【数学】浙江省杭州市杭州地区七校联考2017届高三试题
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浙江省杭州市杭州地区七校联考2017届高三试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知全集R U =，{}22≤≤-=x x M ，{}1<=x x N ，那么M N ⋂=（ ▲ ） A ．{}12<≤-x x B ．{}12<<-x x C ．{}2-<x x D ．{}2≤x x 2、函数()3cos 12f x x x π⎛⎫=+-+⎪⎝⎭，若()2f a =, 则()f a -的值为（ ▲ ） A.3 B.0 C.1- D.2- 3、在ABC ∆中，“3A π>”是“3sin A >”的（ ▲ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4、若函数()(01)xxf x ka a a a -=->≠且在R 上既是奇函数又是增函数，则函数()()log a g x x k =+的图像是（ ▲ ）5、已知函数4sin(2)6y x π=+，70,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图像与直线y m =有三个交点，其横坐标分别为123,,x x x ()123x x x <<，那么1232x x x ++的值是（ ▲ ） A.34π B. 43π C. 53π D. 32π6、在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且()cos2cos cos 1B B C A ++-=, 则（ ▲ ）A. ,,a b c 成等比数列B. ,,a b c 成等差数列C. ,,a c b 成等比数列D. ,,a c b 成等差数列7、已知点A B C 、、为直线l 上不同的三点，点O l ∉，实数x 满足关系式220x OA xOB OC ++=u u u r u u u r u u u r，则下列结论中正确的个数有（ ▲ ）①.20OB OA OC -⋅≥u u u r u u u r u u u r ②. 20OB OA OC -⋅<u u u r u u u r u u u r③.x 的值有且只有一个④. x 的值有两个 ⑤.点B 是线段AC 的中点 A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个8、记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若不等式22212n nS a ma n+≥对任意等差数列{}n a 及任意正整数n 都成立，则实数m 的最大值为（ ▲ ） A. 12 B. 13 C. 14D.15二. 填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题5分，共38分。
9、计算：2log 2=▲ ，24log 3log 32+=▲．10、记公差d 不为0的等差数列}{n a 的前n 项和为3358,9,,,n S S a a a =成等比数列， 则公差d =▲ ；数列}{n a 的前n 项和为n S =▲ ；11、已知点A ，O 为坐标原点，点(,)P x y满足0200y x y ⎧-≤⎪⎪-+≥⎨⎪≥⎪⎩,则满足条件点P 所形成的平面区域的面积为▲,则OP uuu r 在OA uu u r方向上的投影的最大值是▲。
12、已知函数)1(+x f 是偶函数,且满足()()11f x f x +=，当2121x x ≥>≥时，0))](()([1212>--x x x f x f 恒成立，设(2016)a f =-，(2015)b f =，()c f π=，则a ，b ，c 的大小关系为▲。
13、设ABC ∆的三个内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，三角形的面积为S ，若22)(c b a S --=，则AAcos 1sin -=▲。
14、在等腰梯形ABCD 中，已知AB 平行CD ，2,1,60AB BC ABC ==∠=o,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r,则AE AF ⋅u u u r u u u r的最小值为▲。
15、已知函数()f x 定义域为R ，若存在常数M ，使()||||f x M x ≤对一切实数均成立，则称()f x 为0F 函数，给出下列函数：①()0f x =；②()2f x x =；③()sin cos f x x x =+；④()21xf x x x =++； ⑤()f x 是定义域在R 上的奇函数，且满足对一切实数均有()()1212||||f x f x x x -≤-。
其中是0F 函数的序号为▲ 。
（少选或多选一律不给分）三. 解答题：本大题共5题，共73分。
解答应写出相应文字说明，证明过程或演算步骤。
16、（本题满分14分）在 ABC ∆中，角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且sin sin cos ,,sin sin cos B C BA A A成等差数列 (I)、求角A 的值；(II)、若5a b c =+=时，求ABC ∆的面积。
17、（本题满分14分）已知向量()()sin cos ,sin ,sin cos a x x x b x x x ωωωωωω=-=+r r，设函数()f x a b λ=⋅+r r 的图像关于直线x π=对称，其中,ωλ为常数，且1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭。
(I)、求函数()f x 的最小正周期及单调减区间；(II)、若()y f x =的图像经过点,05π⎛⎫⎪⎝⎭，若集合()3,0,5A x f x t x π⎧⎫⎡⎤==∈⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭仅有一个元素，求实数t 的取值范围。
18、（本题满分14分）在平行四边形ABCD 中，,M N 分别是线段,AB BC 的中点，且1,2,DM DN ==3MDN π∠=;(I)、试用向量,AB AD u u u r u u u r 表示向量,DM DN u u u u r u u u r;(II)、求,AB AD u u u r u u u r；(III)、设O 为ADM ∆的重心（三角形三条中线的交点），若AO x AD y AM =+u u u r u u u r u u u u r，求,x y 的值。
19、（本题满分15分）已知等比数列{}n a 的公比为q ()01q <<，且253491,88a a a a +==． （I ）、求数列{}n a 的通项公式；（II ）、若()2log n n n b a a =⋅，求n b 的前n 项和n T ；（III ）、设该等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，正整数,m n 满足112n n S m S m +-<-，求出所有符合条件的,m n 的值．20、（本题满分15分）已知函数()21,442,x x ax ax x af x x a -⎧-+≥⎪=⎨-⨯<⎪⎩（I ）、若x a <时，()1f x <恒成立，求实数a 的取值范围；（II ）、若4a ≥-时，函数()f x 在实数集R 上有最小值，求实数a 的取值范围。
参考答案一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
二. 填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题5分，共38分。
9、 第一问2，第二问，每空3分 10、 第一问1，第二问232n n+，每空3分11、 3分 12、 b a c <<（或者a c b >>） 13、 4 14、291815、 ①④⑤（多选或少选都不给分）三. 解答题：本大题共5题，共73分。
解答应写出相应文字说明，证明过程或演算步骤。
16、（本题满分14分） （I ）、由sin sin cos ,,sin sin cos B C B A A A 成等差数列知sin cos sin 2sin cos sin B B CA A A+= 法1sin cos cos sin 2sin cos sin()sin 2sin cos B A B A C A B A C C A ⇒+=⇒+== 所以1cos 23A A π=⇒=------------------------------------------------------------------------------6分 法222222222222222222122a c b b c a c b ac b c b c a bc b ca a abc a bc+-⎛⎫+-⇒+=⇒+=⇒+-= ⎪+-+-⎝⎭ 所以1cos 23A A π=⇒=------------------------------------------------------------------------------6分 (II)、由余弦定理知()22223a b c bc b c bc =+-=+-------------------------------------------8分 代入5a b c =+=得5bc =-------------------------------------------------------------------11分 所以1sin 24S bc A ==-----------------------------------------------------------------------14分17、（本题满分14分）()()()sin cos sin cos cos f x a b x x x x x x λωωωωωωλ=⋅+=-+++rr2cos 22sin 26x x x πωωλωλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭------------------------------------------2分由()f x 的图像关于直线x π=对称知1112,1,62322k k k Z ππωππω⎛⎫⎛⎫-=+⇒=+∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以56ω=----------------------------4分 （I ）、所以()52sin 36f x x πλ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，其最小正周期26553T ππ==---------------------6分 单调减区间为266,,555k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(不用区间或集合表示扣1分) --------------8分 （I I ）、()y f x =的图像经过点,05π⎛⎫⎪⎝⎭得2sin 0156f ππλλ⎛⎫=+=⇒=- ⎪⎝⎭--------10分数形结合知实数t 的取值范围为1t =或20t -≤<---------------------------------------------14分18、（本题满分14分）（I ）、11,22DM AB AD DN AB AD =-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r---------------------------------------------------4分(II)、由（I ）知2442,3333AD DN DM AB DN DM =-=-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u u r-----------------------------6分所以4,3AD AB ====u u u r u u u r 分(III)、由重心性质知：0AO DO MO ++=u u u u r r所以 ()()()()()01xAD y AM OA x AO DO y AO MO AOx y AO x DO y MO=+-=-+--=+-+-+-r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r所以()()()11::1:1:13x y x y x y +---=⇒==--------------------------------------------14分19、（本题满分15分）（I ）、数列{}n a 的通项公式为212n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭------------------------------------------------------4分（II ）、()()222log 2n n n n n b a a --=⋅=错位相减法得22n n n T -=---------------------------9分（III ）、1412n n S ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()1122462n n n S m m S m +-<⇒<-<--------------------11分 ()24n m -为偶数，因此只能取()24n m -=4,所以有122224234241n n n n m m m m ==⎧⎧==⎧⎧∨⇒∨⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎩⎩---------------------------------------15分 （采用特殊值求出答案最多给2分，即每组答案1分）20.（本小题满分15分）解: （1）因为a x <时,ax x x f -⨯-=244)(，所以令t x =2,则有a t 20<<,所以1)(<x f 当a x <时恒成立，可转化为1242<⨯-a tt ， 即t t a124->在)2,0(at ∈上恒成立, -------------------------------------------------------------2分. 令)2,0(,1)(a t tt t g ∈-=,所以tt t g 1)(-=在)2,0(a上单调递增, ------------------------3分.所以a a a g t g 212)2()(-=<,所以有: a aa 21224-≥. aa225≥⇒5)2(2≤⇒a 52≤⇒a ----------------------------------------------------------4分. 5log 2≤⇒a .--------------------------------------------------------------------------------------5分.（2）当a x ≥时，1)(2+-=ax x x f ，即41)2()(22a a x x f -+-=①当02≥⇔≤a a a时，此时对称轴在区间左侧,开口向上,所以)(x f 在),[+∞a 单调递增, 所以1)()(min ==a f x f ；-------------------------------------------------------------------------6分. ②当042<≤-⇔>a a a 时, 此时对称轴在区间内,开口向上,所以)(x f 在)2,[aa 递减, 在),2(+∞a单调递增,所以41)2()(2min a a f x f -==.---------------------------------------7分.所以由①②可得: 当a x ≥时有:⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--=0,104,41)(2mina a a x f .-------------------------8分.当a x <时，a x x x f -⨯-=244)(,令t x =2,)2,0(at ∈，则a a a t t t t h 44)22(24)(22--=-=, ③当212222202>⇔>⇔<<a aa a 时，)(t h 在)22,0(a 递减，在)2,22(a a上递增 aa h t h 44)22()(min -==；-----------------------------------------------------------------------9分. ④当21222222≤⇔≤⇔≥a aa a时，)(t h 在)2,0(a 递减, )0,44())0(),2(()(-=∈a a h h t h所以,此时, )(t h 在)2,0(a上无最小值; -----------------------------------------------------------10分.所以由③④可得当a x <时有:当21>a 时, a t h x f 44)()(min min -==; 当21≤a 时,无最小值.----------------- ------------------------11分. 所以,由①②③④可得: 当21>a 时，因为144<-a ,所以函数a x f 44)(min -=;-------------------------------------12分. 当210≤≤a 时， 因为1044<<-a ，函数)(x f 无最小值; -----------------------------13分. 当04<≤-a 时，413442a a-≤-<-，函数)(x f 无最小值.--------- ----------------14分.综上，当21>a 时，函数)(x f 有最小值为a 44-；当214≤≤-a 时，函数)(x f 无最小值． 所以函数)(x f 在实数集R 上有最小值时，实数a 的取值范围为),21(+∞.--------------15分.。
