高一数学预科

高一数学预科班前言随着社会的发展和竞争的加剧，高中数学已经成为了学生们学习的重要科目之一。

为了帮助学生更好地适应高中数学的学习需求，提高数学学习能力，许多学校纷纷开设了高一数学预科班。

本文将就高一数学预科班的意义和作用进行探讨。

高一数学预科班的开设有助于学生建立数学学科的基本框架。

在初中阶段，学生对数学的学习主要是基础知识的掌握，而高中数学则更加注重对知识的整合和拓展。

高一数学预科班通过系统地复习和梳理初中数学知识，帮助学生全面理解和巩固初中数学知识，为接下来的高中数学学习打下坚实的基础。

高一数学预科班的开设能够帮助学生快速适应高中数学的学习方法和思维方式。

与初中数学相比，高中数学更加注重对问题的分析和解决能力的培养。

高一数学预科班通过引导学生进行思维训练，让学生逐渐掌握高中数学的学习方法和思维方式，提高解决问题的能力和效率。

高一数学预科班还能够帮助学生提前了解高中数学的难点和重点。

高中数学知识的难度和复杂度相较于初中数学有了明显的提升，许多学生在刚开始接触高中数学时会感到困惑和无助。

高一数学预科班通过有针对性地讲解和练习，让学生提前了解高中数学的难点和重点，为学生在学习中遇到困难时提供帮助和指导。

高一数学预科班还能够帮助学生培养数学学科的兴趣和自信心。

高中数学的学习需要学生具备一定的毅力和耐心，而数学预科班通过丰富多彩的教学方法和实践活动，激发学生对数学学科的兴趣，增强学生对数学的自信心，提高学生学习数学的积极性和主动性。

高一数学预科班的开设对于学生的数学学习具有重要的意义和作用。

通过系统地复习和梳理初中数学知识，帮助学生建立数学学科的基本框架；通过引导学生进行思维训练，帮助学生快速适应高中数学的学习方法和思维方式；通过提前了解高中数学的难点和重点，帮助学生在学习中遇到困难时提供帮助和指导；通过培养学生对数学学科的兴趣和自信心，提高学生学习数学的积极性和主动性。

相信通过高一数学预科班的学习，学生们将能够更好地适应和应对高中数学的学习挑战，取得优秀的学习成绩。

高一预科数学教材大纲第一讲复习课：二次函数的图像及性质第二讲复习课：因式分解及解一元二次方程第三讲复习课：解一元二次不等式第四讲集合之间的基本关系第五讲集合之间的基本运算第六讲函数的概念及表示法第七讲函数的单调性第八讲函数的最值及映射第九讲函数的奇偶性第十讲指数与指数幂的运算第十一讲指数函数及其性质第十二讲对数与对数运算第十三讲对数函数及其性质第十四讲幂函数第十五讲必修一综合测试卷第一讲复习课：二次函数的图像及性质一、基础闯关答案1．（2015•沈阳）在平面直角坐标系中，二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的图象可能是（）A．B． C．D．【考点】二次函数的图象．【专题】压轴题．【分析】根据二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．【解答】解：二次函数y=a（x﹣h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象，解决本题的关键是明二次函数的顶点坐标．2．（2015秋•重庆校级期中）是二次函数，则m的值为（）A．0，﹣2 B．0，2 C．0 D．﹣2【考点】二次函数的定义．【分析】根据二次函数的定义知道其系数不为零且指数为2，从而求得m的值．【解答】解：∵是二次函数，∴解得：m=﹣2，故选D．【点评】本题考查了二次函数的定义，特别是遇到二次函数的解析式中二次项含有字母系数时，要注意字母系数的取值不能使得二次项系数为0．3．（2013秋•张家港市期末）已知二次函数y=ax2+bx+c，若a＜0，c＞0，那么它的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据二次函数系数a的大小，可判定图象的开口方向，根据c的大小，可判定图象与y轴的交点，可得答案．【解答】解：a＜0，图象开口向下，故A、B错误；c＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方，故C错误；故D正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，a＜0，图象开口向下，c＞0，图象与y轴的交点在x 轴的上方，是解题关键．4．（2012•鞍山）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B坐标（﹣1，0），下面的四个结论：①OA=3；②a+b+c＜0；③ac＞0；④b2﹣4ac＞0．其中正确的结论是（）A．①④ B．①③ C．②④ D．①②【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题；推理填空题．【分析】根据点B坐标和对称轴求出A的坐标，即可判断①；由图象可知：当x=1时，y＞0，把x=1代入二次函数的解析式，即可判断②；抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，得出a＜0，c ＞0，即可判断③；根据抛物线与x轴有两个交点，即可判断④．【解答】解：∵点B坐标（﹣1，0），对称轴是直线x=1，∴A的坐标是（3，0），∴OA=3，∴①正确；∵由图象可知：当x=1时，y＞0，∴把x=1代入二次函数的解析式得：y=a+b+c＞0，∴②错误；∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴a＜0，c＞0，∴ac＜0，∴③错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴④正确；故选A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系的应用，主要考查学生的观察图象的能力和理解能力，是一道比较容易出错的题目，但题型比较好．5．（2015秋•榆社县期末）在同一坐标系中，函数y=ax2与y=ax+a（a＜0）的图象的大致位置可能是（）A．B．C． D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】数形结合．【分析】可先根据a的符号判断一次函数与二次函数的图象所经过的象限，然后作出选择．【解答】解：∵a＜0，∴二次函数y=ax2的图象的开口方向是向下；一次函数y=ax+a（a＜0）的图象经过第二、三、四象限；故选B．【点评】应该熟记正比例函数y=kx在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．6．（2015•深圳模拟）若（2，5）、（4，5）是抛物线y=ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（）A．x=﹣B．x=1 C．x=2 D．x=3【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想．【分析】由已知，点（2，5）、（4，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．【解答】解：因为点（2，5）、（4，5）在抛物线上，根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，所以，对称轴x==3；故选D．【点评】本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．7．（2015•成都校级模拟）实数m，n满足2m﹣n2=4，则y=m2+2n2+4m+1的最小值是13．【考点】二次函数的最值．【分析】把2m﹣n2=4变形为n2=2m﹣4，代入函数关系式，运用配方法把解析式化为顶点式，求出最小值即可．【解答】解：∵2m﹣n2=4，∴2m=n2+4，∴m的最小值是2，∵2m﹣n2=4，∴n2=2m﹣4，∴y=m2+2n2+4m+1=m2+4m﹣8+4m+1=（m+4）2﹣23，∴当m=2时，y的最小值是13，故答案为：13．【点评】本题考查的是二次函数的最小值的确定，掌握配方法的一般步骤是解题的关键．8.（2014秋•娄底校级期末）函数的图象是开口向下的抛物线，则m=﹣1．【考点】二次函数的性质．【分析】根据题意可得二次项系数a＜0，未知数的次数为2，由此可得出m的值．【解答】解：∵二次函数的图象是一条开口向下的抛物线，∴，解得：m=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了二次函数的定义，注意掌握二次函数的性质，开口向下二次项系数小于零．9．（2013秋•南长区校级月考）抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交点为（﹣3，0）、（1，0），与y轴交点为（0，3）．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】当x=0时，可以求得y的值，即可求得抛物线与y轴交点；当y=0时，可以求得x的值，即可求得抛物线与x轴交点．【解答】解：∵当x=0时，y=3，∴与y轴交点为（0，3）；∵当y=0时，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x=﹣3或1，∴抛物线y=﹣x2﹣2x+3与x轴交点为（﹣3，0）、（1，0）；故答案为（﹣3，0）、（1，0），（0，3）．【点评】本题考查了抛物线与x轴交点的求解，考查了抛物线与y轴交点的求解，本题中解一元二次方程﹣x2﹣2x+3=0是解题的关键．10．（2014春•永定县校级期末）不论x取何值，二次函数y=﹣x2+6x+c的函数值总为负数，则c的取值范围为c＜﹣9．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】计算题．【分析】因为二次函数y=﹣x2+6x+c的图象开口向下，所以一元二次方程﹣x2+6x+c=0无实数根，从而解得c的取值范围．【解答】解：∵二次函数y=﹣x2+6x+c的函数值总为负数，∴一元二次方程﹣x2+6x+c=0无实数根，即△=36+4c＜0，解得c＜﹣9．故答案为：c＜﹣9．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，注：当抛物线y=ax2+bx+c与轴有两个交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根即△＞0；当抛物线y=ax2+bx+c与轴有一个交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根即△=0；当抛物线y=ax2+bx+c与轴无交点时，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根即△＜0．11．（2013秋•富阳市校级月考）已知二次函数y=的图象经过点（0，5）．（1）求m的值，并写出该二次函数的关系式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【分析】（1）把点（0，5）代入解析式就可以求出m的值，从而也可以得出解析式；（2）将二次函数的解析式转化为顶点式就可以求出顶点坐标、对称轴．【解答】解：（1）∵y=的图象经过点（0，5）．∴5=m2+1，∴m=±2．∵m+2≠0，∴m≠﹣2．∴m=2，∴二次函数的关系式为：y=x2+6x+5（2）∵二次函数的关系式为：y=x2+6x+5∴y=（x+3）2﹣4，∴二次函数图象的顶点坐标为（﹣3，﹣4）、对称轴为：直线x=﹣3．【点评】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，利用二次函数的性质求抛物线的顶点坐标和对称轴的运用．解答本题求出抛物线的解析式是关键．12．（2015•宁夏）已知点A（，3）在抛物线y=﹣x的图象上，设点A关于抛物线对称轴对称的点为B．（1）求点B的坐标；（2）求∠AOB度数．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性质．【分析】（1）首先求得抛物线的对称轴，然后确定点A关于对称轴的交点坐标即可；（2）根据确定的两点的坐标确定∠AOC和∠BOC的度数，从而确定∠AOB的度数．【解答】解：（1）∵y=﹣x=﹣（x﹣2）2+4，∴对称轴为x=2，∴点A（，3）关于x=2的对称点的坐标为（3，3）；（2）如图：∵A（，3）、B（3，3），∴BC=3，AC=，OC=3，∴tan∠AOC==，tan∠BOC===，∴∠AOC=30°，∠BOC=60°，∴∠AOB=30°．【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标及二次函数的性质，能够确定抛物线的对称轴是解答本题的关键，难度不大．二、拓展创新答案1．（2016•滕州市校级模拟）若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m=3 B．m＞3 C．m≥3D．m≤3【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．【解答】解：∵二次函数的解析式y=（x﹣m）2﹣1的二次项系数是1，∴该二次函数的开口方向是向上；又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（m，﹣1），∴该二次函数图象在[﹣∞，m]上是减函数，即y随x的增大而减小；而已知中当x≤3时，y随x的增大而减小，∴x≤3，∴x﹣m≤0，∴m≥3．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象的性质．解答该题时，须熟知二次函数的系数与图象的关系、二次函数的顶点式方程y=（k﹣h）x2﹣b中的h，b的意义．2．（2015•湖北）二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．【分析】根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＞0，∵与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=图象在第一三象限，只有C选项图象符合．故选C．【点评】本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．3．（2015•益阳）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（）A．m＞1 B．m＞0 C．m＞﹣1 D．﹣1＜m＜0【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．【解答】解：由y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1），根据题意，，解不等式（1），得m＞0，解不等式（2），得m＞﹣1；所以不等式组的解集为m＞0．故选B．【点评】本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大．4．（2016春•淮安校级月考）如图是抛物线y=ax2+bx+c的大致图象，则一元二次方程ax2+bx+c=0（）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，即ax2+bx+c=0时，有两个不相等的实数根，从而可以得到本题答案．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．故选：A．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点问题；关键是明确抛物线与x轴相交时函数值为0，即ax2+bx+c=0，从而转化为一元二次方程，根据交点个数，可以判断ax2+bx+c=0根的情况．5．（2011•花都区一模）已知关于x的方程有一个正的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≤0D．k≥0【考点】图象法求一元二次方程的近似根．【分析】首先由，可得：k=x3+x，然后由关于x的方程有一个正的实数根，可得k的取值范围．【解答】解：∵，∴k=x3+x，∵关于x的方程有一个正的实数根，∴x＞0，∴k＞0．故选B．【点评】此题考查了方程根与方程的关系．注意用x表示出k的值是解此题的关键．6．（2014秋•龙口市校级期中）某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为（）A．5000元B．8000元C．9000元D．10000元【考点】二次函数的应用．【分析】设售价为每个x元，则每个利润为（x﹣90），销售量为500﹣10（x﹣100），根据：每个利润×销售量=总利润，可得出W关于x的二次函数，利用配方法求最值即可．【解答】解：设单价定为x，总利润为W，则可得销量为：500﹣10（x﹣100），单件利润为：（x﹣90），由题意得，W=（x﹣90）[500﹣10（x﹣100）]=﹣10x2+2400x﹣135000=﹣10（x﹣120）2+9000，故可得当x=120时，W取得最大，为9000元，故选C．【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是表示出销量及单件利润，得出W关于x的函数解析式，注意掌握配方法求二次函数最值的应用．7．（2015•泗洪县校级模拟）抛物线y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=﹣1，则b的值为﹣4．【考点】二次函数的性质．【分析】根据对称轴方程，列出关于b的方程即可解答．【解答】解：∵﹣=﹣1，∴b=﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟悉对称轴公式是解题的关键．8．（2014•义乌市校级模拟）一个二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状与抛物线y=﹣2x2相同，试写出这个函数解析式y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1．．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】已知顶点坐标利用顶点式求解比较简单．【解答】解：图象顶点坐标为（2，1）可以设函数解析式是y=a（x﹣2）2+1又∵形状与抛物线y=﹣2x2相同即二次项系数绝对值相同则|a|=2因而解析式是：y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1，故这个函数解析式y=﹣2（x﹣2）2+1或y=2（x﹣2）2+1．【点评】利用待定系数法求二次函数解析式，如果已知三点坐标可以利用一般式求解；若已知对称轴或顶点坐标利用顶点式求解比较简单．9．（2012•贺兰县校级一模）把二次函数y=﹣2x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式是y=﹣2（x﹣1）2+5．【考点】二次函数的三种形式．【专题】配方法．【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y=﹣2x2+4x+3=﹣2（x2﹣2x+1）+2+3=﹣2（x﹣1）2+5．故答案为y=﹣2（x﹣1）2+5．【点评】本题考查了将二次函数的一般式化成顶点式的方法．属于基础题型，比较简单．二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．10．（2015•阜宁县一模）二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为3．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵抛物线的开口向上，顶点纵坐标为﹣3，∴a＞0．﹣=﹣3，即b2=12a，∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，∴△=b2﹣4am≥0，即12a﹣4am≥0，即12﹣4m≥0，解得m≤3，∴m的最大值为3，故答案为3．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，根据题意判断出a的符号及a、b的关系是解答此题的关键．六A专练答案1．（2015秋•点军区期中）已知一个二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，请求出这个二次函数的解析式．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式y=a（x+）（x﹣），然后把（0，1）代入求出a的值即可．【解答】解：设二次函数解析式为y=a（x+）（x﹣），把（0，1）代入得a••（﹣）=1，解得a=﹣，所以抛物线解析式为y=﹣（x+）（x﹣），即y=﹣x2+x+1．【点评】本用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．2．（2015•黑龙江）如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称-最短路线问题．【分析】（1）根据抛物线经过点A（1，0），对称轴是x=2列出方程组，解方程组求出b、c的值即可；（2）因为点A与点C关于x=2对称，根据轴对称的性质，连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，求出直线BC与x=2的交点即可．【解答】解：（1）由题意得，，解得b=4，c=3，∴抛物线的解析式为．y=x2﹣4x+3；（2）∵点A与点C关于x=2对称，∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），y=x2﹣4x+3与y轴的交点为（0，3），∴设直线BC的解析式为：y=kx+b，，解得，k=﹣1，b=3，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1）∴点P的坐标为：（2，1）．【点评】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键．第二讲复习课：因式分解及解一元二次方程例题答案1．（2017•曲靖一模）下列关于x的方程有实数根的是（）A．x2﹣x+1=0 B．x2+2x+2=0 C．（x﹣1）2+1=0 D．（x﹣1）（x+2）=0【解答】解：A、△=（﹣1）2﹣4×1×1=﹣3＜0，方程没有实数解，所以A选项错误；B、△=22﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；C、（x﹣1）2≥0，则（x﹣1）2+1＞0，方程没有实数解，所以C选项错误；D、x﹣1=0或x+2=0，解得x1=1，x2=﹣2，所以D选项正确．故选D．2．（2016秋•常熟市校级月考）分解因式（1）2x3﹣4x2+2x（2）﹣x2y+6xy﹣8y（3）（x2+y2）2﹣4x2y2．【解答】解：（1）原式=2x（x2﹣2x+1）=2x（x﹣1）2；（2）原式=﹣y（x2﹣6x+8）=﹣y（x﹣2）（x﹣4）；（3）原式=（x2+y2﹣2xy）（x2+y2+2xy）=（x+y）2（x﹣y）2．3．（2016春•南京校级期末）因式分解：（1）4x2﹣64（2）81a4﹣72a2b2+16b4（3）（x2﹣2x）2﹣2（x2﹣2x）﹣3．【解答】解：（1）原式=4（x2﹣16）=4（x+4）（x﹣4）；（2）原式=（9a2﹣4b2）2=（3a+2b）2（3a﹣2b）2；（3）原式=（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）=（x﹣1）2（x﹣3）（x+1）．4．（2017春•上虞区校级月考）用适当的方法解下列方程：（1）x2=3x（2）2x2﹣x﹣6=0．（3）y2+3=2y；（4）x2+2x﹣120=0．【解答】解：（1）∵x2﹣3x=0，∴x（x﹣3）=0，则x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3；（2）∵（x﹣2）（2x+3）=0，∴x﹣2=0或2x+3=0，解得：x=2或x=﹣；（3）∵y2﹣2y+3=0，∴（y﹣）2=0，则y=；（4）∵（x﹣10）（x+12）=0，∴x﹣10=0或x+12=0，解得：x=10或x=﹣12．5．（2017春•嵊州市月考）用合适的方法解方程（1）x2﹣3x=0（2）（2x﹣1）2=9（3）（x﹣5）（3x﹣2）=10（4）x2+6x=1（5）（2x﹣3）（x+1）=x+1（6）6x2﹣x﹣12=0．【解答】解：（1）∵x（x﹣3）=0，∴x=0或x﹣3=0，解得：x=0或x=3；（2）∵2x﹣1=3或2x﹣1=﹣3，解得：x=2或x=﹣1；（3）整理得3x2﹣17x=0，∵x（3x﹣17）=0，∴x=0或3x﹣17=0，解得：x=0或x=；（4）∵x2+6x=1，∴x2+6x+9=1+9，即（x+3）2=10，则x+3=，∴x=﹣3；（5）∵（x+1）（2x﹣3﹣1）=0，即2（x+1）（x﹣2）=0，∴x+1=0或x﹣2=0，解得：x=﹣1或x=2；（6）∵（2x﹣3）（3x+4）=0，∴2x﹣3=0或3x+4=0，解得：x=或x=﹣．一、基础闯关答案1．（2017•南雄市校级模拟）分解因式：y3﹣4y2+4y=（）A．y（y2﹣4y+4）B．y（y﹣2）2C．y（y+2）2D．y（y+2）（y﹣2）【解答】解：原式=y（y2﹣4y+4）=y（y﹣2）2，故选B2．（2016•柳州模拟）（﹣3）100×（）101等于（）A．﹣1 B．1 C．D．【解答】解：原式=[（﹣3）×（﹣）]100×（﹣）=﹣．故选C．3．（2016•怀化）下列计算正确的是（）A．（x+y）2=x2+y2B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1 D．（x﹣1）2=x2﹣1【解答】解：A、（x+y）2=x2+y2+2xy，故此选项错误；B、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故此选项错误；C、（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，正确；D、（x﹣1）2=x2﹣2x+1，故此选项错误；故选：C．4．（2016•宁德）下列分解因式正确的是（）A．﹣ma﹣m=﹣m（a﹣1）B．a2﹣1=（a﹣1）2C．a2﹣6a+9=（a﹣3）2D．a2+3a+9=（a+3）2【解答】解：（A）原式=﹣m（a+1），故A错误；（B）原式=（a+1）（a﹣1），故B错误；（C）原式=（a﹣3）2，故C正确；（D）该多项式不能因式分解，故D错误，故选（C）5．（2017•商河县一模）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0 C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0有实数根，∴△=b2﹣4ac≥0，即：9+4k≥0，解得：k≥﹣，∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1=0中k≠0，则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．故选D．6．（2016•德州校级自主招生）如果方程（m﹣3）﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（）A．±3 B．3 C．﹣3 D．都不对【解答】解：由一元二次方程的定义可知，解得m=﹣3．故选C．7．（2017•长安区一模）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+3=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是（）A．﹣9 B．﹣8 C．﹣7 D．﹣6【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m+3=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣2）2﹣4（m+3）=﹣m﹣8＞0，解得：m＜﹣8，∴m的最大整数值是﹣9．故选A．8．（2017•曲靖一模）若方程x2﹣4x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（）A．6 B．﹣6 C．18 D．﹣18【解答】解：∵方程x2﹣4x﹣1=0的两根分别是x1，x2，∴x1+x2=4，x1•x2=﹣1，∴x12+x22=﹣2x1•x2=42﹣2×（﹣1）=18．故选C．9．（2017•南岗区一模）把多项式ax2﹣2ax+a分解因式的结果是a（x﹣1）2．【解答】解：原式=a（x2﹣2x+1）=a（x﹣1）2．故答案为：a（x﹣1）210．（2017•诸城市模拟）因式分解：﹣2x2y+12xy﹣16y=﹣2y（x﹣2）（x﹣4）．【解答】解：原式=﹣2y（x2﹣6x+8）=﹣2y（x﹣2）（x﹣4），故答案为：﹣2y（x﹣2）（x﹣4）11．（2017•新野县模拟）已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围为0≤k＜1且k≠．【解答】解：∵关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等实数根，∴△=（2）2﹣4×（1﹣2k）×（﹣1）=4k﹣8k+4＞0，解得：0＜k＜1且1﹣2k≠0，k≥0，∴k的取值范围为0＜k＜1且k≠．故答案为：0≤k＜1且k≠．12．（2016•青岛）已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为．【解答】解：将正比例函数y=4x代入到二次函数y=3x2+c中，得：4x=3x2+c，即3x2﹣4x+c=0．∵两函数图象只有一个交点，∴方程3x2﹣4x+c=0有两个相等的实数根，∴△=（﹣4）2﹣4×3c=0，解得：c=．故答案为：．13．（2016春•岱岳区期末）因式分解（1）3a2﹣12；（2）x3y﹣2x2y2+xy3；（3）（x+1）（x+3）+1．【解答】解：（1）原式=3（a2﹣4）=3（a+2）（a﹣2）；（2）原式=xy（x2﹣2xy+y2）=xy（x﹣y）2；（3）原式=x2+4x+3+1=x2+4x+4=（x+2）2．14．（2016•绥化）关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x12+x22=8，求m的值．【解答】解：（1）∵一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，∴△=22﹣4×1×2m=4﹣8m＞0，解得：m＜．∴m的取值范围为m＜．（2）∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，∴x1+x2=﹣2，x1•x2=2m，∴x12+x22=﹣2x1•x2=4﹣4m=8，解得：m=﹣1．当m=﹣1时，△=4﹣8m=12＞0．∴m的值为﹣1．二、拓展创新答案1．（2017•静安区一模）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（）A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4【解答】解：A、原式不能分解；B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+）（x+y﹣）；C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），故选A2．（2016•昆山市一模）已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k 的取值范围有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：根据题意得：﹣15=﹣1×15=1×（﹣15）=﹣3×5=3×（﹣5），可得﹣k=14，﹣14，2，﹣2，解得：k=﹣14，14，﹣2，2，共4个，故选D3．（2016秋•孟津县期末）分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），乙看错了b的值，分解结果为（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b分解因式的正确结果为（）A．（x﹣2）（x+3）B．（x+2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）D．（x+2）（x+3）【解答】解：因为（x+6）（x﹣1）=x2+5x﹣6，（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b=6，乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a=﹣1，所以多项式x2+ax+b为x2﹣x+6=（x﹣3）（x+2）故选B．4．（2016•宜昌）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：昌、爱、我、宜、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．我爱美B．宜昌游C．爱我宜昌 D．美我宜昌【解答】解：∵（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b），∵x﹣y，x+y，a+b，a﹣b四个代数式分别对应爱、我，宜，昌，∴结果呈现的密码信息可能是“爱我宜昌”，故选C．5．（2017•沭阳县一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0【解答】解：∵方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，∴△=（﹣6）2﹣4×k×9＞0，解得：k＜1，又∵k≠0，∴k＜1且k≠0，故选：D．6．（2017•新野县模拟）两个不等的实数a、b满足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，则ab的值为（）A．1 B．﹣1 C． D．【解答】解：∵两个不等的实数a、b满足a2+a﹣1=0，b2+b﹣1=0，∴a、b可看做方程x2+x﹣1=0的两个不相等的实数根，∴ab=﹣1，故选：B．7．（2017•曲靖一模）为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（）A．100（1﹣x）2=81 B．81（1﹣x）2=100 C．100（1﹣2x）=81 D．81（1﹣2x）=100【解答】解：由题意得：100（1﹣x）2=81，故选：A．8．（2017•鄂城区校级二模）已知a、b为实数，则a2+ab+b2﹣a﹣2b的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：a2+ab+b2﹣a﹣2b=a2+（b﹣1）a+b2﹣2b=a2+（b﹣1）a++b2﹣2b﹣=（a+）2+（b﹣1）2﹣1≥﹣1，当a+=0，b﹣1=0，即a=0，b=1时，上式不等式中等号成立，则所求式子的最小值为﹣1．故选B9．（2016•黔南州）若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于﹣2．【解答】解：∵ab=2，a﹣b=﹣1，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2．10．（2016•株洲）分解因式：（x﹣8）（x+2）+6x=（x+4）（x﹣4）．【解答】解：原式=x2+2x﹣8x﹣16+6x=x2﹣16=（x+4）（x﹣4），故答案为：（x+4）（x﹣4）．11．（2017•沭阳县一模）在Rt△ABC中，斜边AB=5厘米，BC=a厘米，AC=b厘米，a＞b，且a、b是方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两根，Rt△ABC的面积为6平方厘米．【解答】解：∵斜边AB为5的Rt△ABC中，∠C=90°，两条直角边a、b，∴a2+b2=25，又∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，∴（a+b）2﹣2ab=25，①∵a、b是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x+m+4=0的两个实数根，∴a+b=m﹣1，②ab=m+4，③由①②③，解得m=﹣4，或m=8；当m=﹣4时，ab=0，∴a=0或b=0，（不合题意）∴m=8；则Rt△ABC的面积为ab=×（8+4）=6，故答案为：6．12．（2017春•金牛区校级月考）已知方程x2﹣2x﹣5=0的两个根是m和n，则2m+4n﹣n2的值为﹣1．【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣5=0的两个根是m和n，∴m+n=2，n2﹣2n﹣5=0，即n2﹣2n=5，则2m+4n﹣n2=2m+2n﹣（n2﹣2n）=2（m+n）﹣（n2﹣2n）=2×2﹣5=﹣1，故答案为：﹣1．六A专练答案1．（2016春•靖江市期末）因式分解：（1）﹣3x3+6x2y﹣3xy2（2）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2（3）15x3y﹣25x2y2﹣10xy3．【解答】解：（1）原式=﹣3x（x2﹣2xy+y2）=﹣3x（x﹣y）2；（2）原式=[5（a+b）+3（a﹣b）][5（a+b）﹣3（a﹣b）=4（4a+b）（a+4b）；（3）原式=5xy（3x2﹣5xy﹣2y2）=5xy（x﹣2y）（3x+y）．2．（2016•十堰）已知关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0．（1）求证：无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=3x1x2，求实数p的值．【解答】证明：（1）（x﹣3）（x﹣2）﹣p2=0，x2﹣5x+6﹣p2=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（6﹣p2）=25﹣24+4p2=1+4p2，∵无论p取何值时，总有4p2≥0，∴1+4p2＞0，∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2）x1+x2=5，x1x2=6﹣p2，∵x12+x22=3x1x2，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=3x1x2，∴52=5（6﹣p2），∴p=±1．第三讲复习课：解一元二次不等式一、基础闯关答案1．（2017•河北一模）不等式2x2﹣x﹣3＞0解集为（）A．{x|﹣1＜x＜} B．{x|x＞或x＜﹣1} C．{x|﹣＜x＜1} D．{x|x＞1或x＜﹣} 【解答】解：不等式2x2﹣x﹣3＞0因式分解为（x+1）（2x﹣3）＞0解得：x或x＜﹣1．∴不等式2x2﹣x﹣3＞0的解集为{x|x＞或x＜﹣1}故选：B．2．（2016•长沙模拟）不等式（x+1）（x﹣2）≤0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤2} B．{x|﹣1＜x＜2} C．{x|x≥2或x≤﹣1} D．{x|x＞2或x＜﹣1} 【解答】解：不等式（x+1）（x﹣2）≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2，所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}．故选：A．3．（2016春•海口校级期末）不等式2x+3﹣x2＞0的解集是（）A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|x＞3或x＜﹣1} C．{x|﹣3＜x＜1} D．{x|x＞1或x＜﹣3} 【解答】解：∵不等式2x+3﹣x2＞0可化为x2﹣2x﹣3＜0，即（x+1）（x﹣3）＜0；解得﹣1＜x＜3，∴不等式的解集是{x|﹣1＜x＜3}．故选：A．4．（2016春•哈密地区校级期末）不等式﹣6x2﹣x+2≤0的解集是（）A．{} B．{} C．{} D．{} 【解答】解：不等式﹣6x2﹣x+2≤0可化为6x2+x﹣2≥0，即（2x﹣1）（3x+2）≥0，解得或x故选B5．（2016春•武汉校级期末）不等式x（1﹣2x）＞0的解集（）A．{x|0} B．{x|x} C．{x|x或x＜0} D．{x|x＜0或0＜x} 【解答】解：不等式x（1﹣2x）＞0变为：x（2x﹣1）＜0，解得，，则不等式的解集为{x|}故选A．6．（2016春•郫县期末）不等式x2﹣3x+2＜0的解集是（）A．{x|x＜﹣2或x＞﹣1} B．{x|x＜1或x＞2} C．{x|﹣2＜x＜﹣1} D．{x|1＜x＜2} 【解答】解：不等式对应的方程为x2﹣3x+2=0，即（x﹣2）（x﹣1）=0，解得方程的根为x=2或x=1，∴不等式x2﹣3x+2＜0的解为1＜x＜2，即不等式的解集为{x|1＜x＜2}．故选：D．7．（2016春•西安校级期末）不等式（﹣x）（x﹣）＞0的解集为（）A．{x|＜x＜} B．{x|x＞} C．{x|x＜} D．{x|x＜或x＞}【解答】解：不等式（﹣x）（x﹣）＞0可化为（x﹣）（x﹣）＜0；解得＜x＜；∴原不等式的解集为{x|＜x＜}．故选：A．8．（2016春•湖北校级期末）不等式6x2+x﹣2≤0的解集是（）A． B．C．，或D．，或【解答】解：∵6x2+x﹣2≤0，∴（2x﹣1）（3x+2）≤0，∴﹣≤x≤，∴不等式6x2+x﹣2≤0的解集是{x|﹣≤x≤}．故选A．9．（2016•马鞍山）不等式x2﹣2x＜0的解集为{x|0＜x＜2}．【解答】解：不等式x2﹣2x＜0可化为x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2；∴不等式的解集为{x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．10．（2016•岳阳校级三模）不等式的解集为{x|}．【解答】解：不等式的解集可转化成即等价于解得：故不等式的解集为{x|}故答案为：{x|}11．（2016•广西模拟）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为[﹣1，3]．【解答】解：不等式﹣x2+2x+3≥0可化为x2﹣2x﹣3≤0，即（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，∴不等式的解集为[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．12．（2016•福建模拟）若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a+b=﹣1．【解答】解：由题意不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，故3，2是方程x2﹣ax﹣b=0的两个根，∴3+2=a，3×2=﹣b∴a=5，b=﹣6∴a+b=5﹣6=﹣1故答案为：﹣113．（2014秋•科尔沁区期末）解下列不等式：（1）x（7﹣x）≥12；（2）x2＞2（x﹣1）．【解答】解：（1）不等式x（7﹣x）≥12可化为x2﹣7x+12≤0，即（x﹣3）（x﹣4）≤0；解得3≤x≤4，∴不等式的解集为[3，4]；（2）不等式x2＞2（x﹣1）可化为，即x2﹣2x+2＞0；∵△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，∴不等式的解集为R．14．解下列不等式．（1）﹣x2﹣2x+3＞0；（2）≥1．【解答】解：（1））﹣x2﹣2x+3＞0化为x2+2x﹣3＜0，解得﹣3＜x＜1，∴不等式的解集为（﹣3，1）；（2）≥1化为≥0⇔，解得x≥2或x＜﹣1．∴不等式的解集为{x|x≥2或x＜﹣1|}．二、拓展创新答案1．（2016春•邻水县期末）二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，则ab的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6【解答】解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，∴a＜0，∴原不等式等价于﹣ax2﹣bx﹣1＜0，由韦达定理知﹣1+=﹣，﹣1×3=，∴a=﹣3，b=﹣2，∴ab=6．故选D2．（2016春•邻水县期末）不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，则a，c的值为（）A．a=6，c=1 B．a=﹣6，c=﹣1 C．a=1，c=6 D．a=﹣1，c=﹣6【解答】解：∵不等式ax2+5x+c＞0解集为，∴方程ax2+5x+c=0的两个实数根为，，且a＜0．∴，解得故选B．3．（2016春•龙海市期末）不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），则a+b的值是（）A．10 B．﹣14 C．14 D．﹣10【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是（﹣，），∴﹣，是方程ax2+bx+2=0的两个实数根，且a＜0，∴﹣=﹣+，=﹣×，解得a=﹣12，b=﹣2，∴a+b=﹣14故选：B4．（2016春•华蓥市期末）不等式﹣x2﹣2x+3≥0的解集为（）A．{x|﹣1≤x≤3} B．{x|x≥3或x≤﹣1} C．{x|﹣3≤x≤1} D．{x|x≤﹣3或x≥1}【解答】解：∵﹣x2﹣2x+3≥0，∴x2+2x﹣3≤0，即（x+3）（x﹣1）≤0，解得﹣3≤x≤1．∴不等式﹣x2﹣2x+3≥0的解集为{x|﹣3≤x≤1}．故选：C．5．（2016春•湖北期末）不等式x2﹣3x﹣4＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞4} B．{x|x≤﹣1或x≥4} C．{x|﹣1＜x＜4} D．{x|﹣1≤x≤4} 【解答】解：解方程x2﹣3x﹣4=0得：x=﹣1，或x=4，故不等式x2﹣3x﹣4＞0的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞），故选：A．6．（2016春•文昌校级期末）不等式x（x﹣1）＞2的解集为（）A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1} C．{x|x＜﹣2或x＞1} D．{x|x＜﹣1或x＞2} 【解答】解：不等式x（x﹣1）＞2等价于x2﹣x﹣2＞0，即为（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，故不等式的解集为：{x|x＜﹣1或x＞2}，故选：D．7．（2016秋•临淄区校级期末）一元二次不等式x2＜x+6的解集为（﹣2，3）．【解答】解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0所以，﹣2＜x＜3故答案为：（﹣2，3）．8．（2016春•南沙区期末）不等式﹣x2﹣2x+3＞0的解集为（﹣3，1）；【解答】解：不等式﹣x2﹣2x+3＞0可化为x2+2x﹣3＜0，即（x+3）（x﹣1）＜0，解得﹣3＜x＜1，所以该不等式的解集为（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．。

3．1 相似形3.1.1．平行线分线段成比例定理在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比.在一张方格纸上，我们作平行线123,,l l l （如图3.1-1），直线a 交123,,l l l 于点,,A B C ，2,3AB BC ==，另作直线b 交123,,l l l 于点',','A B C ，不难发现''2.''3A B AB B C BC == 我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 如图3.1-2，123////l l l ，有AB DEBC EF=.当然，也可以得出AB DEAC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.例1 如图3.1-2， 123////l l l ， 且2,3,4,AB BC DF ===求,DE EF . 解 1232////,,3A B D E l l l B C E F \==Q 28312,.235235DE DF EF DF ====++例2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DEAB AC BC==. 证明（1） //,,,DE BC ADE ABC AED ACB ∴∠=∠∠=∠ADE ∴ ∽ABC ，.AD AE DEAB AC BC∴== 证明（2） 如图3.1-3，过A 作直线//l BC ，////,l DE BC AD AEAB AC∴=. 图3.1-1 图3.1-2过E作//EF AB交AB于D，得BDEF，因而.DE BF=//,.AE BF DEEF ABAC BC BC∴==.AD AE DEAB AC BC∴==从上例可以得出如下结论：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 已知ABC，D在AC上，:2:1AD DC=，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上.解假设能找到，如图 3.1-4，设EC交BD于F，则F为EC的中点，作//EG AC交BD于G.//,EG AC EF FC=，∴EGF CDF≅，且EG DC=，1//,2EG AD BEG BAD∴ ，且1,2BE EGBA AD==E∴为AB的中点.可见，当E为AB的中点时，EC的中点在BD上.我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在.例4 在ABCV中，AD为BACÐ的平分线，求证：AB BDAC DC=.证明过C作CE//AD，交BA延长线于E，//,.BA BDAD CEAE DC\=QQ AD平分,,BAC BAD DAC衆?由//AD CE知,,BAD E DAC ACE?行=,,E ACE AE AC\??即AB BDAC DC\=.例4的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习11．如图3.1-6，123////l l l，下列比例式正确的是（）图3.1-3图3.1-4图3.1-5A ．ADCE DF BC = B ．ADBCBE AF = C ．CEAD DFBC = D.AFBEDF CE=2．如图3.1-7，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm =3,2,DB cm FC cm ==求BF .3．如图，在ABC V 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.4．如图，在ABC V 中，BAC Ð的外角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，求证：AB BDAC DC=.（三角形外角平分线定理）5．如图，在ABC V 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使BD =CE ，DE 延长线交BC 的延长线于F .求证：DF ACEF AB=.图3.1-6图3.1-7图3.1-8图3.1-9 图3.1-103.12．相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例 5 如图 3.1-11，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BAC CDB ? ，求证：DAC CBD ? .证明 在OAB V 与ODC V 中，,,AOB DOC OAB ODC ?行=\OAB V ∽ODC V ， OA OB OD OC \=，即OA OD OB OC=. 又OAD V 与OBC V 中，AOD BOC ? ，\OAD V ∽OBC V ， \DAC CBD ? .例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC 中，BAC Ð为直角，AD BC D ^于.求证：（1）2AB BD BC = ，2AC CD CB = ； （2）2AD BD CD =证明 （1）在Rt BAC V 与Rt BDA V 中，BB ? ，BAC \V ∽BDA V ，2,.BA BCAB BD BC BD BA\== 即 同理可证得2AC CD CB = .（2）在Rt ABD V 与Rt CAD V 中，90o CCADBAD ?-? ，Rt ABD \V ∽Rt CAD V ，2,.AD DCAD BD DC BD AD\== 即 我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.例7 在ABC V 中，,,AD BC D DE AB E DF AC F ^^^于于于，求证：A E AB A F A ? . 证明 A D BC ^Q ，\ADB V 为直角三角形，又DE AB ^，由射影定理，知2AD AE AB = .图3.1-11图3.1-12图3.1-13同理可得2AD AF AC = .AE ABAF AC \? .例8 如图3.1-14，在ABC V 中，D 为边BC 的中点，E 为边AC 上的任意一点，BE 交AD 于点O .某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：（1） 当11211AE AC ==+时，有22321AO AD ==+.（如图3.1-14a ） （2） 当11312AE AC ==+时，有22422AO AD ==+.（如图3.1-14b ） （3） 当11413AE AC ==+时，有22523AO AD ==+.（如图3.1-14c ） 在图3.1-14d 中，当11AE AC n=+时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示AO AD 的一般结论，并给出证明（其中n 为正整数）. 解：依题意可以猜想：当11AE AC n =+时，有22AO AD n=+成立. 证明 过点D 作DF //BE 交AC 于点F ，Q D 是BC 的中点，\F 是EC 的中点， 由11AE AC n =+可知1AE EC n =，22,.2AE AE EF n AF n\==+. 2.2AO AE AD AF n\==+ 想一想，图3.1-14d 中，若1AO AD n =，则?AEAC= 本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.练习2 1．如图3.1-15，D 是ABC V 的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E .已知AD ：图3.1-14DB =2：3，则:ADE BCDE S S V 四边形等于（ ）A ．2:3B ．4:9C ．4:5D ．4:21 2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别是__________.3．已知：ABC V 的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''A B C V 的最大边长是15，求'''A B C 的面积'''A B C S V .4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.（1） 请判断四边形EFGH 是什么四边形，试说明理由；（2） 若四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方形？5．如图3.1-17,点C 、D 在线段AB 上，PCD V 是等边三角形， （1） 当AC 、CD 、DB 满足怎样的关系时，ACP V ∽PDB V ？ （2） 当ACP V ∽PDB V 时，求APB Ð的度数.习题3.1 A 组1． 如图3.1-18，ABC V 中，AD =DF =FB ，AE =EG =GC ，FG =4，则（ ） A ．DE =1，BC =7 B ．DE =2，BC =6 C ．DE =3，BC =5 D ．DE =2，BC =8图3.1-15图3.1-16图3.1-172． 如图3.1-19，BD 、CE 是ABC V 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE 的中点，则:PQ BC 等于（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：63． 如图3.1-20，ABCD Y 中，E 是A B 延长线上一点，DE 交BC 于点F ，已知BE ：AB =2：3，4BEF S =V ，求CDF S V .4． 如图3.1-21，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE AC ^交AC 于F ，过F 作FG //AB交AE 于G ，求证：2AG AF FC = .B 组1． 如图3.1-22，已知ABC V 中，AE ：EB =1：3，BD ：DC =2：1，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD +的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．22． 如图3.1-23，已知ABC V 周长为1，连结ABC V 三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周长为（ ） A ．12002 B ．12003 C ．200212 D ．2003123． 如图3.1-24，已知M 为ABCD Y 的边AB 的中点，CM 交BD 于点E ，则图中阴影部分的面积与ABCD Y 面积的比是（ ）图3.1-18图3.1-19图3.1-20图3.1-22图3.1-23 图3.1-24图3.1-21A ．13 B ．14 C ．16 D ．5124． 如图3.1-25，梯形ABCD 中，AD //BC ，EF 经过梯形对角线的交点O ，且EF //AD . （1） 求证：OE =OF ；（2） 求OE OEAD BC+的值； （3） 求证：112AD BC EF+=.C 组1． 如图3.1-26，ABC V 中，P 是边AB 上一点，连结CP .（1） 要使ACP V ∽ABC V ，还要补充的一个条件是____________. （2） 若ACP V ∽ABC V ，且:2:1A P P B =，则:B C P C =_____.2． 如图 3.1-27，点E 是四边形ABCD 的对角线BD 上一点，且BAC BDC DAE ?? .（1） 求证：BE AD CD AE ? ； （2） 根据图形的特点，猜想BCDE可能等于那两条线段的比（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想.3． 如图3.1-28，在Rt ABC V 中，AB =AC ，90o A?，点D 为BC 上任一点，DF AB ^于F ，DE AC ^于E ，M 为BC 的中点，试判断MEF V 是什么形状的三角形，并证明你的结论.4． 如图3.1-29a ，,,AB BD CD BD ^^垂足分别为B 、D ，AD 和BC 相交于E ，EF BD^于F ，我们可以证明111AB CD EF+=成立. 图3.1-25图3.1-26 图3.1-27图3.1-28若将图3.1-29a 中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b ，//,AB CD AD BC 、相交于E ，EF//AB交BD 于F ，则：（1）111AB CD EF+=还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（2） 请找出,ABD BCD S S V V 和EBD S V 之间的关系，并给出证明.3.2三角形 3.2.1三角形的“五心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.如图3.2-1 ，在三角形△ABC 中，有三条边,,AB BC CA ，三个顶点,,A B C ，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知 D 、E 、F 分别为△ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点， 求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1. 证明 连结DE ，设AD 、BE 交于点G ，Q D 、E 分别为BC 、AE 的中点，则DE //AB ，且12DE AB =， 图3.1-29图3.2-1图3.2-2图3.2-3GDE \V ∽GAB V ，且相似比为1：2，2,2AG GD BG GE \==.设AD 、CF 交于点'G ，同理可得，'2','2'.AG G D CG G F == 则G 与'G 重合，\ AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2:1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）例2 已知ABC V 的三边长分别为,,BC a AC b AB c ===，I 为ABC V 的内心，且I 在ABC V 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2b c aAE AF +-==. 证明 作ABC V 的内切圆，则D E F 、、分别为内切圆在三边上的切点，,AE AF Q 为圆的从同一点作的两条切线，AE AF \=，同理，BD =BF ，CD =CE .22b c a AF BF AE CE BD CD AF AE AF AE\+-=+++--=+==即2b c aAE AF +-==. 例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形. 已知 O 为三角形ABC 的重心和内心. 求证 三角形ABC 为等边三角形.证明 如图，连AO 并延长交BC 于D .Q O 为三角形的内心，故AD 平分BAC Ð，AB BDAC DC\=（角平分线性质定理） Q O 为三角形的重心，D 为BC 的中点，即BD =DC . 1AB AC\=，即AB AC =. 同理可得，AB =BC .ABC \V 为等边三角形.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）图 3.2-4图 3.2-6图3.2-7 图3.2-5例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知 ABC V 中，,AD BC D BE AC E ^^于于，AD 与BE 交于H 点.求证 C H A B ^.证明 以CH 为直径作圆，,,90,o AD BC BE AC HDCHEC ^^\??QD E \、在以CH 为直径的圆上，FCB DEH \? . 同理，E 、D 在以AB 为直径的圆上，可得BEDBAD ? . BCH BAD \? ，又ABD V 与CBF V 有公共角B Ð，90oCFB ADB \??，即CH AB ^.过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2． （1） 若三角形ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则三角形的内切圆的半径是___________;（2）若直角三角形的三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.图3.2-8 图 3.2-93.2.2解斜三角形一、回顾直角三角形的四个锐角三角函数的概念；1正弦、余弦、正切、余切 2、特殊角的三角函数值二、直角三角形的边角公式：平方和关系、商的关系、倒数关系sin 2a+cos 2a=1 tga=a cos sina ctga=asin cosa tg 2a ·ctg 2a=1 分别写出变形式：三、讲授在坐标系内的钝角三角函数。

高一预科数学知识点一、代数与函数1.1. 整式与分式在高中预科数学中，我们首先需要了解整式和分式的概念。

整式是由常数或变量通过加、减、乘、乘方等运算连接而成的式子，例如2x^2+3xy-5。

分式是由整式的一部分（分子）除以另一部分（分母）得到的表达式，例如(2x^2+3xy-5)/(x+1)。

1.2. 方程与不等式方程是等号连接两个整式的数学关系式，例如2x+3=7。

不等式是不等号连接两个整式的数学关系式，例如2x+3<7。

1.3. 函数与图像函数是一种特殊的关系，它将一个自变量映射到一个因变量上。

函数通常用f(x)表示，其中x为自变量，f(x)为因变量。

函数的图像是由函数的各个取值所组成的点在坐标系上的表示。

二、几何与三角学2.1. 点、线、面点是几何的基本概念，它没有大小和方向，用字母表示，例如A、B、C。

线是由无穷多个点连接而成的路径，用字母表示或用两点之间的符号表示，例如AB、BC。

面是由无穷多个点和连续的线连接而成的平面，用字母表示，例如ABC。

2.2. 直角三角形与三角函数直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个内角为90度（直角）。

三角函数是描述三角形各边之间关系的函数，例如正弦函数、余弦函数和正切函数。

2.3. 圆与圆周率圆是由平面上距离圆心相等的点组成的图形。

圆周率是一个无理数，通常用希腊字母π表示，其值约等于3.14159。

三、概率与统计学3.1. 概率概率是描述事件发生可能性的数值，其取值范围在0到1之间。

概率可以通过实验、频率和古典概型等方法进行计算。

3.2. 统计学统计学是对数据进行收集、整理、分析和解释的科学。

统计学包括描述统计和推断统计两个方面，用于总结和分析数据。

四、解析几何4.1. 直线与曲线直线是连续的无限延伸的路径，可以用斜率截距式等表达。

曲线是一种弯曲的路径，可以用方程、坐标等表示。

4.2. 向量与坐标向量表示有大小和方向的量，可以通过坐标表示，也可以进行运算。

高一预科课程设计一、教学目标本课程旨在为高一新生提供预科数学知识的学习，通过本课程的学习，学生应达到以下教学目标：1.知识目标：–掌握函数、导数、积分等基本概念；–理解函数的图像和性质，能够运用函数解决实际问题；–掌握三角函数的基本性质和公式，能够解决三角函数相关问题；–掌握指数函数、对数函数的基本性质和公式，能够解决相关问题；–掌握数列的基本性质和求和公式，能够解决数列相关问题。

2.技能目标：–能够运用数学符号和语言表达数学概念和问题；–能够运用数学方法解决实际问题，具备一定的数学建模能力；–能够运用数学软件或工具进行数学计算和作图。

3.情感态度价值观目标：–培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生的学习动力；–培养学生的团队合作意识和沟通能力；–培养学生的批判性思维和创新能力。

二、教学内容根据教学目标，本课程的教学内容主要包括以下几个方面：1.函数与极限：介绍函数的基本概念和性质，理解函数的图像，掌握函数的求导和积分方法，解决函数相关问题。

2.三角函数：掌握三角函数的基本性质和公式，能够解决三角函数相关问题，如解三角形、三角恒等式等。

3.指数函数与对数函数：掌握指数函数和对数函数的基本性质和公式，能够解决相关问题，如增长率和对数方程等。

4.数列：掌握数列的基本性质和求和公式，能够解决数列相关问题，如等差数列、等比数列等。

三、教学方法为了实现教学目标，本课程将采用多种教学方法，包括：1.讲授法：教师通过讲解和解释数学概念和公式，帮助学生理解和掌握相关知识。

2.案例分析法：通过分析和解决实际问题，培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。

3.小组讨论法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

4.实验法：利用数学软件或工具进行数学计算和作图，培养学生的实验操作能力和数学思维能力。

四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将使用以下教学资源：1.教材：选用适合高一新生预科水平的数学教材，如《高中数学预科教程》等。

高一预科的数学知识点重点在高一阶段，数学是一个重要而且基础的学科，对于学生打好数学基础非常关键。

本文将总结高一预科的数学知识点的重点，并给出相关解析。

1. 代数与函数代数是高中数学的基础，重要的代数知识点主要包括方程与不等式、函数与方程组等内容。

1.1 方程与不等式方程与不等式是解决数学问题的重要工具。

在高一预科阶段，主要学习一元二次方程和一次不等式。

需要掌握如何利用因式分解、配方法等解决方程问题，并能熟练使用“二次平方差公式”，便于快速求解一元二次方程。

1.2 函数函数是数学中重要的概念，它用于描述数值之间的关系。

在高一预科阶段，主要学习一元函数和常见函数的性质。

一元函数的定义包括函数的自变量和因变量的关系，函数的图像等。

需要掌握线性函数、二次函数和反比例函数等函数的定义和性质。

除了一元函数，还需要了解常见的函数类型，如绝对值函数、指数函数和对数函数。

了解这些函数的定义、性质和图像变化规律，对于理解更高级的数学内容非常重要。

2. 几何与三角函数几何是学习数学的重要部分，涉及到点、线、面等基本的几何概念。

2.1 平面几何平面几何主要包括点、直线、面的基本性质，以及与它们相关的角、三角形、四边形等形状的性质。

需要掌握的知识点包括平行线与垂直线的判定、角的度量、三角形和四边形的边长与角度关系等。

2.2 空间几何空间几何主要研究三维几何图形及其性质。

高一预科阶段主要学习的是直线和平面的位置关系、平行与垂直、角的类别与度量等。

此外，还需了解球的表面积和体积的计算方法，以及空间中点、线、面和体之间的关系。

2.3 三角函数三角函数是几何与代数的结合，是高中数学中重要的内容。

需要掌握常见三角函数（正弦、余弦、正切等）的定义、性质和图像，能够应用三角函数解决实际问题。

3. 概率与统计概率与统计是高中数学的另一个重要内容，常常与实际问题相结合。

3.1 概率概率是描述随机事件发生可能性的工具。

在高一预科阶段，需要掌握基本事件、样本空间、概率的计算方法等。

河北新高一数学预科知识点在河北省的新高一数学预科教育中，学生们需要掌握一定的数学知识点。

这些知识点旨在培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

本文将主要介绍一些重要的数学知识点。

一、方程与不等式方程与不等式是数学中重要的概念，它们是解决各种数学问题的基础。

方程是由等号连接的代数式，而不等式则是由大于号或小于号等连接的代数式。

在解方程与不等式的过程中，学生需要具备良好的代数运算能力和逻辑思维能力。

二、函数函数是数学中的关键概念之一。

它描述了输入与输出之间的关系。

函数可以表示为f(x) = y的形式，其中x为自变量，y为因变量。

学生需要理解函数的性质，并能够对函数进行图像分析、求导等操作。

三、数列与数列极限数列是一组按照一定规律排列的数。

数列极限是数列最接近的数值。

通过对数列的研究，可以了解数列的趋势和发展规律。

学生需要学会判断数列的有界性、单调性和极限值。

四、三角函数三角函数是数学中常见的函数之一。

它们描述了三角形内角与边之间的关系。

学生需要学会使用正弦、余弦和正切等三角函数求解各种问题，并能够理解其在几何和物理中的应用。

五、导数与微分导数与微分是微积分的重要内容。

导数表示了函数在某一点的变化率，微分则是对函数的微小变化的近似表示。

通过学习导数与微分，学生可以了解函数的变化趋势、函数的增减性质以及函数的极值等。

六、数理统计数理统计是描述和分析随机现象的数学方法之一。

学生需要学会收集数据、整理数据，并能够进行数据的分析和概率的计算。

通过数理统计的学习，可以培养学生的数据分析和问题解决能力。

七、向量与矩阵向量与矩阵是线性代数中的重要概念。

向量表示了具有大小和方向的物理量，矩阵则表示了多个线性方程的组合。

学生需要学会进行向量与矩阵的运算，并能够应用向量与矩阵解决实际问题。

综上所述，河北新高一数学预科教育中的知识点包括方程与不等式、函数、数列与数列极限、三角函数、导数与微分、数理统计以及向量与矩阵等。

这些知识点旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力，在学生未来的学习和职业生涯中发挥重要的作用。

「新高一预科」2024版数学必修第一册必刷题新高一预科数学必修第一册是高中数学学习的重要一册，为了巩固学生对于基础数学知识的掌握，也为了让学生逐渐适应高中数学的学习方法和思维方式，这本教材中的题目往往涵盖了各个知识点的应用和拓展。

本文将会介绍一些必刷题，帮助学生全面、系统地掌握这本教材中的知识。

1.关于集合的题目集合是高中数学中的基础概念之一，学生在初中已经接触过集合的概念，这里的题目能够帮助学生巩固对于集合的理解和运用。

例如，集合的定义、集合的基本运算、集合的关系等等。

通过大量的练习，学生能够更加熟悉集合的运算规律和性质。

2.关于函数的题目函数是高中数学中的另一个重要概念，学生需要理解函数的定义、函数的性质、函数的图像等等。

这里的题目可以帮助学生掌握函数的基本性质，以及函数的应用。

例如，求函数的定义域、判断函数的奇偶性、求函数的极值、用函数解决实际问题等等。

通过这些题目的练习，学生可以更好地理解函数的基本概念和运用方法。

3.关于数列的题目数列是高中数学中重要的内容之一，学生需要掌握数列的基本性质、数列的通项公式、数列的求和公式等等。

这里的题目可以帮助学生更加全面地掌握数列的知识。

例如，求等差数列的通项公式、求等比数列的通项公式、求等差数列的和、求等比数列的和等等。

通过大量的题目练习，学生可以更加熟练地掌握数列的相关知识和运用。

4.关于平面几何的题目平面几何是高中数学中需要掌握的重要内容之一，这里的题目可以帮助学生巩固平面几何的基本知识和运用。

例如，平面几何的基本概念、平面几何的性质、平面几何的判定等等。

通过这些题目的练习，学生可以更加深入地理解平面几何的相关知识，并且能够更好地运用到实际问题中。

总之，新高一预科数学必修第一册中的题目是学生逐步过渡到高中数学学习的桥梁，通过用大量的题目进行练习，学生能够全面地掌握这本教材中的知识，并且能够更好地适应高中数学的学习方式和思维方式。

希望学生们能够充分利用这本教材，通过不断地练习和思考，提高自己的数学素养和解题能力。

高一数学预科班前言摘要：1.高一数学预科班的重要性2.预科班的内容概述3.为何选择参加预科班4.如何更好地应对高中数学学习5.结语正文：尊敬的读者，您好！欢迎您来到高一数学预科班的前言部分。

在这里，我们将简要介绍高一数学预科班的重要性、内容概述以及为何选择参加预科班。

我们希望这些信息能帮助您更好地应对高中数学学习，为未来的学业打下坚实基础。

一、高一数学预科班的重要性作为高中阶段的起始年级，高一数学对于学生来说具有举足轻重的地位。

一方面，数学是其他学科的基础，尤其是物理、化学、生物等理工科专业；另一方面，数学成绩在高考中占据较大比重，直接影响学生的综合素质评价。

因此，提前预习高一数学课程，打牢基础，对于提高学生整体学业水平具有重要意义。

二、预科班内容概述高一数学预科班将带领同学们提前熟悉新学期的课程内容，主要包括以下几个方面：1.初高中数学知识的衔接：回顾初中数学基础知识，为高中数学学习做好铺垫。

2.高中数学基本概念和方法的介绍：使同学们对高中数学有一个整体的认识。

3.高中数学重点难点的讲解：帮助同学们提前掌握关键知识点，减轻学习压力。

4.高中数学题型和解题技巧的训练：提高同学们的解题能力和应试水平。

三、为何选择参加预科班1.提高学习效率：预科班可以帮助同学们提前了解新学期课程，让正式上课时能更快地进入学习状态，提高课堂吸收率。

2.巩固基础知识：预科班对初中数学知识进行回顾，有助于同学们查漏补缺，为高中学习打下坚实基础。

3.增强自信心：通过预科班的学习，同学们可以提前了解高中数学的难度和特点，从而做好心理准备，增强学习信心。

4.培养良好的学习习惯：预科班课程安排紧凑，有助于同学们养成良好的学习习惯，为高中阶段的学习奠定基础。

四、如何更好地应对高中数学学习1.调整心态：正视高中数学的难度，保持积极的学习态度。

2.培养数学思维：多做练习，善于思考，培养解题思路。

3.制定学习计划：合理安排学习时间，确保学习效果。

高一数学预科必上知识点一、函数与方程数学中的函数和方程是高一预科数学学习的重点之一。

函数是一种数学工具，用来描述两个变量之间的关系。

通常我们用字母表示函数，比如y = f(x)。

方程则是一个由等号连接的两个表达式，其中至少包含一个未知数。

高一数学预科中需要学习的函数与方程的知识点包括但不限于以下几个方面：1.函数的定义与性质：包括定义域、值域、奇偶性、单调性等。

2.函数的图像：通过函数的图像可以更直观地理解函数的性质。

3.一次函数和二次函数：一次函数是一种最简单的函数，可以用 y = kx + b 表示；二次函数则是一种常见的函数类型，可以用 y = ax^2 + bx + c 表示。

4.指数函数和对数函数：指数函数是以常数 e 为底数的函数，可以用 y = a^x 表示；对数函数则是指数函数的反函数。

5.三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

二、数列与数列的极限数列是一系列按照一定规律排列的数，数列中的每一个数叫做该数列的项。

高一数学预科中需要学习的数列与数列的极限的知识点包括但不限于以下几个方面：1.数列的性质：包括等差数列、等比数列等的定义与性质。

2.数列的通项公式：可以通过数列的通项公式来计算数列中任意一项的值。

3.数列的极限：当数列的项数逐渐趋向于无穷大时，数列可能会逐渐趋于某一个值，这个值叫做数列的极限。

三、几何的初步认识几何是一个研究图形、形状、大小等概念的数学分支，也是高一数学预科的重要内容。

几何的基本概念和初步认识包括但不限于以下几个方面：1.点、线、面：几何学中最基本的概念。

2.几何图形的性质：几何图形有不同的性质，比如圆的半径、面积，三角形的角度、边长等。

3.立体图形的认识：包括正方体、长方体、球体等。

四、数学证明高一数学预科中除了基础的知识点之外，还需要学习数学证明的方法与技巧。

数学证明是数学研究中的重要环节，可以培养学生的逻辑思维和分析思考能力。

数学证明的主要内容包括但不限于以下几个方面：1.直接证明法：通过直接推导和推理，证明所要的结论。

【序】作为新高一预科数学必修第一册的学习者，我们应该重视必刷题这一学习方法，通过大量的题目练习来巩固基础知识，提高解题能力。

下面将介绍新高一预科2024版数学必修第一册中的必刷题，希望能够帮助同学们更好地学习数学，取得更好的成绩。

一、整式与因式分解1. 整式的加减整式的加减是整式运算的基础，要熟练掌握各种形式的整式加减，包括同类项的合并和系数的计算。

常见的题型有：(1) 化简表达式：如将3x+2y-5x-3y进行合并；(2) 填空求值：如计算4a-(-5a+2b)的值。

2. 整式的乘法整式的乘法是整式运算中的重要环节，要熟练掌握多项式的乘法规则，包括分配律、乘法交换律和乘法结合律。

常见的题型有：(1) 展开式子：如计算(3x+2)(4x-5)的结果；(2) 计算含有未知数的表达式：如计算2a*(3a+4b)的结果。

3. 因式分解因式分解是整式运算的重要内容，要熟练掌握各种因式分解的方法，包括提公因式法、公式法和分组分解法。

常见的题型有：(1) 因式分解：如对多项式2x^2-7x+3进行因式分解；(2) 求解未知数：如对方程式2x^2-7x+3=0进行因式分解求解。

二、一元二次方程1. 一元二次方程的定义一元二次方程是关于未知数x的二次方程，其一般形式为ax^2+bx+c=0。

在解一元二次方程时，需要熟练掌握求根公式和配方法。

常见的题型有：(1) 解一元二次方程：如求解方程式2x^2-3x+1=0的解；(2) 判断方程根的情况：如判断方程式3x^2-4x+2=0的根的情况。

2. 一元二次方程的应用一元二次方程在生活中有很多应用，需要熟练掌握利用一元二次方程解决实际问题的方法。

常见的题型有：(1) 求最值：如求抛物线y=x^2-2x+3的最小值；(2) 计算距离和时间：如根据公式d=vt-1/2at^2计算运动物体的路径。

三、不等式1. 不等式的性质不等式是数学中的重要内容，需要熟练掌握不等式的性质和解不等式的方法。

考点1：集合的概念1．⑴ 集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素． ⑵ 一般情况下，集合用英文大写字母,,,A B C 表示．元素用英文小写字母,,,a b c 表示； ⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．2．元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈； 如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉．3．某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集N *N 或N + Z Q R练习1： 用∈，∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ；⑤5___Q ；⑥22-___R ；⑦π___R ；4．元素的性质①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个． ③无序性：集合中的元素是无次序关系的．1.1 集合的概念与表示第1讲集 合【例1】 ⑴ 若221x x +，，是一个集合中的三个元素，实数x 应满足什么条件？⑵设R x ∈，将对象x ，x -，2x ，33x -，44x -，24x 组成集合M ，则集合M 中元素最多时有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 ⑶下列叙述中正确的个数是（ ）①若a -∈Z ，则a ∈Z ；②若a -∉N ，则a ∈N ；③a ∈Z ，若a -∉N ，则a ∈N ；④a ∈Z ，若a ∈N ，则a -∉N ． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，，{12345}，，，，，．【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为{0123100}，，，，，，自然数集可以表示成{0123}，，，，．有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程260x x +-=的解集可以写成{23}-，；直线2y x =与直线2y x =的交点集合可以写成{(00)(24)}，，，．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ． 方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．【注意】①描述法给出了一个客观的标准，用{|}表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．如：{3000}x x 是山峰｜的高度在米以上；{|}x x 是人物角色是《红楼梦》中出现的人； {|}x x 是人是《西游记》中出现的人，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生： 孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人．李世民在吗？在；天篷元帅在吗？……{|3}x x ∈R ≥，说明集合描述的是实数x ，这个实数具有大于等于3的特点． 若元素范围为R ，在不致发生误解时，x ∈R 也可以省略，直接写成{|3}x x ≥． 但对于集合{|3}x x ∈Z ≥，则x ∈Z 一定不能省略．②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为()x y ，．如：2{()|}x y y x x =∈R ，，，说明集合是点集，点()x y ，满足2y x =，故集合中的点在抛物线2y x =上，即此集合表示抛物线2y x =上所有的点．③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即{|2}x x >与{|2}y y >表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．练习2：将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ；④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =．练习3：用通俗的语言（即自然语言）描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭，．【例2】 请指出以下几个集合间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法）．2{|1}A x y x =∈=+R ，2{|1}B y y x =∈=+R ，2{()|1}C x y y x ==+，．【例3】 ⑴已知集合{1234}A =，，，，集合{()|}M a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，用列举法表示集合M =_________________．⑵已知集合2010|5M a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N ，，集合20102010|55N a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬--⎩⎭N N ，，则用列举法表示集合M =________，集合N =_______________．⑶集合{}|2A x x k k ==∈Z ，，{}|21B x x k k ==+∈Z ，，{}|41C x x k k ==+∈Z ，，又a A ∈，b B ∈，则有（ ）A ．a b A +∈B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．a b +不属于A ，B ，C 中任意1个【备选】 集合{}222(,,)432,,,A x y z x y z xy y z x y z =+++=++∈R 中有（ ）个元素．A ．0B ．1C ．2D ．无数列举法与描述法是我们最常用，也是最普遍的两种集合的表示方法．前者简单直观，一个对象是否在其中一目了然，但只能表示一些比较简单的集合．后者具有普遍的意义，有时解读起来并不容易，高考压轴题有些具有集合背景，首先就需要对一个由描述法给出的集合进行解读，我们会在秋季时再看．除了这两种表示方法之后，还有两种集合的特殊的表示方法，一种是在后面讲的集合的相互关系中常常遇到，称为图示法，也叫维恩图．还有一种方法—区间表示法可以表示一类特殊的连续数集．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn ）图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．见板块1.2与板块1.3．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，，且a b <，定义 名称 符号 数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 []a b ， x ba{|}x a x b << 开区间 ()a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左闭右开区间 [)a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左开右闭区间(]a b ， a b x {|}x x a ≥ 一类特殊的区间[)a +∞， ax{|}x x a ≤(]a -∞，ax{|}x x a > ()a +∞， ax{|}x x a <()a -∞，ax实数a 与b 都叫做相应区间的端点；“+∞”读作“正无穷大”， “-∞”读作“负无穷大”． 实数集R 也可以用()-∞+∞，表示．练习4：将下面的集合表示成区间：⑴{|12}x x -<≤；⑵{|240}x x ->；⑵{|420}x x -≥．【例4】 把下列集合表示成区间⑴{|1}x x ≤；⑵2{|2}y y x x =-+；⑶2{|22111}y y x x x =++-<<，．**************************************************************************************** 这里补充一个初高衔接的内容：配方法（学生版不出现，课件出现，以后同）配方法是针对二次函数或者换元后是二次函数的函数求取值范围或最大最小值常用的一种方法，是高中需要熟练掌握的一种方法．【例题】求出下列函数的最大值、最小值和对应的x 值．⑴2241y x x =+-；⑵2261y x x =-++；⑶2241y x x =+-，22x -≤≤；⑷2261y x x =-++，12x -≤≤．【练习】求下列函数的最值：⑴221y x x =++，11x -≤≤；⑵227y x x =---，2x -≤≤1．****************************************************************************************考点4：子集、真子集与集合相等1．子集：对于两个集合A B ，，如果集合A中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）．规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ．2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）． 规定：∅是任意非空集合的真子集．练习5：下列四个命题中正确的有_______．①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．3．集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．【例5】 ⑴ 下面关系式中，正确的是_______．①0{}∈∅；②{}∅∅；③{0}∅；④{}a a ⊆；⑤{}{}a a ；⑥{}a ∅∈．⑵用=≠，，，填空：①{1}______2{|320}x x x -+=；②{12}，______2{|320}x x x -+= ③∅______2{|20}x x ∈+=R ；④{|32}x x +>______{|10}y y ->；1.2集合的关系⑤2{()|1}x y y x =+，_____2{|1}y y x =+；⑥2{|1}x y x =+_____2{|1}y y x =+； ⑦{(2,3)}______{(3,2)}；⑧{23}，______{(23)}，．考点5：交集、并集与补集交集的引入直观上，现在你有两个集合，这两个集合的公共部分就是一个新的集合，这就是交运算．例：{我们班所有男生}和{我们班所有戴眼镜的同学}，它们的公共部分就是{我们班所有戴眼镜的男生}，这是一个新的集合，这个过程就是交的运算过程．而{我们班所有的男生}和{我们班所有的女生}，它们的公共部分没有任何元素，就是空集．A 与B 的交集用A B 表示．给一些数学上的例子： 例：⑴{123}{234}A B ==，，，，，，则{23}A B =，；⑵A B ==Z N ，，则A B =N ； ⑶{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|21}B x x k k ==+∈Z ，，则A B =∅；交集的严格数学定义即：{}|A B x x A x B =∈∈且．我们可以注意到AA A A =∅=∅，，若AB ⊆，则A B A =．1．交集：对于两个给定的集合A 、B ，属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为：{}|A B x x A x B =∈∈且，用维恩（Venn ）图表示为：A B =∅ A B B = AB 为其公共部分并集的引入直观上，现在你有两个集合，你把两个集合中的元素放到一块，就得到一个新的集合．例：{我们班所有男生}和{我们班所有女生}两个集合放一块，就是{我们班所有同学}，这个过程就叫做并的运算过程．A 与B 的并集用A B 表示．可以给一些数学上的小例子： 例：⑴{123}{456}A B ==，，，，，，则{123456}A B =，，，，，；⑵{|2}A x x k k ==∈Z ，表示所有偶数，{|21}B x x k k ==+∈Z ，表示所有奇数，则A B =Z 为所有整数； ⑶{|41}A x x k k ==+∈Z ，，{|43}B x x k k ==+∈Z ，，则A B ={|21}x x k k =+∈Z ，．在并的运算过程中，注意元素相同的只需要考虑一个就行，不能重复出现，这是由集合中元素的1.3集合的运算BA互异性决定的．例{123}{234}A B ==，，，，，时，{1234}A B =，，，；A B ==Z N ，，则A B =Z ； 我们可以注意到A A A A A =∅=，，若A B ⊆，则A B B =． 有了并的运算后，很多写法就非常简单了，如2320x x -+>的解集可以写成{|1x x <或2}x >，可以用区间与并集符号写成(1)(2)-∞+∞，，．2．并集：对于两个给定的集合A 、B ，由两个集合所有元素构成的集合叫做A 与B 的并集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为{}|A B x x A x B =∈∈或;用维恩（Venn ）图表示如下： 或 或补集的引入一般情况下，把我们所描述对象的所有全体当作一个对象，这个对象就是全集．把在全集U 中不属于A 的那些元素构成的集合，叫到A 在U 中的补集，直观上，就是从U 中把A 挖掉剩下的部分．如：U ={我们班同学}，A ={我们班男生}，A 的补集就是{我们班女生}；U ={我们班人}，A ={我们班同学}，A 的补集就是{老师}．A 在U 中的补集记为U A ．例：{12345}U =，，，，，{123}A =，，，则{45}UA =，；ZN 就是所有的负整数；R Q 就是所有的无理数；{|21}A x x k k ==+∈Z ，，则{|2}A x x k k ==∈ZZ ，；[55]A =-，，[01]B =，，[50)(15]A B =-，，．3．补集： ①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示． ②补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作“U A ”．读作“A 在U 中的补集”．A 在U 中的补集的数学表达式是{}|UA x x U x A =∈∉，且．用维恩（Venn ）图表示：【例题】用集合的运算表示下面阴影部分的集合．⑴UBA ⑵A BU⑶A BU【例6】 ⑴已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合UAB 等于（ ）A ．}{|24x x -≤≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤⑵设集合{}21|2|12A x x B x x ⎧⎫=-<<=⎨⎬⎩⎭，≤，则A B =（ ）A ．{}|12x x -<≤B ．1|12x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭≤C ．{}|2x x <D ．{}|12x x <≤⑶集合{}{}2|03|9P x x M x x =∈<,=∈Z R ≤≤，则PM =（ ）A ．{}12,B ．{}012,,C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤≤ ⑷已知集合{}2|1P x x =≤，{}M a =，若P M P =，则a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．[)1+∞，C ．[]11-，D ．(][)11-∞-+∞，，【例7】 ⑴集合222{|320}{|2(1)(5)0}A x x x B x x a x a =-+==+++-=，，若{2}A B =，求实数 a 的值； ⑵集合2{|10}{|320}A x ax B x x x =-==-+=，，且A B B =，求实数a 的值．【备选】（复旦大学2006年自主招生考试）若非空集合{|135}X x a x a =+-≤≤，{|116}Y x x =≤≤，则使得X X Y ⊆成立的所有a 的集合是（ ）A ．{|07}a a ≤≤B ．{|37}a a ≤≤C ．{|7}a a ≤D ．空集****************************************************************************************【演练1】用最恰当的符号（∈∉=≠，，，，，）填空 ⑴___{0}∅； ⑵2___{(1,2)}； ⑶0___2{|250}x x x -+= ⑷{35}，____2{|8150}x x x -+=； ⑸{35}，___N ；⑹{|2}x x k k =∈N ，______{|6}x x ττ=∈N ， ⑺{|41}x x k k =+∈Z ，____{|43}x x k k =-∈Z ，．【演练2】已知集合{123}A =，，，用列举法表示下面集合⑴{()|}M a b a A b A =∈∈，，；⑵{()|}N a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．【演练3】已知{}2|1M y y x x ==-∈R ，，{}|1P x x a a ==-∈R ，，则集合M 与P 的关系是（ ） A ．M P = B ．P M ∈ C ．MP D ．M P【演练4】⑴ 已知2{|43}A y y x x x ==-+∈R ，，2{()|22}B x y y x x x ==--+∈R ，，，则A B等于（ ）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，⑵ 已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（ ）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．[13]-， ⑶已知(){}2|43,A x y y xx x ==-+∈R ，，(){}2|22,B x y y x x x ==--+∈R ，，则AB 等于（ ）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，实战演练【演练5】设集合{|(3)()0,}=--=，求A B A B，．B x x x=--=∈R，{|(4)(1)0}A x x x a a概念要点回顾1．集合中的元素具有______性、______性、______性；2．常用数集的符号：自然数集____；正整数集____；整数集____；有理数集____；实数集_____．3．集合的表示法：把集合中的元素一一列举出来的方法叫做______；把集合中的元素用一个代表元素表示，并注明满足的条件的方法叫做______；通常用来表示集合与集合之间的关系的方法叫做_______．用来表示连续数集的方法叫做______．4．用来表示元素与集合的关系的符号有_______，用来表示集合与集合的关系的符号有_____________．5．空集是______的子集、空集是___________的真子集．6．两个集合的运算有______、______与______，用这些运算的符号表示下列集合:∈，且}x A∉=______．∈=___B,{|x x Ux B A∈，且}x B A∈=___B；{|x x A∈，或}{|x x A考点2：函数的概念函数的概念：设集合A 是非空的数集，对于A 中的任意实数x ，按照确定的对应法则f ，都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x x A =∈，．其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}y f x x A =∈叫做函数的值域．函数()y f x =也常写作函数f 或函数()f x ．练习2：已知函数2()f x x x=+．⑴(1)f =_______，(4)f =_______；⑵当0a >时，()f a =_____________，(1)f a +=______________．【例8】已知函数221()1222x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，≤，，≥，⑴求(π)f ； ⑵若()3f a =，求a ．【例9】 求下列函数的定义域．①32y x x =+-；②1x y x =-；③21x y x -=-；④()1231f x x x =-⋅-；⑤01()(3)2f x x x =+--；⑥2()2f x x x =+-．2.2函数的概念与三要素知识点睛经典精讲第2讲函数及其表示****************************************************************************************初高衔接——解一元二次不等式求定义域问题中会遇到很多解一元二次不等式的问题，这部分内容初中有所提及，但有些同学掌握的还不太好，可以在这里再复习巩固一下．高中解一元二次不等式多借助一元二次函数的图象，知识点如下：解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有），再结合一元二次函数的图象写出不等式的解集：大于0时两根之外，小于0时两根之间．一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表 （以0a >为例）：【例题】解下列一元二次不等式⑴ 2420x x -->；⑵ 2613280x x --<；⑶2(11)3(21)+++x x x x ≥； ⑷ 2450x x ++>；⑸ 220x x -+->．【练习】解下列一元二次不等式⑴22320x x -->；⑵240x x ->；⑶210x x -+≤．⑷2233312x x x -+>-．【拓展】若01a <<，则不等式1()0x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集是______________．****************************************************************************************考点3：同一函数同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．【例10】 下列各组函数中，表示同一函数的有________．①1y =与x y x= ；②y x =与33y x = ③y x =与2()y x =；④y x =与2y x = ⑤y x =与00x x y x x ⎧=⎨-<⎩，≥，；⑥11y x x =+-21y x =-11y x x =+-21y x =-考点4：复合函数及其定义域复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．⑴ 只有当外层函数()f u ()g x [()]f g x ．⑵ 理解函数符号()f x ，及[()]f g x 与[()]g f x 的区别．⑶ 复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域与定义域共同决定的．【例11】⑴已知()21f x x =+，()21g x x =-，求[()]f f x ，[()]f g x ，[()]g f x 与[()]g g x ．⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出：x 12 34x 1 2 3 4()f x2 34 1 ()g x 2 1 43 那么()()2f f =＿＿，()()2f g =＿＿，()()2g f =＿＿，()()2g g =＿＿；满足()()f g x g f x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的x 的值是＿＿．【例12】⑴若()f x 的定义域为(1,3]，求(2)f x +的定义域；⑵若(2)f x +的定义域是(1,3]，求()f x 的定义域； ⑶若(2)f x +的定义域是(2,5]，求2(3)f x +的定义域．考点5：函数的值域1．部分常见函数的值域：常见函数的值域问题都可以借助函数的草图解决． ⑴一次函数：(0)y kx b k =+≠，图象为一条直线． 不加限制时，定义域为R ，值域为R ． 若定义域发生限制，21y x =+，[31]x ∈-，，值域为[53]-，，就是把端点值代入． 若是取不到端点，如12y x =-，(2]x ∈-∞，，结合图象易知答案为[3)-+∞，． ⑵二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠，图象为抛物线． 进入高中后，要习惯性把0a ≠写上．若定义域无限制，值域为从最小值到正无穷（0a >）或从负无穷到最大值(0)a <． 若定义域有限制，需要判断对称轴是否在区间内，并考虑端点离对称轴的远近，结合图象得到结果．⑶反比例函数：ky x=（0k ≠），图象为双曲线．0k >，图象在第一、三象限：0k <，图象在第二、四象限： 如果定义域无其它限制，值域为(0)(0)-∞+∞，，；如果定义域有其它限制，结合图象得到结果．遇到这三种函数的值域问题，我们应该首先画这些函数的草图，然后再看看函数对应的是图象的哪一段，最后得到所求函数的值域．2．简单复合函数的值域：先求定义域，再自内而外一层一层求值域．练习3：求函数2()1f x x =-的值域．【铺垫】求下列函数的值域：⑴21y x =--，[13]x ∈-，；⑵21y x x =++，[13]x ∈-，；⑶1[13]1y x x =∈+，，； 【例13】求下列函数的值域．⑴2y =-，[21]x ∈--，；⑵1212y x x =->-+，；⑶21y x =-+ ⑷232y x x =-+；⑸282y x x =--【拓展】2()245f x x x =-+集合的表示方法 列举法 描述法 图示法 优点 简单、直观 严谨 直观 缺点 不能表示复杂的集合 抽象 很难表示规则 函数的表示方法 列表法解析法图象法优点 不需要计算、直观 简明概括，易求值 直观，能反映大趋势缺点 不能表示复杂的函数不直观 不够精细考点6：函数的表示法函数的三种表示法⑴ 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法． 优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．⑵ 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(())x f x ，对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{()|()}F P x y y f x x A ==∈，，．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．⑶ 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．练习4：赵小雪同学开了一个小店，里面有5件商品，每个商品的定价都为2元，x 表示卖出商品的数量，y 表示销售收入，用三种方法表示y 关于x 的函数．【例14】 求下列函数解析式⑴已知2()1f x x =+，求(21)f x +； ⑵已知2(1)3f x x x -=+-，求()f x ；⑶已知(32f x x x =-()f x ．已知函数()21f x x =+的定义域为[22]-，，求函数(2)()f x f x -的值域．【演练1】已知集合A *=N ，{}21Z B a a n n ==-∈，，映射:f A B →，使A 中任一元素a 与B 中元素21a -对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是（ ） A ．3 B ．5C ．17D ．9【演练2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．1y x =-和211x y x -=+ B ．0y x =和1y =C ．()2f x x =和()()21g x x =+ D ．()()2x f x x=和()()2xg x x =【演练3】已知函数()34f x x =--的值域为[]105-，，则它的定义域为 ．【演练4】已知()f x 的定义域为[12)-，，则(||)f x 的定义域为（ ）．A ．[12)-，B ．[11]-，C ．(22)-，D ．[22)-，【演练5】 ⑴已知()123f x x +=+，则()3f = ．⑵设(2)23g x x +=+，则()g x =_______．【演练6】已知210()20x x f x x x ⎧+=⎨->⎩≤，，，若()10f a =，求a ．实战演练概念要点回顾1．函数的概念：设集合A是非空的数集，对于A中的____实数x，按照确定的对应法则f，都有_____的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作，．y f x x A=∈()2．函数的三要素是：________、________与________，其中________与________一致的函数就称为同一函数；3．函数的表示方法有______、_______与_______．4．对于复合函数[()]f g x，内层函数是______，外层函数是______，求复合函数的值域需要先求_____，再________一层一层求值域．第3讲函数的单调性考点1：单调性的概念1．一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，区间I D ⊆：⑴ 增函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数； ⑵ 减函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．单调性：如果函数()y f x =在某个区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这个区间上具有单调性，区间I 叫做()y f x =的单调区间．【例15】 已知定义在区间[44]-，上的函数()y f x =的图象如下，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．O yx431124【解析】 函数()y f x =的单调区间有：[42]--,，[21]--,，[11]-，，[13]，，[34]，．其中在区间[21]--,，[13]，上是减函数，在区间[42]--,，[11]-，，[34]，上是增函数．考点2：单调性的严格证明用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <．②作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．练习1：()21f x x =+，证明()f x 在R 上单调递增．3.1函数单调性的定义与判别【例16】⑴证明：函数2()f x x =在(0]-∞，上单调递减；⑵证明：函数1()f x x=在(0)+∞，上单调递减．【例17】⑴证明：函数3()f x x =在定义域上是增函数．⑵证明：函数2()3x g x x =-在区间[12]，上是减函数．****************************************************************************************初高衔接——立方和与立方差公式⑴立方和公式 3322()()a b a b a ab b +=+-+； ⑵立方差公式 3322()()a b a b a ab b -=-++．【例题】⑴已知12x x +=，则331x x +=_____．⑵已知1x y +=，则333x y xy ++的值为_________．【练习】已知12x x-=，则331x x -=_____．【拓展】实数a b ，满足3331a b ab ++=，则a b += ．****************************************************************************************【拓展】讨论函数2()1axf x x =-（110x a -<<≠，）的单调性．考点3：利用单调性解简单的函数不等式【例18】 ⑴已知函数()f x 为R 上的增函数，且(21)(2)f m f m ->+，则m 的取值范围是_______．⑵函数()f x 在(0)+∞，上为减函数，那么2(23)f a a -+与(1)f 的大小关系是________．【拓展】已知函数()f x 为R 上的减函数，则下列各式正确的是（ ）A ．()(2)f a f a >B ．2()()f a f a <C ．2()()f a a f a +<D ．2(1)()f a f a +<考点4：常见函数的单调性常见函数的单调性：1．一次函数()f x kx b =+（0k ≠），单调性由k 决定，12x x <，()()()1212f x f x k x x -=-， 当0k >时，()f x 在R 上单调递增；当0k <时，()f x 在R 上单调递减．2．二次函数()()20f x ax bx c a =++≠， 当0a >时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦，上单调递减，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增； 当0a <时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上单调递增，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递减．3.2常见函数单调性练习2：一个二次函数在()05，上单调递增，在()30-，上单调递减，则它的对称轴为_____．3．反比例函数()kf x x=，0k ≠．当0k >时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递减；当0k <时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递增． 【例19】⑴已知函数y ax =和by x=-在区间(0)+∞，上都是减函数，则函数1by x a=+在R 上的单 调性是_____________．(填增函数或减函数或非单调函数)⑵已知函数2()(1)2f x a x =-+在()-∞+∞，上为减函数，则a 的取值范围为________．⑶若函数2()2012f x x ax =++在(2)-∞，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增，则a =___．⑷若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(4)-∞，上为减函数，则a 的取值范围是 ．【拓展】已知函数()()213f x ax a x a =+-+在区间[)1+∞，上递增，则a 的取值范围是 ．考点5：复合函数单调性对于复合函数[()]y f g x =的单调性，必须考虑函数()y f u =与函数()u g x =的单调性， 函数[()]y f g x =的单调性如下表：()y f u = 增函数 增函数 减函数 减函数 ()u g x = 增函数 减函数 增函数 减函数 [()]y f g x = 增函数 减函数 减函数 增函数小结：同增异减．练习3：判断函数1y x =+的单调性．【例20】判断下列函数的单调性．⑴1y x =- ⑵15y x=- ⑶2145y x x =++ ⑷232y x x =-+．【例21】 判断函数324y x=--的单调性．【拓展】判断函数2312y x=--的单调性．1．若函数()f x 在区间[13)，上是增函数，在区间[35]，上也是增函数，则函数()f x 在区间[15]，上（ ）A ．必是增函数B ．不一定是增函数C ．必是减函数D ．一定是增函数或减函数若函数211()21x x f x ax x ⎧+=⎨-<⎩，≥，在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围为__________．2．如果函数2y ax =+在()1-+∞，上单调递增，求a 的取值范围．【演练1】关于函数()(0)kf x k x=<的下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在(0)+∞，上单调递减B ．()f x 在(0)-∞，上单调递减C ．()f x 的单调增区间为(0)(0)-∞+∞，，D ．()f x 的单调增区间为(0)-∞，和(0)+∞，【演练2】函数2()21f x x x =-+-在区间[2011]a -，上是增函数，则a 的取值范围为________．【演练3】证明：函数()f x x =-在定义域上是减函数．【演练4】已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x⎛⎫> ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ） 实战演练A ．(1)-∞，B ．(1)+∞，C ．(0)(01)-∞，，D ．(0)(1)-∞+∞，，【演练5】判断下列函数的单调性：⑴15y x=+；⑵42y x =-；⑶243y x x =--．1．函数的单调性的定义：如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数；如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．常见函数的单调性：⑴一次函数y kx b =+：0k >时，在____上是____函数；0k <时，在____上是____函数； ⑵二次函数2y ax bx c =++：0a >时，在_________上单调递增，在________上单调递减；0a <时，在_________上单调递增，在________上单调递减；⑶反比例函数k y x=：0k >时，在_________________上单调______；0k <时，在_________________上单调______；3．复合函数的单调性概念要点回顾当()f g x单调递增；f x与()g x的单调性______时，[()]当()f x与()f g x单调递减．g x的单调性______时，[()]第4讲函数的奇偶性考点1：函数奇偶性的定义与判定1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数； 如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．练习1：⑴证明：()4211f x x x =++是偶函数．⑵证明：31()g x x x=+是奇函数．【铺垫】判断下列函数的奇偶性：①()3f x x =；②()31f x x =-；③4()1f x x =+；④1()f x x x=-；⑤2()1f x x x =-+；⑥2()1f x x x =-+．【例22】将下列函数按照奇偶性分类：①(]2()11f x x x =∈-，，；②()()011f x x =∈-，，；③1()1f x x =-； ④()11f x x x =-+-；⑤22()11f x x x =-+-；⑥32()1x xf x x +=-； ⑦()212|2|x f x x -=-+； ⑧1()(1)1xf x x x +=⋅--；⑨10()10x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，，； ⑩10()10x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，，．⑴ 是奇函数但不是偶函数的有__________________；⑵ 是偶函数但不是奇函数的有___________________； ⑶ 既不是奇函数也不是偶函数的有__________________；⑷ 既是奇函数又是偶函数的有 （填相应函数的序号）．4.1函数奇偶性的定义与判别【拓展】函数29|4||3|x y x x -=++-的图象关于（ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线0x y -=对称【例23】 ⑴若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 ．⑵已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当m = ，n = 时，()f x 是奇函数．【例24】 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且23()()1f x g x x x -=--，则()g x 的解析式为（ ）A ．21x -B ．222x -C ．21x -D ．222x -【例25】 ⑴已知()()f x g x ，都是定义在R 上的函数，下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x ⋅为奇函数B ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x +为奇函数C ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则[()]f g x 为偶函数D ．若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]f g x 为奇函数 ⑵设函数3()(1)()f x x x x a =++是奇函数，则a =_______． 考点2：函数奇偶性的简单应用练习2：()f x 是偶函数，且在[)0+∞，上，()21f x x =+，则在()0-∞，上，()f x =_______．【例26】 ⑴()f x 是偶函数，在[)0+∞，上，()243f x x x =-+，则在()0-∞，上()f x =________．⑵()f x 是偶函数，在()0+∞，上，()31f x x x=+，则在()0-∞，上，()f x = ．⑶已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，21()f x x x=-．求函数()f x 的解析式．．单调性：若一个偶函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递减；若一个奇函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递增．说明：偶函数在对应区间上单调性相反，奇函数在对应区间上单调性相同．4.2单调性与奇偶性综合练习3：已知()1f x x x=+，它是奇函数，已知它在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，那么可以得到它在(0)-∞，上的单调情况为______________．【例27】⑴定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0)+∞，上单调递增，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- ⑵设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0)-∞，上是增函数，则(1)f -与2(23)f a a -+（a ∈R ）的大小关系是__________．⑶()f x 是偶函数，在[)0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<． ⑷()f x 是奇函数，在()0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<．【拓展】已知定义在R 上的奇函数()f x 是一个减函数，且120x x +<，230x x +<，310x x +<，则()()()123f x f x f x ++的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上均有可能已知定义在[22]-，上的奇函数()f x 是增函数，求使(21)(1)0f a f a -+->成立的实数a 的取值范围．【演练1】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()0f x ≠，则2()1()F x x f x =--⋅（ ）A ．是奇函数但非偶函数B ．是偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．为非奇非偶函数实战演练。

高一数学预科班前言【实用版】目录1.介绍高一数学预科班的背景和目的2.阐述课程内容和教学方法3.说明课程的适合对象和预期收获4.介绍课程的授课教师及其资质5.总结并鼓励学生报名参加正文尊敬的学生及家长，您好！在这里，我们向您隆重推荐高一数学预科班。

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高一预科数学课程安排高中教学安排的课本目录必修一：第一章集合与函数概念1.1集合（每节对应的练习题）阅读与思考集合中元素的个数1.2函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3函数的基本性质章节练习作业章节总结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3幂函数必修四：第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质1.5函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位 1.6三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2简单的三角恒等变换小结复习参考题树人教育高一预科数学进度安排第一讲集合的概念第二讲集合的关系与运算第三讲映射与函数第四讲函数的表示方法——解析式法第五讲函数单调性第六讲函数奇偶性第七讲指数与指数幂的运算第八讲指数函数第九讲对数函数第十讲对数与对数运算第十一讲幂函数第十二讲方程的根与函数的零点第十三讲用二分法求方程的近似解第十四讲几类不同增长的函数模型第十五讲函数的图像第十六讲二次函数性质与函数的图像第十七讲三角函数普班：授课进度第1-第16讲快班：授课进度第1-第17讲（根据教学进度和孩子接受程度增加平面向量的讲解）快班的中考分数要求裸分530以上。

目录第1讲集合的含义与表示 (1)第2讲集合间的基本关系 (4)第3讲集合间的基本运算 (8)第4讲函数的概念及表示 (12)第5讲定义域与值域的求解 (17)第6讲函数的单调性 (22)第7讲单调性的应用 (27)第8讲函数的奇偶性 (32)第9讲奇偶性的应用 (37)第10讲函数复习 (41)第11讲指数与指数幂的运算 (46)第12讲指数函数及其性质 (51)第13讲对数与对数运算 (56)第1讲 集合的含义与表示一、教学目标1.了解集合的含义，掌握常用数集及其记法；2.体会元素与集合的关系；3.理解集合的常用表示方法，会选择不同的表示方法描述不同的具体问题. 二、教学重难点重点：集合概念的理解 难点：元素与集合的关系四、导入军训时，教官的一声“集合”，把一些“确定的不同对象”聚集在一起了.那么数学中的集合又代表什么意义呢？ 五、名师解析知识点一：元素与集合的概念1.集合的含义：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这 些对象的全体构成的集合.构成集合的每个对象叫做元素.2.元素的三个特征：确定性-----不能确定的元素不能构成集合 互异性-----任何两个元素都是不同的对象 无序性-----元素间无先后顺序 例1.下列各组对象中不能构成集合的是( ) A ．衡水一中2014年入学的全体学生 B ．参加60年国庆庆典观礼团的全体成员 C ．清华大学建校以来毕业的所有学生 D ．美国NBA 的篮球明星例2.由a ，a -，a ，2a 构成的集合中，最多含有几个元素？巩固练习：1.已知2是由0，m ,232+-m m 三个元素构成的集合A 中的元素，求m 的值.2.数集A 满足条件：若a ∈A ，则a a -+11∈A （1≠a ）.若31∈A ,求集合中的其他元素.3.集合P ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z}，M ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，a ∈P ，b ∈M ，设c ＝a ＋b ，则c 与集合M 有什么关系？知识点二：元素与集合的关系 1.元素与集合的关系：（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作A a ∈； （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作A a ∉. 2.例3.用符号∈和∉填空（1）设集合A 是正整数的集合，则0 A ,2 A ,0)1(- A ；（2）设集合B 是小于11的所有实数的集合，则,1+B ； （3）设2531-=x ，π23+=y ，集合{}Q b Q a b a m m M ∈∈+==,,2，则x M ,y M .巩固练习：1.用符号“∈”或“∉”填空：(1)3 N ； (2)0.5 Z ；；(4)R ； (5)π Q ； (6)-2 N .知识点三：集合的表示方法（1）自然语言：通过日常语言描述集合问题中被研究的对象； （2）列举法：一 一列举出来，并用花括号“{}”括起来； （3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法. 例4.用适当的方法表示下列集合（1）方程0)3()2(22=++-y x 的解集；（2）不等式732>+x 的解集；（3）二次函数12-=x y 图像上所有点组成的集合.巩固练习：1.用适当的方法表示下列集合．(1)由大于－3且小于11的偶数组成的集合可表示为 ； (2)不等式3x －6≤0的解集可表示为 ； (3)方程0)32(2=-+x x x 的解集可表示为 ；(4)函数12--=x x y 图象上的点组成的集合可表示为 ． 2.用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)满足方程x ＝|x |的所有x 的值构成的集合B .六、课后练习1．下列说法正确的个数为( ) ①很小的实数可以构成集合；②集合{y |y ＝x 2－1}与{(x ，y )|y ＝x 2－1}相等；③1，32，64，|－12|,0.5这些数组成的集合有5个元素．A ．0B ．1C ．2D ．32．方程组⎩⎨⎧=-=+9122y x y x 的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)} 3．已知集合S ＝{a ，b ，c }中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 4．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．0或3 D ．0或2或3 5．下列集合中，不同于另外三个的是( )A ．{y |y ＝2}B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x |x 2－4x ＋4＝0}6．集合A ＝{x ∈Z|y ＝12x ＋3，y ∈Z}的元素个数为( )A ．4B ．5C ．10D ．12 7．用符号“∈”或“∉”填空：(1)A ＝{x |x 2－x ＝0}，则1________A ，－1________A ；(2)(1,2)________{(x ，y )|y ＝x ＋1}．8．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧b a b ,,0，则b －a ＝________. 9.已知集合{}0442<+-=a x x x M ，且2M ∉，则实数a 的取值范围是 .10.已知集合=A }{4,12,32---a a a ，若3-A ∈，求实数a 的值.11．设A ，B 为两个实数集，定义集合A ＋B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，若A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3}，则A ＋B 中元素的个数为________．七、课堂反馈第2讲 集合间的基本关系一、教学目标1.理解集合之间包含与相等的含义；2.体会子集与真子集的区别与联系；3.能正确区分易混淆的数学符号(∈与)⊆，会判断两个集合的关系. 二、教学重难点重点：能写出给定集合的子集 难点：判断集合间的关系四、导入知道集合的概念以后，集合与集合之间又有怎样的关系呢？ 五、名师解析合A（1）=A {}6,3,2,=B {}的约数是12x x ； （2）=A {}1,0，=B {}N y y x x ∈=+,122；（3）=A {}21<<-x x ，=B {}22<<-x x ； （4）=A (){}0,<xy y x ，=B (){}0,0,<>y x y x .例2.已知集合=M ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z m m x x ,61,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-==Z n n x x N ,312，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z p p x x P ,612.试确定M ,N ,P 之间的关系.巩固练习：1.已知集合=M ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,42ππ，=N ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,22ππ,则集合M 与N 的关系为（ ）A.N M =B.M ÝNC.M ÜND.M 与N 的关系不确定 2.指出下列各组集合之间的关系：（1）=A {}1,1-，=B ()()()(){}1,1,1,1,1,1,1,1----； （2）=A {}是等边三角形x x ，=B {}是等腰三角形x x ； （3）=M {}*,12N n n x x ∈-=，{}*,12N n n x x N ∈+==.知识点二：空集1.概念：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.2.性质：①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即∅A ⊆；③空集是任何非空集合的真子集，即若≠A ∅,则∅ÜA ，反之也成立.3.说明：空集是一个特殊且重要的集合，在解题过程中容易被忽视，特别是在隐含有空集参与的集合问题中. 例3.给出下列命题：（1）空集没有子集；（2）任何集合至少有两个子集；（3）空集是任何集合的真子集；（4）若∅ÜA ，则≠A ∅.其中正确的个数是 个.例4.已知=A {}0822=--∈x x R x ，=B {}08222=--+-∈a a ax x R x ，B A ⊆,求实数a 的取值集合.巩固练习：1.下列四个集合中，是空集的是( )A ．{0}B ．{x |x ＞8且x ＜5}C ．{x ∈N |x 2－1＝0}D ．{x |x＞4}2.已知集合=A {}21≤≤x x ，=B {}a x x ≤≤1 (1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围； (2)若B 是A 的子集，求a 的取值范围； (3)若A ＝B ，求a 的取值范围．知识点三：集合子集的个数的确定方法 若有限非空集合A 中有n 个元素，则有：(1)集合A 的子集个数为n 2；(2)真子集的个数为12-n ； (3)非空子集的个数为12-n ；(4)非空真子集的个数为22-n .例5.已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且只有2个子集，则a 的取值是( ) A ．1 B ．－1 C ．0,1 D ．－1,0,1 巩固练习：若集合=A {}Z x x x ∈<≤,30,则集合A 的子集个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8六、课后练习1．对于集合A ，B ，“A ⊆B ”不成立的含义是( ) A ．B 是A 的子集B ．A 中的元素都不是B 的元素C ．A 中至少有一个元素不属于BD ．B 中至少有一个元素不属于A2．若集合M ＝{x |x ＜6}，a ＝35，则下列结论正确的是( ) A ．{a }ÜMB ．a ÜMC ．{a }∈MD ．a ∉M3．设集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z}，则集合A ，B 间的关系为( ) A ．A ＝B B ．A ÜB C ．B ÜAD ．以上都不对4.下列集合中是空集的是( )A ．{}332=+x x B ．(){}R y x x y y x ∈-=,,,2C ．{}02≥-xx D ．{}R x x xx ∈=+-,0125.符合集合{}a ÜP ⊆{}c b a ,,的集合P 的个数是 个.6.已知集合{}m A ,1,4--=，集合{}5,4-=B ，若A B ⊆,则实数m = .7.已知∅Ü{}02=+-a x x x ，则实数a 的取值范围是 .8.已知集合A ＝{x |2a －2＜x ≤a ＋2}，B ＝{x |－2≤x ＜3}，且A ⊆B ，求实数a 的取值范围．9.已知集合A ＝{}510≤+<ax x ，集合=B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-221x x . （1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围； （2）若A B ⊆, 求实数a 的取值范围；（3）A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能，试说明理由.七、课堂反馈第3讲 集合间的基本运算一、教学目标1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求简单集合的交、并运算；2.理解补集的含义，会求给定子集的补集；3.能使用Venn 图表示集合的关系及运算. 二、教学重难点重点：交集，并集的运算难点：交、并集的运算性质及应用四、导入学习了这么久的集合，下面来了解集合中有哪些运算及运算性质. 五、名师解析A B B A ⋂=⋂ ⋂A ∅=∅例1.设集合{}0)2)(1(≤-+=x x x A ，集合B 为整数集，则B A ⋂=( )A .{}0,1-B .{}1,0C .{}1,0,1,2--D .{}2,1,0,1- 例2.设集合=A {}2-,{}01=+=ax x B ，若B B A =⋂,求实数a 的值.巩固练习：1.设集合=M {}23<<-∈m Z m ，{}31≤≤-∈=n Z n N ，则N M ⋂=( ) A .{}1,0 B .{}1,0,1- C .{}2,1,0 D .{}2,1,0,1- 2.集合=A {}121+<<-a x a x ，=B {}10<<x x ，若=⋂B A ∅，求实数a 的取值范围.知识点二：并集A B B ⋃=⋃⋃A ∅=A A A A =⋃例3.若集合=A {}x ,3,1，=B {}2,1x ，B A ⋃={}x ,3,1，则满足条件的实数x 有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个 例 4.已知集合=A {}52≤≤-x x ，集合=B {}121-≤≤+m x m x ，且A B A =⋃,试求实数m 的取值范围.巩固练习：1.已知集合=A {}31<≤-x x ，=B {}52≤<x x ，则B A ⋃=（ ）A .{}32<<x xB .{}51≤≤-x xC .{}51<<-x xD .{}51≤<-x x 2.设集合=A {}21≤≤-x x ，=B {}02)12(2<++-m x m x x .（1）当21<m 时，化简集合B ； （2）若A B A =⋃,求实数m 的取值范围.知识点三：全集与补集 （1(2)补集图形语言例5．设全集为，＝{0,2,4}，U M ＝{6}，则等于( ) A .{0,2,4,6} B .{0,2,4} C .{6}D .∅例6.已知全集U ={}*,10N x x x ∈<，{}8,5,4,2=A ,{}8,5,3,1=B ，求∁U ()B A ⋂巩固练习：1.已知全集U ，集合=A {}7,5,3,1，∁U A ＝{}6,4,2，∁U B ＝{}6,4,1，求集合B .2.已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.六、课后练习1.已知集合A ＝{x |x ＞1}，B ＝{x |x ＜m }，且A ∪B ＝R ，那么m 的值可以是( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．22.设集合A ＝{1,2,3,5,7}，B ＝{x ∈Z|1＜x ≤6}，全集U ＝A ∪B ，则A ∩∁U B ＝( ) A ．{1,4,6,7} B ．{2,3,7} C ．{1,7} D ．{1}3.集合M ＝{12，3,2m －1}，N ＝{－3,5}，若M ∩N ≠∅，则实数m 的值为( )A ．3或－1B ．3C ．3或－3D ．－1 4.设集合A ＝{x |－1≤x ＜2}，B ＝{x |x ≤a }，且A ∩B ≠∅，则实数a 的取值集合为________． 5.已知集合U ＝{x ∈R|1＜x ≤7}，A ＝{x ∈R|2≤x <5}，B ＝{x ∈R|3≤x ＜7}，求(1)(∁U A )∩(∁U B )；(2)∁U (A ∪B )；(3)(∁U A )∪(∁U B )；(4)∁U (A ∩B )．(5)观察上述结果你能得出什么结论．6.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．7.已知集合{}31<≤-=x x A ；{}242-≥-=x x x B .（1）求B A ⋂；（2）若集合{}02>+=a x x C ，满足C C B =⋃,求实数a 的取值范围.8.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1}，B ＝{x |2a <x <a ＋3}，且B ⊆∁R A ，求a 的取值范围．七、课堂反馈第4讲 函数的概念及表示一、教学目标1.了解函数的概念，明确函数的三个要素；2.掌握区间的概念，并会用区间表示集合；3.了解函数相等的意义. 二、教学重难点重点：函数的基本定义及表示难点：函数的定义域、值域和对应关系 三、知识结构四、导入初中我们就学过一次函数、二次函数、反比例函数等，函数这个词我们并不陌生，那么高中阶段再次学习函数又会有哪些不一样呢？ 五、名师解析知识点一：函数的概念1.设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作)(x f y =，x ∈A .其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数)(x f y =的值域，则值域是集合B 的子集．例1.设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数y ＝f (x )的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，不可作为函数y ＝f (x )的图象的是( )巩固练习：下列对应是否为A 到B 的函数： ①A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝x ； ②A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2； ③A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x .知识点二：区间与无穷大满足x ≥a ，x ＞a ，x ≤a ，x ＜a 的实数x 的集合可用区间表示，如下表.例2.集合{x |x ≥1}用区间表示为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)巩固练习：1.区间[5,8)表示的集合是( )A ．{x |x ≤5，或x ＞8}B ．{x |5＜x ≤8}C ．{x |5≤x ＜8}D ．{x |5≤x ≤8}知识点三：相同的函数一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，其中值域是由函数的定义域和对应法则共同决定的．如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数相等．例3.下列各组函数表示相等函数的个数是( )①y ＝x 2－3x －3与y ＝x ＋3(x ≠3)②y ＝x 2－1与y ＝x －1③y ＝3x ＋2，x ∈Z 与y ＝3x －2，x ∈Z ④2x y =与2)(x y =A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个巩固练习：1.下列各对函数中，是相等函数的序号是（ ）①f (x )＝x ＋1与g (x )＝x ＋x 0②f (x )＝(2x ＋1)2与g (x )＝|2x ＋1|③f (n )＝2n ＋1(n ∈Z)与g (n )＝2n －1(n ∈Z) ④f (x )＝3x ＋2与g (t )＝3t ＋2知识点四：分段函数与映射1.分段函数：所谓分段函数，是指在定义域的不同部分，有不同的对应关系的函数．2.映射：(1)定义：一般地，设A ，B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．(2)映射与函数的关系：函数是特殊的映射，即当两个集合A ，B 均为非空数集时，从A 到B 的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广． 例4.下列从集合M 到集合N 的对应中，不是映射的是( )例5.已知函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-+-≤+2,12,22,2,2,12x x x x x x x(1)求f (－5)，f (－3)，f (f (－52))的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值；(3)若f (m )>m (m ≤－2，或m ≥2)，求实数m 的取值范围．巩固练习：1.下列对应关系中，哪些是从集合A 到集合B 的映射？ (1)A ＝B ＝N *，对应关系f ：x →y ＝|x －3|；(2)A ＝R ，B ＝{0,1}，对应关系f ：x →y ＝⎩⎨⎧<≥0,0,0,1x x ；(3)设A ＝{矩形}，B ＝{实数}，对应关系f ：矩形的面积． 2.f (x )＝⎩⎨⎧>≤-.0,,0,2x x x x 若f (a )＝4，则实数a ＝( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2六、课后练习1.设M ＝{}20≤≤x x ，N ＝{}20≤≤y y ，给出的4个图形，其中能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2.函数y ＝5－2x 的定义域是( )A ．RB ．QC ．ND ．∅3.设集合A ＝{}21≤≤x x ，B ＝{}41≤≤y y ，则下述对应关系f 中，不能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝x 2B ．f ：x →y ＝3x －2C ．f ：x →y ＝－x ＋4D ．f ：x →y ＝4－x 2 4．已知f (x )＝⎩⎨⎧<+≥-.6),2(,6,5x x f x x 则f (3)为( )A ．2B ．3C ．4D ．55.函数y ＝2x 2－x 的值域是________．6.函数y ＝⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<+≤+1,5,10,3,0,32x x x x x x 的最大值是________．七、课堂反馈第5讲 定义域与值域的求解一、教学目标1.了解函数的三要素，明确函数的三个要素的定义；2.掌握定义域、值域、解析式的求解方法. 二、教学重难点重点：函数定义域值域的求解方法难点：复合函数的定义域及函数值域的求法 三、知识结构四、导入简单函数的定义域、值域可以直接观察出来，但稍微复杂的函数的定义域、值域如何求解呢？五、名师解析知识点一：函数定义域的求法 1.求函数定义域的一般原则是：（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③0x y =要求0≠x .（2）当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．（3）定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接． 2.抽象函数的定义域（1）已知)(x f 的定义域为A ，求())(x f ϕ的定义域，其实质是已知)(x ϕ的取值范围为A ，求出x 的取值范围.（2）已知())(x f ϕ的定义域为B ，求)(x f 的定义域，其实质是已知())(x f ϕ中x 的取值范围为B ，求出)(x ϕ的范围，此范围就是)(x f 的定义域. 例1.求出下列函数的定义域（1）32+=x y ； （2）21)(+=x x f ； （3）xx f -=21)(；（4）x x y -+-=11； （5）11)(2-+=x x x f ； （6）02)13(13-+-=x xx y .例2.抽象函数求定义域（1）设)(x f y =的定义域是[0,2]，求)3(+x f 的定义域； （2）设)3(+x f 的定义域是[0,2]，求)(x f 的定义域； （3）设)3(+x f 的定义域是[0,2]，求)2(-x f 的定义域.巩固练习：1.求下列函数的定义域： (1)=)(x f 21+x ； (2)=)(x f 23+x ； (3)=)(x f xx -++311.2.若函数)(x f 的定义域为[]2,1-，则函数)23(x f -的定义域为________．知识点二：函数值域的求法1.观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知函数的值域求出函数的值域.2.换元法：运用换元，将已知函数转化为值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.形如d cx b ax y +±+=（d c b a ,,,均为常数，0≠ac ）的函数常用此法.3.配方法：若函数是二次函数的形式，即可化为)0(2≠++=a c bx ax y 型的函数，则可通过配方后再结合二次函数的性质求值域，但要注意给定区间二次函数最值得求法. 4.分离常数法：形如b ax dcx y ++=()0≠a 的函数，经常采用分离常数法，将bax d cx ++变形为()b ax a bc d b ax a c +-++=b ax a bc d a c +-+，再结合x 的取值范围确定bax a bc d +-的取值范围，从而确定函数的值域.例3.求出下列函数的值域(1){}3,2,1,12∈+=x x y ； (2)1-=x y ； (3)y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)；(4)y ＝5x －14x ＋2； (5)y ＝x ＋x ； （6）12++=x x y .巩固练习：1.求出下列函数的值域(1)[)1,3,642-∈+--=x x x y ； (2)211)(xx f +=； （3）y ＝x －1+x .知识点三：函数解析式的求法1.待定系数法：如果已知函数类型，可设出函数解析式，再代入条件解方程（组），求出参数，即可确定函数解析式.2.配凑法：已知))((x g f 的解析式，要求)(x f 的解析式时，可从))((x g f 的解析式中配凑出)(x g ，即用)(x g 来表示，再将解析式两边的)(x g 用x 代替即可.3.换元法：已知))((x g f 的解析式，要求)(x f 的解析式时，也可令t =)(x g ，再求出)(t f 的解析式，然后用x 代替)(t f 解析式中所有的t 即可.4.方程组法：常见的含有)(x f 与)(x f -，)(x f 与)1(x f 时，将原式中的x 用x -（或x1）代替，从而得到另一个同时含有)(x f 与)(x f -，)(x f 与)1(xf 的关系式，将这两个关系式联立，列方程组解出)(x f . 例4.(1)已知，求；（2）已知是一次函数，且满足，求；（3）已知满足，求)(x f .巩固练习：1.已知)(x f 是一次函数，且34))((+=x x f f ，求)(x f ．2.已知()x x x f 21+=+，求)(x f ．3.设函数f (x )满足f (x )＋2f (x1)＝x (x ≠0)，求f (x ).六、课后练习 1.函数f (x )＝x-21的定义域为M ，g (x )＝2+x 的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A ．[－2，＋∞) B ．[－2,2) C ．(－2,2)D ．(－∞，2)2.设f (x )＝x －1x ＋1，则f (x )＋)1(xf ＝( )3311()f x x xx+=+()f x ()f x 3(1)2(1)217f x f x x +--=+()f x ()f x 12()()3f x f x x+=A ．1－x 1＋xB ．1xC ．1D ．03.若函数y ＝21-x 的定义域是A ，函数y ＝62+x 的值域是B ，则A ∩B ＝________. 4.若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧<≥.,,,b a a b a b 则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________．5.求函数的值域（1）113+-=x x y ； （2）112-++=x x y .6.求下列函数的定义域，并用区间表示：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－x -1； (2)y ＝35--x x .7.求下列函数的解析式（1）已知二次函数564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f ；（2）若函数)0(1)1(22≠+=-x x x xx f ，求)(x f ；(3)设函数f (x )满足x x f x f 3)(2)(=-+，求)(x f ．8.已知函数f (x )＝2211xx -+，(1)求f (x )的定义域； (2)若f (a )＝2，求a 的值； (3)求证：)1(xf ＝)(x f -．七、课堂反馈第6讲 函数的单调性一、教学目标1.理解增函数、减函数的概念，能运用定义判断（证明）某些函数的单调性；2.会利用函数的单调性求函数的最值，能推出单调性和最值的关系. 二、教学重难点重点：函数单调性的证明难点：增函数、减函数形式化定义的形成及单调性的证明 三、知识结构四、导入画出下列函数的图象，x y =，x y -=，2x y =，观察并思考当自变量x 的值增大时，函数值)(x f 是如何变化的？ 五、名师解析知识点一：函数的单调性与单调区间 1.增函数与减函数的定义（1）定义中的1x ，2x 是指任意的，即不可用两个特殊值代替，且通常规定1x ＜2x .（2）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点.（3）单调函数定义的等价变形：)(x f 在区间D 上是增函数⇔任意1x ，2x D ∈，1x ＜2x ，都有 )(1x f <)(2x f ⇔0)()(2121>--x x x f x f ⇔[]0)()()(2121>--x x x f x f .（4）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“⋃”而应该用“和”或“，”来连接.例 1.[0,3]是函数)(x f 定义域内的一个区间，若)2()1(f f <，则函数)(x f 在区间[0,3]上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．不是增函数就是减函数D ．增减性不能确定 例2.如图为函数y ＝f (x )，[]7,4-∈x 的图象，指出它的单调区间．巩固练习：1.函数f (x )的图象如图所示，则( )A ．函数f (x )在[－1,2]上是增函数B ．函数f (x )在[－1,2]上是减函数C ．函数f (x )在[－1,4]上是减函数D ．函数f (x )在[2,4]上是增函数2.如图为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．知识点二：利用定义法证明函数的单调性 利用定义法证明函数单调性的步骤：第一步：取值，即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且1x ＜2x ；第二步：作差变形，即作差)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子；第三步：判号，即确定)()(21x f x f -的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论； 第四步：定论，即根据定义得出结论. 例3.证明函数f (x )＝x ＋x1在(0,1)上是减函数．巩固练习： 求证：函数11)(--=xx f 在区间()+∞,0上是单调增函数.(定义法)例4.在函数y ＝f (x )的定义域中存在无数个实数满足f (x )≥M ，则( )A ．函数y ＝f (x )的最小值为MB ．函数y ＝f (x )的最大值为MC ．函数y ＝f (x )无最小值D ．不能确定M 是函数y ＝f (x )的最小值 例5.作出函数f (x )＝3-x ＋962++x x 的图象，并说明该函数的最值情况．例6.函数f (x )＝xa 11-(x ＞0)． （1）求证：)(x f 在(0，＋∞)上是增函数；（2）若函数)(x f 的定义域和值域都是[12，2]，求a 的值．巩固练习：1.已知函数a x x x f ++=2)(2（[]2,0∈x ）有最小值－2，则)(x f 的最大值为( ) A ．4 B ．6 C ．1 D ．22.已知函数f (x )＝x －1x ＋2.(1)求证：f (x )在[3,5]上为增函数； (2)求f (x )在[3,5]上的最大、小值．六、课后练习1.函数y ＝f (x )的图象如图所示，其增区间是( )A ．[0,1]B ．[－4，－3]∪[1,4]C ．[－3,1]D ．[－3,4] 2.一次函数y ＝(a －2)x ＋1在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞) 3．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1＜x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是( )A ．f (x 1)＜f (x 2)B ．f (x 1)＞f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定 4.下列函数在区间[0，＋∞)上是增函数的是( ) ①y ＝2x ②y ＝x 2＋2x －1 ③y ＝|x ＋2| ④y ＝|x |＋2A.①② B ．①③ C ．②③④ D ．①②③④ 5.写出下列函数的单调区间．(1)y ＝x ＋1________________； (2)y ＝－x 2＋ax ________________； (3)y ＝12-x ________________； (4)y ＝－1x ＋2________________. 6.已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．7.证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．8.试判断函数21)(-=xx f 在(0，＋∞)的单调性．七、课堂反馈第7讲 单调性的应用一、教学目标1.掌握单调性的定义，会判断函数的单调性；2.会利用函数的单调性比较大小；3.了解分段函数、抽象函数的单调性. 二、教学重难点重点：利用单调性比较大小 难点：单调性求参数取值范围四、导入学习了单调性的定义后，不仅要会判断函数的增减性，更要会利用函数的单调性解题. 五、名师解析知识点一：函数单调性的应用技巧1.比较函数值的大小利用函数的单调性及自变量的大小可以比较两个函数值的大小. 2.利用单调性求参数的取值范围这是函数单调性的逆向思维问题，将参数看成已知数，建立相关大小关系进行比较. 3.利用单调性解不等式利用函数的单调性，可以将函数值之间的不等关系与自变量间的不等关系进行等价转化. 例1.已知函数c bx x x f ++=2)(，对任意实数x 都有)2()2(x f x f -=+，试比较)1(f ，)2(f ，)4(f .例2.若函数y ＝－2x 2＋mx －3在[－1，＋∞)上为减函数，则m 的取值范围是________．例3.已知函数)(x f y =是实数R 上的增函数，且)65()32(+>-x f x f ，求实数x 的取值范围.巩固练习：1.已知函数f (x )＝2x 2－ax －1，在[－1,2]上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．[－4,8]B ．(－∞，－4]C ．[8，＋∞]D ．(－∞，－4]∪[8，＋∞) 2.函数=)(x f ⎩⎨⎧-∈+∈+]1,1[,7],2,1(,62x x x x 则f (x )的最大值、最小值是( )A ．10,6B ．10,8C ．8,6D ．以上都不对3.已知函数=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+0,4,0,422x x x x x x 若)2(2a f -)(a f >，求实数a 的取值范围.知识点二：分段函数的单调性 例4.若函数f (x )＝⎩⎨⎧≤-+->-+-0,)2(,0,1)12(2x x b x x b x b 在R 上为增函数，求实数b 的取值范围．巩固练习：1.已知⎩⎨⎧<+≥-=0,1,0,)1()(2x x x x x f 则)(x f 的单调区间是 .知识点三：复合函数的单调性判断复合函数))((x g f y =单调性的步骤：（1）确定函数定义域；（2）将复合函数分解成)(u f y =，)(x g u =；（3）分别确定这两个函数的单调性；（4）利用“同增异减”的规律确定复合函数))((x g f y =的单调性. 例5.求函数228)(x x x f --=的单调区间.巩固练习： 1.求函数43)(2-+=x x x f 的单调区间.知识点四：抽象函数的单调性1.解决此类问题通常有两种方法.一种是“凑”，凑定义或凑已知，从而使用定义或已知条件得出结论；另一种是赋值法，给变量赋值要根据条件与结论的关系，有时可能要进行多次尝试.2.一般地，若)(x f 满足：)()()(y f x f y x f +=+，则)()(2211x x x f x f +-==)()(221x f x x f +-；。

新高一预科数学知识点数学是一门抽象而具有逻辑性的学科，对于许多高一预科生来说，面对新的数学知识点可能会感到有些困惑和挑战。

为了帮助同学们更好地适应新的学习环境，本文将针对新高一预科数学的知识点进行探讨和解析。

1. 初步代数知识在新高一预科数学中，初步代数知识是基础中的基础。

首先，要掌握求解一元一次方程和一元一次不等式的方法。

对于方程，可以运用逆运算的原理，将未知数的系数和常数项按照运算法则进行迁移，找到未知数的值。

对于不等式，要牢记当两个不等式的符号相同时，其加减乘除运算的结果方向不变；而当符号相反时，其加减运算的结果反向。

其次，要熟悉方程和不等式的解集表示方法，包括解集的描述、图形表示和集合表示等。

当解集为一组数时，可以用集合的形式进行表示；而当解集为一段区间时，可以用数轴上的图形进行表示。

2. 几何知识的进阶新高一预科数学中的几何知识相对于初中阶段有了一定的进阶。

首先，要掌握二次函数和一次函数的图像性质。

对于二次函数，要了解其抛物线的开口方向、顶点坐标以及对称轴的方程等重要属性。

而对于一次函数，要通过斜率和截距的概念进行理解，熟悉直线的平行和垂直关系。

其次，要熟悉平面向量的概念和性质。

平面向量可以通过坐标或者向量的表示法进行问题的求解。

在计算过程中，要注意向量的加减、数量积和向量积等运算法则。

此外，还应了解三角函数的概念和基本性质。

三角函数是描述角和边之间关系的重要工具，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

掌握它们的周期、幅值和图像的变化规律对于后续的高级数学学习具有重要意义。

3. 数据分析与统计在新高一预科数学中，数据的分析与统计扮演着重要的角色，要学会用数学方法进行数据的整理和分析。

首先，要了解统计学的基本概念和方法，如抽样、频数分布、频率、均值、中位数和众数等。

通过统计图表的绘制，可以直观地展示数据的分布情况和规律。

其次，要掌握概率的基本概念和运算法则。

概率是描述事件发生可能性的数学工具，通过从频率的角度进行思考和计算，可以解决各种实际问题。

高一数学预科第1讲：集合及其运算一、集合的含义与表示：1.集合的表示方法：① ②③2．关于集合的元素的特征：（1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。

3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写）4．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z ,{} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R{}数数轴上所有点所对应的=R5．两个集合相等：如果两个集合所含的元素完全相同，则称这两个集合相等。

6. 有限集合、无限集合、空集的定义 例题1.下列各组对象不能组成集合的是( )A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=x1图象上所有的点练习：下列条件能形成集合的是( )A.充分小的负数全体B.爱好足球的人C.中国的富翁D.某公司的全体员工例题2、填空：或用符号∉∈（1） -3 N ； （2）3.14 Q ； （3）31 Q ； （4）0 Φ?；（5）3 Q ； （6）21- R ； （7）1 N +； （8）π R 。

高一数学预科资料 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT高一数学预科资料前言课时安排：第一讲集合的含义与表示(1)及集合间的基本关系(2)第二讲集合的基本运算（一）第三讲集合的基本运算（二）第四讲第一章复习及检测第五讲补充内容不等式第六讲函数的概念及函数的表示法第七讲单调性与最大（小）值第八讲奇偶性第九讲函数单调性与奇偶性的复习第十讲指数与指数幂的运算第十一讲指数函数及其性质（一）第十二讲指数函数及其性质（二）第十三讲对数及对数函数第十四讲幂函数第十五讲二次函数（加强）及单元自测第一讲集合的含义与表示（1）、引入在小学和初中，我们已经接触过一些集合，例如：（1）自然数的集合； （2）有理数的集合；（3）不等式37<-x 的解的集合；（4）到一个定点的距离等到于定长的点的集合（即 ）； （5）到一条线段的两个端点距离相等的点的集合（即 ）II 、新授 一、集合的概念：新教材：一般地，我们把研究对象统称为元素（element ），把一些元素组成的总体叫做集合（set ）（简称为集 ）。

旧教材：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集。

集合中的每一个对象叫做这个集合的元素。

例1：判断下列哪些能组成集合。

（1）1~20以内的所有质数；（2）我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星；（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车； （4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家； （5）所有的正方形；（6）到直线l 的距离等于定长d 的所有的点；（7）方程0232=-+x x 的所有实数根； （8）新华中学2004年9月入学的所有的高一学生。

（9）身材较高的人；（10）{1，1}；（11）我国的大河流；问：（1）{3，2，1}、{1，2，3}、{2，1，3}这三个集合有何关系（2）{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}是否为一个集合点评：1、集合的性质：（1）、（2）、（3）、2、经常用大写拉丁字母A，B，C， 表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,表示集合中的元素。

高一数学必修一人教版暑假预科资料
对于高一数学必修一人教版暑假预科资料，以下是一些建议：
1. 教材：首先，确保你已经有了高一数学必修一的教材。

在预习时，可以先浏览一遍目录，了解本学期的学习内容和结构。

2. 笔记：在预习时，建议做笔记。

笔记可以帮助你更好地理解知识点，也可以作为课堂学习的补充。

3. 练习题：做一些练习题可以帮助你更好地理解和掌握知识点。

你可以使用教材中的练习题，也可以在网上寻找一些额外的练习题。

4. 视频教程：在网上可以找到很多高一数学必修一的视频教程，这些教程可以帮助你更好地理解知识点。

5. 请教问题：如果你在预习时遇到了问题，可以向老师或同学请教。

如果老师或同学无法回答你的问题，你可以在网上寻找答案。

总的来说，高一数学必修一的暑假预科资料应该包括教材、笔记、练习题、视频教程和请教问题。

希望这些建议能帮助你更好地预习高一数学必修一的内容。