Chapter5(1) 矩阵特征值界的估计

作业：P261
2，3，4
13
a11 a1n n×n 证明：设 A ∈ C ， = an1 ann
9
a11 ua12 ua a22 21 令 B ( u ) = ua31 ua32 uan1 uan 2
ua13 ua1n ua23 ua2 n a33 ua3n uan 3 ann
∴ Im ( λ ) ≤ M
定理 2. 设 A ∈ R
n×n
n ( n − 1) 2
， λ 为 A 的任意特征值，则有
6
λ ≤ nρ
1≤i,j≤ n
1 Re ( λ ) ≤ nτ 2
1≤i,j≤ n
1 Im ( λ ) ≤ ns 2
1≤i,j≤ n
其中， ρ = max a = max aij + a = max aij − a ji ji ， s ij ，τ 二、 盖尔圆法Hale Waihona Puke 定义：设 = A24
= i, j 1
∑
n
'
ξi ξ= j
2
2
= i, j 1
∑ ξi ξ j − ∑ ξi ≤ ∑ ξi − ∑ ξi
2 2 4 2 = i 1= i 1= i 1 2
n
n
n
n
4
=
不妨写为：
∑ ξi
i =1 2
n
(
1 − ξi
2
)
n 2 2 i i
= ξ1
2
(1 − ξ ) + ξ (1 − ξ ) + ∑ ξ (1 − ξ )
(a )
ij n×n

特征值范围估计特征值是矩阵的一个重要属性，并具有广泛的应用。

特征值与特征向量的求解是数学中的一个经典问题。

用于数值计算的矩阵通常是大型矩阵，因此求解其特征值和特征向量需要使用高效的算法。

在实际应用中，需要对特征值的范围进行估计，以确定有效的计算区间。

本文将介绍特征值范围估计的基本概念和方法。

特征值范围估计是指对一个矩阵的特征值的上下界进行估算，以便确定计算该矩阵特征值的有效区间。

在数学中，有多种方法对矩阵的特征值进行估计。

这些方法可以大致分为两类：直接方法和迭代方法。

下面分别介绍这两类方法。

直接方法是在不求解特征值和特征向量的情况下，在给定的一些限制条件下估算矩阵特征值的范围。

这些限制条件可以是矩阵的谱范数、对称性、压缩后的矩阵等等。

直接方法的优点是计算简单快速，通常用于对小型矩阵的特征值范围进行估算，但在求解大型矩阵的特征值时不太适用。

常见的直接方法包括以下几种。

1.圆盘定理圆盘定理是用于估算矩阵特征值上下界的一种常见方法。

该方法基于一个名为圆盘定理的性质。

圆盘定理是指对于一个n阶矩阵A和所有的x，其所组成的球形区域B是圆盘定理的开放。

2.双曲线定理双曲线定理是利用矩阵的谱范数估算特征值的上下界的方法。

其本质是矩阵范数不等式，根据Taussky-Todd定理的细节，可以得到这些结果。

3.对称矩阵定理对称矩阵定理是一个比较特殊的特征值范围估计方法，因为对称矩阵具有特殊的性质，使该方法适用于此类矩阵。

此类矩阵的特殊性质表明，它们的特征向量可以正交，自然的特征值也必须是实数。

这使得对称矩阵的特征值范围估计更加简单和可靠。

迭代方法是另一种近期广泛使用的特征值估计方法。

迭代方法通常适用于大型矩阵，其计算量较大。

在这种方法中，需要定义一个初值，通过迭代不断逼近特征值区间的上下界。

不同的迭代算法适用于不同类型的矩阵。

最常见的迭代算法是幂法。

幂法是一种求解矩阵特征值中最大特征值和对应特征向量的迭代方法。

其基本思想是通过不断地将向量乘以矩阵来逼近最大的特征值，并将得到的向量作为新的初始向量，直到收敛。

解
A
m∞
= n max aij = 3 × 2 = 6,
1≤i , j ≤ n
1 A + AH 2 1 A − AH 2
m∞
m∞
1 0 m = 0, = ∞ 2 1 1 H = A− A = 2A m∞ 2 2
m∞
6, =
由定理2知， λ ≤ 6，Re λ = 0，Im λ ≤ 6.
由此可知，A的特征值为0或纯虚数.
= i 1= j 1
证
∑∑ a η η
ij i
n
n
j
≤ ∑∑ aij ηi η j
= i 1= j 1
n
n
≤ max aij
1≤i , j ≤ n
= i 1= j 1
∑∑ η
n
n
i
ηj
n n 1 2 ≤ max aij ∑∑ ηi + η j 2 1≤i , j ≤ n = i 1= j 1
(
2
)
G′j = z ∈ C z − a jj ≤ R′j 为A的第j个列盖尔圆.
{
} ( j =1, 2, , n )
0.02 0.11 1 0.14 如A = 0.01 i 0.02 0.01 0.5 的三个盖尔圆为： G1 = G2 G3
i
R2 = 0.15
于是 AF =
n 2 = i 1 2
R F tr ( R H R ) =
2 1≤i < j ≤ n = i 1
= ∑ λi +
∑
rij ≥ ∑ λi .
2 2
n
§5.2 矩阵特征值的分布区域
一、圆盘定理 1. Gerschgorin圆（盖尔圆） 定义1

在例 5.2.1 中，圆盘 S1 与 S 2 相交，S1 S 2 构成一个连通区域，而 S 3 与
S 4 是孤立的．
一般地， 由矩阵的 k 个相交的盖尔圆的并集构成的连通区域称为一个连 通部分， 并说它是由 k 个盖尔圆组成． 一个孤立的盖尔圆组成一个连通部分． 圆盘定理 5.2.1 只说明矩阵的特征值均在其全部盖尔圆的并集内，并没 有明确指出哪个盖尔圆中有多少个特征值，圆盘定理 5.2.2 更准确地说明特 征值的分布情况．
第5章 特征值的估计
矩阵的特征值在理论上和实际应用中都是十分重要的， 但是特征值的计算一般是非常麻烦的，尤其当矩阵的阶数
比较高时，要精确计算出矩阵的特征值是相当困难的，因
此，由矩阵元素的简单关系式估计出特征值的范围就显得 尤为重要．本章将主要给出特征值的估计与圆盘定理，以 及谱半径的估计．
5.1 特征值界的估计
则有
U H BU U H U H CU U H
n
A AH T T H U ， 2 2 A AH T T H U ， 2 2
2
| Re k | | Re i | |
2 i 1 n
n
i i
2
i 1 n
t ii t ii 2 | | | ， 2 i 1
设 A, B, C 的特征值分别为
k , k ， i k （ i 1, k 1,2,n) ，且满足 | 1 || 2 | | n | ， 1 2 n ，
1 2 n ．
定理 5.1.2 设 A (aij ) C 则
值，于是
2 2 2 2 | | | t | | t | | t | i ii ii ij T i 1 n