省常中自主招生考前指导(主讲人：刘蒋巍)

刘蒋巍中考数学考前串讲讲义教学内容中考数学大串讲教学目标理解中考数学解题方法与技巧；理解二次函数、反比例函数、三角函数、三角形、四边形、圆、新定义与新题型解题方法教学重点理解中考数学解题方法与技巧教学难点理解二次函数、反比例函数、三角函数、三角形、四边形、圆、新定义与新题型解题方法教学准备教材教学过程教学内容第一部分中考数学解题方法与技巧技巧1：前一问的条件或结论，为后一问作铺垫如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．（1）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；（2）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ 的大小，并说明理由．技巧3：构造定理所需要的模型如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点，点A（3，3），点M为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）直线OA上是否存在点E，使得点E关于直线MA的对称点F满足S△AOF=S△AOM？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．第二部分 二次函数已知，抛物线1C :1222-++-=m m mx x y 与其顶点P 所在直线l 的另一交点为Q ，将该抛物线1C 向下平移k 个单位（0>k ），得到的新抛物线2C 与直线l 交于N M ,两点，且M 在N 的左侧，求证：NQ MP =第三部分反比例函数第四部分圆（隐圆）如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE 面积的最大值是______．（阿波罗尼斯圆）（轨迹圆）第五部分三角形与四边形已知B点坐标为)0,3(，D点坐标为)4,1(-；以OB为边在第四象限内作等边△OBM，设点E为x轴的正半轴上一动点，连接ME，把线段ME绕点M顺时针旋转60°得MF，∠EMF，MF=60EM=（1）求证：EOM∆∆≌FBM（2）求点F所在函数图像的解析式；（3）求线段DF的长的最小值.菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．若△AEF有一个角为60°，求证△AEF是等边三角形．第七部分 新定义与新题型不等式“)0,0(22>>+≥≥+b a ba abab b a ”的几何意义。

常州高三数学期初考试试题分析第1题 【试题情境】以一元二次方程、一元二次不等式和集合为背景，引导学生关注相关运算． 【必备知识】一元二次方程及一元二次不等式的解法；用不等关系刻画子集关系． 【关键能力】本题主要考查学生含字母的一元二次方程与一元二次不等式的求解能力、以及用不等关系刻画子集关系的应用能力． 【学科素养】本题综合考查了学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等数学学科核心素养．本题要求学生会通过逻辑推理处理含字母的数学运算，会结合数轴通过数学抽象与直观想象得出子集关系对应的不等关系组． 【解题思路】由A ＝{}22230x x ax a +-=得当0a >时{}3,A a a =- {}|0,3B x x x =<>或，因为A ⊆B ，所以30,3,a a -<⎧⎨>⎩解得3a >；当0a <时{}3,A a a =- {}|0,3B x x x =<>或，因为A ⊆B ，所以33,0,a a ->⎧⎨<⎩解得1a <-；当0a =时{}0A = {}|0,3B x x x =<>或，不成立． 所以选D 【教学建议】（1） 关注学生对一元二次方程以及一元二次不等式解法的理解与掌握，特别是含字母需要分类讨论的类型；（2）关注学生集合的运算能力，以及对子集、真子集关系的转化能力，特别是数轴的运用能力． 第2题 【试题情境】以复数为背景，引导学生关注复数的运算和几何意义． 【必备知识】复数的四则运算；复数的几何意义． 【关键能力】本题主要考查学生对复数四则运算以及复数几何意义的理解和应用能力． 【学科素养】本题综合考查了学生直观想象、数学运算等数学学科核心素养．本题要求学生会用复数的四则运算法则进行数学运算，会根据复数的几何意义通过直观想象建立复数与复平面内点的对应关系． 【解题思路】12i i i ++=-，所以对应的点为1)2-．所以选A 【教学建议】（1）关注学生复数的四则运算法则记忆与应用的准确性； （2）关注学生对复数几何意义的理解与掌握；（3）关注复数章节其他知识点的复习，比如模的运算等． 第3题 【试题情境】判断“a ≥b ”与“ac 2≥bc 2”两个不等式之间的条件关系． 【必备知识】理解充分条件、必要条件和充要条件的意义，并通过“若p 则q”形式命题的真假，判断语句“p”与语句“q”之间的条件关系． 【关键能力】理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，会求(判定)某些简单命题的条件关系． 【学科素养】数学抽象: 理解充分条件、必要条件、充要条件的意义； 逻辑推理: 对命题真假的判断； 数学运算: 对不等式性质的应用． 【解题思路】将问题转化为两个命题：命题①“已知a ，b ，c 是实数，若a ≥b ，则ac 2≥bc 2”； 命题②“已知a ，b ，c 是实数，若ac 2≥bc 2，则a ≥b ”．然后分别判断两个命题是否成立， 因为命题①成立，所以“a ≥b ”是“ac 2≥bc 2”的充分条件．又因为命题②在0=c 的时候不成立，所以“a ≥b ”是“ac 2≥bc 2”的充分不必要条件． 【教学建议】易出现的错误：一是不等式性质掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取c b a ,,的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果． 第4题 【试题情境】 函数的切线问题 【必备知识】函数的导数，二元一次方程组的解法 【关键能力】 等价转化和数学计算 【学科素养】将问题信息进行等价转化，构建等价方程组求解． 【解题思路】通过函数切线的相关知识，构建函数的切线．将构造的切线与已知直线进行对比，使得对应的量相等．然后通过解二元一次方程求得问题中的参数． 【教学建议】含参问题是高中数学的一类常见问题，需要学生准确辨识参数在题中的作用，进行针对性的求解．解方程过程中，学生常因一些机械计算的失误导致结果错误，产生不必要的失分．针对这种情况，平时的训练因注重基本知识和基本方法的提炼，同时还应重视带字母计算的准确率． 第5题 【试题情境】以“染色问题”和古典概型等经典数学情境为主要背景，引导学生关注数学本质，利用模型化的思想解决问题． 【必备知识】利用乘法原理探索排列问题，将具体的问题情境归结为分类和分步两类问题，掌握古典概型的基本计算方法． 【关键能力】本试题主要考察学生对分步计数原理和分类计数原理的理解和应用能力，同时对基本概率的理解和应用． 【学科素养】理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，获得运算结果，能够借助数学运算方法解决实际问题． 【解题思路】要求概率的时间总数计算可以从任意一个三角形开始染色，方案有5种；之后再染与它相邻的三角形，只需与它颜色不同即可，有四种方案；其余三角形类似．而事件总数则为简单的分步乘法，最后利用古典概型公式算得概率．【教学建议】把两个计数原理的理解放在突出位置，加强学生对“基本事件”的理解，重视常见概率模型和计数模型的总结和应用，抓住数学本质，立足核心素养．第6题【试题情境】线性回归方程求解【必备知识】线性回归方程的基本概念和相应性质．【关键能力】数学计算和数据处理【学科素养】理解线性回归方程的概念和性质，能准确使用相关性质进行概念辨析．【解题思路】首先求出平均值点，筛选出AD两个选项，然后通过带入点（1，2．2）进行对比，说明D 选项更符合题意．【教学建议】抓住核心概念展开教学，让学生对概念有正确的认识．要用正反两方面的例子来帮助学生进行辨析，让学生能多角度，多层次的进行理解和掌握．要强调概念的应用，让学生能更深刻的理解概念的价值．第7题【试题情境】二项式定理的应用【必备知识】二项式定理，组合数公式，导数【关键能力】逻辑推理【学科素养】能有效分次提取题中信息进行处理和等价转化，能主动使用相关公式进行变形．能通过逻辑推理找到问题与条件之间的逻辑链．【解题思路】方法一：结合问题形式，找到表达式变形的突破口：系数与项的对应是如何实现首尾转化的，进而联想到组合数公式．观察次数与系数的关系，结合导数的功能进行求导计算．方法二：不完全归纳法．将次数改为2次和3次，观察问题的变化规律进行类比．【教学建议】让学生在解题过程中能灵活使用公式，创造性的使用公式一直是教学的难点，根本问题在于学生的知识体系中对公式的认识方式和程度，公式的价值在于形式化的呈现相关概念，突出应用性，所以在教学时应该设置多样化的情景，并着力突出公式各个方面的作用．让学生能够充分体验公式的应用价值． 第8题 【试题情境】研究函数在区间的零点个数问题． 【必备知识】了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系． 【关键能力】会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间，能借助函数单调性及图象判断零点个数． 【学科素养】数学抽象：函数零点的概念；数学运算：运用零点判定定理确定零点范围； 直观想象：运用图形判定零点；数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想研究函数的零点． 【解题思路】将函数()Asin(2)f x x kx b ϕ=+++在区间(﹣π，π )上的零点个数问题转化为两个函数)2sin()(ϕ+=x A x g 与b kx x h +=)(在区间(﹣π，π )上的交点个数，通过分类讨论，直观想象，解决问题． 【教学建议】本题考查的知识点是函数零点及零点个数的判断，判断函数零点个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．为了便于限制零点个数或零点所在区间，通常要对已知条件进行变形，变形的方向是：(1)化为常见的基本初等函数；(2)尽量使参数与变量分离，实在不能分离，也要使含参数的函数尽可能简单． 第9题 【试题情境】以平面向量相关知识为基础，重点突出考查以运算为主的工具性． 【必备知识】本题考查了向量的线性运算、数量积运算，并结合圆的轨迹． 【关键能力】本题考查学生的信息整理能力．要求学生有数学眼光发现问题，用数学的思想方法准确地把握平面向量处理的方法，合理地解决问题的能力．【学科素养】本题考查学生逻辑推理和数学运算的学科素养．要求学生运用演绎推理，有效的向量运算，去发现问题、分析问题、解决问题．【解题思路】本题中四个选项都可以用基向量法、几何法、坐标法等多种方法处理．纯用基向量运算相对难度较大些，用几何法解决前两个选项特别简单，后两个需要有轨迹意识，用坐标法比较直接，处理好运算即可，不过运算量略大．所以本题需要合理选择方法，最好还能结合多项选择题排除法的策略，对学生要求较高，也符合适应性考试体现出的难易无序，较好地考查学生的能力素养．属于中档题．【教学建议】（1）对向量运算处理的三种基本方法在教学中要讲全讲透，把握向量工具性的本质；（2）教学中要注重一题多解，灵活运用多种方法解题，提升学生综合运用能力．第10题【试题情境】以学生学习生活中的测验成绩为情境，结合正态分布相关知识，体现数学的应用性．【必备知识】本题考查正态分布定义，并能根据正态曲线求相应概率．【关键能力】本题考查学生对正态分布定义和正态曲线与概率关系的阅读理解能力．【学科素养】本题主要考查学生数学运算和数据分析的学科素养，要求学生准确掌握正态分布中期望和标准差的数据，并根据数据分析研究出对应概率．【解题思路】本题前三个选项只需根据正态分布定义式中期望和标准差的含义判断即可，是对适应性考试第16题的再巩固．第四个选项需要作出正态曲线，根据2 原则对应的范围判断．属于简单题．【教学建议】（1）教学中要注重基本知识、基本方法，全面细致地掌握好高中内容；（2）加强变式与综合，比如适应性考试与基本不等式结合．第11题【试题情境】以斐波那契数列（黄金分割数列）这一经典数列为背景，要求学生能探究相关的简单性质．【必备知识】归纳推理能力和一般数列的地推公式的研究方法． 【关键能力】本题考查学生信息整合和逻辑推理的能力．要求学生能掌握基本的处理线性递推数列的方法，并考查学生猜想与论证能力、数据分析和预测能力． 【学科素养】本题主要考查学生逻辑推理和数学运算．要求学生会从特殊到一般的推理，引导学生主动思考，主动探求新规律，获得数学结论，形成主动探究意识．坚持探索创新，推进高考改革． 【解题思路】前两个选项根据线性递推列举即可获得答案，后两个选项从策略上可以选择列举猜想的方法，严密推导需要将线性递推的“和式”化为“差式”，通过累加法推导证明．属于中难题． 【教学建议】（1）重视数学文化和数学经典问题，尽量消除学生面对试题的“陌生感”； （2）教学中从问题探究题要求看需要加强猜想与递推论证能力． 第12题 【试题情境】以双变量定义数学新情境，要求学生理解既有“任意”、又有“存在”的命题的等价条件． 【必备知识】本题考查学生逻辑思维能力、函数值域以及值域间关系处理问题． 【关键能力】本题考查数学阅读和理解能力．“人们证明正是用逻辑，人们发明正是用直觉”．在数学阅读理解中，要充分发挥逻辑与直觉的作用，从而增强学生对问题的认识与思考能力． 【学科素养】本题主要考查学生数学抽象和逻辑推理的学科素养，学生要能提炼数学概念，提出命题的等价条件，形成等价转化的思想方法． 【解题思路】根据独立变量的处理方法，可将变量为1x 的函数变形到等式右边，然后使变量1x 对应的值域是变量2x 对应值域的子集．这样处理，前两个选项简单就辨析出了正误，后两个选项可以通过两个不等式“夹逼”出等式求出参数的值．当然，从选择题角度来说，可以通过前两个选项中更具体函数的值域定值的正误看出，本命题的等价条件是需要保证“最大值与最小值互为倒数”，这样轻松判断后两个选项的正误．而且从选择题策略角度来说四三个选项错误，那答案必为AD ．属于难题． 【教学建议】（1）从选择题角度看需要大力加强解题策略教学，特别是最后一个多项选择题．策略一是前两个选项是已知的具体函数，很容易判断正误，选个A 即可，事实上大部分学校均分低于2分．策略二是如果学生有能力判断选项C 错误，立即就可出正确答案的5分； （2）加强对双变量问题的研究，帮助学生理解掌握获得其等价条件的方法，就本题而言，可以实现两种变式教学：一是将“积式”改为“和式”；二是将“任意”“存在”交叉变式． 第13题 【试题情境】以圆柱和球的综合为背景，考查空间几何体的表面积与体积，注重知识间的融合． 【必备知识】知道球体的体积公式；理解圆柱的侧面积与侧面展开图面积的关联；知道圆柱的表面积包括侧面积和底面积；理解简单几何体外接球球心的位置的求法． 【关键能力】本试题主要考查学生对圆柱的外接球、圆柱的侧面积等核心知识的理解和应用能力；通过该试题考查学生的空间想象能力和一定的数学运算能力．该试题体现了研究立体几何的通法即化空间为平面的思维方法． 【学科素养】本题主要考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养，要求学生能够具备研究立体几何问题的思维方法即化空间为平面的降维的方法．学生应该能直观想象出圆柱的外接球的球心的位置和圆柱侧面展开图；能够用联系的眼光看待数学知识间的联系；在解题中进一步体会降维和转化的思维方法在立体几何研究中的作用． 【解题思路】根据球体的体积公式，计算出球的半径为5；根据圆柱的特征，得到其外接球的球心为圆柱的中心；结合圆柱和球面的两个以球心为中点的公共点确定出直径的位置，利用底面直径为8，运用勾股定理求出圆柱的母线长为6；利用圆柱的侧面展开图为矩形，矩形的长为圆柱底面圆的周长，宽为圆柱的母线长，从而求出侧面积为π48；进一步算出上下两个底面积的和为π32，从而得到表面积为.80π 【教学建议】注重数学学科知识间的联系，是新课程标准对学生能力的较高要求．在教学中，要关注数学模块内部的关联，也要注重模块与模块间的联系，帮助学生用联系的、发展的眼光看问题．教学中关注通性通法的渗透，让学生在解题中不断感悟通法，积累数学解题活动经验． 第14题 【试题情境】以三角函数和绝对值函数的综合为背景，考查函数的周期性． 【必备知识】理解函数周期性的定义；知道)sin(ϕ+=wx A y 的周期；理解图象的翻折变换；会熟练使用诱导公式化简三角函数． 【关键能力】本试题主要考查学生对三角函数的图象和三角函数的周期性等核心知识的理解和应用能力；通过该试题考查学生利用定义研究函数性质的能力． 【学科素养】本题主要考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养．李邦河院士说过“数学是玩概念的”，本题要求学生结合三角函数的图象和图象变换的知识，借助直观想象，通过图象的叠加可感知出最小正周期．也可利用定义研究最小正周期，提升逻辑推理的能力．在诱导公式的使用中提升数学运算能力．在解题中进一步提高用定义分析研究问题的能力． 【解题思路】1．形的角度：根据辅助角公式，可将原函数化为)4sin(2)4sin(2)(ππ-++=x x x f ，将)(x f 看成)(x g 和)(x h 的和；利用三角函数的周期知)(x g 和)(x h 的周期为π2，利用图象的翻折变化，知)(x g 和)(x h 的图象为π，借助两个函数的图象叠加得)(x f 的图象，可得)(x f 的周期为.2π2．数的角度：根据周期性的定义，显然)()2(x f x f =+π，则π2是一个周期．接着验证)()(x f x f =+π，则π是一个周期．进一步验证x x x x x f sin cos sin cos )2(++-=+π),(x f =若再进一步缩小就不能满足周期的定义，则2π为最小正周期． 【教学建议】华罗庚先生说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”．研究函数应从形和数两个方面入手，让学生在解题的过程中体会数形结合的思想．教学中要重视对概念的理解和运用，同时加强考试策略的指导，如特殊化去猜周期，然后结合定义验证． 第15题 【试题情境】以椭圆和抛物线的综合为背景，考查圆锥曲线的基本量，注重知识间的融合． 【必备知识】知道椭圆和抛物线的焦点坐标和基本量的关系；理解椭圆和抛物线的定义，并会简单应用；知道椭圆的离心率与基本量的关系． 【关键能力】本试题主要考查学生对椭圆和抛物线的基本量与常见几何性质的理解和应用能力；考查学生利用定义研究圆锥曲线的能力．在解题中体会转化的思想方法．【学科素养】本题主要考查学生的逻辑推理和数学运算核心素养．利用已知椭圆的右焦点坐标，得抛物线的焦点坐标，从而求出抛物线的方程．利用抛物线的定义求出交点的坐标，从而得到椭圆上一点的坐标，进一步求出椭圆的方程．学生需要在解答的过程中，设置一个思路清晰的推理方式，并正确运算求解．利用一些图形的公共特征进行转化，体会“算两次”的思想． 【解题思路】根据椭圆的方程求出右焦点的坐标为),0,1(从而得抛物线的焦点坐标；利用焦点的横坐标是抛物线标准方程x 前面系数的，41求得n 的值；由抛物线的定义知抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离，求出交点的横坐标32；利用点在抛物线上，求出交点的坐标；紧接着将交点的坐标带入椭圆方程求出m 或利用椭圆的第一定义交点到两个焦点的距离之和为a 2，最后利用离心率与基本量的关系解出答案．【教学建议】课程标准指出考试应关注学科间的综合和跨学科知识间的综合，体现考试命题的综合性是新高考的要求．教学中应关注模块内部知识间的关联，还要关注不同模块知识间的关联．圆锥曲线的教学应关注解析法的理解和运用，同时因为解析法的运算量较大，教学中要让学生在自主体验中感受算法不同带来的运算的难易，积累一些如定义法、几何特征如对称性等简化运算的方法． 第16题 【试题情境】以函数与不等式的综合为背景，考查利用函数思想解不等式，注重模块间的融合． 【必备知识】知道对数函数的定义域；理解二次函数和对数函数的图象和性质；理解函数的奇偶性和单调性的性质；能通过研究函数的图象和性质解不等式． 【关键能力】本试题主要考查学生对函数的图象和性质、解不等式等核心知识的理解和应用能力；通过该试题考查学生整体研究问题的能力；能把研究基本初等函数的图象和性质的方法，迁移到复杂函数的图象和性质的研究中；能从函数的角度解不等式，体会不同模块知识间的关联，培养学生用联系的整体的眼光看问题的能力． 【学科素养】本题主要考查学生的直观想象、逻辑推理和数学运算核心素养，要求学生能够具备研究一般函数的图象与性质的能力，并会结合函数图象和性质解不等式．在运算求解的过程中，能将某些对象看成一个整体来研究，培养整体的眼光看问题的能力．利用函数的图象来解不等式，体现了数形结合的思想方法，利用图象直观理解问题，增强直观想象素养．【解题思路】研究函数问题定义域优先考虑，得到)(x f 的定义域为},0|{≠x x 则不等式括号内的两个整体都不为0；观察函数的结构，把2-x 看作一个整体，探究看成整体后的函数；利用先整体后局部的方法，先研究奇偶性后研究单调性，发现把2-x 看作整体后的函数是偶函数，而且y 轴右侧减左边增，从而得到原函数)(x f 关于2=x 对称，且在对称轴右侧减左侧增；画出函数的草图，发现x 离对称轴越近y 值越大，列出关系式t t <-12，两边平方计算即可．【教学建议】注重数学不同模块知识间的联系，是新高考命题综合性的体现，同时还要关注数学知识与其他学科的交叉融合，增强知识的理解和运用能力．新课程提出“大观念、大主题、大单元”的核心观念，在平时的教学中要重视对整体思维的培养，提升学生从整体的系统的角度看问题的能力．在运算的过程中提升把某些对象看作整体进行整体运算的能力，提升数学运算的核心素养．第17题【试题情境】以等比数列的数学模型为背景，考查数列的项和和的求解问题．【必备知识】知道等比数列的通项公式和求和公式；理解等比数列的项和项之间的关系并会互相转化；理解等比数列的和和和之间的关系并会互相转化；理解等比数列的基本量法并会熟练使用．【关键能力】试题主要考查等比数列中项和项、和与和之间的关系的理解和应用能力；通过该试题让学生体会基本量法在等比数列中的应用，增强用基本量思考问题的能力，体会知识的本质； 在解题的过程中，体会转化的思想方法，培养用联系的眼光看问题的能力．【学科素养】本题主要考查学生的逻辑推理和数学运算核心素养，要求学生能够具备基本量法研究等比数列问题的能力．在运算求解的过程中，能预判算法的难易，设计简便的算法处理问题．同时，在运算的过程中能将某些对象看成一个整体来处理消去，达到简化运算的目的，提升整体运算的能力．【解题思路】1．本题第一问直接利用求和公式算出等比数列的公比，也可以利用项和项的关系即36)1(S q S +=求出公比，然后利用通项公式算出要求的项；2．本题第二问利用等比数列项与项的关系，在第一个方程两边同时除以m a ，结合题目条件求得2=q ；接着借助第二个方程用求和公式得到m 的方程，也可以利用m S 2与m S 的关系即)1(2m m m q S S +=得到m 的方程；在求解方程的过程中如果两边同除以一个数要说明为什么不为0，才可以两边消去该数，防止出现漏解；或者把要求的方程看成关于m2的一元二次方程或设m t 2=后将原方程转化为t 的一元二次方程求解．【教学建议】数学解题关注三方面，即怎么想、怎么算、怎么写．就本题而言，怎么想指的是关注基本结论如数列求和和求项的公式要熟练掌握，基本方法如基本量法要熟练使用；怎么算指的是在解题中灵活选择运算策略，提升整体运算的能力，如整体消去m m S q S ,21,1,33--；怎么写指的是教学中关注审题的指导，如题目中,1,1>≠q q 同时计算中不能省去必要的演算步骤，如作除法要交代是否为0．第18题【试题情境】三角问题作为高中知识的重要组成部分，是历年高考重点考察的内容，同时也是解决实际问题重要的工具．【必备知识】需要学生掌握解三角形的基本知识，正弦定理、余弦定理，以及对公式的选择和灵活应用．掌握解决三角问题的基本思路和方法，熟练完成边和角的互化．【关键能力】本题主要考察学生对正弦定理和余弦定理的掌握和应用，以及解决三角问题时清晰的解题思路，从角入手和从边入手两个不同的方向．【学科素养】本题主要考察学生逻辑推理和数学运算能力，要求学生能够理解相应的三角公式，并对问题所给的条件加以分析，选择恰当的途径解决问题．要求学生形成清晰的解题思路，并且对于问题的阐述有严密的逻辑性．【解题思路】本题的解决主要有两个路径，一个是从边的角度，一个是从角的角度．1．用角做 C C C A C A C A B C sin 31cos 322sin cos cos sin )sin(sin sin 2+=+=+== C C cos 522sin =，0cos ≠C ，522tan =C ． 也有同学选择消去角C ，B A B A B A B C sin cos 2cos sin 2)sin(2sin sin 2+=+==， 进而求出B tan ，再利用)tan(tan B A C +-=来求解．。

掌握8条考试技术，成就高分之路刘蒋巍（学思堂教育研究院，江苏常州，213000）一.提前进入角色像运动员先做准备运动，像演员提前酝酿感情，考生也应提前进入“角色”，努力把最佳竞技状态带进考场．①考生在考前一二周应逐渐放松，进入静息状态（静能生慧），并进行生物钟的调整，让作息时间安排得与高考的时间同步，在这段时间内，要保持情绪稳定，降低学习强度，增加睡眠时间，进行轻微活动，熟悉考试细则，做好物质准备，在一种宁静的气氛中主要做识记性的复习工作（勿做难题、偏题、怪题），比如，回想学科的整体结构，舒展脉络，背诵其中的重点内容（如二项式定理、等差（比）数列求和公式、圆锥曲线标准方程、两角和的余弦公式……）．发现有缺漏时不要焦急，应从容不迫地坐下来翻阅教材和笔记，保持内紧外松．“静能生慧”，经过强化训练之后的静息，是记忆恢复的最佳选择，许多发明创造都是在“脑风暴”之后的冷却期出现的，临考前必要的静息，看似失去，实为获得．相反，还做难题、还加班加点、会带来精神的过度紧张和体力的过度疲劳，会直接或间接（有形或无形）影响临场的发挥．高考是很紧张、很繁重的脑力劳动，心理和体力都消耗很大，需要提前加以储备，入静改善了大脑和全身的生理机能，就为提高智力活动的效率准备了良好的心理条件与充足的能量基础．至于作息时间安排得与高考的时间同步，则能在正式考试时，思维自动进入工作状态并迅速达到高潮．②熟悉考场，列出清单．考生一定要亲临考场（特别是考场不是设在本校的考生），熟悉环境，记下来回的路线和行走的时间，认准卫生间和医疗室的位置，一方面可以消除考试时无谓的“新异刺激”，另一方面也能“以防万一”．临考当天，应有充足的睡眠，并吃好清淡的早餐．赴考离家前，要按预先列好的清单带齐一应用具，如准考证、钢笔（吸饱水）、圆珠笔、铅笔、橡皮、圆规、三角板、防晕止痛小药片、擦汗小毛巾等，特别不要忘记带准考证和2B铅笔．同时要注意当年的规定，能带才带、不能带不带．③开始活动，进入“角色”．应提前半个多小时到达考场，一方面防止路上出现意外，另一方面可以稳定情绪，让脑细胞开始简单的数学活动，让大脑进入单一的数学情景．下面是一些可供选择的建议：清点所需用具是否齐全；把一些重要数据、常用公式、重要定理“过过电影”，特别是一些你认为难记易忘的结论；同学之间互问互答一些不太复杂的问题．经验表明，“过电影”的成功顺利，互问互答的愉快轻松，不仅能转移临考前的焦虑，而且有利于把最佳竞技状态带进考场，至于背诵基本数据（开方数、平方数、立方数、对数、勾股数、特殊角的三角函数值等），再现重要定理公式则常有实惠．二．迅速摸清“题情”刚拿到试卷，一般心情比较紧张，思考亦未进入高潮，此时不要匆忙作答，可先从头到尾、正面反面通览一遍试卷，弄清全卷共有几页、几题？看看页码是否齐全？卷页是否配套？印刷是否完整、清晰？尤其要认真阅读试卷的说明与各题型的指导语．①通览全卷的作用．一份试卷，相当于一份学科复习提纲，有了试卷的全貌认识，可使我们有机会从整体结构上获得积极的暗示，便于从学科的知识体系上产生联想，激活记忆，提高分析问题的能力和解决问题的效率．通览全卷有三个作用：第一、为实施正确的答题策略提供尽可能多的客观基础，如“三个循环”、“四先四后”、“一慢一快”等；第二、便于统筹安排时间，防止在个别小题上纠缠过久，也能有效克服“前面难题久攻不下，后面易题无暇顾及”的毛病；第三、可以从根本上避免漏做题．②通览全卷的基本工作．通览全卷既是摸清“题情”，又是解题的第一个环节，一般可在不到10分钟的时间内完成4件事：第一、填卷首、看说明、三涂两写；第二、顺手解答那些一眼看得出结论的简单选择题、填空题，显然，看完全卷比只看开头一二道题更容易找到熟悉的内容，更容易找到会做的题目；而只要能很快解答出一二道题（称为热身题），情绪就会迅速稳定下来，并且“旗开得胜”的愉悦感还有一种增力作用，能鼓励自己去作更充分的发挥．第三、对于不能立即作答的题目，可一面浏览一面按照难度估计，粗略分为A、B两类，A类是指题型比较熟悉、估计上手比较容易的题；B类是指题型比较陌生，自我感觉比较难的题目，以便于“先易后难”地答题．第四、做到“三个心中有数”，首先是对题量心中有数，弄清全卷一共几页、大小几道题，防止漏做题，发现漏印题；其次是对题分心中有数，弄清每道题各占多少分，为后面实施“先高后低”作调查，并粗略分配一下各题的解答时间，既注重每道题少丢分，更注重全卷多得分；最后是对题目的内容份量心中有数，即大致区分一下哪些属于函数题、哪些属于数列题、哪些属于三角函数题、哪些属于立体几何题、哪些属于解析几何题、哪些属于概率统计题、哪些属于微积分题，为实施“先同后异”做好准备．三．执行“三个循环”就是说，完整解答一套试题可经过3个循环．一头一尾是两个小循环，各用10分钟左右，中间是一个大循环，用将近100分钟．第一循环：通览全卷．即与通览全卷同时进行，先做简单题的第一遍解答，这是一个小循环．按高考题的难度比例3：5：2或４：４：2计算，可以先做那30～40%的容易题，获二三十分；同时，把情绪稳定下来，将思考推向高潮．第二循环：全面解答．即用将近100分钟的时间，基本完成全卷，会做的都做了．在这个大循环中，要有全局意识，能作整体把握，并执行“四先四后”、“一慢一快”的方针．第三循环：复查收尾．即用大约10分钟的时间来检查解答过程并实施“分段得分”．对于绝大多数考生来说，都不可能在第二循环中答对答全所有的试题，因此要对那些答不全或答不对的题目进行技术性处理．这一步的作用有点像足球守门，把住最后一关．即使都做完了的题目，也要复查，防止“会而不对、对而不全”．这一步是超水平发挥，争取多得分的不可缺少的步骤．四.做到“四先四后”考虑到满分卷是极少数，绝大多数考生，都只能答对部分题目或题目的部分，因此，执行“四先四后”的技术措施是明智的．①先易后难．就是说，先做简单题，再作复杂题，先做A类题，再攻B类题，容易和困难是因人而异的．“难者不会，会者不难”，虽然试卷本身的编排已经原则上考虑到从易到难，但这仅仅是命题组的主观认识，而且数学试卷常常被设计为“两个从易到难的三个小高潮”，（三类题型——选择题、填空题、解答题——从易到难；每类题型本身又从易到难），就是说，选择题的难题完全可能比填空题的易题困难，而解答题的易题又完全可能比选择、填空的难题容易，所以，进入第二遍答题时，就无须拘泥于从前到后自然顺序，应根据自己的实际，跳过啃不动的题目，从易到难，特别是不能在低分值的题目上耽误过长时间，防止“前面难题久攻不下，后面易题无暇顾及”．②先熟后生．通览全卷，既可能看到较多的有利条件，也可能看到较多的不利因素，特别是对后者，不要惊慌失措，万一当年试题偏难．首先要会自我暗示：“我难别人也难”，“要镇定，不要紧张”，其次，可实行“先熟后生”的策略，就是说，先做哪些内容掌握比较到家，题型结构比较熟悉的题目，后攻那些题型、内容、甚至语言都比较陌生的题目．先做在某些方面有熟悉感的题目，容易产生精神亢奋，会使人情不自禁地进入境界，展开联想，促进转化，拾级登高．③先高后低．这是说要优先处理高分题，特别是在考试的后半段时间，更要注意解题的时间效益，比如，两道都会做的题目，应先做高分题，后做低分题，以减少时间不足的失分；到了最后一二十分钟，也应对那些拿不下来的题目先就高分题实施“分段得分”，以增加在时间不足的前提下的得分．事实证明，“大题拿小分”是一个好主意．（压轴题的第1问常必选择、填空最后一题容易）当然，“先高后低”要与“先易后难”结合起来，不能不分难易，专挑高分题做，否则会造成“高分难题做不出来，低分易题没时间做”．④先同后异．就是说，可考虑同学科、同类型的题目集中处理，这些题目常常用到同样的数学思想、类似的思考方法，甚至同一数学公式，把他们结合起来一起处理，思考比较集中，方法或知识的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益，一般说来，数学高考解题必须进行“兴奋灶”的转移，思考必须进行代数学科与几何学科的相互换位，兴奋中心必须从这一章节跳跃到另一章节，但“先同后异”可以避免兴奋中心转移得过急、过陡和过频．这“四先四后”要结合自己的实际，相互配合，产生整体效果．五.答题“一慢一快”就是说，审题要慢、书写要快．①审题要慢．题目本身是“怎样解这道题”的信息源．只不过其中的积极提示往往是通过语言文字、公式符号以及它们之间的联系间接地告诉我们．所以，审题一定要逐字逐句看清楚，力求从语法结构、逻辑关系、数学含义、答题形式、数据要求等各方面真正看懂题意．特别要抓好“审题的三个要点和四个步骤”．经验表明，凡是题目未明显写出的，一定是隐蔽地给予的，只有细致地审题才能从题目本身获得尽可能多的信息，这一步不要怕“慢”．②书写要快．首先，在宏观上要有争分夺秒的速度意识，因为高考本身有时间限制，有速度要求．据统计，一套高考数学试卷通常控制在2000个印刷符号左右，若以每分钟阅读300～400个印刷符号的速度审题，约需5～7分钟，考虑到有的题目冷僻晦涩，要反复阅读，实际需要12分钟：书写主要用于解答题，约3000个印刷符号，按每分钟150个印刷符号的速度书写，约需28分钟，也就是说，看清题目后直接抄标准答案都需40分钟，留给思考、草算、文字组织和复查检验的时间只有80分钟，平均到每道题（通常是每卷有20多道近30问），保证不了4分钟．为了给解答题留下思考的时间，选择题、填空题就只能在一二分钟内解决，解决不了的就先跳过去；解答题中容易的题也不妨边想边写，节省草算时间，一般地，选择、填空题与解答题的时间比可分配为3：7或4：6．其次，具体到每一道题，一旦找到解题思路，书写要简明扼要、快速规范，不要拖泥带水，啰嗦重复，更别画蛇添足（导致倒扣分），用阅卷教师的行话来说，就是要写出“得分点”，就数学题而言，一个原理写一步就可以了，至于不是题目要直接考查的过度知识，特别是那些初中知识，可以直接写出结论，须知，多写一步就是多出现一个犯错误的机会，就是多占用了后面高分题的一点思考时间，这意味着“隐含失分”或“潜在丢分”．为了节约书写，我们建议多使用数学语言、集合符号、充要条件．六．立足中下题目，力争高上水平平时做作业，全都是按照完成所有题目来要求的（全做全对），但高考却不然，只有极个别的学生能够完成所有的题目，获得满分，因为时间和难度都不允许多数学生去做完、做对全部题目（据知，当今高考命题通常按50%～60%考生能做完来设计题量），所以，每个考生都要有这样的战略眼光：立足中下题目．应该看到，中下题目通常占全卷的80%（计120分），是试卷构成的主要成分，是考生得分的主要来源，是高校录取的主要依据，并且还是进一步解高难题的基础．确实，考生若能攻下全部中下档题目，稳拿120分，应该认为这已打了一个大胜仗．已经获得了一个成功的奖赏，它为后面攻克高难题准备了时间和心理能量，更容易出现超水平的发挥，退一万步说，各科的难题都做不了，仅凭80%的得分率（总分可得750×0．8=600分），录取通知书也已遥遥在望了．相反，若因为还有二三十分的题做不出来（满分150分），感到很紧张、很焦急，总想全做全对，就只会更加发挥不好，甚至忙中出错，把本来做对的地方也改错了（检查中遇到两种解法，没把握时，可印象优先、尊重第一选择）．应该知道，高考是加总分录取的，它是依据相对分数的优势从前往后选择的．就像奥运会比赛，关键不是破世界纪录，而是得金牌，当然，既得金牌又破纪录是一件两全其美的好事，但对多数考生来说，要害是“考上”！要确保基础分，拿下力争分，不丢零碎分．七.立足一次成功，重视复查环节高考的时间很紧张，不可能做大量细致的解后检验，所以，答题要立足于一次成功，稳扎稳打，字字准确，步步有据，努力提高解题的成功率，最好是每进行一步书写时，都用眼睛的余光扫视上下两行，顺便检验有无差错（步步检验）！有的考生上一行写32，下一行变为23，想填（B），却填了（D）．造成“方法全对，结论全错”，心是手非，实在可惜！在这个基础上，还要有最后把关的检验．这是解决“会而不对，对而不全”的一个有效措施．检验应“以粗为主，粗细结合”，粗检验主要看题目有无遗漏，题意有无弄错，要求是否符合，具体到每一道题，要看解题过程是否合理，解题步骤是否完整，解题结果是否科学．细检验就要具体看每一步推理是否合乎逻辑，每一步计算是否正确无误？定理的条件满足吗？公式的记忆准确吗？符号、数据抄对了吗？特别是在出现“-”号的地方，一定要多留意，不要在移项、去括号时出错．为了提高检验的效率，还应熟悉检验的一些基本方法，防止每道题都简单地去重复再算一次，我们建议同学们尝试如下的复查方法：复查核对、代值检验、多解对照、逆向运算、观测估算、量纲检查、特值检验、条件检验、逻辑检验等．八．内紧外松考试的始终，不宜过分紧张，也不要漫不经心，要有适度的紧迫感和强烈的使命感，又要防止过分焦虑和患得患失，做到坚定、清醒、沉着、从容，叫做“内紧外松”．没有紧迫感就没有最佳竞技状态．我们说的紧迫感主要指考试过程要放得开，挺得住，精神集中，心态平和、勇于自我鼓励，善于自我暗示，同时还表现为时间观念、速度意识和遇到困难时的信心、勇气与不屈不挠，应该认识到，个别题目不会做（或来不及做）、有的科目未发挥出应有的水平等都属于正常现象（不必大惊小怪、更别惊慌失措），都要以内紧外松的态度坚持考好每一科，坚持做好每一题，坚持用好每一秒，绝不能中途泄气．比如，遇到数学解答题较难、思维受阻的情形较多时，就要在心里提示自己：不是自己一个人不会做，大家都难，拿不下来并不影响录取，“我易人易莫大意，我难人难莫惊慌”．从全局上看，高考是加总分录取的，不在乎一题一科的得失，越是在困难的时候越是要有全局意识，越是要想到“东方不亮西方亮，暗了北方有南方”．。

考试对教学的导向功能分析刘蒋巍（学思堂教育研究院，江苏常州，213000）考试为教师检验学生学情，引导学生改进学习方法以及帮助教师改进教学方式均提供了重要依据。

所以，考试对与教学来说起着至关重要的导向作用。

同时对学生综合素养和能力的培养起着积极的促进作用。

当前的考试好比教师教学的指挥棒，教师根据考试的大纲或走向来检验新课标课程改革下教学课程的实施情况，教学成果的完成情况以及学生学习成果的发展情况。

下面就来探讨考试对教学的导向功能。

一．考试指导教材内容我国初中英语考试的主要内容一般包括听力、词汇、语法、阅读、翻译和作文共六大内容。

其中，听力考试可以体现出上一个阶段内学生听力练习的成果，帮助师生发现学生的不足之处，语法、阅读、翻译的测验则能够帮助师生了解这一阶段对教材知识的掌握能力，作文则能够反映出学生词汇的掌握程度以及语言的水平能力。

大多数英语教材基本上都是根据以上的考试内容来进行编写或改革。

比如：译林版初中英语教材中，每个单元课程都会进行划分，共有六大块内容，分别是：Greetings(问候)、Reading(阅读)、Grammar(语法)、Integrated skills(综合技能)、Study skills(学习技能)、Task(作业)。

其中，七年级上册Unit 1 this is me.中，Greetings-C,Reading-A, Integrated skills和Study skills是听力、阅读、翻译相结合的内容，Task是听力、语法与作文相结合的内容，在整本教材的最后，则是书中全部课程涉及的所有词汇，分别是：Word list和Word list(by Unite). 二．考试帮助师生进行信息反馈考试可以帮助教师和学生之间发现在教学过程中存在的各种有关教与学的问题。

通过考试，教师可以检查学生上一个阶段的各项学习内容的真实情况，比如：听力训练效果、教材上语法、阅读和翻译的技能掌握情况以及作文上体现的词汇量掌握情况等等。

集合与函数（三）主讲人：刘蒋巍1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．2.设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．3.已知,a b R ∈，函数().f x ax b =-若对任意[]1,1x ∈-，有()01f x ≤≤，则3122a b a b +++-的取值范围为 解：由题设，()()011,011f f ≤≤≤-≤，即01,10.a b a b ≤-≤-≤+≤令u a b =+， c a b =-，则3422102.5112234353a b c u v v a b u v u ++++==-+-+----- 由此即知4312.5227a b a b ++-≤≤+- 4.设()f x 是定义在R 上的奇函数．若对任意实数,x 有()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则(f = ．答案：36-解：由()()2f x f x +=-得()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 周期为4，因此(()((16161836f f f f ==--=-=-5.设a R ∈．方程2x a a --=恰有三个不同的根，则a = ．答案：2. 解：原方程可变形为2x a a -=±，要使方程恰好有三个不同的根，则2a =，此时方程恰好有三个不同的根1232,6,2x x x ===-，所以 2.a =6.已知函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++-=，(2)(2)0f x f x +--=，且2()13f =，则1000()3f = ． 答案：1-.解答：(2)(2)[1(1)][1(1)()(4)()f x f x f x f x f x f x f x +=-=--=-+-=-⇒+=，所以100044112()(332)()(1)(1)() 1.333333f f f f f f =+==+=--=-=- 7. 设,a b R ∈，函数2()(1)2f x ax b x =++-．若对任意实数b ，方程()f x x =有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．参考答案：因为方程()f x x =有两个相异的实根，即方程2(1)20ax b x b +-+-=有两个相异的实数根，所以{20,(1)4(2)0x a b a b ≠∆=---> ………………………………4分 即{202(12)810a b a b a ≠-+++>对任意实数b 恒成立，所以 {204(12)4(81)0b a a a ≠∆=+-+<，…………………………………………………12分 解得01a <<.…………………………………………………………………………16分8.集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ⋂=∅,则实数a 取值范围为 {02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ⋂=∅，则12a -≥或10a +≤。

2021.01高一常州期末考前指导不等式AC函数函数f(x)＝sin x＋xcos x＋x2在[－π，π]上的图象大致为DDBABD]21,41(1对数与指数地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级(M )是用据震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为M ＝lg A －lg A 0，其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．根据该公式可知，7.5级地震的最大振幅是6级地震的最大振幅的▲倍(精确到1)．32（本小题满分12分）（1）计算：2log 25＋(0.125)－23＋log 39；（2）已知a ＝log 0.43，b ＝log 43，求证：ab ＜a ＋b ＜0．解：（1）原式＝5＋[(2)－3]－23＋log 3(3)4＝5＋4＋4＝13．·················································································4分（2）法一：因为y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上递减，y ＝log 4x 在(0，＋∞)上递增，所以a ＝log 0.43＜log 0.41＝0，b ＝log 43＞log 41＝0，故ab ＜0．·························································································6分因为1a ＋1b＝log 30.4＋log 34＝log 3(0.4×4)＝log 31.6，且y ＝log 3x 在(0，＋∞)递增，所以0＝log 31＜log 31.6＜log 33＝1，即0＜1a ＋1b＜1．··································10分所以0＞ab (1a ＋1b)＞ab ，即ab ＜a ＋b ＜0．···············································12分法二：因为a ＝log 0.43，b ＝log 43，所以a ＋b ＝log 0.43＋log 43＝lg3lg0.4＋lg3lg4＝lg3×lg4＋lg0.4lg0.4·lg4＝lg3×lg1.6lg0.4·lg4，因为lg3＞0，lg4＞0，lg1.6＞0，lg0.4＜0，所以a ＋b ＜0．···················································································6分(a ＋b )－ab ＝lg3×lg1.6lg0.4·lg4－lg3lg0.4×lg3lg4＝lg3×lg1.6－lg3lg0.4·lg4＝lg3×lg1.63lg0.4·lg4＝lg3×lg 815lg0.4·lg4．···········································10分因为lg3＞0，lg4＞0，lg 815＜0，lg0.4＜0，所以(a ＋b )－ab ＞0，即a ＋b ＞ab ，综上，ab ＜a ＋b ＜0．·········································································12分对数函数、指数函数a21,0(] 2三角函数A10．已知曲线C 1：y ＝sin x ，C 2：y ＝sin(2x ＋π3)，下列说法中正确的是A ．把C 1向左平移π3个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍，得到C 2B ．把C 1向左平移π3个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的12倍，得到C 2C ．把C 1上所有点的横坐标变为原来的12倍，再向左平移π3个单位长度，得到C 2D ．把C 1上所有点的横坐标变为原来的12倍，再向左平移π6个单位长度，得到C 2BDA新定义BCD。

（参考答案）2023年高二下学期期中复习补充讲解（一）排列组合编号为1，2，3，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每个________．座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为▲答案：6二项式定理概率人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型：有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子里有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球；乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为12（先验概率）．（1）求首次试验结束的概率；（2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整．①求选到的袋子为甲袋的概率；②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球． 请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大．解：设“选到甲袋”为事件A 1，“选到乙袋”为事件A 2，“摸到红球”为事件B 1，“摸到白球”为事件B 2，（1）P (B 1)＝P (A 1)P (B 1|A 1)＋P (A 2)P (B 1|A 2)＝12×910＋12×210＝1120．答：首次试验结束的概率为1120． ····························································· 3分(2）① 因为B 1，B 2是对立事件，所以P (B 2)＝1－P (B 1)＝920． ··································································· 4分所以P (A 1|B 2)＝P (A 1B 2)P (B 2)＝P (B 2|A 1)P (A 1)P (B 2)＝110×12920＝19，答：选到的袋子为甲袋的概率为19． ··························································· 7分② 若选择方案一，则原来袋子是甲袋的概率为19，是乙袋的概率为89，所以方案一中取到红球的概率P 1＝P (A 1) P (B 1|A 1)+ P (A 2) P (B 1|A 2)＝19×910＋89×210＝518 ． ······························ 9分若选择方案二，则另一个袋子是甲袋的概率为89，是乙袋的概率为19，所以方案二中取到红球的概率P 2＝P (A 1) P (B 1|A 1)+ P (A 2) P (B 1|A 2)＝89×910＋19×210＝3745． ······························ 11分因为3745＞518 ，所以选择方案二第二次试验结束的概率更大． ························ 12分OBADCEGF如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面ABC ，BE ⊥平面ABC ，△ABC 和△ACD 均为正三角形，AC ＝4，BE ＝3．（1）在线段AC 上是否存在点F ，使得BF ∥平面ADE ? 说明理由； （2）求平面CDE 与平面ABC 所成的锐二面角的正切值．解：方法1(1）当F 为靠近A 的四等分点时，BF ∥平面ADE ． ······································ 1分 证明：如图，取AC ，AD 的中点O ，G ，连接OD ，BF ，FG ，GE ． 因为△ACD 是正三角形，所以OD ⊥AC ．又因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，OD ⊂平面ACD ，所以OD ⊥平面ABC ．…………………3分 又因为BE ⊥平面ABC ，所以BE ∥OD ， 在正三角形ACD 中，OD ＝32AC ＝2 3 ． 因为F ，G 分别为OA ，AD 的中点， 所以FG ∥OD ，且FG ＝12OD ＝ 3 ．又因为BE ＝3，所以BE ∥ =FG ， 所以四边形BEGF 为平行四边形，所以BF ∥EG ． ······································ 5分 又因为BF ⊄平面ADE ，EG ⊂平面ADE ，所以BF ∥平面ADE ． ······················· 6分BADCE(第19题图)（2）如图，连接OB 并延长交DE 的延长线于P ，连接CP ，过O 作OH ⊥CP ，垂足为H ，连接DH ． 由（1）知，DO ⊥平面ABC ，CP ⊂平面ABC ，所以DO ⊥CP ．因为OH ，OD ⊂平面ODH ，OH ∩OD ＝O ，所以CP ⊥平面ODH ，故CP ⊥DH ，故∠DHO 为平面CDE 与平面ABC 的所成锐二面角的平面角．………9分因为BE ∥OD ，BE ＝12OD ，所以OP ＝2OB ＝43，在Rt △COP 中，OC ＝2，CP ＝OP 2＋OC 2＝213，故OH ＝OC ·OP CP ＝2×43213＝4313．在Rt △DOH 中，OD ＝23，故tan ∠DHO ＝OD OH ＝234313＝132，所以平面CDE 与平面ABC 所成锐二面角的正切值为132． ························· 12分 方法2如图，取AC 中点O ，连接OB ，OD ．因为△ACD ，△ABC 是正三角形，所以OD ⊥AC ，OB ⊥A C ．又因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ∩平面ABC ＝AC ，OD ⊂平面ACD ， 所以OD ⊥平面AB C ． ············································································ 2分 又因为OB ⊂平面ACD ，所以OD ⊥OB ．以{OB →，OC →，OD →}为正交基底建立空间直角坐标系． 假设在线段AC 上存在点F ，使得BF ∥平面ADE ． 设→AF ＝λ→AC ，平面ADE 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )．因为BF ⊄平面ADE ，所以BF ∥平面ADE 等价于→BF ⊥m ． ···························· 3分 因为BE ＝3，OD ＝23，AC ＝4，所以O (0，0，0)，A (0，－2，0)，B (23，0，0)，C (0，2，0)，D (0，0，23)，PHOEBC ADE (23，0，3)，因为→AB ＝(23，2，0)，→AC ＝(0，4，0)，AD →＝(0，2，23)，AE →＝(23，2，3)， 故→AF ＝λ→AC ＝(0，4λ，0)，→BF ＝→ AF －→AB ＝(－23，4λ－2，0)． 因为平面ADE 的一个法向量m ＝(x ，y ，z )，所以⎩⎨⎧→AD ·m ＝0，→AE ·m ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋23z ＝0，23x ＋2y ＋3z ＝0．令x ＝1，则y ＝－23，z ＝2，所以m ＝(1，－23，2)． ····························· 5分 由→BF ·m ＝－23－(4λ－2)·23＝0，解得λ＝14．故当F 为靠近A 的四等分点时，BF ∥平面CDE ． ······································· 6分 （2）因为CD →＝(0，－2，23)，CE →＝(23，－2，3)， 设平面CDE 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，所以⎩⎨⎧→CD ·n ＝0，→CE ·n ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧－2y ＋23z ＝0，23x －2y ＋3z ＝0．令x ＝1，则y ＝23，z ＝2，所以n ＝(1，23，2)． ………………………………………………8分 平面ABC 的一个法向量l ＝(0，0，1)， …9分 设平面CDE 与平面ABC 的所成锐二面角为α， 所以cos α＝|n ·l ||n ||l |＝217，……………………11分所以sin α＝1－cos 2α＝1317，得tan α＝sin αcos α＝132． 即平面CDE 与平面ABC 所成锐二面角的正切值为132． ···························· 12分。