中考数学几何压轴题
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1.(1)操作发现·
如图,矩形ABCD 中,E 是AD 的中点,将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ,且点G 在矩形ABCD 内部.小明将BG 延长交DC 于点F ,认为GF =DF ,你同意吗?说明理由. (2)问题解决 保持(1)中的条件不变,若DC =2DF ,求AB
AD
的值; (3)类比探究
保持(1)中的条件不变,若DC =n ·DF ,求
AB
AD
的值.
2.如图1所示,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB ⊥BC ,∠DCB =75º,以CD
为一边的
等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上. (1)求∠AED 的度数; (2)求证:AB =BC ;
(3)如图2所示,若F 为线段CD 上一点,∠FBC =30º.
求
DF
FC
的值.
3.如图①,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AE ⊥BC 于点E ,DF ⊥BC 于点F .AD =2cm ,BC =6cm ,AE =4cm .点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上,顺次连接B 、P 、Q 、C ,线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M .若点P 在线段AE 上运动时,点Q 也随之在线段DF 上运动,使图形M 的形状发生改变,但面积始终..
为10cm 2.设EP =x cm ,FQ =y cm ,A
B C D
E 图1 A
B C D
E 图2
F
解答下列问题:
(1)直接写出当x =3时y 的值;
(2)求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)当x 取何值时,图形M 成为等腰梯形?图形M 成为三角形? (4)直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积.
4.如图①,将一张矩形纸片对折,然后沿虚线剪切,得到两个(不等边)三角形纸片△ABC ,△A 1B 1C 1.
A B C D E F
(备用图)
A B C D E F
Q
P
图①
图 ①
A B C A 1
B 1
C 1
(1)将△ABC ,△A 1B 1C 1如图②摆放,使点A 1与B 重合,点B 1在AC 边的延长线上,连接CC 1交BB 1于点E .求证:∠B 1C 1C =∠B 1BC .
(2)若将△ABC ,△A 1B 1C 1如图③摆放,使点B 1与B 重合,点A 1在AC 边的延长线上,连接CC 1交A 1B 于点F .试判断∠A 1C 1C 与∠A 1BC 是否相等,并说明理由.
5.将一副三角尺如图拼接:含30°角的三角尺(△ABC )的长直角边与含45°角的三角尺(△ACD )的斜边恰好重合.已知AB =32,P 是AC 上的一个动点.
(1)当点P 运动到∠ABC 的平分线上时,连接DP ,求DP 的长; (2)当点P 在运动过程中出现PD =BC 时,求此时∠PDA 的度数;
(3)当点P 运动到什么位置时,以D ,P ,B ,Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上?求出此时□DPBQ 的面积.
C 1 C B 1
B A (A 1) E 图 ②
C 1 C A 1
B A (B 1) F 图 ③ A B
C
D
6.如图1,已知长方形ABED,点C是边DE的中点,且AB=2AD.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)保持图1中ABC的固定不变,绕点C旋转DE所在的直线MN到图2中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的同侧),试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明;
(3)保持图2中△ABC的固定不变,继续绕点C旋转DE所在的直线MN到图3中的位置(当垂线段AD、BE在直线MN的异侧).试探究线段AD、BE、DE长度之间有什么关系?并给予证明.
7.如图1,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =AD =CD ,∠BAD =120°,∠MAN =60°,将图1中的∠MAN 绕点A 按逆时针方向旋转α角(0°<α<120°),边AM 、AN 分别交直线BC 、CD 于E 、F 两点. (1)当0°<α≤60°时,其他条件不变,如图2、如图3所示.
①如图2,判断线段BE 、DF 、EF 的数量关系,并直接写出结论;
②如图3,①中的结论是否依然成立?若成立,请利用图3证明;若不成立,说明理由. (2)当60°<α<120°时,其他条件不变,请在图4中画出一个..符合条件的图形,直接写出所画图形中线段BE 、DF 、EF 的数量关系.
A
B C
D
E
图1
A
B
C D E
图3 N
M
A
B
C
D
E
图2
N
M 图1 A B
C D M
N 图2 A
B
C
D
M
N
E F
A
D
A
D
8.如图,△ABC是等边三角形,点D是边BC上的一点,以AD为边作等边△ADE,过点C作CF∥DE交AB于点F.
(1)若点D是BC边的中点(如图①),求证:EF=CD;
(2)在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比;
(3)若点D是BC边的任意一点(除B、C外如图②),那么,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
F
E
A
B C
D
图①
F
E
A
B C
D
图②