Ch5 气体动理论
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m Nms ,
M mol N A ms
代入理想气体状态方程式 pV
m RT M mol
令
m N M mol N A
1 N N R RT T 可得 p V NA V NA
则状态方程可以写为：
p nkT
N n V
R k NA
n: 气体分子数密度 k: 波耳兹曼常量 ( k 1.38 10 23 J K 1 )
p
真空膨胀
p ,V , T
( p ,V , T )
( p ' ,V ' , T )
o
V
p ,V , T
'
'
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气体动理论
平衡态的特点
( p ,V , T )
p
o
( p ,V , T )
V
(1)单一性 ( p ， T 处处相等)； (2)物态的稳定性—— 与时间无关； (3)自发过程的终点； (4)热动平衡(有别于力平衡).
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N i Pi lim N N
概率分布满足归一化条件：
P 1
i
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5.1.3 统计平均值 x 的算术平均值为
气体动理论
x1N1 x2 N 2 xn N n xi N i x xi Pi N1 N 2 N n N i
统计平均值：算术平均值的极限. 随机变量：某一物理量M在一定条件下的可能取值 M1 、M2、M3 ，··· ，称为随机变量. 若随机变量Mi出现的概率为Pi，则其统计平均值为
M Pi M i
i
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气体动理论
§5.2 系统的状态及其描述
主要内容：
1. 热力学系统 2. 平衡态 3.状态参量 4. 理想气体状态方程 5. 实际气体状态方程
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研究方法
1 热力学 —— 宏观描述 特点 (1)具有可靠性； (2)知其然而不知其所以然； (3)应用宏观参量. 2 统计物理 —— 微观描述 特点
气体动理论
(1)揭示宏观现象的本质； (2)有局限性，与实际有偏差，不 可任意推广.
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气体动理论
第5章 气体动理论
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 *§5.7 统计规律性的基本概念 系统的状态及其描述 理想气体的压强和温度 能量按自由度分配的统计规律 气体分子数按速率分布的统计规律 气体分子数按能量分布的统计规律 气体分子平均碰撞频率及平均自由程
z
He
z C
O H H
z C
z x y
z O x y x y
O x
y
z x y
H 2O
O x
y
分子种类 单原子分子 刚性双原子分子 刚性三原子以上分子
平动自由度 t 3 3 3
转动自由度 r 0 2 3
总自由度 i＝t＋r 3 5 6
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5.4.2 能量按自由度均分定理
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5.4.3 理想气体的内能
气体动理论
气体的内能：包括气体中所有分子的热运动动能、分子内原 子间振动势能、分子间相互作用势能的总和. 理想气体的内能：气体内所有分子的动能和分子内原子间 振动势能的总和. 1mol理想气体（刚性分子）的内能为
气体动理论
质点 自由质点 弹性质点
动能守恒（无势场）
自由地无规则运动的弹性质点群
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二、平衡态理想气体的统计假设 1. 分子数密度处处相等(均匀分布) 2. 分子沿各个方向运动的概率相同 * 任一时刻向各方向运动的分子数相同
气体动理论
*分子速度在各个方向分量的各种平均值相等
vx v y vz
A
汽
21℃ 13℃ 比容 v/(m3/kg)
B B' O
A'
A
13 ℃
实际气体CO2的等温线
V
范德瓦耳斯等温线
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气体动理论
§5.3 理想气体的压强和温度
主要内容：
1. 理想气体的微观模型 2. 气体温度的微观解释 3. 气体分子的方均根速率
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5.3.1 理想气体的微观模型 一、 分子力学性质假设 1. 分子线度与分子间距相比较可忽略。 2. 除碰撞外，分子间及分子与容器壁 之间均无相互作用。 3. 碰撞为完全弹性碰撞。 动量守恒
气体动理论
1 3 2 一个分子的平均平动动能为 E k m v kT 2 2
由于沿x,y,z三个方向运动的概率均等，有 1 1 1 2 2 mv x mv y mv z2 1 kT 2 2 2 2 每个平动自由度的平均平动动能为 kT 2 在温度为T 的平衡态下，物质(气体、液体和固体)分子的 每一个自由度都具有相同的平均动能，其值为
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气体动理论
§5.1 统计规律性的基本概念
主要内容：
1. 统计规律 2. 概率 3. 统计平均值
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5.1.1 统计规律
加尔顿板实验
气体动理论
统计规律: 大量偶然事件整体所表现出的规律. 单个小球的运动服从力学规律，大量小球按槽的分布 服从统计规律.
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涨落：多次重复实验，每次实验结果与多次实验结果的平均 值都有一定的偏差，这种偏差就是单个的偶然事件相对 统计规律的涨落. 涨落现象是统计规律的基本特征之一 5.1.2 概率 定义： 第i个事件发生的总次数与全部事件发生的总次数的比 值称为第i个事件发生的概率，即
1 3 2 mv Ek kT 2 2
3kT 3RT v m M mol
2
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例 求在多高温度下，理想气体分子的平均平动动能等于1 eV？ 解 电子伏特是近代物理中常用的一种能量单位，用eV表示.
气体动理论
(是一个电子在电场中通过电势差为1V 的区间时，电场力做功而获得的能量)。
2 2 v2 v v x y z
v v v v
2 2 x 2 y
2 z
1 2 v v v v 3
2 x 2 y 2 z
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三、平衡态理想气体的压强公式 推导压强公式的出发点 * 气体压强是大量分子不断碰撞容器壁的结果
气体动理论
* 压强等于单位时间内器壁上 p I F t F 单位面积所受的平均冲量 S t S t S * 个别分子服从经典力学定律 * 大量分子整体服从统计规律
p
1(p1,V1,T1)
气体的状态参量只有两个是独 立的，即 p p(V , T ) T T ( p,V ) O V V (T , p) p -V 图中的每一点表示一个平衡态.
2(p2,V2,T2) V
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理想气体状态方程的另一种表述
气体动理论
设系统的总分子数为N，摩尔分子数为NA，每个分子的质 量为ms，则气体的总质量和摩尔质量可表示为
3 8.31
K
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气体动理论
§5.4 能量按自由度分配的统计规律
主要内容：
1. 分子的自由度 2. 能量按自由度均分定理 3. 理想气体的内能
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5.4.1 分子的自由度
气体动理论
自由度数：确定一个分子的空间位置所需要的独立坐标数目. 刚性分子：分子内原子之间的距离保持不变的分子.
1 2 Ek mv 2
(分子平均 平动动能)
气体的压强是一个统计结果，只有对大量的分子才有意义.
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5.3.2 温度的微观解释
气体动理论
2 p nE k 3
p nkT
讨论
3 Ek kT 2
T Ek
(1) 温度是描述物体内部分子热运动剧烈程度的物理量. (2) 温度是大量分子热运动的集体表现，是统计平均值， 对单个分子来说温度没有意义. 5.3.3 气体分子的方均根速率
在气体动理论中通常用因子kT表示热运动的能量 例如室温290K时
kT 1.38 1023 290J 4.0 1021 J 1 eV 40
我们可根据这个数据估算是否属于热运动能量范围.
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例 试求氢分子的方均根速率等于离开地球表面的逃逸速率时的 温度. 解 分子的方均根速率 v 2
1 kT 2
这一结论称为能量按自由度均分定理.
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分子的平均总动能 说明
i Ek kT 2
气体动理论
(1) Ek i 分子的平均总动能与自由度数有关. (2) 单原子分子、刚性双原子分子、刚性多原子分子的平 均总动能分别为
6 5 3 kT , kT , kT . 2 2 2
(3) 能量按自由度均分定理是大量分子无规则热运动的能 量所遵从的统计规律.
1eV＝1.6021892×10－19J
设气体的温度为T 时，其分子的平均平动动能等于1 eV.
3 Ek kT 1.60 10 19 J 2
2 Ek 2 1.60 1019 3 T K 7.73 10 K 23 3 k 3 1.38 10 由此可知，1 eV的能量相当于7730K时的分子平均平动动能.
气体动理论
热学
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研究对象 热现象: 与温度有关的物理性质的变化. 热运动: 构成宏观物体的大量微观粒子 的永不休止的无规则运动. 研究对象特征 单个分子: 无序、具有偶然性、遵循力 学规律. 整体(大量分子): 服从统计规律 .
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气体动理论
微观量: 描述个别分子运动状态的物理 量(不可直接测量)，如分子的m ， v 等. 宏观量: 表示大量分子集体特征的物理 量(可直接测量), 如 p，V，T 等. 微观量 统计平均 宏观量
