2019年四川省成都七中自主招生考试数学试卷(含详细解析)

四川成都七中2019届高三文科数学下学期入学考试试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，若2+i=z（1-i），则z的共轭复数z−对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设集合A={y|y=3x，x∈R}，B={y|y=√4−x2，x∈R}，则A∩B=（）A. [0,2]B. (0,+∞)C. (0,2]D. [0,2)3.函数f（x）=e|x|的大致图象是（）x2−3A. B.C. D.4.执行如图所示的程序框图，则输出的k值为（）A. 7B. 9C. 11D. 13⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（）5.已知等边△ABC内接于⊙O，D为线段OA的中点，则BD第2页，共18页A. 23BA ⃗⃗⃗⃗⃗+16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 43BA ⃗⃗⃗⃗⃗−16BC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −23BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +56BC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 23BA ⃗⃗⃗⃗⃗+13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为（ ）A. 8−2π3 B. 8−2π C. 8−83π D. 8−8π7. 若函数f （x ）=log a （2x 2+x ）（a ＞0且a ≠1）在区间（0，12）内恒有f （x ）＞0，则f （x ）的单调递增区间为（ ）A. (−∞,14)B. (−14,+∞)C. (0,+∞)D. (−∞,−12)8. 如图，边长为a 的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A. 9−√3π18 B. 9−4√3π18 C. 9−√3π27 D. 9−4√3π279. 如图，点A 为双曲线x 2a2-y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的右顶点，P 为双曲线上一点，作PB ⊥x 轴，垂足为B ，若A 为线段OB 的中点，且以A 为圆心，AP 为半径的圆与双曲线C 恰有三个公共点，则C 的离心率为（ ）A. √2B. √3C. 2D. √510. 已知cos （3π2-α）=2sin （α+π3），则tan （α+π6）=（ ）A. −√33B. −√39C. √33D. √3911.如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB=√2，D为直角边BC上的一点，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH=x，则x的取值范围是（）A. (1,√2)B. (√22,1) C. (12,√2) D. (0,1)12.设M，N是抛物线y2=x上的两个不同的点，O是坐标原点，若直线OM与ON的斜率之积为-12，则（）A. |OM|+|ON|≥4√2B. MN为直径的圆的面积大于4πC. 直线MN过抛物线y2=x的焦点D. O到直线MN的距离不大于2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件{x−2y+3≥0x−y+1≥0y≥1，则z=-3x+4y的最大值为______．14.在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx-y-2m-1=0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆截y轴所得弦长为______．15.《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白．与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从偶，开平方得积”，若把这段文字写成公式，即S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，已知△ABC满足（sin A-sin B）（sin A+sin B）=sin A sin C-sin2C，且AB=2BC=2√2，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为______．16.已知函数f(x)={x−2lnx,x>e−x2+6x+e2−5e−2,x≤e（其中e为自然对数的底数，且e≈2.718）若f （6-a2）＞f（a），则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，2（a n+a n+2）=5a n+1，数列{b n}的前n项和为S n，b1=1，b n≠0，b n b n+1=4S n-1．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．18.为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证，某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级第4页，共18页学生中抽取100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占56，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣．（Ⅰ）试完成下面的2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？有兴趣 没兴趣 合计男生 女生 合计（Ⅱ）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率． K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ⊥PC ，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且PC =BC =2AD =2CD =2√2，PA =2． （Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得BM ∥平面AMC ，求PMPD 的值．20. 已知椭圆Γ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），上顶点为A ．过F 且垂直于x 轴的直线l 交椭圆F 于B 、C 两点，若S △FOA S△COB =√22（1）求椭圆Γ的方程；（2）动直线m 与椭圆Γ有且只有一个公共点，且分别交直线1和直线x =2于M 、N 两点，试求|MF||NF|的值21. 已知a ∈R ，函数f （x ）=x -ae x +1有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2）．（Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）证明：e x 1+e x 2＞2．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =−12ty =2+√32t（t 为参数），以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=√1+3sin 2θ， （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M （0，2），曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，求|MA |•|MB |的值．23. 已知函数f （x ）=|2x +1|-|x -2|．（1）画出函数f （x ）的图象；（2）若关于x 的不等式x +2m +1≥f （x ）有解，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由2+i=z（1-i），得z=，∴，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．故选：D．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】C【解析】解：由y=3x，x∈R，得y＞0，即A=（0，+∞），由y=，x∈R，得：0≤y≤2，即B=[0，2]，即A∩B=（0，2]，故选：C．分别求y=3x，x∈R，y=，x∈R的值域，得：A=（0，+∞），B=[0，2]，再求交集即可．本题考查了求函数值域及交集的运算，属简单题．3.【答案】A【解析】解：f（-x）===f（x），则函数f（x）为偶函数，故排除CD，当x=1时，f（1）=＜0，故排除B，故选：A．先判断函数偶函数，再求出f（1）即可判断第6页，共18页本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性，和函数值，属于基础题4.【答案】C【解析】解：由题意，模拟执行程序框图，可得S=0，k=1满足条件S＞-1，S=lg，k=3满足条件S＞-1，S=lg+lg，k=5满足条件S＞-1，S=lg+lg+lg，k=7满足条件S＞-1，S=lg+lg+lg+lg，k=9满足条件S＞-1，S=lg+lg+lg+lg+lg=lg（××××）=lg=-lg11，k=11不满足条件S＞-1，退出循环，输出k的值为11．故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5.【答案】A【解析】解：如图所示设BC中点为E，则=+=+=+（+）=-+•=+．故选：A．根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．6.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：v=，=．故选：A．直接利用三视图，整理出几何体的构成，进一步利用几何体的体积公式求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），∴0＜a＜1，∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．t=2x2+x＞0的单调递减区间为（-∞，-），∴f（x）的单调增区间为（-∞，-），故选：D．先求出2x2+x，（0，）的范围，再由条件f（x）＞0判断出a的范围，再根据复合函数“同增异减”原则求f（x）单调区间．第8页，共18页本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．8.【答案】C【解析】解：如图所示，边长为a的正六边形，则OA=OB=AB=a，设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，∴OC=a，∴O'C=a，OO'=a，∴OD=a，∴S阴影=12[×a•a-π•（a）2]=（-）a2，S正六边形=a2，∴点恰好取自阴影部分的概率P===，故选：C．分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．9.【答案】A【解析】解：由题意可得A（a，0），A为线段OB的中点，可得B（2a，0），令x=2a，代入双曲线的方程可得y=±b，可设P（2a，-b），由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（-a，0），即|AP|=2a，即有2a=，可得a=b，e===，故选：A．设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x=2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a=b，进而得到双曲线的离心率．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】B【解析】解：∵cos （-α）=2sin（α+），∴-sinα=2sinαcos +2cosαsin，则即-2sinα= cosα，∴tanα=-，∴tan（α+）===-，故选：B．由题意利用诱导公式、两角和正弦角公式求得tanα，再利用两角和正切公式求得结果．本题主要考查两角和差的三角公式、诱导公式的应用，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB=，D为直角边BC上的一点，∴AC=BC=1，∠ACB=90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH=x，∴AC1=AC=1，CD=C1D∈（0，1），∠AC1D=90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1=1，故排除选项A和选项C；当CD=1时，B与D重合，AH=，当CD＜1时，AH ＞=，第10页，共18页∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．推导出AC=BC=1，∠ACB=90°，AC1=AC=1，CD=C1D∈（0，1），∠AC1D=90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1=1，当CD=1时，B与D重合，AH=，当CD ＜1时，AH＞=，由此能求出x的取值范围．本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】D【解析】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，-y0），由斜率之积为，可得，即，∴MN的直线方程为x=2；当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，联立，可得ky2-y+m=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，即m=-2k．∴直线方程为y=kx-2k=k（x-2）．则直线MN过定点（2，0）．则O到直线MN的距离不大于2．故选：D．由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．本题考查抛物线的简单性质，考查直线与篇文章位置关系的应用，是中档题．13.【答案】5【解析】解：作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线-3x+4y=0，然后把直线L向可行域平移，结合图形可知，平移到点A时z最大，由可得A（1，2），此时z=5．故答案为：5．先画出约束条件的可行域，利用目标函数z=-3x+4y的几何意义，求解目标函数的最大值．本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是：明确目标函数的几何意义．14.【答案】2【解析】解：圆心到直线的距离d==∴m=1时，圆的半径最大为，∴所求圆的标准方程为（x-1）2+y2=2．∴此时截y轴所得弦长为2故答案为：2．求出圆心到直线的距离d的最大值，求出所求圆的标准方程，即可求出半径最大的圆截y轴所得弦长．本题考查所圆的标准方程，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础．15.【答案】√3【解析】第12页，共18页解：∵AB=2BC=2，∴由题意可得：c=2a=2，a=，∵（sinA-sinB）（sinA+sinB）=sinAsinC-sin2C，∴由正弦定理可得：（a-b）（a+b）=ac-c2，可得：a2+c2-b2=ac，∴S===ac==．故答案为：．由题意可得：c=2a=2，a=，利用正弦定理化简已知等式可得a2+c2-b2=ac，根据题意利用三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】-3＜a＜2【解析】解：∵∴当x≤e时y=-（x-3）2+e2-5e+7∴x≤e时函数单调递增当x＞e时y'=1-＞0恒成立，故x＞e时函数单调递增，∵f（e）=e-2=e-2lne∴函数在R上为增函数．∴由f（6-a2）＞f（a）得6-a2＞a，解得-3＜a＜2故答案为-3＜a＜2利用二次函数的单调性，及导数工具，先探讨函数的单调性，然后利用条件列出不等式，即可解得a的范围．本题考查了函数单调性的性质及利用导数研究函数的单调性，在探讨分段函数的性质时注意分段研究．本题是个中档题．17.【答案】解：（1）设公比为q等比数列{a n}为递增数列，且a52=a10，首项为a1，则：a1q4⋅a1⋅q4=a1⋅q9，解得：a1=q，2（a n+a n+2）=5a n+1，所以：2q2-5q+2=0，第14页，共18页解得：q =2或12，由于数列为单调递增数列， 故：q =2，所以：a n =a 1⋅q n−1=2n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，b 1=1，b n ≠0，b n b n +1=4S n -1①． 当n ≥2时，b n -1b n =4S n -1-1②， 整理得：b n -b n -1=2（常数），对n 分偶数和奇数进行分类讨论， 整理得：b n =2n -1故：c n =a n b n =（2n -1）•2n ，则：T n =1⋅21+3⋅22+⋯+(2n −1)⋅2n ①， 2T n =1⋅22+3⋅23+⋯+(2n −1)⋅2n+1②， ①-②得：-T n =2⋅2(2n −1)2−1−(2n −1)⋅2n+1−2，解得：T n =(2n −3)⋅2n+1+6． 【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）2×2列联表如下，依题意，男生60人，故女生有100-60=40人， 对游泳感兴趣的男生有60×56=50人，则对游泳不感兴趣的男生有60-50=10人， 对游泳不感兴趣的女生有15人，故对游泳感兴趣的女生有40-15=25人，K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(50×15−25×10)275×25×40×60≈5.556＜6.635，故没有99%的把握认为对游泳是否有兴趣与性别有关（Ⅱ）设A ={6人抽取3人，至少有2人对游泳感兴趣}，则P （A ）=13C 32C+C 33C 63=1020=12．【解析】（Ⅰ）分别求出男女生感兴趣和不感兴趣的人数，填入表中即可．（Ⅱ）6人中有3人对游泳感兴趣，三人不感兴趣，用计数原理算出所有的抽取方法，计算出至少2人对游泳感兴趣的概率p 即可． 本题考查了独立性检验，古典概型的概率求法，属基础题．19.【答案】证明：（Ⅰ）∵在底面ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥CD ，且BC =2AD =2CD =2√2， ∴AB =AC =2，BC =2√2， ∴AB ⊥AC ，又∵AB ⊥PC ，AC ∩PC =C ，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ， ∴AB ⊥PA ，∵PA =AC =2，PC =2√2， ∴PA ⊥AC ，又∵PA ⊥AB ，AB ∩AC =A ，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥平面ABCD ．解：（2）以A 为原点，AB ，AC ，AP 所成角分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），P （0，0，2），D （-1，1，0），设M （a ，b ，c ），PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，λ∈[0，1]， 则（a ，b ，c -2）=（-λ，λ，-2λ），∴M （-λ，λ，2-2λ），BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ-2，λ，2-2λ），AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-λ，λ，2-2λ），AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，0）， 设平面AMC 的法向量n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−λx +λy +(2−2λ)z =0n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y =0，取x =1，得n ⃗ =（1，0，λ2−2λ）， ∵BM ∥平面AMC ，∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =-λ-2+（2-2λ）•λ2−2λ=0，方程无解，∴在线段PD 上，不存在一点M ，使得BM ∥平面AMC ．【解析】（Ⅰ）推导出AB ⊥AC ，AB ⊥PC ，从而AB ⊥平面PAC ，进而AB ⊥PA ，再求出PA ⊥AC ，PA ⊥AB ，由此能证明PA ⊥平面ABCD ．（2）以A 为原点，AB ，AC ，AP 所成角分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD 上，不存在一点M ，使得BM ∥平面AMC ． 本题考查面面垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）易知，|BC|=2b 2a ，S △FOAS △COB=b2b 2a=a2b =√22，∴a =√2b ，c =√a 2−b 2=b ，所以，b =1，a =√2，第16页，共18页因此，椭圆Γ的方程为x 22+y 2=1；（2）设直线m 与椭圆Γ的切点为点P （x 0，y 0），则直线m 的方程为x 0x 2+y 0y =1，且有x 022+y 02=1，可得y 02=1−x 022，直线m 与直线l ：x =1交于点M(1，2−x 02y 0)，直线m 交直线x =2于点N(2，1−x 0y 0)．所以，|MF|=|2−x 02y 0|，|NF|=√(2−1)2+(1−x0y 0)2=√1+x 02−2x 0+1y 02=√x 02−2x 0+1+1−x 022y 02=√x 022−2x 0+2y 02=√12(x 02−4x 0+4)y 02=√22⋅|2−x 0y 0|，因此，|MF||NF|=|2−x 0y 0|√22|2−x 0y 0|=√2．【解析】（1）由通径公式得出，结合已知条件得出，再由c=1，可求出a 、b 的值，从而得出椭圆的方程；（2）设切点为（x 0，y 0），从而可写出切线m 的方程为，进而求出点M 、N 的坐标，将切点坐标代入椭圆方程得出x 0与y 0之间的关系，最后利用两点间的距离公式可求出答案．本题考查直线与椭圆的综合，考查计算能力与推理能力，属于中等题． 21.【答案】解：（Ⅰ）f ′（x ）=1-ae x ，①a ≤0时，f ′（x ）＞0，f （x ）在R 上递增，不合题意，舍去，②当a ＞0时，令f ′（x ）＞0，解得x ＜-ln a ；令f ′（x ）＜0，解得x ＞-ln a ； 故f （x ）在（-∞，-ln a ）单调递增，在（-ln a ，+∞）上单调递减，由函数y =f （x ）有两个零点x 1，x 2（x 1＜x 2），其必要条件为：a ＞0且f （-ln a ）=-ln a ＞0，即0＜a ＜1，此时，-1＜-ln a ＜2-2ln a ，且f （-1）=-1-ae +1=-ae ＜0，令F （a ）=f （2-2ln a ）=2-2ln a -e 2a+1=3-2ln a -e 2a，（0＜a ＜1），则F ′（a ）=-2a +e 2a2=e 2−2aa 2＞0，F （a ）在（0，1）上单调递增，所以，F （a ）＜F （1）=3-e 2＜0，即f （2-2ln a ）＜0， 故a 的取值范围是（0，1）． （Ⅱ）令f （x ）=0⇒a =x+1e x ，令g （x ）=x+1e x ，g ′（x ）=-xe -x ，则g （x ）在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，由（Ⅰ）知0＜a ＜1，故有-1＜x 1＜0＜x 2， 令h （x ）=g （-x ）-g （x ），（-1＜x ＜0），h （x ）=（1-x ）e x -（1+x ）e -x ，（-1＜x ＜0），h ′（x ）=-xe x +xe -x =x （e -x -e x ）＜0， 所以，h （x ）在（-1，0）单调递减，故h （x ）＞h （0）=0， 故当-1＜x ＜0时，g （-x ）-g （x ）＞0，所以g （-x 1）＞g （x 1），而g （x 1）=g （x 2）=a ，故g （-x 1）＞g （x 2）， 又g （x ）在（0，+∞）单调递减，-x 1＞0，x 2＞0， 所以-x 1＜x 2，即x 1+x 2＞0， 故ex 1+ex 2≥2√e x 1+x 2=2ex 1+x 22＞2．【解析】（Ⅰ）利用导数研究单调性得f （x ） 的最大值为f （-lna ）＞0解得a 即可； （Ⅱ）先通过构造函数证明x 1+x 2＞0，在用基本不等式可证． 本题考查了函数零点的判定定理，属难题．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为{x =−12ty =2+√32t （t 为参数）， 由代入法消去参数t ，可得曲线C 1的普通方程为y =-√3x +2； 曲线C 2的极坐标方程为ρ=√1+3sin 2θ， 得ρ2=41+3sin 2θ，即为ρ2+3ρ2sin 2θ=4， 整理可得曲线C 2的直角坐标方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）将{x =−12ty =2+√32t （t 为参数）， 代入曲线C 2的直角坐标方程x 24+y 2=1得13t 2+32√3t +48=0，利用韦达定理可得t 1•t 2=4813， 所以|MA |•|MB |=4813． 【解析】（Ⅰ）运用代入法，消去t ，可得曲线C 1的普通方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入极坐标方程，即可得到所求直角坐标方程；第18页，共18页（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线C 2的直角坐标方程，运用参数的几何意义，由韦达定理可得所求之积．本题考查参数方程和普通方程的互化，极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程的运用，以及韦达定理的运用，属于基础题． 23.【答案】解：（1）f （x ）=|2x +1|-|x -2|={−x −3，x ≤−123x −1，−12＜x ＜2x +3，x ≥2，画出y =f （x ）的图象，如右图：（2）关于x 的不等式x +2m +1≥f （x ）有解，即为2m +1≥f （x ）-x ， 由x ≥2时，y =f （x ）-x =3；当-12＜x ＜2时，y =f （x ）-x =2x -1∈（-2，3）；当x ≤-12时，y =f （x ）-x =-2x -3∈[-2，+∞）， 可得y =f （x ）-x 的最小值为-2， 则2m +1≥-2， 解得m ≥-32． 【解析】（1）写出f （x ）的分段函数式，画出图象；（2）由题意可得2m+1≥f （x ）-x 的最小值，对x 讨论去绝对值，结合一次函数的单调性可得最小值，即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，注意运用分类讨论思想方法和分离参数法，考查单调性的运用：求最值，属于中档题．。

2019年四川省成都七中自主招生数学试卷副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若M =5x 2−12xy +10y 2−6x −4y +13(x 、y 为实数)，则M 的值一定是( )A. 非负数B. 负数C. 正数D. 零 2. 将一个棱长为m(m >2且m 为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3个棱长为1的小正方体，发现只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，则m 等于( ) A. 16 B. 18 C. 26 D. 32 3. 已知6a 2−100a +7=0以及7b 2−100b +6=0，且ab ≠1，则ab 的值为( )A. 503B. 67C.1007D. 764. 若a =√3√2+√3+√5，b=2+√6−√10，则ab 的值为( )A. 12B. 14√2+√3√6+√105. 满足|ab|+|a −b|−1=0的整数对(a,b)共有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个6. 在凸四边形ABCD 中，E 为BC 边的中点，BD 与AE 相交于点O ，且BO =DO ，AO =2EO ，则S △ACD ：S △ABD 的值为( ) A. 2：5 B. 1：3 C. 2：3 D. 1：27. 从1到2019连续自然数的平方和12+22+32+⋯+20192的个位数字是( )A. 0B. 1C. 5D. 9 8. 已知x +y +z =0，且1x+1+1y+2+1z+3=0，则代数式(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2的值为( ) A. 3 B. 14 C. 16 D. 369. 将一枚六个面编号分别为1、2、3、4、5、6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x 、y 的方程组{ax +by =22x +y =3，只有正数解的概率为( ) A. 112B. 16C. 518D. 133610. 方程3a 2−8a −3b −1=0，当a 取遍0到5的所有实数值时，则满足方程的整数b 的个数是( ) A. 12个 B. 13个 C. 14个 D. 15个11. 若一个三角形的三边和为40，且各边长均为整数，则符合条件的三角形的个数为( ) A. 31个 B. 32个 C. 33个 D. 34个12. 若关于x 的方程x 2+ax +b −3=0有实根，则a 2+(b −4)2的最小值为( )A. 0B. 1C. 4D. 9二、填空题（本大题共7小题，共52.0分）13.已知x=3+√132，则代数式x4−3x3−3x+1的值为______．14.在正十边形的10个顶点中，任取4个顶点，那么以这4个顶点为顶点的梯形有______个．15.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，D为AB中点，E为边BC上一点，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，使△A′DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的14，则BE的长为______．16.已知关于x的方程√x2−2x+1−√x2−4x+4+2√x2−6x+9=m恰好有两个实数解，则m的取值范围为______．17.如图，PA切⊙O于点A，PE交⊙O于点F、E，过点A作AB⊥PO于点D，交⊙O于点B，连接DF，若sin∠BAO=23，PE=5DF，则PFPE=______．18.如图，四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=DC=12，∠B=∠D=90°.M和N分别是线段AD和线段BC上的点，且满足BN=DM，则线段MN的最小值为______．19.若−12<x<1，x1+x−2x2=a0+a1x+a2x2+a3x3…+a n x n，则a2+a3=______．三、解答题（本大题共2小题，共38.0分）20.已知二次函数y=x2+(a−7)x+6，反比例函数y=ax(1)当a=2时，求这两个函数图象的交点坐标；(2)若这两个函数的图象的交点不止一个，且交点横、纵坐标都是整数，求符合条件的正整数a的值；(3)若这两个函数的交点都在直线x=12的右侧，求a的取值范围．21.已知：四边形ABCD中，点E、F分别为边AD、AB上的点，连接BE、DF相交于点G，且满足∠ADF=∠ABE(1)如图1，若DE=BG=n，cos∠AEB=23，GE=3，求AE的长(用含n的代数式表示)；(2)如图2，若ABCD为矩形，G恰为BE中点，连接CG，AE=1，作点A关于BE，求DE的长．的对称点A′，A′到CG的距离为3√24答案和解析1.【答案】A【解析】解：M =5x 2−12xy +10y 2−6x −4y +13=4x 2−12xy +9y 2+y 2−4y +4+x 2−6x +9=(2x −3y)2+(y −2)2+(x −3)2≥0，故M 一定是非负数． 故选：A ．通过配方法配出平方根，从而判断M 值的大小．本题考查了配方法的应用，熟练配方法的应用是解答此题的关键． 2.【答案】C【解析】解：将一个棱长为m(m >2且m 为正整数)的正方体木块的表面染上红色，然后切成m 3个棱长为1的小正方体，则只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6(m −2)2， 恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12(m −2)，∵只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，∴6(m −2)2=12×12(m −2)， 解得m 1=26，m 2=2(舍去)， 故选：C ．只有一个表面染有红色的小正方体的数量为6(m −2)2，恰有两个表面染有红色的小正方体的数量12(m −2)，根据只有一个表面染有红色的小正方体的数量是恰有两个表面染有红色的小正方体的数量的12倍，即可得到m 的值． 本题主要考查了正方体，解决问题的关键是抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题． 3.【答案】D【解析】解：∵7b 2−100b +6=0， ∴6×1b 2−100×1b+7=0，∵6a 2−100a +7=0，∴a 、1b 是方程6x 2−100x +7=0的两根， ∴由根与系数的关系可知：ab =76，故选：D ．根据根与系数的关系即可求出答案． 本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 4.【答案】B【解析】解：a =√3√2+√3+√5√2+√3−√5√2+√3−√5=√3(√2+√3−√5)2√6=√2(√2+√3−√5)4=b4．∴ab =14． 故选：B ． 将a 乘以√2+√3−√5√2+√3−√5可化简为关于b 的式子，从而得到a 和b 的关系，继而能得出ab 的值．本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b的形式．5.【答案】C【解析】解：∵|ab|+|a−b|=1，∴0≤|ab|≤1，0≤|a−b|≤1，∵a，b是整数，∴|ab|=0，|a−b|=1或|a−b|=0，|ab|=1①当|ab|=0，|a−b|=1时，Ⅰ、当a=0时，b=±1，∴整数对(a,b)为(0,1)或(0,−1)，Ⅱ、当b=0时，a=±1，∴整数对(a,b)为(1,0)或(−1,0)，②当|a−b|=0，|ab|=1时，∴a=b，∴a2=b2=1，∴a=1，b=1或a=−1，b=−1，∴整数对(a,b)为(1,1)或(−1,−1)，即：满足|ab|+|a−b|=1的所有整数对(a,b)为(0,1)或(0,−1)或(1,0)或(−1,0)或(1,1)或(−1,−1)．∴满足|ab|+|a−b|−1=0的整数对(a,b)共有6个．故选：C．先判断出|ab|=0，|a−b|=1或|a−b|=0，|ab|=1，再借助a，b是整数即可得出结论．此题考查了绝对值，以及数对，分类讨论的思想，确定出|ab|=0，|a−b|=1或|a−b|= 0，|ab|=1是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：如图，过点B作BF//AD交AE延长线于F，连接OC，∵BF//AD∴∠F=∠DAO∵BO=DO，∠BOF=∠DOA∴△FOB≌△AOD(AAS)∴FO=AO∵AO=2EO∴FO=2EO∴EO=EF，∵E为BC边的中点∴BE=CE∵∠BEF=∠CEO∴△BEF≌△CEO(SAS)∴∠BFE=∠COE∴BF//OCAD//OC∴S△ACD=S△AOD，∵BD=2OD∴S△ABD=2S△AOD，∴S△ABD=2S△ACD∴S△ACD：S△ABD=1：2；故选：D ．过点B 作BF//AD 交AE 延长线于F ，连接OC ，先证明△FOB≌△AOD ，再证明△BEF≌△CEO ，可得AD//OC ，可得S △ACD =S △AOD ，由S △ABD =2S △AOD ，可得S △ACD ：S △ABD =1：2；本题考查了全等三角形判定和性质，三角形面积，平行线间的距离等知识点，有一定的难度，解题关键是作平行线构造全等三角形． 7.【答案】A【解析】解：以2为指数的幂的末位数字是1，4，9，6，5，6，9，4，1，0依次循环的，∵2019÷10=201…9，(1+4+9+6+5+6+9+4+1+0)×201+(1+4+9+6+5+6+9+4+1) =45×201+45 =9045+45 =9090，∴12+22+32+42+⋯+20192的个位数字是0． 故选：A ．由题中可以看出，故个位的数字是以10为周期变化的，用2019÷10，计算一下看看有多少个周期即可．此题主要考查了找规律，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．解决本题的关键是找到以2为指数的末位数字的循环规律． 8.【答案】D【解析】解：∵x +y +z =0，且1x+1+1y+2+1z+3=0，[(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2][12+12+12]≥[(1×(x +1)+1×(y +2)+1×(z +3)]2=(x +y +z +6)2(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2≥36∴(x +1)2+(y +2)2+(z +3)2的值为36． 故选：D ．根据已知条件可得x 、y 、z 的值即可求解．本题考查了分式的加减法，解决本题的关键是合理分析已知条件． 9.【答案】B【解析】解：①当a −2b =0时，方程组无解；②当a −2b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得． 易知a ，b 都为大于0的整数，则两式联合求解可得x =3b−22b−a ，y =4−3a2b−a ， ∵使x 、y 都大于0则有x =3b−22b−a >0，y =4−3a2b−a >0， ∴解得a <43，b >23或者a >43，b <23，∵a ，b 都为1到6的整数，∴可知当a 为1时b 只能是1，2，3，4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 无解， 这两种情况的总出现可能有6种； (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)，又掷两次骰子出现的基本事件共6×6=36种情况，故所求概率为=636=16， 故选：B ．首先分两种情况：①当a −2b =0时，方程组无解；②当a −2b ≠0时，方程组的解为由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6可得．把方程组两式联合求解可得x =3b−22b−a ，y =4−3a2b−a ，再由x 、y 都大于0可得x =3b−22b−a >0，y =4−3a 2b−a>0，求出a 、b 的范围，列举出a ，b 所有的可能结果，然后求出有正数解时，所有的可能，进而求出概率．此题主要考查了列表法求概率，以及二元一次方程的解法，题目综合性较强． 10.【答案】B【解析】解：∵3a 2−8a −3b −1=0， ∴b =a 2−83a −13=(a −43)2−259，∵0≤a ≤5， ∴−43≤a −43≤113， ∴0≤(a −43)2≤1219， ∴−259≤(a −43)2−259≤969，即−259≤b ≤969，∴整数b =−2，−1，0，1，…，10，共13个，故选：B ．首先将方程3a 2−8a −3b −1=0进行变形，变成用含a 的代数式表示b ，然后把含a 的代数式配方，再根据a 的取值求出b 的取值范围，由于是求b 的整数的个数，所以再找b 的取值范围内的整数解即可．此题主要考查了利用配方法求一元二次方程的整数根，做此题的关键是用含a 的代数式表示b ，然后根据a 的取值求b 的取值，综合性较强，难度不大． 11.【答案】C【解析】解：根据题意得三角形的三边都小于20， 设最小的两边为x ≤y ≤19，x +y >20 当x =2时，y =19， 当x =3时，y =18， 当x =4时，y =17，18， 当x =5时，y =16，17， 当x =6时，y =15，16，17， 当x =7时，y =14，15，16， 当x =8时，y =13，14，15，16， 当x =9时，y =12，13，14，15，当x =10时，y =11，12，13，14，15， 当x =11时，y =11，12，13，14， 当x =12时，y =12，13，14， 当x =13时，y =13，符合条件的三角形的个数为1+1+2+2+3+3+4+4+5+4+3+1=33， 故选：C ．首首先根据三角形的两边之和大于第三边以及三边和为40长，得到三角形的三边都必须小于20；再结合三角形的两边之差小于第三边进行分析出所有符合条件的整数．本题考查了三角形三边关系，关键是列出约束条件．12.【答案】B【解析】解：由x2+ax+b−3=0知b关于a的函数解析式为b+ax+x2−3=0，∵a2+(b−4)2的最小值可看做点(a,b)到(0,4)距离的最小值，则两点的距离d=2√12+x2=2√x2+1=√x2+1≥1，∴点(a,b)到(0,4)距离的最小值为1，即a2+(b−4)2的最小值为1，故选：B．由x2+ax+b−3=0知b关于a的函数解析式为b+ax+x2−3=0，而a2+(b−4)2的最小值可看做点(a,b)到(0,4)距离的最小值，再根据点到直线的距离公式求解可得．本题主要考查两点间的距离公式，熟练掌握公式的定义是解题关键．13.【答案】2【解析】解：当x=3+√132时，原式=x4−3x3−3x+1=(x2)2−3x(x2+1)+1=[(3+√132)2]2−3×3+√132[(3+√132)2+1]+1=(11+3√132)2−3×3+√132×13+3√132+1=119+33√132−117+33√132+1=1+1=2．故答案为：2．将原式适当变形，再代入进行计算便可．本题主要考查了求整式的值，二次根式的计算，适当进行整式的变形，可以减小计算的难度．14.【答案】60【解析】解：设正十边形为A1A2 (10)以A1A2为底边的梯形有A1A2A3A10、A1A2A4A9、A1A2A5A8共3个．同理分别以A2A3、A3A4、A4A5、…、A9A10、A10A1为底边的梯形各有3个，这样，合计有30个梯形．以A1A3为底边的梯形有A1A3A4A10、A1A3A5A9共2个．同理分别以A2A4、A3A5、A4A6、…、A9A1、A10A2为底边的梯形各有2个，这样，合计有20个梯形．以A1A4为底边的梯形只有A1A4A5A101个．同理分别以A2A5、A3A6、A4A7、…、A9A2、A10A3为底边的梯形各有1个，这样，合计有10个梯形，则以4个顶点为顶点的梯形有：30+20+10=60(个)，故答案为：60．分以A1A2为底边、A1A3为底边、A1A4为底边，根据梯形的概念、正多边形的性质解答．本题考查的是梯形的概念、正多边形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．15.【答案】√52【解析】解：如图，连接AA′，延长ED交AA′于点M∵∠C=90°，AC=1，BC=2，∴AB=√AC2+BC2=√5∵D为AB中点，∴AD=DB=√5 2∵将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，∴AD=A′D，AE=A′E∴ED垂直平分AA′∴EM⊥AA′，∵AD=DB=AA′=√5 2∴△ABA′是直角三角形∴∠AA′B=90°，即AA′⊥A′B∴ME//A′B∴∠MEF=∠FA′B，∵△A′DE与△BDE重叠部分的面积占△ABE面积的14，∴S△DEF=14S△AEB，∴DF=14AB=12DB∴DF=FB，且∠MEF=∠FA′B，∠A′FB=∠EFD ∴△A′FB≌△EFD(AAS)∴EF=A′F，且DF=FB，∠EFB=∠A′FD∴△BFE≌△DFA′(SAS)∴AD=BE=√5 2故答案为：√52连接AA′，延长ED交AA′于点M，由勾股定理可求AB=√5，可得AD=DB=√52，由折叠的性质可得AD=A′D=DB，AE=A′E，可得AA′⊥A′B，EM⊥AA′，由题意可得DF= BF，由“AAS”可证△A′FB≌△EFD，可得EF=A′F，由“SAS”可得△BFE≌△DFA′，即可求BE的长．本题考查了翻折变换，勾股定理，直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，证明△A′FB≌△EFD是本题的关键．16.【答案】1≤m<3或m>3【解析】解：原方程变形为：|x−1|−|x−2|+2|x−3|=m，①当x≥3时，x−1−(x−2)+2(x−3)=m，x=m+52≥3，∴m=2x−5，此时m≥1；②当2≤x<3时，x−1−(x−2)+2(3−x)=m，x=7−m 2∴m=7−2x，此时1<m≤3；③当1≤x<2时，x−1−(2−x)+2(3−x)=m，∴m=3(不符合题意)；④当x<1时，1−x−(2−x)+2(3−x)=m，∴m=5−2x，此时m>3．恰好有两个实数解，所以1≤m<3或m>3，故答案为1≤m<3或m>3．解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．本题主要考查无理方程，解题的关键是掌握二次根式的性质、绝对值的性质等知识点．17.【答案】310【解析】解：连接OE，如图，∵AB⊥PO，∴∠ADO=90°，在Rt△ADO中，sin∠DAO=ODOA =23，设OD=2x，OA=3x，∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠APO=∠OAD，在Rt△APO中，sin∠APO=OAOP =23，∴OP=32×3x=92x，∵∠APD=∠OPA，∴Rt△PAD∽Rt△POA，∴PD：PA=PA：PO，即PA2=PD⋅PO，∵PA切⊙O于点A，PE交⊙O于点F、∴PA2=PF⋅PE，∴PD⋅PO=PF⋅PE，即PF：PO=PD：PE，而∠DPF=∠EPO，∴△PDF∽△PEO，∴DFOE =PFPO，∴PF=92x3x⋅DF=32DF，而PE=5DF，∴PFPE =32DF5DF=310．故答案为310．连接OE，如图，利用正切的定义得到sin∠DAO=ODOA =23，则可设OD=2x，OA=3x，再根据切线的性质得OA⊥PA，所以∠APO=∠OAD，利用正弦的定义得到OP=92x，证明Rt△PAD∽Rt△POA，利用相似比得到PA2=PD⋅PO，而PA2=PF⋅PE，所以PD⋅PO=PF⋅PE，则可判断△PDF∽△PEO，利用相似比得到PF=32DF，然后利用PE=5DF可得到PFPE的值．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了切线的性质和切割线定理．18.【答案】60√213【解析】解：连接BD交AC于H，作∠ABC的平分线BP，交AC于P，连接PD，作PE⊥BC于E，连接PM、PN，如图所示：则PN≥PE，在△ABC和△ADC中，{AB=AD BC=DC AC=AC，∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAP=∠DAP，在△ABP和△ADP中，{AB=AD∠BAP=∠DAP AP=AP，∴△ABP≌△ADP(SAS)，∴∠ABP=∠ADP=12∠ABC=45°，BP=DP，∵∠ABP=∠NBP=12∠ABC=45°，∴∠NBP=∠MDP，在△NBP和△MDP中，{BN=DM∠NBP=∠MDP BP=DP，∴△NBP≌△MDP(SAS)，∴PM=PN，∠BPN=∠DPM，∴∠BPD=∠MPN，∵BP=DP，PM=PN，∴∠BDP=∠DBP=∠MNP=∠NMP，∴△PMN∽△PBD，∴MNBD =PNBP≥PEPB，∵sin∠NBP=PEPB =sin45°=√22，∴MNBD ≥√22，∴MN≥√22BD，在△ABH和△ADH中，{AB=AD∠BAH=∠DAH AH=AH，∴△ABH≌△ADH(SAS)，∴BH=DH，∠BHA=∠DHA=90°，AC=√AB2+BC2=√52+122=13，S△ABC=12AB⋅BC=12BH⋅AC，∴BH=AB⋅BCAC =5×1213=6013，∴BD=2BH=12013，∴MN≥√22×12013=60√213，∴线段MN的最小值为60√213，故答案为：60√213．连接BD交AC于H，作∠ABC的平分线BP，交AC于P，连接PD，作PE⊥BC于E，连接PM、PN，则PN≥PE，证明△ABC≌△ADC(SSS)，得出∠BAP=∠DAP，证明△ABP≌△ADP(SAS)，得出∠ABP=∠ADP=12∠ABC=45°，BP=DP，易证∠NBP=∠MDP，证明△NBP≌△MDP(SAS)，得出PM=PN，∠BPN=∠DPM，推出∠BPD=∠MPN，证出∠BDP=∠DBP=∠MNP=∠NMP，得出△PMN∽△PBD，则MNBD =PNBP≥PEPB，由sin∠NBP=PEPB =sin45°=√22，推出MNBD≥√22，即MN≥√22BD，证明△ABH≌△ADH(SAS)，得出BH=DH，∠BHA=∠DHA=90°，AC=√AB2+BC2=13，由S△ABC=1 2AB⋅BC=12BH⋅AC，求出BH=6013，得出BD=2BH=12013，即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，证明三角形相似和三角形全等是解题的关键． 19.【答案】2【解析】解：x =(1+x −2x 2)(a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3…+a n x n )， 当x =0时，a 0=0，∴1=(1+x −2x 2)(a 1+a 2x +a 3x 2…+a n x n−1)， 当x =0时，a 1=1，a 1+a 2=0，a 2+a 3−2a 1=0， ∴a 2=−1，a 3=3， ∴a 3+a 2=2， 故答案为2．先去分母，第一次赋值x =0求出a 0=0，再化简式子为1=(1+x −2x 2)(a 1+a 2x +a 3x 2…+a n x n−1)，第二次赋值x =0，求出a 1=1，再由等式的性质得到a 1+a 2=0，a 2+a 3−2a 1=0即可求解．本题考查数字的变化规律；能够通过所给例子，找到式子的规律，给式子恰当的赋值运算是解题的关键．20.【答案】解：(1)联立y =x 2+(a −7)x +6，y =ax 并整理得：x 3+(a −7)x 2+6x −a =0…①，a =2时，上式为：(x −1)(x 2−4x +2)=0， 解得：x =1或2+√2或2−√2，故函数交点坐标为：(1,2)或(2+√2,2−√2)或(2+√2,2−√2)； (2)①式中含有(x −1)的因式，即：(x −1)[x 2+(a −6)x +a]=0， 故其中一个根：x =1，a 为正整数，x 2+(a −6)x +a =0方程有一个到两个的根， △=(a −6)2−4a ≥0，交点横、纵坐标都是整数，则△一定是完全平方数(设为k)， 即(a −6)2−4a =k 2(k 为非负整数)， 整理得：(a −8)2−k 2=28，即：(a −8+k)(a −8−k)=28=4×7=2×14=1×28， 而a −8+k ≥a −8−k ，当a −8+k =7，a −8−k =4时，解得：a =13.5(舍去)； 当a −8+k =14，a −8−k =2时，解得：a =16； 当a −8+k =28，a −8−k =1时，a =23.5(舍去)； 故a =16；(3)两个函数的交点都在直线x =12的右侧，只会出现如下图所示的情况，两个函数三个交点在x =12的右侧，其中一个交点横坐标为x =1在x =12的右侧， 故只需要确定x 2+(a −6)x +a =0根的情况，只要左侧的根在x =12右侧即可， 解上述方程得：x =6−a±√a 2−16a+362，即6−a−√a2−16a+362>12，解得：a >116．故：a 的取值范围为：a >116．【解析】(1)联立y =x 2+(a −7)x +6，y =ax 并整理得：x 3+(a −7)x 2+6x −a =0，a =2时，上式为：(x −1)(x 2−4x +2)=0，即可求解；(2)(x −1)[x 2+(a −6)x +a]=0，故其中一个根：x =1，a 为正整数，x 2+(a −6)x +a =0方程有一个到两个的根，△=(a −6)2−4a ≥0，交点横、纵坐标都是整数，则△一定是完全平方数(设为k)，即(a −6)2−4a =k 2(k 为非负整数)，讨论确定a 的值； (3)两个函数的交点都在直线x =12的右侧，两个函数三个交点在x =12的右侧，其中一个交点横坐标为x =1在x =12的右侧，即6−a−√a2−16a+362>12，即可求解．本题考查的是二次函数与反比例函数的交点问题、根的判别式、整数的性质，涉及面较广，难度较大．21.【答案】解：(1)作GH ⊥AD 于H ，AI ⊥BE 于I ， ∵GE =3，cos∠AEB =23，∴EH =2，HG =√5，设AE =3x ，则EI =2x ，AI =√5x ，∴GI =3−2x ，BI =BG +GI =n +3−2x ， ∴DH =DE +EH =n +2， ∵∠ADF =∠ABE ，∴∠DHG =∠AIB =90°， ∴△GHD∽△AIB ， ∴DH BI=HG AI，∴n+2n+3−2x =√5√5x ， 解得：x =n+3n+4， ∴AE =3x =3n+9n+4；(2)如图2，连接AA′交BE 于M ，连接按个，作A′N ⊥CG 于N ，∵四边形ABCD 为矩形，G 恰为BE 中点，∴CG =DG ，∴∠GCD =∠GDC ，∴∠BCG =∠ADG =∠ABE =90°−∠CBG ， ∴∠BCG +∠CBG =90°， ∴CG ⊥BE ，∵AA′⊥BE ，A′N ⊥CG ， ∴四边形MA′NG 是矩形， ∴GM =A′N =3√24，设ME =x ，则AG =BG =GE =x +34√2， ∴AM 2=AG 2−GM 2=AE 2−EM 2=(x +3√24)2−(34√2)2=1−x 2， 解得：x =√24，∴BG =GE =ME +GM =√2， ∴BE =2√2，∵∠ABE =∠BCG ， ∴△GCB∽△ABE ， ∴BC BE =BG AE，∴2√2=√21， 解得：BC =4，∴AD =BC =4， ∴DE =AD −AE =4−1=3．【解析】(1)作GH ⊥AD 于H ，AI ⊥BE 于I ，根据已知条件得到EH =2，HG =√2，设AE =3x ，则EI =2x ，AI =√5x ，得到GI =3−2x ，BI =BG +GI =n +3−2x ，根据相似三角形的性质得到AE =3x =3n+9n+4；(2)如图2，连接AA′交BE 于M ，连接按个，作A′N ⊥CG 于N ，根据矩形的性质得到CG =DG ，求得∠GCD =∠GDC ，推出四边形MA′NG 是矩形，得到GM =A′N =3√24，设ME =x ，则AG =BG =GE =x +34√2，根据勾股定理列方程得到BG =GE =ME +GM =√2，求得BE =2√2，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．。

2018-2019学年四川省成都七中高一（下）入学数学试卷（2月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合{A=x|1＜x＜2}，{B=x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A. B. C. D.2.若f（x）=2x+3，g（x+2）=f（x），则g（x）的表达式为（）A. B. C. D.3.设α是第三象限角，化简：=（）A. 1B. 0C.D. 24.设a=0.60.4，b=0.40.6，c=0.40.4，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.5.若函数f（x）满足f（x）-2f（2-x）=-x2+8x-8，则f（1）的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 36.已知函数g（x）与f（x）=a x（a＞0，a≠1）的图象关于直线y=x对称，则g（2）+g（）的值为（）A. 4B. 2C. 1D. 07.直角坐标系内，β终边过点P（sin2，cos2），则终边与β重合的角可表示成（）A. ，B. ，C. ，D. ，8.已知函数f（x）=，，，，在定义域上单调递减，那么a的取值范围是（）A. B. C. D.9.如图，在△ABC中，已知=，P为AD上一点，且满足=m+，则实数m的值为（）A.B.C.D.10.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则=（）A. 2B. 4C. 5D. 1011.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当x[-3，-2]时，f（x）=x2+4x+3，则y=f[f（x）]+1在区间[-3，3]上的零点个数为（）A. 1个B. 2个C. 4个D. 6个12.设e为自然对数的底数，则函数f（x）=e x（2-e x）+（a+2）•|e x-1|-a2存在三个零点，则a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数f（x）=+lg（3x+1）的定义域为______．14.tan=______．15.在△ABC中，∠A=60°，a=4，b=4，则B等于______．16.已知，，，，且，则cos（x+2y）=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）化简求值：（log32+1og92）（log43+1og83）+2；（2）已知x-x-1=-，求x3-x-3的值．18.已知=（1，2），=（-3，2），当k为何值时：（1）k+与-3垂直；（2）k+与-3平行，平行时它们是同向还是反向？19.声音通过空气的振动所产生的压强叫声压强，简称声压，单位为帕（Pa）．把声压的有效值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的数值叫声压级．声压级以符号S PL表示，单位为分贝（dB），公式为：S PL（声压级）=（dB），式中p e为待测声压的有效值，p ref为参考声压，在空气中参考声压p ref一般取值2×10-5Pa．根据上述材料，回答下列问题．（1）若某两人小声交谈时的声压有效值p e=0.002Pa，求其声压级；（2）已知某班开主题班会，测量到教室内最高声压级达到90dB，求此时该班教室内声压的有效值．20.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若函数f（x）在[0，π]上取最小值时对应的角度为θ，求半径为2，圆心角为θ的扇形的面积．21.已知定义域为R的函数f（x）=-+是奇函数（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性并证明；（3）若对于任意的t（1，2），不等式f（-2t2+t+1）+f（t2-2mt）≤0有解，求m的取值范围．22.已知函数f（x）=sin（x R）．任取t R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）-m（t）．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程（Ⅱ）当t[-2，0]时，求函数g（t）的解析式（Ⅲ）设函数h（x）=2|x-k|，H（x）=x|x-k|+2k-8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式k-5g（t）≤0有解．若对任意x1[4，+∞），存在x2（-∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围参考公式：sinα-cosα=sin（α-）答案和解析1.【答案】A【解析】解：在数轴上画出图形易得a≥2．故选：A．在数轴上画出图形，结合图形易得a≥2．本题考查集合的包含关系，解题时要作出图形，结合数轴进行求解．2.【答案】B【解析】解：∵f（x）=2x+3，∴g（x+2）=f（x）=2x+3=2（x+2）-1，即g（x）=2x-1故选：B．由g（x+2）=f（x），把f（x）的表达式表示为含有x+2的基本形式即可．本题考查了求简单的函数解析式的问题，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵α是第三象限角，可得：cosα＜0，∴=-，∵cos2α+cos2αtan2α=cos2α+cos2α•=cos2α+sin2α=1．∴=-1．故选：C．原式利用单项式乘以多项式法则计算，再利用同角三角函数间基本关系化简，结合角的范围即可得到结果．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：∵a=0.60.4，c=0.40.4，由幂函数的性质可得a＞c，∵b=0.40.6，c=0.40.4，由指数函数的性质可得b＜c，∴b＜c＜a．故选：B．直接利用指数函数与幂函数的单调性进行大小比较．本题考查指数函数与幂函数的图象与性质，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）满足f（x）-2f（2-x）=-x2+8x-8，∴f（1）-2f（1）=-1+8-8，∴f（1）=1．故选：B．在f（x）-2f（2-x）=-x2+8x-8中，令x=1，能求出f（1）的值．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．6.【答案】D【解析】解：若函数g（x）与f（x）=a x（a＞0，a≠1）的图象关于直线y=x对称，故函数g（x）与f（x）=a x（a＞0，a≠1）互为反函数，故g（x）=log a x（a＞0，a≠1），故g（2）+g（）=log a2+=log a2-log a2=0，故选：D．由已知可得函数g（x）与f（x）=a x（a＞0，a≠1）互为反函数，即g（x）=log a x（a＞0，a≠1），结合对数的运算性质，可得答案．本题考查的知识点是反函数，函数求值，对数的运算性质，难度中档．7.【答案】A【解析】解：∵β终边过点P（sin2，cos2），即为（cos （-2），sin （-2））∴终边与β重合的角可表示成-2+2kπ，k Z，故选：A．由P（sin2，cos2），即为（cos （-2），sin（-2）），即可求出．本题考查了终边相同的角和诱导公式，属基础题．8.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），y=x+在（0，1]为减函数，则[1，+∞）上为增函数，y=3-x在（0，+∞）上为减函数，又由函数y=x+与y=3-x有2个交点：（，）和（1，2），若函数f（x）=在定义域上单调递减，必有0＜a≤或a=1，即a的取值范围为（0，]{1}；故选：C．根据题意，分析函数f（x）的定义域为（0，+∞），再分析函数y=x+和函数y=3-x在（0，+∞）上的单调性，求出两个函数的交点，据此分析可得答案．本题考查分段函数的单调性，关键是分析分段函数解析式的形式，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：如图，又=，所以又=m+，由平面向量基本定理可得，解得m=故选：B．由题设，可将用两向量表示出来，已知中已有足=m+，可根据平面向量基本定理建立起m的方程，从而求出m的值．本题考查平面向量基本定理的应用，根据向量的三角形法则与平行四边形法则把用两向量表示出来，是解答本题的关键．10.【答案】D【解析】解：以D为原点，AB所在直线为x轴，建立如图坐标系，∵AB是Rt△ABC的斜边，∴以AB为直径的圆必定经过C点设AB=2r，∠CDB=α，则A（-r，0），B（r，0），C（rcosα，rsinα）∵点P为线段CD的中点，∴P （rcosα，rsinα）∴|PA|2=+=+r2cosα，|PB|2=+=-r2cosα，可得|PA|2+|PB|2=r2又∵点P为线段CD的中点，CD=r∴|PC|2==r2所以：==10故选：D．以D为原点，AB所在直线为x轴，建立坐标系，由题意得以AB为直径的圆必定经过C点，因此设AB=2r，∠CDB=α，得到A、B、C和P各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|2+|PB|2和|PC|2的值，即可求出的值．本题给出直角三角形ABC斜边AB上中线AD的中点P，求P到A、B距离的平方和与PC平方的比值，着重考查了用解析法解决平面几何问题的知识点，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：∵当x[-3，-2]时，f（x）=x2+4x+3=（x+2）2-1[-1，0]；又f（x）为R上的偶函数，∴当x[2，3]时，f（x）[-1，0]；又f（x+2）=f（x），∴f（x）为以2为周期的函数，由题意，偶函数f（x）在区间[-3，3]上的值域为[-1，0]，由f[f（x）]+1=0得到f[f（x）]=-1，于是可得f（x）=0或±2（舍弃），由f（x）=0可得x=±1，±3，所以y=f[f（x）]+1在区间[-3，3]上的零点个数为4．故选：C．由题意，偶函数f（x）在区间[-3，3]上的值域为[-1，0]，确定f（x）=0，即可得出y=f[f（x）]+1在区间[-3，3]上的零点个数．本题考查函数的周期性、奇偶性、函数图象的对称性，体现数形结合的数学思想．考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据已知条件分析函数的性质，进而判断出函数零点的分布情况是解答本题的关键．12.【答案】D【解析】解：设t=e x-1，则e x=t+1，则f（t）=（t+1）（1-t）+（a+2）|t|-a2=1-t2+（a+2）|t|-a2，令m=|t|=|e x-1|．则f（m）=-m2+（a+2）m+1-a2，∵f（x）有三个零点，∴等价为f（m）=-m2+（a+2）m+1-a2，有两个根，一个根在（0，1）内，另一个根在[1，+∞），则，得得1＜a≤2，即实数a的取值范围是（1，2]，故选：D．利用换元法设m=|t|=|e x-1|．转化为一元二次函数根的分布，利用数形结合进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数根的分布是解决本题的关键．综合性较强．13.【答案】，【解析】解：要使f（x）有意义，则：；∴；∴f（x）的定义域为．故答案为：．可看出，要使得f（x）有意义，则需满足，解出x的范围即可．考查函数定义域的概念及求法，对数函数的定义域．14.【答案】2-【解析】解：tan=tan（-）===2-，故答案为：2-．利用两角差的正切公式求得tan=tan（-）的值．本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题．15.【答案】45度【解析】解：∵在△ABC中，∠A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理=得：sinB=，又a=4＞b=4，∴60°=A＞B，∴B=45°．故答案为：45°．利用正弦定理=即可求得sinB，再由a＞b知A＞B，从而可得答案．本题考查正弦定理，在△ABC中，a＞b知A＞B是关键，属于基础题．16.【答案】1【解析】解：设f（u）=u3+sinu．由①式得f（x）=2a，由②式得f（2y）=-2a．因为f（u）在区间上是单调增函数，并且是奇函数，∴f（x）=-f（2y）=f（-2y）．∴x=-2y，即x+2y=0．∴cos（x+2y）=1．故答案为：1．设f（u）=u3+sinu．根据题设等式可知f（x）=2a，f（2y）=-2a，进而根据函数的奇偶性，求得f（x）=-f （2y）=f（-2y）．进而推断出x+2y=0．进而求得cos（x+2y）=1．本题主要考查了利用函数思想解决实际问题．考查了学生运用函数的思想，转化和化归的思想．17.【答案】解：（1）（log32+1og92）（log43+1og83）+2=+5=•+5=+5=．（2）∵x-x-1=-，∴x2+x-2+2=（x+x-1）2=（x-x-1）2+4=+4=，∴x2+x-2=．∴x3-x-3=（x-x-1）（x2+x-2+1）=×=-．【解析】（1）利用指数与对数运算性质即可得出．（2）利用乘法公式即可得出．本题考查了指数与对数运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）由题意可得k+=（k-3，2k+2），-3=（10，-4），由k+与-3垂直可得（k -3，2k+2）•（10，-4）=10（k-3）+（2k+2）（-4）=0，解得k=19．（2）由k+与-3平行，可得（k-3）（-4）-（2k+2）×10=0，解得k=-，此时，k+=-+=（-，），-3=（10，-4），显然k+与-3方向相反．【解析】（1）由题意可得k +和-3的坐标，由k+与-3垂直可得它们的数量积等于0，由此解得k的值．（2）由k +与-3平行的性质，可得（k-3）（-4）-（2k+2）×10=0，解得k的值．再根据 k+和-3的坐标，可得k +与-3方向相反．本题主要考查两个向量的数量积公式的应用，两个向量共线、垂直的性质，属于中档题．19.【答案】解：（1）由声压有效值p e=0.002Pa，根据S PL==40dB∴两人小声交谈时声压级为40dB（2）根据声压级S PL=90=，可得P e=帕．∴教室内最高声压级达到90dB，求此时该班教室内声压的有效值为P e=帕．【解析】（1）利用公式，代入P e=0.002帕，P mf=2×10-5帕，即可求得结论；（2）利用公式，代入P e=0.002帕，S pl=80分贝，即可求得结论．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于基础题．20.【答案】解：（Ⅰ）根据函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的部分图象，可得A=2，•=+，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×（-）+φ=0，求得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）∵函数f（x）的周期为π，在[0，π]上，当x=时，f（x）取最小值-2，此时对应的角度为θ=，结合半径为2，则圆心角为θ的扇形的面积为θ•r2=••4=．【解析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式．（Ⅱ）求出θ，根据半径为2，求出圆心角为θ的扇形的面积．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．21.【答案】解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=-+=0，∴a=1．（2）f（x）=-+，故f（x）是R上的减函数．证明：设x1，x2是R上的任意两个数，且x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=-=，∵x1＜x2，∴0＜＜，∴＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在R上是减函数．（3）∵f（x）是奇函数，f（-2t2+t+1）+f（t2-2mt）≤0有解，∴f（t2-2mt）≤-f（-2t2+t+1）=f（2t2-t-1），又f（x）是减函数，∴t2-2mt≥2t2-t-1在（1，2）上有解，∴m≤=-++．设g（t）=-++，则g′（t）=--＜0，∴g（t）在（1，2）上单调递减，∴g（t）＜g（1）=．∴m的取值范围是（-∞，]．【解析】（1）根据f（0）=0求出a的值；（2）根据函数单调性的定义证明；（3）根据奇偶性和单调性列出不等式，从而得出m的范围．本题考查了函数奇偶性、单调性的应用，函数最值的计算，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）对于函数f（x）=sin（x R），它的最小正周期为=4，由=kπ+，求得x=2k+1，k Z，可得f（x）的对称轴方程为x=2k+1，k Z．（Ⅱ）当t[-2，0]时，①若t[-2，-），在区间[t，t+1]上，M（t）=f（t）=sin，m（t）=f（-1）=-1，g（t）=M（t）-m（t）=1+sin．②若t[-，-1），在区间[t，t+1]上，M（t）=f（t+1）=sin（t+1）=cos t，m（t）=f（-1）=-1，g（t）=M（t）-m（t）=1+cos．③若t[-1，0]，在区间[t，t+1]上，M（t）=f（t+1）=sin（t+1）=cos t，m（t）=f（t）=sin t，g（t）=M（t）-m（t）=cos t-sin．综上可得，g（t）=，，，，，，．（Ⅲ）函数f（x）=sin的最小正周期为4，∴M（t+4）=M（t），m（t+4）=m（t）．函数h（x）=2|x-k|，H（x）=x|x-k|+2k-8，对任意x1[4，+∞），存在x2（-∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，即函数H（x）=x|x-k|+2k-8在[4，+∞）上的值域是h（x）在[4，+∞）上的值域的子集．∵h（x）=|2|x-k|=，①当k≤4时，h（x）在（-∞，k）上单调递减，在[k，4]上单调递增．故h（x）的最小值为h（k）=1；∵H（x）在[4，+∞）上单调递增，故H（x）的最小值为H（4）=8-2k．由8-2k≥1，求得k≤．②当4＜k≤5时，h（x）在（-∞，4]上单调递减，h（x）的最小值为h（4）=2k-4，H（x）在[4，k]上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，故H（x）的最小值为H（k）=2k-8，由，求得k=5，综上可得，k的范围为（-∞，]{5}．【解析】（Ⅰ）根据正弦函数的周期性和图象的对称性，求得函数f（x）的最小正周期及对称轴方程．（Ⅱ）当t[-2，0]时，分类讨论求得M（t）和m（t），可得g（t）的解析式．（Ⅲ）由题意可得函数H（x）=x|x-k|+2k-8在[4，+∞）上的值域是h（x）在[4，+∞）上的值域的子集，分类讨论求得k的范围．本题主要考查正弦函数的周期性，指数函数的图象特征，函数的能成立、函数的恒成立问题，属于难题．。

成都七中学校⾃主招⽣测验试题成都七中学校⾃主招⽣测验试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————⽇期：成都七中实验学校⾃主招⽣考试试题数学试题注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题36分；第Ⅱ卷为⾮选择题114分；全卷共150分．考试时间为120分钟.2.本试卷的选择题答案⽤2B 铅笔涂在机读卡上，⾮选择题在卷Ⅱ上作答.3.考⽣务必将⾃⼰的姓名及考号写在密封线以内指定位置.4.⾮选择题必须在指定的区域内作答，不能超出指定区域或在⾮指定区域作答，否则答案⽆效.卷I （选择题，共36分）⼀．选择题：本⼤题共12个⼩题，每⼩题3分，共36分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．计算3×(-2) 的结果是( )A ．5B ．-5C ．6D ．-62．如图1，在△ABC 中，D 是BC 延长线上⼀点，∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于( ) A ．60° B ．70°C ．80°D ．90°3．下列计算中，正确的是( )A ．020=B ． 623)(a a = C ．93=± D ．2a a a =+4．如图2，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3，则□ABCD 的周长为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．155．把不等式2x -< 4的解集表⽰在数轴上，正确的是( )6．如图3，在5×5正⽅形⽹格中，⼀条圆弧经过A ，B ，C 三点，ABABCD40°120°图1MR Q ABCP A -B D2 0 C 0 - 2那么这条圆弧所在圆的圆⼼是( ) A ．点P B ．点M C ．点RD ．点Q7．若2230x x y ++-=，则xy 的值为（）A ．6或0B ．6-或0C ．5或0D ．8-或08．已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的⼤⼩关系是（）A ．y x >B ．x =yC ．y x <D ．与a 、b 的取值有关 9．如图4,已知边长为1的正⽅形ABCD ，E 为CD 边的中点，动点P在正⽅形ABCD 边上沿A B C E →→→运动，设点P 经过的路程为 x ，△APE 的⾯积为y ，则y 关于x 的函数的图象⼤致为（）10．如图5，两个正六边形的边长均为1，其中⼀个正六边形⼀边恰在另⼀个正六边形的对⾓线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是( )D ．1011．如图6，已知⼆次函数2y ax bx c =++的图像如图所⽰，则下列6个代数式,,,,2,ab ac a b c a b c a b ++-++2a b -中其值为正的式⼦个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．将正⽅体骰⼦（相对⾯上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于⽔平桌⾯上，如图7-1．在图7-2中，将骰⼦向右翻滚90°，然后在桌⾯上按逆时针⽅向旋转90°，则完成⼀次变换．若骰⼦的初始位置为图7-1所⽰的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰⼦朝上⼀⾯的点数是( )A ．2B ．3C ．5D ．6卷Ⅱ(⾮选择题,共114分)图7-1图7-2向右翻滚逆时针旋转90°图5x （yO2.（1（x yO2.1（x y2.1 ABC E PD 图4图6O 1 1yx⼆．填空题：本⼤题共6个⼩题，每⼩题4分，共24分．将答案直接填写在题中横线上．13．5-的相反数是．14．如图8，矩形ABCD的顶点A，B在数轴上，CD = 6，点A对应的数为1-，则点B所对应的数为．15．如图9，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为．16．已知x = 1是⼀元⼆次⽅程02=++nm++的值为．17．把三张⼤⼩相同的正⽅形卡⽚A，B，C叠放在⼀个底⾯为正⽅形的盒底上，底⾯未被卡⽚覆盖的部分⽤阴影表⽰．若按图10-1摆放时，阴影部分的⾯积为S1；若按图10-2摆放时，阴影部分的⾯积为S2，则S1S2（填“＞”、“＜”或“=”）．18．南⼭中学⾼⼀年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，⽼师让他们猜⼀猜各⼈的名次排列情况.A说：B第三名，C第五名；B说：E第四名，D第五名；C说：A第⼀名，E第四名；D说：C第⼀名，B第⼆名；E说：A第三名，D第四名.⽼师说:每个名次都有⼈猜对，试判断获得第⼀⾄第五名的依次为 .三、解答题（本⼤题共7个⼩题，共90分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤）19．(1)（本⼩题满分8分）解⽅程：1211+=-xx.(2)（本⼩题满分8分）先化简再求值：22214()a a a a a----÷++++，其中22430a a+-=.20．（本⼩题满分12分）甲、⼄两校参加区教育局举办的学⽣英语⼝语竞赛，两校参赛⼈数相等．⽐赛结束后，发现学⽣成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．甲校成绩统计表图10-1ACBCBA图10-2⼄校成绩扇形统计图图11-110分9分8分72°54°7分A 0图8BCD图9（1）在图11-1中，“7分”所在扇形的圆⼼⾓（3）经计算，⼄校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的⾓度分析哪个学校成绩较好．（4）如果该教育局要组织8⼈的代表队参加市级团体赛，为便管理，决定从这两所学校中的⼀所挑选参赛选⼿，请你分析，应选哪所学校？21．（本⼩题满分12分）如图12，在直⾓坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A ，C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为（4，2）．过点D （0，3）和E （6，0）的直线分别与AB，BC 交于点M ，N ．（1）求直线DE 的解析式和点M 的坐标；（2）若反⽐例函数xmy =（x ＞0）的图象经过点M ，求该反⽐例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上；（3）若反⽐例函数xmy =（x ＞0）的图象与△MNB 有公共点，请直接．．写出m 的取值范围． 22．（本⼩题满分12分）某仪器⼚计划制造A 、B 两种型号的仪器共80套，该公司所筹资⾦不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资⾦全部⽤于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表：A B 成本（万元/套） 25 28 售价（万元/套）3034（1）该⼚对这两种型号仪器有哪⼏种制造⽅案？（2）该⼚应该选⽤哪种⽅案制造可获得利润最⼤？（3）根据市场调查，每套B 型仪器的售价不会改变，每套A 型仪器的售价将会提⾼a 万元（a >0），且所制造的两种仪器可全部售出，问该⼚⼜将如何制造才能获得最⼤利润？分数 7 分 8 分 9 分 10 分⼈数118xMN yDAB C E O8 6 48分 9分分数⼈数 210分图11-2 7分 08 45图13-2ADOBC21 MN图13-1ADBM N12图13-3ADOBC21 MNO（1）如图13-1，若AO = OB ，请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图13-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图13-2，其中AO = OB ．求证：AC = BD ，AC ⊥ BD ；（3）将图13-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图13-3，求ACBD的值． 24．（本⼩题满分12分）如图14，在直⾓梯形ABCD 中，AD ∥BC ，90B ∠=?，AD = 6，BC = 8，33=AB ，点M 是BC 的中点．点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后⽴刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动．在点P ，Q 的运动过程中，以PQ 为边作等边三⾓形EPQ ，使它与梯形ABCD 在射线BC 的同侧．点P，Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停⽌运动，点Q 也随之停⽌．设点P ，Q 运动的时间是t 秒(t ＞0)．（1）设PQ 的长为y ，在点P 从点M 向点B 运动的过程中，写出y 与t 之间的函数关系式（不必写t 的取值范围）．（2）当BP = 1时，求△EPQ 与梯形ABCD 重叠部分的⾯积．（3）随着时间t 的变化，线段AD 会有⼀部分被△EPQ 覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最⼤值，请回答：该最⼤值能否持续⼀个时段？若能，直接．．写出t 的取值范围；若不能，请说明理由．M A D C B P QE 图14 A D C B （备⽤图） M25．（本⼩题满分14分）如图15，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过x 轴上的两点1(,0)A x 、2(,0)B x 和y 轴上的点3(0,)2C -，P 的圆⼼P 在y 轴上，且经过B 、C 两点，若3b a =，23AB =．求：（1）抛物线的解析式；（2）D 在抛物线上，且C 、D 两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD 是否经过圆⼼P ？并说明理由；（3）设直线BD 交P 于另⼀点E ，求经过点E 和P 的切线的解析式．C M B yQxD E O AP 图152011年数学参考答案⼀、选择题BCADBCABBC⼆、填空题13.5 14.5 15. 71016.1 17. = 18. C 、B 、A 、E 、D. 三、解答题19．（1）解：)1(21-=+x x ，3=x ．经检验知，3=x 是原⽅程的解．………………8分（2）解：………………6分由已知得2322a a +=，代⼊上式的原式23=………………8分20．解：（1）144；………………3分（2）如图1；………………6分（3）甲校的平均分为8.3分，中位数为7分；………………8分由于两校平均分相等，⼄校成绩的中位数⼤于甲校的中位数，所以从平均分和中位数⾓度上判断，⼄校的成绩较好．………………9分⼄校成绩条形统计图 86 48分 9分分数⼈数2 10分图17分 0 8322212[](2)(2)4(2)(2)(1)2(2)442(2)442(2)41(2)12a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a--+=-?++--+--+=+---++=?+--+=?+-=+=+原式（4）因为选8名学⽣参加市级⼝语团体赛，甲校得10分的有8⼈，⽽⼄校得10分的只有5⼈，所以应选甲校．………………12分21．解：（1）设直线DE 的解析式为b kx y +=，∵点D ，E 的坐标为（0，3）、（6，0），∴ ?+==.60,3b k b解得=-=.3,21b k ∴ 321+-=x y ．………………2分∵点M 在AB 边上，B （4，2），⽽四边形OABC 是矩形，∴点M 的纵坐标为2．⼜∵点M 在直线321+-=x y 上，∴ 2 = 321+-x ．∴ x = 2．∴ M （2，2）．………………4分（2）∵x（x ＞0）经过点M （2，2），∴ 4=m ．∴xy 4=.………………5分⼜∵点N 在BC 边上，B （4，2），∴点N 的横坐标为4．∵点N 在直线321+-=x y 上，∴ 1=y ．∴ N （4，1）． ………………8分∵当4=x 时，y =4x= 1，∴点N 在函数 xy 4=的图象上．………………9分（3）4≤ m ≤8．………………12分22．解：（1）设A 种型号的仪器造x 套,则B 种型号的仪器造(80-x)套, 由题意得:()20968028252090≤-+≤x x解之得:5048≤≤x ………………2分所以 x=48、49、50 三种⽅案：即：A 型48套，B 型32套；A 型49套，B 型31套；A 型50套，B 型30套。

四川省成都七中2019届高三数学下学期入学考试试题（含解析）一、选择题(本大题共12小题，共60. 0分)1.已知是虚数单位，若，则的共轭复数对应的点在复平面的( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【详解】解：由2+i＝z（1﹣i），得z，∴，则z的共轭复数z对应的点的坐标为（），在复平面的第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.设集合，，则( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求y＝3x，x∈R，y，x∈R的值域，得：A＝（0，+∞），B＝[0，2]，再求交集即可．【详解】解：由y＝3x，x∈R，得y＞0，即A＝（0，+∞），由y，x∈R，得：0≤y≤2，即B＝[0，2]，即A∩B＝（0，2]，故选：C．【点睛】本题考查了求函数值域及交集的运算，考查指数函数与幂函数的图象与性质，属简单题．3.函数的大致图象是( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性及取特殊值，进行排除即可得答案.【详解】由题意得，函数，则函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除C、D，又由当时，，故排除B，故选：A．【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性，以及特殊点的函数值进行排除求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．4.执行如图所示的程序框图，则输出的值为( )A. 7B. 9C. 11D. 13【答案】C【解析】第一次：，第二次：，第三次：，第四次：，第五次：，此时不满足条件，所以输出k=115.已知等边内接于，为线段的中点，则=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算写出用、的表达式即可．【详解】解：如图所示，设BC中点为E，则（）•．故选：A．【点睛】本题考查了平面向量的线性表示与应用问题，是基础题．6.某几何体的三视图如图所示，图中正方形的边长为2，四条用虚线表示的线段长度均相等，则该几何体的体积为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用三视图，还原出原几何体，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【详解】根据几何体的三视图：该几何体是由一个边长为2正方体挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥构成的不规则的几何体．所以：v，．故选：A．【点睛】本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和空间想象能力，属于基础题型．7.二项式的展开式中的系数是，则( )A. 1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求得二项展开式中的通项公式，令，解得，代入即可求解，得到答案．【详解】由题意，二项式的展开式中的通项公式，令，解得，所以含项的系数为，解得故选：B．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟练求解二项展开式的通项，准确得出的值是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．8.如图所示，边长为的正六边形内有六个半径相同的小圆，这六个小圆分别与正六边形的一边相切于该边的中点，且相邻的两个小圆互相外切，则在正六边形内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分别求出正六边形和阴影部分的面积，作商即可．【详解】如图所示，边长为a的正六边形，则OA＝OB＝AB＝a，设小圆的圆心为O'，则O'C⊥OA，∴OC a，∴O'C a，OO'a，∴OD a，∴S阴影＝12[a•aπ•（a）2]＝（）a2，S正六边形a2，∴点恰好取自阴影部分的概率P，故选：C．【点睛】本题考查了几何概型问题，考查特殊图形面积的求法，是一道常规题．9.如图所示，点为双曲线的右顶点，为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有三个公共点，则的离心率为( )A. B. C. 2 D.【答案】A【解析】【分析】设A的坐标（a，0），求得B的坐标，考虑x＝2a，代入双曲线的方程可得P的坐标，再由圆A经过双曲线的左顶点，结合两点的距离公式可得a＝b，进而得到双曲线的离心率．【详解】由题意可得A（a，0），A为线段OB的中点，可得B（2a，0），令x＝2a，代入双曲线的方程可得y＝±b，可设P（2a，b），由题意结合图形可得圆A经过双曲线的左顶点（﹣a，0），即|AP|＝2a，即有2a，可得a＝b，e，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.已知，则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等变换的公式，化简求得，得到，再利用两角和的正切函数的公式，即可求解．【详解】由题意，因为，所以，则即，即，又由，故选：B．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记两角和与差的三角函数的基本公式，合理、准确化简计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．11.如图所示，在等腰中，斜边，为直角边上的一点，将沿直折叠至的位置，使得点在平面外，且点在平面上的射影在线段上，设，则的取值范围是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】推导出AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，从而AH＜AC1＝1，当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，由此能求出x的取值范围．【详解】解：∵在等腰Rt△ABC中，斜边AB，D为直角边BC上的一点，∴AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，将△ACD沿直AD折叠至△AC1D的位置，使得点C1在平面ABD外，且点C1在平面ABD上的射影H在线段AB上，设AH＝x，∴AC1＝AC＝1，CD＝C1D∈（0，1），∠AC1D＝90°，CH⊥平面ABC，∴AH＜AC1＝1，故排除选项A和选项C；当CD＝1时，B与D重合，AH，当CD＜1时，AH，∵D为直角边BC上的一点，∴CD∈（0，1），∴x的取值范围是（，1）．故选：B．【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.设是抛物线上的两个不同的点，是坐标原点，若直线与的斜率之积为，则( )A. B. 为直径的圆的面积大于C. 直线过抛物线的焦点D. 到直线的距离不大于2【答案】D【解析】【分析】由已知分类求得MN所在直线过定点（2，0），结合选项得答案．【详解】解：当直线MN的斜率不存在时，设M（，y0），N（，﹣y0），由斜率之积为，可得，即，∴MN的直线方程为x＝2；当直线的斜率存在时，设直线方程为y＝kx+m，联立，可得ky2﹣y+m＝0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，即m＝﹣2k．∴直线方程为y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）．则直线MN过定点（2，0）．则O到直线MN的距离不大于2．故选：D．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设满足约束条件，则的最大值为______．【答案】5【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，结合图像得到最值.【详解】作出x，y满足约束条件，所示的平面区域，如图：作直线-3x+4y=0，然后把直线l向可行域平移，结合图形可知，平移到点时z最大，由此时z=5.故答案为:5．【点睛】利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

一.选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.D.6Z B = 40° ，Z ACD = :120° ，则Z A 等于（） A. 60°B. 70°C. 80°D.90° 下列计算中， 正确的是（ )A. 20B . / 3、2(a )a 6 C.9B. 9C. 12D. 155.把不等式2x< 4的解集表示在数轴上，正确的是（成都七中实验学校自主招生考试试题数学试题注意事项： 1. 本试题分第I 卷和第U 卷两部分.第I 卷为选择题36分；第U 卷为非选择题114 分；全卷共150分.考试时间为120分钟.2. 本试卷的选择题答案用2B 铅笔涂在机读卡上，非选择题在卷丄上作答.3. 考生务必将自己的姓名及考号写在密封线以内指定位置 —4. 非选择题必须在指定的区域内作答，不能超出指定区域或在非指定区域作答，否则 答案无效.卷I （选择题，共36分）-2 0A右 --- *--2 0C33.4.如图 2，在口 ABC 中，AC 平分Z DAB AB = 3, 则口 ABC 的周长为（）A. 6D. a aa图26.如图3，在5 X5正方形网格中，一条圆弧经过A B, C三点，那么这条A.点PB.点M C .点R D.点Q… 2 ------------------7.若x 2x寸y 3 0，则xy的值为（）A. 6 或0B. 6 或0C. 5 或0D. 8 或图39•如图4,已知边长为1的正方形ABC ,E 为CD 边的中点，动点P 在正方形ABC 边上沿A B C E 运动，设点P 经过的路程 为x ，△ APE 的面积为y ，则y 关于x 的函数的图象大致为（A. 7B. 8C. 9D. 1011.如图6,已知二次函数y ax 2bx c 的图像如图所示，则下列6个代数式ab, ac, a b c, a b c,2a b,2a b 中其值为正的式子个数为（)A. 1个 B . 2个 C . 3个D.4个&已知0 a b,x , a b , b, y b , b a,则x, y 的大小关系是()A. x y B . x = y C . x y D .与a 、b 的取值有关10.如图5,两个正六边形的边长均为1,其中一个正六边形 一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部 分）外轮廓线的周长是（） 12•将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图 7-1 .在图7-2中，将骰子向右翻滚90°,然后在桌面上按逆时针方向旋转90°,则完成一次变换.若 骰子的初始位置为图7-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点 数是（）图7-1图7-2卷□（非选择题,共114分）二.填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.将答案直接填写在题中横线 上.13.5的相反数是 _______ .14. 如图8,矩形ABC 的顶点A, B 在数轴上，CD = 6, 点A 对应的数为1，则点B 所对应的数为 _______ .E CO 2.5 x (A ) O2.5 x(B )(C )O2.5 x(D )）16.已知x = 1是一元二次方程x 2mx n 0的一个根，则22a 0.15. _____________________________________________ 如图9,有五张点数分别为2, 3, 7, 8, 9的扑克牌， 从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 m 2 2mn n 2的值为 __________17. 把三张大小相同的正方形卡片A, B, C 叠放在一 个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用 阴影表示.若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S ; 若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S 2,则S ____ S 2（填 “〉” “V” 或“=”）.18. 南山中学高一年级举办数学竞赛，A B 、C D E 五位同学得了 前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况• A 说：B 第三名，C 第五名； B 说：E 第四名，D 第五名； C 说：A 第一名，E 第四名； D 说：C 第一名，B 第二名； E 说：A 第三名，D 第四名.老师说:每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为 ____ •三、解答题（本大题共7个小题，共90分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）（本小题满分8分）解方程:（2）（本小题满分8分）先化简再求值:宀)「，其中2a 2 4a 3a 2 4a 4 a 220. （本小题满分12分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等•比赛 结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）.依据统计数据绘制了如下尚 不完整的统计图表.分数 7分 8分9分 10分 人数118甲校成绩统计表 乙校成绩扇形统计图图 11-1(1) 在图11-1中，“7分”所在扇形的圆心角 (2) 请你将图11-2的统计图补充完整.(3) 经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分， 请写出甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪 个学校成绩较好.(4) 如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体 赛，为便管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手， 请你分析，应选哪所学校？ 21. (本小题满分12分)如图12,在直角坐标系中，矩形OAB 的顶点0与 坐标原点重合，顶点A C 分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为(4, 2).过点D (0, 3)和E (6, 0)的直 线分别与AB BC 交于点M N(1) 求直线DE 的解析式和点M 的坐标； (2) 若反比例函数y m (x >0)的图象经过点Mx求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N 是否在该函数的图象上;(3) 若反比例函数y m (x >0)的图象与△MN 有公共点，请直接写出m 的取值范围.x22. (本小题满分12 分)某仪器厂计划制造A B 两种型号的仪器共80套,该公司所筹资金不少于209(万元，但不超过2096万元,且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表：AB 成本(万兀/套) 25 28 售价(万兀/套)3034(1) 该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？ (2) 该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？(3) 根据市场调查，每套B 型仪器的售价不会改变，每套A 型仪器的售价将会提高a 万元(a >0),且 所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？乙校成绩条形统计图图 11-2y0 C x图1290 , AD = 6, BC = 8, AB 3 3，点 M 是23. (本小题满分12分)在图13-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点 O /1= Z 2 = 45°.(1) 如图13-1，若AO = 0B 请写出AO 与 BD 的数量关系和位置关系；(2) 将图13-1中的MN 绕点0顺时针旋转得到 图 13-2，其中 AO = 0B 求证：AC = BD AC 丄 BD(3) 将图13-2中的0B 拉长为A0的 k 倍得到 图13-3，求BD 的值.AC24. (本小题满分12分)如图14,在直角梯形ABC 中, AD/BCB BC 的中点•点P 从点M 出发沿MB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动，到达点B 后立刻以原速度沿BM 返回；点Q 从点M 出发以每秒1个单位长的速度在射线MC 上匀速运动.在点P, Q 的运动过程中，以PC 为边作等边三角形EPQ 使它与梯形ABC 在射线BC 的同侧•点P, Q 同时出发，当点P 返回到点M 时停止运动，点Q 也随之停止. 设点P, Q 运动的时间是t 秒(t >0). (1) 设PQ 的长为y ,在点P 从点M 向点B 运动的过程中， 写出y 与t 之间的函数关系式(不必写t 的取值范围).(2) 当BP = 1时，求△EPQf 梯形ABC 重叠部分的面积. (3) 随着时间t 的变化，线段AD 会有一部分被△ EP®盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最 大值能否持续一个时段？若能，直接写出t 的取值范围； 若不能，请说明理由. • •(备用图)图1425. (本小题满分14分)如图15,抛物线y ax2 bx c(a 0)经过x轴上的两点A^Q)、B(x2,0)和y轴上的点C(0, 3)，e P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b ,3a，AB 2-、3 .求：(1)抛物线的解析式；(2)D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P ?并说明理由；(3)设直线BD交e P于另一点E，求经过点E和e P的切线的解析式.图15由已知得a22a3，代入上式的原式22320.解：(1) 144; ................... 3分(2)如图1; ........... 6分2011 年数学参考答案、选择题题号123456789101112答案「D C B C A D B C A B B C二、填空题13.、5 14.5 15. 上16.1 17. = 18. C 、B A E、D.10三、解答题19. (1)解：X 1 2(x 1) , X 3 •经检验知，x 3是原方程的解. ............. 8分(2)解：原式[a 2乞^]电'a(a 2) (a 2)2 a 4(a 2)(a 2) a(a 1) a 22a(a 2) a 4a24 a2a a 2a(a 2)2 a 4a 4 a 2a(a 2)2a 41a(a 2)1a22a................. 6分(3) ...................................................................................... 甲校的平均分为8.3分，中位数为7分；.................................................... 8分由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好. ............ 9分乙校成绩条形统计图12分又•••点N 在BC 边上，B (4, 2), •••点N 的横坐标为4. (4) 因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得10分的有8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校.21•解：(1)设直线DE 的解析式为y kx b , •/点 D , E 的坐标为(0, 3)、(6, 0),3 b, 0 6k b.解得kb 3.y2X 3 .点M 在 ABi 上，B(4, 2),而四边形OAB 是矩形, •••点M 的纵坐标为2.1又•••点M 在直线y3上,21 •2 =2x 3 .• • x = 2.A M(2, 2). ...................... ........... 4分(2)V ym (x >0) 经过点M(2, 2),x• m 4.4 y x.................. 5分•••点N 的横坐标为4. 1•••点N 在直线y —x 3上，2 • y 1 .• N(4, 1). ........... 8 分4•••当 x 4 时，y == 1, x4•••点N 在函数y 的图象上. ............... 9分x(3) 4< m W 8. ......................... 12分 22.解：(1)设A 种型号的仪器造x 套,则B 种型号的仪器造(80-x)套， 由题意得：2090 25x28 80 x 2096解之得：48 x 50 ...................... 2分 所以x=48、49、50三种方案：即：A 型48套, B 型32套；A 型49套，B 型31 套；A 型50套, B 型30套。

成都七中2019学年上期2019级半期考试数学试卷(参考答案)考试时间：120分钟 总分：150分一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．）CDBA DACB BCAC二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中的横线上 13. {x|x<3，且x≠0} 14. [-1，1]15. （1，3） 16. ① ② ④三.解答题（17-21每小题12分，22题14分，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.解：（1）由0x 1x 1>-+，得01x 1x <-+，则1x 1<<-, ∴}1x 1|x {A <<-=. ……3分由0x 3≥-，得3x ≤，}3x |x {B ≤=. ……6分（2）}1x 1|x {B A <<-= ; ……9分又}1x ,1x |x {A C R ≥-≤=或，C R B={x|x>3},∴}3x |x {)B C ()A C (R R >= . ……12分18.解：（1）由04mx x 2=++有实根，得016m 2≥-=∆，则4m -≤或4m ≥； ……2分由0m 2x 2x 2=-+有实根，得0m 84≥+=∆，则21m -≥． ……4分 综上得4m -≤或21m -≥． ……6分 （2）由⎩⎨⎧>-=<-=-0m 23)1(g 0m 2)2(g ，得⎪⎩⎪⎨⎧<>23m 0m ，则23m 0<< . ……12分 19.解：当1x 0≤<时，x A P =，2x )x (f = ; ……2分 当2x 1≤<时，2)1x (1AP -+=，1)1x ()x (f 2+-= ; ……4分 当3x 2≤<时，2)x 3(1AP -+=，1)3x ()x (f 2+-=; ……6分 当4x 3≤<时，x 4A P -=，2)x 4()x (f -= . ……8分∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-∈+-∈+-∈=4)(3,x )4x (]3,2(x 1)3x (]2,1(x 1)1x (]1,0(x x y 2222. ……10分……12分 20.解：令x 2t =，则22)(2+-=at at t g （4t 41≤≤） 当0a =时，32)(≠=t g ，舍去a=0； ……4分 当0a ≠时，a t a t g -+-=2)1()(2；当a>0时，328)4()(max =+==a g t g ，∴81a =． ……7分 当a<0时，32)(max =-=a t g ，∴1a -=． ……10分 综上，81a =或1a -=． ……12分 21.解：（1）由x≠0，f(x)为奇函数，得0)x (f )x (f =+- ∴2c=0，即c=0，xb ax )x (f +=. 又f(x)的图象过A 、B ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+12b a 21b a ，解得⎩⎨⎧=-=2b 1a ． ∴x2x )x (f +-= （x≠0）． ……4分 x（2）证明：设任意x 1，x 2∈（0，+∞），且x 1<x 2． ∴2112221121x 2x 2)x x ()x 2x ()x 2x ()x (f )x (f -+-=+--+-=- 211212x x )x x (2)x x (-+-= 212112x x )2x x )(x x (+-=. 由x 1，x 2∈（0，+∞），得x 1x 2>0，x 1x 2+2>0． 由x 1<x 2，得0x x 12>-．∴0)x (f )x (f 21>-，即)x (f )x (f 21>． ∴函数x2x )x (f +-=在（0，+∞）上为减函数． ……8分 （3）由f(x)为奇函数，知f(x)在（0,∞-）也为减函数． 当]1,2[x --∈时，1)1(f )x (f min -=-= 当]2,1[x ∈时，1)2(f )x (f min -==综上，1)x (f min -=，从而1|1t |≤-∴2t 0≤≤． ……12分22.解：（1）由函数n mx x f +=)(的图像经过点A （1,2），B （-1,0）， 得2=+n m ，0-=+n m ，解得1==n m ，从而1)(+=x x f . ……2分 由函数x p x h 2)(=（p>0）与函数1)(+=x x f 的图像只有一个交点， 得 012-=+x p x ，0442=-=∆p ，又0>p ，从而1=p ，()h x ∴=x ≥0）． ……4分（2）2()11)F x x =-= （x ≥0）.1=，即1x =时，min ()0F x =． ……6分 )x (F 在[0,1]为减函数，在[1,)+∞为增函数． ……8分（3）原方程可化为x 4log x a log )1x (log 224---=-， 即()x 41x log x 4log )1x (log 21x a log 2222-⋅-=-+-=-. ⎪⎩⎪⎨⎧+--=<<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=->->->-⇔5)3x (a a x 4x 1)x 4)(1x (x a 0x a 0x 401x 2 . ……10分 令5)3x (y 2+--=，y=a.如图所示，①当4a 1≤<时，原方程有一解a 53x --=； ②当5a 4<<时，原方程有两解a 53x 1--=，a 53x 2-+=； ③当a=5时，原方程有一解x=3； ④当1a ≤或5a >时，原方程无解． ……14分。

成都七中实验学校自主招生考试试题数学试题注意事项：1•本试题分第I卷和第U卷两部分•第I卷为选择分；第U卷为非选择题14分;全卷共150分.考试时间为120分钟.2. 本试卷的选择题答案用2B 铅笔涂在机读卡上，非选择题在卷山作答3. 考生务必将自己的姓名及考号写在密封线以内指定位置4. 非选择题必须在指定的区域内作答，不能超出指定区域或在非指定区域作答，否则答案无效卷I （选择题，共36 分）一•选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 计算3X（ _2）的结果是（）A. 5B. -5C. 62. 如图1，在厶ABC中，D是BC延长线上一点, Z B = 40 °/ACD = 120 ° 则/A 等于（）A. 60°B. 70°C. 80°D. 90°3•下列计算中，正确的是（）A. 20=0B. (a3)2二a6C. .9=3 24. 如图2，在口ABCD 中，AC 平分Z DAB，AB = 3，则口ABCD的周长为（）A. 6B. 9C. 12D. 155. 把不等式-2x< 4的解集表示在数轴上，正确的是（）-2 0A右 -- 1---- *-2 0C6. 如图3，在5X5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点,那么这条圆弧所在圆的圆心是（） A .点P B .点M C .点R D .点Q7•若 x 2 +2x + Jy —3 = 0，则 xy 的值为（）A . 6或0B . -6或0C . 5或0 D. -8或0&已知 0 ：： a ：：： b,x = a b - . b, y =A. x y B . x = y C . x y D .与a 、b 的取值有关12•将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、7-1.在图7-2中，将骰子向右翻滚90°然后在桌面上按逆时针方向旋转90°则完成一次变换.若 骰子的初始位置为图7-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点-b - b - a,则x, y 的大小关系是（为 x , △ APE10.如图5,两个正六边形的边长均为1,其中一个正六边形一边恰在另一个正六边形的对角线上， 分）外轮廓线的周长是（） A . 7C . 9 则这个图形（阴影部B . 8 D . 1011.如图6,已知二次函数y =ax o bx c 的图像如图所示，则下列6个代数式ab,ac,a b c, a - b c,2a b,2a -b 中其值为正的式子个数为（）A. 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个 5、3和4）放置于水平桌面上，如图9•如图4,已知边长为1在正方形ABCD 边（2）（本小题满分8分）先化简再求值: 20. （本小题满分12分）甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等•比 赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）.依据统计数据绘制了如下 尚不完整的统计图表.甲校成绩统计表•填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分•将答案直接填写在题中横线 上.13. ____________________ _ . 5的相反数是 •14. 如图8,矩形ABCD 的顶点A , B 在数轴上，CD = 6,点A 对应的数为_1，则点B 所对应的数为 _______ .15. 如图9,有五张点数分别为2, 3，7，8, 9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为 _________*<宅9*16. 已知x = 1是一元二次方程x 2 mx n = 0的一个根，则m 2 ■ 2mn ■ n 2 的值为 ______ .17. 把三张大小相同的正方形卡片A , B , C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用 阴影表示.若按图10-1摆放时，阴影部分的面积为S 1； 若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为生，则S 1 _____________________________________ S 2（填 “〉” “V” 或“=”）.18. 南山中学高一年级举办数学竞赛，A B C D E 五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况•A 说：B 第三名，C 第五名；B 说：E 第四名，D 第五名；C 说：A 第一名，E 第四名；D 说：C 第一名，B 第二名；E 说：A 第三名，D 第四名.老师说:每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为 ____ .三、解答题（本大题共7个小题，共90分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19. （1）（本小题满分8分）解方程: 1 x -1 a -2a 2 2a，其中2a 2 4a -3~D ______________ C A 0 B图8 图9丿 图 10-2乙校成绩扇形统计图图 11-分数7分8分9分10分人数1108(1)在图11-1中，“7分”所在扇形的圆心角(2)请你将图11-2的统计图补充完整.(3)经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出乙校成绩条形统计图甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的角度分析哪个学校成绩较好.(4 )如果该教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛，为便管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？21. (本小题满分12分)如图12,在直角坐标系中，矩形OABC的顶点0与坐标原点重合，顶点A, C分别在坐标轴上，顶点B 的坐标为(4, 2).过点D (0, 3)和E (6, 0)的直线分别与AB, BC交于点M, N.(1) 求直线DE的解析式和点M的坐标；(2) 若反比例函数y=m(x>0)的图象经过点M,x求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上;(3) 若反比例函数y =m(x>0)的图象与有公共点，请直憐出m的取值范围.x22. (本小题满分12 分)某仪器厂计划制造A B两种型号的仪器共80套,该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元,且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造成本和售价如下表：A B成本(万元/套) 2528售价(万元/套) 3034(1)该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？(2)该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？(3)根据市场调查，每套B型仪器的售价不会改变，每套A型仪器的售价将会提高a万元(a>0),且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造才能获得最大利润？23. (本小题满分12分)在图13-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交于点0,/1 = Z2 = 45 °(1)如图13-1,若AO =0B,请写出A0与BD 的数量关系和位置关系；(2)将图13-1中的MN绕点0顺时针旋转得到图13-2，其中AO = 0B .求证：AC = BD, AC 丄BD;(3)将图13-2中的0B拉长为A0的k倍得到图13-3，求BD的值.AC24. (本小题满分12分)如图14,在直角梯形ABCD 中，AD //BC, . B =90 , AD = 6, BC = 8, AB=3、, 3，点M 是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动.在点P, Q 的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧.点P, Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止. 设点P, Q运动的时间是t秒(t>0).(1)设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式(不必写t的取值范围).(2)当BP = 1时，求△ EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积.(3)随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△ EPQ覆盖,被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最大值能否持续一个时段？若能，直接写出t的取值范围；若不M(备用图)25. (本小题满分14分)如图15，抛物线y二ax2• bx • C a = 0)经过x轴上的两点人(为,0)、B(x2,0)和y轴上的点C(0,—扌),L P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b = , 3a , AB = 2、、3 .求：(1)抛物线的解析式；(2)D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，问直线BD是否经过圆心P ? 并说明理由；(3)设直线BD交L P于另一点E ,求经过点E和L P的切线的解析式.图152011 年数学参考答案题号123456789101112答案「D C B C A D B C A B B C13.、5 14.5 15. —16.1 17. = 18. C B A E D.10三、解答题19. (1)解：x 1 =2(x -1) , X =3 •经检验知，x =3是原方程的解. ........... 8分⑵解：原式=［「2土丄］电工a(a+2) (a+2)2a—4(a「2)(a 2)「a(a -1) a 22a(a 2) a -42 2a-4「a a a 2= ------------------------------- X -----------a(a 2)2 a -4a -4 a 2= ---- -------------- X -------------a(a 2)2 a - 41a(a 2)1a2 2a.....................6分2 3 2由已知得a22a ，代入上式的原式2 3乙校成绩条形统计图20. ............................................. 解：(1) 144; 3分(2)如图1 ; .......... 6分(3)....................................................................................... 甲校的平均分为8.3分，中位数为7分； ................................................... 8分由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好.............. 9分(4)因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得10分的有8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校.21. 解：(1)设直线DE的解析式为y二kx b ,•••点 D , E 的坐标为(0, 3)、(6, 0),...3 旳0=6k b.L _ 1 1解得J __2，二y=_—x+3 . ..................................... 2 分小二2点M在AB边上，B (4, 2),而四边形OABC是矩形,点M的纵坐标为2.又•/点M在直线y =：-1一x 3 上，2• 2 =:-2x 3 . • x2=2. • M (2, 2)(2)m /c、经过点M (2, 2),• m.. 4=4 ・• • yx................. 5分又•/点N在BC边上, B (4, 2),•••点N的横坐标为4.1•••点N在直线y =-1x - 3上，2y =1 N (4, 1). ............ 8分4•.•当x =4 时，y = = 1,x4•••点N在函数y 的图象上. ............ 9分x(3) 4< m W8. ....................... 12分22. 解：(1)设A种型号的仪器造x套,则B种型号的仪器造(80-x)套,由题意得：2090 乞25x 28 80 - x < 2096解之得：48乞x空50 ............... 2分所以x=48、49、50三种方案：即：A型48套, B型32套；A型49套，B型31 套；A型50套, B型30套。