高一数学预科班第一次课教学内容

高一数学必修一人教版暑假预科资料暑假是学生们进行自主学习的好时机，对于高一学生来说，暑假预科是很重要的一部分。

高一数学必修一是高中数学的第一个学期，它主要涉及到集合与逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法以及三角函数。

下面我将结合教材内容为大家提供一些学习资料和学习方法，希望能帮助到大家。

首先，我们先来了解一下高一数学必修一的教材内容。

这本教材共分为六个单元，分别为：集合与逻辑、函数与方程、数列与数学归纳法、三角函数、数据的收集与统计及统计图与图形。

每个单元都有详细的知识点和例题，通过学习这些内容，可以掌握基本的数学概念和解题技巧。

接下来，我将为大家介绍一些学习资料和学习方法。

1.课本和习题册：课本是最基本的学习资料，建议大家认真阅读教材内容，并多做习题。

通过课本和习题册的练习，可以帮助巩固基本的数学知识，并提高解题能力。

2.网络资源：现在网络上有很多数学学习资源可以供大家参考和学习。

可以通过搜索引擎查找相关的数学学习网站，如有道数学、小猴数学等，这些网站提供了大量的数学知识和解题方法，可以帮助大家更好地理解和掌握数学知识。

3.老师和同学：在学习过程中，可以向老师请教问题，向同学讨论解题方法。

与他人的交流和讨论可以帮助加深对数学知识的理解，并且也可以从他人的解题方法中学习到更多的技巧和思路。

4.做题技巧：在解题过程中，可以注意以下一些技巧：-仔细阅读题目，理解题意；-对于有条件的题目，可以构建方程或者不等式来解题；-注意符号的运用，要清楚各个符号的含义；-多画图或者列表来理清思路，简化解题过程；-对于较长的计算题，可以使用计算器进行计算以节省时间。

通过以上的学习资料和学习方法，相信大家能够更好地进行高一数学必修一的暑期预科学习。

但是记住，只有不断的练习和实践才能真正掌握数学知识，所以要在暑假期间制定一个合理的学习计划，并坚持下去。

最后，祝愿大家在高一数学必修一的学习中有所收获，进一步提升自己的数学水平！。

高一数学教学第一课一、教学任务及对象1、教学任务本节课是针对高一新生开设的数学教学第一课，旨在引领学生从初中数学过渡到高中数学，初步建立高中数学的知识体系。

教学任务主要包括：回顾初中数学的重要概念和方法，介绍高中数学的学习内容和学习方法，激发学生对数学学科的兴趣，培养学生严密的逻辑思维能力和解决问题的能力。

2、教学对象本节课的教学对象为高一年级新生，他们在初中阶段已经掌握了基本的数学知识和技能，但高中数学的深度和广度都有所增加，学生在学习过程中可能会遇到一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，因材施教，帮助他们在数学学科上取得更好的成绩。

此外，由于是新生，他们对新环境和新同学还不太熟悉，因此，在教学过程中，还要注重培养学生的合作意识和团队精神，使他们尽快适应高中生活。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高中数学的基本概念、定理和公式，为后续学习打下坚实基础。

（2）掌握数学问题的分析方法，提高解题能力，特别是代数、几何和概率统计等方面的应用。

（3）学会运用数学软件或工具，如几何画板、计算器等，辅助解决数学问题，提高数学学习效率。

（4）培养良好的数学学习习惯，如预习、复习、整理笔记等，形成系统的知识体系。

2、过程与方法（1）通过自主探究、合作学习和教师引导，培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。

（2）运用启发式教学法，引导学生主动发现问题和解决问题，提高学生的自主学习能力。

（3）采用案例分析法，将实际生活中的问题引入课堂，让学生了解数学知识在实际中的应用，增强数学学习的实用性。

（4）注重数学思想方法的渗透，如数形结合、化归思想等，提高学生数学素养。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣和热情，使其树立正确的数学观，认识到数学在科学发展和国家建设中的重要作用。

（2）培养学生严谨、细致的学习态度，勇于克服困难，善于发现问题和解决问题。

（3）培养合作精神和团队意识，使学生学会倾听、沟通、协作，形成良好的集体氛围。

高一预科课程设计一、教学目标本课程旨在为高一新生提供预科数学知识的学习，通过本课程的学习，学生应达到以下教学目标：1.知识目标：–掌握函数、导数、积分等基本概念；–理解函数的图像和性质，能够运用函数解决实际问题；–掌握三角函数的基本性质和公式，能够解决三角函数相关问题；–掌握指数函数、对数函数的基本性质和公式，能够解决相关问题；–掌握数列的基本性质和求和公式，能够解决数列相关问题。

2.技能目标：–能够运用数学符号和语言表达数学概念和问题；–能够运用数学方法解决实际问题，具备一定的数学建模能力；–能够运用数学软件或工具进行数学计算和作图。

3.情感态度价值观目标：–培养学生对数学的兴趣和好奇心，激发学生的学习动力；–培养学生的团队合作意识和沟通能力；–培养学生的批判性思维和创新能力。

二、教学内容根据教学目标，本课程的教学内容主要包括以下几个方面：1.函数与极限：介绍函数的基本概念和性质，理解函数的图像，掌握函数的求导和积分方法，解决函数相关问题。

2.三角函数：掌握三角函数的基本性质和公式，能够解决三角函数相关问题，如解三角形、三角恒等式等。

3.指数函数与对数函数：掌握指数函数和对数函数的基本性质和公式，能够解决相关问题，如增长率和对数方程等。

4.数列：掌握数列的基本性质和求和公式，能够解决数列相关问题，如等差数列、等比数列等。

三、教学方法为了实现教学目标，本课程将采用多种教学方法，包括：1.讲授法：教师通过讲解和解释数学概念和公式，帮助学生理解和掌握相关知识。

2.案例分析法：通过分析和解决实际问题，培养学生的数学应用能力和解决问题的能力。

3.小组讨论法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

4.实验法：利用数学软件或工具进行数学计算和作图，培养学生的实验操作能力和数学思维能力。

四、教学资源为了支持教学内容和教学方法的实施，本课程将使用以下教学资源：1.教材：选用适合高一新生预科水平的数学教材，如《高中数学预科教程》等。

2012高一预科数学教案 (精选范文)第一课解题能力训练1.求下列方程的解.(1)3x?4x?4?0(2)x?3x?6?0(3)｜2x＋5｜=3(4)｜3x－5｜＋｜x＋1｜＝1 222.解下列不等式(1).x2?2x?3?0(3)(5)｜2x－1｜一｜x一2｜＜0(7)x?32x?1?03.不等式?x?3的解集为（A.?3,???；B.?3,???；4.不等式(x?2)(1?x2)?0的解集是（A．(??,?1）?(1,??)C．(?1,1)(2)(4).｜2x＋5｜＞7 (6)｜3x－5｜＋｜x＋1｜≥3 (8)x?32x?1?1 ） C.??2,5?；D.?3,5? ） B．(??,?1]?[1,??) D．[?1,1]6.一元二次方程x?3x?2?m有解，求m的取值范围7.一元二次方程2x?3x?5?m恒成立，求m的取值范围 22第二课集合的含义与表示（一）阅读教材复习问题问题1：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式x?7?3的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。

（二）讲授新课（1）含义：一般地，我们把某些指定的对象集在一起就成为一个集合(set)（简称为）。

这此对象统称为元素（element）。

说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。

（2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C?表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c?表示。

2.集合的表示方法1. 列举法：把集合中的元素一一列举出来,写在大括号里的方法.说明： 2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法(即把集合中元素的公共属性描述出来, 写在大括号里的方法)。

A={x∣p}，其中竖线前x叫做此集合的代表元素；p叫做元素x所具有的公共属性；A={x∣p}表示集合A是由所有具有性质P的那些元素x组成的，即若x具有性质p，则x?A；若x?A,则x具有性质p。

第 1 页 共 3 页第一讲 集合知识点1.集合的定义及表示；2.常见的集合的表示；3.集合中元素的性质；4.元素与集合的关系；4.集合的运算；5.集合关系的转化注意事项1、集合中的元素的三个性质，特别是无序性和互异性，在解题时经常用到。

解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化。

2、对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意等号单独考察。

3、对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn 图。

这是数形结合思想的又一体现。

空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏掉。

在A B ⊆、=A B B 、A B A =、A B =∅、A B =中容易忽视∅，预防的方法是分类讨论。

4、解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系。

5、解答集合题目，认清集合元素的属性（是点集、数集或其他情形）和化简集合是正确求解的两个先决条件。

6、韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心。

7、要注意A B ⊆、A B A =、=A B B 、U U A B ⊇痧、()U A B =∅ð这五个关系式的等价性。

典型例题【例1】集合A ={0,2,a }，B ={1,a 2}，若A B ={0，1，2，4，16}，则a 的值为（ ）A.0B.1C.2D.4【例2】已知集合A ={x |0<ax +1≤5}，集合B =1{|2}2x x -<≤，⑴若A B ⊆，求实数a 的取值范围；⑵若B A ⊆，求实数a 的取值范围；⑶A 、B 能否相等？若能，求出a 的值；若不能， 试说明理由。

【例3】已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合2{|320}A x x x =-+=，{|2,}B x x a a A ==∈,求集合()U A B ð中元素的个数。

第一讲集合的概念与表示考点1：集合的概念【知识点的认识】1.(1)集合的含义：集合是一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元,是具有某种特定性质的事物的总体．(2)一般情况下,集合用英文大写字母,,,a b c表A B C表示．元素用英文小写字母,,,示；(3)不含任何元素的集合叫做空集,记作∅．2．元素与集合的关系：∈；如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作a A∉．如果a不是集合A中的元素,就说a不属于A,记作a A3．某些常见的数集(数集即元素是数的集合)的写法：4①确定性：集合中的元素是确定的,不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的,相同的元素在集合中只能算作一个．③无序性：集合中的元素是无次序关系的．题型一：判断能否构成集合例1：下列研究对象能否构成一个集合？如果能,采用适当的方式表示它．(1)小于5的自然数；(2)某班所有个子高的同学；(3)不等式2x+1＞7的整数解．【解答】:(1)小于5的自然数为0,1,2,3,4,元素确定,所以能构成集合．为{0,1,2,3,4}．(2)个子高的标准不确定,所以集合元素无法确定,所以不能构成集合．(3)由2x +1＞7得x ＞3,因为x 为整数,集合元素确定,但集合元素个数为无限个,所以用描述法表示为{x |x ＞3,且x ∈Z }．例2.(1)(2018秋•兴庆区校级期末)下面给出的四类对象中,能组成集合的是( ) A ．高一某班个子较高的同学 B ．比较著名的科学家 C ．无限接近于4的实数D ．到一个定点的距离等于定长的点的全体【解答】解：选项A ,B ,C 所描述的对象没有一个明确的标准,故不能构成一个集合, 选项D 的标准唯一,故能组成集合． 故选：D ．(2)(2018秋•玉山县校级月考)下列给出的命题正确的是( ) A ．高中数学课本中的难题可以构成集合 B ．有理数集Q 是最大的数集 C ．空集是任何非空集合的真子集 D ．自然数集N 中最小的数是1【解答】解：A 、难题不具有确定性,不能构造集合,故本选项错误；B 、实数集R 就比有理数集Q 大,故本选项错误；C 、空集是任何非空集合的真子集,故本选项正确；D 、自然数集N 中最小的数是0,故本选项错误；故选：C ．题型二：元素与集合关系例3.用∈,∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ___Q ；⑥2-___R ；⑦π___R ；【解答】∉；∈；∉；∈；∉；∈；∈．例4.(1)(2018秋•泸州期末)下列关系中,正确的是( )A ．0N +∈B ．32Z ∈C ．Q π∉D ．0∈∅【考点】12：元素与集合关系的判断 【解答】解：选项:0A N +∉,错误；选项C ,Q π∉,正确； 选项D ,0∉∅,错误； 故选：C ．(2)(2018秋•兴庆区校级期末)下列元素与集合的关系表示正确的是( )①*0N ∈； Z ； ③32Q ∈； ④Q π∈A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④【解答】解：①0不是正整数,*0N ∴∈错误；④π是无理数,Q π∴∈错误；∴表示正确的为②③．故选：B ．题型三：元素的性质例5.(1)(2016秋•昌江区校级期末)若集合中三个元素为边可构成一个三角形,则该三角形一定不可能是( ) A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【解答】解：若集合中三个元素为边可构成一个三角形, 则由集合元素的互异性可得,三个元素互不相等, 故该三角形一定不可能是等腰三角形, 故选：D ．(2)若221x x +，，是一个集合中的三个元素,实数x 应满足什么条件？ 【解答】1x ≠±且2x ≠．(3)(2017秋•莲湖区校级月考)以实数x ,x -,||x ( )个元素． A ．0B ．1C ．2D ．3故选：C ．(4)下列叙述中正确的个数是( )①若a -∈Z ,则a ∈Z ；②若a -∉N ,则a ∈N ；③a ∈Z ,若a -∉N ,则a ∈N ；④a ∈Z ,若a ∈N ,则a -∉N ． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】C ．考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表,其它元素用省略号表示,并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，,{12345}，，，，，． ⑵ 描述法(又称特征性质描述法)：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法,形如{|()}x A p x ∈,()p x 称为集合的特征性质,x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围,有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ． 方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．题型四：集合的表示方法例6.(1)将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ； ④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =． 【解答】①{11}-，；②{11}-，；③{1}；④{(00)}，；⑤{(12)}--，． (2)用通俗的语言(即自然语言)描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭， 【解答】①由所有的奇数构成的集合；②由所有的偶数构成的集合；③直线与抛物线的交点．例7.(1)(2017秋•内蒙古期末)下列集合表示正确的是( ) A ．{2,4}B ．{2,4,4 }C ．{1,3,3}D ．{漂浪女生}【解答】解：在A 中,{2,4}表示集合,正确； 在B 中,{2,4,4}不满足集合中元素的互异性,错误； 在C 中,{1,3,3}不满足集合中元素的互异性,错误； 在D 中,{漂浪女生},不满足集合中元素的确定性,错误． 故选：A ．(2)(2017秋•桂林期末)集合2{|}A x x x ==中所含元素为( ) A ．0,1B ．1-,1C ．1-,0D ．1【解答】解：根据题意,20x x x =⇒=或1, 则{0A =,1},其中的元素为0、1, 故选：A ．(3)(2018秋•南康区校级月考)把集合2{|450}x x x --=用列举法表示为( ) A ．{1x =-,5}x =B ．{|1x x =-或5}x =C ．2{450}x x --=D ．{1-,5}【解答】解：根据题意,解2450x x --=可得1x =-或5, 用列举法表示可得{1-,5}； 故选：D ．(4)(2018秋•江岸区校级月考)下列叙述正确的是( ) A ．方程2210x x ++=的根构成的集合为{1-,1}-B ．{}22102030x x R x x Rx ⎧+>⎫⎧⎪⎪∈+==∈⎨⎨⎬+<⎪⎪⎩⎩⎭C ．集合{(,)|5M x y x y =+=,6}xy =表示的集合是{2,3}D ．集合{1,3,5}与集合{3,5,1]是不同的集合 【解答】解：选项A ：集合中的元素互异,故错误；误,选项D ：元素相同即集合相等,故错误． 故选：B ．例8.(1)(2018•江西二模)设集合{1A =,2,3},{2B =,3,4},{|M x x ab ==,a A ∈,}b B ∈,则M 中的元素个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8【解答】解：集合{1A =,2,3},{2B =,3,4}, {|M x x ab ==,a A ∈,}b B ∈, {2M ∴=,3,4,6,8,9,12}．M ∴中的元素个数为7．故选：C ．(2)(2017•陆川县校级模拟)已知集合{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,则(B =)A ．{0,1,2,3,4}B ．{0,1,2}C ．{0,2,4}D ．{1,2}【解答】解：{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,①当0x =,0y =；1x =,1y =；2x =,2y =时,0x y +=,2,4, ②当0x =,1y =；1x =,2y =时,1x y +=,3, ③当1x =,0y =；2x =,1y =时,1x y +=,3, ④当0x =,2y =时,2x y +=, ⑤当2x =,0y =时,2x y +=,综上,集合B 中元素有：{0,1,2,3,4}． 故选：A ．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合,这个区域通常叫做维恩(Venn)图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，,且a b <,实数a 与b 都叫做相应区间的端点；“+∞”读作“正无穷大”, “-∞”读作“负无穷大”．实数集R 也可以用()-∞+∞，表示． 例10.将下面的集合表示成区间：(1){|12}x x -<≤；(2){|240}x x ->；(3){|420}x x -≥． 【解答】⑴(12]-，；⑵(2)+∞，；⑶(2]-∞，． 例11.把下列集合表示成区间(1){|1}x x ≤；(2)2{|2}y y x x =-+；(2)2{|22111}y y x x x =++-<<，．课后综合巩固1.(2018秋•玉山县校级月考)下列给出的命题正确的是( )A ．高中数学课本中的难题可以构成集合B ．有理数集Q 是最大的数集C ．空集是任何非空集合的真子集D ．自然数集N 中最小的数是1【解答】解：A 、难题不具有确定性,不能构造集合,故本选项错误；B 、实数集R 就比有理数集Q 大,故本选项错误；C 、空集是任何非空集合的真子集,故本选项正确；D 、自然数集N 中最小的数是0,故本选项错误；故选：C ． 2.用∈,∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ___Q ；⑥___R ；⑦π___R ；【解答】∉；∈；∉；∈；∉；∈；∈．3.(2017秋•莲湖区校级月考)以实数x ,x -,||x ()个元素． A ．0B ．1C ．2D ．3故选：C ．4.(2017•陆川县校级模拟)已知集合{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,则(B =)A ．{0,1,2,3,4}B ．{0,1,2}C ．{0,2,4}D ．{1,2}【解答】解：{0A =,1,2},{|B z z x y ==+,x A ∈,}y A ∈,。

第一节集合的含义与关系知识点： (1)集合：某些指定的集在一起就成为一个集合．常用大写字母A、B、C等来表示．(2)常用的数集及记法：①非负整数集(自然数集)全体非负整数的集合．记作．②正整数集：非负整数集内排除0的集合．记作③整数集：全体整数的集合．记作④有理数集：全体有理数的集合．记作⑤实数集：全体实数的集合．记作(3)元素及元素与集合的关系：元素：集合中的每个叫做这个集合的元素．常用小写字母a，b，c，……来表示．如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作a A，否则a A．(4)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号“｛｝”内，元素与元素之间用“，”分开，这样的表示方法叫列举法．(5)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法叫描述法．(6)有限集：含有有限个元素的集合叫有限集．(7)无限集：含有无限个元素的集合叫无限集．（8）集合中的元素必须具有三大特性“”．①：是指集合中的元素必须是确定的，即任何一个对象都能判断它是或不是某个集合的元素，二者必居其一．如“接近于0的实数”接近由于没有一个确定的界性，故0．001是否属于这个集合不能判断，所以这不能组成一个集合．②：是指集合中的元素互不相同，即同一个集合中不能出现同一个元素两次，如：｛1，0，a2｝表示一个集合，则 a≠±1．③：集合中的元素无先后顺序，如｛1，2｝与｛2，1｝是同一个集合．二、集合间的基本关系1 子集：对于集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，记作：A B(或B A)，图1—1所示表示：这时我们也说集合A是集合B的子集．2 集合的相等：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素．我们说集合A等于集合B，记作：A＝B．即对于集合A，B，如果A B，同时B A，那么A＝B．B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作A 3．真子集：对于两个集合A与B，如果AB(或B A)．4．空集是5 知识拓宽含有n 个元素的集合有几个子集？问：∈与⊆的区别是什么？［例1］若A ＝｛a ，b ｝；B ＝｛x ｜x ∈A ｝，则集合A 与集合B 的关系是( )A ．B ⊆A B ．B AC ．B ∈AD ．B ∉A［例2］已知A ＝{x|x ＜－1或x ＞2}，B ＝{x|4x ＋p ＜0}，当A ⊇B 时，求实数p 的取值范围．答案：p ≥4［例3］下列集合中表示空集的是( )A ．{x ∈R|x ＋5＝5}B ．{x ∈R|x ＋5＞5}C ．{x ∈R|x 2＝0}D ．{x ∈R|x 2＋x ＋1＝0}一、选择题1．在“①很大的有理数；②方程x 2＋1＝0的实数根；③直角坐标平面的第二象限的一些点；④所有等腰直角三角形”中，能够表示成集合的是A ．②B ．②③④C ．②④D ．①②③④答案C 提示：因为“大”“一些”没有具体的界线．2．方程组⎩⎨⎧=-=+13y x y x 的解集是 A ．｛2，1｝ B ．｛x ＝2，y ＝1｝ C ．｛(2，1)｝ D ．｛(x ，y)｜(2，1)｝答案D 提示：因为⎩⎨⎧=-=+1y x 3y x 的解为⎩⎨⎧==1y 2x 写成集合的形式为｛(x ，y)｜(2，1)｝．3．下列四个关系式中，正确的是A ．集合N 中最小元素为1B ．0.7∈QC ．｛a ｝∈｛a ，b ｝D ．｛a ｝∈a答案B4．下列各题中的M 与P 表示同一个集合的是A ．M ＝｛(1，－3)｝ P ＝｛(－3，1)｝B ．M ＝{3，4} P ＝｛（3，4）｝C ．M ＝｛y ｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝ P ＝｛(x ，y)｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝D ．M ＝｛y ｜y ＝x 2＋1，x ∈R ｝ P ＝｛t ｜t ＝(y －1)2＋1，y ∈R ｝答案D 提示：因为(1，－3)与(－3，1)是不同的点，而C 中M 是数集，P 是点集．二、填空题5．设21∈｛x ｜x 2－ax －25＝0｝，则a ＝_________．答案－29 提示：由题意知21是x 2－ax －25＝0的一个根，所以，252141--a ＝0，所以a ＝－296．设A ＝｛x ｜x ＝2k ，k ∈Z ｝，B ＝｛x ｜x ＝2k －1，k ∈Z ｝，C ＝｛x ｜x ＝4k ＋1，k ∈Z ｝，a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ∈_________．填(A 或B 或C)答案B 提示：因为A 是偶数集，B 是奇数集．∴a ＋b 是奇数．即a ＋b ∈B ．7．｛n ｜5n是整数，｜n ｜≤20｝＝_________．答案 提示：｛n ｜5n是整数，｜n ｜≤20｝＝｛－20，－15，－10，－5，0，5，10，15，20｝三、解答题8．若－3∈｛a 2－2a －3，2a 2－a －4，a 2＋1｝，求实数a 的值构成的集合．答案解：∵－3∈｛a 2－2a －3，2a 2－a －4，a 2＋1｝．∴a 2－2a －3＝－3或2a 2－a －4＝－3．∴a ＝0，2，1，－21．经检验a ＝0，2，1，－21均合题意．∴a 的值构成的集合为｛0，2，1，－21｝．【同步达纲练习】一、选择题1．下列关系不正确的是A ．R ⊆QB ．R ⊇ZC ．N ⊆ND ．Z ⊆Q2．设集合A ＝｛x ｜x ≤10｝，a ＝3，则A ．a AB ．a ∉AC ．｛a ｝∈AD ．｛a ｝A3．设M ＝｛x ｜x ＞}31，则①0⊆M ，②∅⊆M ，③｛0｝M ，④｛31｝M ，其中正确命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．44．集合M＝｛y｜y＝x2－2x－1，x∈R｝，N＝｛x｜－2≤x≤4，x∈R｝，则M与N的关系是A．M＝N B．M N C．M N D．无法确定5.下面四个命题正确的是:A．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 B 空集是任何集合的子集C．空集有真子集 D．∅={0}二、填空题6．集合M＝｛0｝，N＝｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝，则M_________N．⊆｛0，1，2，3，4｝的不同集合M有___________．7．满足｛1，0｝M⊆｛1，2，3，4，5｝；②对于M中的任何一个元素a，都能使得6－a∈M．则8．非空集合M满足①M同时满足①，②的M共有_________个．三、解答题9．设A＝｛x｜x≥－2－b，b∈R｝，B＝｛y｜y＝2x2＋1，x∈R｝．当A B时，求b的取值集合．10 设集合A={x| x2＋4x=0},B ={x| x2＋2(a+1)x+ 2a-1=0 , a∈R} 若B⊆A ，求实数a 的取值范围。

考点1：集合的概念1．⑴ 集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素． ⑵ 一般情况下，集合用英文大写字母,,,A B C 表示．元素用英文小写字母,,,a b c 表示； ⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．2．元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈； 如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉．3．某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集N *N 或N + Z Q R练习1： 用∈，∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ；⑤5___Q ；⑥22-___R ；⑦π___R ；4．元素的性质①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个． ③无序性：集合中的元素是无次序关系的．1.1 集合的概念与表示第1讲集 合【例1】 ⑴ 若221x x +，，是一个集合中的三个元素，实数x 应满足什么条件？⑵设R x ∈，将对象x ，x -，2x ，33x -，44x -，24x 组成集合M ，则集合M 中元素最多时有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 ⑶下列叙述中正确的个数是（ ）①若a -∈Z ，则a ∈Z ；②若a -∉N ，则a ∈N ；③a ∈Z ，若a -∉N ，则a ∈N ；④a ∈Z ，若a ∈N ，则a -∉N ． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，，{12345}，，，，，．【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为{0123100}，，，，，，自然数集可以表示成{0123}，，，，．有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程260x x +-=的解集可以写成{23}-，；直线2y x =与直线2y x =的交点集合可以写成{(00)(24)}，，，．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ． 方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．【注意】①描述法给出了一个客观的标准，用{|}表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．如：{3000}x x 是山峰｜的高度在米以上；{|}x x 是人物角色是《红楼梦》中出现的人； {|}x x 是人是《西游记》中出现的人，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生： 孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人．李世民在吗？在；天篷元帅在吗？……{|3}x x ∈R ≥，说明集合描述的是实数x ，这个实数具有大于等于3的特点． 若元素范围为R ，在不致发生误解时，x ∈R 也可以省略，直接写成{|3}x x ≥． 但对于集合{|3}x x ∈Z ≥，则x ∈Z 一定不能省略．②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为()x y ，．如：2{()|}x y y x x =∈R ，，，说明集合是点集，点()x y ，满足2y x =，故集合中的点在抛物线2y x =上，即此集合表示抛物线2y x =上所有的点．③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即{|2}x x >与{|2}y y >表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．练习2：将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ；④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =．练习3：用通俗的语言（即自然语言）描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭，．【例2】 请指出以下几个集合间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法）．2{|1}A x y x =∈=+R ，2{|1}B y y x =∈=+R ，2{()|1}C x y y x ==+，．【例3】 ⑴已知集合{1234}A =，，，，集合{()|}M a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，用列举法表示集合M =_________________．⑵已知集合2010|5M a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N ，，集合20102010|55N a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬--⎩⎭N N ，，则用列举法表示集合M =________，集合N =_______________．⑶集合{}|2A x x k k ==∈Z ，，{}|21B x x k k ==+∈Z ，，{}|41C x x k k ==+∈Z ，，又a A ∈，b B ∈，则有（ ）A ．a b A +∈B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．a b +不属于A ，B ，C 中任意1个【备选】 集合{}222(,,)432,,,A x y z x y z xy y z x y z =+++=++∈R 中有（ ）个元素．A ．0B ．1C ．2D ．无数列举法与描述法是我们最常用，也是最普遍的两种集合的表示方法．前者简单直观，一个对象是否在其中一目了然，但只能表示一些比较简单的集合．后者具有普遍的意义，有时解读起来并不容易，高考压轴题有些具有集合背景，首先就需要对一个由描述法给出的集合进行解读，我们会在秋季时再看．除了这两种表示方法之后，还有两种集合的特殊的表示方法，一种是在后面讲的集合的相互关系中常常遇到，称为图示法，也叫维恩图．还有一种方法—区间表示法可以表示一类特殊的连续数集．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn ）图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．见板块1.2与板块1.3．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，，且a b <，定义 名称 符号 数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 []a b ， x ba{|}x a x b << 开区间 ()a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左闭右开区间 [)a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左开右闭区间(]a b ， a b x {|}x x a ≥ 一类特殊的区间[)a +∞， ax{|}x x a ≤(]a -∞，ax{|}x x a > ()a +∞， ax{|}x x a <()a -∞，ax实数a 与b 都叫做相应区间的端点；“+∞”读作“正无穷大”， “-∞”读作“负无穷大”． 实数集R 也可以用()-∞+∞，表示．练习4：将下面的集合表示成区间：⑴{|12}x x -<≤；⑵{|240}x x ->；⑵{|420}x x -≥．【例4】 把下列集合表示成区间⑴{|1}x x ≤；⑵2{|2}y y x x =-+；⑶2{|22111}y y x x x =++-<<，．**************************************************************************************** 这里补充一个初高衔接的内容：配方法（学生版不出现，课件出现，以后同）配方法是针对二次函数或者换元后是二次函数的函数求取值范围或最大最小值常用的一种方法，是高中需要熟练掌握的一种方法．【例题】求出下列函数的最大值、最小值和对应的x 值．⑴2241y x x =+-；⑵2261y x x =-++；⑶2241y x x =+-，22x -≤≤；⑷2261y x x =-++，12x -≤≤．【练习】求下列函数的最值：⑴221y x x =++，11x -≤≤；⑵227y x x =---，2x -≤≤1．****************************************************************************************考点4：子集、真子集与集合相等1．子集：对于两个集合A B ，，如果集合A中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）．规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ．2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）． 规定：∅是任意非空集合的真子集．练习5：下列四个命题中正确的有_______．①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．3．集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．【例5】 ⑴ 下面关系式中，正确的是_______．①0{}∈∅；②{}∅∅；③{0}∅；④{}a a ⊆；⑤{}{}a a ；⑥{}a ∅∈．⑵用=≠，，，填空：①{1}______2{|320}x x x -+=；②{12}，______2{|320}x x x -+= ③∅______2{|20}x x ∈+=R ；④{|32}x x +>______{|10}y y ->；1.2集合的关系⑤2{()|1}x y y x =+，_____2{|1}y y x =+；⑥2{|1}x y x =+_____2{|1}y y x =+； ⑦{(2,3)}______{(3,2)}；⑧{23}，______{(23)}，．考点5：交集、并集与补集交集的引入直观上，现在你有两个集合，这两个集合的公共部分就是一个新的集合，这就是交运算．例：{我们班所有男生}和{我们班所有戴眼镜的同学}，它们的公共部分就是{我们班所有戴眼镜的男生}，这是一个新的集合，这个过程就是交的运算过程．而{我们班所有的男生}和{我们班所有的女生}，它们的公共部分没有任何元素，就是空集．A 与B 的交集用A B 表示．给一些数学上的例子： 例：⑴{123}{234}A B ==，，，，，，则{23}A B =，；⑵A B ==Z N ，，则A B =N ； ⑶{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|21}B x x k k ==+∈Z ，，则A B =∅；交集的严格数学定义即：{}|A B x x A x B =∈∈且．我们可以注意到AA A A =∅=∅，，若AB ⊆，则A B A =．1．交集：对于两个给定的集合A 、B ，属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为：{}|A B x x A x B =∈∈且，用维恩（Venn ）图表示为：A B =∅ A B B = AB 为其公共部分并集的引入直观上，现在你有两个集合，你把两个集合中的元素放到一块，就得到一个新的集合．例：{我们班所有男生}和{我们班所有女生}两个集合放一块，就是{我们班所有同学}，这个过程就叫做并的运算过程．A 与B 的并集用A B 表示．可以给一些数学上的小例子： 例：⑴{123}{456}A B ==，，，，，，则{123456}A B =，，，，，；⑵{|2}A x x k k ==∈Z ，表示所有偶数，{|21}B x x k k ==+∈Z ，表示所有奇数，则A B =Z 为所有整数； ⑶{|41}A x x k k ==+∈Z ，，{|43}B x x k k ==+∈Z ，，则A B ={|21}x x k k =+∈Z ，．在并的运算过程中，注意元素相同的只需要考虑一个就行，不能重复出现，这是由集合中元素的1.3集合的运算BA互异性决定的．例{123}{234}A B ==，，，，，时，{1234}A B =，，，；A B ==Z N ，，则A B =Z ； 我们可以注意到A A A A A =∅=，，若A B ⊆，则A B B =． 有了并的运算后，很多写法就非常简单了，如2320x x -+>的解集可以写成{|1x x <或2}x >，可以用区间与并集符号写成(1)(2)-∞+∞，，．2．并集：对于两个给定的集合A 、B ，由两个集合所有元素构成的集合叫做A 与B 的并集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为{}|A B x x A x B =∈∈或;用维恩（Venn ）图表示如下： 或 或补集的引入一般情况下，把我们所描述对象的所有全体当作一个对象，这个对象就是全集．把在全集U 中不属于A 的那些元素构成的集合，叫到A 在U 中的补集，直观上，就是从U 中把A 挖掉剩下的部分．如：U ={我们班同学}，A ={我们班男生}，A 的补集就是{我们班女生}；U ={我们班人}，A ={我们班同学}，A 的补集就是{老师}．A 在U 中的补集记为U A ．例：{12345}U =，，，，，{123}A =，，，则{45}UA =，；ZN 就是所有的负整数；R Q 就是所有的无理数；{|21}A x x k k ==+∈Z ，，则{|2}A x x k k ==∈ZZ ，；[55]A =-，，[01]B =，，[50)(15]A B =-，，．3．补集： ①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示． ②补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作“U A ”．读作“A 在U 中的补集”．A 在U 中的补集的数学表达式是{}|UA x x U x A =∈∉，且．用维恩（Venn ）图表示：【例题】用集合的运算表示下面阴影部分的集合．⑴UBA ⑵A BU⑶A BU【例6】 ⑴已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合UAB 等于（ ）A ．}{|24x x -≤≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤⑵设集合{}21|2|12A x x B x x ⎧⎫=-<<=⎨⎬⎩⎭，≤，则A B =（ ）A ．{}|12x x -<≤B ．1|12x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭≤C ．{}|2x x <D ．{}|12x x <≤⑶集合{}{}2|03|9P x x M x x =∈<,=∈Z R ≤≤，则PM =（ ）A ．{}12,B ．{}012,,C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤≤ ⑷已知集合{}2|1P x x =≤，{}M a =，若P M P =，则a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．[)1+∞，C ．[]11-，D ．(][)11-∞-+∞，，【例7】 ⑴集合222{|320}{|2(1)(5)0}A x x x B x x a x a =-+==+++-=，，若{2}A B =，求实数 a 的值； ⑵集合2{|10}{|320}A x ax B x x x =-==-+=，，且A B B =，求实数a 的值．【备选】（复旦大学2006年自主招生考试）若非空集合{|135}X x a x a =+-≤≤，{|116}Y x x =≤≤，则使得X X Y ⊆成立的所有a 的集合是（ ）A ．{|07}a a ≤≤B ．{|37}a a ≤≤C ．{|7}a a ≤D ．空集****************************************************************************************【演练1】用最恰当的符号（∈∉=≠，，，，，）填空 ⑴___{0}∅； ⑵2___{(1,2)}； ⑶0___2{|250}x x x -+= ⑷{35}，____2{|8150}x x x -+=； ⑸{35}，___N ；⑹{|2}x x k k =∈N ，______{|6}x x ττ=∈N ， ⑺{|41}x x k k =+∈Z ，____{|43}x x k k =-∈Z ，．【演练2】已知集合{123}A =，，，用列举法表示下面集合⑴{()|}M a b a A b A =∈∈，，；⑵{()|}N a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．【演练3】已知{}2|1M y y x x ==-∈R ，，{}|1P x x a a ==-∈R ，，则集合M 与P 的关系是（ ） A ．M P = B ．P M ∈ C ．MP D ．M P【演练4】⑴ 已知2{|43}A y y x x x ==-+∈R ，，2{()|22}B x y y x x x ==--+∈R ，，，则A B等于（ ）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，⑵ 已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（ ）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．[13]-， ⑶已知(){}2|43,A x y y xx x ==-+∈R ，，(){}2|22,B x y y x x x ==--+∈R ，，则AB 等于（ ）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，实战演练【演练5】设集合{|(3)()0,}=--=，求A B A B，．B x x x=--=∈R，{|(4)(1)0}A x x x a a概念要点回顾1．集合中的元素具有______性、______性、______性；2．常用数集的符号：自然数集____；正整数集____；整数集____；有理数集____；实数集_____．3．集合的表示法：把集合中的元素一一列举出来的方法叫做______；把集合中的元素用一个代表元素表示，并注明满足的条件的方法叫做______；通常用来表示集合与集合之间的关系的方法叫做_______．用来表示连续数集的方法叫做______．4．用来表示元素与集合的关系的符号有_______，用来表示集合与集合的关系的符号有_____________．5．空集是______的子集、空集是___________的真子集．6．两个集合的运算有______、______与______，用这些运算的符号表示下列集合:∈，且}x A∉=______．∈=___B,{|x x Ux B A∈，且}x B A∈=___B；{|x x A∈，或}{|x x A考点2：函数的概念函数的概念：设集合A 是非空的数集，对于A 中的任意实数x ，按照确定的对应法则f ，都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x x A =∈，．其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}y f x x A =∈叫做函数的值域．函数()y f x =也常写作函数f 或函数()f x ．练习2：已知函数2()f x x x=+．⑴(1)f =_______，(4)f =_______；⑵当0a >时，()f a =_____________，(1)f a +=______________．【例8】已知函数221()1222x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，≤，，≥，⑴求(π)f ； ⑵若()3f a =，求a ．【例9】 求下列函数的定义域．①32y x x =+-；②1x y x =-；③21x y x -=-；④()1231f x x x =-⋅-；⑤01()(3)2f x x x =+--；⑥2()2f x x x =+-．2.2函数的概念与三要素知识点睛经典精讲第2讲函数及其表示****************************************************************************************初高衔接——解一元二次不等式求定义域问题中会遇到很多解一元二次不等式的问题，这部分内容初中有所提及，但有些同学掌握的还不太好，可以在这里再复习巩固一下．高中解一元二次不等式多借助一元二次函数的图象，知识点如下：解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有），再结合一元二次函数的图象写出不等式的解集：大于0时两根之外，小于0时两根之间．一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表 （以0a >为例）：【例题】解下列一元二次不等式⑴ 2420x x -->；⑵ 2613280x x --<；⑶2(11)3(21)+++x x x x ≥； ⑷ 2450x x ++>；⑸ 220x x -+->．【练习】解下列一元二次不等式⑴22320x x -->；⑵240x x ->；⑶210x x -+≤．⑷2233312x x x -+>-．【拓展】若01a <<，则不等式1()0x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集是______________．****************************************************************************************考点3：同一函数同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．【例10】 下列各组函数中，表示同一函数的有________．①1y =与x y x= ；②y x =与33y x = ③y x =与2()y x =；④y x =与2y x = ⑤y x =与00x x y x x ⎧=⎨-<⎩，≥，；⑥11y x x =+-21y x =-11y x x =+-21y x =-考点4：复合函数及其定义域复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．⑴ 只有当外层函数()f u ()g x [()]f g x ．⑵ 理解函数符号()f x ，及[()]f g x 与[()]g f x 的区别．⑶ 复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域与定义域共同决定的．【例11】⑴已知()21f x x =+，()21g x x =-，求[()]f f x ，[()]f g x ，[()]g f x 与[()]g g x ．⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出：x 12 34x 1 2 3 4()f x2 34 1 ()g x 2 1 43 那么()()2f f =＿＿，()()2f g =＿＿，()()2g f =＿＿，()()2g g =＿＿；满足()()f g x g f x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的x 的值是＿＿．【例12】⑴若()f x 的定义域为(1,3]，求(2)f x +的定义域；⑵若(2)f x +的定义域是(1,3]，求()f x 的定义域； ⑶若(2)f x +的定义域是(2,5]，求2(3)f x +的定义域．考点5：函数的值域1．部分常见函数的值域：常见函数的值域问题都可以借助函数的草图解决． ⑴一次函数：(0)y kx b k =+≠，图象为一条直线． 不加限制时，定义域为R ，值域为R ． 若定义域发生限制，21y x =+，[31]x ∈-，，值域为[53]-，，就是把端点值代入． 若是取不到端点，如12y x =-，(2]x ∈-∞，，结合图象易知答案为[3)-+∞，． ⑵二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠，图象为抛物线． 进入高中后，要习惯性把0a ≠写上．若定义域无限制，值域为从最小值到正无穷（0a >）或从负无穷到最大值(0)a <． 若定义域有限制，需要判断对称轴是否在区间内，并考虑端点离对称轴的远近，结合图象得到结果．⑶反比例函数：ky x=（0k ≠），图象为双曲线．0k >，图象在第一、三象限：0k <，图象在第二、四象限： 如果定义域无其它限制，值域为(0)(0)-∞+∞，，；如果定义域有其它限制，结合图象得到结果．遇到这三种函数的值域问题，我们应该首先画这些函数的草图，然后再看看函数对应的是图象的哪一段，最后得到所求函数的值域．2．简单复合函数的值域：先求定义域，再自内而外一层一层求值域．练习3：求函数2()1f x x =-的值域．【铺垫】求下列函数的值域：⑴21y x =--，[13]x ∈-，；⑵21y x x =++，[13]x ∈-，；⑶1[13]1y x x =∈+，，； 【例13】求下列函数的值域．⑴2y =-，[21]x ∈--，；⑵1212y x x =->-+，；⑶21y x =-+ ⑷232y x x =-+；⑸282y x x =--【拓展】2()245f x x x =-+集合的表示方法 列举法 描述法 图示法 优点 简单、直观 严谨 直观 缺点 不能表示复杂的集合 抽象 很难表示规则 函数的表示方法 列表法解析法图象法优点 不需要计算、直观 简明概括，易求值 直观，能反映大趋势缺点 不能表示复杂的函数不直观 不够精细考点6：函数的表示法函数的三种表示法⑴ 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法． 优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．⑵ 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(())x f x ，对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{()|()}F P x y y f x x A ==∈，，．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．⑶ 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．练习4：赵小雪同学开了一个小店，里面有5件商品，每个商品的定价都为2元，x 表示卖出商品的数量，y 表示销售收入，用三种方法表示y 关于x 的函数．【例14】 求下列函数解析式⑴已知2()1f x x =+，求(21)f x +； ⑵已知2(1)3f x x x -=+-，求()f x ；⑶已知(32f x x x =-()f x ．已知函数()21f x x =+的定义域为[22]-，，求函数(2)()f x f x -的值域．【演练1】已知集合A *=N ，{}21Z B a a n n ==-∈，，映射:f A B →，使A 中任一元素a 与B 中元素21a -对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是（ ） A ．3 B ．5C ．17D ．9【演练2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．1y x =-和211x y x -=+ B ．0y x =和1y =C ．()2f x x =和()()21g x x =+ D ．()()2x f x x=和()()2xg x x =【演练3】已知函数()34f x x =--的值域为[]105-，，则它的定义域为 ．【演练4】已知()f x 的定义域为[12)-，，则(||)f x 的定义域为（ ）．A ．[12)-，B ．[11]-，C ．(22)-，D ．[22)-，【演练5】 ⑴已知()123f x x +=+，则()3f = ．⑵设(2)23g x x +=+，则()g x =_______．【演练6】已知210()20x x f x x x ⎧+=⎨->⎩≤，，，若()10f a =，求a ．实战演练概念要点回顾1．函数的概念：设集合A是非空的数集，对于A中的____实数x，按照确定的对应法则f，都有_____的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作，．y f x x A=∈()2．函数的三要素是：________、________与________，其中________与________一致的函数就称为同一函数；3．函数的表示方法有______、_______与_______．4．对于复合函数[()]f g x，内层函数是______，外层函数是______，求复合函数的值域需要先求_____，再________一层一层求值域．第3讲函数的单调性考点1：单调性的概念1．一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，区间I D ⊆：⑴ 增函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数； ⑵ 减函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．单调性：如果函数()y f x =在某个区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这个区间上具有单调性，区间I 叫做()y f x =的单调区间．【例15】 已知定义在区间[44]-，上的函数()y f x =的图象如下，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．O yx431124【解析】 函数()y f x =的单调区间有：[42]--,，[21]--,，[11]-，，[13]，，[34]，．其中在区间[21]--,，[13]，上是减函数，在区间[42]--,，[11]-，，[34]，上是增函数．考点2：单调性的严格证明用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <．②作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．练习1：()21f x x =+，证明()f x 在R 上单调递增．3.1函数单调性的定义与判别【例16】⑴证明：函数2()f x x =在(0]-∞，上单调递减；⑵证明：函数1()f x x=在(0)+∞，上单调递减．【例17】⑴证明：函数3()f x x =在定义域上是增函数．⑵证明：函数2()3x g x x =-在区间[12]，上是减函数．****************************************************************************************初高衔接——立方和与立方差公式⑴立方和公式 3322()()a b a b a ab b +=+-+； ⑵立方差公式 3322()()a b a b a ab b -=-++．【例题】⑴已知12x x +=，则331x x +=_____．⑵已知1x y +=，则333x y xy ++的值为_________．【练习】已知12x x-=，则331x x -=_____．【拓展】实数a b ，满足3331a b ab ++=，则a b += ．****************************************************************************************【拓展】讨论函数2()1axf x x =-（110x a -<<≠，）的单调性．考点3：利用单调性解简单的函数不等式【例18】 ⑴已知函数()f x 为R 上的增函数，且(21)(2)f m f m ->+，则m 的取值范围是_______．⑵函数()f x 在(0)+∞，上为减函数，那么2(23)f a a -+与(1)f 的大小关系是________．【拓展】已知函数()f x 为R 上的减函数，则下列各式正确的是（ ）A ．()(2)f a f a >B ．2()()f a f a <C ．2()()f a a f a +<D ．2(1)()f a f a +<考点4：常见函数的单调性常见函数的单调性：1．一次函数()f x kx b =+（0k ≠），单调性由k 决定，12x x <，()()()1212f x f x k x x -=-， 当0k >时，()f x 在R 上单调递增；当0k <时，()f x 在R 上单调递减．2．二次函数()()20f x ax bx c a =++≠， 当0a >时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦，上单调递减，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增； 当0a <时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上单调递增，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递减．3.2常见函数单调性练习2：一个二次函数在()05，上单调递增，在()30-，上单调递减，则它的对称轴为_____．3．反比例函数()kf x x=，0k ≠．当0k >时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递减；当0k <时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递增． 【例19】⑴已知函数y ax =和by x=-在区间(0)+∞，上都是减函数，则函数1by x a=+在R 上的单 调性是_____________．(填增函数或减函数或非单调函数)⑵已知函数2()(1)2f x a x =-+在()-∞+∞，上为减函数，则a 的取值范围为________．⑶若函数2()2012f x x ax =++在(2)-∞，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增，则a =___．⑷若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(4)-∞，上为减函数，则a 的取值范围是 ．【拓展】已知函数()()213f x ax a x a =+-+在区间[)1+∞，上递增，则a 的取值范围是 ．考点5：复合函数单调性对于复合函数[()]y f g x =的单调性，必须考虑函数()y f u =与函数()u g x =的单调性， 函数[()]y f g x =的单调性如下表：()y f u = 增函数 增函数 减函数 减函数 ()u g x = 增函数 减函数 增函数 减函数 [()]y f g x = 增函数 减函数 减函数 增函数小结：同增异减．练习3：判断函数1y x =+的单调性．【例20】判断下列函数的单调性．⑴1y x =- ⑵15y x=- ⑶2145y x x =++ ⑷232y x x =-+．【例21】 判断函数324y x=--的单调性．【拓展】判断函数2312y x=--的单调性．1．若函数()f x 在区间[13)，上是增函数，在区间[35]，上也是增函数，则函数()f x 在区间[15]，上（ ）A ．必是增函数B ．不一定是增函数C ．必是减函数D ．一定是增函数或减函数若函数211()21x x f x ax x ⎧+=⎨-<⎩，≥，在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围为__________．2．如果函数2y ax =+在()1-+∞，上单调递增，求a 的取值范围．【演练1】关于函数()(0)kf x k x=<的下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在(0)+∞，上单调递减B ．()f x 在(0)-∞，上单调递减C ．()f x 的单调增区间为(0)(0)-∞+∞，，D ．()f x 的单调增区间为(0)-∞，和(0)+∞，【演练2】函数2()21f x x x =-+-在区间[2011]a -，上是增函数，则a 的取值范围为________．【演练3】证明：函数()f x x =-在定义域上是减函数．【演练4】已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x⎛⎫> ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ） 实战演练A ．(1)-∞，B ．(1)+∞，C ．(0)(01)-∞，，D ．(0)(1)-∞+∞，，【演练5】判断下列函数的单调性：⑴15y x=+；⑵42y x =-；⑶243y x x =--．1．函数的单调性的定义：如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数；如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．常见函数的单调性：⑴一次函数y kx b =+：0k >时，在____上是____函数；0k <时，在____上是____函数； ⑵二次函数2y ax bx c =++：0a >时，在_________上单调递增，在________上单调递减；0a <时，在_________上单调递增，在________上单调递减；⑶反比例函数k y x=：0k >时，在_________________上单调______；0k <时，在_________________上单调______；3．复合函数的单调性概念要点回顾当()f g x单调递增；f x与()g x的单调性______时，[()]当()f x与()f g x单调递减．g x的单调性______时，[()]第4讲函数的奇偶性考点1：函数奇偶性的定义与判定1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数； 如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．练习1：⑴证明：()4211f x x x =++是偶函数．⑵证明：31()g x x x=+是奇函数．【铺垫】判断下列函数的奇偶性：①()3f x x =；②()31f x x =-；③4()1f x x =+；④1()f x x x=-；⑤2()1f x x x =-+；⑥2()1f x x x =-+．【例22】将下列函数按照奇偶性分类：①(]2()11f x x x =∈-，，；②()()011f x x =∈-，，；③1()1f x x =-； ④()11f x x x =-+-；⑤22()11f x x x =-+-；⑥32()1x xf x x +=-； ⑦()212|2|x f x x -=-+； ⑧1()(1)1xf x x x +=⋅--；⑨10()10x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，，； ⑩10()10x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，，．⑴ 是奇函数但不是偶函数的有__________________；⑵ 是偶函数但不是奇函数的有___________________； ⑶ 既不是奇函数也不是偶函数的有__________________；⑷ 既是奇函数又是偶函数的有 （填相应函数的序号）．4.1函数奇偶性的定义与判别【拓展】函数29|4||3|x y x x -=++-的图象关于（ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线0x y -=对称【例23】 ⑴若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 ．⑵已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当m = ，n = 时，()f x 是奇函数．【例24】 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且23()()1f x g x x x -=--，则()g x 的解析式为（ ）A ．21x -B ．222x -C ．21x -D ．222x -【例25】 ⑴已知()()f x g x ，都是定义在R 上的函数，下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x ⋅为奇函数B ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x +为奇函数C ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则[()]f g x 为偶函数D ．若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]f g x 为奇函数 ⑵设函数3()(1)()f x x x x a =++是奇函数，则a =_______． 考点2：函数奇偶性的简单应用练习2：()f x 是偶函数，且在[)0+∞，上，()21f x x =+，则在()0-∞，上，()f x =_______．【例26】 ⑴()f x 是偶函数，在[)0+∞，上，()243f x x x =-+，则在()0-∞，上()f x =________．⑵()f x 是偶函数，在()0+∞，上，()31f x x x=+，则在()0-∞，上，()f x = ．⑶已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，21()f x x x=-．求函数()f x 的解析式．．单调性：若一个偶函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递减；若一个奇函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递增．说明：偶函数在对应区间上单调性相反，奇函数在对应区间上单调性相同．4.2单调性与奇偶性综合练习3：已知()1f x x x=+，它是奇函数，已知它在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，那么可以得到它在(0)-∞，上的单调情况为______________．【例27】⑴定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0)+∞，上单调递增，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- ⑵设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0)-∞，上是增函数，则(1)f -与2(23)f a a -+（a ∈R ）的大小关系是__________．⑶()f x 是偶函数，在[)0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<． ⑷()f x 是奇函数，在()0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<．【拓展】已知定义在R 上的奇函数()f x 是一个减函数，且120x x +<，230x x +<，310x x +<，则()()()123f x f x f x ++的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上均有可能已知定义在[22]-，上的奇函数()f x 是增函数，求使(21)(1)0f a f a -+->成立的实数a 的取值范围．【演练1】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()0f x ≠，则2()1()F x x f x =--⋅（ ）A ．是奇函数但非偶函数B ．是偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．为非奇非偶函数实战演练。

高一预科数学课程安排高中教学安排的课本目录必修一：第一章集合与函数概念1.1集合（每节对应的练习题）阅读与思考集合中元素的个数1.2函数及其表示阅读与思考函数概念的发展历程1.3函数的基本性质章节练习作业章节总结第二章基本初等函数（Ⅰ）2.1指数函数信息技术应用借助信息技术探究指数函数的性质2.2对数函数阅读与思考对数的发明探究也发现互为反函数的两个函数图象之间的关系2.3幂函数必修四：第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.2任意角的三角函数阅读与思考三角学与天文学1.3三角函数的诱导公式1.4三角函数的图像与性质探究与发现函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ）探究与发现利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质1.5函数y=Asin（ωx+φ）的图像阅读与思考振幅、周期、频率、相位 1.6三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念阅读与思考向量及向量符号的由来2.2平面向量的线性运算2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.4平面向量的数量积2.5平面向量应用举例阅读与思考向量的运算（运算律）与图形性质小结复习参考题第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式信息技术应用利用信息技术制作三角函数表3.2简单的三角恒等变换小结复习参考题树人教育高一预科数学进度安排第一讲集合的概念第二讲集合的关系与运算第三讲映射与函数第四讲函数的表示方法——解析式法第五讲函数单调性第六讲函数奇偶性第七讲指数与指数幂的运算第八讲指数函数第九讲对数函数第十讲对数与对数运算第十一讲幂函数第十二讲方程的根与函数的零点第十三讲用二分法求方程的近似解第十四讲几类不同增长的函数模型第十五讲函数的图像第十六讲二次函数性质与函数的图像第十七讲三角函数普班：授课进度第1-第16讲快班：授课进度第1-第17讲（根据教学进度和孩子接受程度增加平面向量的讲解）快班的中考分数要求裸分530以上。