过程控制系统建模方法

纯延迟现象产生的原因是由于扰动发生的地点与 测定被控参数位臵有一定距离。
图2.7 有纯延迟的单容水箱
图2.7 有纯延迟的单容水箱
d h T + Δh = KΔμ dt
无延迟的单容水箱的微分方程
有纯延迟的单容对象的微分方程为
dh T dt
+Δh = KΔu(t -
0
)
(2-17)
Qi K u ＝ u
于是可得式(2-8)对应的增量微分方程 d T MC + HAΔT = K uΔu (2-9) dt 令 τ=
MC HA
Ku K= HA
则上式可写为 (2-10)
Τ
dT dt
+ ΔT = KΔu
可得炉内温度变化量对控制电压变化量之间的 传递函数为 G(s) = T ( s ) u ( s )
测试法建模又可分为经典辨识法和现代辨识法 两大类。 经典辨识法只需对少量的测试数据进行简单的 数学处理， 现代辨识法可以消除测试数据中的偶然性误差 即噪声的影响，需要处理大量的测试数据。
2.1 过程控制系统建模概念
2.2 机理建模方法
2.3 测试建模方法
2.2.1 单容对象的传递函数 1、单容水槽 水流入量Q1由调节阀开度μ加以控制，流出量Q0则由 用户根据需要通过负载阀来改变。 被调量为水位h，它反映水的流入与流出之间的平衡关 系。 分析水位在调节阀开度扰动下的动态特性。
K = s 1
(11)
3、压力对象
压力对象如图所示.
dp0 RC +Δ dt
p0
=Δ
pi
可得容器压力变化量与进气压力变化量 之间的传递函数如下：
p0 (s) G(s)= p (s) = i
1 RCS 1
单容被控对象动态特性都是一阶惯性环节
2.2.2 具有纯延迟的单容对象特性 有一储水槽调节阀1距水槽有一段较长的距离。调 节阀1开度变化所引起的流入量变化ΔQi，需要经 过一段传输时间 T0，才能对水槽液位产生影响， T0 是纯延迟时间。
Δ Q-iΔ Q = 0
dV =A dt
dh dt
Δ Qi 是由控制阀开度变化Δμ引起的，当阀前 后压差不变时，ΔQi与Δμ成正比关系，即 ΔQi= K Δμ

K 为阀门流量系数(m／s)。
流出量与液位高度的关系为
Q = A0
2gh
=K
h
•(2—3)
式(2—3)是一个非线性关系，如图 2.3所示，在平衡点( h0、Q0)附近 进行线性化，得 h R= (2—4)
2、要有先验知识 在建模中，被控对象内部所进行的物理、化学 过程符合已经发现的许多定理、原理及模型。 在建模中必须掌握建模对象所要用到的先验知 识。
3、试验数据 过程的信息能通过对对象的试验与测量而获得。 数学建模的信息源如下图2.1所示：
被控对象数学模型的要求:要求它准确可靠。 在线运用的数学模型要求实时性。 在建立数学模型时，要抓住主要因素，忽略次要因素， 需要做很多近似处理： 如：线性化、分布参数系统集总化和模型降阶处理等。
一般用于控制的数学模型并不要求非常准确。 闭环控制本身具有一定的鲁棒性，模型的误差 可以视为干扰，闭环控制在某种程度上具有自 动消除干扰影响的能力。
2.1.2
过程控制系统建模的两个基本方法
1、机理法建模
根据生产过程中实际发生的变化机理，写出各种 有关的平衡方程
如:物质平衡方程；能量平衡方程；动量平衡方程 以及反映流体流动、传热、传质、化学反应等基 本规律的运动方程，物性参数方程和某些设备的 特性方程等，从中获得所需的数学模型。
d h2 d h2 Ku R1C1 2 u (2.29) dt dt C2 2 d h2 d h2 1 1 1 T 2 u G( s) TS 1 Ta S dt dt Ta
图2.10 双容水槽
（1）、具有自平衡能力的双容对象
两个串联对象的模型，在流入端，阀门开度有 微小扰动的情况下，被控参数 h2 的动态方程可由几个关系式导出。
Q1 - Q2 = C 2
dh2 dt
Q2
h2 = R2
h1 R1
Q1 = d h 1 Q = Qi C 1 1
过程控制系统 北京理工大学珠海学院
Beijing Institute of technology, Zhu Hai
第二章 过程控制系统建模方法
干扰
给定值
x
e
控制器
p
控制阀
q
被控对象
被控变量y
测量值Z
测量变送器
第二章 过程控制系统建模方法
2.1 过程控制系统建模概念 2.2 机理建模方法
2.3 测试建模方法
用机理法建模的首要条件是生产过程的机理必 须为人们充分掌握，可以比较确切的加以数学 描述。 模型应该尽量简单，保证达到合理的精度。 用机理法建模时，出现模型中某些参数难以确 定的情况或用机理法建模太烦琐。此时就可以 用测试的方法来建模。
2.1.2
过程控制系统建模的两个基本方法
2、测试法建模
对应的传递函数为 G(s)=
H ( s ) U ( s )
K 0 s e = Ts 1
(2-18)
与式（2-7）相比多了延迟因子 e 0 s 。
2.2.3 无自平衡能力的单容对象特性 用惯性环节描述的单容对象，在被控量受到扰 动后，原来的平衡关系遭到破坏，但随着被调 量的变化不平衡越来越小，被调量能够自动地 稳定在新的平衡点上，这种特性称为自平衡。 具有自平衡特性的被控对象称为自平衡过程。 这是一种稳定的过程。
对于无自平衡能力的单容对象其动态方 程为
dh A =Δ dt
Qi
= K u u
(2—19)
A——液槽截面积。
将式(2—19)改写为 dh = K u u = dt A
式中：ε=
u
(2—20)
K u 称为响应速度。 A
对式(2-20)求解可得
u t h = u t = Ta 1 A
其传递函数为
H 2 ( s ) K G(s) = U ( s) = T1T2 s 2 (T1 T2 ) s 1
若双容对象调节阀 1 开度变化所引起的流入量 还存在纯延迟，则其传递函数可推导为
K H 2 ( s ) s G(s)= = e 2 T1T2 s (T1 T2 ) s 1 U ( s )
Qi = K u u
dt
消去中间变量可得
T1 T2 +
d h2 2 dt
2
dh2 + ( T1 + T2 ) dt
h2
=K
u
C1、C2——两液槽的容量系数； R1、R2——两液槽的出水端的阻力； T1= R1C1——第一个容器的时间常数； T2=R2C2——第二个容器的时间常数； K= KuR2——双容对象的放大系数。
0
1 1
图2.11 双容对象的阶跃响应曲线 (a)无延迟 ，(b)有延迟
（2）、具有自平衡能力的多容对象
有 n 个相互独立的多容对象的时间常数为 T1 、 T2….Tn,总放大系数为K，则传递函数为
K G(s)= (T1 s 1)(T2 s 1) (Tn s 1)
若T1=T2=……=Tn=T
当这种被调量的平衡关系破坏后，不平 衡不因被调量的变化而改变，被调量而 以固定的速度一直变化下去而不会自动 地在新的水平上恢复平衡。这种现象不 具有自平衡特性，称为无自平衡过程。 这种过程是临界稳定的，它需要很长时 间，被调量才会有很大的变化。
还有一类不稳定的过程，原来的平衡一旦被破坏 后，被调量在很短的时间内就发生很大的变化。
2、电加热炉
被控参数为炉内温度T,控制量为电热丝两端电压u 加热丝质量为M，比热为C，传热系数为H，传热 面积为A,未加温前炉内温度为T0,加温后的温度为 T
根据热力学知识，有
d (T T0 ) MC + HA(T-T0)=Qi dt
(2-8)
式中: Qi 为单位时间内电热丝产生的热 量。 Qi 与外加电压u的平方成比例，故 Qi 与u是非线性关系。 在平衡点(Qo、U0)附近进行线性化，得
另有一些被控对象，其流出端是用容积式的计 量泵排出恒定的流量Q，其值与液位的高低无 关。 当流入端的流量发生阶跃扰动时，原来平衡关 系被破坏，液位发生变化。 由于流出端流量保持不变，则液位或者上升， 直至水溢出液槽；或者下降，直到液槽里的水 被抽完为止。
图2.8 无自平衡能力的单容水槽
内容
建立被控对象的数学模型
可分为机理法和测试法两大类
第一节介绍建模的概念、条件 机理法建模、测试法建模两种方法的基本思路。
第二节推导了建模的过程，机理建模的方法。 掌握测试法建模的原理和推导步骤。 第三节四种测试建模的方法、特点 测试动态特性的时域法、频域法 统计相关法和最小二乘法。
1—控制阀门 2—水槽 3—负载阀(液阻R)
单容水槽
各量定义如下： Qi——输入水流量的稳态值( m3／s)； ΔQi ——输入水流量的增量(m3 ／s)； Qo ——输出水流量的稳态值(m3 ／s)； ΔQo ——输出水流量的增量(m3 ／s)； h——液位的高度(m)； ho ——液位的稳态值(m)； Δh——液位的增量(m)； μ——调节阀的开度( m2)；

对应的传递函数为
Ta = K = u
为响应时间。其
1 1 H ( s ) G（S）= U ( s ) = T (2-22) s a 这是一个积分环节，响应曲线如图所示。
•无自平衡能力单容对象阶跃响应曲线