探索勾股定理上课课件

数学领域中的应用
三角函数
勾股定理与三角函数密切相关， 它可以用于求解三角函数的值， 以及推导三角函数的性质和公式。
解析几何
在解析几何中，勾股定理可以用于 求解直线、圆和曲线的方程，以及 解决几何问题。
数论
勾股定理在数论中也有应用，例如 在证明一些数学定理和猜想时，勾 股定理可以提供重要的思路和方法。
公式表示
勾股定理的公式可以表示为 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两条直角 边，c是斜边。
勾股定理的重要性
01
几何学基础
勾股定理是几何学中的一个基础定理，它为解决与直角三角形相关的问
题提供了重要的工具。
02 03
实际应用
勾股定理在现实生活中有着广泛的应用，例如建筑、航海、航空等领域。 通过应用勾股定理，我们可以解决与直角三角形相关的问题，从而更好 地理解和设计各种实际结构。
数学发展史
勾股定理在数学发展史上具有重要地位。它的证明和推广对于数学的发 展起到了重要的推动作用，也激发了人们对数学研究的兴趣和热情。
02 勾股定理的起源与历史
CHAPTER
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派是古希腊时期的一个重要哲学和数学学派， 他们发现了音乐、政治、宇宙和数学之间的联系，并提出了 “万物皆数”的哲学思想。
CHAPTER
勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理
如果一个三角形的三边满足勾股定理 ，则这个三角形是直角三角形。
逆定理的证明
假设三角形ABC的三边满足勾股定理， 即$a^2 + b^2 = c^2$，根据余弦定 理，有$cos C = frac{a^2 + b^2 c^2}{2ab} = 0$，因此角C是直角。

A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
A a cC b
B
C
A ac b
B
右图 16
9
25
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC. a2+b2=c2
（2）正方形A、B、C与中间的 直角三角形有什么关系？
结论2 以直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积 的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
自主探究 任务一：探索勾股定理的内容
(指向目标一)
1.观察右图：(时间2分钟)
填表（每个小正方形的面积为单位1）
A的面积 B的面积 C的面积
左图 9
9
18
右图 4
4
8
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC.
（2）正方形A、B、C与中间的 等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC.
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时， 易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑 高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
弦 勾
股
我国古代把直角三角形中 的直角边称为 ， 的直角 边称为 ， 称为 ，“勾股 定理”因此而得名.
巩固训练（2分钟）
1.钢索的长度？
？
10m
8m
6m
评价标准：独立完成为优秀，同桌互助为及格。
评价标准：2题全对为优秀,1题全对为及格
合作促学 任务二：熟练运用勾股定理进

解：利用勾股定理 a2 + b2 = c2 可以得到c²=100， c=10m
巩固新知
1.求下列直角三角形中未知边的长:
常见整数的平方 （大于10）
12
112 = 121 242 = 576
8
17
5
122 = 144 252 = 625 132 = 169 302 = 900
x
142 = 196 402 =
历史课件： . /kejian/lishi/
c
数是根据圆形和方形的数学道理计算得来的。 圆来自方，而方来自直角三角形，直角三角形是根 据乘法九九表算出来的。如果将一线段折成三段围 成直角三角形，一直角边（勾）为三，另外一直角
边（股）为四，则斜边（弦）就是五。
勾股定理是关于什么图形的定理？
答：关于直角三角形三边的关系
解:∵在Rt△ADC中,AD=12,AC=13（已知）, ∴由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=132-122=52, ∵CD=5.BC=14（已知）, ∴BD=14-5=Hale Waihona Puke . 在Rt△ABD中,由勾股定理,得
AB2=AD2+BD2=122+92=152, ∴AB=15.
课堂小结
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，
《周髀算经》曾记载记录着商高和周公的一段对话。
我早就听说您是擅长数 学的人，请问古代伏羲测量天文 制定历法，可没有登天的台阶，又 不能测量大地的尺寸，这数据是
怎么来的呢？
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（2）△ABC的a=6,b=8,则c=10.

B
C A
B
（2）填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积
B的面积
猜想C的面 积
左图
4
9
？
右图
16
9
？
（3）利用学过的割、补、拼等方法验证图形C的面积 是否就是我们猜想的结果？与同伴交流.
C A
B
C A
B
结论 直角三角形两直角边的平方
B
和等于斜边的平方.
c 如果直角三角形两直角边长分别为a、b，
变式训练： 在Rt△ABC中，∠C=90°，a,b分别为直角边，c为斜边。 若a:b=4:3,且c=10,求a,b的长和△ABC的面积。
例3 在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，求AB的 平方的值.
注意：在应用勾股定理解决直角三角形中边长问题时 一定要根据题意，根据实际情况先判定直角边、斜边， 再灵活应用公式解决问题，而并不是所有的直角三角 形的斜边都是c，有可能是a，或者是b，也有可能出 现分类讨论的情形，因此在解决实际问题时不能死板 套用公式定理。
称为“总统证法”.
a
如图，梯形由三个直 1(ab)(ba)21ab1c2.
2
22
c
化简,得 a2 b2 c2.
a
b
第一种类型：
方法三 据传是当年毕达哥拉斯发现勾股定理时做出的
证明。
将4个全等的直角三角形拼成边长
为 (a ＋ b) 的 正 方 形 ABCD ， 使 中 间 留 下
第三种类型：以刘徽的“青朱出入图”为代表， 证明不需用任何数学符号和文字，更不需进行 运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现， 整个证明单靠移动几块图形而得出，被称为 “无字证明”.
第一种类型： 方法一:三国时期吴国数学家赵爽在为《周髀算 经》作注解时，创制了一幅“勾股圆方图”，也 称为“弦图”，这是我国对勾股定理最早的证明.