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第二章物理系统的数学模型及传递函数解读

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传递函数

传递函数
在控制工程中，一般并不需要精确地求出系统微分方程式的 解，作出它的输出响应曲线，而是希望用简单的方法了解系统 是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能判别某些参数的改 变或校正装置的加入对系统性能的影响。
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因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动 态性能之间的关系，所以为简化分析，设系统的初始条 件为零。
例： 试求 RLC无源网络的传递函数
R
L
解: 该网络微分方程已求出,如式
ui(t)
i(t)
C uo(t) Ld C 2d uo2(tt)RdC d o(ut)tuo(t)ui(t)
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在零初始条件下,对上式进行拉氏变换,令 U0(s)=L[U0(t)], U i(s)=L[Ui(t)] 得: (L2 C Rs C 1 )U o ( s s) U i(s)
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于是,由定义得系统的传递函数为
G ( s ) C R ( ( s s ) ) b a 0 0 s s m n b a 1 1 s s m n 1 1 b a m n 1 1 s s b a m n M N ( ( s s ) )
式中
M ( s ) b 0 s m b 1 s m 1 b m 1 s b m N ( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
R(s)
C(s)
G(s)
传递函数的图示
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说明：
传递函数是物理系统的数学模型,但不能 反应系统的物理性质，不同的物理系统可 以有相同的传递函数； 传递函数只适用于线性定常系统;
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⑶ 物理意义
传递函数是在零初始条件下定义的,控制系统的零初始 条件有两方面的含义:
一是指输入量是在t≥0时才作用于系统,因此在t=0-时 输入量及其各阶导数均为零;

传递函数模型和传递函数

传递函数模型和传递函数

传递函数模型和传递函数传递函数是控制系统中一个重要的概念，它描述了输入信号经过系统后的输出信号与输入信号之间的关系。

传递函数模型是用来描述连续时间系统的，而传递函数是传递函数模型的具体表达式。

传递函数模型可以简化对系统行为的分析和设计。

通过将系统抽象为一个传递函数，可以忽略系统的具体细节，只关注输入输出之间的关系。

这样一来，我们可以用数学方法来分析系统的稳定性、性能等特性。

传递函数模型通常用拉普拉斯变换来表示。

拉普拉斯变换是一种数学变换，用于将连续时间域中的函数转换为复频域中的函数。

通过拉普拉斯变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化对系统的分析。

传递函数通常表示为H(s)，其中s是复变量，表示频域中的频率。

传递函数的形式可以是分数形式，如H(s)=N(s)/D(s)，其中N(s)和D(s)分别是多项式。

传递函数的分子多项式N(s)描述了输入信号对系统的影响，而分母多项式D(s)描述了系统的特性。

传递函数的分母多项式D(s)的根决定了系统的稳定性。

如果分母多项式的根都是负实数或者有负实部的复数，那么系统是稳定的。

反之，如果分母多项式的根有正实数或者纯虚数，那么系统是不稳定的。

传递函数还可以用来描述系统的频率响应。

频率响应描述了系统对不同频率输入信号的响应程度。

通过传递函数，可以计算出系统在不同频率下的增益和相位差。

传递函数模型和传递函数在控制系统的分析和设计中起着重要的作用。

通过传递函数模型，可以对系统进行数学建模和分析。

而通过传递函数，可以计算系统的稳定性、频率响应等特性。

掌握传递函数模型和传递函数的使用方法，对于控制系统的工程师来说是非常重要的。

总之，传递函数模型和传递函数是控制系统分析和设计中常用的工具。

通过传递函数模型，可以对系统进行简化和抽象，忽略系统的具体细节。

而通过传递函数，可以计算系统的稳定性、频率响应等特性。

掌握传递函数模型和传递函数的使用方法，可以帮助我们更好地了解和设计控制系统。

第二章 传递函数

第二章 传递函数

5. 振荡环节
nt
第二章 传递函数
常见振荡环节的实例： (1) 机械位移系统 Y(s) 1 G(s)= F(s) = ms2+fs+k (2) 他激直流电动机 1/Ce N(s) G(s)= U(s) = T T s2+T s+1 a m m (3) RLC电路 Uc(s) 1 G(s)= U (s) = LCs2+RCs+1 r
Δ
0
1 R(s)= S
t C(s)= TS ·1 S G(s) =RC s
第二章 传递函数
液位系统 d[h0+h(t)] =[qi0+qi(t)]-[qo0+qo(t)] A dt qi—流入箱体 平衡时：qi0=qo0 其中: 流量增量 qi0 +qi 故 qi0—流入箱体 dh(t)流出箱体 qo =q (t)-q A dt — 的流量 o(t) i 流量增量 qoh—液面高度 (t)的流量公式 h0+h o0—流出箱体 的流量 增量 qo(t)=a h(t) qo0+qo A—dh(t) 箱体面积 h0—液面高度 +a h(t) 得: A 根据物料平衡关系=qi(t) dt
实例
水位控制系统
V1
θo
控制阀
浮球
RPB Q1 UB H 水箱 V2 Q2用水量
RPA
K1
变速箱
θm
伺服电动机
UA 控 制 器 放 大 器
△U
Ua
SM
第二章 传递函数
1 c(t)=1- e Sin(ω 2 单位阶跃响应： 微分方程： 2 dt+β) 2 ωn T 1-ζ G(s) = 2 d2c(t) ζ ζ 1 dc(t) = S2+2ζ ω n S+ω n2 2 2 S + 单位阶跃响应曲线 = r(t) S+ T +2T T 2 + c (t) 2 T dt dt 1 r(t) —无阻尼自然振荡频率 ωn = c(t) ζ — 阻尼比 T — 时间常数 T c(t) 1 振荡环节方框图 传递函数： r(t) R(S) C(s) ωn2 1 C(S) = 2 22 G(s) = R(s)+2ξω S+ω + 2T ζ S+ 1 2 TS n n 0 S t

数学模型-传递函数

数学模型-传递函数

1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。

机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数

机械控制工程基础第二章物理系统的数学模型及传递函数
数； 因为系统每增加一个独立储能元件，其内部 就多一层能量（信息）的交换。
系统的动态特性是系统的固有特性，仅 取决于系统的结构及其参数，与系统的输 入无关。
线性系统与非线性系统 线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的 系数为常数，则为线性定常系统；如果方程的
系数是时间t的函数，则为线性时变系统；
其中：
K1
f x1
,
x1 x10 x2 x20
K f 2
x2
x1 x10 x2 x20
滑动线性化——切线法
线性化增量方程
y=f(x)
为：
y y' =xtg
y0
A
切线法是泰勒级
x
数法的特例。
y y’
0
x0
x
非线性关系线性化
系统线性化微分方程的建立
步骤 确定系统各组成元件在平衡态的工作点； 列出各组成元件在工作点附近的增量方程； 消除中间变量，得到以增量表示的线性化微
y
f
(x0 )
df (x) dx
x
(x x0
x0 )
或：y
-
y0
=
y
=
Kx，
其中：K
df (x) dx
x
x0
上式即为非线性系统的线性化模型，称为增
量方程。y0 = f (x0)称为系统的静态方程；
由于反馈系统不允许出现大的偏差，因此，
这种线性化方法对于闭环控制系统具有实际
意义。
增量方程的数学含义就是将参考坐标的原 点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际 系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
i(t)
R

机械控制工程基础(第二章)ppt课件

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dt
a0x0t
bm
dmxi t
dtm
bm1
dm1xi t
d tm1
b1
d xi t
dt
b0xi
t
在初始条件为零时，对上式进行拉氏变换
ansnan 1sn 1 a 1sa0X 0s b m smb m 1sm 1 b 1sb 0X i s
故得系统（或环节）的传递函数为
G sX X 0 is sb a m n s sm n a b n m 精 1 1 选s sn Pm P 1 T1 课 件 a b 1 1 s s a b 0 0
x0(t)Txi(t)
精选PPT课件
16
例 下图是简化了的直流发电机组。激磁电压 v恒i 定，磁通不变。
此时电枢电压 与转v速0 成正比•。若 为输入，输出是电压 ，
试v求0此系统的传递函数。
R
•
解：v 0 T
vi i
LM
式中 T——常数
v0 VsT s s 0
GsV 0ssTs
即直流发电机作为测速发电机时，可认为是微分环节。
2
x0
0
精选PPT课件
xi
3
x• 0
0
精选PPT课件
xi
4பைடு நூலகம்
F
0
x?
F
0
x?
精选PPT课件
5
线性化方法：
利用台劳公式 f(x)k n 1 0f(k k )!(a)(xa)kR n(x)
f(a)k n 1 1f(k k )!(a)(x a)kR n(x)
f( x ) f( x 0 ) f( x 0 )x ( x 0 )
物理系统的数学模型
及传递函数

第一节物理系统的数学模型及传递函数


[例2] 液面系统线性化
Back
常数！
4. 单变量函数泰勒级数法 函数y=f(x)在其平衡点(x0,y0)附近的泰勒级数展开式为：
略去含有高于一次的增量∆x=x-x0的项，则：
注： ① 非线性系统的线性化模
型，称为增量方程。 ② y=f(x0) 称 为 系 统 的 静
态方程
非线性环节微分方程的线性化
放大器在大信号输入时输出出现饱和； 磁化曲线有饱和和磁滞回环； 齿轮传动中有间隙。
为了便于研究，对非线性程度不严重的 系统，总是尽可能地将非线性数学模型 转换成近似的线性模型。
1. 常见非线性情况
饱和非线性
Back
死区非线性
间隙非线性
继电器非线性
2. 单摆(非线性)
是未知函数 的非线性函数，
非线性方程 局部线性增量方程
2. 增量方程 增量方程的数学含义
将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工作点上， 对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起 始点，这时，系统所有的初始条件均为零。
注：导数根据其定义是一线性映射，满足叠加原理。
3. 多变量函数泰勒级数法
增量方程 静态方程
[例1] 单摆模型(线性化)
所谓环节，是指可以组成独立的运动方程式的某 一部分。环节可以是一个元件，也可能是一个元 件的一部分或者由几个元件组成。
建立系统数学模型的一般步骤（1）
分析系统的工作原理和系统中各变量间的关 系，确定待研究系统的输入量和输出量。
将系统划分为单向环节，并确定各个环节的
输入量和输出量。（所谓单向环节是指其后 面的环节无负载效应，即后面环节存在与否 对当前环节的动态特性没有影响）
宇宙飞船控制系统就是时变控制的一个例子（宇宙飞船的 质量随着燃料的消耗而变化）。

第二章 传递函数

R1 C 1 R2 C 2 u 2 ( t ) ( R1 C 1
R 2 C 2 ) u 2 ( t ) + Hu 2 ( t ) = u (t )
.
此结果错误
四、非线性微分方程线性化
*非线性微分方程的线性化

为什么要研究非线性方程的线性化问题？
– 系统、元件非线性特性的普遍存在性；
– 精确描述系统的动态方程通常为非线性微分方程；
图形化表示： 用比较直观的结构图（方块图）和信号
流图进行描述。
同一系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要 根据不同的情况对这些模型进行取舍。
第二章 传递函数
4、建立数学模型的两种基本方法
– 分析法：
依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学 规律列写出相应的数学关系式，建立模型。
适用于比较简单的系统
第二章 传递函数
第二章 传递函数
主要内容：控制系统的数学模型
1. 系统微分方程的建立及非线性方程的线性化 2. 传递函数的定义、性质及典型环节的传递函数 3. 系统传递函数方块图及简化 4. 相似原理
控制理论的研究对象是系统、输入、输出三者之
间的动态关系，描述系统这种动态关系的是系统的数 学模型，古典控制理论内系统的数学模型有两种：

用数学方式把系统的输入量和输出量之间的 关系表达出来。 微分方程式、传递函数、频率特性和差分方 程 。

第二章 传递函数

状态空间描述或内部描述
–不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且
还可以描述系统的内部特性。
–它特别适用于多输入、多输出系统， –也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统

–
–
第二章 传递函数

《控制工程基础》第二章


第二章 系统的数学模型
2.2 系统的微分方程
例2-6 下图所示为一电网络系统，其输入为电压u(t)， 输出为电容器的电量q(t)，列写该系统微分方程。
L
R
解：根据克希荷夫电压定律，得
u
i
C
u(t)Ldd(ti)tR(ti)C 1i(t)dt
∵
i(t) dq(t) dt
消去中间变量i(t)，并整理得，
轴平移了时间T。 例 求f(t)＝ 1 － 1 1(t-T)的拉氏变换
TT
4. 微分定理
若L[f(t)]＝F(s)，则有L[ df ( t ) ]＝s F(s) - f(0)
初始状态为0时，L[
d
n
d
f
n
( t
t
)
dt
]＝
s
n
F(s)
第二章 系统的数学模型 2.3 拉氏变换与拉氏反变换
5. 积分定理
解： 1)明确系统的输入与输出，
f( t) k
输入—f(t) ， 输出—x(t)
m
2)进行受力分析，列写微分方程，
cx ( t) f(t) kx(t) 利用 Fma，得
图2-1
பைடு நூலகம்
m f( t ) k ( t ) x c x ( t ) m x ( t )
c· x(t)
3)整理微分方程，得
m x ( t ) c x ( t ) k ( t ) x f ( t )
本章教学大纲
1. 掌握机械、电气系统微分方程的建立方法； 2. 了解非线性方程的线性化； 3. 熟悉拉氏变换及反变换、线性定常微分方程的解法； 4. 掌握传递函数基本概念及典型环节传递函数； 5. 掌握系统传递函数方框图的化简。 教学重点：微分方程建立、传递函数概念与求法、典

第2章 系统的数学模型 02

X(s)=0 系统的特征方程，→������ 特征根。 特征方程决定着系统的动态特性。 X(s) 中s的最高阶次等于系统的阶次。 b0 当s=0时 G (0) K 系统的放大系数或增益 a0 ！从微分方程的角度看，此时相当于所有的导 数项都为零。K — 系统处于静态时，输出与输 入的比值。
零点和极点 bm s m bm 1 s m 1 ...... b1 s b.0 G( s) n n 1 an s an 1 s ...... a1 s a0 bm s z1 s z2 ...... s zm G( s) an s p1 s p2 ...... s pn bm s z1 s z2 ...... s zm 0 的根
v
T s 1 T
j 1 j k 1
i 1 d
l 1 e
s e s
2 2 k
s 2 kTk s 1
二阶振荡环节
积分环节
惯性环节
延迟环节
小结：
环节是根据微分方程划分的，不是具体 的物理装置或元件； 一个环节往往由几个元件之间的运动特 性共同组成； 同一元件在不同系统中作用不同，输入 输出的物理量不同，可起到不同环节的作 用。
所以位移 x

式中A—活塞的面积 对式（2-63）取拉氏变换，并 整理，则得其传递函数为 ：
q dt（2-63） A
1 G ( s ) X ( s ) / Q( s ) （2-64） 图2-12 As
液压积分环节
注意：位移对流量来说是积分环节，而速度对流量来 说，则是一个比例环节。因此对一个具体的物理系统 而言，究竟是属于那一个环节，要看确定出输入量与 输出量后的传递函数而定。
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(2) 列写微分方程 di L Ri uc u dt
式中
dq i dt q Cuc
（3）消去中间变量,可得电路微分方程式
d2 d LC 2 uc RC uc uc u dt dt
§2-1 系统的时域数学模型

常见机电元件介绍 机械元件有三种: 即质量块或定轴转动物体； 弹簧（弹性元件）；阻尼器。
§2-1 系统的数学模型
系统：一个由相互作用的各部分组成的具有一定功能的 整体。

自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液 压的，气动的等等，然而描述这些系统的数学模 型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究 自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关 系而抓住这些系统的共同运动规律，控制系统的 数学模型是通过物理学，化学，生物学等定律来 描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克 希霍夫定律等都是用来描述系统模型的基本定律。
例 弹簧阻尼系统
ky
y
f dy dt
y m
Fs ky
Ff fv
ma F F Fs Ff
m
F
o
o
F
f — 粘滞摩擦系数
d2y dy k— 弹簧系数 m 2 f ky F dt dt v— 物体相对的移动速度
例1 编写如图1所示RLC电路的微分方程式
图 1 RLC串联网络
线性系统微分方程的建立
所谓标准方程包含三方面的内容： ①将与输入量有关的各项放在方程的右边，与输 出量有关的各项放在方程的左边； ②各导数项按降幂排列； ③将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有 一定物理意义的系数。
例1 编写如图1所示RLC电路的微分方程式
图 1 RLC串联网络
解: (1) 定输入输出量: u ----输入量 uc ----输出量
§2-1 系统的数学模型
一、数学模型 研究数学模型的意义是什么？ 1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要 2、是寻找一个较好的控制规律的需要 数学模型是定量地描述系统的动态性能，揭示系统的 结构、参数与动态性能之间的数学表达式。简单地说， 数学模型就是描述系统中各变量之间关系的数学形式 和方法。经典控制理论和现代控制理论都以数学模型 为基础对系统进行定量分析和设计，因此系统数学模 型的建立和简化是自动控制系统分析与设计需要解决 的首要问题。
§2-1 系统的数学模型

线性系统微分方程的建立
步骤： 1. 分析系统和元件的工作原理，找出 各物理量之间的关系，确定输出量及输入 量。 2.设中间变量，依据物理、化学等定律忽 略次要因素列写微分方程式。 3. 将所有方程联解，消去中间变量，得出系统
输入输出的标准方程。
§2-1 系统的数学模型

例 机械传递系统
xa和xb作为网络的结点。在每一 个节点上，力的和等于零。
xa
K
xb
M
参考面
f f K K ( xa xb )
B
f K f M f B MD xb BDxb
2
综合两个方程可以得到：
(MD BD) xb f
2
f(t)
xa
K K M

xb
B
(MD BD K ) xb Kxa
电器元件有三种: 即电阻；电容；电感。
这6种元件从能量角度来划分，可分为贮能元 件和耗能元件。
§2-1 系统的时域数学模型

常见机电元件介绍

1、机械元件的运动方程 机械元件的运动方程（数学表达式）
2、电容、电感的微分方程
3、阻尼器的微分方程
微分方程式的编写
例1: 列写图1所示RC无源网络的微分方程式
第二章 物理系统的数学 模型及传递函数
主要内容：



系统数学模型 线性系统微分方程的建立； 拉氏变换 运用拉氏变换法求解线性微分方程； 传递函数的概念和性质； 结构图的绘制及其等效变换； 结构图和信号流图的关系； 梅逊公式。
本章重点：

通过本章学习，应着重了解控制系统数学模型 的基本知识，熟练掌握线性定常系统微分方程 的建立、传递函数的概念和应用知识、控制系 统方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控 制系统的传递函数的基本概念。
m
d 2 x(t ) dt
2
F (t ) F1 (t ) F2 (t )
F (t )
k
dx(t ) F (t ) f Kx(t ) dt
m
f
x(t )
图2-1-3弹簧系统
*比较 R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统运动方程
2
K (MD2 BD) xa (MD2 BD K ) f d “D”表示微分算子 () dt
参考面
例2-1-3 弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）机械位移系统

求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动。 设系统已处于平衡状态， 相对于初始状态的 位移、速度、加速度
i(t) R
ur(t)
C
uc(t)
图1
RC无源网络




(1) 确定电路的输入量和输出量。由电路可知， R、C为常量，依据实际工作情况确定ur(t) 为 输入电压，uc(t) 为输出电压。 (2) 依据电路工作原理选电流i(t)为中间变量。 依据电学定律列写方程式 。 （1） （2）
第二章 线性系统的数学模型
§2-1 系统的数学模型
工程控制中常用的数学模型有三种：



传递函数----------复域描述 频率特性----------频域描述 微分方程----------时域描述 本章主要介绍微分方程与传递函数两种数学模 型
§2-1 系统的数学模型
&系统数学模型的建立方法

控制系统数学模型的建立有分析法和实验法。 分析法是对系统各部分的运动机理进行分析， 根据它们所依据的物理或化学定律，分别列写 各变量之间的数学关系式，可称为机理分析法 或解析法。实验法（又称系统辨识）是人为地 对系统施加某种测试信号，记录其输出响应， 并用适当的数学模型去逼近，从而获得系统的 数学模型。
解: (1) 定输入输出量: u ----输入量 uc ----输出量
(2) 列写微分方程 di L Ri uc u dt
式中
dq i dt q Cuc
（3）消去中间变量,可得电路微分方程式
d2 d LC 2 uc RC uc uc u dt dt
第二章 线性系统的数学模型