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2021年高考数学大一轮复习第二章第14课函数模型及其应用要点导学一、二次函数的应用问题某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.(1) 当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆?(2) 当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?[思维引导]解应用题一般要根据题意建立函数关系式,再利用配方、基本不等式、导数或函数的单调性等研究函数的最值,从而解决实际问题.[解答](1) 能租出100-=88(辆).(2) 设月租金为3000+50x(0≤x≤100,x∈N*),月收益y=(3000+50x)(100-x)-150(100-x)-50x=-50x2+2100x+285 000,当x=21,即月租金为4050元时,最大月收益为307050元.指(对)数函数的应用问题某种细菌每隔两小时分裂一次(每一个细菌分裂成两个,分裂所需时间忽略不计),研究开始时有两个细菌,在研究过程中不断进行分裂,细菌总数y是研究时间t的函数,记作y=f(t).(1) 写出函数y=f(t)的定义域和值域;(2) 写出研究进行到n h(n≥0,n∈Z)时,细菌的总数(用关于n的式子表示);(3) 经过几个小时,细菌总数为1 024?[解答](1) y=f(t)的定义域为[0,+∞),值域为{y|y=2n,n∈N*}.(2) 当n为偶数时,y=;当n为奇数时,y=.所以y=(3) 若n为偶数,则有=1 024,即+1=log21 024=10,所以n=18.若n为奇数,则有=1 024,即+1=log21 024=10,所以n=19.故经过18 h,细菌总数为1024.分段函数的应用问题(xx·常州模拟)几名大学毕业生合作开3D打印店,生产并销售某种3D产品.已知该店每月生产的产品当月都能销售完,每件产品的生产成本为34元.该店的月总成本由两部分组成:第一部分是月销售产品的生产成本,第二部分是其他固定支出20 000元.假设该产品的月销售量t(x)(单位:件)与销售价格x(单位:元/件)(x∈N*)之间满足如下关系:①当34≤x≤60时,t(x)=-a(x+5)2+10 050;②当60≤x≤76时,t(x)=-100x+7 600.设该店月利润为M(单位:元,月利润=月销售总额-月总成本),求M关于销售价格x的函数关系式.[思维引导]采用“分段函数,分段处理”的办理,分别表示出当34≤x≤60时,t(x)和当60≤x≤76时,t(x),求出M关于销售价格x的函数关系式.[解答]当x=60时,t(60)=1 600,代入t(x)=-a(x+5)2+10 050,解得a=2.当34≤x≤60时,M(x)=[-2(x+5)2+10050]·(x-34)-xx0=-2x3+48x2+10680x=36000;当60≤x≤76时,M(x)=(-100x+7600)(x-34)-xx0=-100x2+1100x-278400.即M(x)=32* 2*-2x48x10680x-360000,34x60,x N, -100x1100x-278400,60x76,x N.∈∈⎧++≤<⎨+≤≤⎩其他函数的应用问题已知某物体的温度θ(单位:℃)随时间t(单位:min)的变化规律为θ=m·2t+(t≥0,并且m>0).(1) 如果m=2,经过多少时间,物体的温度为5℃?(2) 若物体的温度总不低于2℃,求m的取值范围.[思维引导](1) 将θ=5代入θ=m·2t+21-t(t≥0,且m>0),通过解方程即可求出t;(2) 将问题转化为恒成立问题,从而求出m的取值范围.[解答](1) 若m=2,则θ=2·2t+21-t=2,当θ=5时,2t+=,令2t=x≥1,则x+=,即2x2-5x+2=0,解得x=2或x=(舍去),此时t=1.所以经过1min,物体的温度为5℃.(2) 物体的温度总不低于2℃,即θ≥2恒成立,即m·2t+≥2恒成立,则有m≥2恒成立.令=x,则0<x≤1,所以m≥2(x-x2),由于x-x2≤,所以m≥.因此,m的取值范围是.[精要点评]解函数应用题的步骤,审题:弄清题意,分清条件和结论,确定数量关系,初步选择数学模型;建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;求模:求解数学模型,得出数学结论;还原:将数学问题还原为实际问题的意义.(xx·望江模拟)学校食堂改建一个开水房,计划用电炉或煤炭烧水,但用煤时也要用电鼓风及时排气,用煤烧开水每吨开水费为S元,用电炉烧开水每吨开水费为P元,且S=5y+0.2x+5,P=10.2x+20,其中y为每吨煤的价格,x为每百度电的价格.如果用煤时的费用不超过用电炉时的费用,那么仍用原备的锅炉烧水,否则就用电炉烧水.(1) 如果两种方法烧水费用相同,试将每吨煤的价格y表示为每百度电的价格x的函数;(2) 如果每百度电的价格不低于60元,那么用煤烧水时每吨煤的最高价是多少?[解答](1) 由题意得5y+0.2x+5=10.2x+20,即 y=2x+4-1(0<x≤76).(2) 因为用煤炉烧开水,所以S≤P,即5y+0.2x+5≤10.2x+20,所以y≤2x+4-1=-2(76-x)+4+151=-2+153,因为60≤x≤76,所以 0≤≤4.所以当=1,即x=75时,y max=153,故每吨煤的最高价为153元.如图(1),OA,OB是某地一个湖泊的两条垂直的湖堤,线段CD和曲线EF分别是湖泊中的一条栈桥和防波堤.为观光旅游需要,拟过栈桥CD上某点M分别修建与OA,OB平行的栈桥MG,MK,且以MG,MK为边建一个跨越水面的三角形观光平台MGK.建立如图(2)所示的平面直角坐标系,测得CD 的方程是x+2y=20(0≤x≤20),曲线EF的方程是y=(x>0),设点M的坐标为(s,t).(题中所涉及长度单位均为m,栈桥及防波堤都不计宽度)(1) 求三角形观光平台MGK面积的最小值;(2) 若要使观光平台MGK的面积不小于320 m2,求t的取值范围.图(1) 图(2)(范题赏析)[思维引导]先求出平台MGK面积的表达式,也就是目标函数,是包含s和t两个未知数的函数,恰好st是一个整体,可用换元法转化为只含有一个未知数的函数,先应用基本不等式求出st(函数自变量)的取值范围,再利用导数判断函数的单调性,最后利用单调性求出函数的最小值.第(2)问需要根据第(1)问中函数的单调性求出st的取值范围,再代入消元,解出t的范围.[规范答题](1) 由题意,得K,G,s>0,t>0.又因为点M(s,t)在线段CD:x+2y=20(0≤x≤20)上,所以s+2t=20(0<s<20),所以S△MGK=·MG·MK==. (4分)由20=s+2t≥2,得0<st≤50,当且仅当s=10,t=5时等号成立. (6分)令st=u,则f(u)=S△MGK=,u∈(0,50].又f'(u)=<0,故f(u)在(0,50]上单调递减,(注意:若f(u)在(0,50]上单调递减未证明扣1分)所以f(u)min=f(50)=225,此时s=10,t=5.所以△MGK面积的最小值为225 m2.(10分)(2) 由题意得f(u)≥320,由≥320,解得u≤40或u≥1 000(舍去),由(1)知st≤40, (14分)即(20-2t)t≤40,解得t≥5+或t≤5-.所以t的取值范围是(0,5-]∪[5+,10]. (16分)1. 在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其长x(单位:m)的取值范围是.(第1题)[答案][10,30][解析]易知矩形的宽为h=40-x,则由题意有x(40-x)≥300,解得x∈[10,30].2. 某产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)之间的函数关系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*), 若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是台.[答案]150[解析]设利润为f(x),则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000≥0,解得x≥150或x≤-200(舍去).3. 某不法商人将彩电按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,那么每台彩电原价是元.[答案]2250[解析]设彩电原价为x元,则(x+40%x)×80%-x=270,解得x=2250.4. 一位设计师在边长为3的正方形ABCD中设计图案,他分别以A,B,C,D为圆心,以b为半径画圆,由正方形内的圆弧与正方形边上线段(圆弧端点在正方形边上的连线)构成了丰富多彩的图形,则这些图形中实线部分总长度的最小值为.(第4题)[答案]3π[解析]由题意可知,实线部分的总长度l=4(3-2b)+2πb=(2π-8)·b+12,l关于b的一次函数的一次项系数2π-8<0,故l关于b的函数单调递减.因此,当b取最大值时,l取得最小值,结合图形知,b的最大值为,则l min=(2π-8)×+12=3π.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第27-28页).339498 9A4A 驊~36095 8CFF 賿+i30653 77BD 瞽w20106 4E8A 亊 21723 54DB 哛s24402 5F52 归34671 876F 蝯33694 839E 莞。
第10讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同[做一做]1．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝1100ex B．y＝100 ln x C．y＝x100D．y＝100·2x答案：A2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为() A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件解析：选B.利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．1．辨明两个易误点(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．(2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． 2．理解解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：[做一做]3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30] 解析：选C.设矩形的另一边长为y m ， 则由三角形相似知，x 40＝40－y 40，∴y ＝40－x .∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.考点一__一次函数与二次函数模型(高频考点)____高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现． 高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．(1)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元(2)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟(3)经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )．①写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； ②求日销售额S 的最大值．[解析] (1)依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)， ∴100k ＋20＝100m ， 得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元．(2)根据图表，把(t ，p )的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式， 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．[答案] (1)A (2)B (3)解：①根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2t ＋200）⎝⎛⎭⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N 45（－2t ＋200），31≤t ≤50，t ∈N ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .②a.当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400；b ．当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数， ∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210. ∵6 210＜6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.[规律方法] 把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口； (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系；(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．1.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20.(x ∈N *)．当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，当x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20.160－x ，x >20.(x ∈N *) 16考点二__函数y ＝x ＋ax(a >0)模型__________某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．问：该厂是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由．[解] (1)设该厂x (x ∈N *)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y 1. ∵饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， ∴x 天饲料的保管费与其他费用共是 6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )(元)．从而有y 1＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥417，当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 1有最小值．故该厂10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．(2)设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x ≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2， 则y 2＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8×0.85＝300x ＋3x ＋303(x ≥25)．令f (x )＝300x ＋3x (x ≥25)，∵f ′(x )＝－300x 2＋3，∴当x ≥25时，f ′(x )>0，即函数f (x )与y 2在x ≥25时是增函数． ∴当x ＝25时，y 2取得最小值，最小值为390. ∵390<417，∴该厂应考虑利用此优惠条件．[规律方法] (1)解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y ＝x ＋ax”型函数模型．(2)对于y ＝x ＋ax (a >0，x >0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性．2.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40， 因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2（6x ＋10）8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元． 考点三__指数函数模型________________________一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ [解] (1)设每年降低的百分比为x (0＜x ＜1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12m10＝⎝⎛⎭⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？解：设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n≥24，⎝⎛⎭⎫12n10≥⎝⎛⎭⎫1232，即n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．[规律方法] (1)指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．2．某购物网站在2014年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数量少，他最少需要下的订单张数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单金额不少于500元．因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3，所以选C.3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：选B.以点B 为圆心，30为半径画圆，设截东北方向所在直线所得弦长为x ，则⎝⎛⎭⎫x 22＋4022＝302，解得x ＝20，故B 城市处于危险区内的时间为2020＝1(小时)．4．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e n t ．若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D.令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，由已知得12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.5．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：选D.依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4<x ≤8时，f (x )＝8；当8<x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知答案为D.6．如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600 cm ，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486 cm 2.答案：30 cm 、20 cm7．铁道机车运行1 h 所需的成本由两部分组成：固定部分m 元，变动部分(元)与运行速度x (km/h)的平方成正比，比例系数为k (k >0)．如果机车从甲站匀速开往乙站，甲、乙两站间的距离为500 km ，则机车从甲站运行到乙站的总成本y (元)与机车运行速度x 之间的函数关系为____________．解析：∵1 h 的成本为(m ＋kx 2)元，从甲站到乙站需运行500x h ，∴y ＝500x(m ＋kx 2)＝500⎝⎛⎭⎫m x ＋kx . 答案：y ＝500⎝⎛⎭⎫mx ＋kx 8．某人根据经验绘制了2015年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系式，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19099．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)作PQ ⊥AF 于点Q (图略)，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米． 又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EFFD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，S (x )是关于x 的二次函数， 且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4，8]时，S (x )单调递增． 所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)每吨平均成本为y x (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元。
【高三】2021届高考数学函数模型及其应用知识归纳复习教案 3.函数模型及其应用知识归纳1．求解函数应用问题的思路和方法2.功能建模的基本过程误区警示在解决函数应用问题时，关键环节是检查问题。
检查问题时：一要弄清问题的实际背景，注意隐含条件；二是将书面语言正确准确地翻译成数学语言言，用数学表达式加以表示；第三，找出给定的条件和需要解决的问题过何种数学模型加以解决；四是严格按照各种数学模型的要求进行推理运算算，并对运算结果作出实际解释．3.对常见功能模型的理解（1）一次函数模型（其增长特点是直线上升（的系数），通过图象可很直观地认识它）、二次函数型、正反比例函数型（2）指数函数模型：可以用指数函数表示的函数模型。
它的增长特征是，随着自变量的增加，函数值的增长速度越来越快。
它通常被生动地称为“指数爆炸”。
（3）对数函数模型：能用对数函数表达式表达的函数模型，其增长特点是开始阶段增长得较快，但随着的逐渐增大，其函数值变化越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”。
（4）幂函数模型：可以用幂函数表示的函数模型。
它的增长取决于价值的变化。
公共二次函数模型。
（5）分式（“勾”）函数模型：形如的函数模型，在现实生活中有着广泛的应用，常利用“基本不等式”解决，有时通过利用导数研究其单调性来求最值。
四、典型分析题型1：正比例、反比例、一次函数型和二次函数型例1。
当一件商品的原价为每件1元时，每天可以卖出M件。
现在，在降价X个百分点（即X%）后，销售量增加了Y个百分点，日销售量是原来的k倍。
（1）设y=nx，其中n是大于1的常数，试将k写成x的函数；（2）当销售量最大时，求X的值（结果可用n的公式表示）；（3）当n＝2时，要使销售额比原来有所增加，求x的取值范围。
解决方案：（1）根据主题的含义，有一个（1-x%）×M（1+y%）=Kam，替换y=NX并简化它（2）由（1）知当时，k值最大。
因为销售额为amk，所以此时销售额也最大，且销售额最大为元。
第八讲 函数模型及其应用1.[2020湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校联考]2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策,新政策的主要内容包括:①个税起征点为5 000元.②每月应纳税所得额(含税) =月收入-个税起征点-专项附加扣除.③专项附加扣除包括赡养老人、子女教育、继续教育、大病医疗等.其中赡养老人的扣除标准为:独生子女每月扣除2 000元,非独生子女与其兄弟姐妹按照每月2 000元的标准分摊扣除,但每个人分摊的额度不能超过1 000元.子女教育的扣除标准为:每个子女每月扣除1 000元(可由父母中的一方扣除,或父母双方各扣除500元).给出下列税率表:级数 每月应纳税所得额(含税) 税率 1 不超过3 000元的部分 3% 2 超过3 000元至12 000元的部分10% 3 超过12 000元至25 000元的部分 20% ………李某为独生子,他的月收入为18 000元,膝下有两名子女(子女教育的费用由李某一人扣除),需要赡养老人(除此之外,无其他专项附加扣除),则李某每月应缴纳的个税金额为 ( )A.590元B.690元C.790元D.890元2.[2020四川绵阳中学月考]某数学小组进行社会实践调查,了解到鑫鑫桶装水经营部在为如何定价而发愁.通过进一步调研了解到如下信息:该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价是5元,销售单价与日均销售量的关系如下表:销售单价/元6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240根据以上信息,你认为定价为多少时才能获得最大利润? ( )A.每桶8.5元B.每桶9.5元C.每桶10.5元D.每桶11.5元3.[2020重庆一中摸底考试]某工厂产生的废气经过过滤后排放,规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知在过滤过程中的污染物的残留量P (单位:毫克/升)与过滤时间t (单位:时)之间的函数关系为:P =P 0·e -kt (k 为正的常数,P 0为原污染物数量).若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%,则要能够按规定排放废气,至少还需要过滤( ) A.12小时B.59小时C.5小时D.52小时4.[2020武汉市部分学校质量监测]武汉是一座美丽的城市,这里湖泊众多,风景如画.图2-8-1是武汉某景区中一个半径为100米的圆形湖泊的示意图,图2-8-1为了方便游客观赏,决定在湖中搭建一个“工”字形栈道,其中AB =CD ,M ,N 分别为AB ,CD 的中点,则栈道最长为 米.5.[2020山西省实验中学模拟]已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元,每生产1千件需另投入27万元,设该公司一年内生产该产品x千件(0<x≤25)并全部销售完,每千件的销售收入为R(x)(单位:万元),且R(x) ={108 -13x2(0<x≤10),- x+175x+57(10<x≤25).(1)写出年利润f (x)(单位:万元)关于年产量x(单位:千件)的函数解析式;(2)当年产量为多少千件时,该公司在这一产品的生产中所获年利润最大?(注:年利润=年销售收入-年总成本)6.某品牌手机销售商今年1,2,3月份的销售量分别是1万部,1.2万部,1.3万部,为估计以后每个月的销售量,以这三个月的销售量为依据,用一个函数模拟该品牌手机的销售量y(单位:万部)与月份x之间的关系,现从二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)或函数y =ab x+c(b>0,b≠1)中选用一个效果好的函数进行模拟,如果4月份的销售量为1.37万部,则5月份的销售量为万部.7.[2019皖中名校第二次联考]某公司计划投资开发一种新能源产品,预计能获得10万元~1 000万元的收益.现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案:资金y(单位:万元)随收益x(单位:万元)的增加而增加,且资金总数不超过9万元,同时资金总数不超过收益的20%.(1)若建立奖励方案的函数模型为y =f (x),试研究这个函数的定义域、值域和yx的取值范围;(2)现有两个奖励方案的函数模型:①y =x150+2;②y =4lg x-3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求,并说明理由.8.[2019武汉市部分高中联考]某市一家商场的新年最高促销奖设立了三种领奖方式,这三种领奖方式如下.方式一:每天到该商场领取奖品,价值为40元.方式二:第一天领取的奖品的价值为10元,以后每天比前一天多10元.方式三:第一天领取的奖品的价值为0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.若三种领奖方式对应的奖品总价值均不超过1 200元,则促销奖的领奖活动最长设置为几天?在领奖活动最长的情况下,你认为哪种领奖方式让领奖者受益最多?9.[2019山东三校联考]某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召,因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”.调研过程中发现:某珍稀水果树的单株产量W (单位:千克)与肥料费用10x (单位:元)满足如下关系:W (x ) ={5(x 2+2),0≤x ≤2,50x 1+x,2<x ≤5,其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x 元.已知这种水果的市场价大约为15元/千克,且销路畅通供不应求.记该珍稀水果树的单株利润为f (x )(单位:元). (1)求f (x )的函数关系式;(2)当投入的肥料费用为多少时,该珍稀水果树的单株利润最大?最大利润是多少?第八讲 函数模型及其应用1.B 李某每月应纳税所得额(含税)为:18 000 - 5 000 - 2 000 - 2 000=9 000(元),不超过3 000元的部分税额为3 000×3%=90(元),超过3 000元至12 000元的部分税额为6 000×10%=600(元), 所以李某每月应缴纳的个税金额为90+600=690(元).故选B .2.D 通过题中表格可知销售单价每增加1元,日均销售量减少40桶,设每桶水的价格为(6+x )元(x ≥0),日利润为y 元,则y =(6+x - 5)(480 - 40x ) - 200= - 40x 2+440x +480(x ≥0),∵ - 40<0,∴当x =4402×40=5.5时y 有最大值,∴每桶水的价格为11.5元时,日利润最大,故选D . 3.C 由题意知,前5个小时过滤掉了90%的污染物. ∵P =P 0·e - kt ,∴(1 - 90%)P 0=P 0e - 5k ,∴0.1=e - 5k ,即 - 5k =ln 0.1,∴k = - 15ln 0.1,则由1%P 0=P 0e - kt ,得ln 0.01=t5×ln 0.1,∴t =10,即总共需要过滤10小时,污染物的残留含量才为1%, 又前面已经过滤了5小时,所以还需要过滤5小时. 故选C .4.200√5 解法一 设AB =CD =2x ,取MN 的中点为O ,则O 为圆心,连接OA ,则OM =√1002 - x 2. 所以AB +CD +MN =4x +2√1002 - x 2,由柯西不等式知,AB +CD +MN =2(2x +√1002 - x 2)≤2(√22+12·√x 2+1002 - x 2)=200√5(当且仅当2√1002 - x 2=x 时等号成立),则栈道最长为200√5米.解法二 取MN 的中点为O ,则O 为圆心,连接OA ,设∠OAM =θ,则AM =100cos θ,OM =100sin θ.又AB =CD ,所以AB +CD +MN =4×100cos θ+2×100sin θ=200(2cos θ+sin θ)=200√5sin (θ+φ)≤200√5(tan φ=2),则栈道最长为200√5米.5.(1)当0<x ≤10时,f (x )=xR (x ) - (100+27x )=81x -x 33- 100;当10<x ≤25时,f (x )=xR (x ) - (100+27x )= - x 2+30x +75. 故f (x )={81x - x 33- 100(0<x ≤10),- x 2+30x +75(10<x ≤25).(2)当0<x ≤10时,由f ' (x )=81 - x 2= - (x +9)(x - 9), 得当x ∈(0,9)时,f ' (x )>0,f (x )单调递增; 当x ∈(9,10)时,f ' (x )<0,f (x )单调递减.故f (x )max =f (9)=81×9 - 13×93- 100=386.当10<x ≤25时,f (x )= - x 2+30x +75= - (x - 15)2+300≤300. 综上得当x =9时,年利润取最大值386.所以当年产量为9千件时,该公司在这一产品的生产中所获年利润最大.6.1.375 由题意可知,当选用函数f (x )=ax 2+bx +c 时,由{a +b +c =1,4a +2b +c =1.2,9a +3b +c =1.3,解得{a = - 0.05,b =0.35,c =0.7,∴f (x )= -0.05x 2+0.35x +0.7,∴f (4)=1.3;当选用函数g (x )=ab x+c 时,由{ab +c =1,ab 2+c =1.2,ab 3+c =1.3,解得{a = - 0.8,b =0.5,c =1.4,∴g (x )= - 0.8×0.5x +1.4,∴g (4)=1.35.∵g (4)比f (4)更接近于1.37,∴选用函数g (x )=ab x +c 模拟效果较好,∴g (5)= - 0.8×0.55+1.4=1.375,即5月份的销售量为1.375万部.7.(1)y =f (x )的定义域是[10,1 000],值域是(0,9],yx∈(0,0.2].(2)①不符合要求,②符合要求,理由如下.当y =x 150+2时,y x =1150+2x 的最大值是31150>0.2,不符合要求.当y =4lg x - 3时,该函数在定义域上为增函数,最大值为9.y x≤0.2⇔y - 0.2x ≤0.令g (x )=4lg x - 3 - 0.2x ,则g' (x )=20 - xln105xln10<0.所以g (x )≤g (10)= - 1<0,即yx≤0.2.故函数y =4lg x - 3符合公司的要求.8.设促销奖的领奖活动为x 天,三种方式对应的奖品总价值分别为f (x ),g (x ),h (x )(f (x ),g (x ),h (x )的单位均为元).则f (x )=40x ;g (x )=10+20+30+…+10x =5x 2+5x ; h (x )=0.4+0.4×2+0.4×22+…+0.4×2x - 1=0.4·2x - 0.4. 要使奖品总价值不超过1 200元,则 {f(x)≤1200,g(x)≤1200,ℎ(x)≤1200,x ∈N,即{x ≤30,x 2+x - 240≤0,2x ≤3001,x ∈N,解得x <12,x ∈N .又f (11)=400,g (11)=660,h (11)=818.8,所以h (11)>g (11)>f (11).故促销奖的领奖活动最长设置为11天,在这11天内选择方式三会让领奖者受益最多.9.(1)由已知得f (x )=15W (x ) - 20x - 10x =15W (x ) - 30x ={15×5(x 2+2) - 30x,0≤x ≤2,15×50x1+x- 30x,2<x ≤5={75x 2 - 30x+150,0≤x ≤2,750x1+x- 30x,2<x ≤5.(2)由(1)得f (x )={75x 2 - 30x +150,0≤x ≤2,750x 1+x- 30x,2<x ≤5={75(x - 15)2+147,0≤x ≤2,780 - 30[251+x+(1+x)],2<x ≤5, 当0≤x ≤2时,f (x )max =f (2)=390; 当2<x ≤5时,f (x )=780 - 30[251+x+(1+x )]≤780 - 30×2√251+x·(1+x)=480,当且仅当251+x=1+x ,即x =4时等号成立.因为390<480,所以当x =4时,f (x )max =480.故当投入的肥料费用为40元时,该珍稀水果树的单株利润最大,最大利润是480元.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2.8函数模型及函数的综合应用探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数模型及函数的综合应用①了解指数函数、对数函数、幂函数增长特征,体会直线增长、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义;②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用2019课标Ⅱ,4,5分函数的实际应用问题根式运算★☆☆2016四川,5,5分函数的实际应用问题对数运算2019课标Ⅱ,12,5分函数的综合应用二次函数2017浙江,17,5分函数的综合应用函数的单调性及最值分析解读为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在以下方面考查:1.对函数实际应用问题的考查,常以社会实际生活为背景,以解决最优问题的形式出现,如现实中的生产经营、企业盈利与亏损等热点问题中的增长、减少问题,主要考查二次函数、指数函数、对数函数模型的应用.2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式(组)求参数范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值(范围)等.破考点练考向【考点集训】考点函数模型及函数的综合应用1.(2019广东深圳第一次(2月)调研,9)已知偶函数f(x)的图象经过点(-1,2),且当0≤a<b时,不等式f(b)-f(a)b-a<0恒成立,则使得f(x-1)<2成立的x的取值范围是()A.(0,2)B.(-2,0)C.(-∞,0)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(0,+∞)答案C2.(2019河北五个一名校联盟第一次诊断,9)函数f(x)的定义域为R,且f(x)=f(x-3),当-2≤x<0时,f(x)=(x+1)2;当0≤x<1时,f(x)=-2x+1,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2018)=( ) A.671 B.673 C.1343 D.1345答案 D3.(2020届九师联盟9月联考,3)埃及金字塔是古埃及的帝王(法老)陵墓,世界七大奇迹之一,其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿,还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍,得到的商为3.14159,这就是圆周率较为精确的近似值.金字塔底部为正方形,整个塔形为正四棱锥,经古代能工巧匠建设完成后,底座边长大约230米.因年久风化,顶端剥落10米,则胡夫金字塔现高大约为( ) A.128.5米 B.132.5米 C.136.5米 D.110.5米 答案 C4.(2020届江西第一次大联考,16)以下说法中正确的是 .①函数f(x)=1x 在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减;②函数y=a x+1+1(a>1)的图象过定点(-1,2);③若x 1是函数f(x)的零点,且m<x 1<n,则f(m)·f(n)<0;④方程2log 3x =14的解是x=19.答案 ②④炼技法提能力 【方法集训】方法 函数的实际应用题(2018福建三明期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T 0,经过一定时间t 后的温度是T,则T-T a =(T 0-T a )·(12)t ℎ,其中T a 称为环境温度,h 称为半衰期.现有一杯用88℃热水冲的速溶咖啡,放在24℃的房间中,如果咖啡降到40℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40℃降到32℃时,还需要 分钟. 答案 10【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组1.(2019课标Ⅱ,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行.L 2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M 1,月球质量为M 2,地月距离为R,L 2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r 满足方程:M 1(R+r)2+M 2r 2=(R+r)M1R3. 设α=rR .由于α的值很小,因此在近似计算中3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3,则r 的近似值为( )A.√M2M 1RB.√M22M 1RC.√3M2M 13RD.√M23M 13R答案 D2.(2019课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x ∈(0,1]时,f(x)=x(x-1).若对任意x ∈(-∞,m],都有f(x)≥-89,则m 的取值范围是( ) A.(-∞,94] B.(-∞,73]C.(-∞,52]D.(-∞,83]答案 BB 组 自主命题·省(区、市)卷题组1.(2016四川,5,5分)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg1.12≈0.05,lg1.3≈0.11,lg2≈0.30)( ) A.2018年 B.2019年C.2020年D.2021年答案 B2.(2017山东,15,5分)若函数e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M 性质.下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为 .①f(x)=2-x ②f(x)=3-x ③f(x)=x 3 ④f(x)=x 2+2 答案 ①④C 组 教师专用题组1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 答案 D2.(2017浙江,17,5分)已知a ∈R,函数f(x)=|x +4x -a|+a 在区间[1,4]上的最大值是5,则a 的取值范围是 .答案 (-∞,92]3.(2015四川,13,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=e kx+b (e=2.718…为自然对数的底数,k,b 为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是 小时. 答案 244.(2016浙江,18,15分)已知a ≥3,函数F(x)=min{2|x-1|,x 2-2ax+4a-2},其中min{p,q}={p,p ≤q,q,p >q. (1)求使得等式F(x)=x 2-2ax+4a-2成立的x 的取值范围; (2)(i)求F(x)的最小值m(a);(ii)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a). 解析 (1)由于a ≥3,故当x ≤1时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=x 2+2(a-1)(2-x)>0,当x>1时,(x 2-2ax+4a-2)-2|x-1|=(x-2)(x-2a).所以,使得等式F(x)=x 2-2ax+4a-2成立的x 的取值范围为[2,2a]. (2)(i)设函数f(x)=2|x-1|,g(x)=x 2-2ax+4a-2, 则f(x)min =f(1)=0,g(x)min =g(a)=-a 2+4a-2, 所以,由F(x)的定义知m(a)=min{f(1),g(a)}, 即m(a)={0,3≤a ≤2+√2,-a 2+4a -2,a >2+√2.(ii)当0≤x ≤2时,F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2),当2≤x ≤6时,F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}. 所以,M(a)={34-8a,3≤a <4,2,a ≥4.5.(2016江苏,19,16分)已知函数f(x)=a x +b x (a>0,b>0,a ≠1,b ≠1). (1)设a=2,b=12. ①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x ∈R,不等式f(2x)≥mf(x)-6恒成立,求实数m 的最大值; (2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)-2有且只有1个零点,求ab 的值. 解析 (1)因为a=2,b=12,所以f(x)=2x +2-x . ①方程f(x)=2,即2x +2-x =2,亦即(2x )2-2×2x +1=0, 所以(2x -1)2=0,于是2x =1,解得x=0.②由条件知f(2x)=22x +2-2x =(2x +2-x )2-2=(f(x))2-2. 因为f(2x)≥mf(x)-6对于x ∈R 恒成立,且f(x)>0, 所以m ≤(f(x))2+4f(x)对于x ∈R 恒成立.而(f(x))2+4f(x)=f(x)+4f(x)≥2√f(x)·4f(x)=4,且(f(0))2+4f(0)=4,所以m ≤4,故实数m 的最大值为4.(2)因为函数g(x)=f(x)-2只有1个零点,而g(0)=f(0)-2=a 0+b 0-2=0,所以0是函数g(x)的唯一零点. 因为g'(x)=a x lna+b x lnb,又由0<a<1,b>1知lna<0,lnb>0, 所以g'(x)=0有唯一解x 0=lo g b a(-lna lnb).令h(x)=g'(x),则h'(x)=(a x lna+b x lnb)'=a x (lna)2+b x (lnb)2,从而对任意x ∈R,h'(x)>0,所以g'(x)=h(x)是(-∞,+∞)上的单调增函数. 于是当x ∈(-∞,x 0)时,g'(x)<g'(x 0)=0;当x ∈(x 0,+∞)时,g'(x)>g'(x 0)=0. 因而函数g(x)在(-∞,x 0)上是单调减函数,在(x 0,+∞)上是单调增函数. 下证x 0=0.若x 0<0,则x 0<x02<0,于是g (x02)<g(0)=0.又g(log a 2)=a log a 2+b log a 2-2>a log a 2-2=0,且函数g(x)在以x02和log a 2为端点的闭区间上的图象不间断,所以在x02和log a 2之间存在g(x)的零点,记为x 1.因为0<a<1,所以log a 2<0. 又x02<0,所以x 1<0,与“0是函数g(x)的唯一零点”矛盾.若x 0>0,同理可得,在x02和log b 2之间存在g(x)的非0的零点,矛盾.因此,x 0=0.于是-lnalnb =1,故lna+lnb=0,所以ab=1. 6.(2015江苏,17,14分)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米,点N 到l 1,l 2的距离分别为20千米和2.5千米,以l 2,l 1所在的直线分别为x,y 轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C 符合函数y=a x 2+b(其中a,b 为常数)模型. (1)求a,b 的值;(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式f(t),并写出其定义域; ②当t 为何值时,公路l 的长度最短?求出最短长度.解析 (1)由题意知,点M,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y=ax +b ,得{a25+b =40,a400+b=2.5,解得{a =1000,b =0.(2)①由(1)知,y=1000x 2(5≤x ≤20),则点P 的坐标为(t,1000t 2),设在点P 处的切线l 交x 轴,y 轴分别于A,B 点,易知y'=-2000x 3,则l 的方程为y-1000t 2=-2000t 3(x-t),由此得A (3t2,0),B (0,3000t 2).故f(t)=√(3t 2)2+(3000t 2)2=32√t 2+4×106t 4,t ∈[5,20].②设g(t)=t 2+4×106t 4,则g'(t)=2t-16×106t 5.令g'(t)=0,解得t=10√2.当t ∈(5,10√2)时,g'(t)<0,g(t)是减函数; 当t ∈(10√2,20)时,g'(t)>0,g(t)是增函数;从而,当t=10√2时,函数g(t)有极小值,也是最小值, 所以g(t)min =300,则f(t)min =15√3.答:当t=10√2时,公路l 的长度最短,最短长度为15√3千米.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共50分)1.(2020届黑龙江哈尔滨师范大学附中9月月考,9)已知函数f(x)={e -x ,x ≤0,-x 2-2x +1,x >0,若f(a-1)≥f(-a 2+1),则实数a 的取值范围是( ) A.[-2,1] B.[-1,2]C.(-∞,-2]∪[1,+∞)D.(-∞,-1]∪[2,+∞)答案 A2.(2020届黑龙江实验中学第一次月考,9)若定义在R 上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)且x ∈[-1,1]时,f(x)=|x|,则方程f(x)=log 3|x|的根的个数是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案 A3.(2020届甘肃会宁第一中学第一次月考,12)设min{m,n}表示m,n 二者中较小的一个,已知函数f(x)=x 2+8x+14,g(x)=min {(12)x -2,log 2(4x)}(x>0),若∀x 1∈[-5,a](a ≥-4),∃x 2∈(0,+∞),使得f(x 1)=g(x 2)成立,则a 的最大值为( )A.-4B.-3C.-2D.0答案 C4.(2019山西吕梁4月模拟,10)设函数f(x)={(a -3)x +3a,x <1,log a (x +3),x ≥1.若∀x ∈R,f(x)>2,则a 的取值范围是( )A.[1,54] B.(54,3]C.(2,3)D.[54,2)答案 D5.(2019河南八所重点高中第二次联合测评,10)已知函数f(x)=e x-1-e -x+1,则下列说法正确的是( ) A.函数f(x)的最小正周期是1 B.函数f(x)是单调递减函数C.函数f(x)的图象关于直线x=1对称D.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称 答案 D6.(2019安徽安庆二模,12)若函数f(x)=log a x(a>0且a ≠1)的定义域与值域都是[m,n](m<n),则a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(e,+∞)C.(1,e)D.(1,e 1e )答案 D7.(2019福建八校一模,12)已知函数f(x)={|lnx|,0<x <e,e x,x ≥e,若函数g(x)=f(x)-m 有三个不同的零点x 1,x 2,x 3,且x 1<x 2<x 3,则x 1x2f(x 3)的取值范围为( ) A.(0,1] B.(0,1) C.(1,+∞) D.[1,+∞)答案 C8.(2020届河南信阳第一次教学质量检测,6)如图1是某条公共汽车线路收支差额y 与乘客量的图象.由于目前本条线路亏损,公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议,如图2、3所示.根据图象判断下列说法正确的是( )①图2的建议为减少运营成本;②图2的建议可能是提高票价; ③图3的建议为减少运营成本;④图3的建议可能是提高票价. A.①④ B.②④ C.①③ D.②③ 答案 A9.(2020届四川五校上学期联考,12)已知函数f(x)=13x 3+a (12x 2+x +2),则f(x)的零点个数可能为( ) A.1个 B.1个或2个 C.1个或2个或3个 D.2个或3个答案 A10.(2019郑州三模,12)设函数f(x)在R 上存在导函数f'(x),∀x ∈R,有f(x)-f(-x)=x 3,在(0,+∞)上有2f'(x)-3x 2>0,若f(m-2)-f(m)≥-3m 2+6m-4,则实数m 的取值范围为( ) A.[-1,1] B.(-∞,1]C.[1,+∞)D.(-∞,-1]∪[1,+∞)答案 B二、填空题(每小题5分,共15分)11.(2020届重庆巴蜀中学高三第一次月考,16)已知a ∈R,函数f(x)=ax 3-x,若存在t ∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤2,则实数a 的最大值为 . 答案 212.(2019湖南湘潭第二次模拟,16)已知定义在R上的偶函数y=f(x+2),其图象连续不间断,当x>2时,函数y=f(x)是)的所有x之积为.单调函数,则满足f(x)=f(1-1x+4答案3913.(2019福建漳州模拟,16)中国传统文化中很多内容体现了数学的对称美,如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案,充分展现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.给出定义:能够将圆的周长和面积同时平分的图象对应的函数称为这个圆的“优美函数”,给出下列命题:①对于任意一个圆O,其“优美函数”有无数个;②函数f(x)=ln(x2+√x2+1)可以是某个圆的“优美函数”;③函数y=1+sinx可以同时是无数个圆的“优美函数”;④函数y=2x+1可以同时是无数个圆的“优美函数”;⑤函数y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数y=f(x)的图象是中心对称图形.其中正确的命题是.答案①③④三、解答题(共25分)14.(2020届福建南平邵武第一中学开学考试,19)已知某企业生产某种产品的年固定成本为200万元,且每生产1吨该产品需另投入12万元,现假设该企业一年内共生产该产品x 吨并全部销售完.每吨的销售收入为R(x)万元,且R(x)={112-13x 2,0<x ≤15,10800x+1-9570x ,x >15.(1)求该企业年总利润y(万元)关于年产量x(吨)的函数关系式;(2)当年产量为多少吨时,该企业在这一产品的生产中所获年总利润最大? 解析 (1)由题意得y=xR(x)-(200+12x)={100x -13x 3-200,0<x ≤15,1030-(10800x+1+12x),x >15. (2)当0<x ≤15时,y=100x-13x 3-200,y'=100-x 2.∴x ∈(0,10)时,y'>0,x ∈(10,15]时,y'<0, ∴函数在(0,10)上递增,在(10,15)上递减, ∴当且仅当x=10时,y 有最大值14003.当x>15时,y=1030-(10800x+1+12x),∵10800x+1+12x=10800x+1+12(x+1)-12≥2√10800x+1·12(x +1)-12=708,∴y=1030-(10800x+1+12x)≤1030-708=322,当且仅当10800x+1=12(x+1),即x=29时,y 取最大值322.∵322<14003,∴当且仅当x=10时,y 有最大值14003.故当年产量为10吨时,该化工厂在这一产品的生产中所获年利润最大,最大利润为14003万元.解题点睛 本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及导数的应用,属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向,这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识,解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题,只有吃透题意,才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 15.(命题标准样题,19)给出一个满足以下条件的函数f(x),并证明你的结论. ①f(x)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线; ②f(x)是偶函数;③f(x)在(0,+∞)上不是单调函数; ④f(x)恰有2个零点.解析 试题考查函数图象、函数的单调性、偶函数的概念与性质、函数零点的概念等数学知识,考查了函数的研究方法,数形结合的思想.试题采用开放式设计,答案不唯一.试题体现了理性思维和数学探究的学科素养,考查了逻辑推理能力、运算求解能力、创新能力,落实了基础性、综合性、创新性的考查要求. 可取f(x)=|x 2-1|.①f(x)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线.②因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.③当0<x<1时,f(x)=1-x2,f(x)是减函数;当x>1时,f(x)=x2-1,f(x)是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上不是单调函数.④f(x)=0恰有两个根x1=-1,x2=1,因此f(x)恰有2个零点.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。
2.8 函数模型及综合应用探考情悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数模型及综合应用1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征.2.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题.2018浙江,11,6分函数模型及综合应用解方程组★★★分析解读 1.函数模型及综合应用是对学生综合能力和素质的考查,主要考查利用给定的函数模型解决简单的实际问题.2.考查函数思想方法的应用,试题从实际出发,结合三角函数、不等式、数列等知识,加大对学生应用数学知识分析和解决问题能力的考查.在高考中往往以选择题、填空题的形式出现,属中等难度题.3.预计函数模型及综合应用的有关问题在2021年高考中出现的可能性很大,应高度重视.破考点练考向【考点集训】考点函数模型及综合应用1.已知某服装厂生产某种品牌的衣服,销售量q(x)(单位:百件)关于每件衣服的利润x(单位:元)的函数解析式为q(x)=则当该服装厂所获效益最大时,x=( )A.20B.60C.80D.40答案 C2.(2018福建三明期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-T a=(T0-T a)·,其中T a称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,还需要分钟.答案10炼技法提能力【方法集训】方法函数应用题的解法1.(2019广东广州一模,7)如图,一高为H且装满水的鱼缸,其底部装有一排水小孔,当小孔打开时,水从孔中匀速流出,水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时,水流出所用时间为t,则函数h=f(t)的图象大致是( )答案 B2.(2018河北承德期中,13)某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数,即y=k·a x(a>0且a≠1,x∈N*).若商品上架第1天的价格为96元,而上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为元.答案【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组考点函数模型及综合应用(2018浙江,11,6分)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则当z=81时,x= ,y= .答案8;11B组统一命题、省(区、市)卷题组考点函数模型及综合应用1.(2019课标全国Ⅱ理,4,5分)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:+=(R+r).设α=.由于α的值很小,因此在近似计算中≈3α3,则r的近似值为 ( )A.RB.RC.RD.R答案 D2.(2019课标全国Ⅱ理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x),且当x∈(0,1]时, f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-∞,m],都有f(x)≥-,则m的取值范围是( )A. B.C. D.答案 B3.(2017课标全国Ⅰ文,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( )A. f(x)在(0,2)单调递增B. f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称答案 C4.(2019北京文,14,5分)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为.答案①130②155.(2018天津文,14,5分)已知a∈R,函数f(x)=若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是.答案C组教师专用题组考点函数模型及综合应用1.(2015北京,8,5分)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油答案 D2.(2015陕西,3,5分)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A.5B.6C.8D.10答案 C。
【高三】2021届高考数学第一轮复习：函数模型及其应用高三理科数学复习46――函数模型及其应用【学习目标】：能够根据实际问题的情况创建合理的函数模型，可以根据实际问题中提供更多的数据在创建函数模型后用导数方法得出答疑.【例题精讲】1.某城市在发展过程中，交通状况逐渐受有关部门更多的高度关注，据有关统计数据表明，从上午点至中午点，车辆通过该市某一路段的用时（分钟）与车辆步入该路段的时刻之间关系可以对数地用如下函数得出：求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻.2.某集团为了赢得最小的收益，每年必须资金投入一定的资金用作广告降价。
经调查，每年资金投入广告费（百万元）。
可以减少销售额约为（百万元）（）.(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?(2)贝内旺拉拜公司准备工作共资金投入300万元,分别用作广告降价和技术改造.经预测,每资金投入技术改造费和（百万元）,可以减少的销售额约为（百万元）.恳请设计一个资金分配方案,而因公司由此赢得的收益最小.(备注：收益=销售额导入).3.从边长为的正方形铁片的四角上各截去一小块边长为的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度与底面正方形边长的比值不超过常数，则取何值时，容积有最大值.【矫正意见反馈】1.某天中午时整，甲船自以的速度向正东方向行驶，乙船自的正北处以的速度向正南方向行驶，则当天时分时两船之距离对时间的变化率是.2.体积为的圆柱，底面半经和低分别为_______,_________时，表面积最轻.3.从边长为的矩形纸板的四角，截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，那么盒子容积的最大值为。
4.一区，必须把如图所示的一片碎石滩规划成一个矩形度假村。
未知矩形的顶点在近似于一段对数函数的图象的曲线段上，且，,,问如何规划，可以并使度假村占地面积最小？5.甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系，若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）。
2021年高考数学一轮复习第二章第9讲函数模型及其应用资料（艺术班）一、必记2个知识点1．几种常见的函数模型2．三种函数模型性质比较二、必明1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．三、必会1个方法解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：考点一一次函数与二次函数模型1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 解析：选A 依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)，∴100k ＋20＝100m ，得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元，选A.2．(xx·北京西城区抽检)将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个( )A ．115元B ．105元C ．95元D ．85元解析：选C 设售价定为(90＋x )元，卖出商品后获得利润为：y ＝(90＋x －80)(400－20x )＝20(10＋x )(20－x )＝20(－x 2＋10x ＋200)＝－20(x 2－10x －200)＝－20[(x －5)2－225]，∴当x ＝5时，y 取得最大值，即售价应定为：90＋5＝95(元)，选C.3．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为：y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解：设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损． [类题通法]求解一次函数与二次函数模型问题的关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错； (2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．考点二分段函数模型[典例] 大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．[解] (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，200－x3，20<x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，x 200－x3，20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋200－x 22＝10 0003. 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立． 所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值． 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值f (x )max ＝10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．[类题通法]应用分段函数模型的关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏． (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)． [针对训练]某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．(1)分别写出国外市场的日销售量f (t )与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g (t )与上市时间t 的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．解：(1)图①是两条线段，由一次函数及待定系数法，得f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40.图②是一个二次函数的部分图像，故g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)．(2)每件样品的销售利润h (t )与上市时间t 的关系为h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，0≤t ≤20，60，20<t ≤40.故国外和国内的日销售利润之和F (t )与上市时间t 的关系为F (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，0≤t ≤20，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ，20<t ≤30，60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240，30<t ≤40.当0≤t ≤20时，F (t )＝3t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t ＝－920t 3＋24t 2，∴F ′(t )＝－2720t 2＋48t ＝t ⎝⎛⎭⎪⎫48－2720t ≥0，∴F (t )在[0,20]上是增函数，∴F (t )在此区间上的最大值为F (20)＝6 000<6 300.当20<t ≤30时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋8t .由F (t )＝6 300，得3t 2－160t ＋2 100＝0，解得t ＝703(舍去)或t ＝30. 当30<t ≤40时，F (t )＝60⎝ ⎛⎭⎪⎫－320t 2＋240. 由F (t )在 (30,40]上是减函数，得F (t )<F (30)＝6 300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300万元，为上市后的第30天．考点三指数函数模型[典例] 半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？[解] (1)设每年降低的百分比为x(0<x<1)．则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解得x＝1－⎝⎛⎭⎪⎫12110.(2)设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即⎝⎛⎭⎪⎫12＝⎝⎛⎭⎪⎫12，m10＝12，解得m＝5.故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，⎝⎛⎭⎪⎫12≥⎝⎛⎭⎪⎫12，n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．[类题通法]应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解．提醒：解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应函数的单调性．[针对训练](xx·长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A．略有盈利 B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况解析：选B 设该股民购这支股票的价格为a，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n，经历n 次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．课后作业[练一练](xx·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．解析：设矩形花园的宽为y m，则x40＝40－y40，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．答案：20[试一试]据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系是( )A ．y ＝0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)B ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)D ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000) 解析：选D y ＝0.2x ＋(4000－x )×0.3＝－0.1x ＋1 200.(0≤x ≤4 000) 做一做1．(xx·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g ，付邮费0.80元，超过20 g 而不超过40 g ，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g 需增加邮费0.80元(信的质量在100 g 以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g ，则他应付邮费( )A ．3.20元B ．2.90元C ．2.80元D ．2.40元 解析：选A 由题意得20×3<72.5<20×4，则应付邮费0.80×4＝3.20(元)．故选A. 2．(xx·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：选D 根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.3．一种产品的成本原为a 元，在今后的m 年内，计划使成本平均每年比上一年降低p %，成本y 是关于经过年数x (0<x ≤m )的函数，其关系式y ＝f (x )可写成__________________．解析：依题意有y ＝a (1－p %)x(0<x ≤m )．答案：y ＝a (1－p %)x(0<x ≤m )4．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为y x (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元．(2)设可获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润是1 660万元．5．设甲、乙两地的距离为a (a ＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图像为( )解析：选D 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.6．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：选C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．7．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③解析：选A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.8某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图像，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00解析：选C 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入，得k 1＝80，∴y ＝80x .当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2＋b ＝320，20k 2＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400.∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，80x ≥240，或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240.解得3≤x ≤4或4<x ≤8，∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4：00.故选C.9.一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图像可能是图中的________．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H2时，增加越来越慢．答案：② 10.如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600 cm ，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486 cm 2.答案：30 cm,20 cm11．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]≥7 000，即25(1＋x %)＋25(1＋x %)2≥66，令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0， 解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.答案：2012．(xx·昆明质检)某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．(1)写出每户每月用水量x (吨)与支付费用y (元)的函数关系； (2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x ∈N *)如下表：月用水量x (吨)3 4 5 6 7 频数13332请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：据此估计该地“节约用水家庭”的比例．解：(1)y 关于x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤4，4x －8，4<x ≤6，6x －20，x >6.(2)由(1)知：当x ＝3时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝8；当x ＝5时，y ＝12； 当x ＝6时，y ＝16；当x ＝7时，y ＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为 112(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元)． (3)由(1)和题意知：当y ≤12时，x ≤5， 所以“节约用水家庭”的频率为77100＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%. 14．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t(t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围．解：(1)若m ＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立，亦m ·2t＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1，∴m ≥2(y －y 2)恒成立，由于y －y 2≤14，∴m ≥12. 因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.15．(xx·威海高三期末)对于函数f (x )，如果存在锐角θ，使得f (x )的图像绕坐标原点逆时针旋转角θ，所得曲线仍是一函数，则称函数f (x )具备角θ的旋转性，下列函数具备角π4的旋转性的是( )A ．y ＝xB ．y ＝ln xC ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D ．y ＝x 2解析：选C 函数f (x )的图像绕坐标原点逆时针旋转角π4，相当于x 轴、y 轴绕坐标原点顺时针旋转角π4，问题转化为直线y ＝x ＋k 与函数f (x )的图像不能有两个交点，结合图像可知y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与直线y ＝x ＋k 没有两个交点，故选C.!921872 5570 啰sAw37500 927C 鉼;I40263 9D47 鵇21957 55C5 嗅28654 6FEE 濮31780 7C24 簤)。
