高等数学教学有限与无限过程的划分

《高等数学》分层次教学大纲一．课程概况1．开课教研室：理工学院数学教研室3．适用专业：移动通信专业、应用电子技术专业、计算机应用技术专业5．总学时：154学时（移动通信专业、应用电子技术专业）220学时（计算机应用技术专业）6．修课方式：必修7．考核方式：考试8．使用教材：计算机应用技术专业：《计算机数学基础》教育部高职高专规划教材刘树利、孙云龙、王家玉编高等教育出版社，2003移动通信专业、应用电子技术专业：《高等数学》教育部高职高专规划教材盛祥耀主编高等教育出版社，2003二．课程的性质、任务和目的《高等数学》在高等职业教学规划中是一门应用广泛的重要基础理论课。

本大纲本着高职院校的学以致用、必需、够用为度的原则而编写。

通过这门课的学习，使学生获得比较系统的微积分、线性代数、常微分方程等方面的知识，为今后学习后续课程和进一步扩大知识面奠定必要的坚实的数学基础，培养学生良好的思维习惯。

在教授此课的同时，要通过教学环节的实施，逐步培养学生抽象概括的能力、逻辑思维推理能力、空间想象能力，特别是综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

上述知识模块的教学顺序按序号中所标次序进行，*号部分为选学内容，计算机应用技术专业选学十三-----十八模块，移动通信专业、应用电子技术专业选学十二模块，数学软件的教学可结合高等数学的教学内容同步进行，也可以在课程最后进行。

四．课程基本要求 A 层：（一） 函数 极限 连续 1．教学要求理解函数的概念，了解函数的有界性，单调性，周期性与奇偶性，理解反函数与复合函数的概念，熟练掌握基本初等函数的性质与图形，能建立简单实际问题中的函数关系。

了解极限δεε--，N 的定义，在整个学习过程中，逐步加深对极限思想的理解，掌握极限的四则运算法则，了解夹逼准则和单调有限准则，会用两个重要极限求极限，了解无穷小，无穷大的概念，掌握无穷小的比较，会用等价无穷小的代换求极限，理解在一点连续的概念，会判断间断点的类型，了解初等函数的连续性，知道在闭区间上连续函数的性质。

浅谈高等数学教学创新思维作者：陈争来源：《科技创新导报》2011年第06期摘要:本文就辨证逻辑思维是微积分的思维方法的主要力量,高等数学教学理应重视辨证逻辑思维,自觉运用唯物辨证法作指导,才能让学生深刻领会微积分思想方法的精髓和实质。

关键词:微积分辩证法逻辑思维中图分类号:O13-4 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)02(c)-0152-011 微积分学习中的问题就微积分是关于“无限数学”的科学,“无限”概念本属哲学范畴,处理“无限”问题,必须讲有限与无限的辩证关系,因此,微积分是数学思维与哲学辩证思维交互作用的产物,它以严格的形式逻辑和精确的数学语言表达了宇宙运动变化规律。

由于微积分是形式逻辑体系,其辩证逻辑蕴含于形式逻辑体系之中,这就给微积分思想方法的教与学增加了难度,微积分解决问题时常常使用常量与变量互易方法,但运用形式逻辑思维也同样无法理解的。

总之,他们明显觉得学习高等数学与学习初等数学的思维方法有别,但知其然而不知其所以然。

那么,作为教师,我们如何让学生领悟其中的辩证思想,充分发挥微积分学在科学世界观与方法论形成中的作用。

笔者认为,微积分思想方法的教学,关键是要让学生掌握辩证逻辑思维这把钥匙。

2 形式逻辑思维与辩证逻辑思维的区别与连系数学是在逻辑范围内活动的,数学逻辑包括形式逻辑与辩证逻辑。

形式逻辑它以思维形式结构及其规律性为其主要研究对象。

辩证逻辑思维规律与形式逻辑思维规律的关系是“前者是高级的思维规律,后者是低级的思维规律。

”辩证逻辑思维规律是以形式逻辑思维规律为基础的,辩证逻辑思维规律是动态下的逻辑思维规律,而动态是由一个个静态组成的,由静态所表现和度量的,因而辩证逻辑思维规律在相对静态下时,就变成了静态下的形式逻辑思维规律了。

形式逻辑思维规律是辩证逻辑从动态到静态后的有机的一环。

微积分学科的建立和发展,虽离不开形式逻辑这个使数学保持自身健康的卫生规则,然而微积分学一些重大的、原创性的思想方法的获得是源于形式逻辑思维以外的辩证逻辑思维。

课程学习指南一百多年前，恩格斯曾经说“数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的科学”，而现代数学的发展使得其研究对象已经大大超出了“数”与“形”的范畴。

一般说来，数学的研究对象可以包括现实中的任何形式和关系。

数学是自然科学的基本语言，是应用模式去探索现实世界物质运动机理的主要手段，更是现代技术与工程必不可少的工具。

历史上物理学、天文学、力学的许多重大发现，例如牛顿力学、爱因斯坦相对论、电磁波和光的本质的发现、海王星和冥王星的发现、量子力学的诞生等等，无不与数学的进步息息相关。

20世纪最伟大的技术成就电子计算机的发明和应用也都是以数学为基础的。

现代的许多“高科技”本质上就是数学技术，例如医学上的CT技术、指纹的存储和识别技术、飞行器的模拟设计、石油地震勘探的数据处理分析、信息安全技术、保险精算、金融风险分析和预测等等。

当今的数学不再只是通过其他学科间接地而是直接地、广泛地应用于各技术领域中。

数学来源于实践，又由本身的矛盾运动而不断发展，今天的数学作为一门科学，高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的普遍性成为它的三大特征。

我们学习的《高等数学》课程，其主要内容是微积分。

从十七世纪60年代牛顿、莱布尼茨创立微积分起，逐步形成了一门逻辑严密、系统完整的学科，不仅成为其他许多数学分支的重要基础，而且在自然科学、工程技术、生命科学、社会科学、经济管理等众多领域获得了十分广泛的应用，成为处理有关连续量问题的强有力的数学工具。

在高等学校里，《高等数学》是大学生熟练掌握数学工具的主要平台，是培养大学生理性思维的重要载体，是学生获得数学素养的一条重要途径。

高等数学已成为大学理工学科、经济管理学科各专业以及其他许多专业最重要的数学基础课。

《高等数学》课程在大学一年级分上下两个学期讲授，包括函数与极限、函数的导数与微分、一元函数微分学的应用、定积分与不定积分、定积分的应用、向量代数与空间解析几何、多元函数的微分学及其应用、多元函数的积分学（重积分、曲线积分、曲面积分）及其应用以及无穷级数和常微分方程等教学内容。

《高等数学》课程的思政元素挖掘与融入发布时间：2021-09-28T01:42:00.137Z 来源：《教育学文摘》2021年第15期作者：王涛[导读] 本文从下面6个方面归纳总结了《高等数学》课程中的思政元素。

王涛长沙民政职业技术学院通识教育中心湖南长沙410004摘要:本文从下面6个方面归纳总结了《高等数学》课程中的思政元素；1，从课程内容的起源和发展融入思政教育；2，在教学内容中自然的融入思政教育；3，结合课程教学的特点融入思政教育；4，在体会和欣赏数学美中融入思政教育；5,通过介绍数学史融入思政教育6，通过培养学生的“数学精神”融入思政教育；并且指出这个融入过程应该是自然地，恰到好处地，画龙点睛地。

好的思政教育的融入可以使这堂课更有吸引力，可以使得这堂课达到更好的效果。

关键词:思政；融入一、问题的提出“课程思政”概念是由上海教育领域于2016年率先提出。

它不是一门课程，也不是一项活动，而是一种教育理念，是旨在将思想政治教育融入课程教学和教学改革的各个环节，实现与思政课程的同向同行，形成协同效应，达到润物无声，立德树人的目标。

在学校思想政治理论课教师座谈会上，总书记进一步指出：“要加大对学生认知规律和接受特点的研究，要坚持灌输性与启发性相统一，要坚持显性教育与隐形教育相统一，挖掘其他课程和教学方式中蕴含的思想政治教育资源，实现全员、全程、全方位育人。

”有人说；在《高等数学》课程中挖掘思政元素有点牵强附会，不自然，效果不好。

但我认为《高等数学》课程中有很多思政元素可以挖掘，并且可以很自然地融入到教学中，可以收到意想不到的好效果。

二、在《高等数学》课程教学中有效融入“思政元素”1，从课程内容的起源和发展融入思政教育（1）在讲解极限概念这一内容时，当讲到割圆术；割之弥细,所失弥少,割之又割,以至不可割,则与圆周合体而无所失矣。

我国古代刘徽以极限思想为指导提出用割圆术求圆周率比西方早1000多年。

高等数学各章知识结构一．总结构数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学.微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一.恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）.微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分.冯. 诺伊曼注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”.微积分中重要的思想和方法：1．“极限”方法，它是贯穿整个《微积分》始终。

导数是一种特殊的函数极限；定积分是一种特殊和式的极限；级数归结为数列的极限；广义积分定义为常义积分的极限；各种重积分、曲线积分、曲面积分都分别是某种和式的极限。

所以，极限理论是整个《微积分》的基础。

尽管上述各种概念都是某种形式的极限，但是它们都有各自独特和十分丰富深刻的内容，这是《微积分》最有魅力的地方之一。

2．“逼近”思想，它在《微积分》处处体现。

在近似计算中，用容易求的割线代替切线，用若干个小矩形面积之和代替所求曲边梯形面积；用折线段的长代替所求曲线的长；用多项式代替连续函数等。

这种逼近思想在理论和实际中大量运用。

3．“求极限、求导数和求积分”是最基本的方法。

数学中的有限和无限 庄清清摘 要 本文主要总结了数学中有限与无限的关系，通过实例讨论了无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，并讨论了它们的质的区别以及相互关系，为更好的理解有限和无限的关系提供了一些参考.关键词 有限，无限关系1 引言“数学是讲述无限的科学.”这句话是代表20世纪数学界辉煌发展的著名数学家、美国普林斯顿高级研究所魏尔教授的至理名言.怎么听起来，这话让人感觉有些奇特而难以捉摸，但事实上数学中的无限的确蕴含着许多令人不可思议奥秘的东西.然而，以前人们都认为数学是有限的，直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后，人们才清醒地意识到数学是从有限向无限发展的.这一个发现，结束了初等数学年代而进入了变量数学年代.美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位，甚至可以说，没有无限的延伸，就没有现代的科学数学.在我们的日常生活当中， 我们一般都习惯了数学领域的有限性，因为我们所接触的东西大多数都可以摁摁手指或者脚趾就可以数得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盘子等等，于是无限的领域就像个无底洞，让我们觉得高深莫测了，但是当我们仔细地想一想，就会清楚地发现数学中，无限其实是由有限构成，而有限又包含着无限，两者相互交叉，相互联系，就例如我们生活中最常见的一条绳子，你就可以将它剪成无数的小段一样，另外我们大家所熟悉的自然数序列 “1，2，3，4，5，6，7，8，9，Λ,n ,Λ”，当你一个个数字的去数，你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列，这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域，然而，它又恰恰是由一个个有限的单位组成的.无限是如此的神秘， “自古以来，没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神.同时，也没有别的概念像它这样迫切需要澄清ΛΛ” []1.它引发了三次数学危机：第一次危机发生在公元前580～568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾.这三次数学危机都使人们深刻地认识到无限的重要性.下面我们观察一下几个式子π=++++=+++=+++=+++=+++ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ001.004.01.03;91101101101;71818181;41515151;31003.003.03.0323232我们可以得到无限个数的和可以是个有限数，另外我们还学过微积分，由此我们都知道任何积分都是一个趋于无限过程的结果，各种不同的积分有不同的趋于无限过程与结果.数学中的无限只有在与有限的辩证统一中去考虑，才能被理解，才能被运用，而在数学上，有限与无限的转化条件是：运用分析运算，微积分，极限等等手段来进行的，数学中的有限与无限是那么的复杂，那么下面我们就来探讨数学中有限与无限的区别与联系.2.无限是有限的基础给出两条铅垂线，只要它们没有交点，我们就认为它们是平行的，直线在数学中是没有明确的定义的，我们只知道，直线是可以无限的向两端延伸的，延伸的次数没有限制，延伸的长度也是没有限制的，那么在地面上当它无限延伸的时候，两条直线必定会相交于一点，那就是地心，那么我们说的平行线也就是错误的说法了？未必，只要我们说的那两条直线是有限的就行了，所以那是我们在无限的基础上说的有限.再如，投掷硬币的概率，那是我们在熟悉不过的事情了，我们习惯说投掷一枚硬币得到正反面的概率都是12，假如我投掷硬币十次得到3次正面, 7次反面呢, 那我说投掷硬币得到正面的概率是310，反面的概率是710，你也不能说我的结果是错误的吧.实际上，我们平常说的概率12，那是在做了无数次的实验后得到的近似值，都是以无限为基础而得到的结果.如果没有了无限这个基础，那么我们所得到的概率也是不客观的.有限的运算建立在无限的基础上，无限就像空气一样，虽然你看不到它的存在，但是你却不能忽视它的存在，因为它时时刻刻都在我们身边.另外，10.99999=ΛΛ 正确吗？0n 1lim n =∞→ ，1n11lim n =-∞→ 又正确吗？显然，按照现代的数学知识理论，它是正确的，但是它却又必须要建立在无限的基础上才能被认可.3. 无限是由有限构成的有这样的一个故事，它是出自杰出的数学家大卫希尔伯特之口.一天夜里已经很晚了，一个人走进一家旅店想要住店.店主回答说：“对不起，我们没有任何空房间，但是让我看一下，或许我们能为你找到一个房间”.然后店主离开他的桌子，他不情愿地叫醒他的每位房客，并且请他们换一房间：一号房间的房客搬到二号房间，二号房间的房客搬到三号房间，三号房间的房客搬到四号房间，ΛΛ,如此依此类推下去，直到每个房客都搬到下一个房间为止.这时，另这个房客吃惊的是一号房间竟然被空出来了.如是他还高兴的搬了进去，然后安顿下来过了一夜.但是，有一个问题让他百思不得其解：为什么让每个房客搬到下一个房间就会把第一个房间空出来了呢？因为这所旅店就是希尔伯特的旅店，它是城里一个据认为有无数房间的旅馆. []6从这个故事中我们可以知道无限是由有限构成的.每一个房间都是有限的，每个房间只可以住一个旅客，就算来了无数个的旅客也是可以入住这所旅店的.如世上的很多东西都是无限的，但组成它的部分都是有限的.我们都知道在数学中自然数是无限的，但组成自然数的每个数都是有限的，例如1，2，3，4，5，6，7，8，，9，10……，这些数都是组成自然数的成分，但是我们众所周知的是只有一个1，只有一个2，只有一个3……也可以说无限是由有限数组成的，[]3再如我们在数学分析中看到的调和级数∑n 1是发散的，但它的任一部分和都是有限的，只是当∞→n 时，部分和才超过任何一个指定的数，其他的发散级数通常也是这样.数学分析中各种收敛性的判断我们都是通过判断部分和来判断整体的收敛或发散.4 有限由无限组成公元前5世纪古希腊时代，在意大利半岛南部的埃利亚有一位叫芝诺的哲学家就留下一个很有意思的“二分说”论——为了从自己现处位置A，走向门的位置B，必须通过AB的中点.从A到AB的中点，其中间还有中点……[]9如此考虑下去，从A到B得有无穷个这类中点.由此可见，有限的AB段即使是很短很短的一段线段也是由无数个类似的中点组成的.最近在书上看到这样的一句话，我觉得引用来这里是一个很好的例子说明有限是由无限组成“一尺之锤，日取其半，万世不竭”[]2.说的就是一尺之长的短棍，今天取其中的一半，明天取其中的一半的一半，后天再取其中的一半的一半的一半，……依次类推下去，你就会发现这仅仅一尺之长的短棍竟然取不尽. 一尺之长的短棍本是一个有限的物体，但它却可以无限地分割下去.这就给我们讲明了其实有限和无限是统一，有限之中有无限，有限是由无限组成的.用数学的语言去表示，那就更加的一目了然.()+∞∈=+++++++=+++++++=+++=+n,1n1n1n1n1n1n1n1n11818181818181818114141414112121ΛΛΛΛΛΛ再如著名的康托（Cantor）集的构造[]6即我们所谓的三分点集构造：一段长度为一米的直线段，做以下处理第一次我们挖去一个，其长度31，而余下2个，长度31；第二次我们挖去两个，其长度91，而余下22个，长度21193=；ΛΛΛΛ第n次我们挖去n12-个，其长度n31，而余下n2个，长度n31；显然，如此继续下去，直到无穷次后，由于在不断地分割舍弃的过程中，所形成的线段数目越来越多，而长度相对越来越小，在极限的情况下，得到一个离散的点集，而这个点集就是一个无限集.显然，这构造理论再次说明了有限是由无限组成的.再如，我们所有人都认识的两个简单的自然数0和1，然而在它们之间，我们却可以找得到无数个类似0.5，0.05，，0.1，0.01ΛΛ这样的数字.另外，随意画出一个正三角形或者正方形或者圆，在其里面，我们可以做出无数个与之相似的正三角形或者正方形或者同心圆，这就是人们常说的无限封闭在有限里面（如下图）[]1.人们对数学中有限与无限的普遍认识都是，无限怎么都比有限广，比有限大，而无限由有限组成，但是站在不同的角度上面去看待这个问题，我们就会发现有限其实也是由无限组成，这一观点首先是由数学家们提出来的.我们说无限包含有限是无限存在于有限当中.恩格斯说:“无限纯粹是有限组成的，这一近视矛盾，可事情就是这样.”[]7无限性是一个摸不着的、虚拟的东西，无限要通过有限展示出来，宇宙中的万物都是无数具体有限的事物构成.其次无限就是内在于有限当中的元素 ，辩证地思考无限，就不能仅仅停留在“无限的有限就构成无限”这一点上，我们必须进一步充分地认识它.从社会哲学的角度上看，任何事物本身就是一个矛盾体，所以任何事物都包含着突破自己.由此可见，离开有限，无限将不再存在.有限中包含着无限是说任何有限的东西都可以无限地分割，从原子向粒子的无限分割,事物会由于自身的矛盾推动而处于不安分的状态当中，于是不停地向比自己更小的事物转变.有限中存在着无限，在0到1的单位长度上存在着无数个有理数点，也存在着无数个无理数点.在整除的关系中约数是有限的，而倍数的个数是无限的，这就是我们说的有限由无限组成.5.无限是有限的延伸说到无限是有限的延伸，那么首先我们要说的就是大家都熟识的数学归纳法了.数学归纳法是高等数学中一种有关于证明k n =的方法.数学归纳法在中学以及大学中应用得都比较广泛，它是通过有限的步骤推出无限的结果.在数学归纳法中我们一般假定当1n =和k n =时命题成立，然后推导出当1k n +=时命题也成立时，该等式命题就成立，否则不成立，下面我们来举个例子说明一下：用[]4数学归纳法证明在自然数的序列中，()2n n 1n 54321⨯+=++++++ΛΛ.ΛΛΛΛ287654321216543211554321104321632132111=++++++=+++++=++++=+++=++=+=在这里我们看到对于上面的每个等式都有总和∑=（首项+末项）⨯项数÷2，但这只是我们猜测的，于是用数学归纳法证明如下：当1n =时，左边=1，右边=1，左边=右边，等式成立； 当2n =时，左边=321=+，右边=()32221=⨯+，左边=右边，等式成立当k n =时，假设成立，即可得()2k k 1k 54321⨯+=++++++Λ， 那么当1k n +=时，有：左边=()()()()()()()()()[]21k 1k 12k 2k 121k 2k k 11k 2k k 11k k 54321++⨯+=+⨯+=+⨯+⨯+=++⨯+=++++++++Λ右边=()()[]211k k 1++⨯+，左边=右边，即当1k n +=时，等式亦成立.所以可以证得 ()2n n 1n 54321⨯+=++++++ΛΛ对于任何的自然数都成立，通过数学归纳法从而证明了这一个普遍的定理.假如我们无法从有限推到无限的话，那么就算你有超能力，你也没办法证明这个普遍定理，就像你在下象棋的时候，就算你的棋艺很好，你也只是可以推出对手有限步战略，也只能为自己的有限步范围内做好应对准备，再如天气预报一样，天气方面的专家们也只能每天为你更新一下天气情况，今天是不会知道明年今天的天气情况的，彭加勒说：“在这样的情况下我们不能凭借单一的直接直觉洞察算术的普遍真理,为了获得最普遍的定理,我们不得不借助于递归推理,因为这是能使我们从有穷通向无穷的工具” []8.看到上述的数学归纳法，或许直到现在都还会有很多人误以为是“经验归纳法”，但数学归纳法和经验归纳法却有着本质的区别， 即使从名义上看它们都是归纳法的一种.经验归纳法是根据事物有限步伐内的发展情况直接按照人的主观思维推导出一般的规律，无论怎么样，这个规律都是没有被严格数学思维证明成立的，而数学归纳法是一个演绎推理的过程，它是通过用数学的方法来严格证明所得的普遍的定理，因而它能被我们所有人接受. 6.有限与无限有着质的区别有限与无限是对立统一的，它们有着质的区别，但在一定条件下又可以互相化，只有用辩证法才能准确理解和认识有限与无限问题的区别.[]7恩格斯说：“数学只要引入无限大和无限小，它就会引入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的质的对立.”任何一个有限集里面都有这最大值与最小值，但是在无限集中却找不到，像()+∞∞-,中就不存在所谓的最大值和最小值.空间中两条铅垂线，当我们考虑的长度比较短时，那么可以认为它们是平行的，但从无限空间领域来考虑这两条铅垂线，它们却是相交于地心这一点的.在有限的范围内我们还看一下数学中常用的结合律显然成立，例如：767117151513131171515131311=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-但是在无限多项的求和定律中就不能运用这些求和定律了，例如：()()()1747453533232174535332321n ,1n 21-n 21751531311=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞∈+++⨯+⨯+⨯ΛΛΛΛΛΛ 在上面式子当中，第三步其实是错误的，是不允许这样做的.事实上,正确的算式应该如下：()()()()()()()()21n ,n121n ,12n n n ,12n 1n 1n ,12n 1n 1-2n n 1-2n n 7474535332321n ,12n 1n 1-2n n 74535332321n ,1n 21-n 21751531311=∞∈+=∞∈+=∞∈++-=∞∈++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞∈+++⨯+⨯+⨯ΛΛΛΛΛΛ 另外，再举一个例子()()()()()()()()21s 12s s-1s s 11111-1s 31s 0-1s 011111-1s 200001-11-11-1s 111111111s ===-+-+-==-+-+-==+++=+++=+-+-+-+-=所以那么，，所以上式中的因为右端括号内的值为为所以答案，故上式由上可知右端括号内为的种种答案ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ从上面我们可以看得出一个式子既可以得到三个答案，不过只可惜这三个答案都是错误的，其产生的原因正是计算无限领域时，不能像计算有限数字那样，随意运用结合律和分配律，由里往外一层层脱掉括号来得出答案s.在有限的集合中，整体大于部分是天经地义的，不容置疑的，但是在无限集合中就成了谬论，因为在无限集合当中，整体跟部分是可以相等，可以一一对应的.对于两个有限集合，如果我们不利用计算集合中元素个数的方法，那么我们怎样知道两个集合哪个包含哪个呢？[]5有人举了一个十分通俗易懂的例子：假如房间中有若干凳子，相当于元素，让人们去坐凳子，每个人只可以坐一张凳子，相等的人数，假如有人坐不到凳子那么这个集合中的元素比人少，相反假如大家都找到凳子,那么凳子数和人数一样多.这种方法推广到无限集中呢？正偶数集是正态数集的真子集，两个子集之间可以找到这样的一一的对应关系：2n n ,,63,42,21↔↔↔↔ΛΛ.任意两个集合只要能建立一一对应关系，就认为它们的数目一样多.后来康托提出了一个新的概念来表示无穷集合的大小，这就是我们在初等数学研究中学习的“基数”，在有限集中基数等于元素的个数，在无限集中，如果能建立一一对应的关系那么它们的基数就相等.我们都知道有限个连续函数之和还是连续函数，但是这个有限和的性质对于无限级数是不成立的.在我们学习过的知识里面我们还能举出无限个例子来说明有限和无限之间有着质的区别，在这里就不多说了.7.有限与无限之间相互转化7.1 无限转化为有限在数学中我们一般通过有限项之和的极限来定义无限项之和，通过有限维空间来研究无限维空间，这就是由无限转化为有限.例如：要证2n n n 28642+=+++++ΛΛ对于一切自然数都成立的话，那么要我们一一验证是不可能的，我们毫不犹豫地就要用到数学归纳法，在前面我们已经说过数学归纳法，现在就不再举例子说明.数学归纳法运用的原来是把无限步的推理过程转化为有限步，从而得到结果.在数学分析中我们计算函数的极限也是同样的道理，例如：计算数项级数()ΛΛΛΛ++++⨯+⨯+⨯1n n 1431321211 解：级数的第n 个部分和()1n 111n 1n 131212111n n 1431321211n +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++⨯+⨯+⨯=ΛΛΛΛs 由于11n 11lim lim n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→∞→s .还有在无限项的等比数列中求和，我们可以首先算出[]3有限项之和qq a aq aq a s --=+++=11.n1-n n ΛΛ 当||1q <时，qa q q a s -=--=∞→∞→111.lim lim n n n n 7.2 有限转化为无限在初等数学研究中我们习惯于把有限的任一初等函数转化为无穷级数.例如：[]3()()ΛΛΛΛΛΛΛΛ++++++=+-+++-=-+n 4321n 21n 5321212121211!1-n 21!5!3sin x x x x x()()+∞∞-∈++++++=+-+-+-+=,,n!1!31!21!11110242125671285161812112n 32x x x x x e x ΛΛΛΛΛΛ()()()()Λ++++=-+++=+++=++-++=-++=++=++-+=-+=2121211122121112121112121221112211121112121211212Λ+++=⨯++=⨯++=⨯+=⨯+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯=5521212134212121312121213421213121213112134213233333在《自然辩证法》恩格斯指出：“数学把某个确定的数，例如二项式，作无穷级数，即化作某种不定的东西，从人的常识来说，这是荒谬的举动，但是，如果没有无穷级数和二项式定理，那我们能走多远呢？”[]7数学中的有限与无限就像是一对连体的婴儿，密切相连着，对立却又统一，谁都离不开谁. 无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，它们之间矛盾地存在着，这就需要我们用辩证的思维去理解它，去认识它，它所能给我们带来的就是不断地去深思和探究.参考文献：[1]郭华.数学中的有限与无限[N].安阳工程学院学报，2009（1）.[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001，23-24.[3]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社，2001，2-54.[4]葛军，涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏：江苏教育出版社，2009，165-168.[5]张永康.试论数学中的有限与无限[N].工程兵工程学院学报，1989（1）.[6]王仲英，郝祥辉.数学中的有限和无限[J].高等数学研究，2007，10（1）：77-82.[7]刘大椿.自然辩证法概论[M].北京：中国人民大学出版社，2008，100-250.[8]李浙生.论数学中的有限与无限[N].辽宁教育学院学报，1994（4）.[9]仲田纪夫[日]著.丁树深译.无穷的奥秘及其演变[M].北京：科学出版社，2001，32-54.Mathematics of finite and infiniteZhuang QingqingAbstract：This paper mainly summarizes the relationship between finite and infinite in mathematics, by an example to discuss the infinite is the basis of finite, infinite is posed of a finite, finite is posed of an infinite, unlimited extension is finite, and discusses the difference and relation of the matter, and provides some references for a better understanding of the finite and the infinite relationshipKeywords:finite, infinite。

数学中的有限和无限庄清清摘要本文主要总结了数学中有限与无限的关系，通过实例讨论了无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，并讨论了它们的质的区别以及相互关系，为更好的理解有限和无限的关系提供了一些参考.关键词有限，无限关系1 引言“数学是讲述无限的科学.”这句话是代表20世纪数学界辉煌发展的著名数学家、美国普林斯顿高级研究所魏尔教授的至理名言.怎么听起来，这话让人感觉有些奇特而难以捉摸，但事实上数学中的无限的确蕴含着许多令人不可思议奥秘的东西.然而，以前人们都认为数学是有限的，直到笛卡尔引入的坐标法以及微积分的问世之后，人们才清醒地意识到数学是从有限向无限发展的.这一个发现，结束了初等数学年代而进入了变量数学年代.美国数学史家贝尔说“没有一个一致的数学无限理论,就没有无理数理论，就没有与我们现在所有的即便稍许相似的、任何形式的数学分析,最后,没有分析,像现在存有的大部分数学——包括几何和大部分的应用数学——就不存在了”.由此可见,无限在现代科学数学发展领域中占据着十分重要的地位，甚至可以说，没有无限的延伸，就没有现代的科学数学.在我们的日常生活当中，我们一般都习惯了数学领域的有限性，因为我们所接触的东西大多数都可以摁摁手指或者脚趾就可以数得清楚了，有限的人，有限的杯子，有限的盘子等等，于是无限的领域就像个无底洞，让我们觉得高深莫测了，但是当我们仔细地想一想，就会清楚地发现数学中，无限其实是由有限构成，而有限又包含着无限，两者相互交叉，相互联系，就例如我们生活中最常见的一条绳子，你就可以将它剪成无数的小段一样，另外我们大家所熟悉的自然数序列“1，2，3，4，5，6，7，8，9，Λ,n,Λ”，当你一个个数字的去数，你就会发现自然数序列实际上是一个永远在增长着的没完没了的数列，这就是所谓简单而又让人费解的数学中的无限领域，然而，它又恰恰是由一个个有限的单位组成的.无限是如此的神秘，“自古以来，没有别的问题像无限这样深深地激动过人的情绪，没有别的想法像它这样富有成效地焕发过人的精神.同时，也没有别的概念像它Λ”[]1.它引发了三次数学危机：第一次危机发生在公元前580～这样迫切需要澄清Λ568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派，他们错误地认为，宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比.第二次数学危机发生在十七世纪.十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机.第三次数学危机发生在1902年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾.这三次数学危机都使人们深刻地认识到无限的重要性.下面我们观察一下几个式子π=++++=+++=+++=+++=+++ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ001.004.01.03;91101101101;71818181;41515151;31003.003.03.0323232 我们可以得到无限个数的和可以是个有限数，另外我们还学过微积分，由此我们都知道任何积分都是一个趋于无限过程的结果，各种不同的积分有不同的趋于无限过程与结果.数学中的无限只有在与有限的辩证统一中去考虑，才能被理解，才能被运用，而在数学上，有限与无限的转化条件是：运用分析运算，微积分，极限等等手段来进行的，数学中的有限与无限是那么的复杂，那么下面我们就来探讨数学中有限与无限的区别与联系.2.无限是有限的基础3. 无限是由有限构成的有这样的一个故事，它是出自杰出的数学家大卫希尔伯特之口.一天夜里已经很晚了，一个人走进一家旅店想要住店.店主回答说：“对不起，我们没有任何空房间，但是让我看一下，或许我们能为你找到一个房间”.然后店主离开他的桌子，他不情愿地叫醒他的每位房客，并且请他们换一房间：一号房间的房客搬到二号房间，二号房间的房客搬到三号房间，三号房间的房客搬到四号房间，ΛΛ,如此依此类推下去，直到每个房客都搬到下一个房间为止.这时，另这个房客吃惊的是一号房间竟然被空出来了.如是他还高兴的搬了进去，然后安顿下来过了一夜.但是，有一个问题让他百思不得其解：为什么让每个房客搬到下一个房间就会把第一个房间空出来了呢因为这所旅店就是希尔伯特的旅店，它是城里一个据认为有无数房间的旅馆. []64 有限由无限组成公元前5世纪古希腊时代，在意大利半岛南部的埃利亚有一位叫芝诺的哲学家就留下一个很有意思的“二分说”论——为了从自己现处位置A，走向门的位置B，必须通过AB的中点.从A到AB的中点，其中间还有中点……[]9如此考虑下去，从A到B得有无穷个这类中点.由此可见，有限的AB段即使是很短很短的一段线段也是由无数个类似的中点组成的.最近在书上看到这样的一句话，我觉得引用来这里是一个很好的例子说明有限是由无限组成“一尺之锤，日取其半，万世不竭”[]2.说的就是一尺之长的短棍，今天取其中的一半，明天取其中的一半的一半，后天再取其中的一半的一半的一半，……依次类推下去，你就会发现这仅仅一尺之长的短棍竟然取不尽. 一尺之长的短棍本是一个有限的物体，但它却可以无限地分割下去.这就给我们讲明了其实有限和无限是统一，有限之中有无限，有限是由无限组成的.用数学的语言去表示，那就更加的一目了然.再如著名的康托（Cantor）集的构造[]6即我们所谓的三分点集构造：第一次 我们挖去一个，其长度31，而余下2个，长度31； 第二次 我们挖去两个，其长度91，而余下22个，长度21193=； ΛΛΛΛ 第n 次 我们挖去n 12-个，其长度n 31，而余下n 2个，长度n 31； 显然，如此继续下去，直到无穷次后，由于在不断地分割舍弃的过程中，所形成的线这个点集就是一个无限集.显然，这构造理论再次说明了有限是由无限组成的.再如，我们所有人都认识的两个简单的自然数0和1，然而在它们之间，我们却可以找得到无数个类似，，，，ΛΛ这样的数字.另外，随意画出一个正三角形或者正方形或者圆，在其里面，我们可以做出无数个与之相似的正三角形或者正方形或者同心圆，这就是人们常说的无限封闭在有限里面（如下图）[]1.人们对数学中有限与无限的普遍认识都是，无限怎么都比有限广，比有限大，而无限由有限组成，但是站在不同的角度上面去看待这个问题，我们就会发现有限其实也是由无限组成，这一观点首先是由数学家们提出来的.我们说无限包含有限是无限存在于有限当中.恩格斯说:“无限纯粹是有限组成的，这一近视矛盾，可事情就是这样.”[]7无限性是一个摸不着的、虚拟的东西，无限要通过有限展示出来，宇宙中的万物都是无数具体有限的事物构成.其次无限就是内在于有限当中的元素 ，辩证地思考无限，就不能仅仅停留在“无限的有限就构成无限”这一点上，我们必须进一步充分地认识它.从社会哲学的角度上看，任何事物本身就是一个矛盾体，所以任何事物都包含着突破自己.由此可见，离开有限，无限将不再存在.有限中包含着无限是说任何有限的东西都可以无限地分割，从原子向粒子的无限分割,事物会由于自身的矛盾推动而处于不安分的状态当中，于是不停地向比自己更小的事物转变.有限中存在着无限，在0到1的单位长度上存在着无数个有理数点，也存在着无数个无理数点.在整除的关系中约数是有限的，而倍数的个数是无限的，这就是我们说的有限由无限组成.5.无限是有限的延伸说到无限是有限的延伸，那么首先我们要说的就是大家都熟识的数学归纳法了.数学归纳法是高等数学中一种有关于证明k n =的方法.数学归纳法在中学以及大学中应用得都比较广泛，它是通过有限的步骤推出无限的结果.在数学归纳法中我们一般假定当1n =和k n =时命题成立，然后推导出当1k n +=时命题也成立时，该等式命题就成立，否则不成立，下面我们来举个例子说明一下：用[]4数学归纳法证明在自然数的序ΛΛΛΛ287654321216543211554321104321632132111=++++++=+++++=++++=+++=++=+= 在这里我们看到对于上面的每个等式都有总和∑=（首项+末项）⨯项数÷2，但这只是()()()()()()()()()[]21k 1k 12k 2k 121k 2k k 11k 2k k 11k k 54321++⨯+=+⨯+=+⨯+⨯+=++⨯+=++++++++Λ今天的天气情况的，彭加勒说：“在这样的情况下我们不能凭借单一的直接直觉洞察算术的普遍真理,为了获得最普遍的定理,我们不得不借助于递归推理,因为这是能使我们从有穷通向无穷的工具” []8.看到上述的数学归纳法，或许直到现在都还会有很多人误以为是“经验归纳法”，但数学归纳法和经验归纳法却有着本质的区别， 即使从名义上看它们都是归纳法的一种.经验归纳法是根据事物有限步伐内的发展情况直接按照人的主观思维推导出一般的规律，无论怎么样，这个规律都是没有被严格数学思维证明成立的，而数学归纳法是一个演绎推理的过程，它是通过用数学的方法来严格证明所得的普遍的定理，因而它能被我们所有人接受.6.有限与无限有着质的区别有限与无限是对立统一的，它们有着质的区别，但在一定条件下又可以互相化，只有用辩证法才能准确理解和认识有限与无限问题的区别.[]7恩格斯说：“数学只要引入无限大和无限小，它就会引入一个质的差异，这个差异甚至表现为不可克服的质的对立.”任何一个有限集里面都有这最大值与最小值，但是在无限集中却找不到，像()+∞∞-,中就不存在所谓的最大值和最小值.空间中两条铅垂线，当我们考虑的长度比较短时，那么可以认为它们是平行的，但从无限空间领域来考虑这两条铅垂线，它们却是相交于地心这一点的.在有限的范围内我们还看一下数学中常用的结合律显然成立，例如：767117151513131171515131311=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-但是在无限多项的求和定律中就不能运用这些求和定律了，例如：()()()1747453533232174535332321n ,1n 21-n 21751531311=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞∈+++⨯+⨯+⨯ΛΛΛΛΛΛ 在上面式子当中，第三步其实是错误的，是不允许这样做的.事实上,正确的算式应该如下：()()()()()()()()21n ,n121n ,12n n n ,12n 1n 1n ,12n 1n 1-2n n 1-2n n 7474535332321n ,12n 1n 1-2n n 74535332321n ,1n 21-n 21751531311=∞∈+=∞∈+=∞∈++-=∞∈++-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞∈+++⨯+⨯+⨯ΛΛΛΛΛΛ 另外，再举一个例子()()()()()()()()21s 12s s-1s s 11111-1s 31s 0-1s 011111-1s 200001-11-11-1s 111111111s ===-+-+-==-+-+-==+++=+++=+-+-+-+-=所以那么，，所以上式中的因为右端括号内的值为为所以答案，故上式由上可知右端括号内为的种种答案ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ 从上面我们可以看得出一个式子既可以得到三个答案，不过只可惜这三个答案都是错误的，其产生的原因正是计算无限领域时，不能像计算有限数字那样，随意运用结合律和分配律，由里往外一层层脱掉括号来得出答案s.在有限的集合中，整体大于部分是天经地义的，不容置疑的，但是在无限集合中就成了谬论，因为在无限集合当中，整体跟部分是可以相等，可以一一对应的.对于两个有限集合，如果我们不利用计算集合中元素个数的方法，那么我们怎样知道两个集合哪个包含哪个呢[]5有人举了一个十分通俗易懂的例子：假如房间中有若干凳子，相当于元素，让人们去坐凳子，每个人只可以坐一张凳子，相等的人数，假如有人坐不到凳子那么这个集合中的元素比人少，相反假如大家都找到凳子,那么凳子数和人数一样多.这种方法推广到无限集中呢正偶数集是正态数集的真子集，两个子集之间可以找到这样的一一的对应关系：2n n ,,63,42,21↔↔↔↔ΛΛ.任意两个集合只要能建立一一对应关系，就认为它们的数目一样多.后来康托提出了一个新的概念来表示无穷集合的大小，这就是我们在初等数学研究中学习的“基数”，在有限集中基数等于元素的个数，在无限集中，如果能建立一一对应的关系那么它们的基数就相等.我们都知道有限个连续函数之和还是连续函数，但是这个有限和的性质对于无限级数是不成立的.在我们学习过的知识里面我们还能举出无限个例子来说明有限和无限之间有着质的区别，在这里就不多说了.7.有限与无限之间相互转化无限转化为有限在数学中我们一般通过有限项之和的极限来定义无限项之和，通过有限维空间来研究无限维空间，这就是由无限转化为有限.例如：要证2n n n 28642+=+++++ΛΛ对于一切自然数都成立的话，那么要我们一一验证是不可能的，我们毫不犹豫地就要用到数学归纳法，在前面我们已经说过数学归纳法，现在就不再举例子说明.数学归纳法运用的原来是把无限步的推理过程转化为有限步，从而得到结果.在数学分析中我们计算函数的极限也是同样的道理，例如：计算数项级数()ΛΛΛΛ++++⨯+⨯+⨯1n n 1431321211 解：级数的第n 个部分和 ()1n 111n 1n 131212111n n 1431321211n +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++⨯+⨯+⨯=ΛΛΛΛs 由于11n 11lim lim n n n =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=∞→∞→s .还有在无限项的等比数列中求和，我们可以首先算出[]3有限项之和 qq a aq aq a s --=+++=11.n1-n n ΛΛ 当||1q <时，qa q q a s -=--=∞→∞→111.lim lim n n n n 有限转化为无限在初等数学研究中我们习惯于把有限的任一初等函数转化为无穷级数.例如：[]3()()ΛΛΛΛΛΛΛΛ++++++=+-+++-=-+n 4321n 21n 5321212121211!1-n 21!5!3sin x x x x x在《自然辩证法》恩格斯指出：“数学把某个确定的数，例如二项式，作无穷级数，即化作某种不定的东西，从人的常识来说，这是荒谬的举动，但是，如果没有无穷级数和二项式定理，那我们能走多远呢”[]7数学中的有限与无限就像是一对连体的婴儿，密切相连着，对立却又统一，谁都离不开谁.无限是有限的基础，无限是由有限构成的，有限由无限组成，无限是有限的延伸，它们之间矛盾地存在着，这就需要我们用辩证的思维去理解它，去认识它，它所能给我们带来的就是不断地去深思和探究.参考文献：[1]郭华.数学中的有限与无限[N].安阳工程学院学报，2009（1）.[2]华东师范大学数学系.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2001，23-24.[3]华东师范大学数学系.数学分析下册[M].北京:高等教育出版社，2001，2-54.[4]葛军，涂荣豹.初等数学研究教程[M].江苏：江苏教育出版社，2009，165-168.[5]张永康.试论数学中的有限与无限[N].工程兵工程学院学报，1989（1）.[6]王仲英，郝祥辉.数学中的有限和无限[J].高等数学研究，2007，10（1）：77-82.[7]刘大椿.自然辩证法概论[M].北京：中国人民大学出版社，2008，100-250.[8]李浙生.论数学中的有限与无限[N].辽宁教育学院学报，1994（4）.[9]仲田纪夫[日]著.丁树深译.无穷的奥秘及其演变[M].北京：科学出版社，2001，32-54.Mathematics of finite and infiniteZhuang QingqingAbstract：This paper mainly summarizes the relationship between finite and infinite in mathematics, by an example to discuss the infinite is the basis of finite, infinite is composed of a finite, finite is composed of an infinite, unlimited extension is finite, and discusses the difference and relation of the matter, and provides some references for a better understanding of the finite and the infinite relationshipKeywords:finite, infinite。

高等数学教学教案第1章函数、极限与连续授课序号01(是一个给定的非空数集.若对任意的授课序号02的左邻域有定义，如果自变量为当0x x →时函数授课序号032n n ++)(1,2,n x =授课序号04授课序号05授课序号06高等数学教学教案第2章导数与微分授课序号01授课序号02授课序号03授课序号04高等数学教学教案第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01授课序号02授课序号03!n +!n +()()!n x n +!n +!n +[cos (x θ+=21)2!!x n α-++)(1(1)!n n αθ-++()nx R x +授课序号04（1）在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原材料最省”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.（2）对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数()f x 在定义区间内部存在着最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，而最值又存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最值点，0()f x 即为相应的最值． 四．例题讲解例1.讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调增减区间． 例2.判断函数3()=f x x 的单调性.例3.设3,0,()arctan ,0.x x f x x x x ⎧-<=⎨≥⎩确定()f x 的单调区间.例4.证明：当0x >时，e 1x x >+． 例5.求函数32()(1)f x x x =-的极值．例6.求函数22()ln f x x x =-的极值．例7.求函数233()2f x x x =+在区间1[8]8-，上的最大值与最小值．例8.水槽设计问题有一块宽为2a 的长方形铁皮如图3.8所示，将宽所在的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大（流量与横截面积成正比）． 图3.8例9.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积V 是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省？ 例10.面积最大问题将一长为2L 的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大．授课序号05授课序号06教学基本指标教学课题第3章第6节弧微分与曲率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点曲率的计算公式教学难点曲率的计算参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

数学中的“有限与无限”的思想一、知识概述1、有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解，将有限的问题化为无限来解决，利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题.2、把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路.3、积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决有限问题的一个方向，同时有利于解决新的无限的问题.4、立体几何中求球的表面积与体积的推导，实际上是先进行有限次分割，然后再求和、求 极限；数学归纳法就是通过对有限的研究来解决无限的问题等等，这些都是典型的有限与无限思想的应用.取极限和数学归纳法就是由有限与无限的思想得到的具体的方法.5、有限与无限的思想在近几年的高考中已经有很多具体的体现，随着高中课程改革，对新增内容的深入考查，必将加大对这一思想的考查,所以我们考前应该予以重视.二、典例分析1.在数列{}n a 在中，542n a n =-，212n a a a an bn ++=+ ，*n N ∈,其中,a b 为常数，则li m n nnnn a b a b →∞-+的值是 . 【解析】本题根据通项与前n 项和可以求出常数,a b 的值，再对所给的有限项求极限.这里我们要利用已经掌握的无限的结论(即lim 0(||1)nn q q →∞=∈)来解决新的极限问题.【答案】由542n a n =-知，{}n a 是公差为4的等差数列，故123(1)422n n n a a a n -++=+⋅ 2an bn =+，解得2a =，12b =-，从而11()1()4lim lim lim 111()1()4n n n nn n n n n n nb a b a b a b a →∞→∞→∞---===+++. 2. 已知数列{}n a 满足1a a =,111n na a +=+我们知道当a 取不同的值时，得到不同的数列，如当1a =时，得到无穷数列：;.,35,23,2,1 当21-=a 时,得到有穷数列：0,1,21--. （Ⅰ）求当a 为何值时40a =； （Ⅱ）设数列{}n b 满足11b =-, 11()1n n n N b b ++=∈-，求证：a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a ；（Ⅲ）若)4(223≥<<n a n ，求a 的取值范围. 【解析】 这是一道蕴含有限与无限的思想的典型试题. 对于题设的递推关系，随着所给出的初始条件不同，得到的数列既可能是无限数列也可能是有限的数列，第（Ⅱ）问则可以通过有有限次的试验，得出对无限个n b 都可以得到一个有穷数列{a n }的猜想，再用数学归纳法进行证明.或者通过对有限问题的推理直接得到无限问题的解答.第（Ⅲ）问是把对无限个n 都成立的结果，通过有限次分析获得解决.【答案】（Ⅰ）11211111,1,11,n n a a a a a a a a a++==+∴=+=+=34231211321,1.121a a a a a a a a ++=+==+=++ 420.3a a =-=故当时(Ⅱ) 解法一：11-=b ,11,1111+=-=++n n n n b b b b ,当1b a =时,01112=+=b a ,当2b a =时,111112-==+=b b a ,03=∴a ,当3b a =时,23211b b a =+=,111111223-==+=+=∴b b a a 04=∴a .一般地, 当n b a =时,,01=+n a 可得一个含有1+n 项的有穷数列121,.,+n a a a .下面用数学归纳法证明. 当1=n 时, 1b a =,显然01112=+=b a ,可得一个含有2项的有穷数列.,21a a 假设当k n =时,k b a =,得到一个含有1+k 项的有穷数列121,.,+k a a a ,其中01=+k a ,则1+=k n 时,1+=k b a ,k k b b a =+=∴+1211,由假设可知, 得到一个含有1+k 项的有穷数列232,,,+k a a a ,其中02=+k a .所以,当1+=k n 时, 可以得到一个含有2+k 项的有穷数列1a ,232,,,+k a a a ,其中02=+k a 由(1),(2)知,对一切+∈N n ,命题都成立. 解法二：11111,, 1.1n n n n b b b b b b ++=-=∴=+- 21132211112{}.11,11,1111,...1111 1.0.n n n n nn n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a a b ---+-==∴=+=+=∴=+=+=∴=+=+==-∴= 取数列中的任一个数不妨设故a 取数列{}n b 中的任一个数，都可以得到一个有穷数列{}n a .（Ⅲ）)4(223≥<<n a n 即211231<+<-n a ,211<<∴-n a 所以要使)4(223≥<<n a n ,当且仅当它的前一项1-n a 满足211<<-n a .由于()2,12,23⊆⎪⎭⎫ ⎝⎛,所以只须当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,23k a 时,都有⎪⎭⎫⎝⎛∈2,23n a ()5≥n由12234++=a a a ,得2122323<++<a a , 解得0>a . 3．在数列||n a ，||nb 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n a b a +，，成等差数列，11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*N ）.（Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：1122111512n n a b a b a b +++<+++…．可以猜出两者的通项公式（无限的问题），再用数学归纳法证明这个无限的问题.第（Ⅱ）问可以通过研究通项公式（无限的问题）直接解决无限的问题.【答案】（Ⅰ）由条件得21112n n n n n n b a a a b b +++=+=，，由此可得 2233446912162025a b a b a b ======，，，，，．猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，．下面用数学归纳法证明：①当n=1时，由上可得结论成立．②假设当n=k 时，结论成立，即2(1)(1)k k a k k b k =+=+，，那么当n=k+1时，22221122(1)(1)(1)(2)(2)kk k k k ka ab a k k k k k b k b +++=-=+-+=++==+，,所以当n=k+1时，结论也成立．由①②，可知2(1)(1)n n a n n b n =++，对一切正整数都成立． （Ⅱ）11115612a b =<+．n ≥2时，由（Ⅰ）知(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+．故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭……111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭ (111111562216412)n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭. 综上，原不等式成立． 三、名校试题1.数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,...n =) ，且321.8a a -=（1）求c 的值；（2）① 证明：1n na a +<；② 猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； （3）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明. 【解析】第（1）问由通项公式（揭示无限问题）求出有限项23a a 、后可得c 的值；第（2）问通过对有限项的处理证明出结论，从而可猜出{}n a 的极限；第（3）问对得到的递推关系式进行变形，再用作差法求解，需要用到数学归纳法证得2n a <.然后通过前几项（有限项）的比较与第（2）问已证的单调性得到结果.【答案】（Ⅰ）依题意，222211322111111.222222a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭， 由3218a a -=，得21111122228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）.（Ⅱ）① 证明：因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，当且仅当2n a =时，1n n a a +=.因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +< (1,2,3,...n =).② 数列{}n a 有极限,且 lim 2n n a →∞=.（Ⅲ）由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--，从而111122n n n a a a +=---. 因为1a =，所以 111111 1.nn⎛⎫=-=-=- ⎪∑∑所以21111111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nn n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑因为11a =，由（Ⅱ）① 得 1n a ≥ (*n ∈N ). （*）下面用数学归纳法证明：对于任意*n ∈N ，有2n a <成立. 当1n =时，由11a =，显然结论成立. 假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a <因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增，所以2113(21)222k a +<-+=.即当1n k =+时，结论也成立. 于是，当*n ∈N 时，有2n a <成立. （**）根据（*）及（**）得 12n a ≤<. 由11a = 及21122n n n a a a +=-+， 经计算可得23313.28a a ==，所以，当1n =时，2114039a a <；当2n =时，312114039a a a +=； 当3n ≥时，由11328n a +<<，得11111(53)(813)1400 , 3939(2)nn n n k kn a a a a a +++=++--=>⋅-∑ 所以1114039nn k ka a +=>∑. 2．数列{}n a 的首项1a =1，前n 项和为n S 满足12(1)n n k S a +=-（常数0k >，*N n ∈）．（1）求证：数列{}n a 是等比数列.（2）设数列{}n a 的公比为()f k ，作数列{}n b ，使13b =，11()n n b f b -=（n =2，3，4，…） 求数列{}n b 的通项公式；（3）设2n n c b =-，若存在*N m ∈，且m n <；使l i mn →∞（112m m m m c c c c +++++…1n n c c ++）1<2007，试求m 的最小值．【解析】第（1）问通过对递推关系式的变形得到相邻两项的比，正是利用这两个有限项的比是非零常数来证明该数列是等比数列的.第（2）问也是通过对递推关系式（无限的问题）的变形来求通项公式的（无限的问题）.第（3）问通过抓住通项来求有限项的极限，再根据这个极限求出m 的最小值.【答案】 解：（1）12(1)n n k S a +=- ①当2n ≥时， 12(1)n n k S a -=-②①—②得，12()n n n a k a a +=-即121n n ka k a +=+（2）由①, 1112a k =+，∴1211122n na k k k a ++==+，又21112a a k=+符合上式，∴{}n a 是以1为首项，112k +为公比的等比数列． （2）由（1）知()f k =112k +，∴1111()12n n n b f b b --==+（2n ≥）， ∴112(2)2n n b b --=-.又13b =，即121b -=，1122n n b b -=-， ∴数列{}2n b -是为1首项，12为公比的等比数列． ∴112()2n n b --=，∴112()2n n b -=+．（3）由（2）知112()2n n n c b -=-=，则2111()2n n n c c -+⋅=.∴112lim(m m m m n c c c c +++→∞++…1n n c c ++）=111111lim ...222m m n -+-→∞⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦222n （）（）（） =1111141122lim 132200714m m n --→∞-=<-22n+2（）（）（）， ∴3112669m -<2（），∴9669m ->22. ∵5126691024<<，∴2310m -≥， 6.5m ≥. 又∵*N m ∈，∴m 的最小值为7.四、考点预测(一)考点预测根据近几年各地高考试题和模拟试题来看，有限与无限的思想逐年增加考查广度，我们认为2009年的高考一定会有更多的体现.在题型上来看，热点问题仍然是以数列为载体考查极限的知识和用数学归纳法证题.(二)考点预测题1．设等差数列{}n a 的公差d 是2，前n 项的和为n S ，则22lim n n na n S →∞-= ．【解析】本题设出首项，表示出通项和前n 和（有限项），然后代入求极限.而在求极限的时候，利用到已经掌握的极限知识lim 0n a n →∞=和2lim 0n an→∞=，其中a 为常数.【答案】设首项为1a ，则112(1)21n n n a a a =+-=+-，1(1)22n n n n S a -=+⨯ 21(1)n n a =+-，2222111112222(21)34(1)(1)lim lim lim (1)(1)nn n n n n n n n a n S n n n n a a a a a →∞→∞→∞+--+-+--∴==+-+- 111224(1)(1)3lim3(1)1n n n na a a →∞--++=-+.2.将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a．．．．．．记表中的第一列数1247,...a a a a ，，，构成的数列为{}n b ，111b a ==．n S 为数列{}n b 的前n 项和，且满足221(2)nn n nb n b S S =-≥． （Ⅰ）证明数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭成等差数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数．当81491a =-时，求上表中第(3)k k ≥行所有项的和． 【解析】第（Ⅰ）问从无穷数列{}n a 中抽出它的一个无穷的子数列，由n S 与n b 的递推关系式消去n b ，从而证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是无穷的等差数列. 第（Ⅱ）问就是求从第三行起的每一行所有的这些无穷多项的和. 【答案】（Ⅰ）证明：由已知，当2n ≥时，221nn n nb b S S =-， 又12n n S b b b =+++ ，所以1212()1()n n n n n nS S S S S S ---=--， 即112()1n n n n S S S S ---=-，所以11112n n S S --=，又1111S b a ===．所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列．由上可知1111(1)22n n n S +=+-=，即21n S n =+． 所以当2n ≥时，12221(1)n n n b S S n n n n -=-=-=-++． 因此1122(1)n n b n n n =⎧⎪=⎨-⎪+⎩， ，，．≥ （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且0q >．因为12131212782⨯+++== ，所以表中第1行至第12行共含有数列{}n a 的前78项， 故81a 在表中第13行第三列，因此28113491a b q ==-． 2b =-2q =记表中第(3)k k≥行所有项的和为S，则(1)2(12)2(12)(3)1(1)12(1)k kk kb qS kq k k k k--==-=--+-+≥教你如何用WORD文档(2012-06-27 192246)转载▼标签：杂谈1. 问：WORD 里边怎样设置每页不同的页眉？如何使不同的章节显示的页眉不同？答：分节，每节可以设置不同的页眉。

高等数学教材(专升本)(总79页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--目录一、函数与极限·······················错误!未定义书签。

1、集合的概念·····················错误!未定义书签。

2、常量与变量·····················错误!未定义书签。

2、函数························错误!未定义书签。

3、函数的简单性态···················错误!未定义书签。

4、反函数·······················错误!未定义书签。