2018的值； (3)观察可得a 3、a 6、a 9、…a 99，都等于-1，将-1代入，即可求出结果.【详解】（1）将a 1=12，代入11a -，得21=211-2a = ； 将a 2=2，代入11a -，得31=-11-2a =； 将a 3=-1，代入11a -，得411=1--12a =（）. （2）根据(1)的计算结果，从a 1开始，每三个数一循环， 而2016÷3=672，则a 2016=-1,a 2017=12 ,a 2018=2 所以，a 2016•a 2017•a 2018=（-1）×12×2= -1 （3）观察可得a 3、a 6、a 9、…a 99，都等于-1，将-1代入，a 33+a 66+a 99+…+a 9999=（-1）3+（-1）6+（-1）9+…+（-1）99=（-1）+1+（-1）+…(-1)=-1【点睛】此类问题考查了数字类的变化规律，解题的关键是要严格根据定义进行解答，同时注意分析循环的规律．8．（1）14-（2）124- 【分析】（1）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答；（2）根据例子将每项的整数部分相加，分数部分相加即可解答.【详解】（1）115112744362⎛⎫⎛⎫-+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()115112744362⎛⎫=--+-+--+- ⎪⎝⎭ 104⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 14=- （2）原式()235120192018201720163462⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 124⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭124=- 【点睛】此题考察新计算方法，正确理解题意是解题的关键，根据例子即可仿照计算.9．（1）N,E,T 密文为M,Q,P;（2）密文D,W,N 的明文为F,Y ,C ．【分析】(1) 由图表找出N,E,T 对应的自然数,再根据变换公式变成密文.(2)由图表找出N=M,Q,P 对应的自然数，再根据变换.公式变成明文.【详解】解：（1）将明文NET 转换成密文：2522517263N M +→→+=→ 3313E Q →→=→ 5158103T P +→→+=→ 即N,E,T 密文为M,Q,P;（2）将密文D,W,N 转换成明文：()133138114D F →→⨯--=→2326W Y →→⨯=→253(2517)222N C →→⨯--=→即密文D,W,N 的明文为F,Y ,C ．【点睛】本题考查有理数的混合运算，此题较复杂，解答本题的关键是由图表中找到对应的数或字母，正确运用转换公式进行转换．10．（1）35,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）2；（3）不是；（4）（6，75） 【分析】（1）根据“白马有理数对”的定义，把数对3(2,1),5,2⎛⎫- ⎪⎝⎭分别代入1a b ab +=-计算即可判断；（2）根据“白马有理数对”的定义，构建方程即可解决问题；（3）根据“白马有理数对”的定义即可判断；（4）根据“白马有理数对”的定义即可解决问题．【详解】（1）∵-2+1=-1，而-2×1-1=-3，∴-2+1≠-3，∴（-2，1）不是“白马有理数对”，∵5+32=132，5×32-1=132，∴5+32=5×32-1， ∴35,2⎛⎫ ⎪⎝⎭是“白马有理数对”， 故答案为：35,2⎛⎫ ⎪⎝⎭； （2）若(,3)a 是“白马有理数对”，则a+3=3a-1，解得：a=2，故答案为：2；（3）若(,)m n 是“白马有理数对”，则m+n=mn-1，那么-n+（-m ）=-（m+n ）=-（mn-1）=-mn+1，∵-mn+1≠ mn-1∴（-n ，-m ）不是“白马有理数对”，故答案为：不是；（4）取m=6，则6+x=6x-1，∴x=75，∴（6，75）是“白马有理数对”，故答案为：（6，75）．【点睛】本题考查了“白马有理数对”的定义，有理数的加减运算，一次方程的列式求解，理解“白马有理数对”的定义是解题的关键．11．（1）202021-；（2）2020312-；（3）201101554-. 【分析】仿照阅读材料中的方法求出所求即可．【详解】解：（1）根据2350511222...221+++++=-得：2320191222...2+++++=202021-（2）设2320191333...3S =+++++，则234202033333...3S =+++++，∴2020331S S -=-， ∴2020312S -= 即：2020232019311333 (32)-+++++= （3）设232001555...5S =+++++，则23420155555...5S =+++++，∴201551S S -=-， ∴201514S -= 即：20123200511555 (5)4-+++++= 同理可求⸫10123100511555 (54)-+++++= ∵1011021032002320023100555...51555...5)(1555...5)++++=+++++-+++++（ 201101201101101102103200515155555 (5444)---∴++++=-= 【点睛】此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．12．（1）①5；②2-；（2）1；（3）16．【分析】(1)根据题中定义代入即可得出；(2)根据2x =，讨论3和 m 的两种大小关系，进行计算；(3)先判定A 、B 的大小关系，再进行求解．【详解】（1）根据题意：∵21>-，∴()()212215-=⨯--=※，∵43-<-，∴()()()243434223--=--⨯-=-+=-※． （2）∵2x =，∴31325m =-+⨯=※，① 若3m >，则235m ⨯-=，解得1m =，②若3m <， 则2353m -⨯=，解得3m =-(不符合题意)， ∴1m =．（3）∵()()323224162210A B x x x x x x x -=-+-+--+-+=--<，∴A B <， ∴()3232224162333A B A B x x x x x x =-=-+-+--+-+=-※， 得380x x +-=，∴3222816x x +=⨯=．【点睛】本题考查了一种新运算，读懂题意掌握新运算并能正确化简是解题的关键．13．(1)()4,2D -；(2)()()0422C D -，、，；(3)存在点P ，其坐标为20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或260,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S △BCD =7（S △BCD 建立方程求解，即可）； （3）设出点P 的坐标，表示出PC 用PCD BCD S 2S 3=，建立方程求解即可． 【详解】(1)∵B(3，0)平移后的对应点()2,4C -，∴设3204a b +=-+=，， ∴54a b =-=， 即线段AB 向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到线段CD ，∴A 点平移后的对应点()4,2D -；(2)∵点C 在y 轴上，点D 在第二象限，∴线段AB 向左平移3个单位，再向上平移y 个单位，∴()()022C y D y --+，，， 连接OD ，BCD BOC COD BOD S S S S =+-=1112(2)7222OB OC OC OB y ⨯+⨯-⨯-+=，∴4y = ∴()()0422C D -，、，； (3)存在设点()0P m ，，∴4PC m =- ∵23PCD BCD S S ∆=， ∴12|4|2723m -⨯=⨯ ∴14|4|3m -=， ∴22633m m =-=或 ∴存在点P ，其坐标为20,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或260,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了线段平移的性质，解题的关键在利用平移的性质，得到点坐标的关系、图形面积的关系，根据面积的关系，从而求出点的坐标.14．（1）见解析；（2）见解析；（3）40°【分析】（1）根据平行线的性质和判定解答即可；（2）过点H 作HP ∥AB ，根据平行线的性质解答即可；（3）过点H作HP∥AB，根据平行线的性质解答即可．【详解】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠AFE＝∠FED，∵∠AGH＝∠FED，∴∠AFE＝∠AGH，∴EF∥GH，∴∠FEH+∠H＝180°，∵FE⊥HE，∴∠FEH＝90°，∴∠H＝180°﹣∠FEH＝90°，∴HG⊥HE；（2）过点M作MQ∥AB，∵AB∥CD，∴MQ∥CD，过点H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴HP∥CD，∵GM平分∠HGB，∠BGH，∴∠BGM＝∠HGM＝12∵EM平分∠HED，∴∠HEM＝∠DEM＝1∠HED，2∵MQ∥AB，∴∠BGM＝∠GMQ，∵MQ∥CD，∴∠QME＝∠MED，∴∠GME＝∠GMQ+∠QME＝∠BGM+∠MED，∵HP∥AB，∴∠BGH＝∠GHP＝2∠BGM，∵HP∥CD，∴∠PHE＝∠HED＝2∠MED，∴∠GHE＝∠GHP+∠PHE＝2∠BGM+2∠MED＝2（∠BGM+∠MED），∴∠GHE＝∠2GME；（3）过点M 作MQ ∥AB ，过点H 作HP ∥AB ，由∠KFE ：∠MGH ＝13：5，设∠KFE ＝13x ，∠MGH ＝5x ，由（2）可知：∠BGH ＝2∠MGH ＝10x ，∵∠AFE +∠BFE ＝180°，∴∠AFE ＝180°﹣10x ，∵FK 平分∠AFE ，∴∠AFK ＝∠KFE ＝12 ∠AFE ， 即1(18010)132x x ︒-=， 解得：x ＝5°，∴∠BGH ＝10x ＝50°，∵HP ∥AB ，HP ∥CD ，∴∠BGH ＝∠GHP ＝50°，∠PHE ＝∠HED ，∵∠GHE ＝90°，∴∠PHE ＝∠GHE ﹣∠GHP ＝90°﹣50°＝40°，∴∠HED ＝40°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理以及灵活构造平行线是解题的关键．15．（1）向左平移4个单位，再向下平移6个单位，(2,0)A '-，(0,3)B '-；（2）24；（3）见解析【分析】（1）利用平移变换的性质解决问题即可．（2）利用分割法确定四边形的面积即可．（3）分两种情形：点P 在点C 的上方，点P 在点C 的下方，分别求解即可．【详解】解：（1）点(2,6)A ，(4,3)B ， 又将线段AB 进行平移，使点A 刚好落在x 轴的负半轴上，点B 刚好落在y 轴的负半轴上，∴线段A B ''是由线段AB 向左平移4个单位，再向下平移6个单位得到，(2,0)A ，(0,3)B '-．（2）11692232642422ABB A S ''=⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=四边形．（3）连接AD ．(4,3)B ，(0,3)B '-，BB ∴'的中点坐标为(2,0)在x 轴上，(2,0)D ∴．)6(2,A ，//AD y ∴轴，同法可证(0,3)C ，OC OB ∴='，AO CB '⊥'，AC A B ∴'=''，同法可证，B A B D ''='，A DB DA B ∴∠'=∠''，ACBA B C ∠''=∠''， 当点P 在点C 的下方时，180PCA ACB ∠'+∠''=︒，90A B C DA B ∠''+∠''=︒，90180PCA A DB ∴∠'+︒-∠''=︒，'''90PCA A DB ∴∠-∠=︒，当点P 在点C 的上方时，'''90PCA A DB ∠+∠=︒．【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是理解题意，学会有分割法求四边形的面积，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型．16．（1）a =﹣2或a =8；（2）1＜b ＜4；（3）t 112>或0＜t 12<． 【分析】（1）将点P 与点A 代入d （M ，N ）＝|x 1−x 2|＋|y 1−y 2|即可求解；（2）将点B 与点P 代入d （M ，N ）＝|x 1−x 2|＋|y 1−y 2|，得到d （P ，B ）＝|3−b|＋|2−b|，分三种情况去掉绝对值符号进行化简，有当b ＜2 时，d （P ，B ）＝3−b ＋2−b ＝5−2b ＜3；当2≤b≤3时，d （P ，B ）＝3−b ＋b−2＝1＜3；当b ＞3时，d （P ，B ）＝b−3＋b−2＝2b−5＜3；（3）设T 点的坐标为（t ，m ），由点T 与点P 的“横长”与“纵长”相等，得到|t−3|＝|m−2|，得到t 与m 的关系式，再由T 在第一象限，d （P ，T ）＞5，结合求解即可．【详解】（1）∵点P (3，2)，点A (a ，2)，∴d (P ，A )=|3﹣a |+|2﹣2|=5，∴a =﹣2或a =8；（2）∵点P (3，2)，点B (b ，b )，∴d (P ，B )=|3﹣b |+|2﹣b |，当b ＜2 时，d (P ，B )=3﹣b +2﹣b =5﹣2b ＜3，∴b ＞1，∴1＜b ＜2；当2≤b ≤3时，d (P ，B )=3﹣b +b ﹣2=1＜3成立，∴2≤b ≤3；当b ＞3时，d (P ，B )=b ﹣3+b ﹣2=2b ﹣5＜3，∴b ＜4，∴3＜b ＜4；综上所述：1＜b ＜4；（3）设T 点的坐标为(t ，m )，点T 与点P 的“横长”=|t ﹣3|，点T 与点P 的“纵长”=|m ﹣2|．∵点T 与点P 的“横长”与“纵长”相等，∴|t ﹣3|=|m ﹣2|，∴t ﹣3=m ﹣2或t ﹣3=2﹣m ，∴m =t ﹣1或m =5﹣t ．∵点T 是第一象限内的点，∴m ＞0，∴t ＞1或t ＜5，又∵d (P ，T )＞5，∴2|t ﹣3|＞5，∴t 112＞或t 12＜， ∴t 112＞或0＜t 12＜． 【点睛】本题考查平面内点的坐标，新定义；能够将定义内容转化为绝对值不等式，再将绝对值不等式根据绝对值的意义转化为一元一次不等式的求解是解题的关键．17．（1）4a =-，4b =；（2）5m =-或53m =；（3）513t << 【分析】（1）根据非负数和为0，则每一个非负数都是0，即可求出a ，b 的值；（2）设直线AB 与直线x ＝1交于点N ，可得N （1，5），根据S △ABM ＝S △AMN −S △BMN ，即可表示出S △ABM ，从而列出m 的方程．（3）根据题意知，临界状态是点P 落在OA 和AB 上，分别求出此时t 的值，即可得出范围．【详解】（1）∵80a b -+=0，80a b -+≥∴0a b +=，80a b -+=解得：4a =-，4b =（2）设直线AB 与直线1x =交于N ，设()1,N n∵a ＝−4，b ＝4，∴A （−4，0），B （0，4），设直线AB 的函数解析式为：y ＝kx ＋b ，代入得044k b b =-+⎧⎨=⎩，解得14k b =⎧⎨=⎩∴直线AB 的函数解析式为：y ＝x ＋4，代入x =1得()1,5N∵()1,M m∴ABM AMN BMN S S S =-△△△＝12×5×|5−m |−12×1×|5−m |＝2|5−m |，1422AOM S m m =⨯⨯=△ ∵2ABM AOM S S =∴2522m m -=⨯∴52m m -=或52m m -=-解得：5m =-或53m =，（3）当点P 在OA 边上时，则2t ＝2，∴t ＝1，当点P 在AB 边上时，如图，过点P 作PK //x 轴，AK ⊥x 轴交于K ， 则KP '＝3−t ，KA '＝2t −2，∴3−t ＝2t −2，∴53t = 综上所述：513t <<．【点睛】本题主要考查了平移的性质、一般三角形面积的和差表示、以及非负数的性质等知识点，第（2）问中用绝对值来表示动点构成的线段长度是正确解题的关键．18．（1）1或3；（2）∠APD =∠CDP +∠PAB 或∠APD =∠PAB -∠CDP ，理由见解析【分析】（1）由非负数的性质求出a ，b ，得到AB 的长，结合点C 坐标求出平行四边形ABCD 的面积，再根据ABP △的面积等于平行四边形ABCD 面积的14，列出方程，解之即可； （2）分点P 在线段OC 上和点P 在OC 的延长线上，两种情况，过P 作PQ ∥AB ，利用平行线的性质求解．【详解】解：（1）∵430a b +-=，∴a =-4，b =3，即A （-4，0），B （3，0），∴AB =3-（-4）=7，又C （0，4），∴OC =4，∴平行四边形ABCD 的面积=4×7=28，由题意可知：PC =2t ，则OP =42t -，∵ABP △的面积等于平行四边形ABCD 面积的14， ∴114272824t ⨯-⨯=⨯， 解得：t =1或t =3，（2）如图，当点P 在线段OC 上时，过P 作PQ ∥AB ，则PQ ∥CD ，∴∠CDP =∠DPQ ，∠APQ =∠PAB ，∴∠APD =∠DPQ +∠APQ =∠CDP +∠PAB ；。

. .绝密★启用前初中数学几何压轴题组卷试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一．选择题（共3小题）1．如图.在凸四边形ABCD 中.AB 的长为2.P 是边AB 的中点.若∠DAB=∠ABC=∠PDC=90°.则四边形ABCD 的面积的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．2+22．北京奥运会金牌创造性地将白玉圆环嵌在其中（如图）.这一设计不仅是对获胜者的礼赞.也形象地诠释了中华民族自古以来以“玉”比“德”的价值观．若白玉圆环面积与整个金牌面积的比值为k.则下列各数与k 最接近的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．在等边△ABC所在平面上的直线m满足的条件是：等边△ABC的3个顶点到直线m的距离只取2个值.其中一个值是另一个值的2倍.这样的直线m 的条数是（）A．16B．18C．24D．27. .. .第Ⅱ卷（非选择题）请点击修改第Ⅱ卷的文字说明二．填空题（共6小题）4．5个正方形如图摆放在同一直线上.线段BQ 经过点E 、H 、N.记△RCE 、△GEH 、△MHN 、△PNQ 的面积分别为S 1.S 2.S 3.S 4.已知S 1+S 3=17.则S 2+S 4= ．5．设A 0.A 1.….A n ﹣1依次是面积为整数的正n 边形的n 个顶点.考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形.如四边形A 3A 4A 5A 6、七边形A n ﹣2A n ﹣1A 0A 1A 2A 3A 4等.如果所有这样的凸多边形的面积之和是231.那么n 的最大值是 .此时正n 边形的面积是 ．6．已知Rt △ABC 和Rt △A′C′D 中.AC=A′C′.A′D=1.∠B=∠D=90°.∠C+∠C′=60°.BC=2.则这两个三角形的面积和为 ．7．设a.b.c 为锐角△ABC 的三边长.为h a .h b.h c 对应边上的高.则U=的取值范围是 ．8．如图已知四边形ABCD的对角线AC 与BD 相交于O.若S △AOB =4.S △COD =9.则四边形ABCD 的面积的最小值为 ．9．四边形ABCD 的四边长为AB=.BC=.CD=.DA=.一条对角线BD=.其中m.n 为常数.且0＜m ＜7.0＜n ＜5.那么四边形的面积为 ．. .三．解答题（共2小题）10．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分.我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．（1）三角形有 条面积等分线.平行四边形有 条面积等分线；（2）如图①所示.在矩形中剪去一个小正方形.请画出这个图形的一条面积等分线；（3）如图②.四边形ABCD 中.AB 与CD 不平行.AB ≠CD.且S △ABC ＜S △ACD .过点A 画出四边形ABCD 的面积等分线.并写出理由．11．如图1.点P 是△ABD 中AD 边上一点.当P 为AD 中点时.则有S △ABP =S △ABD .如图2.在四边形ABCD 中.P 是AD 边上任意一点.探究：（1）当AP=AD 时.如图 3.△PBC 与△ABC 和△DBC 的面积之间有什么关系？写出求解过程；（2）当AP=AD 时.探究S △PBC 与S △ABC 和S△DBC 之间的关系.写出求解过程；（3）一般地.当AP=AD （n 表示正整数）时.探究S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系.写出求解过程；（4）当AP=AD （0≤≤1）时.直接写出S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系．. .初中数学几何压轴题组卷参考答案与试题解析一．选择题（共3小题）1．如图.在凸四边形ABCD中.AB的长为2.P是边AB的中点.若∠DAB=∠ABC=∠PDC=90°.则四边形ABCD的面积的最小值是（）A．4B．3C ．D．2+2【分析】设梯形上底为x.下底为y.则根据已知条件列出关于x.y的方程后即可用配方法解出答案．【解答】解：设梯形上底为x.下底为y.∵AB=2.P是边AB的中点.∠PDC=90°.∴1+y2﹣（1+x2）=4+（y﹣x）2.解得：y=+x.梯形ABCD面积=×（x+y）×2=x+y=x+x+=2x+≥4=4.当x=时.即x=1.y=3时.梯形ABCD面积取得最小值为4．故选：A．2．北京奥运会金牌创造性地将白玉圆环嵌在其中（如图）.这一设计不仅是对获胜者的礼赞.也形象地诠释了中华民族自古以来以“玉”比“德”的价值观．若白玉圆环面积与整个金牌面积的比值为k.则下列各数与k最接近的是（）. ...A ．B ．C ．D ．【分析】根据北京奥运会金牌创造性地将白玉圆环嵌在其中.设计师将白玉圆环面积与整个金牌面积的比值为：得出答案即可．【解答】解：奖牌正面采用国际奥委会规定的图案.背面镶嵌着取自中国古代龙纹玉璧造型的玉璧.背面正中的金属图形上镌刻着北京奥运会会徽.是中华文明与奥林匹克精神在北京奥运会形象景观工程中的又一次“中西合璧”.白玉圆环面积与整个金牌面积的比值为：．故选：B ．3．在等边△ABC 所在平面上的直线m 满足的条件是：等边△ABC 的3个顶点到直线m 的距离只取2个值.其中一个值是另一个值的2倍.这样的直线m 的条数是（ ）A ．16B ．18C ．24D ．27【分析】根据已知可以分成两类．第一类：过一边的中点.其中过AB 边中点M 的直线.即可得出满足条件的条数.进而得出过3条边中点的直线条数.第二类：与一边平行.这样的直线也有12条.即可得出答案．【解答】解：可以分成两类第一类：过一边的中点.其中过AB 边中点M 的直线.满足条件的有4条.那么.这一类共有12条.第二类：与一边平行.这样的直线也有12条.两类合计：12+12=24条．故选：C ．..二．填空题（共6小题）4．5个正方形如图摆放在同一直线上.线段BQ 经过点E 、H 、N.记△RCE 、△GEH 、△MHN 、△PNQ 的面积分别为S 1.S 2.S 3.S 4.已知S 1+S 3=17.则S 2+S 4= 68 ．【分析】由如图5个正方形摆放在同一直线上.可得tan ∠EBF=tan ∠AEB==.∠GHE=∠MNH=∠PQN=∠EBF.然后设DR=a.则EF=BD=CD=CE=2a.根据三角函数的知识.即可得：MH=4a.MN=8a.PN=8a.PQ=16a.又由S 1+S 3=17.即可求得a 2的值.继而可求得S 2+S 4的值．【解答】解：∵四边形ABDC 与四边形CDFE 是正方形.∴BD=DF=EF.AE ∥BF.∴∠EBF=∠AEB.∴tan ∠EBF=tan ∠AEB==.同理可得：∠GHE=∠MNH=∠PQN=∠EBF.设DR=a.则EF=BD=CD=CE=2a.∴CR=a.∵tan ∠EBF==.∴FI=HI=GH=4a.∴GE=2a.同理可得：MH=4a.MN=8a.PN=8a.PQ=16a.∴S1+S3=×a×2a+×4a×8a=17.解得：a2=1.∴S2+S4=×2a×4a+×8a×16a=68a2=68．故答案为：68．5．设A0.A1.….An﹣1依次是面积为整数的正n边形的n个顶点.考虑由连续的若干个顶点连成的凸多边形.如四边形A3A4A5A6、七边形An﹣2An﹣1AA1A2A3A4等.如果所有这样的凸多边形的面积之和是231.那么n的最大值是23 .此时正n边形的面积是 1 ．【分析】先通过找规律找出P与n的关系式 P=n2﹣n+1.再化为P=（n ﹣）2+.由于n≥3.故P值越大.n取值越大．在凸多边形面积之和为231时.由于正n边形的面积为整数.故其面积取最小值1时.P值最大.从而得出关于n的方程求解即可．【解答】解：用找规律找出P与n的关系式不难发现.P与n有下表所列的关系因此.P=（n﹣3）•n÷2+1.即P=n2﹣n+1．P=n2﹣n+1可以化为P=（n﹣）2+.由于n≥3.故P值越大.n取值越大．在凸多边形面积之和为231时.由于正n边形的面积为整数.故其面积取最小值1时.P值最大代入各值.得：231÷1=n2﹣n+1.整理得：n2﹣3n﹣460=0解得n=23或n=﹣20（不合题意.舍去）故n=23为最大值.此时正23边形的面积为1．. .故答案为：23.1．6．已知Rt △ABC 和Rt △A′C′D 中.AC=A′C′.A′D=1.∠B=∠D=90°.∠C+∠C′=60°.BC=2.则这两个三角形的面积和为．【分析】利用AC=A′C′把Rt △ABC 和Rt △A′C′D 中的AC 与A′C′重合可得到如图所示的四边形ABCD.再延长CD 与BA 交于E.由∠BCE=60°得到∠E=30°.根据含30°的直角三角形三边的关系得到EB=BC=2.可计算出S △EBC =×2×2=2；同样S △ADE =×1×=.然后利用S四边形ABCD=S △EBC ﹣S △ADE 进行计算．【解答】解：由于AC=A′C′.所以把Rt △ABC 和Rt △A′C′D 中的AC 与A′C′重合可得到如图所示的四边形ABCD.∠B=∠ADC=90°. ∵∠C+∠C′=60°. ∴∠BCD=60°.CD 与BA 的延长线交于E 点.如图. 在Rt △EBC 中.BC=2.∠BCE=60°. ∴∠E=30°. ∴EB=BC=2. ∴S △EBC =×2×2=2；在Rt △EAD 中.∠E=30°.AD=1. ∴AE=2. ∴S △ADE =×1×=.∴S 四边形ABCD =S △EBC ﹣S △ADE =2﹣. 即原来两个三角形的面积和为．故答案为：．7．设a.b.c为锐角△ABC的三边长.为ha .hb.hc对应边上的高.则U=的取值范围是＜U＜1 ．【分析】先根据题意画出图形.则有ha +BD＞c.ha+DC＞b.2ha+a＞b+c.同理.2hb +b＞c+a.2hc+c＞a+b.2（ha+hb+hc）＞（a+b+c）.又ha＜b.hb＜c.hc＜a.ha +hb+hc＜a+b+c.继而即可求出答案．【解答】解：如下图所示：∵ha +BD＞c.ha+DC＞b.∴2ha+a＞b+c.同理.2hb +b＞c+a.2hc+c＞a+b.∴2（ha +hb+hc）＞（a+b+c）.又ha ＜b.hb＜c.hc＜a.∴ha +hb+hc＜a+b+c∴U＜1故＜U＜1．故答案为：＜U＜1.8．如图已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O.若S△AOB =4.S△COD=9.则四边形ABCD的面积的最小值为25 ．【分析】先根据正弦定理及三角形的面积公式表示出△AOB及△COD的面积.再求出四边形ABCD面积的表达式.根据均值公式即可得出其最小值．【解答】解：由题得：∵S△AOB==4.S△COD==9.∴=4.=9.∴×=4×9=36.即：=36.∴S四边形ABCD =S△AOB+S△COD+S△AOD+S△BOC=13++≥13+2×=13+2=13+2×6=25.当且仅当：=时取等号．∴S△AOD =S△BOC=6时.∴四边形ABCD的面积最小值为25．故答案为：25．9．四边形ABCD的四边长为AB=.BC=.CD=.DA=.一条对角线BD=.其中m.n为常数.且0＜m＜7.0＜n＜5.那么四边形的面积为（mn﹣5m﹣4n+62）．【分析】作矩形A′B′C′D′.并且A′B′=7.B′C′=6；点A在A′B′上.AA′=4.点B在B′C′上.BB′=5.D在A′D′上.A′D=n.C在D′C 上.D′C=m.作DE⊥B′C′于E点.则AB==.BC=.CD=.DA=.BD=.根据四边形ABCD的面积=S矩形A′B′C′D′﹣S△A′AD﹣S△ABB′﹣S△C′CB﹣S△D′DC.利用矩形和三角形的面积公式即可计算出所求四边形的面积．【解答】解：作矩形A′B′C′D′.并且A′B′=7.B′C′=6；点A在A′B′上.AA′=4.点B在B′C′上.BB′=5.D在A′D′上.A′D=n.C在D′C 上.D′C=m.如图.过D作DE⊥B′C′于E点.∴AB==.BC=.CD=.DA=.BD=.∴四边形ABCD的面积=S矩形A′B′C′D′﹣S△A′AD﹣S△ABB′﹣S△C′CB﹣S△D′DC=7×6﹣×4×n﹣×3×5﹣×1×（7﹣m）﹣×m×（6﹣n）=（mn﹣5m﹣4n+62）．故答案为（mn﹣5m﹣4n+62）．三．解答题（共2小题）10．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分.我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．（1）三角形有无数条面积等分线.平行四边形有无数条面积等分线；（2）如图①所示.在矩形中剪去一个小正方形.请画出这个图形的一条面积等分线；（3）如图②.四边形ABCD中.AB与CD不平行.AB≠CD.且S△ABC ＜S△ACD.过点A画出四边形ABCD的面积等分线.并写出理由．【分析】（1）读懂面积等分线的定义.得出三角形的面积等分线；平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线；（2）由（1）知.矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；（3）能．过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E.连接AE．根据“△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等”推知S△ABC =S△AEC；然后由“割补法”可以求得S四边形ABCD =S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．【解答】解：（1）在△ABC中.做BC的中线AD.在这BC上任意取一点E.并将其与顶点A相连.过中点D做它的平行线.交AC与点F.连接EF.即是△ABC 的面积等分线．因为连接EF.设EF与AD交于点O.作中线后.△ABD与△ACD的面积相等.即S四边形ABEO +S△EOD=S△AFO+S四边形FODC．作平行线后.连接EF.设EF与AD交于点O.则△AOF与△EOD面积相等.那么S四边形ABEO +S△AFO=S△EOD+S四边形FODC .即S四边形ABEF=S△EFC.因此直线EF将△ABC分成了面积相等的两部分.是三角形的面积等分线．因此.按这样的做法.可以作无数条三角形的面积等分线；对于平行四边形应该有无数条.只要过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；故答案是：无数；无数；（2）如图①所示：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分．即OO′为这个图形的一条面积等分线；（3）如图②所示．能.过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E.连接AE．∵BE∥AC.∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等.∴有S△ABC =S△AEC.∴S四边形ABCD =S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；∵S△ACD ＞S△ABC.所以面积等分线必与CD相交.取DE中点F.则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．11．如图1.点P是△ABD中AD边上一点.当P为AD中点时.则有S△ABP =S△ABD.如图2.在四边形ABCD中.P是AD边上任意一点.探究：（1）当AP=AD时.如图3.△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？写出求解过程；（2）当AP=AD时.探究S△PBC 与S△ABC和S△DBC之间的关系.写出求解过程；（3）一般地.当AP=AD（n表示正整数）时.探究S△PBC 与S△ABC和S△DBC之间的关系.写出求解过程；（4）当AP=AD（0≤≤1）时.直接写出S△PBC 与S△ABC和S△DBC之间的关系．【分析】（1）根据AP=AD.△ABP和△ABD的高相等.得出△CDP和△CDA的高相等.进而得出S△PBC =S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP.整理求出即可；（2）仿照（1）的方法.只需把换为；（3）注意由（1）（2）得到一定的规律；得到面积和线段比值之间的一般关系；（4）利用（3）.得到更普遍的规律．【解答】解：（1）当AP=AD时（如图②）：∵AP=AD.△ABP和△ABD的高相等.∴S△ABP =S△ABD．∵PD=AD﹣AP=AD.△CDP和△CDA的高相等.∴S△CDP =S△CDA．∴S△PBC =S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD ﹣S△ABD﹣S△CDA=S四边形ABCD ﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）=S△DBC +S△ABC．（2）∵AP=AD.△ABP和△ABD的高相等.∴S△ABP =S△ABD．又∵PD=AD﹣AP=AD.△CDP和△CDA的高相等.∴S△CDP =S△CDA．∴S△PBC =S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD ﹣S△ABD﹣S△CDA=S四边形ABCD ﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）=S△DBC +S△ABC．∴S△PBC =S△DBC+S△ABC（3）S△PBC =S△DBC+S△ABC；∵AP=AD.△ABP和△ABD的高相等.∴S△ABP =S△ABD．又∵PD=AD﹣AP=AD.△CDP和△CDA的高相等.∴S△CDP =S△CDA∴S△PBC =S四边形ABCD﹣S△ABP﹣S△CDP=S四边形ABCD ﹣S△ABD﹣S△CDA=S四边形ABCD ﹣（S四边形ABCD﹣S△DBC）﹣（S四边形ABCD﹣S△ABC）=S△DBC +S△ABC．∴S△PBC =S△DBC+S△ABC（4）S△PBC =S△DBC+S△ABC．。

中考考点必杀500题专练14（几何压轴大题）（30道）1．（2022·浙江杭州·一模）如图，已知扇形AOB 的半径8OA =，90AOB ∠=︒，点C ，D 分别在半径OA ，OB 上（点C 不与点A 重合），连结CD ．(1)当4sin 5ODC ∠=，BD CD =时，求OC 的长． (2)点P 是弧AB 上一点，PC PD =．①当点D 与点B 重合，点P 为弧AB 的中点时，求证：PC PD ⊥．②当4OC =，90PDO ∠=︒时，求PCD OCD S S △△的值． 【答案】(1)3；(2)①证明见解析；②2；【解析】(1)解： Rt △ODC中，4sin 5ODC ∠=OC =4a ，CD =5a ，则OD3a =，sin ∠OCD =OD CD =35， 设OD =x ，则BD =CD =（8-x ），则385x x =-，解得：x =3， ∴OC 的长为3；(2)解：①如图，连接OP ，AP ，∵P 是弧AB 的中点，∴∠POB =12∠AOB =45°，PB =PA ，△OPB 中，OP =OB ，则∠OPB =∠OBP =12（180°-∠POB ）=67.5°，△OPA 中，OP =OA ，则∠OAP =∠OPA =12（180°-∠POA ）=67.5°，∴∠APB =∠OPA +∠OPB =135°，∵PB =PB =BA ，∴∠PAC =∠PCA =67.5°，△PAC 中，∠APC =180°-∠PAC -∠PCA =45°，∴∠CPB =∠APB -∠APC =90°，∴PC ⊥PD ；②如图，连接OP ，过C 作CE ⊥PD 于E ，∵∠COD =∠ODP =∠DEC =90°，∴四边形CODE 是矩形，∴DE =OC =4，CE =OD ，设PC =PD =x ，则PE =（x -4），Rt △PEC 中，222CE CP PE =-，Rt △POD 中，222OD OP PD =-，∴22CP PE -=22OP PD -，()222464x x x --=-，解得：4x =±，∵x ＞0，∴4x =-， ∵△PCD 面积=12PD CE ⋅，△OCD 面积=12OD OC ⋅，CE =OD ， ∴PCD OCD S S △△=PD OC=2； 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识；此题综合性强，正确作出辅助线是解题关键． 2．（2022·河北保定外国语学校一模）如图，点P 在射线AB 的上方，060PAM ︒<∠<︒、4PA =，点M 是射线AB 上的动点（点M 不与点A 重合），现将点P 绕点A 按顺时针方向旋转60︒到点Q ，将点M 绕点P 按逆时针方向旋转60︒到点N ，连接,,AQ PM PN ，作直线QN ．(1)求证：AM QN =；(2)直线QN 与以点P 为圆心，PN 的长为半径的圆是否存在相切的情况？若存在，请求出此时APN ∠和PAM ∠的关系，若不存在，请说明理由；(3)若50PAB ∠=︒，当以点P 为圆心，PN 长为半径的圆经过点Q 时，直接写出劣弧NQ 与两条半径所围成的扇形的面积．【答案】(1)见解析(2)存在，150APN PAM ∠+∠=︒ (3)329π (1)证明：如图1，连接PQ ，由点P 绕点A 按顺时针方向旋转60︒到点Q ，可得，,60AP AQ PAQ =∠=︒，∴APQ 为等边三角形，∴,60PA PQ APQ =∠=︒，由点M 绕点P 按逆时针方向旋转60︒到点N ，可得，,60PM PN MPN =∠=︒，∴APM QPN ∠=∠，则()APM QPN SAS ≌，∴AM QN =．(2)存在，如图2，由（1）中的证明可知，APM QPN ≌，∴AMP QNP ∠=∠，∵直线QN 与以点P 为圆心，PN 的长为半径的圆相切，∴90AMP QNP ∠=∠=︒，∵90,60APM PAM MPN ∠=︒-∠∠=︒，∴60APN APM MPN APM ∠=∠+∠=∠+︒．∴()6090150APN PAM APM APM ∠+∠=∠+︒+︒-∠=︒ (3)329π， 如图3，由（1）知，APQ 是等边三角形，∴,60PA PQ APQ =∠=︒，∵以点P 为圆心，PN 的长为半径的圆经过点Q ，∴PN PQ PA ==，∵PM PN =，∴PA PM =，∵50PAB ∠=︒，∴80APM ∠=︒，∴20MPQ APM APQ ∠=∠-∠=︒，∵60MPN ∠=︒，∴80QPN ∠=︒，∴劣弧NQ 与两条半径所围成的扇形的面积是扇形QPN 的面积，而此扇形的圆心角80QPN ∠=︒，半径为4PN PM PQ ===，∴劣弧NQ 与两条半径所围成的扇形的面积2804323609ππ⨯==．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，切线的性质，扇形的面积公式，解(1) 的关键是得出PA = PQ ，解(2)的关键是得出PN ⊥QN ，解(3)的关键是得出PN = PQ = PA ，解本题的难点是画出符合题意的图形． 3．（2022·河北保定外国语学校一模）在ABC 中，10AC BC ==，4sin 5A =，点D 是线段AB 上一点，且不与点A 、点B 重合．(1)当点D 为AB 中点时，AD 的长为__________；(2)如图1，过点D 作DM AC ⊥于点M ，DN BC ⊥于点N ．DM DN +的值是否为定值．如果是请求出定值；如果不是，请说明理由；(3)将B Ð沿着过点D 的直线折叠，使点B 落作AC 边的点P 处（不与点A 、C 重合），折痕交BC 边于点E ；①如图2，当点D 是AB 的中点时，求AP 的长度；②如图3，设AD a =，若存在两次不同的折痕，使点B 落在AC 边上两个不同的位置，直接写出a 的取值范围．【答案】(1)6(2)是定值，485 (3)①365；②2063a << 【解析】(1)解：∵点D 为AB 中点又10AC BC ==∴CD ⊥AB ∵4sin 5A = ∴CD =41085⨯=∴6AD ===故答案为：6；(2)解：DM DN +的值是定值，连接CD ，过点C 作CH AB ⊥于H ．∵CA CB CH AB =⊥，，∴6AH HB ==，∵ABC ACD BCD S S S =+△△△，DM AC DN BC ⊥⊥，，由（1）得62128AB CH =⨯====，， ∴111222AB CH AC DM BC DN ⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅， ∴1111281010222DM DN ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯， ∴485DM DN +=， 即DM DN +的值是定值，定值为485． (3)解：①如图2中，连接PB CD ，，∵CA CB AD DB ==，，∴CD AB ⊥，由（2）可知，8CD =，∵DP DA DB ==，∴90APB ∠=︒，即BP AC ⊥，∵1122AB CD AC BP ⋅⋅=⋅⋅， ∴485BP =，∴365AP ===．②2063a <<， 如图3中，过点C 作CH AB ⊥于H ，过点D 作DP AC ⊥于P ．∵CA CB CH AB =⊥，，∴6AH HB ==，∴8CH ===，当BD PD =时，设BD PD x ==，则12AD x =-， ∵sin CH PD A AC AD ==， ∴81012x x=-， ∴163x =， ∴203AD AB BD =-=， 观察图形可知当2063a <<时，存在两次不同的折叠，使点B 落在AC 边上两个不同的位置．【点睛】本题考查翻折问题，涉及的知识点有等腰三角形的性质，翻折的性质，勾股定理求直角三角形以及等面积法．4．（2022·四川成都·二模）已知在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一动点，作点B 关于AE 的对称点F ，BF 交AE 于点G ，连结DF ．(1)如图1，求DFB ∠的度数；(2)如图2，过点D 作DM BF ⊥交BF 的延长线于点M ，连结,CM CF ．若DF CM =，试探究四边形DFCM 的形状，并说明理由；(3)如图3，连结BD ，在AG 上截取=GT GB ，点P ，Q 分别是,AD BD 上的动点．若正方形ABCD 的面积为32，直接写出PTQ 周长的最小值．【答案】(1)135∠=︒DFB(2)四边形DFCM 是平行四边形，理由见解析(3)【解析】(1)如图1，连结AF ，∵点B ，F 关于AE 对称，∴AF AB =．∵正方形ABCD ，∴,90AD AB DAB =∠=︒．∴AD AF AB ==．∴12,34∠=∠∠=∠．∵在四边形ABFD 中，有1234360∠+∠+∠+∠+∠=︒DAB ， ∴()1233601352︒∠︒+∠=-∠=DAB ．即135∠=︒DFB ．(2)四边形DFCM 是平行四边形，理由如下：如图2，连接DB ，∵135∠=︒DFB ，∴45∠=︒DFM ．∵DM BF ⊥，∴90DMF ∠=︒．在Rt DMF △中，45∠=∠=︒MDF DFM ，∴=DM DF ．又∵正方形,=DC ABCD BD ， ∴=DM DC DF BD． 又∵45∠=∠=︒-∠MDC FDB CDF ，∴ ∽DMC DFB ．∴135∠=∠︒=DMC DFB ．∵90DMF ∠=︒，∴45∠=︒=∠CMF DFM ，∴∥DF MC ．又∵DF MC =，∴四边形DFCM 是平行四边形．(3)PTQ周长的最小值为解：如图3，作点T 关于AD 的对称点T ''，作点T 关于BD 的对称点''T ，连结,,'''DT DT DT ，连结'''T T 交AD 于点P ，交BD 于点Q ，连结TP 、TQ ，则PQT △周长的最小值为'''T T 的长，由对称知,,,'''==∠=∠∠=∠'''DT DT DT DT ADT ADT TDB T DB ，∴,290''''''=∠=∠=︒DT DT T DT ADB ．∴''==''T T ．由⊥BG GA 且=GT GB ，有==∠=∠BT BD CBG DBT GB BC， ∴ ∽DTB CGB ．∴==DT TB CG GB ．∴DT ．∵BF AE ⊥于点G ，∴点G 在以AB 为直径的圆弧上运动．取AB 中点N ，则==NG 当C 、N 、G 三点共线时CG 最小()≥-CG CN GN ．CG 最小值为∴DT ．∴PQF △周长的最小值为．【点睛】本题考查了正方形的性质、平行四边形的判定、轴对称的性质和相似三角形的判定和性质，利用轴对称的性质得到相等的边和角，找出相似三角形是解题的关键． 5．（2022·安徽芜湖·二模）在△ABC 中．∠C =90°，点D ，E 分别在BC 边和AC 边上，AD ，BE 相交于点F ．(1)图1，若∠AEF=∠BDF，求证：CD AC CE BC=；(2)如图2．若D为BC的中点，AE=EF．求证：AC=BF；(3)如图3．若AE=CD，BD=AC．求∠AFE的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)∠AFE的度数为45°．【解析】(1)证明：连接DE，∵∠AEF=∠BDF，即∠AEB=∠BDA，∴A、E、D、B四点共圆，∴∠ABD+∠AED=180°，∵∠CED+∠AED=180°，∴∠CED=∠ABD，又∠C公共，∴△CED∽△CBA，∴CD AC CE BC=；(2)证明：延长AD到G，使DG=AD，∵D为BC的中点，∴BD=CD，又∠BDG=∠CDA，∴△BDG≌△CDA，∴∠G=∠CAD，BG= CA，∵AE=EF，∴∠AFE=∠CAD，∵∠AFE=∠BFG，∴∠G=∠BFG，∴BF=BG=AC，即AC=BF；(3)解：过点A作AM∥BC，在AM上截取点M，使AM=AC，再过点M作MN⊥BC于点N，连接出BM，ME，如图：∵AM∥BC，∠C=90°，MN⊥BC，∴四边形AMNC是矩形，又AM=AC，∴四边形AMNC是正方形，∴AM=MN=AC=CN，∵BD=AC，则BD= CN，∴BN= CD，∵AE=CD，∴AE= BN=CD，∵AM=MN=AC，∠MAE=∠MNB=∠ACD=90°，∴△MAE≌△MNB≌△ACD，∴EM=MB=AD，∠AME=∠BMN，∵∠NME+∠AME =90°，∴∠NME+∠BMN=90°，即∠BME=90°，∴△MEB是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∵AM∥BD，AM=CN=BD，∴四边形AMBD是平行四边形，∴∠AFE=∠MBE=45°，∴∠AFE的度数为45°．【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．6．（2022·安徽合肥·二模）已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，CD是AB边上的中线，点E为CD上一点，连接BE，作FB⊥BE，且FB=EB，连接FE和FC，FE交BC于点G．(1)如图1，若点E与点D重合，求证：点G是BC的中点；(2)如图2，求证：CF//AB；(3)如图3，若BE平分∠DBC，AB=2，求CG：BC的值．【答案】(1)见解析(2)见解析1-【解析】(1)证明： 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∴ACB△是等腰直角三角形CD是AB边上的中线，∴=⊥，,CD BD CD BDFB⊥BE，FBD∴∠=︒，90∴CD FB∥，FB=EB，∴ 是等腰直角三角形，DBFDB BF∴=,∴=，BF CD∴四边形CDBF是平行四边形，90∠=︒，FBD∴四边形CDBF是矩形，CD BD=，∴四边形CDBF是正方形，FE交BC于点G．∴G是正方形对角线交点，∴点G是BC的中点；(2)证明：如图，过点F 作FH BD ⊥，交DB 延长线于点H ，,CD BD FH DB ⊥⊥，90EDB BHF ∴∠=∠=︒，CD EH ∥，90DEB DBE ∴∠+∠=，EB BF ⊥，90,90EBF EBD FBH ∴∠=︒∠+∠=︒，DEB HBF ∴∠=∠，EB EF = ，EDB BHF ∴ ≌，DB HF ∴=，DC DB =Q ，DC FH ∴=，又CD EH ∥，∴四边形CDHF 是平行四边形，FH DB ⊥，∴四边形CDHF 是矩形，FC DH ∴∥；(3)解：如图，CBD 是等腰直角三角形，45CBD ∴∠=︒，CB =，BE 平分∠DBC ，11222.52DBC ∴∠=∠=∠=︒， CF DB ∥ ，45FCG CBD ∴∠=∠=︒，BEF 是等腰直角三角形，45,BEF EF ∴∠=︒=，FEB FCG ∴∠=∠，又CGF EGB ∠=∠，23∴∠=∠，1322.5∴∠=∠=︒，534522.567.5BCF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，4180367.5ECF ∴∠=︒-∠-∠=︒，45∴∠=∠，CE CG ∴=，13,90EDB ECF ∠=∠∠=∠=︒ ，ECF EDB ∽，EC EF ED EB ∴==EC ED∴=设,EC =则ED a =，(1DC a ∴=，(2CB a ∴==+，1CG BC ∴==. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．7．（2022·江苏南通·一模）如图，矩形ABCD 中，12,9AB BC ==．P 是边BC 上一动点（不与点B 重合），延长CB 到Q ，使1,,2=BQ BP AP DQ 交于点E ，连接BE 并延长交AD 于点F ．(1)若6BP =，求证：ADE PQE ∆∆≌；(2)探究：当点P 运动时，点F 的位置是否发生变化？请说明理由；(3)求C ，E 两点距离的最小值．【答案】(1)见解析(2)点F 的位置不发生变化，理由见解析(3)185(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，12,9AB BC ==，∴9AD BC ==，AD BC ∥，∴DAE QPE ∠=∠，ADE PQE ∠=∠，∵6BP =，∴132BQ BP ==， ∴369PQ BQ BP =+=+=，∴AD PQ =，∴()ADE PQE ASA ∆∆≌．(2)解；点F 的位置不发生变化．理由为：∵12BQ BP =， ∴13BQ PQ =， ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴DAE QPE ∠=∠，ADE PQE ∠=∠，又∵AED PEQ ∠=∠，DEF QEB ∠=∠，∴ADE PQE ∆∆∽，DEF QEB ∆∆∽， ∴DE AD EQ PQ =，DE DF EQ BQ =， ∴DF AD BQ PQ =，即13BQ DF PQ AD ==， ∵9AD BC ==， ∴133DF AD ==， ∴当点P 运动时，点F 的位置是不发生变化．(3)由（2）得，当点P 运动时，点F 的位置是不发生变化，即3DF =，∴点E 在线段BF 上随着点P 的运动，而位置发生改变，连接CE ，当CE BF ⊥时，可知C ，E 两点之间的距离最小，如图所示，∵四边形ABCD 是矩形，∴90DAB ∠=︒，∵9AD =，3DF =，12AB =，∴Rt ABF ∆中，BF === ∵AD BC ∥，∴CBE BFA ∠=∠，∵90DAB ∠=︒，CE BF ⊥，∴90DAB CEB ∠=∠=︒，∴BCE FBA ∆∆∽，∴BC CE BF AB =12CE =，解得CE =∴C ，E 两点距离的最小值是185 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用等，第（3）中能分析出点E 在什么位置时，C ，E 两点距离最小是解题的关键． 8．（2022·四川眉山·二模）如图ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒．(1)如图1连结BE 、CD ，BE 的延长线交AC 于点F ，交CD 于点P ，求证：①ABE ACD △≌△；②BP CD ⊥(2)如图2把ADE 绕点A 顺时针旋转，当点D 落在AB 上时，连结BE 、CD ，CD 的延长线交BE 于点P ，若3BC AD ==，①求证：BDP CDA △∽△；②求PDE △的面积．【答案】(1)①见解析；②见解析(2)①见解析；②2710【解析】(1)①证明∵ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形．∴90,,BAC DAE AD AE AB AC =∠=︒==BAC EAF EAD EAF ∠-∠=∠-∠即BAE CAD ∠=∠在ABE △和ACD △中AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABE ACD SAS ∴V V ≌②∵()ABE ACD SAS △≌△∴ABE ACD ∠=∠∵90ABE AFB ACD CFP ∠+∠=∠+∠=︒∴90CPF ∠=︒∴BP CD ⊥(2)①证明：在ABE △和ACD △中，AE AD EAB DAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABE ACD SAS △≌△∵,ABE ACD BE CD ∠=∠=∵PDB ADC ∠=∠，∴90BPD CAB ∠==︒∴BDP CDA △∽△②∵90,3EPD BC AD ∠=︒==∴6DE AB ==∴633BD =-=，CD ==∵BDP CDA △∽△，∴BD PD PB CD AD AC ==36PD PB ==，∴PD =PB∴PE BE BP =-==∴127210PDE S == 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．9．（2022·吉林长春·一模）阅读理解：辅助线是几何解题中沟通条件与结论的桥梁，在众多类型的辅助线中，辅助圆作为一条曲线型辅助线，显得独特而隐蔽．例如：在图(1)中，AB AC AD ==，求证：2BAC BDC ∠=∠．(请写出证明过程)证明：方法运用：如图(1)已知AB AC AD ==，2BAC BDC ∠=∠，44BAC ∠=︒，则∠CAD 的度数为______．方法拓展：如图(2)在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，E 是AB 边的中点，F 是线段BC 边上的动点，将EBF △沿EF 所在直线折叠得到EB F '△，连结B D '，则B D '的最小值是______．【答案】88°；2．【解析】(1) 证明：以A 点为圆心，AB 为半径画圆，∴AB =AC =AD ，∴B 、C 、D 点都在圆A 上，∴∠DBC =12∠DAC ，∠BDC =12∠BAC ．(2)解：∵AB AC AD ==，∴B ，C ，D 三点在以A 为圆心，AB 为半径的圆上，∴∠CAD =2∠CBD ，2BAC BDC ∠=∠，∵∠CBD =2∠BDC ，∠BAC =44°，∴∠CAD =2∠BAC =88°∠CAD 的度数为88°．(3)如图，当∠BFE =∠B FE '，点B '在DE 上时，此时B D '的值最小，根据折叠的性质△EBF ≌△FB F ',∴EB '⊥B F '，∴EB '=EB ，∵E 是AB 边的中点，AB =4，∴AE =EB '=2，∵AD =6，∴DE = ∴2DB '=-．B D '的最小值是2．【点睛】本题主要考查圆周角定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点B '在何位置时，B D '的值最小，注意得到B ,C ,D 在以A 为圆心，AB 为半径的圆上是解决问题的关键．10．（2022·辽宁·黑山县教师进修学校一模）阅读材料：如图①，ABC 与DEF 都是等腰直角三角形，90ACB EDF ∠=∠=︒，且点D 在AB 边上，AB 、EF 的中点均为O ，连接BF 、CD 、CO ，显然，点C 、F 、O 在同一条直线上，可以证明BOF COD V V ≌，所以BF CD =．解决问题：（1）将图①中的Rt DEF △绕点O 旋转到图②的位置，猜想此时线段BF 与CD 的数量关系，并证明你的结论．（2）如图③，若ABC 与DEF 都是等边三角形，AB 、EF 的中点均为O ，上述（1）中结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出BF 与CD 之间的数量关系．（3）如图④，若ABC 与DEF 都是等腰三角形，AB 、EF 的中点均为O ，且顶角ACB EDF α∠=∠=，请直接写出BF 与CD 之间的数量关系（用含有α的式子表示出来）．【答案】（1）BF CD =；（2）不成立，BF CD =（3）tan 2BF CD α= 【解析】解：（1）猜想：BF CD =．理由如下：如答图②所示，连接OC 、OD ，∵ABC 为等腰直角三角形，点O 为斜边AB 的中点，∴OB OC =，90BOC ∠=°，∵DEF 为等腰直角三角形，点O 为斜边EF 的中点，∴OF OD =，90DOF ∠=︒，∵90BOF BOC COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，90COD DOF COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，∴BOF COD ∠=∠，在BOF 与COD △中，OB OC BOF COD OF OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴BOF COD V V ≌（SAS ）∴BF CD =；（2）不成立．如答图③所示，连接OC 、OD ，∵ABC 为等边三角形，点O 为边AB 的中点，∴tan 30OB OC =︒=90BOC ∠=°， ∵DEF 为等边三角形，点O 为边EF 的中点，∴tan 30OF OD =︒=90DOF ∠=︒，∴OB OF OC OD =， ∵90BOF BOC COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，90COD DOF COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，∴BOF COD ∠=∠，在BOF 与COD △中，∵OB OF OC OD =，BOF COD ∠=∠， ∴BOF COD V V ∽∴BF CD =；∴BF CD =；（3）tan 2BF CD α=．理由如下： 如答图④所示，连接OC 、OD ，∵ABC 为等腰三角形，点O 为底边AB 的中点， ∴tan 2OB OC α=，90BOC ∠=°， ∵DEF 为等腰三角形，点O 为底边EF 的中点， ∴tan 2OF OD α=，90DOF ∠=︒， ∴tan 2OB OF OC OD α==， ∵90BOF BOC COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，90COD DOF COF COF ∠=∠+∠=︒+∠，∴BOF COD ∠=∠，在BOF 与COD △中， ∵tan 2OB OF OC OD α==，BOF COD ∠=∠， ∴BOF COD V V ∽ ∴tan 2BF CD α=．【点睛】本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一的性质、锐角三角函数．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即BOF COD V V ≌或BOF COD V V ∽；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）（3）问的解题思路一脉相承，体现了由特殊到一般的解题思想方法．11．（2022·浙江嘉兴·一模）转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．请解答下面的问题：如图1，在AOB 中，OA OB =，90AOB ∠=︒．【基础巩固】（1）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转60°得到DCB （如图2），连结OC ．求证：OC OB =．【思考探究】（2）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转60°并缩小得到DCB （如图3），使12BC BO =，连结OC ，AD ． ①求证：OBC ABD △△②用等式表示AD 与AB 之间的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）将图1中AOB 绕点B 按顺时针方向旋转某个角度（小于180°）并缩小得到DCB（如图4），使12BC BO =，连结OC ，AC ，AD ．当OC OB =时，求AC AD 的值．【答案】（1）证明见解析 ；（2）① 证明见解析；②AD AB =，理由见解析；（3）． 【解析】（1）证明：由旋转的性质得60OBC ∠=︒，OB CB =，∴OBC 为等边三角形，∴OC OB =．（2）①∵AOB 和DCB 都为等腰直角三角形∴OB BC AB BD ==60OBC ABD ∠=∠=︒ ∴OBC ABD △△∽．②AD AB =，理由如下：作CF OB ⊥于点F ，∵60OBC ABD ∠=∠=︒，∴12BF BC =，CF =， ∵12BC OB =，∴CF OF =， ∴30COF ∠=︒，∴90OCB ∠=︒∵OBC ABD △△∽，∴90OCB ADB ∠==︒， ∴sin 60AD AB ︒=，∴AD AB =．（3）解：延长AC 交BD 于点E ．∵OBC ABD ∠=∠，∴OB BC AB BD == ∴OBC ABD △△∽，∵OB OC =，∴AB AD =．∵BC DC =，AC AC =，∴ABC ADC △△≌，∴135ACD ACB ∠=∠=︒∴45BCE DCE ∠=∠=︒，∴90CEB ∠=︒设2BC a =，4OB a =，则AB =，CE BE ==，AE ==∴AC AD = 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用以及勾股定理的知识，根据题意作出适当的辅助线是解题的关键．12．（2022·山东济南·一模）图1是边长分别为a 和()b a b >的两个等边三角形纸片ABC 和CDE △叠放在一起（C 与C '重合）的图形．(1)操作：固定ABC ，将CDE △绕点C 按顺时针方向旋转20°，连结AD ，BE ，如图2，则ECA ∠=______度，并直接写出线段BE 与AD 的数量关系____．(2)操作：若将图1中的CDE △，绕点C 按顺时针方向旋转120°，使点B 、C 、D 在同一条直线上，连结AD 、BE ，如图3．①线段BE 与AD 之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE 与AD 之间的数量关系；②求APB ∠的度数．(3)若将图1中的CDE △，绕点C 按逆时针方向旋转一个角()0360αα<<︒，当α等于多少度时，BCD △的面积最大？请直接写出答案．【答案】(1)40，BE ＝AD(2)①存在，理由见详解；②60°(3)当α＝150°或330°时，BCD △的面积最大【解析】(1)∵△ABC 和△CDE 是等边三角形，∴BC ＝AC ，CE ＝CD ，∠BCA =60°，∵旋转20°∴∠BCE ＝∠ACD ＝20°，∴△CBE ≌△CAD （SAS ），∴BE ＝AD （全等三角形的对应边相等），∵ECA ∠=∠BCA －∠BCE∴ECA ∠=60°-20°=40°故答案为：40，BE ＝AD(2)如图1，①（1）中结论仍然成立，理由如下：∵△ABC 和△CDE 是等边三角形，BC ＝AC ，CE ＝CD ，∵∠BCE ＝∠ACD ＝120°，∴△CBE ≌△CAD （SAS ），∴BE ＝AD ；②∵△CBE≌△CAD，∴∠CBE＝∠CAD，又∠AOP＝∠BOC，∴∠APB＝∠ACB＝60°；(3)如图2，当D运动到D1或D2，即BC⊥D1D2S△BCD最大12BC CD =⋅12=ab，此时旋转角是60°+90°＝150°，或360°﹣30°＝330°，∴当α＝150°或330°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及旋转等知识，解决问题的关键是找全等的对应边和对应角，题目属于中考常考题型．13．（2022·重庆·一模）在 ABC中，点D在边AB上，AE CD⊥于F交BC于E，AE CD=，2ACD BAE∠=∠．(1)如图1，若 ACE为等边三角形，2CD=，求AB的长；(2)如图2，作EG AB ⊥，求证：AD =；(3)如图3，作EG AB ⊥，当点D 与点G 重合时，连接BF ，请直接写出BF CE 的值．【答案】(2)见解析【解析】(1)∵△ACE 为等边三角形，∴∠CAE ＝∠ACB ＝∠CEA ＝60°，∵AE CD ⊥∴∠CAE +ACD ∠＝90°，∵2ACD BAE ∠=∠，∴∠CAE +2∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝15°，∴∠CBA ＝∠CEA ﹣∠BAE ＝60°﹣15°＝45°，如图，过点A 作AN ⊥BC 于点N ，∴△ABN 为等腰直角三角形，在等边△ACE 中，AN ＝sin 60°•AE 2∴AB ．(2)证明：如图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，设∠EAB ＝α，∵∠CAE +2∠BAE ＝90°，∴∠CAE ＝90°﹣2α，∵AE ⊥CD ，∴∠ACD ＝2α，∴∠CAB ＝90°﹣2α+α＝90°﹣α，∴∠ACM ＝α，∴CM 平分∠ACD ，∴AM ＝DM ＝12AD ，AC ＝CD ＝AE ，在△ACM 和△EAG 中， EGA AMC EAG ACM AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACM ≌△EAG （AAS ），∴EG ＝AM ，∴AD ＝2AM ＝2EG ，∵AC ＝AE ，∠CAE ＝90°﹣2α，∴∠CEA ＝45°+α，又∵∠CEA ＝∠B +∠EAG ，∴∠B ＝45°，∵EG ⊥AB ，∴△EBG 为等腰直角三角形，∴BEAMAD ． ∴AD．(3)如图，BF 与EC之间的数量关系为CE BF =过点F作FH⊥AB于点H，过点C作CM⊥AB于点M，设BD＝a，由（2）可知DE＝a，AD＝2a，AM＝DM＝a，∵DE∥CM，BD＝DM，∴BE＝CE，∵DE＝a，AD＝2a，∠ADE＝90°，∴AE，∵CD⊥AE，DE⊥AB，∴∠EFD＝∠ADE＝90°∴∠EDF＝∠DAE，∴△DEF∽△AED，∴DE AE EF DE=，∴a EF=∴EF a，∴AF，∴14 EFAF=，∴45 AFAE=．∵FH∥DE，∴△AFH∽△AED，∴45 FH AH AFDE AD AE===，∴FH＝48,55a AH=a，∴DH ＝2a ﹣85a ＝25a ， ∴BH ＝a +2755a =a ， ∴BF．∴BF CE == 【点睛】本题是三角形综合题，涉及特殊三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的运用，解题的关键是针对每一小问的条件构造合适的辅助线利用图形的性质和判定去证明．14．（2022·江苏·连云港市新海初级中学一模）将正方形ABCD 绕点A 逆时针旋α 到正方形AEFG ．(1)如图1，当0°＜α＜90°时，EF 与CD 相交与点H ．求证：DH ＝EH ；(2)如图2，当0°＜α＜90°，点F 、D 、B 正好共线时，①求∠AFB 度数；②若正方形ABCD 的边长为1，求CH 的长：(3)连接DE ， EC ，FC ．如图3，正方形AEFG 在旋转过程中，是否存在实数m 使AE 2＝DE 2＋mFC 2－EC 2总成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)②30°；1(3)存在，m =12【解析】(1)如图，连接AH ，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋α 得到正方形AEFG ，,,AE AD D E AH AH ∴=∠=∠=，()Rt Rt HL AHE AHD ∴ ≌，HD HE ∴=，(2)①如图，连接AC ，交BD 于点O ，连接BE ，EC ，正方形ABCD 绕点A 逆时针旋α 到正方形AEFG ，AF AC ∴=，12AO AC =，AO OD ⊥， 12AF AF ∴=， 点F 、D 、B 共线，AO OF ∴⊥，1sin sin 2AO AFB AFO AF ∴∠=∠==，30AFB ∴∠=︒，②如图，过点E 作EK CD ⊥，交DC 于点K ，交AB 于点L ，则四边形ALKD 是矩形，45ADB AFD FAD ∠=︒=∠+∠ ，30AFB ∠=︒，15FAD ∴∠=︒，45FAE ∠=︒ ，30DAE ∴∠=︒，60EAB ∴∠=︒，AE AB =Q ，AEB ∴ 是等边三角形，LE AE ∴==12AL LB DK KC ====，1EK LK LE ∴=-= 由（1）可得EH HD =，设DH a =，则1,2EH a HK a ==-， Rt EKH 中，222EH HK EK =+，即222112a a ⎛⎛⎫=-+ ⎪ ⎝⎭⎝，解得2a =， ∴2DH =，(121CH DC DH =-=-=∴，(3) 存在，12m =，理由如下，如图，连接,,,,AC AF BE FC DE ，过点E 作MN BC ∥，交AB 于点N ，交CD 于M ， 正方形AEFG 是由正方形ABCD 旋转而成，,AF AC AB AE ∴==，BAE CAF ∠=∠BAE CAF ∴ ∽BE AB CF AC ∴==2212BE CF ∴= 90ENB EMC ∴∠=∠=︒∴四边形BCMN 是矩形，四边形ANMD 是矩形BN MC ∴=，AN DM =∴,NBE EMC 是直角三角形∴222BE NE NB =+222BE NE MC ∴=+222222222,,AE AN NE DE EM DM EC EM MC =+=+=+ ，DM AN =222AE EC DE ∴+-()222222AN NE EM MC EM DM =+++-+222222AN NE EM MC EM DM =+++--22NE MC =+22NE NB =+=2BE2212BE FC = 222AE EC DE ∴+-212FC =即222212AE DE FC EC =+- AE 2＝DE 2＋mFC 2－EC 2∴12m = 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，根据特殊角的三角函数值求角度，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．15．（2022·安徽六安·一模）如图1，在正方形ABCD 中，E 为AD 边上一点，CO ⊥BE 交AB 于F ．EF 交CB 延长线于G ．(1)当E 为AD 中点时，求证：BC ＝2BG ；(2)如图2，当BG ＝BC 时，求证：2AE AF AB =⋅；(3)在（2）的条件下，连接OD ，求tan ∠EOD 的值．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠A ＝∠ABC =90°，AB =BC ，∵CF ⊥BE ，∴∠FCB +∠EBC ＝∠EBC +∠ABE =90°，∴∠FCB ＝∠ABE ，又AB ＝BC ，∠A ＝∠FBC ，∴AEB BFC △△≌（ASA ），∴BF ＝AE ，∵E 为AD 中点， ∴12AE AD =， ∴F 为AB 中点，∴AE ＝AF ，∴∠AFE ＝45°，∴∠GFB =∠AFE ＝45°，∴∠G ＝90°-45°＝45°， ∴12BF BG BC ==， 即BC ＝2BG ；(2)证明：∵BG ＝BC ，BF ⊥CG ，∴FG ＝FC ，∴∠G ＝∠FCG ，∵AE CG ∥，∴∠AEF ＝∠G ，∴∠AEF ＝∠FCG ，又∠A ＝∠ABC =90°，∴AEF BCF △△∽， ∴AF AE BF BC=， ∴AE •BF ＝AF •BC ，由（1）可知，AEB BFC △△≌，∴AE ＝BF ，AB ＝BC ，∴2AE AF AB =⋅；(3)解：如图，延长OE 、CD 交于P 点，连接CE ，∵∠PDE ＝∠POC =90°，又∠P ＝∠P ，∴PDE POC △△∽， ∴PD PE PO PC=， 又∠P ＝∠P ，∴POD PCE △△∽，∴∠EOD ＝∠ECD ，设AE ＝x ，AB ＝1，则AF ＝1-x ，由（2）可得2AE AF AB =⋅，∴()211x x =-⨯，解得1x =2x =，∴1DE AF ===，∴tan DE ECD DC ∠==即tan EOD ∠=． 【点睛】本题考查正方形的几何综合，涉及的知识点有全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正切值的求解等知识点，综合性较强，属于压轴类题目． 16．（2022·辽宁沈阳·一模）如图1，在ABC 中，AB AC =，AO BC ⊥于点O ，5AB =，6BC =，在ABC 的外部以AB 为边作等边ABD △，点E 是线段AO 所在直线上一动点（点E 不与点A 重合），将线段BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到线段BF ，连接EF ．(1)求AO 的长；(2)如图2，当点E 在线段AO 上，且点F ，E ，C 三点在同一条直线上时，求BF 的长；(3)连接DF ，若BDF 的面积为3，请直接写出BF 的长．【答案】(1)4(2)或(1)AB AC = ，AO BC ⊥，6BC =13,902OB BC AOB ∴==∠=︒ 5AB =4OA ∴==(2)将线段BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到线段BF ,60BE BF EF EBF ∴==∠=︒BEF ∴∆是等边三角形BE EF ∴=，60F BEF ∠=∠=︒,OA BC OB OC ⊥=OA ∴是线段BC 的垂直平分线BE CE ∴=BE CE EF ∴==30ECB EBC ∴∠=∠=︒90CBF ∴∠=︒6BC =tan 6tan 306BF BC BCF ∴=⋅∠=⨯︒==(3)①当点E 在线段AO 上时，将线段BE 绕点B 顺时针方向旋转60°得到线段BF ,60BE BF EF EBF ∴==∠=︒BEF ∴∆是等边三角形,60BE BF EBF ∴=∠=︒ABD △为等边三角形,60BA BD ABD ∴=∠=︒ABE DBF ∴∠=∠()ABE DBF SAS ∴∆≅∆ABE BDF S S ∆∆∴=BDF 的面积为3132ABE S OB AE ∆∴==⋅⋅ 3OB =2AE ∴=422OE OA AE ∴=-=-=在Rt OBE ∆中，由勾股定理得BE ==BF ∴=②当点E 在线段OA 延长线上时，同①可得2AE =426OE OA AE ∴=+=+=在Rt OBE ∆中，由勾股定理得BE ===BF ∴=③当点E 在线段AO 延长线上时，同①可得2AE =，不合题意，舍去综上，BF ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、解直角三角形等，熟练掌握并能够灵活运用知识点是解题的关键．17．（2022·安徽芜湖·二模）如图．P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，E 是BC 边上一点，EAP ABD AE ∠=∠，交BD 于点F ．(1)求证： ∽ABP FBE ；(2)过点P 作PH AE ⊥于点H ，若34=AP AD ，求AH BD的值．【答案】(1)证明见解析(2)38(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形∴ABD CBD ∠=∠∵EAP ABD ∠=∠∴EAP CBD ∠=∠∵AFP BFE ∠=∠，180EBF BFE BEF ∠+∠+∠=︒，180FAP AFP APF ∠+∠+∠=︒ ∴BEF APF ∠=∠∵PBA EBF ∠=∠，BPA BEF ∠=∠∴ ∽ABP FBE ．(2)解：如图，作AM BD ⊥∵四边形ABCD 是菱形∴AB AD =，12BM DM BD ==，90BMA ∠=︒ ∵PH AE ⊥∴90AHP BMA ∠=︒=∠∵HAP MBA ∠=∠∴APH BAM ∽ ∴AP AH AB BM = ∴34AP AH AP AB BM AD === ∴1332248AH AH BD BM ==⨯= ∴AH BD 的值为38． 【点睛】 本题考查了菱形的性质，对顶角相等，三角形内角和定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于熟练掌握菱形的性质，相似三角形的判定与性质．18．（2022·广东广州·一模）如图，矩形ABCD中AB=10，AD=6，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为G，延长EG交直线DC于点F，再把△BEH沿EH翻折，使点B的对应点T落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．(1)求证：△GDE∽△TEH；(2)若点G落在矩形ABCD的对称轴上，求AE的长；(3)是否存在点T落在DC边上？若存在，求出此时AE的长度，若不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)AE的长为；(3)不存在这样的点T落在DC边上．理由见解析【解析】(1)证明：由折叠的性质可知：∠DAE=∠DGE=90°，∠EBH=∠ETH=90°，∠AED=∠GED，∠BEH=∠TEH，∴∠DEG+∠HET=90°．又∵∠HET+∠EHT=90°，∴∠DEG=∠EHT，∴△GDE∽△TEH；(2)解：当点G落在如图的矩形ABCD的对称轴MN上时，∵直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴点G是EF的中点，即GE=GF，在△GDE和△GDF中90DG DG DGE DGF GE GF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△GDE ≌△GDF （SAS ），∴DE =DF ，∠FDG =∠EDG ，又∵△ADE ≌△GDE ，∠ADF =90°．∴∠ADE =∠EDG =∠FDG =30°，∴AE =AD当点G 落在如图的矩形ABCD 的对称轴PQ 上时，P 、Q 分别是AB 、CD 的中点，∴DQ =AP =5，DG =AD =PQ =6，∴QG=，∴PG，设AE =a ，则GE =a ，PE =5-a ，∴GE 2=PE 2+PG 2，即a 2=(5-a )2)2，解得：aAE； 综上，AE 的长为(3)解：假设存在点T 落在DC 边上，此时点T 与点F 重合，过点T 作TI ⊥AB 于点I ，如图：设AE =x ，则GE =x ，BE =TE =10-x ，TI =AD =DG =6，∴GT =10-2x ，∴DT 2= DG 2+TG 2，即DT∵∠IET =∠GTD ，∴sin ∠IET =TI DG ET DT=，即610x =-，10x =-，整理得3x 2-20x +36=0，∵()224204336b ac =-=--⨯⨯= -32<0，∴不存在这样的点T 落在DC 边上．【点睛】本题考查翻折变换、相似三角形证明、全等三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形，矩形的性质等知识，解（2）题的关键是要注意分类讨论．19．（2022·上海市进才中学一模）已知：AB =5，tan ∠ABM =34，点 C 、D 、E 为动点，其中点 C 、D 在射线 BM 上（点 C 在点 D 的左侧），点 E 和点 D 分别在射线 BA 的两侧，且 AC =AD ，AB =AE ，∠CAD =∠BAE ．(1)当点 C 与点 B 重合时（如图 1），联结 ED ，求 ED 的长；(2)当 EA BM 时（如图 2），求四边形 AEBD 的面积；(3)联结 CE ，当△ACE 是等腰三角形时，求点 B 、C 间的距离．【答案】(1)485(2)15(3)3 【解析】 (1) （1)如图1中，图一延长BA 交DE 于F ，作AH ⊥BD 于H ．在Rt ΔABH 中，∵∠AHB =90°，∴sin ∠ABH =35AHAB =∴AH =3， BH=4，∵AB = AD ， AH ⊥BD ，在ΔABE 和ΔABD 中，AE ADBAE BADAB AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ΔABD ≌ΔABE ，∴BE =BD ，∵∠ABE =∠ABD ，∴BF ⊥DE ， EF =DF ，∵∠ABH = ∠DBF ，∠AHB =<BFD ，∴ΔABH ≌ΔDBF ， ∴AH ABDF BD =,∴DF =245，∴DE =2DF =485．(2)如图2中，图二作AH ⊥BD 于H ，∵AC =AD ， AB =AE ，∠CAD = ∠BAE ，∴∠AEB =∠ABE =∠ACD =∠ADC ，∵AE //BD ，∴∠AEB +∠EBD =180°，∴∠EBD +∠ADC =180°，∴EB ∥AD ，∵AE ∥BD ，∴四边形ADBE 是平行四边形，∴BD =AE =AB =5，AH =3，∴ADBE S 平行四边形=BD ·AH =15．(3)由题意AC ≠AE ，EC ≠AC ，只有EA =EC ，图三∵∠ACD =∠AEB (已证），∴A 、C 、B 、E 四点共圆，∵AE =EC =AB ，∴ EC AB =，∴ EB AC =，∴∠AEC =∠ABC ，。

专题35几何综合压轴题（40题）一、解答题1．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知ABC 是等腰三角形，AB AC =，12MAN BAC ∠=∠，MAN ∠在BAC ∠的内部，点M 、N 在BC 上，点M 在点N 的左侧，探究线段BM NC MN 、、之间的数量关系．（1）如图①，当90BAC ∠=︒时，探究如下：由90BAC ∠=︒，AB AC =可知，将ACN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABP ，则CN BP =且90PBM ∠=︒，连接PM ，易证AMP AMN △≌△，可得MP MN =，在Rt PBM △中，222BM BP MP +=，则有222BM NC MN +=．（2）当60BAC ∠=︒时，如图②：当120BAC ∠=︒时，如图③，分别写出线段BM NC MN 、、之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．2．（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sin sin αβ叫做介质的“绝对折射率”，简称“折射率”．它表示光在介质中传播时，介质对光作用的一种特征．(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且7cos 4α=30β=︒，求该介质的折射率；(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A ，B ，C ，D 分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形2121A D D A 对角线交点O 处射入，其折射光线恰好从点C 处射出．如图②，已知60α=︒，10cm CD =，求截面ABCD 的面积．3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，点F 在边AD 上，AB AF =，连接BF ，点O 为BF 的中点，AO 的延长线交边BC 于点E ，连接EE(1)求证：四边形ABEF 是菱形：(2)若平行四边形ABCD 的周长为22,1,120CE BAD =∠=︒，求AE 的长．4．（2024·四川甘孜·中考真题）如图，AB 为⊙O 的弦，C 为 AB 的中点，过点C 作CD AB ∥，交OB 的延长线于点D ．连接OA OC ，．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若32OA BD ==，，求OCD 的面积．5．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上不与端点重合的一动点，点F 是对角线BD 上一点，连接BE ，AF 交于点O ，且ABE DAF ∠=∠．【模型建立】（1）求证：AF BE ⊥；【模型应用】（2）若2AB =，3AD =，12DF BF =，求DE 的长；【模型迁移】（3）如图2，若矩形ABCD 是正方形，12DF BF =，求AF AD 的值．6．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图1，O 是正方形ABCD 对角线上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的O 与AD 相切于点E ，与AC 相交于点F ．(1)求证：AB 与O 相切．(2)若正方形ABCD 21，求O 的半径．(3)如图2，在（2）的条件下，若点M 是半径OC 上的一个动点，过点M 作MN OC ⊥交 CE于点N ．当:1:4CM FM =时，求CN 的长．7．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在ABC 中，AB AC =，点D 是AC 上的一个动点，过点D 作DE BC ⊥于点E ，延长ED 交BA 延长线于点F ．请你解决下面各组提出的问题：(1)求证：AD AF =；(2)探究DF DE 与AD DC 的关系；某小组探究发现，当13AD DC =时，23DF DE =；当45AD DC =时，85DF DE =．请你继续探究：①当76AD DC =时，直接写出DF DE 的值；②当AD m DC n =时，猜想DF DE的值（用含m ，n 的式子表示），并证明；(3)拓展应用：在图1中，过点F 作FP AC ⊥，垂足为点P ，连接CF ，得到图2，当点D 运动到使ACF ACB ∠=∠时，若AD m DC n =，直接写出AP AD的值（用含m ，n 的式子表示）．8．（2024·广东·中考真题）【问题背景】如图1，在平面直角坐标系中，点B ，D 是直线()0y ax a =>上第一象限内的两个动点()OD OB >，以线段BD 为对角线作矩形ABCD ，AD x ∥轴．反比例函数k y x=的图象经过点A ．【构建联系】（1）求证：函数k y x=的图象必经过点C ．（2）如图2，把矩形ABCD 沿BD 折叠，点C 的对应点为E ．当点E 落在y 轴上，且点B 的坐标为()1,2时，求k 的值．【深入探究】（3）如图3，把矩形ABCD 沿BD 折叠，点C 的对应点为E ．当点E ，A 重合时，连接AC 交BD 于点P ．以点O 为圆心，AC 长为半径作O ．若OP =O 与ABC 的边有交点时，求k 的取值范围．9．（2024·四川遂宁·中考真题）如图，AB 是O 的直径，AC 是一条弦，点D 是 AC 的中点，DN AB ⊥于点E ，交AC 于点F ，连结DB 交AC 于点G ．(1)求证：AF DF =；(2)延长GD 至点M ，使DM DG =，连接AM ．①求证：AM 是O 的切线；②若6DG =，5DF =，求O 的半径．10．（2024·四川德阳·中考真题）已知O 的半径为5，B C 、是O 上两定点，点A 是O 上一动点，且60,BAC BAC ∠=︒∠的平分线交O 于点D ．(1)证明：点D 为 BC上一定点；(2)过点D 作BC 的平行线交AB 的延长线于点F ．①判断DF 与O 的位置关系，并说明理由；②若ABC 为锐角三角形，求DF 的取值范围．11．（2024·四川泸州·中考真题）如图，ABC 是O 的内接三角形，AB 是O 的直径，过点B 作O 的切线与AC 的延长线交于点D ，点E 在O 上，AC CE =，CE 交AB 于点F ．(1)求证：CAE D ∠=∠；(2)过点C 作CG AB ⊥于点G ，若3OA =，32BD =FG 的长．12．（2024·四川南充·中考真题）如图，正方形ABCD 边长为6cm ，点E 为对角线AC 上一点，2CE AE =，点P 在AB 边上以1cm /s 的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在BC 边上以2cm /s 的速度由点C 向点B 运动，设运动时间为t 秒（03t <≤）．(1)求证：AEP CEQ ∽．(2)当EPQ △是直角三角形时，求t 的值．(3)连接AQ ，当1tan 3AQE ∠=时，求AEQ △的面积．13．（2024·安徽·中考真题）如图1，ABCD Y 的对角线AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，且AM CN =．点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点．(1)求证：OE OF =；(2)连接BM 交AC 于点H ，连接HE ，HF ．（ⅰ）如图2，若HE AB ∥，求证：HF AD ∥；（ⅱ）如图3，若ABCD Y 为菱形，且2MD AM =，60EHF ∠=︒，求AC BD的值．14．（2024·江苏扬州·中考真题）在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论．如图，已知ABC ，CA CB =，O 是ABC 的外接圆，点D 在 O 上（AD BD >），连接AD 、BD 、CD ．【特殊化感知】（1）如图1，若60ACB ∠=︒，点D 在AO 延长线上，则AD BD -与CD 的数量关系为________；【一般化探究】（2）如图2，若60ACB ∠=︒，点C 、D 在AB 同侧，判断AD BD -与CD 的数量关系并说明理由；【拓展性延伸】（3）若ACB α∠=，直接写出AD 、BD 、CD 满足的数量关系．（用含α的式子表示）15．（2024·山东·中考真题）一副三角板分别记作ABC 和DEF ，其中90ABC DEF ∠=∠=︒，45BAC ∠=︒，30EDF ∠=︒，AC DE =．作BM AC ⊥于点M ，EN DF ⊥于点N ，如图1．(1)求证：BM EN =；(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C 与点E 重合记为C ，点A 与点D 重合，将图2中的DCF 绕C 按顺时针方向旋转α后，延长BM 交直线DF 于点P ．①当30α=︒时，如图3，求证：四边形CNPM 为正方形；②当3060α︒<<︒时，写出线段MP ，DP ，CD 的数量关系，并证明；当60120α︒<<︒时，直接写出线段MP ，DP ，CD 的数量关系．16．（2024·江西·中考真题）综合与实践如图，在Rt ABC △中，点D 是斜边AB 上的动点（点D 与点A 不重合），连接CD ，以CD 为直角边在CD 的右侧构造Rt CDE △，90DCE ∠=︒，连接BE ，CE CB m CD CA ==．特例感知（1）如图1，当1m =时，BE 与AD 之间的位置关系是______，数量关系是______；类比迁移（2）如图2，当1m ≠时，猜想BE 与AD 之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．拓展应用（3）在（1）的条件下，点F 与点C 关于DE 对称，连接DF ，EF ，BF ，如图3．已知6AC =，设AD x =，四边形CDFE 的面积为y ．①求y 与x 的函数表达式，并求出y 的最小值；②当2BF =时，请直接写出AD 的长度．17．（2024·湖南·中考真题）【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠=︒；【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ．①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及AB BC 的值．18．（2024·河南·中考真题）综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有30︒和45︒角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD 是邻等对补四边形，AB AD =，AC 是它的一条对角线．①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC m =，DC n =，2BCD θ∠=，求AC 的长（用含m ，n ，θ的式子表示）．(3)拓展应用如图3，在Rt ABC △中，90B Ð=°，3AB =，4BC =，分别在边BC ，AC 上取点M ，N ，使四边形ABMN 是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN 的长．19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在ABC 中，90A ∠=︒，将线段BC 绕点B 顺时针旋转90︒得到线段BD ，作DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ．(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB 与DE 的数量关系是______；(2)【问题解决】如图3，连接CD 并延长交AB 的延长线于点F ，若2AB =，6AC =，求BDF 的面积；(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE 交BD 于点N ，则BN BC=______；(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB 上找点P ，使2tan 3BCP ∠=，请直接写出线段AP 的长度．20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，过A ，C 两点的抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴的另一个交点为点(10)B -，，点P 是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P 分别作x 轴和y 轴的平行线，分别交直线AC 于点E ，点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 是x 轴上的任意一点，若ACD 是以AC 为腰的等腰三角形，请直接写出点D 的坐标；(3)当EF AC =时，求点P 的坐标；(4)在（3）的条件下，若点N 是y 轴上的一个动点，过点N 作抛物线对称轴的垂线，垂足为M ，连接NA MP ，，则NA MP +的最小值为______．21．（2024·四川广元·中考真题）数学实验，能增加学习数学的乐趣，还能经历知识“再创造”的过程，更是培养动手能力，创新能力的一种手段．小强在学习《相似》一章中对“直角三角形斜边上作高”这一基本图形（如图1）产生了如下问题，请同学们帮他解决．在ABC 中，点D 为边AB 上一点，连接CD ．(1)初步探究如图2，若ACD B ∠=∠，求证：2AC AD AB =⋅；(2)尝试应用如图3，在（1）的条件下，若点D 为AB 中点，4BC =，求CD 的长；(3)创新提升如图4，点E 为CD 中点，连接BE ，若30CDB CBD ∠=∠=︒，ACD EBD ∠=∠，27AC =BE 的长．22．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在ABCD Y 中，ABC ∠为锐角，点E 在边AD 上，连接,BE CE ，且ABE DCE S S = ．(1)如图1，若F 是边BC 的中点，连接EF ，对角线AC 分别与,BE EF 相交于点,G H ．①求证：H 是AC 的中点；②求::AG GH HC ；(2)如图2，BE 的延长线与CD 的延长线相交于点M ，连接,AM CE 的延长线与AM 相交于点N ．试探究线段AM 与线段AN 之间的数量关系，并证明你的结论．23．（2024·吉林·中考真题）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，3cm AC =，AD 是ABC 的角平分线．动点P 从点A /s 的速度沿折线AD DB -向终点B 运动．过点P 作PQ AB ∥，交AC 于点Q ，以PQ 为边作等边三角形PQE ，且点C ，E 在PQ 同侧，设点P 的运动时间为()()s 0t t >，PQE V 与ABC 重合部分图形的面积为()2cm S ．(1)当点P 在线段AD 上运动时，判断APQ △的形状（不必证明），并直接写出AQ 的长（用含t 的代数式表示）．(2)当点E 与点C 重合时，求t 的值．(3)求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．24．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =．点D 是边BC 上的一点（点D 不与点B 、C 重合），作射线AD ，在射线AD 上取点P ，使AP BD =，以AP 为边作正方形APMN ，使点M和点C 在直线AD 同侧．(1)当点D 是边BC 的中点时，求AD 的长；(2)当4BD =时，点D 到直线AC 的距离为________；(3)连结PN ，当PN AC ⊥时，求正方形APMN 的边长；(4)若点N 到直线AC 的距离是点M 到直线AC 距离的3倍，则CD 的长为________．（写出一个即可）25．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形ABCD 中，,E F 分别在,AD BC 上，将四边形ABFE 沿EF 翻折，使A 的对称点P 落在CD 上，B 的对称点为G PG ，交BC 于H ．(1)求证：EDP PCH △∽△．(2)若P 为CD 中点，且2,3AB BC ==，求GH 长．(3)连接BG ，若P 为CD 中点，H 为BC 中点，探究BG 与AB 大小关系并说明理由．26．（2024·内蒙古通辽·中考真题）数学活动课上，某小组将一个含45︒的三角尺AEF 利一个正方形纸板ABCD 如图1摆放，若1AE =，2AB =．将三角尺AEF 绕点A 逆时针方向旋转()090αα︒≤≤︒角，观察图形的变化，完成探究活动．【初步探究】如图2，连接BE ，DF 并延长，延长线相交于点,G BG 交AD 于点M ．问题1BE 和DF 的数量关系是________，位置关系是_________．【深入探究】应用问题1的结论解决下面的问题．问题2如图3，连接BD ，点O 是BD 的中点，连接OA ，OG ．求证==OA OD OG ．【尝试应用】问题3如图4，请直接写出当旋转角α从0︒变化到60︒时，点G 经过路线的长度．27．（2024·甘肃·中考真题）【模型建立】（1）如图1，已知ABE 和BCD △，AB BC ⊥，AB BC =，CD BD ⊥，AE BD ⊥．用等式写出线段AE ，DE ，CD 的数量关系，并说明理由．【模型应用】（2）如图2，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在对角线BD 和边CD 上，AE EF ⊥，AE EF =．用等式写出线段BE ，AD ，DF 的数量关系，并说明理由．【模型迁移】（3）如图3，在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，点F 在边CD 的延长线上，AE EF ⊥，AE EF =．用等式写出线段BE ，AD ，DF 的数量关系，并说明理由．28．（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切），可分为四种类型，我们不妨约定：既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．请你根据该约定，解答下列问题：(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形；（）②内角不等于90︒的菱形一定是“内切型单圆”四边形；（）③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，则有2=R r ．（）(2)如图1，已知四边形ABCD 内接于O ，四条边长满足：AB CD BC AD +≠+．①该四边形ABCD 是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；②若BAD ∠的平分线AE 交O 于点E ，BCD ∠的平分线CF 交O 于点F ，连接EF ．求证：EF 是O 的直径．(3)已知四边形ABCD 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆O 与AB BC CD AD ，，，分别相切于点E ，F ，G ，H ．①如图2．连接EG FH ，交于点P ．求证：EG FH ⊥．②如图3，连接OA OB OC OD ，，，，若2OA =，6OB =，3OC =，求内切圆O 的半径r 及OD 的长．29．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边OB 在x 轴上，点A 在第一象限，OA 的长度是一元二次方程2560x x --=的根，动点P 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA AB -运动，动点Q 从点O 出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB BA -运动，P 、Q 两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t 秒（0 3.6t <<），OPQ △的面积为S ．(1)求点A 的坐标；(2)求S 与t 的函数关系式；(3)在（2）的条件下，当63S =M 在y 轴上，坐标平面内是否存在点N ，使得以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．30．（2024·重庆·中考真题）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过点B 作BD AC ∥．(1)如图1，若点D 在点B 的左侧，连接CD ，过点A 作AE CD ⊥交BC 于点E ．若点E 是BC 的中点，求证：2AC BD =；(2)如图2，若点D 在点B 的右侧，连接AD ，点F 是AD 的中点，连接BF 并延长交AC 于点G ，连接CF ．过点F 作FM BG ⊥交AB 于点M ，CN 平分ACB ∠交BG 于点N ，求证：22AM CN =+；(3)若点D 在点B 的右侧，连接AD ，点F 是AD 的中点，且AF AC =．点P 是直线AC 上一动点，连接FP ，将FP 绕点F 逆时针旋转60︒得到FQ ，连接BQ ，点R 是直线AD 上一动点，连接BR ，QR ．在点P 的运动过程中，当BQ 取得最小值时，在平面内将BQR 沿直线QR 翻折得到TQR △，连接FT ．在点R 的运动过程中，直接写出FT CP的最大值．31．（2024·重庆·中考真题）在ABC 中，AB AC =，点D 是BC 边上一点（点D 不与端点重合）．点D 关于直线AB 的对称点为点E ，连接,AD DE ．在直线AD 上取一点F ，使EFD BAC ∠∠=，直线EF 与直线AC 交于点G ．(1)如图1，若60,,BAC BD CD BAD α∠=︒<∠=，求AGE ∠的度数（用含α的代数式表示）；(2)如图1，若60,BAC BD CD ∠=︒<，用等式表示线段CG 与DE 之间的数量关系，并证明；(3)如图2，若90BAC ∠=︒，点D 从点B 移动到点C 的过程中，连接AE ，当AEG △为等腰三角形时，请直接写出此时CG AG的值．32．（2024·江苏连云港·中考真题）【问题情境】（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；【操作实践】（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a 、b 、c 、d 之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P 为端点的四条线段之间的数量关系；【探究应用】（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将PDC △绕点P 逆时针旋转，他发现旋转过程中DAP ∠存在最大值．若8PE =，5PF =，当DAP ∠最大时，求AD 的长；（4）如图6，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在边AC 和BC 上，连接DE 、AE 、BD ．若5AC CD +=，8BC CE +=，求AE BD +的最小值．33．（2024·上海·中考真题）在梯形ABCD 中，AD BC ∥，点E 在边AB 上，且13AE AB =．(1)如图1所示，点F 在边CD 上，且13DF CD =，联结EF ，求证：EF BC ∥；(2)已知1AD AE ==；①如图2所示，联结DE ，如果ADE V 外接圆的心恰好落在B ∠的平分线上，求ADE V 的外接圆的半径长；②如图3所示，如果点M 在边BC 上，联结EM 、DM 、EC ，DM 与EC 交于N ，如果4BC =，且2CD DM DN =⋅，DMC CEM ∠=∠，求边CD 的长．34．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC 和ADE 中，3AB AD ==，4BC DE ==，90ABC ADE ∠=∠=︒．【初步感知】（1）如图1，连接BD ，CE ，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，试探究BD CE的值．【深入探究】（2）如图2，在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，当点D 恰好落在ABC 的中线BM 的延长线上时，延长ED 交AC 于点F ，求CF 的长．【拓展延伸】（3）在纸片ADE 绕点A 旋转过程中，试探究C ，D ，E 三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE 的面积；若不能，请说明理由．35．（2024·河北·中考真题）已知O 的半径为3，弦5MN =ABC 中，90,3,32ABC AB BC ∠=︒==在平面上，先将ABC 和O 按图1位置摆放（点B 与点N 重合，点A 在O 上，点C 在O 内），随后移动ABC ，使点B 在弦MN 上移动，点A 始终在O 上随之移动，设BN x =．(1)当点B 与点N 重合时，求劣弧 AN 的长；(2)当OA MN ∥时，如图2，求点B 到OA 的距离，并求此时x 的值；(3)设点O 到BC 的距离为d ．①当点A 在劣弧 MN上，且过点A 的切线与AC 垂直时，求d 的值；②直接写出d 的最小值．36．（2024·四川乐山·中考真题）在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学生解决了以下问题：【问题情境】如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 在边BC 上，且45DAE =︒∠，3BD =，4CE =，求DE 的长．解：如图2，将ABD △绕点A 逆时针旋转90︒得到ACD '△，连接ED '．由旋转的特征得BAD CAD '∠=∠，B ACD ∠=∠'，AD AD ='，BD CD '=．∵90BAC ∠=︒，45DAE =︒∠，∴45BAD EAC ∠+∠=︒．∵BAD CAD '∠=∠，∴45CAD EAC '∠+∠=︒，即45EAD '∠=︒．∴DAE D AE '∠=∠．在DAE 和D AE ' 中，AD AD ='，DAE D AE '∠=∠，AE AE =，∴___①___．∴DE D E '=．又∵90ECD ECA ACD ECA B ''︒，∴在Rt ECD '△中，___②___．∵3CD BD '==，4CE =，∴DE D E '==___③___．【问题解决】上述问题情境中，“①”处应填：______；“②”处应填：______；“③”处应填：______．刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．【知识迁移】如图3，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，满足CEF △的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，连结AE AF 、，分别与对角线BD 交于M 、N 两点．探究BM MN DN 、、的数量关系并证明．【拓展应用】如图4，在矩形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC CD 、上，且45EAF CEF ∠=∠=︒．探究BE EF DF 、、的数量关系：______（直接写出结论，不必证明）．【问题再探】如图5，在ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 、E 在边AC 上，且45DBE ∠=︒．设AD x =，CE y =，求y 与x 的函数关系式．2137．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于O 的弦AB 和不在直线AB 上的点C ，给出如下定义：若点C 关于直线AB 的对称点C '在O 上或其内部，且ACB α∠=，则称点C 是弦AB 的“α可及点”．(1)如图，点()0,1A ，()1,0B ．①在点()12,0C ，()21,2C ，31,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭中，点___________是弦AB 的“α可及点”，其中α=____________︒；②若点D 是弦AB 的“90︒可及点”，则点D 的横坐标的最大值为__________；(2)已知P 是直线33y =上一点，且存在O 的弦MN ，使得点P 是弦MN 的“60︒可及点”．记点P 的横坐标为t ，直接写出t 的取值范围．38．（2024·广东·中考真题）【知识技能】（1）如图1，在ABC 中，DE 是ABC 的中位线．连接CD ，将ADC △绕点D 按逆时针方向旋转，得到A DC '' ．当点E 的对应点E '与点A 重合时，求证：AB BC =．【数学理解】（2）如图2，在ABC 中()AB BC <，DE 是ABC 的中位线．连接CD ，将ADC △绕点D 按逆时针方向旋转，得到A DC '' ，连接A B '，C C '，作A BD ' 的中线DF ．求证：2DF CD BD CC ⋅='⋅．【拓展探索】（3）如图3，在ABC 中，4tan 3B =，点D 在AB 上，325AD =．过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，3BE =，323CE =．在四边形ADEC 内是否存在点G ，使得180AGD CGE ∠+∠=︒？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．2239．（2024·广东广州·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，120C ∠=︒．点E 在射线BC 上运动（不与点B ，点C 重合），AEB △关于AE 的轴对称图形为AEF △．(1)当30BAF ∠=︒时，试判断线段AF 和线段AD 的数量和位置关系，并说明理由；(2)若663AB =+O 为AEF △的外接圆，设O 的半径为r ．①求r 的取值范围；②连接FD ，直线FD 能否与O 相切？如果能，求BE 的长度；如果不能，请说明理由．40．（2024·云南·中考真题）如图，AB 是O 的直径，点D 、F 是O 上异于A 、B 的点．点C 在O 外，CA CD =，延长BF 与CA 的延长线交于点M ，点N 在BA 的延长线上，AMN ABM ∠∠=，AM BM AB MN ⋅=⋅．点H 在直径AB 上，90AHD ∠= ，点E 是线段DH的中点．(1)求AFB ∠的度数；(2)求证：直线CM 与O 相切：(3)看一看，想一想，证一证：以下与线段CE 、线段EB 、线段CB 有关的三个结论：CE EB CB +<，CE EB CB +=，CE EB CB +>，你认为哪个正确？请说明理由．。

（1）2701, 直线AB; y=x-b分别与x轴y轴交于A(6,0), B两点, 过点B的直线交x 轴负半轴于C,（2）OB；OC=3: 1。

（3）求直线BC的解析式。

直线EF: y=kx—k（k≠0）.交AB于E, 交BC 于F, 交x轴于D, 是否存在这样的直线EF使得S△EBD=S△FBD?若存在求出k的值, 若不存在, 说明理由。

如图2,P为A点右侧x轴上的一动点, 以P为直角顶点 BP为腰, 在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ, 连接QA并延长交y 轴于点K 当P点运动时, K点的位置是否发生变化？如果不变求出它的坐标, 如果变化, 说明理由。

X（1）2702, 如图, 在平面直角坐标系中, 一次函数y=x+7与X轴, Y轴分别交与点A,C.点B为x轴正半轴上一点, 且△ＡＢＣ的面积为70。

（2）求直线BC的解析式。

动点P从A 出发沿线段AB向点B以每秒2个单位的速度运动, 同时点Q从点C出发沿射线CO以每秒1个单位的速度匀速运动, 当点P停止运动时点Q也停止运动。

连接PO,PC,设△ＡＢＣ的面积为S, 点P,Q的运动时间为t(秒), 求S与t的函数关系式, 并直接写出自变量的取值范围。

在（2）的条件下, 在直线BC上是否存在点D, 连接DP,DO.使得△DPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形, 若存在求出t值, 若不存在, 说明理由。

2703.在平面直角坐标系中, 直线y=x-4与X轴, Y轴分别交于A, D两点, AB⊥AD, 交y轴于点B 。

（1）求直线AB 的解析式。

（2）点P 为X 轴上一动点, PC ⊥PB, 交直线AD 于点C, 设 △PAC 的面积为S, 点P 的横坐标为t, 求S 与t 的函数关系式, 并写出自变量t 的取值范围。

（3）在（2）的条件下, 当S=2.5时, 求t 的值。

2704, 在平面直角坐标系中, 正比例函数y=x 的图像上有一点P （点P 在第一象限）, 点A 为Ｙ轴上的一动点, ＰＢ⊥ＰＡ, 交Ｘ轴正半轴与点Ｂ, ＰＨ⊥Ｘ轴。