2017-2018学年浙江省杭州地区七校高一下学期中考试数学试题

浙江省杭州市2017-2018学年下学期期中考试高一数学试卷一、选择题：（每题4分，共48分）1．集合M={x|x=k•90°+45°，k∈Z}，N={x|x=k•45°+90°，k∈Z}，则有（）A．M=N B．N⊊M C．M⊊N D．M∩N=∅2．sin（﹣）的值等于（）A．B．﹣ C．D．﹣3．若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．tan40°+tan80°﹣tan40°tan80°的值是（）A．B．C．D．5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．146．若函数f（x）=cos（3x﹣θ）﹣sin（3x﹣θ）为奇函数，则θ等于（）A．kπ（k∈Z）B．C．D．7．如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=﹣对称，那么a等于（）A．B．1 C．D．﹣18．锐角三角形ABC中，a b c分别是三内角A B C的对边设B=2A，则的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（，2）D．（，）9．下列关于正弦定理的叙述中错误的是（）A．在△ABC中，a：b：c=sinA：sinB：sinCB．在△ABC中，若sin2A=sin2B，则A=BC．在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；若A＞B，则sinA＞sinBD．在△ABC中， =10．已知cos（θ+）•cos（θ﹣）=，θ∈（，π），则sinθ+cosθ的值为（）A ．B ．C ．D ．11．已知向量，，则向量夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．θ12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4，则B 等于（ ）A ．B=45°或135°B ．B=135°C ．B=45°D ．以上答案都不对二、填空题（每题4分，共16分）13．已知A ，B 均为钝角，且sinA=，求A+B 的值为 ．14．sin10°sin30°sin50°sin70°= ．15．若=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为 ．16．如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为 ．三、简答题：17．已知，cos （α﹣β）=，sin （α+β）=．求sin2α的值．18．如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一线段AB，AB=20m，在A处测得P点的仰角∠OAP=30°，在B点测得P点的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=30°，求旗杆的高度．19．已知向量=（1，﹣），=（sinx，cosx），f（x）=•，若f（θ）=0，求的值．20．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，其中M（，2），N（，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=，c=3，f（）=，求△ABC的面积．21．求证：﹣2cos（α+β）=．22．已知△ABC中，BC=1，A=120°，∠B=θ，记f（θ）=，①求f（θ）关于θ的表达式．②求f（θ）的值域．浙江省杭州市2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每题4分，共48分）1．集合M={x|x=k•90°+45°，k∈Z}，N={x|x=k•45°+90°，k∈Z}，则有（）A．M=N B．N⊊M C．M⊊N D．M∩N=∅【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】在集合N中，k=2n，或k=2n+1，n∈Z，能过说明M的元素都是集合N的元素，而集合N中存在元素不在集合M中，从而便得出M⊊N．【解答】解：对于集合N，k=2n，或k=2n+1，n∈Z；k=2n+1时，x=n•90°+45°+90°=（n+1）•90°+45°，n+1∈Z；又M 的元素x=k•90°+45°，k ∈Z ； ∴M 的元素都是N 的元素； 而k=2n 时，x=k•90°+90°； ∴N 中存在元素x ∉M ； ∴M ⊊N ． 故选：C ．2．sin （﹣）的值等于（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【考点】GI ：三角函数的化简求值．【分析】要求的式子即 sin （﹣4π+），利用诱导公式可得，要求的式子即 sin=sin．【解答】解：sin （﹣）=sin （﹣4π+）=sin=sin=，故选C ．3．若cos θ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【考点】G3：象限角、轴线角；GC ：三角函数值的符号．【分析】sin2θ=2sin θcos θ，因为cos θ＞0，所以sin θ＜0，可以判定角θ的终边所在象限． 【解答】解：由sin2θ=2sin θcos θ，因为cos θ＞0，所以sin θ＜0，可以判定角θ的终边所在象限第四象限． 故选D ．4．tan40°+tan80°﹣tan40°tan80°的值是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】GR ：两角和与差的正切函数． 【分析】由两角和差的正切公式进行化简即可．【解答】解：由两角和差的正切公式得tan40°+tan80°﹣tan40°tan80°=tan（40°+80°）（1﹣tan40°tan80°）﹣tan40°tan80°=tan120°（1﹣tan40°tan80°）﹣tan40°tan80°=﹣+tan40°tan80°﹣tan40°tan80°=﹣，故选：B．5．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样方法，从840人中抽取42人，那么从20人抽取1人．从而得出从编号481～720共240人中抽取的人数即可．【解答】解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人．所以从编号1～480的人中，恰好抽取=24人，接着从编号481～720共240人中抽取=12人．故：B．6．若函数f（x）=cos（3x﹣θ）﹣sin（3x﹣θ）为奇函数，则θ等于（）A．kπ（k∈Z）B．C．D．【考点】H8：余弦函数的奇偶性．【分析】根据辅导角公式，我们可以将已知中的函数f（x）=cos（3x﹣θ）﹣sin（3x﹣θ）解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦函数的对称性，结合函数奇偶性的性质得到到f（0）=0，进而解三角方程即可求出对应θ的值．【解答】解：∵函数f（x）=cos（3x﹣θ）﹣sin（3x﹣θ）=﹣2sin（3x﹣﹣θ）若函数f（x）=cos（3x﹣θ）﹣sin（3x﹣θ）为奇函数，则sin（﹣﹣θ）=0，即+θ=kπ，k∈Z．∴θ=故选D．7．如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=﹣对称，那么a等于（）A．B．1 C．D．﹣1【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】将函数y=sin2x+acos2x利用辅角公式化简，再根据正弦函数在对称轴上取最值可得方程，进而可得答案．【解答】解：由题意知y=sin2x+acos2x=sin（2x+φ）当时函数y=sin2x+acos2x取到最值±将代入可得：sin+acos=解得a=﹣1故选D．8．锐角三角形ABC中，a b c分别是三内角A B C的对边设B=2A，则的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（，2）D．（，）【考点】HP：正弦定理；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】先根据正弦定理得到=，即可得到，然后把B=2A代入然后利用二倍角的正弦函数公式化简，最后利用余弦函数的值域即可求出的范围．【解答】解：根据正弦定理得： =；则由B=2A，得： ====2cosA，而三角形为锐角三角形，所以A∈（，）所以cosA ∈（，）即得2cosA ∈（，）．故选D9．下列关于正弦定理的叙述中错误的是（ ） A ．在△ABC 中，a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC B ．在△ABC 中，若sin2A=sin2B ，则A=BC ．在△ABC 中，若sinA ＞sinB ，则A ＞B ；若A ＞B ，则sinA ＞sinBD ．在△ABC 中，=【考点】HP ：正弦定理．【分析】在△ABC 中，由正弦定理可得 a=2RsinA ，b=2RsingB ，c=2RsinC ，结合比例的性质，三角函数的图象和性质，判断各个选项是否成立，从而得出结论．【解答】解：A 、在△ABC 中，由正弦定理可得 a=2RsinA ，b=2RsingB ，c=2RsinC ， 故有a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC ，故A 成立； B 、若sin2A=sin2B ，等价于2A=2B ，或2A+2B=π，可得：A=B ，或A+B=，故B 不成立；C 、∵若sinA ＞sinB ，则sinA ﹣sinB=2cos sin＞0，∵0＜A+B ＜π，∴0＜＜，∴cos＞0，∴sin ＞0，∵0＜A ＜π，0＜B ＜π，∴﹣＜＜，又sin＞0，∴＞0，∴A ＞B ．若A ＞B 成立则有a ＞b ， ∵a=2RsinA ，b=2RsinB ， ∴sinA ＞sinB 成立； 故C 正确；D 、由，再根据比例式的性质可得D 成立．故选：B ．10．已知cos （θ+）•cos（θ﹣）=，θ∈（，π），则sin θ+cos θ的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】GP ：两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和差的余弦公式求得cos2θ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin2θ的值，从而求得sin θ+cos θ=﹣的值． 【解答】解：∵已知，∴（cos ﹣sin θ）•（cos+sin θ）=cos2θ=，∴cos2θ=，∴sin2θ=﹣=﹣，∴sin θ+cos θ=﹣=﹣=﹣，故选：C ．11．已知向量，，则向量夹角为（ ）A ．B ．C ．D ．θ【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量夹角的定义，结合三角函数的诱导公式进行化简即可．【解答】解：cos ＜，＞==﹣sin θ=cos （+θ）=cos （﹣﹣θ）=cos（2π﹣﹣θ）=cos （）∵θ∈（，π），∴∈（，π），∴向量夹角为，故选：A12．在△ABC 中，A=60°，a=4，b=4，则B 等于（ ）A ．B=45°或135°B ．B=135°C．B=45°D．以上答案都不对【考点】HP：正弦定理．【分析】由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由b小于a，得到B 小于A，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数．【解答】解：∵A=60°，a=4，b=4，∴由正弦定理=得：sinB===，∵b＜a，∴B＜A，则B=45°．故选C二、填空题（每题4分，共16分）13．已知A，B均为钝角，且sinA=，求A+B的值为．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】根据同角的三角函数的基本关系结合角的范围，求得cosA，cosB，在借助于A+B的余弦值，针对A+B的范围即可求解【解答】解：∵A、B均为钝角且sinA=，∴cosA=﹣=﹣，cosB=﹣=﹣，∴cos（A+B）=cosAcosB﹣sinAsinB=（﹣）×（﹣）﹣×=，∵＜A＜π，＜B＜π，∴π＜A+B＜2π∴A+B=．故答案为：．14．sin10°sin30°sin50°sin70°=．【考点】GS：二倍角的正弦；GN：诱导公式的作用．【分析】通过诱导公式化正弦为余弦，利用二倍角公式即可求出结果．【解答】解：sin10°sin30°sin50°sin70°=sin30°cos20°cos40°cos80°===．故答案为：．15．若=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为．【考点】MS：向量的投影．【分析】根据向量投影的公式，写出向量投影的表达式，进而用向量的数量积除以向量的模长来表示，代入数据求出结果．【解答】解：∵ =（2，3），=（﹣4，7），∴在方向上的投影||cosθ====故答案为：16．如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为5、8 ．【考点】BA：茎叶图．【分析】根据中位数与平均数的计算公式，结合图中数据，即可求出x，y的值．【解答】解：根据茎叶图知，甲的中位数是10+x=15，解得x=5；乙的平均数为=16.8，解得y=8；∴x，y的值分别为5、8．故答案为：5、8．三、简答题：17．已知，cos（α﹣β）=，sin（α+β）=．求sin2α的值．【考点】GP：两角和与差的余弦函数；GQ：两角和与差的正弦函数；GS：二倍角的正弦．【分析】本题主要知识是角的变换，要求的角2α变化为（α+β）+（α﹣β），利用两个角的范围，得到要用的角的范围，用两角和的正弦公式，代入数据，得到结果．【解答】解：由题设知α﹣β为第一象限的角，∴sin（α﹣β）==．由题设知α+β为第三象限的角，∴cos（α+β）==，∴sin2α=sin，=sin（α﹣β）cos（α+β）+cos（α﹣β）sin（α+β）=．18．如图所示，在地面上有一旗杆OP，为测得它的高度h，在地面上取一线段AB，AB=20m，在A处测得P点的仰角∠OAP=30°，在B点测得P点的仰角∠OBP=45°，又测得∠AOB=30°，求旗杆的高度．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】分别在△OAP，△OBP中用h表示出OA，OB，再在△OAB中利用余弦定列方程解出h．【解答】解：在Rt△OAP中，由tan∠OAP==，得OA==，在Rt△OBP中，由tan∠OBP==1，得OB=OP=h，在△AOB中，由余弦定理得cos∠AOB==，即=，解得h=20．即旗杆的高度为20m．19．已知向量=（1，﹣），=（sinx，cosx），f（x）=•，若f（θ）=0，求的值．【考点】9R：平面向量数量积的运算；GI：三角函数的化简求值．【分析】根据平面向量的数量积，利用同角的三角函数关系求出tanθ的值，再化简并求值．【解答】解：向量=（1，﹣），=（sinx，cosx），f（x）=•=sinx﹣cosx，∴f（θ）=sinθ﹣cosθ=0，∴=tanθ=；∴======﹣2．20．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示，其中M（，2），N（，0）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a=，c=3，f（）=，求△ABC 的面积．【考点】HS：余弦定理的应用；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）由图象可求f（x）的周期T，由周期公式可得ω，又f（x）过点（，2），结合|φ|＜，即可求得φ的值，从而可求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）由f（）=2sin（A+）=，结合A∈（0，π），即可求得A的值，在△ABC中，由余弦定理得b2﹣3b﹣4=0，解得b的值，由三角形面积公式即可得解．【解答】本题满分．解：（Ⅰ）由图象可知：函数f（x）的周期T=4×（﹣）=π，∴ω==2．又f（x）过点（，2），∴f（）=2sin（+φ）=2，sin（+φ）=1，∵|φ|＜， +φ∈（﹣，），∴+φ=，即φ=．∴f（x）=2sin（2x+）．（Ⅱ）∵f（）=2sin（A+）=，即sin（A+）=，又A∈（0，π），A+∈（，），∴A+=，即A=．在△ABC中，A=，a=，c=3，由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA，∴13=b2+9﹣3b，即b2﹣3b﹣4=0，解得b=4或b=﹣1（舍去）．∴S△ABC=bcsinA==3．21．求证：﹣2cos（α+β）=．【考点】GJ：三角函数恒等式的证明．【分析】先转换命题，只需证sin（2α+β）﹣2cos（α+β）•sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）﹣α=β可证得结论．【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα=sin﹣2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin=sinβ．两边同除以sinα得﹣2cos（α+β）=．∴原式得证22．已知△ABC中，BC=1，A=120°，∠B=θ，记f（θ）=，①求f（θ）关于θ的表达式．②求f（θ）的值域．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】①利用正弦定理求出AC的值，再利用平面向量的数量积计算f（θ）=；②由①化简f（x），利用θ的取值范围，求出正弦函数的取值范围即可．【解答】解：①如图所示，△ABC中，BC=1，A=120°，∠B=θ，由正弦定理得， ===∴AC=∴f（θ）==1××cos=×（cos60°cosθ+sin60°sinθ）=sinθcosθ+sin2θ=sin2θ﹣cos2θ+=（sin2θ﹣cos2θ）+=sin（2θ﹣60°）+，其中θ∈（0°，60°）；②由①知，θ∈（0°，60°），∴2θ∈（0°，120°），∴2θ﹣60°∈（﹣60°，60°），∴sin（2θ﹣60°）∈（﹣，）∴sin（2θ﹣60°）+∈（0，1）；即f（θ）的值域是（0，1）．。

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁RB）=（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=2，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．4．已知数列{an }中，a1=3，an+1=﹣（n∈N*），能使an=3的n可以等于（）A．14 B．15 C．16 D．175．在三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．B．C．D．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±647．等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10=3，则下列各和数中可确定值的是（）A．S6B．S11C．S12D．S138．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列10．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）11．已知正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．201512．不等式2x2﹣axy+3y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．14．已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为．15．设{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2015+a2016= ．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =a 2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c 且acosC ，bcosB ，ccosA 成等差数列． （1）求B 的值；（2）求2sin 2A ﹣1+cos （A ﹣C ）的取值范围．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ，公园由长方形的休闲区A 1B 1C 1D 1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A 1B 1C 1D 1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A 1B 1=x 米，求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数S （x ）的解析式； （2）要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长和宽该如何设计？22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n （Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．a、b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．＜ C．a2b＜ab2D．＜【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A、C、D错误，利用反证法说明B正确．【解答】解：a、b为非零实数，且a＜b．当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2＞b2，故A错误；若a＜0，b＞0，则＜；若a＜b＜0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立；若b＞a＞0，假设＜，则ab2＞a2b，即b＞a，假设成立．综上，＜，故B正确；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但a2b＞ab2，故C错误；当a=﹣2，b=1时，有a＜b，但，故D错误．故选：B．2．已知集合A={x|x2≥1}，，则A∩（∁B）=（）RA．（2，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D．[﹣1，0]∪[2，+∞）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】分别求解一元二次不等式和分式不等式化简集合A，B，然后利用交、并、补集的混合运算得答案．【解答】解：A={x|x2≥1}={x|x≤﹣1或x≥1}，由，得0＜x≤2，∴={x|0＜x≤2}，∴∁RB={x|x≤0或x＞2}，∴A∩（∁RB）=（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故选：C．3．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2﹣bc，bc=2，则△ABC 的面积为（）A．B．1 C．D．【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理可得A，再利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：△ABC中，∵a2=b2+c2﹣bc，∴cosA==，又A∈（0，π），∴A=，又bc=2，∴△ABC的面积S=sinA==，故选：D．4．已知数列{an }中，a1=3，an+1=﹣（n∈N*），能使an=3的n可以等于（）A．14 B．15 C．16 D．17【考点】8H：数列递推式．【分析】利用递推关系可得：an+3=an，再利用数列的周期性即可得出．【解答】解：∵a1=3，an+1=﹣（n∈N*），∴a2=﹣，同理可得：a3=，a4=3，…，∴an+3=an，∴a16=a1=3，能使an=3的n可以等于16．故选：C．5．在三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足==，则=（）A．B．C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由题意设a=7k、b=4k、c=5k（k＞0），由余弦定理求出cosA的值，由正弦定理和二倍角的正弦公式化简所求的式子，可得答案．【解答】解：∵，∴设a=7k、b=4k、c=5k，（k＞0）在△ABC中，由余弦定理得cosA==，由正弦定理得===，故选：C．6．在1和16之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积（）A．128 B．±128 C．64 D．±64【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列通项公式及其性质即可得出．【解答】解：设此等比数列为{an }，公比为q，a1=1，a5=16，∴a3==4．则a2a3a4==64．故选：C．7．等差数列{an }的前n项和记为Sn，若a2+a6+a10=3，则下列各和数中可确定值的是（）A．S6B．S11C．S12D．S13【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a6=1，从而利用等差数列的前n项和公式能求出S11．【解答】解：∵等差数列{an }的前n项和记为Sn，a2+a6+a10=3，∴3a6=3，解得a6=1，∴．∴各和数S6，S11，S12，S13中可确定值的是S11．故选：B．8．在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】由题意和余弦定理变形已知式子可得b=c，结合A=60°可判．【解答】解：∵在△ABC中A=60°，a2=bc，∴由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc，∴bc=b2+c2﹣bc，即（b﹣c）2=0，∴b=c，结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形．故选：D9．已知数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），下列结论正确的是（）A．t为任意实数，{an}均是等比数列B．当且仅当t=﹣1时，{an}是等比数列C．当且仅当t=0时，{an}是等比数列D．当且仅当t=﹣2时，{an}是等比数列【考点】87：等比数列．【分析】可根据数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t是实常数），求出a1，以及n≥2时，an，再观察，t等于多少时，{an}是等比数列即可．【解答】解：∵数列{an }的前n项和Sn=2n+t（t为常数），∴a1=s1=2+t，n≥2时，an =sn﹣sn﹣1=2n+t﹣（2n﹣1+t）=2n﹣2n﹣1=2n﹣1当t=﹣1时，a1=1满足an=2n﹣1故选：B10．如果不等式＜1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是（）A．（1，3）B．（﹣∞，3） C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，+∞）【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】不等式式＜1对一切实数x均成立，等价于 2x2+2（3﹣m）x+（3﹣m）＞0 对一切实数x均成立，利用判别式小于0，即可求出实数m的取值范围．【解答】解：不等式式＜1对一切实数x均成立，等价于 2x2+2（3﹣m）x+（3﹣m）＞0 对一切实数x均成立∴[2（3﹣m）]2﹣4×2×（3﹣m）＜0，故m的取值范围为（1，3）．故选：A．11．已知正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，则的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．2015【考点】8F：等差数列的性质．【分析】正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，可得a1+a2015=2=a2+a2014，再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵正项等差数列{an }满足a1+a2015=2，∴a1+a2015=2=a2+a2014，则=（a2+a2014）=≥=2，当且仅当a2=a2014=1时取等号．故选：B．12．不等式2x2﹣axy+3y2≥0对于任意x∈[1，2]及y∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤2 B．a≤2 C．a≤5 D．a≤【考点】3W：二次函数的性质．【分析】不等式等价变化为a≤=+，则求出函数Z=+的最小值即可．【解答】解：依题意，不等式2x2﹣axy+y2≤0等价为a≤=+，设t=，∵x∈[1，2]及y∈[1，3]，∴≤≤1，即≤≤3，∴≤t≤3，则Z=+=3t+，∵3t+≥2=2，当且仅当3t=，即t=时取等号，故a≤2，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），则一元一次不等式ax+b＜0的解集为．【考点】74：一元二次不等式的解法．【分析】由一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），可知：﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，利用根与系数的关系可得a，b．进而解出一元一次不等式ax+b＜0的解集．【解答】解：∵一元二次不等式x2+ax+b＞0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），∴﹣3，1是一元二次方程式x2+ax+b=0的两个实数根，∴﹣3+1=﹣a，﹣3×1=b，解得a=2，b=﹣3．∴一元一次不等式ax+b＜0即2x﹣3＜0，解得．∴一元一次不等式ax+b＜0的解集为．故答案为：．14．已知函数f（x）=，若使不等式f（x）＜成立，则x的取值范围为{x|x＜3} ．【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】根据函数的表达式解关于x≥2时的不等式f（x）＜即可．【解答】解：∴f（x）=，∴x＜2时，不等式f（x）＜恒成立，x≥2时，x﹣＜，解得：2≤x＜3，综上，不等式的解集是：{x|x＜3}，故答案为：{x|x＜3}．15．设{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，则a2015+a2016=18 ．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】由4x2﹣8x+3=0，解得x=，．根据{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，可得a2013=，a2014=．q=3．即可得出．【解答】解：由4x2﹣8x+3=0，解得x=，．∵{an } 为公比q＞1的等比数列，若a2013和a2014是方程4x2﹣8x+3=0的两根，∴a2013=，a2014=，∴q=3．∴a2015+a2016=q2（a2013+a2014）=18．故答案为：18．16．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，，且，b和c的等差中项为，则△ABC面积的最大值为．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】根据，利用向量的性质建立关系与余弦定理结合可得A的大小．b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．△ABC面积S=bcsinA，利用基本不等式可得最大值．【解答】解：向量，，∵，∴b（b﹣c）+（c﹣a）（c+a）=0．得：b2﹣bc=﹣c2+a2．即﹣a2+b2+c2=bc由余弦定理：b2+c2﹣a2=2bccosA可是：bc=2bccosA．∴cosA=．∵0＜A＜π∴A=又b和c的等差中项为，根据等差中项性质，可得b+c=1．∴b+c，（当且仅当b=c时取等号）可得：bc≤．则△ABC面积S=bcsinA≤=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=x2+3x+a（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＞2的解集（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3W：二次函数的性质；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）直接利用二次不等式转化求解即可．（2）利用函数恒成立，分离变量，利用函数的最值求解即可．【解答】解：（1）当a=﹣2时，不等式f（x）＞2可化为x2+3x﹣4＞0，解得{x|x＜﹣4或x＞1} …（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，则a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，设g（x）=﹣x2﹣3x则g（x）在区间x∈[1，+∞）上为减函数，当x=1时g（x）取最大值为﹣4，∴a得取值范围为{a|a＞﹣4} …．18．在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且=2csinA（1）确定角C的大小；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】HX：解三角形．【分析】（1）利用正弦定理把已知条件转化成角的正弦，整理可求得sinC，进而求得C．（2）利用三角形面积求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，最后求得a+b的值．【解答】解：（1）∵=2csinA∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴，又∵C锐角，∴（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC即7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积得．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25由于a+b为正，所以a+b=5．19．设等差数列{an }的前n项和为Sn，n∈N*，公差d≠0，S3=15，已知a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n，求数列{bn}的前n项和Tn．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）运用等比数列的性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）设bn =a2n=2n+1+1，运用分组求和的方法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到Tn．【解答】解：（I）依题意，a1，a4，a13成等比数列．即有a42=a1a13，则，解得，因此an =a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，即an=2n+1．（Ⅱ）依题意，．Tn =b1+b2+…+bn=（22+1）+（23+1）+…+（2n+1+1），=22+23+…+2n+1+n==2n+2+n﹣4．20．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c且acosC，bcosB，ccosA成等差数列．（1）求B的值；（2）求2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范围．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由于acosC，bcosB，ccosA成等差数列，可得2bcosB=acosC+ccosA，再利用正弦定理、和差化积、诱导公式等即可得出．（2）由，可得A﹣C=2A﹣，再利用倍角公式即可化为2sin2A﹣1+cos（A﹣C）=，由于，可得＜π，即可得出．【解答】解：（1）∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，∴2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得：2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵B∈（0，π），sinB ≠0，∴cosB=，B=．（2）∵，∴A﹣C=2A﹣，∴=，∵，∴＜π，∴＜≤1，∴2sin2A﹣1+cos（A﹣C）的取值范．21．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米．（1）若设休闲区的长A1B1=x米，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；5C：根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）利用休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，表示出，进而可得公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论．【解答】解：（1）由A1B1=x米，知米∴=（2）当且仅当，即x=100时取等号∴要使公园所占面积最小，休闲区A 1B 1C 1D 1的长为100米、宽为40米．22．已知数列{a n }的通项为a n ，前n 项和为s n ，且a n 是s n 与2的等差中项，数列{b n }中，b 1=1，点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上． （Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式a n ，b n （Ⅱ）设{b n }的前n 项和为B n ，试比较与2的大小．（Ⅲ）设T n =，若对一切正整数n ，T n ＜c （c ∈Z ）恒成立，求c 的最小值．【考点】8K ：数列与不等式的综合；8E ：数列的求和；8I ：数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）利用已知条件得出数列的通项和前n 项和之间的等式关系，再结合二者间的基本关系，得出数列{a n }的通项公式，根据{b n }的相邻两项满足的关系得出递推关系，进一步求出其通项公式；（Ⅱ）利用放缩法转化各项是解决该问题的关键，将所求的各项放缩转化为能求和的一个数列的各项估计其和，进而达到比较大小的目的；（Ⅲ）利用错位相减法进行求解T n 是解决本题的关键，然后对相应的和式进行估计加以解决．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得2a n =s n+2， 当n=1时，a 1=2，当n ≥2时，有2a n ﹣1=s n ﹣1+2，两式相减，整理得a n =2a n ﹣1即数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n =2n ．点P （b n ，b n+1）在直线x ﹣y+2=0上得出b n ﹣b n+1+2=0，即b n+1﹣b n =2， 即数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 因此b n =2n ﹣1．（Ⅱ）B n =1+3+5+…+（2n ﹣1）=n 2 ∴=． （Ⅲ）T n =①②①﹣②得∴又∴满足条件Tn＜c的最小值整数c=3．。

浙江省杭州市七校联考2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣2．（3分）下列中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同3．（3分）若，且，则锐角α=（）A．15°B．30°C．45°D．60°4．（3分）函数y=﹣cos2x，x∈R是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数5．（3分）函数y=3sin（2x）+2的单调递减区间是（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）6．（3分）在△ABC中，则C等于（）A．B．C．D．7．（3分）己知P1（2，﹣1）、P2（0，5）且点P在P1P2的延长线上，，则P点坐标为（）A．（﹣2，11）B．（，3）C．（，3）D．（2，﹣7）8．（3分）化简的结果是（）A．﹣cos1 B．c os1 C．cos1 D．﹣cos19．（3分）在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰三角形但不是等边三角形10．（3分）已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]二、填空题（每小题4分，共28分）11．（4分）sin420°=．12．（4分）sin2α=，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值为．13．（4分）满足的x的集合为．14．（4分）已知，则的值为．15．（4分）已知向量=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为．16．（4分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜α＜β＜，则β=．17．（4分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为．三、解答题（共4大题，满分42分）18．（8分）已知=，α∈（，π）（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．19．（10分）已知||=4，||=8，与夹角是120°．（1）求的值及||的值；（2）当k为何值时，？20．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx）．函数f（x）=．（1）求f（x）的对称轴．（2）当时，求f（x）的最大值及对应的x值．21．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x，g（x）=，其中a，b为非零实常数．（1）如何由f（x）的图象得到函数y=2sin2x的图象？（2）若f（α）=1﹣，，求α的值．（3）若x∈R，讨论g（x）的奇偶性（只写结论，不用证明）．浙江省杭州市七校联考2014-2015学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（）A．B．C．﹣D．﹣考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．解答：解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．∴cosα===﹣，故选：D．点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．2．（3分）下列中正确的是（）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同考点：象限角、轴线角．专题：证明题．分析：根据终边相同的角应相差周角的整数倍，举反例或直接进行判断．解答：解：A、如角3900与300的终边相同，都是第一象限角，而3900不是锐角，故A 不对；B、终边相同的角应相差周角的整数倍，而不是相等，故B不对；C、因为角的始边放在x轴的非负半轴上，则相等的角终边必相同，故C正确；D、如角3900和300不相等，但是它们的终边相同，故D不对．故选C．点评：本题考查了终边相同的角和象限角的定义，利用定义进行举出反例进行判断．3．（3分）若，且，则锐角α=（）A．15°B．30°C．45°D．60°考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题；三角函数的求值；平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出算式，求出α的值．解答：解：∵，且，∴×﹣sinαcosα=0，∴sinαcosα=；即sin2α=1；又α为锐角，∴2α=90°，∴α=45°．故选：C．点评：本题考查了平面向量的坐标运算问题，也考查了三角函数求值运算问题，是基础题目．4．（3分）函数y=﹣cos2x，x∈R是（）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数考点：三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用余弦函数的周期公式与奇偶性即可得到选项．解答：解：∵函数y=﹣cos2x为偶函数，且其周期T==π，∴函数y=﹣cos2x为最小正周期为π的偶函数，故选B．点评：本题考查余弦函数的奇偶性与周期公式，属于基础题．5．（3分）函数y=3sin（2x）+2的单调递减区间是（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）考点：复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．解答：解：令2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数的减区间为（k∈Z），故选D．点评：本题主要考查复合三角函数的单调性，属于基础题．6．（3分）在△ABC中，则C等于（）A．B．C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正切公式，求出tan（A+B）的三角函数值，求出A+B的大小，然后求出C的值即可．解答：解：由tanA+tanB+=tanAtanB可得tan（A+B）==﹣=因为A，B，C是三角形内角，所以A+B=120°，所以C=60°故选A点评：本题考查两角和的正切函数，考查计算能力，公式的灵活应用，注意三角形的内角和是180°．7．（3分）己知P1（2，﹣1）、P2（0，5）且点P在P1P2的延长线上，，则P点坐标为（）A．（﹣2，11）B．（，3）C．（，3）D．（2，﹣7）考点：线段的定比分点．专题：计算题；平面向量及应用．分析：画出图形，结合图形得出=﹣2，设出点P的坐标，利用向量相等，求出P 点坐标．解答：解：如图所示，P1（2，﹣1）、P2（0，5），且点P在P1P2的延长线上，，∴=﹣2设P（x，y），则（x﹣2，y+1）=﹣2（﹣x，5﹣y），即，解得；∴P点坐标为（﹣2，11）．故选：A．点评：本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题目．8．（3分）化简的结果是（）A．﹣cos1 B．c os1 C．cos1 D．﹣cos1考点：三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：直接利用二倍角公式化简，消去常数1，即可得到选项．解答：解：.==cos1．故选C点评：本题是基础题，考查三角函数的二倍角公式的应用，注意角的范围三角函数的值的符号，考查计算能力，常考题型．9．（3分）在△ABC中，P是BC边中点，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰三角形但不是等边三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题．分析：由题意利用成立的关系式，转化为向量相等，通过向量不共线，列出方程，推出三角形的边长关系，判断三角形的形状．解答：解：由题意在△ABC中，P是BC边中点可知，即∴，，∵不共线，∴，∴a=b=c．故选C．点评：本题利用向量的关系，考查判断三角形的形状的问题，考查分析问题解决问题的能力．10．（3分）已知ω＞0，函数在上单调递减．则ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2]考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．解答：解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选A．点评：本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．二、填空题（每小题4分，共28分）11．（4分）sin420°=．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由诱导公式化简后根据特殊角的三角函数值即可求解．解答：解：sin420°=sin（360°+60°）=sin60°=．故答案为：．点评：本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．12．（4分）sin2α=，且＜α＜，则cosα﹣sinα的值为﹣．考点：二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：根据二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系求出（cosα﹣sinα）2，然后由角的范围求出结果．解答：解；∵sin2α=2sinαcosα=sin2α+cos2α=1∴（cosα﹣sinα）2=1﹣=∵＜α＜∴cosα﹣sinα=﹣故答案为：﹣点评：此题考查了二倍角的正弦公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题．13．（4分）满足的x的集合为{x|+2kπ＜x＜+2kπk∈z}．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的图象，找到所对应的正弦函数值，进而根据正弦函数的单调性求得x的范围，即不等式的解集．解答：解：∵sin=，sin=，∴由正弦函数的图象和性质可得：在一个周期内上，sinx＞，可解得：＜x＜，∴可得：2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z，故不等式的解集为{x|+2kπ＜x＜+2kπk∈z}故答案为：{x|+2kπ＜x＜+2kπk∈z}点评：本题主要考查了正弦函数的图象．考查了学生对正弦函数单调性及数形结合的数学思想的运用，属于基本知识的考查．14．（4分）已知，则的值为．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．解答：解：由于已知，则=﹣cos（α﹣+）=﹣cos（α+）=，故答案为：．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．15．（4分）已知向量=（2，3），=（﹣4，7），则在方向上的投影为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用在方向上的投影=即可得出．解答：解：∵=﹣8+21=13，==．∴在方向上的投影===．故答案为：．点评：本题考查了向量的投影，属于基础题．16．（4分）已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜α＜β＜，则β=．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题．分析：由α和β的范围，求出β﹣α的范围，然后由cosα和cos（α﹣β）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα和sin（β﹣α）的值，然后由β=（β﹣α）+α，利用两角和的余弦函数公式化简后，根据特殊角的三角函数值即可求出β的度数．解答：解：由0＜α＜β＜，得到0＜β﹣α＜，又cosα=，cos（α﹣β）=cos（β﹣α）=，所以sinα==，sin（β﹣α）=﹣sin（α﹣β）=﹣=﹣，则cosβ=cos=cos（β﹣α）cosα﹣sin（β﹣α）sinα=×+×=，所以β=．故答案为：点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和的余弦函数公式化简求值，是一道基础题．做题时注意角度的变换．17．（4分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则的最小值为5．考点：向量的模．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，利用解析法求解，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0），设P（0，b）（0≤b≤a），求出，根据向量模的计算公式，即可求得，利用完全平方式非负，即可求得其最小值．解答：解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴=≥5．故答案为5．点评：此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．三、解答题（共4大题，满分42分）18．（8分）已知=，α∈（，π）（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求的值．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知等式整理求出tanα的值即可；（Ⅱ）原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：（Ⅰ）由=，整理得：3tan2α﹣2tanα﹣1=0，即（3tanα+1）（tanα﹣1）=0，解得：tanα=﹣或tanα=1，∵α∈（，π），∴tanα＜0，∴tanα=﹣；（Ⅱ）∵tanα=﹣，∴原式===．点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．19．（10分）已知||=4，||=8，与夹角是120°．（1）求的值及||的值；（2）当k为何值时，？考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）利用数量积定义及其运算性质即可得出；（2）由于，•=0，展开即可得出．解答：解：（1）=cos120°==﹣16．||===4．（2）∵，∴•=+=0，∴16k﹣128+（2k﹣1）×（﹣16）=0，化为k=﹣7．∴当k=﹣7值时，．点评：本题考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）已知向量=（sinx，cosx），=（cosx，cosx）．函数f（x）=．（1）求f（x）的对称轴．（2）当时，求f（x）的最大值及对应的x值．考点：平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用．专题：三角函数的图像与性质；平面向量及应用．分析：（1）利用数量积公式求出f（x），然后利用三角函数的倍角公式化简，令复合角为k，求出x；（2）利用（1），判断复合角的范围，结合正弦函数的有界性求最值．解答：解：（1）由已知得到f（x）==2（sinxcosx+cos2x）﹣1=sin2x+cos2x= (4)令2x+=k，k∈Z，解得． (7)（2）由（1）得∵，∴， (9)∴当时，即时f（x）的最大值为2． (12)点评：本题考查了平面向量的数量积以及三角函数的化简和性质；正确化简三角函数式是解答的关键．21．（12分）已知函数f（x）=2cos2x+sin2x，g（x）=，其中a，b为非零实常数．（1）如何由f（x）的图象得到函数y=2sin2x的图象？（2）若f（α）=1﹣，，求α的值．（3）若x∈R，讨论g（x）的奇偶性（只写结论，不用证明）．考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简已知解析式可得f（x）=1+2sin（2x+），由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可得解．（2）由已知可得sin（2）的值，由角α的范围，可求2的范围，从而可求α的值．（3）由已知可求，分b=，或两种情况由奇偶性的定义即可讨论g（x）的奇偶性．解答：（本题满分12分）解：（1）∵由已知，….1分∴f（x）=2sin（2x+）+1f（x）=2sin2x+1f（x）=2sin2x． (3)分（2）由….4分∵…5分∴…7分（3）由已知，得，…10分∴g（x）是奇函数….11分，∵g（﹣x）≠﹣g（x）且g（﹣x）≠g（x）∴g（x）既不是奇函数，又不是偶函数．….12分（没有证明不扣分）点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．。

浙江省杭州市2017-2018学年下学期期中考试高一数学试卷一．选择题（每小题5分，共40分）1．在等差数列{}n a 中，已知120a =，前n 项和为n S 且813S S =，当n S 取得最大时n 的值为（ ） A ．9 B ．10 C ．12 D ．10或112．关于x 的不等式，2|1||2|1x x a a -+-≤++的解集为空集，则a 的取值范围为（ ）A ．（0，1）B ．（－1，0）C ．（1，2）D ．(,1)-∞-3．已知5sin()413x π+=-，则sin 2x 的值等于（ ）A ．120169B ．119169C ．120169-D ．119169-4．在ABC ∆中2cos 22B a c c+=（a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边），则ABC ∆的形状为（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 5．在数列{}n a 中，1112,n(1)n n a a a l n+==++，则n a 等于（ ）A ．2n l n +B ．2(1)n n l n +-C ． 2n nl n +D ．1n n l n ++ 6．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a =+，若存在两项,m n a a14a =，则14m n+的最小值为（ ）A ．32 B ．53 C ．256D ．不存在 7．设0,0a b >>，则以下不等式中不恒成立是（ ）A ．|1||5|6x x --+≤B ．3322a b ab +≥C ．22222a b a b ++≥+ D≥8．数列{}n a 的通项公式为2n a kn n =+满足12345a a a a a <<<<，且1n n a a +>对8n ≥恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．11(,)317--B ．11(,)917--C ．11(,)311--D ．11(,)911-- 二．填空题（第9题每空2分，10－12题每空3分，13－15题每空4分，共36分） 9．α为第三象限角，3cos 25α=-，则s i n2_______α=，tan(2)_________4πα+=，在以sin 2α为首项，tan(2)4πα+为公差的等差数列{}n a 中，其前n 项和达到最大时__________.n =10．设,a b 都是正数，且22260a b a b +--=，则11a b +的最小值为__________，此时ab 值为__________. 11．在四边形ABCD 中，已知,A DD C A BB C ⊥⊥,1,2,120ABAD BAD ==∠=︒，则______,___B D AC == 12．已知数列{}n a 满足111,31nn n a a a a +==+，则_________n a =，若1n n n b a a +=，则n b 的前n 项和为_____________.13．数列{}n a 的前n 项和为n S 数列{}n a 的各项按如下规则排列11212312,,,,,,,23344455, 341,,,556若存在正整数k ，使110,10k k S S +<≥，则__________.k a =14．已知αβ、均为钝角，sin 510αβ==，则_________.αβ+= 15．关于x 的不等式229|3|x x x kx ++-≥在[1，5]上恒成立，则实数k 的取值范围为____________.三．解答题16．已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+. （1）求5()4f π的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.17．已知实数a 满足不等式|2|2a +<，解关于x 的不等式(1)(1)0.ax x +->18．在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A 、B 、C 所对边，且2sin (2)sin a A b c B =+(2)sin c b C ++. （1）求A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.19．设a R ∈函数2() (||1)f x ax bx a x =+-≤. （1）若|(0)|1f ≤，|(1)|1f ≤求证5|()|4f x ≤； （2）当1b =，若()f x 的最大值为178，求实数a 的值.20．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2132a a a =+数列是公差为1的等差数列，数列{}n b 满足1111,,22n n n b b b n++==，记数列{}n b 的前n 项和为n T . （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式及前n 项和；（2λ≤恒成立，求实数λ的取值范围.浙江省杭州市2017-2018学年下学期期中考试高一数学试卷答案一．选择题（每题5分，共40分）二．填空题（9、10、11、12每题6分，其余每题4分共36分） 9.45 17- 610. 312.132n - 31n n + 13. 57 14. 74π15. (]10.6-三．解答题：（第16题14分，其余各题均15分，共74分.） 16．解（1）2()2sin cos 2cos 2cos 21f x x x x Sin x x =+=++2)14x =++552()sin()124244f πππ∴=+=+=（2）())4f x x π=+ T π∴=222242k x k πλλππ-≤+≤+K Z ∈388k x k ππππ∴-≤≤+ K Z ∈单调递增区间为3,88k k πλππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ K Z ∈ 17．解(2)2a +< 40a ∴-<<(1)(1)0ax x +-= 11x ∴= 21x a=-1110a a a++=> 1a <-或0a > 41a ∴-<<-当的不等式解集为1(,1)a-当10a -<<的不等式解集为1(1,)a- 当0a =时 不等式解集为∅ 18．解（1）由条件的222222a b bc c bc =+++ 222a b c bc ∴=++又2222a b c bc =+- cos A 1cos 2A ∴=- 120A =︒（2）120A =︒ 60B C ∴+=︒1sin sin sin sin(60)sin sin 22B C B B B B B ∴+=+︒-=+-1sin cos sin(60)22B B B =+=+︒ 060B ︒<<︒ 6060120B ∴︒<+︒<︒ ∴当30B =︒时 sin sin B C +的最大值为1 19．（1）证：(0)1f a =≤ (1)1f b =≤22()(1)1f x a x bx a x b x ∴=-+≤-+ 21x x =-+ 11x -≤≤ 2215()1()24f x x x x ∴=-+=--+5()4f x ∴≤（2）解：1b =当1a ≤时 5()4f x ≤()f x 的最大值为178矛盾 1a ∴>当1a >时 1( 1.0)2a -∈- ()f x ∴在1(1,)2a--是减函数 1(,1)2a -是增函数(1)1f = (1)1f -=-max ()(1)1f x f ∴==不符题意当1a <-时 1(10,1)2a -- ()f x ∴在1(1,)2a--是增函数在1(,1)2a -是减函数 max 1117()()248f x f a a a ∴=-=--= 28217a a --= 即281720a a ++= 18a ∴=-或2a =-1a <- 2a ∴=-20．解：（1）{}nS 是公差为1的等差数列 (1)n =-2132a a a =+ 212333a a a a S ∴=++=2133()S S S ∴-= ))222312⎡⎤∴+-=⎢⎥⎣⎦11)(4)a =+110a ∴-= 11a ∴= n =2n S n = 21n a n =- *n N ∈1112n n b b n n +=+ 112b = 1()2n n b n ∴= 1()2nn b n ∴= 可得22n n n T +∴=-（2）令2()2nn nf n +== 222111(1)(1)2(2)(1)(1)()2222n n n n n n n n n n n n f n f n +++++++-++-++-=-==-3n ∴≥时 (1)()0f n f n +-< 2n <时 (1)()0f n f n +-> (1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ∴<=>>>max 3()(2)(3)2f n f f ∴=== 32λ∴≥。

浙江省2017—2018学年高一数学下学期期中考试试卷（三）（考试时间90分钟满分100分）一、单项选择题（本大题共13小题，每小题3分，共39分）1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n等于（）A．2n B．2n+1 C．2n﹣1 D．2n﹣12．若＜＜0，则下列不等式中，正确的不等式有（）①a+b＜ab②|a|＞|b|③a＜b④+＞2．A．1个B．2个C．3个D．4个3．在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．64．在△ABC中，a=8，b=7，A=45°，则此三角形解的情况是（）A．一解 B．两解 C．一解或两解D．无解5．已知实数列﹣1，x，y，z，﹣2成等比数列，则xyz等于（）A．﹣4 B．±4 C．﹣2D．±26．数列{a n}，{b n}满足a n b n=1，a n=（n+1）（n+2），则{b n}的前10项之和为（）A．B．C．D．7．y=sinx+cosx（0≤x≤），则y的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．8．某同学让一弹性球从128m高处下落，每次着地后又跳回原来的高度的一半再落下，则第8次着地时球所运行的路程和为（）A．382m B．510m C．254m D．638m9．若不等式＜0和不等式ax2+bx﹣2＞0的解集相同，则a、b的值为（）A．a=﹣8 b=﹣10 B．a=﹣4 b=﹣9 C．a=﹣1 b=9 D．a=﹣1 b=210．已知正项等差数列{a n}满足a1+a2016=2，则+的最小值为（）A．1 B．2 C．2014 D．201511．在△ABC中，则C等于（）A．B． C．D．12．在等差数列{a n}中，若，且它的前n项和S n有最小值，那么当S n取得最小正值时，n=（）A．18 B．19 C．20 D．2113．已知数列{x n}满足x n+3=x n，x n+2=|x n+1﹣x n|（n∈N*），若x1=1，x2=a（a≤1，a≠0）则数列{x n}的前2016项的和S2016为（）A．671 B．670 C．1342 D．1344二、填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分）14．sin15°•cos15°=．15．求和：1+2+3+…+n+（n+1）=．16．已知x＞，那么函数y=2x+2+的最小值是．17．不等式x＜的解集是．18．已知cos（α+）=，α∈（0，），则sinα=．19．已知△ABC的内角A，B，C所对的边为a，b，c，A=60°，b=1，c=4，则=．20．定义一种运算“*”，它对于正整数满足下列运算性质：①2*2016=1，②（2n+2）*2016=2[（2n）*2016]，则2016*2016=．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分共40分）21．已知正数x、y满足的最小值．解：∵x+2y=1且x、y＞0，∴，∴，判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法．22．已知不等式x2﹣2x+5﹣2a≥0．（1）若不等式对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a∈[4，]使得该不等式成立，求实数x的取值范围．23．已知数列{a n}的前n项和为S n=n2．（1）求a n；（2）将{a n}中的第2项，第4项，…，第2n项按原来的顺序排成一个新数列{b n}，令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．24．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=．（1）若b，c是方程x2﹣x+1=0的两根，求△ABC的面积；（2）若△ABC是锐角三角形，且B=2A，求b的取值范围．25．已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足（a n+1﹣a n）（b n+1﹣b n）=c n（n∈N*）．（1）设c n=2n+n，a n=n+1，当b1=1时，求数列{b n}的通项公式；（2）设c n=n3，a n=n2﹣8n，求正整数k，使得一切n∈N*，均有b n≥b k．参考答案一、单项选择题1．C．2．B．3．B．4．A 5．C．6．D．7．C．8．A 9．B．10．B．11．A 12．C 13．D．二、填空题14．答案为：15．答案为：．16．答案为：5．17．答案为：{x|x＜﹣1或0＜x＜1}18．答案为：．19．答案为：．20．答案为：21007三、解答题21．解：错误．∵；等号当且仅当x=y时成立，又∵；等号当且仅当x=2y时成立，而①②的等号同时成立是不可能的．正确解法：因为x＞0，y＞0，且x+2y=1，∴，当且仅当，∴这时22．解：（1）∵x2﹣2x+5﹣2a≥0在R恒成立，∴△≤0，即4﹣4（5﹣2a）≤0，∴a≤2；（2）若存在实数a∈[4，]使得该不等式成立，即x2﹣2x+5≥8，解得：x≥3或x≤﹣1，故x∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．23．解：（1）由数列{a n}的前n项和为S n=n2．得S n=（n﹣1）2．n＞1，﹣1两式相减得到a n=2n﹣1（n＞1）；令n=1，得到S 1=a 1=1，满足上式；故a n =2n ﹣1．（2）由已知，∴．24．解：（1）∵b ，c 是方程x 2﹣x +1=0的两根， ∴b +c=，bc=1，又a=，由余弦定理得cosA====， ∵0＜A ＜π，∴A=，∴△ABC 的面积S===； （2）∵△ABC 是锐角三角形，且B=2A ，∴C=π﹣B ﹣A=π﹣3A ，则，解得，由正弦定理得=，则，∴，得b=cosA ，由得，，∴b=2cosA 的取值范围是．25．解：（1）∵c n =2n +n ，a n =n +1，∴a n+1﹣a n =1，∴（a n+1﹣a n ）（b n+1﹣b n ）=b n+1﹣b n =c n ， ∴b 2﹣b 1=c 1，b 3﹣b 2=c 2，b 4﹣b 3=c 3，…，b n ﹣b n ﹣1=c n ﹣1，累加可得，b n﹣b1=c1+c2+c3+…+c n，﹣1∴b n=1+2+1+4+2+8+3+…+2n﹣1+n﹣1=2n+﹣1；（2）∵a n=n2﹣8n，∴a n+1﹣a n=（n+1）2﹣8（n+1）﹣（n2﹣8n）=2n﹣7，∴（a n+1﹣a n）（b n+1﹣b n）=（2n﹣7）（b n+1﹣b n）=c n=n3，∴b n+1﹣b n=，∴当n≤3时，b n+1﹣b n＜0，当n＞3时，b n+1﹣b n＞0，∴b4是数列{b n}的最小值，∴k=4．。

2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，A）∩B=（）则（∁UA．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．167．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．28．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥29．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣210．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A． B．C．D．11．若点P是曲线y=x2﹣lnx上任意一点，则点P到直线y=x﹣2的最小距离为（）A．1 B．C． D．12．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣2）=2021，对任意x∈（﹣∞，+∞），都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x）＞x2+2017的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是m/s．14．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．15．下列结论中，正确结论的序号为①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）2017-2018学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）1．设全集U={﹣1，﹣2，﹣3，﹣4，0}，集合A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，则（∁UA）∩B=（）A．{0} B．{﹣3，﹣4} C．{﹣1，﹣2} D．∅【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】先计算集合CU A，再计算（CUA）∩B．【解答】解：∵A={﹣1，﹣2，0}，B={﹣3，﹣4，0}，∴CUA={﹣3，﹣4}，∴（CUA）∩B={﹣3，﹣4}．故答案选B．2．已知命题p：点P在直线y=2x﹣3上；命题q：点P在直线y=﹣3x+2上，则使命题“p且q”为真命题的一个点P（x，y）是（）A．（0，﹣3）B．（1，2）C．（1，﹣1）D．（﹣1，1）【考点】2E：复合命题的真假．【分析】根据已知条件便知P点是直线y=2x﹣3和直线y=﹣3x+2的交点，所以解方程组即得点P坐标．【解答】解：若“p且q”为真命题，则：P既在直线y=2x﹣3上，又在y=﹣3x+2上；所以点P是直线y=2x﹣3和y=﹣3x+2的交点；∴解得x=1，y=﹣1；∴P（1，﹣1）．故选C．3．设集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}，B={x|2x﹣5＞0}，则集合A与B的关系是（）A．B⊆A B．B⊇A C．B∈A D．A∈B【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】化解集合A，B，根据集合之间的关系判断即可．【解答】解：集合A={x|﹣x2﹣x+2＜0}={x|x＞1或x＜﹣2}，B={x|2x﹣5＞0}={x|x＞2.5}．∴B⊆A，故选A4．下列命题：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题；②“全等三角形面积相等”的逆命题；③“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”的逆否命题；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”的逆否命题．其中正确的命题是（）A．③④B．①③C．①②D．②④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】结合四种命题的定义，及互为逆否的两个命题，真假性相同，分别判断各个结论的真假，可得答案．【解答】解：①“若a2＜b2，则a＜b”的否命题为“若a2≥b2，则a≥b”为假命题，故错误；②“全等三角形面积相等”的逆命题“面积相等的三角形全等”为假命题，故错误；③若a＞1，则△=4a2﹣4a（a+3）=﹣12a＜0，此时ax2﹣2ax+a+3＞0恒成立，故“若a＞1，则ax2﹣2ax+a+3＞0的解集为R”为真命题，故其逆否命题为真命题，故正确；④“若x（x≠0）为有理数，则x为无理数”为真命题，故其的逆否命题，故正确．故选：A5．已知非空集合M和N，规定M﹣N={x|x∈M且x∉N}，那么M﹣（M﹣N）等于（）A．M∪N B．M∩N C．M D．N【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据题中的新定义判断即可得到结果．【解答】解：根据题意得：M﹣（M﹣N）=M∩N，故选：B．6．当x＞0，y＞0， +=1时，x+y的最小值为（）A．10 B．12 C．14 D．16【考点】7F：基本不等式．【分析】利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x＞0，y＞0， +=1，∴x+y=（x+y）=10+=16，当且仅当y=3x=12时取等号．∴x+y的最小值为16．故选：D．7．已知函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，则f（1）+2f′（1）的值是（）A．B．1 C．D．2【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；3T：函数的值．【分析】利用函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，可求f（1）、f′（1）的值，从而可得结论．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x﹣2y+1=0，∴f（1）=1，f′（1）=∴f（1）+2f′（1）=2故选D．8．已知A={x|x≥k}，B={x|x2﹣x﹣2＞0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则k 的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k≤﹣1 C．k＞2 D．k≥2【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式可得x＜﹣1，或x＞2，由充要条件的定义可得{x|x≥k}是集合{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：解不等式x2﹣x﹣2＞0可得x＜﹣1，或x＞2，要使“x≥k”是“x2﹣x﹣2＞0”的充分不必要条件，则需集合A={x|x≥k}是集合B={x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，故只需k＞2即可，故实数k的取值范围是（2，+∞），故选：C．9．设f（x）是可导函数，且=（）A．B．﹣1 C．0 D．﹣2【考点】6F：极限及其运算．），【分析】由题意可得=﹣2=﹣2f′（x结合已知可求）=2【解答】解：∵ =﹣2=﹣2f′（x0）=﹣1∴f′（x故选B10．已知函数f（x）的导函数f′（x）=a（x+b）2+c（a≠0）的图象如图所示，则函数f（x）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点】63：导数的运算；3O ：函数的图象．【分析】根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：由f′（x ）图象可知，函数f （x ）先减，再增，再减，故选：D ．11．若点P 是曲线y=x 2﹣lnx 上任意一点，则点P 到直线y=x ﹣2的最小距离为（ ）A ．1B ．C ．D ．【考点】IT ：点到直线的距离公式．【分析】设出切点坐标，利用导数在切点处的函数值，就是切线的斜率，求出切点，然后再求点P 到直线y=x ﹣2的最小距离．【解答】解：过点P 作y=x ﹣2的平行直线，且与曲线y=x 2﹣lnx 相切，设P （x 0，x 02﹣lnx 0）则有k=y′|x=x 0=2x 0﹣．∴2x 0﹣=1，∴x 0=1或x 0=﹣（舍去）．∴P （1，1），∴d==．故选B ．12．已知函数f （x ）的定义域为R ，f （﹣2）=2021，对任意x ∈（﹣∞，+∞），都有f'（x ）＜2x 成立，则不等式f （x ）＞x 2+2017的解集为（ ）A ．（﹣2，+∞）B ．（﹣2，2）C ．（﹣∞，﹣2）D ．（﹣∞，+∞） 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g （x ）=f （x ）﹣x 2﹣2017，利用对任意x ∈R ，都有f′（x ）＜2x 成立，即可得出函数g（x）在R上单调性，进而即可解出不等式．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2﹣2017，则g′（x）=f′（x）﹣2x＜0，∴函数g（x）在R上单调递减，而f（﹣2）=2021，∴g（﹣2）=f（﹣2）﹣（﹣2）2﹣2017=0，∴不等式f（x）＞x2+2017，可化为g（x）＞g（﹣2），∴x＜﹣2，即不等式f（x）＞x2+2017的解集为（﹣∞，﹣2），故选：C．二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知某物体的运动方程是S=t+t3，则当t=3s时的瞬时速度是 4 m/s．【考点】61：变化的快慢与变化率．【分析】求出位移的导数；将t=3代入；利用位移的导数值为瞬时速度；求出当t=3s时的瞬时速度．【解答】解：根据题意，S=t+t3，则s′=1+t2将t=3代入得s′（3）=4；故答案为：414．已知y=f（x）为R上可导函数，则“f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件（填“充分不必要条件”或“必要不充分条件”或“充要条件”或“既不充分也不必要条件”）．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．【解答】解：x=0是y=f（x）极值点，可得f′（0）=0；反之不成立，例如函数f（x）=x3，f′（x）=3x2，虽然f′（0）=0，但是x=0不是函数f（x）的极值点．∴f′（0）=0“是“x=0是y=f（x）极值点”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．15．下列结论中，正确结论的序号为①②④①已知M，N均为正数，则“M＞N”是“log2M＞log2N”的充要条件；②如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，则q一定是真命题；③若p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x≤0，x2+2x﹣2＞0；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】根据充要条件的定义和对数函数的性质，可判断①；根据复合命题的真假，可判断②；根据特称命题的否定方法，可判断③；运用原命题的逆否命题，可判断④．【解答】解：对于①，由M，N＞0，函数y=log2x在（0，+∞）递增，可得“M＞N”⇔“log2M＞log2N”，故①正确；对于②，如果命题“p或q”是真命题，“非p”是真命题，可得P为假命题，q一定是真命题．故②正确；对于③，p为：∃x＞0，x2+2x﹣2≤0，则￢p为：∀x＞0，x2+2x﹣2＞0．故③不正确；对于④，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．故④正确．故答案为：①②④．16．若实数a，b满足2a+2b=1，则a+b的最大值是﹣2 ．【考点】7F：基本不等式．【分析】由2a+2b=1，得=，从而可求a+b的最大值，注意等号成立的条件．【解答】解：∵2a+2b=1，∴=，即，∴a+b≤﹣2，当且仅当，即a=b=﹣1时取等号，∴a=b=﹣1时，a+b取最大值﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）17．（1）已知，求曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程；（2）已知函数f（x）=x3﹣3x，过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算g′（4），求出切线方程即可；（2）设出切点为M（x0，y），表示出切线方程，求出切点坐标，从而求出切线方程即可．【解答】解：（1）∵g（x）=，∴g′（x）=，∴g′（4）=，∴曲线g（x）在点（4，2）处的切线方程为y﹣2=（x﹣4），即y=x+1；（2）曲线方程为y=x3﹣3x，点A（0，16）不在曲线上，设切点为M（x0，y），则点M的坐标满足y=x3﹣3x，因f′（x0）=3（x2﹣1），故切线的方程为y﹣y=3（x2﹣1）（x﹣x），将A（0，16）代入切线方程化简得x03=﹣8，解得x=﹣2．所以切点为M（﹣2，﹣2），切线方程为9x﹣y+16=0．18．设命题p：A={x|（4x﹣3）2≤1}；命题q：B={x|a≤x≤a+1}，若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，即可得出．【解答】解：由（4x﹣3）2≤1，得≤x≤1，A={x|≤x≤1}．由¬p是¬q的必要不充分条件，得p是q的充分不必要条件，即A B，∴，∴0≤a≤．∴实数a的取值范围是[0，]．19．已知函数f（x）=|x﹣m|﹣1．（1）若不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，求实数t的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）求得不等式f（x）≤2的解集，再根据不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求得实数m的值．（2）由题意可得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值大于或等于t﹣2，求得g（x）=|x﹣2|+|x+3|的最小值，可得t的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤2得，|x﹣m|≤3，解得m﹣3≤x≤m+3，又已知不等式f（x）≤2的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得m=2．（2）当m=2时，f（x）=|x﹣2|﹣1，由于f（x）+f（x+5）≥t﹣2对一切实数x恒成立，则|x﹣2|+|x+3|﹣2≥t﹣2对一切实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|≥t对一切实数x恒成立，设g（x）=|x﹣2|+|x+3|，于是，所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；当x＞2时，g（x）＞5．综上可得，g（x）的最小值为5，∴t≤5，即t的取值范围为（﹣∞，5]．20．已知函数f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx．．（1）若a=1，求函数f（x）的极值；（2）若f（x）在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出函数的导数，利用导数为0，求解极值点，然后判断求解极值即可．（2）利用导函数的符号，结合基本不等式或函数的导数求解函数的最值，推出结果即可．【解答】解：（1）∵f（x）=x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）lnx，x＞0∴，因为a=1，令=0得x=1或x=（舍去）…又因为，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；x＞1时，f'（x）＞0所以x=1时，函数f（x）有极小值f（1）=0…（2）若f'（x）＞0，在x＞0上恒成立，则2x2﹣（2﹣a）x﹣（2﹣a）＞0恒成立，∴恒成立…而当x＞0时∵．检验知，a=2时也成立∴a≥2…[或：令，∴，∵x＞0，∴g'（x）＜0﹣﹣﹣﹣﹣所以，函数g（x）在定义域上为减函数所以g（x）＜g（0）=2检验知，a=2时也成立∴a≥2…．21．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|的定义域为实数集R．（Ⅰ）当a=5时，解关于x的不等式f（x）＞9；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}，如果A∪B=A，求实数a的取值范围．【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）当a=5，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得B⊆A，区间B的端点在集合A中，由此求得a的范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=5时，关于x的不等式f（x）＞9，即|x+5|+|x﹣2|＞9，故有①；或②；或③．解①求得x＜﹣6；解②求得x∈∅，解③求得 x＞3．综上可得，原不等式的解集为{x|x＜﹣6，或 x＞3}．（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）=|x+a|+|x﹣2|≤|x﹣4|的解集为A，B={x∈R|2x﹣1|≤3}={x|﹣1≤x≤2 }，如果A∪B=A，则B⊆A，∴，即，求得﹣1≤a≤0，故实数a的范围为[﹣1，0]．22．已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最小值．（其中e为自然对数的底数）【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（Ⅱ）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（Ⅲ）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间[1，e]上的单调性，进而求得其在区间[1，e]上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为函数f（x）=，∴f′（x）==，f′（x）＞0⇒0＜x＜2，f′（x）＜0⇒x＜0，或x＞2，故函数f（x）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），（Ⅱ）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，⇒x3=﹣ax+2a，①由x﹣y﹣1=x﹣﹣1=0⇒（x2﹣a）（x﹣1）=0⇒x=1，x=±．把x=1代入①得a=1，把x=代入①得a=1，把x=﹣代入①得a=﹣1（舍去），故所求实数a的值为1．（Ⅲ）∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1），∴g′（x）=lnx+1﹣a，解lnx+1﹣a=0得x=e a﹣1，故g（x）在区间（e a﹣1，+∞）上递增，在区间（0，e a﹣1）上递减，①当e a﹣1≤1时，即0＜a≤1时，g（x）在区间[1，e]上递增，其最小值为g（1）=0；②当1＜e a﹣1＜e时，即1＜a＜2时，g（x）的最小值为g（e a﹣1）=a﹣e a﹣1；③当e a﹣1≥e，即a≥2时，g（x）在区间[1，e]上递减，其最小值为g（e）=e+a﹣ae．。

2017-2018学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知集合A＝{0，5}，B＝{0，1，3}，则A∩B＝（）A．{0}B．∅C．{1，3，5}D．{0，1，3，5} 2．（3分）函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域为（）A．[0，1]B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）3．（3分）已知向量，满足＝（1，2），＝（2，0），则2+＝（）A．（4，4）B．（2，4）C．（2，2）D．（3，2）4．（3分）log69+log64＝（）A．log62B．2C．log63D．35．（3分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2＝S4＝﹣2，则d＝（）A．1B．3C．5D．76．（3分）1﹣2sin222.5°＝（）A．1B．C．D．﹣7．（3分）已知点D为△ABC的边BC的中点，则（）A．＝（﹣）B．＝（+）C．＝﹣（﹣）D．＝﹣（+）8．（3分）为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（3分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝＝，则△ABC 是（）A．等边三角形B．有一个内角为30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形10．（3分）若实数x，y，z满足x＝40.5，y＝log53，z＝sin（+2），则（）A．x＜z＜y B．y＜z＜x C．z＜x＜y D．z＜y＜x 11．（3分）若函数f（x）＝2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）上恰有一个零点，则（）A．a＝﹣或a＝1B．a＞1或a＝0C．a＞1D．a＝﹣12．（3分）设函数f（x）＝|A sin x﹣B|（A≠0，B∈R），则f（x）的最小正周期（）A．与A有关，且与B有关B．与A无关，且与B有关C．与A无关，且与B无关D．与A有关，且与B无关13．（3分）设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数M＞0，使得对任意的n∈N*，都有|S n|＜M，则称数列{a n}为“L数列”（）A．若{a n}是等差数列，且首项a1＝0，则数列{a n}是“L数列”B．若{a n}是等差数列，且公差d＝0，则数列{a n}是“L数列”C．若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1，则数列{a n}是“L数列”D．若{a n}是等比数列，也是“L数列”，则数列{a n}的公比q满足|q|＜114．（3分）设f（x）＝，记f1（x）＝f（x），f k+1（x）＝f（f k（x））（k＝1，2，3，…），则（）A．当x≥2时，不等式f2018（x）≥2恒成立B．当0＜x≤2时，f2018（x）单调递增C．当0＜x≤2时，f2018（x）单调递减D．当x≤0时，不等式f2018（x）＞0有解15．（3分）已知平面向量，满足||＝||＝1，⊥，若对任意平面向量，都有|﹣|2≥（t﹣2）•+t（•）（•）成立，则实数t的最大值是（）A．﹣1B．1C．﹣1D．2二、填空题：本大题共8小题，每空3分，共36分．16．（3分）幂函数f（x）的图象过点，则f（4）＝．17．（6分）设S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，a4＝8，则a3＝，S5＝．18．（3分）已知向量，满足＝（﹣1，2），＝（2，m）．若∥，则m＝．19．（6分）已知2sin x﹣cos x＝，则sin x＝，tan2x＝．20．（3分）函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）的图象过定点．21．（6分）设函数f（x）＝2sin（2x+）（x∈R），则函数f（x）的最小正周期是，单调递增区间是．22．（3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝．23．（6分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M为△ABC内部或边界上任意一点，则•（+）的最大值为，最小值为．三、解答题：本大题共2小题，共19分，要求写出详细的推证和运算过程．24．（9分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x﹣）（x∈R）．（I）求f（）；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的值域．25．（10分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，2S n＝a n•a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3以及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n；（i）求T n；（ii）证明：++…+≤2T n（n∈N*）．2017-2018学年浙江省杭州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每个小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的．1．（3分）已知集合A＝{0，5}，B＝{0，1，3}，则A∩B＝（）A．{0}B．∅C．{1，3，5}D．{0，1，3，5}【解答】解：集合A＝{0，5}，B＝{0，1，3}，则A∩B＝{0}，故选：A．2．（3分）函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域为（）A．[0，1]B．（0，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，1）【解答】解：由x﹣1＞0，得x＞1．∴函数f（x）＝ln（x﹣1）的定义域为（1，+∞）．故选：C．3．（3分）已知向量，满足＝（1，2），＝（2，0），则2+＝（）A．（4，4）B．（2，4）C．（2，2）D．（3，2）【解答】解：向量，满足＝（1，2），＝（2，0），则：2+＝2（1，2）+（2，0）＝（4，4）．故选：A．4．（3分）log69+log64＝（）A．log62B．2C．log63D．3【解答】解：log69+log64＝log636＝2．故选：B．5．（3分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a2＝S4＝﹣2，则d＝（）A．1B．3C．5D．7【解答】解：等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，a2＝S4＝﹣2，∴，解得a1＝﹣5，d＝3，故选：B．6．（3分）1﹣2sin222.5°＝（）A．1B．C．D．﹣【解答】解：1﹣2sin222.5°＝cos45°＝．故选：C．7．（3分）已知点D为△ABC的边BC的中点，则（）A．＝（﹣）B．＝（+）C．＝﹣（﹣）D．＝﹣（+）【解答】解：∵点D是△ABC的边BC上的中点，根据向量的平行四边形法则可得＝（+），故选：B．8．（3分）为了得到函数y＝sin2x的图象，可以将函数y＝cos2x的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【解答】解：只需将函数y＝cos2x＝sin（2x+）的图象上的所有点沿x轴向右平移个单位长度，可得函数y＝sin2x的图象，故选：A．9．（3分）△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝＝，则△ABC 是（）A．等边三角形B．有一个内角为30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形【解答】解：∵在△ABC中，，则由正弦定理可得sin B＝cos B，sin C ＝cos C，∴B＝C＝45°，∴A＝90°，故△ABC为等腰直角三角形，故选：C．10．（3分）若实数x，y，z满足x＝40.5，y＝log53，z＝sin（+2），则（）A．x＜z＜y B．y＜z＜x C．z＜x＜y D．z＜y＜x【解答】解：∵x＝40.5＝2，0＜y＝log53＜log55＝1，z＝sin（+2）＝cos2＜0，∴z＜y＜x．故选：D．11．（3分）若函数f（x）＝2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）上恰有一个零点，则（）A．a＝﹣或a＝1B．a＞1或a＝0C．a＞1D．a＝﹣【解答】解：若函数f（x）＝2ax2﹣x﹣1在区间（0，1）内恰有一个零点，则方程2ax2﹣x﹣1＝0在区间（0，1）内恰有一个根，若a＝0，则方程2ax2﹣x﹣1＝0可化为：﹣x﹣1＝0方程的解为﹣1，不成立；若a＜0，则方程2ax2﹣x﹣1＝0不可能有正根，故不成立；若a＞0，则△＝1+8a＞0，且c＝﹣1＜0；故方程有一正一负两个根，故方程2ax2﹣x﹣1＝0在区间（0，1）内恰有一个解可化为（2a•02﹣0﹣1）（2a•12﹣1﹣1）＜0；解得，a＞1；故实数a的取值范围是（1，+∞），故选：C．12．（3分）设函数f（x）＝|A sin x﹣B|（A≠0，B∈R），则f（x）的最小正周期（）A．与A有关，且与B有关B．与A无关，且与B有关C．与A无关，且与B无关D．与A有关，且与B无关【解答】解：函数f（x）＝|A sin x﹣B|（A≠0，B∈R），当B＝0时，f（x）＝|A sin x|，其最小正周期为π，当B≠0时，f（x）＝|A sin x﹣B|，其最小正周期为2π，∴f（x）的最小正周期与A无关，且与B有关．故选：B．13．（3分）设数列{a n}的前n项和为S n，若存在实数M＞0，使得对任意的n∈N*，都有|S n|＜M，则称数列{a n}为“L数列”（）A．若{a n}是等差数列，且首项a1＝0，则数列{a n}是“L数列”B．若{a n}是等差数列，且公差d＝0，则数列{a n}是“L数列”C．若{a n}是等比数列，且公比q满足|q|＜1，则数列{a n}是“L数列”D．若{a n}是等比数列，也是“L数列”，则数列{a n}的公比q满足|q|＜1【解答】解：对于A，若{a n}是等差数列，且首项a1＝0，当d＞0时，，当n→+∞时，|S n|→+∞，则{a n}不是“L数列”，故A错误；对于B，若{a n}是等差数列，且公差d＝0，S n＝na1，当a1≠0时，当n→+∞时，|S n|→+∞，则{a n}不是“L数列”，故B错误；对于C，若{a n}是等比数列，且公比|q|＜1，＝，|S n|＝|||，则{a n}是“L数列”，故C正确；对于D，若{a n}是等比数列，且{a n}是“L数列”，则{a n}的公比|q|＜1或q＝﹣1，故D错误．故选：C．14．（3分）设f（x）＝，记f1（x）＝f（x），f k+1（x）＝f（f k（x））（k＝1，2，3，…），则（）A．当x≥2时，不等式f2018（x）≥2恒成立B．当0＜x≤2时，f2018（x）单调递增C．当0＜x≤2时，f2018（x）单调递减D．当x≤0时，不等式f2018（x）＞0有解【解答】解：f（x）＝＝＝[（x﹣1）++2]，可得f（x）在x＞2，或x＜0时递增，在1＜x＜2，或0＜x＜1时递减，则当x≥2时，x﹣1≥1，f（x）≥×4＝2，f1（x）≥2，f2（x）≥2，…，不等式f2018（x）≥2恒成立；当0＜x≤2时，f2018（x）不单调；当x≤0，f（x）递增，即有f（x）≤0，可得f1（x）≤0，f2（x）≤0，…，不等式f2018（x）＞0无解．综上可得B，C，D均不正确；A正确．故选：A．15．（3分）已知平面向量，满足||＝||＝1，⊥，若对任意平面向量，都有|﹣|2≥（t﹣2）•+t（•）（•）成立，则实数t的最大值是（）A．﹣1B．1C．﹣1D．2【解答】解：平面向量，满足||＝||＝1，⊥，可设＝（1，0），＝（0，1），＝（a，b），＝（c，d），|﹣|2≥（t﹣2）•+t（•）（•）即为2+2≥t•+t（•）（•），即有a2+b2+c2+d2≥t（ac+bd+bc），要求t的最大值，不妨设a，b，c，d＞0，可得t≤的最小值，设a2+b2+c2+d2＝（a2+kc2）+（mb2+lc2）+（nb2+d2），由（a2+kc2）+（mb2+lc2）+（nb2+d2）≥2ac+2bc+2bd，且m+n＝1＝k+l，2＝2＝2，即有m＝，2＝2m＝﹣1，则≥＝2＝﹣1，可得t≤﹣1，t的最大值为﹣1．故选：C．二、填空题：本大题共8小题，每空3分，共36分．16．（3分）幂函数f（x）的图象过点，则f（4）＝2．【解答】解：设f（x）＝x a，因为幂函数图象过，则有＝3a，∴a＝，即f（x）＝，∴f（4）＝（4）＝2．故答案为：2．17．（6分）设S n为等比数列{a n}的前n项和．若a1＝1，a4＝8，则a3＝4，S5＝31．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q．∵a1＝1，a4＝8，∴q3＝8，解得q＝2．则a3＝22＝4，S5＝＝31．故答案为：4，31．18．（3分）已知向量，满足＝（﹣1，2），＝（2，m）．若∥，则m＝﹣4．【解答】解：∵∥，∴﹣m﹣4＝0，解得：m＝﹣4．故答案为：﹣4．19．（6分）已知2sin x﹣cos x＝，则sin x＝，tan2x＝．【解答】解：联立，解得sin x＝，cos x＝﹣．∴tan x＝＝﹣2．∴tan2x＝＝＝．故答案为：，．20．（3分）函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）的图象过定点（2，0）．【解答】解：令2﹣x＝0，求得x＝2，y＝0，可得函数f（x）＝a2﹣x﹣1（a＞0，a≠1）的图象过定点（2，0），故答案为：（2，0）．21．（6分）设函数f（x）＝2sin（2x+）（x∈R），则函数f（x）的最小正周期是π，单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+）（x∈R）的最小正周期是＝π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z，故答案为：π；[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．22．（3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2＝bc，sin C＝2sin B，则A＝30°．【解答】解：将sin C＝2sin B利用正弦定理化简得：c＝2b，代入得a2﹣b2＝bc＝6b2，即a2＝7b2，∴由余弦定理得：cos A＝＝＝，∵A为三角形的内角，∴A＝30°．故答案为：30°23．（6分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，M为△ABC内部或边界上任意一点，则•（+）的最大值为2，最小值为﹣．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，△ABC中，A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设M（x，y），则；∴＝（﹣x，﹣y），＝（﹣1﹣x，﹣y），＝（1﹣x，﹣y）；∴+＝（﹣2x，﹣2y）；∴•（+）＝2x2+2y2﹣2y＝2[x2+]﹣；由图形知，当x＝0，y＝时，•（+）取得最小值﹣；当x＝±1，y＝0时，•（+）取得最大值2；∴最大值为2，最小值为﹣．故答案为：2，﹣．三、解答题：本大题共2小题，共19分，要求写出详细的推证和运算过程．24．（9分）已知函数f（x）＝4cos x sin（x﹣）（x∈R）．（I）求f（）；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝4cos x sin（x﹣）＝4cos x（sin x cos﹣cos x sin）＝4cos x（）＝2sin x cos x﹣2＝sin2x﹣＝sin2x﹣＝﹣．∴f（）＝＝；（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴∈[﹣]，则2sin（2x﹣）∈[﹣，2]．即f（x）在[0，]上的值域为[﹣2，2﹣]．25．（10分）设正项数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，2S n＝a n•a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3以及数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝，数列{b n}的前n项和为T n；（i）求T n；（ii）证明：++…+≤2T n（n∈N*）．【解答】解：（Ⅰ）∵a1＝1，2S n＝a n•a n+1，∴2a1＝a1•a2，即a2＝2，∴2（a1+a2）＝a2•a3，即a3＝3，猜想a n＝n，证明如下：①当n＝1时，显然成立，②假设当n＝k时成立，即a k＝k，则S k＝那么当n＝k+1时，a k+1＝＝＝k+1，故n＝k+1时也成立，由①②可得a n＝n，对于n∈N*都成立，∴数列{a n}的通项公式为a n＝n；（Ⅱ）b n＝＝（）n，（i）T n＝＝1﹣，（ii）由（Ⅰ）可知S n＝，∴＝＝2（﹣），∴++…+＝2（1﹣++﹣+…+﹣）＝2（1﹣），要证明++…+≤2T n，只要证明2（1﹣）≤2（1﹣），只要证≥，只要证n+1≤2n，①当n＝1时，不等式显然成立，②假设当n＝k时，不等式成立，即k+1≤2k，那么当n＝k+1时，k+2＝k+1+1≤2k+1≤2k+1，即当n＝k+1时不等式成立，由由①②可得n+1≤2n，对于n∈N*都成立，故++…+≤2T n（n∈N*）．。

浙江省2017—2018学年高一数学下学期期中考试试卷（四）（考试时间90分钟满分100分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．数列2，5，11，20，x，47，…中的x值为（）A．28 B．32 C．33 D．272．数列m，m，m，…，一定（）A．是等差数列，但不是等比数列B．是等比数列，但不是等差数列C．是等差数列，但不一定是等比数列D．既是等差数列，又是等比数列3．已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A．B．C．D．4．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定5．已知向量=（sinθ，cosθ），=（2，﹣1），若⊥，则cos 2θ=（）A．﹣B．C．D．6．若三角形的三个内角之比为1：2：3，则它们所对的边长之比为（）A．1：2：3 B．1：：2 C．1：4：9 D．1：：7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°8．已知数列{a n}是等差数列，a3=8，a4=4，则前n项和S n中最大的是（）A．S3B．S4或S5C．S5或S6D．S6二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）9．数列{a n}中，a n+1=a n+2﹣a n，a1=2，a2=5，则a5为．10．在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于．11．在等比数列{a n}中，，则a3+a4=．12．函数f（x）=sin2x﹣cos2x的最小正周期是．13．已知tan α=﹣，cos β=，α∈（，π），β∈（0，），则tan（α+β）=．14．已知等差数列{a n}的前3项依次为a﹣1，a+1，2a+3，则此数列的通项a n为．15．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从右向左的第3个数为．三、解答题（本大题共5小题，共55分，16题8分，17，18题各10分，19题12分，20题15分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．设等差数列{a n}的前n项和公式是S n=5n2+3n，求（1）a1，a2，a3；（2）{a n}的通项公式．17．已知函数f（x）=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x，x∈R．求：（Ⅰ）函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）若，求函数f（x）的值域．18．已知等差数列{a n}满足a3=6，a4+a6=20．（Ⅰ）求通项a n；（II）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（I）求A角的大小；（II）若△ABC的面积S=5，b=5，求a的值．20．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且b2=a2+（c﹣a）c．（1）求角B的大小；（2）设b2﹣4bcos（A﹣C）+4=0，求△ABC的面积S．参考答案一、单项选择题1．B．2．C．3．A．4．C 5．C．6．B．7．A．8．B．二、填空题9．答案为；19．10．答案为：30°11．答案为：2．12．答案为：π．13．答案为：1．14．答案为：2n﹣315．答案为：．三、解答题16．解：解：（1）由S n=5n2+3n，得a1=S1=8，，=54﹣26=28；（2）当n≥2时，=10n﹣2．验证a1=8适合上式，∴a n=10n﹣2．17．解：（I）函数f（x）=sin2x+2sinxcosx﹣cos2x=，x∈R令解得：，所以：f（x）的单调增区间为：（k∈Z）（II）由，所以：从而有：，故：因此：函数f（x）的值域：18．解：（Ⅰ）数列{a n}为等差数列，首项为：a1，公差为d，∵a3=6，a4+a6=20．，解得：，∴a n=2n…，（II）∵b n===（﹣），T n=b1+b2+b3+…+b n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=，∴T n=．19．解：（I）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，可得：2cos2A+3cosA﹣2=0，解得cosA=，或cosA=﹣2（舍去）．∵A∈（0，π），∴A=．（II）由S=bcsinA==5，化为：bc=20，又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=52+42﹣2×5×4cosA=21，故a=．20．解：（1）∵b2=a2+（c﹣a）c，即=a2+c2﹣b2，∴由余弦定理得cosB==，∴B=30°…（2）∵△=16cos2（A﹣C）﹣16=﹣16sin2（A﹣C）≥0，∴sin2（A﹣C）=0，可得sin（A﹣C）=0，∴A﹣C=kπ，k∈Z，∵A∈（0，π），C∈（0，π），可得：A﹣C∈（﹣π，π），∴A﹣C=0，得A=C，可得：a=c，∴b2﹣4b+4=0，解得：b=2．故22=2a2﹣2a2cos30°，得a2==8，故S=a2sin30°=2．…。

2018学年第二学期期中杭州地区七校联考高一年级数学学科试题一．选择题(共12小题，每小题4分，共48分)1．330sin 的值为（ ）A ．21-B ．21C ．23-D ．232．下列四式不能化简为的是（ ）A ．（B ．（C ．；－＋BM AD MB D ．；＋－CD OA OC 3． 把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( ) A ．sin(2)3y x π=-，x R ∈ B.sin()26x y π=+，x R ∈ C.sin(2)3y x π=+，x R ∈ D.sin(2)32y x π=+，x R ∈4．已知)sin ,(cos αα=，)sin ,(cos ββ=，且()0c o s =-βα，=+（ ）A ．2B ．22C ．2D ．3 5.已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝( )． A ．－104 B ．－64 C ．64 D ．1046．已知船A 在灯塔C 北偏东85且到C 的距离为km 2，船B 在灯塔C 西偏北25且到C 的距离为km 3，则A ，B 两船的距离为( )A ．km 32B ．km 23 C.．km 15 D ．km 137．函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的解析式为( )A ．22sin -=x yB ．13cos 2-=x yC ．1)52sin(--=πx y D ． )52sin(1π--=x y8．在△ABC 中，若22tan tan ba B A =，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 9．==-αααα2cos 则,55cos sin 是第一象限角，已知( ) A. 53-B. 53±C.54D.54± 10．已知A B C ∆的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若33=++c b a ，则角A 为( ) A ．4π B ．6π C ．3π D ．2π11． 在△ABC中，,4(0)a b m m ==>，如果三角形有解，则A 的取值范围是（ ） A ．060A ︒<≤︒ B ．030A ︒<<︒ C ．090A ︒<<︒ D ．3060A ︒<<︒12. 如图，O 为△ABC 的外心，BAC AC AB ∠==,2,4为钝角，M 是边BC 的中点，则⋅的值( )A ． 4 B.．6 C ．7 D ． 5二．填空题（本大题共6小题，单空题每小题4分,多空题每小题6分每空3分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置）13．一扇形的周长等于4cm ，面积等于12cm ，则该扇形的半径为 ，圆心角为 ．14．化简()()=+-⎪⎭⎫⎝⎛---+αππααπαπsin 32sin cos )2cos(3 ， =++ 35tan 25tan 335tan 25tan ．15．已知向量与的夹角为120°,且||=2, ||=5,则(2-)·= 16．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a+b+c=20，三角形面积为310，且角60=A ，则边a = ________第12题图17．在ABC ∆中，90=C ，3=CB ,点M 是 AB 上的动点（包含端点），则CB MC ⋅的取值范围为 ． 18．函数π()3s i n 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则如下结论中不正确的序号是_________________①、图象C 关于直线11π12x =对称； ②、图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称；③、函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫- ⎪⎝⎭，内是增函数；④、由3sin 2y x =的图像向右平移π3个单位长度可以得到图象C三．解答题（本大题有4小题，前2题每题10分，后2题每题12分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.） 19．（本题10分）已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中=（1，－2）. （1）若|c |52=，且//，求c 的坐标；（2）若||=1，且a b +与2a b -垂直，求a 与的夹角θ的余弦值.20．（本题10分）已知A,B,C 的坐标分别为)sin 3,cos 3(),4,0(),0,4(ααC B A . (1)若)0,(πα-∈且||||BC AC =，求α的值；(2)若0=⋅，求αααtan 12sin sin 22++21．（本题12分）已知函数1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）若65)(=θf ，)3π23π(，∈θ，求θ2sin 的值．22．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为cb a ,,，若()()()C A c B A b a sin sin sin sin -=-+.(1)求角B 的大小；(2)设BC 中点为D ，且3=AD ，求c a 2+的最大值．2015学年第二学期期中杭州地区七校联考高一年级数学学科参考答案13． 1 ， 2 14． 1-，315． 13 16． 7 17． []09，- 18． ④ 三．解答题19. 解：（1）设),(y x c =，由//和52||=c 可得：⎩⎨⎧2212020y x x y ⋅+⋅=+= ， ……………….. 2分 ∴ ⎩⎨⎧24x y =-= 或 ⎩⎨⎧24x y ==- ………………..4分∴(2,4)c =-，或(2,4)c =- ………………… 5分 （2）()(2),a b a b +⊥-∴()(2)0a b a b +⋅-= ……… 7分即2220,a a b b -⋅-=∴22||2||0a a b b -⋅-=， ∴ 520a b -⋅-=，所以3a b ⋅=， ………….8分 ∴35cos ||||a b a b θ⋅==⋅ …………10分 20.解：（1）由已知：)sin 3,4cos 3αα-=（，)4sin 3,cos 3(-=αα …………..1分=()()()()4sin 3cos 3sin 34cos 32222--+=+∴αααα化简得：1tan ,cos sin ==ααα即………………..3分 )0,(πα-∈ 43πα-=∴……………………5分 （2）0=⋅ 0)4sin 3(sin 3)4sin 3(cos 3=-+-∴αααα43cos sin =+αα ………….7分 两边平方得：167cos sin 2-=αα ………………..8分又αααtan 12sin sin 22++=ααααααcos cos sin 22sin 2+=167cos sin 2-=αα………………….10分21. 解：（1）1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f12sin 2322co 1+-+=x x s ....................2分 23)32cos(++=πx ． ……………..4分 函数最小正周期T=π ……………..5分由ππππk x k 2322≤+≤-，得632ππππ-≤≤-k x k （Z k ∈）． ∴函数)(x f 的单调递增区间是]6,32[ππππ--k k （Z k ∈）．……………………………………………. 7分（2）∵65)(=θf ，∴6523)32cos(=++πx ，32)32cos(-=+πθ．∵⎪⎭⎫⎝⎛∈323ππθ，，∴)35,(32πππθ∈+，35)32(cos 1)32(sin 2-=+--=+πθπθ． ………………….9分 ∴)32cos(23)32sin(21)332sin(2sin πθπθππθθ+-+=-+= 6532-=…………………………………12分 22．解：（1）()()()C A c B A b a sin sin sin sin -=-+ 所以由正弦定理可得()()()c a c b a b a -=-+ ， 即ac b c a =-+222，…………………2分由余弦定理可知212cos 222=-+=ac b c a B ，…………………………4分因为()π,0∈B ，所以3π=B …………………………5分(2)设θ=∠BAD ，则在ABD ∆中， 由3π=B 可知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πθ， 由正弦定理及3=AD 可得23sin32sin sin ==⎪⎭⎫⎝⎛-=θπθADAB BD，………………………7分所以θsin 2=BD ，θθθπsin cos 332sin 2+=⎪⎭⎫⎝⎛-=AB ，…………………………8分所以⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+6sin 34sin 6cos 322πθθθc a ，…………………………10分 由⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πθ可知⎪⎭⎫⎝⎛∈+65,66πππθ，所以当26ππθ=+，即3πθ=时，c a 2+的最大值为34.…………………………12分。

浙江省2017—2018学年高一数学下学期期末考试试卷（一）（考试时间120分钟 满分150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分）1．若sin α=﹣，则α为第四象限角，则tan α的值等于（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣2．已知向量=（1，1），=（1，﹣1），若=+，则=（ ）A ．（﹣1，﹣2）B ．（1，2）C ．（﹣1，2）D ．（1，﹣2）3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17=170，则a 9的值为（ ）A ．10B ．20C ．25D ．304．已知倾斜角为θ的直线l 与直线m ：x ﹣2y +3=0平行，则sin2θ=（ ）A ．B ．C ．D ．5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，若sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，则（ ）A ．a ，b ，c 依次成等差数列B ．a ，b ，c 依次成等比数列C ．a ，c ，b 依次成等差数列D ．a ，c ，b 依次成等比数列6．在Rt △ABC 中，已知AC=4，BC=1，P 是斜边AB 上的动点（除端点外），设P 到两直角边的距离分别为d 1，d 2，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．将函数f （x ）=cos ωx （其中ω＞0）的图象向右平移个单位，若所得图象与原图象重合，则f （）不可能等于（ ）A ．0B ．1C ．D ．8．正项等比数列{a n }满足：a 4+a 3=a 2+a 1+8，则a 6+a 5的最小值是（ ）A ．64B ．32C ．16D ．8二、填空题（本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每空4分，共36分．）9．已知tanα=2，则tan（α+）=，cos2α=，=．10．设为单位向量，其中，且，则与的夹角为，=．11．已知直线l1：ax﹣y+3=0与直线l2：（a﹣1）x+2y﹣5=0，若直线l1的斜率为2，则a=，若l1⊥l2，则a=．12．直角△ABC中，C=，AC=2．若D为AC中点，且sin∠CBD=，则BC=，tanA=．13．正实数x，y满足：x+y=xy，则x2+y2﹣4xy的最小值为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，1），若直线l上存在点M，满足|MA|=2，则实数a的取值范围是．15．对任意的向量，和实数x∈[0，1]，如果满足，都有成立，那么实数λ的最小值为．三．解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足．（I）求角B的值；（II）若，求sinC的值．17．已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m=0．（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；（2）过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2n2+n，n∈N*，等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a n b n}的前n项和T n．19．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣，（x∈R）．（1）当x∈[﹣，]时，求函数f（x）的值域．（2）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．20．已知公差不为0的等差数列{a n}满足a2=3，a1，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）数列{b n}满足b n=+，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）设c n=2n（﹣λ），若数列{c n}是单调递减数列，求实数λ的取值范围．参考答案一、单项选择题1．D．2．A．3．A．4．B．5．B．6．C．7．D．8．B．二、填空题9．答案为：﹣3，，．10．答案为：60°，11．答案为：2；2或﹣1．12．答案为：；．13．答案为：﹣8．14．答案为：a≤﹣或a≥．15．答案为：2．三．解答题16．解：（I）∵．由正弦定理得，sinBsinA=，∵sinA≠0，即tanB=，由于0＜B＜π，所以B=．（II）cosA=，因为sinA＞0，故sinA=，所以sinC=sin（A+）==．17．（1）证明：直线l整理得：（2x+y+4）+m（x﹣2y﹣3）=0，令，解得：，则无论m为何实数，直线l恒过定点（﹣1，﹣2）；（2）解：∵过定点M（﹣1，﹣2）作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，∴直线l1过（﹣2，0），（0，﹣4），设直线l1解析式为y=kx+b，把两点坐标代入得：，解得：，则直线l1的方程为y=﹣2x﹣4，即2x+y+4=0．18．解：由题意得：=2（n﹣1）2+（n﹣1）②，（1）因为S n=2n2+n①，所以S n﹣1=4n﹣1（n≥2）；所以①﹣②得：a n=S n﹣S n﹣1当n=1时，a1=S1=3；所以a n=4n﹣1，n∈N*，又因为等比数列{b n}满足b1=1，b4=8，n∈N*，所以=8，所以q=2，所以b n=2n﹣1；（2）由（1）可知a n b n=（4n﹣1）2n﹣1，所以T n=3+7×21+11×22+…+（4n﹣5）×2n﹣2+（4n﹣1）×2n﹣1①，2T n=3×2+7×22+11×23+…+（4n﹣5）×2n﹣1+（4n﹣1）×2n②，所以①﹣②得：﹣T n=3+4×2+4×22+4×23+…+4×2n﹣1﹣（4n﹣1）×2n②，T n=5+（4n﹣5）×2n．19．解：（1）函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin2x﹣﹣=sin2x﹣cos2x﹣1=sin（2x﹣）﹣1．…∵﹣≤x≤，∴，∴，从而﹣1﹣≤sin（2x﹣）﹣1≤0．则f（x）的最小值是，最大值是0．…（2），则，∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴，解得C=．…∵向量与向量共线，∴sinB=2sinA，由正弦定理得，b=2a①由余弦定理得，，即a2+b2﹣ab②由①②解得a=1，b=2．…20．解：（Ⅰ）由题知=a1a7，设等差数列{a n}的公差为d，则=a1（a1+6d），a1d=2d2，∵d≠0∴a1=2d．…又∵a2=3，∴a1+d=3，∴a1=2，d=1…∴a n=n+1．…（Ⅱ）∵b n=+=+=2+﹣．…∴S n=b1+b2+…+b n=（2+﹣）+（2+﹣）+…+（2+﹣）=2n+．…（III）c n=2n（﹣λ）=2n（﹣λ），使数列{c n}是单调递减数列，﹣c n=2n（﹣﹣λ）＜0对n∈N*都成立…则c n+1即﹣﹣λ＜0⇒λ＞…设f（n）=﹣，f（n+1）﹣f（n）=﹣﹣+=+﹣=2++1+﹣3﹣=…∴f（1）＜f（2）=f（3）＞f（4）＞f（5）＞…当n=2或n=3时，f（n）max=，∴=所以λ＞．…。

杭州地区七校2018-2019学年高一第二学期期中联考数学试题一、选择题。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用诱导公式和特殊角的三角函数值可得所求三角函数的值.【详解】由题意可得：.故选：B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.2.下列结论正确的是（）A. B.C. ，D.【答案】A【解析】【分析】逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的说法：若，则，选项A说法正确；若，则由不一定能得到，选项B说法错误；若，则由，不一定能得到，选项C说法错误；两个向量无法比较大小，故结论错误，选项D说法错误；故选：A.【点睛】本题主要考查向量的定义与向量的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】由向量平行的充分必要条件可得：，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件，由向量平行求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的解析式可得函数图像的平移变换方法.【详解】注意到，故得到函数的图象，只要将的图象向右平移个单位长度.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，属于基础题.5.已知为等差数列，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用等差数列的性质可得的值.【详解】由等差数列的性质有：. 故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于基础题. 6.函数（）是（）A. 最小正周期是 B. 区间上的增函数C. 图象关于点对称 D. 偶函数【答案】D 【解析】【分析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后考查函数的性质即可. 【详解】函数的解析式：，绘制函数图像如图所示：结合函数图像可知函数的最小正周期为，选项A说法错误；在区间上是减函数，选项B说法错误；函数不存在对称点，选项C说法错误；，选项D说法正确.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的性质，三角函数图像的绘制等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.数列满足，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定数列的周期性，然后结合周期性可得的值.【详解】由题意可得：，，故数列是周期为的周期数列，则.故选：C.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，周期数列的概念与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在中，角、、的对边分别为，，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由正弦定理边化角，然后结合两角和差正余弦公式和同角三角函数基本关系可得的值，据此可得的值.【详解】由题意利用正弦定理边化角可得：，.故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.在中，角、、的对边分别为，，，若，，成等差数列，，的面积为，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b的值.【详解】由题意可得：，求解方程组可得：.故选：A.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的运算法则和平面向量基本定理整理计算可得的值.【详解】由题意可得：，注意到，故，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题。